Объектом исследований являлись открытые с торцов стеклопластиковые цилиндрические оболочки, изготовленные перекрестной намоткой лент однонаправленного композитного материала.

Цель работы – разработка методики численного моделирования процесса прогрессирующего разрушения слоистых композитных цилиндрических оболочек при многократном нагружении импульсом внутреннего давления различной интенсивности.

Кинематическая модель деформирования слоистого пакета основывается на прикладной геометрически нелинейной теории оболочек. Формулировка геометрических зависимостей базируется на соотношениях простейшего квадратичного варианта нелинейной теории упругости. Физические соотношения элементарного слоя формулируются на основе обобщенного закона Гука для ортотропного материала с учетом гипотез прикладной теории оболочек. Процесс прогрессирующего разрушения оболочки описывается в рамках модели деградации жесткостных характеристик элементарных слоев многослойного пакета, которая базируется на критерии Хоффмана для композитного материала и на критерии максимальных напряжений для волокон. Процесс накопления поврежденности в материале оболочки, обусловленный многократным приложением импульсной нагрузки, учитывается посредством вычислительной схемы, в которой расчет текущего напряжено-деформированного состояния осуществляется с жесткостными характеристиками, полученными в рамках модели их деградации при предыдущем нагружении.

Энергетически согласованная система уравнений движения прикладной теории оболочек выводится из условия стационарности функционала полной энергии оболочки.Численный метод решения сформулированной начально-краевой задачи основывается на явной вариационно-разностной схеме.

Достоверность рассматриваемой методики обоснована сравнением полученных результатов с известными экспериментальными данными. Приведены результаты влияния числа нагружений на величину предельных окружных деформаций. Установлено, что уровень максимальных кольцевых деформаций ниже их предельных значений по сравнению с однократным нагружением примерно в десять раз.

Ключевые слова: материалы композитные, оболочки цилиндрические, деформирование нелинейное, разрушение, методы численные, нагружение импульсное

Абросимов Николай Анатольевич – доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: abrosimov@mech.unn.ru

Елесин Александр Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: elesin@mech.unn.ru

1. Деформация и разрушение цилиндрических оболочек из стеклопластика при внутреннем импульсном нагружении / В.И. Цыпкин [и др.] // Механика композитных материалов. – 1981. – №2. – С. 249–255.
2. Федоренко А.Г., Сырунин М.А., Иванов А.Г. Влияние структуры армирования ориентированных стеклопластиков на прочность круговых цилиндрических оболочек при взрывном нагружении изнутри // Механика композитных материалов. – 1991. – № 4. – С. 631–640.
3. Сырунин М.А., Федоренко А.Г., Иванов А.Г. Динамическая прочность цилиндрических оболочек из стеклопластика при многократном взрывном нагружении // Физика горения и взрыва. – 1997. – Т. 33. № 6. – С. 102–107.
4. Mark R. Garnich and Venkata M.K. Akula Review of degradation models for progressive failure analysis of fiber-reinforced polymer composites // Appl. Mech. Rev. – 2009. – Vol. 62. – No. 1. –
   P. 1–33. DOI: 10.1115/1.3013822
5. Veera Skytta, Olli Saarela, Markus Wallin Progressive failure of composite laminates; analysis vs experiments // Fracture of Nano and Engineering Materials and Structures. Proceedings of the 16th European Conference of Fracture, Alexandroupolis, Greece, July 3–7, 2006. – Part B. – P. 341–342. DOI: 10.1007/1-4020-4972-2_168
6. Elisa Pietropaoli Progressive failure analysis of composite structures using a constitutive material model (USERMAT) developed and implemented in ANSYS © // Applied Composite Materials. – 2012. – Vol. 19. – No. 3. – P. 657–668. DOI: 10.1007/s10443-011-9220-0
7. Computational modeling of complex failure mechanisms in laminates / Meer F.P. van der, Sluys L.J., Hallett S.R., Wisnom M.R. // J. Composite Materials. – 2012. – Vol. 46. – No. 5. – P. 603–623. DOI: 10.1177/0021998311410473
8. Gunel M., Kayran A. Non-linear progressive failure analysis of open-hole composite laminates under combined loading // Journal of Sandwich Structures & Materials. – 2013. – Vol. 15. – No. 3. – P. 309-339. DOI: 10.1177/1099636213483651
9. Ellul B., Camilleri D., Betts J.C. A progressive failure analysis applied to fiber-reinforced composite plates subject to out-of-plane bending // Mechanics of Composite Materials. – 2013. – Vol. 49. – No. 6. – P. 605–620. DOI 10.1007/s11029-013-9377-8
10. Chen X., Li Z., Wang H. Progressive failure analysis of an open-hole composite laminate by using the s-version finite-element method // Mechanics of Composite Materials. – 2014. – Vol. 50. – No. 3. – P. 279–294. DOI: 10.1007/s11029-014-9414-2
11. Shokrieh M.M., Karamnejad A. A investigation of strain rate effects on the dynamic response of a glass/epoxy composite plate under blast loading by using the finite-difference method // Mechanics of Composite Materials. – 2014. – Vol. 50. – No. 3. – P. 295–310. DOI: 10.1007/s11029-014-9415-1
12. Liu P.F., Xing L.J., Zheng J.Y. Failure analysis of carbon fiber/epoxy composite cylindrical laminates using explicit finite element method // Composites Part B–Engineering. – 2014. – Vol. 56. – P. 54–61. DOI: 10.1016/j.compositesb.2013.08.017
13. Jayashree Sengupta, Arghya Ghosh, Dipankar Chakravorty Progressive failure analysis of laminated composite cylindrical shell roofs // Journal of Failure Analysis and Prevention. – 2015. – Vol. 15. – No. 3. – P. 390–400. DOI: 10.1007/s11668-015-9951-6
14. Finite element analysis of progressive failure and strain localization of carbon fiber/epoxy composite laminates by ABAQUS / P.F. Liu, Y.H. Yang, Z.P. Gu, J.Y. Zheng // Applied Composite Materials. – 2015. – Vol. 22. – No. 6. – P. 711–731. DOI: 10.1007/s10443-014-9432-1
15. Shroff S., Kassapoglou C. Progressive failure modelling of impacted composite panels under compression // Journal of Reinforced Plastics and Composites – 2015. – Vol. 34. – No. 19. – P. 1603–1614. DOI: 10.1177/0731684415592485
16. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. – М.: Машиностроение, 1988. – 272 с.
17. Шаповалов Л.А. Об учете поперечного обжатия в уравнениях нелинейной динамики оболочек // Изв. РАН МТТ. – 1997. – № 3. – С. 156–168.
18. Браутман Л., Крок Р. Композиционные материалы. Т. 2. Механика композиционных материалов. – М.: Мир, 1978. – 568 с.
19. Композиционные материалы: справочник / В.В. Васильев [и др.]; под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. – М.: Машиностроение, 1990. – 512 с.
20. Абросимов Н.А., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2002. – 400 с.
21. Предельная деформируемость и прочность базальтопластиковых оболочек при внутреннем взрывном нагружении / В.Н. Русак [и др.] // ПМТФ. – 2002. – Т. 43, № 1. – С. 186–195.
22. Абросимов Н.А., Елесин А.В., Пирогов С.А. Численный анализ неосесимметричного деформирования и прогрессирующего разрушения слоистых композитных цилиндрических оболочек при импульсном нагружении // Проблемы прочности и пластичности. – 2015. – Т. 77, № 1. – С. 23–32.

Статья посвящена построению полей смещений, напряжений и деформаций, возникающих внутри линейно-упругого полупространства с функционально-градиентным покрытием, при внедрении в него индентора (штампа) со сферической формой наконечника. Вычисление значений смещений, напряжений и деформаций в некоторой точке внутри покрытия и полупространства сведено к вычислению интегралов на бесконечном интервале. Подынтегральная функция зависит от неизвестных заранее напряжений в области контакта штампа с покрытием. Контактные напряжения, возникающие при внедрении жесткого сферического штампа в упругое полупространство с функционально-градиентным покрытием, получены авторами в приближенном аналитическом виде ранее путем решения задачи со смещенными граничными условиями. Для этого, используя технику интегральных преобразований, задачу свели к решению парного интегрального уравнения.
В общем случае произвольного изменения упругих модулей по глубине покрытия трансформанта ядра парного интегрального уравнения может быть построена лишь численно из решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Аппроксимируя трансформанту ядра произведением дробно-квадратичных функций, в аналитическом виде получены приближенные формулы для определения контактных напряжений и размера зоны контакта, которая также заранее неизвестна. Полученное решение является асимптотически точным для малых и больших значений относительной толщины покрытия и обладает высокой точностью для средних значений. Метод позволяет моделировать произвольный характер изменения упругих модулей по глубине покрытия и рассматривать значения модуля Юнга в подложке более чем на два порядка больше, чем в покрытии. Проведен ряд численных экспериментов по построению полей смещений и напряжений внутри мягкого функционально-градиентного слоя, лежащего на упругом полупространстве (основании). Модуль Юнга слоя постоянен или изменяется линейно (убывает или возрастает с глубиной). Модуль Юнга слоя и упругого основания в зоне их сопряжения отличаются в 100 раз. Такой подход позволяет избежать использования предположения о недеформируемости основания при моделировании мягкого однородного или функционально-градиентного слоя.

Ключевые слова: контакт, внедрение, сферический индентор, напряженное состояние, функционально-градиентное покрытие, мягкий слой, поля смещений, аналитические методы.

Волков Сергей Сергеевич – кандидат технических наук, научный сотрудник, e-mail:fenix_rsu@mail.ru

Васильев Андрей Сергеевич – кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, e-mail:andre.vasiliev@gmail.com

Айзикович Сергей Михайлович – доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией, e-mail: saizikovich@gmail.com

Селезнев Николай Михайлович – кандидат технических наук, младший научный сотрудник, e-mail:nik.seleznev@bk.ru

Леонтьева Анна Викторовна – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail:aleonav@mail.ru

1. Niino M., Maeda S. Recent development status of functionally gradient materials // Transactions of the Iron and Steel Institute of Japan. – 1990. – Vol. 30. – No. 9. – P. 699–703.
2. Analytical solution of the spherical indentation problem for a half-space with gradients with the depth elastic properties / S. Aizikovich, V. Alexandrov, J. Kalker, L. Krenev // International Journal of Solids and Structures. – 2002. – Vol. 39. – P. 2745–2772.
3. Axisymmetric contact problems of the theory of elasticity for inhomogeneous layers / A.S. Vasiliev, S.S. Volkov, S.M. Aizikovich, Y.-R. Jeng // ZAMM – Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. – 2014. – Vol. 94. – No. 9. – P. 705–712.
4. Thermoelastic frictional contact of functionally graded materials with arbitrarily varying properties / J. Liu, L.-L. Ke, Y.-S. Wang, J. Yang, F. Alam // International Journal of Mechanical Sciences. – 2012. – Vol. 63. – P. 86–98.
5. Liu T.J., Wang Y.S., Zhang C.Z. Axisymmetric frictionless contact of functionally graded materials // Archive of Applied Mechanics. – 2008. – Vol. 78. – P. 267–282.
6. Ma J., Ke L.-L., Wang Y.-S. Frictionless contact of a functionally graded magneto-electro-elastic layered half-plane under a conducting punch // International Journal of Solids and Structures. – 2014. – Vol. 51. – P. 2791–2806.
7. Kucuksucu A., Guler M.A., Avci A. Mechanics of sliding frictional contact for a graded orthotropic half-plane // Acta Mechanica. – 2015. – Vol. 226. – P. 3333–3374.
8. Sliding contact analysis of functionally graded coating/substrate system / Y. Alinia, A. Beheshti, M.A. Guler, S. El-Borgi, A.A. Polycarpouc // Mechanics of Materials. – 2016. – Vol. 94. – P. 142–155.
9. Suresh S., Giannakopoulos A.E., Alcala J. Spherical indentation of compositionally graded materials: theory and experiments // Acta Materialia. – 1997. – Vol. 45. – P. 1307–1321.
10. Awojobi A.O. On the hyperbolic variation of elastic modulus in a non–homogeneous stratum // International Journal of Solids and Structures. – 1976. – Vol. 12. – No. 11. – P. 639–748.
11. Glushkov E., Glushkova N., Eremin A. Forced wave propagation and energy distribution in anisotropic laminate composites // Journal of the Acoustical Society of America. – 2011. – Vol. 129. – No. 5. – P. 2923–2934.
12. Altenbach H., Eremeyev V.A. Direct approach-based analysis of plates composed of functionally graded materials // Archive of Applied Mechanics. – 2008. – Vol. 78. – No. 10. – P. 775–794.
13. Hertzian contact response of single-layer, functionally graded and sandwich coatings / X.C. Zhang, B.S. Xu, H.D. Wang, Y.X. Wu, Y. Jiang // Materials and Design. – 2007. – Vol. 28. – P. 47–54.
14. Schwarzer N., Richter F., Hecht G. The elastic field in a coated half-space under Hertzian pressure distribution // Surface and Coatings Technology. – 1999. – Vol. 114. – P. 292–304.
15. Some criteria for coating effectiveness in heavily loaded line elastohydrodynamically lubricated contacts. – Part I: Dry contacts / I.I. Kudish, S.S. Volkov, A.S. Vasiliev, S.M. Aizikovich // Journal of Tribology. – 2016. – Vol. 138, No. 2. – Article number 21504. DOI: 10.1115/1.4030956
16. Torsion of a circular punch attached to an elastic half-space with a coating with periodically depth-varying elastic properties / A.S. Vasiliev, M.V. Swain, S.M. Aizikovich, E.V. Sadyrin // Archive of Applied Mechanics. – 2016. – Vol. 86. – pp. 1247–1254.
17. Kulchytsky-Zhyhailo R., Rogowski G. Stresses in hard coating due to a rigid spherical indenter on a layered elastic half-space // Tribology International. – 2010. – Vol. 43. – No. 9. – P. 1592–1601.
18. Aizikovich S.M, Alexandrov, V.M., Trubchik, I.S. Bilateral asymptotic solution of one class of dual integral equations of the static contact problems for the foundations inhomogeneous in depth // Operator Theory: Advanced Applications. – 2009. – Vol. 191. – P. 3–17.
19. Ворович И.И., Устинов Ю.А. О давлении штампа на слой конечной толщины // Прикладная математика и механика. – 1959. – Т. 23, № 3 – С. 445–455.
20. Александров В.М., Ворович И.И. Контактные задачи для упругого слоя малой толщины // Прикладная математика и механика. – 1964. – Т. 30, № 2. – С. 350–351.
21. Yoffe E.H. Modified Hertz theory for spherical indentation // Philosophical magazine A: Physics of Condensed Matter, Structure, Defects and Mechanical Properties. – 1984. – Vol. 50. –
    No. 6. – Р. 813–828.
22. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. – М.: Наука, 1974. – 456 с.
23. Александров В.М. О приближенном решении некоторых интегральных уравнений теории упругости и математической физики // Прикладная математика и механика. – 1967. – №. 6. – С. 1117–1131.
24. Айзикович С.М., Васильев А.С. Двухсторонний асимптотический метод решения интегрального уравнения контактной задачи о кручении неоднородного по глубине упругого полупространства // Прикладная математика и механика. – 2013. – Т. 77, № 1. – С. 129–137.

Статья посвящена разработке метода вычисления полей микроструктурных напряжений и деформаций в многокомпонентных средахна основе вычисления статистических характеристик локальных полей напряжений и деформаций в компонентах, позволяющих учитывать заданные геометрические и физико-механические свойства компонентов. Исследуются представительные объемы структурно-неоднородных материалов, состоящие из нескольких компонентов. Предполагается, что компоненты являются однородными и изотропными. Для описания внутренней геометрии и оценки пространственного взаимодействия между микроструктурными компонентами используется набор структурных моментных функций различных порядков.

Поведение отдельных компонентов микроструктуры при нагружении представительного объема оценивается с помощью статистических характеристик локальных полей напряжений и деформаций. В качестве характеристик процессов деформирования использованы статистические моментные функции полей напряжений и деформаций в компонентах неоднородной среды. Аналитические выражения для статистических моментов и корреляционных функций полей напряжений и деформаций находятся с помощью статистического осреднения интегродифференциальных уравнений, содержащих моментные функции и получаемых на основе решения стохастических краевых задач в упругой и упругопластической постановке.

Рассмотрены некоторые частные случаи типичных неоднородных сред со случайной микроструктурой. Построены корреляционные функции напряжений и деформаций для разреженных структур со сферическими и эллипсоидальными полыми включениями в упругом и упругопластическом случае. Проведено исследование и выбор аппроксимирующих зависимостей для полученных корреляционных функций. Полученные численные результаты могут использоваться дляоценки механического поведения микроструктурных компонентов неоднородной среды при нагружении, а также для предсказания момента начала разрушения.

Ключевые слова: пористые материалы, упругопластическая краевая задача, случайная структура, моментные функции, поля напряжений и деформаций, функция Грина, статистическое осреднение.

Ташкинов Михаил Анатольевич – кандидат физико-математических наук, заведующий научно-исследовательской лабораторией, e-mail: m.tashkinov@pstu.ru

Михайлова Наталья Викторовна – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: evlnat@mail.ru

1. Buryachenko V. Micromechanics of heterogeneous materials. – New York: Springer, 2007. – 686 p.
2. Rasool A., Böhm H.J. Effects of particle shape on the macroscopic and microscopic linear behaviors of particle reinforced composites // International Journal of Engineering Science. – 2012. – Vol. 58. – P. 21–34. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2012.03.022
3. Mishnaevsky Jr. L., Derrien K., Baptiste D. Effect of microstructure of particle reinforced composites on the damage evolution: probabilistic and numerical analysis // Composites Science and Technolog. – 2004. – Vol. 64. – Iss. 12. – P. 1805–1818. DOI: 10.1016/j.compscitech.2004.01.013
4. Yu M., Zhu P., Ma Y. Effects of particle clustering on the tensile properties and failure mechanisms of hollow spheres filled syntactic foams: A numerical investigation by microstructure based modeling // Materials & Design. – 2013. – Vol. 47. – P. 80–89. DOI: 10.1016/j.matdes.2012.12.004
5. Torquato S. Random heterogenous materials, microstructure and macroscopic properties. – Springer, 2001. – 701 p.
6. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. – М.: Наука, 1976. – 400 с.
7. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. – М.: Наука, 1997. – 288 с.
8. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. – Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 1978. – 208 с.
9. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. – М.: Наука, 1970. – 139 с.
10. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. – Киев: Наукова думка, 1985. – 302 с.
11. Beran M. J. Statistical continuum theories. – New-York: Wiley. Intersci. Publ., 1968. – 493 p.
12. Болотин В.В., Москаленко В.К К расчету макроскопических постоянных сильно изотропных композиционных материалов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1967. – № 3. – С. 106–111.
13. Хорошун Л.П. Методы случайных функций в задачах о макроскопических свойствах микронеоднородных сред // Прикл. механика. – 1978. – Т. 14. – Вып. 2. – С. 3–17.
14. Сараев Л.А., Глущенков В.С. Неупругие свойства многокомпонентных композитов со случайной структурой. – Самара: Самарский университет, 2004. – 163 c.
15. Ghossein E., Lévesque M. Homogenization models for predicting local field statistics in ellipsoidal particles reinforced composites: Comparisons and validations // International Journal of Solids and Structures. – 2015. – Vol. 58. – P. 91–105. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2014.12.021
16. Jiao Y., Stillinger F. H., Torquato S. Modeling heterogeneous materials via two-point correlation functions. II. Algorithmic details and applications // Physical Review.  –2008. – Vol. 77. – No. 3. – P. 031135. DOI: 10.1103/PhysRevE.77.031135
17. Computational microstructure characterization and reconstruction for stochastic multiscale material design / Yu. Liu, M. Steven Greene, W. Chen, D.A. Dikin, W.K. Liu // Computer-Aided Design. – 2013. – Vol. 45. – P. 65–76. DOI: 10.1016/j.cad.2012.03.007
18. Lee H., Gillman A.S., Matouš K. Computing overall elastic constants of polydisperse particulate composites from microtomographic data // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. – 2011. – Vol. 59. – Iss. 9. – P. 1838–1857. DOI: 10.1016/j.jmps.2011.05.010
19. Берестова С.А., Хананов Ш.М. О некоторых путях становления структурно-феноменологических теорий в механике деформируемого твердого тела // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2010. – № 4. – С. 17–28. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.3.12
20. Паньков А.А. Статистическая механика пьезокомпозитов. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. – 480 с.
21. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел. – М.: Наука, 1984. – 116 с.
22. Ташкинов М.А., Вильдеман В.Э., Михайлова Н.В. Метод последовательных приближений в стохастической краевой задаче теории упругости структурно-неоднородных сред // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2010. – Т. 16. – № 3. – С. 369–384.
23. Tashkinov M. Statistical characteristics of structural stochastic stress and strain fields
    in polydisperse heterogeneous solid media // Computational Materials Science. – 2014. – Vol. 94. –
    P. 44–50. DOI: 10.1016/j.commatsci.2014.01.050
24. Tashkinov M.A. Methods of Stochastic Mechanics for Characterization of Deformation in Randomly Reinforced Composite Materials // Eds. V.V. Silberschmidt, V.P. Matveenko. Mechanics of Advanced Materials. – Springer. – P. 43–78. Doi: 10.1007/978-3-319-17118-0_3
25. Ташкинов М.А. Стохастическое моделирование процессов деформирования упругопластических композитов со случайным расположением включений с использованием моментных функций высоких порядков // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 3. – С. 163–185. DOI: 10.15593/perm.mech/2014.3.09
26. Ташкинов М.А. Моделирование упругого поведения многокомпонентных композиционных материалов с использованием приближенных решений стохастических краевых задач // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 3. – С. 165–181. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.3.12
27. Ташкинов М.А. Статистические характеристики полей напряжений и деформаций в компонентах композитов со сферическими включениями при различных видах макрооднородного напряженно-деформированного состояния // Решение инженерных задач на высокопроизводительном вычислительном комплексе Пермского национального исследовательского политехнического университета: моногр. / под ред. В.Я. Модорского. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2014. – C. 172–192.
28. Соколкин Ю.В., Паньков А.А. Сингулярное приближение метода периодических составляющих для дисперсий деформаций в фазах композита // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2001. – Т. 7, № 4. – С. 427–433.
29. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел. – М.: Наука, 1984. – 116 с.

На основе анализа петли пластического гистерезиса сформулированы эволюционные уравнения для трех типов микронапряжений, отвечающих за смещение центра поверхности нагружения, а на их основе уравнения теории пластического течения при комбинированном упрочнении.

Интегрирированием эволюционного уравнения для микронапряжений второго типа при жестком симметричном циклическом нагружении с постоянным размахом пластической деформации в условиях одноосного напряженного состояния получены выражения для микронапряжений на п-м полуцикле, а также стабилизированные максимальные и минимальные значения микронапряжений. Далее рассмотрена работа микронапряжений второго типа на поле пластических деформаций и на основе экспериментальных данных показано, что величина этой работы является постоянной арактеристикой разрушения в условиях мало-многоцикловой усталости (от 10¹ до 10⁶ циклов). На основе этих результатов сформулирован критерий мало-многоцикловой усталости. Получены его асимптоты при маломи большом числе циклов до разрушения. Приведено сопоставление расчетных и экспериментальных результатов по усталости. Проанализировано расчетное и экспериментальное поведение накопленной пластической деформации при мало-многоцикловой усталости.

На основе анализа экспериментальных данных по накоплению повреждений при циклических нагружениях сформулировано кинетическое уравнение накопления повреждений, описывающее нелинейные процессы накопления повреждений. Проведено сопоставление расчетных и экспериментальных результатов при многоблочных циклических нагружениях.

Анализируются процессы вышагивания (ratcheting) и посадки петли пластического гистерезиса при несимметричных циклических нагружениях и определяется параметр и его функциональная зависимость, позволяющая описать эти процессы. Проводится сопоставление расчетных и экспериментальных результатов исследования процессов несимметричных мягких и жестких циклических нагружений.

Ключевые слова: циклическое нагружение, пластичность, микронапряжения, повреждение, мало-многоцикловая усталость.

Бондарь Валентин Степанович – заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: bondar@mami.ru

Даншин Владимир Васильевич – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: tm@mami.ru

Алхимов Дмитрий Александрович – аспирант, e-mail: tm@mami.ru

1. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. - Л.: Машиностроение, 1990. - 224 с.
2. Бондарь В.С. Неупругое поведение и разрушение материалов и конструкций при сложном неизотермическом нагружении: дис. … д-ра физ.-мат.наук. - М.: Изд-во МАМИ, 1990. - 314 с.
3. Бондарь В.С. Неупругость. Варианты теории.- М.: Физматлит, 2004. - 144 с.
4. Бондарь В.С., Даншин В.В. Пластичность. Пропорциональные и непропорциональные нагружения. - М.: Физматлит, 2008. - 176 с.
5. Bondar V.S. Inelasticity. Variants of the theory. - New York: Begell House, 2013. - 194 p.
6. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. - М.: Физматлит, 2008. - 424 с.
7. Прикладная теория пластичности / Митенков Ф.М., Волков И.А., Игумнов Л.А., Каплиенко А.В., Коротких Ю.Г., Панов В.А. – М.: Физматлит, 2015. – 284 с.
8. Волков И.А., Игумнов Л.А., Коротких Ю.Г. Прикладная теория вязкопластичности: монография. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2015. – 318 с.
9. Нелинейная механика материалов / Ж. Бессон, Ж. Каето, Ж.-Л. Шабоши, Т.С. Форест. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. - 397 с.
10. Bari S., Hassan T. An advancement in cyclic plasticity modeling for multiaxial ratcheting simulation // International Journal of Plasticity. - 2002. - Vol. 18. - P. 873–894.
11. Uniaxial ratcheting and fatigue failure of tempered 42CrMo steel: Damage evolution and damage-coupled viscoplastic constitutive model / G. Kang, Y. Liu, J. Ding, Q. Gao // Int. J. of Plasticity. − 2009. – Vol. 25. − P. 838–860.
12. Kan Q., Kang G. Constitutive model for uniaxial transformation ratcheting of super-elastic NiTi shape memory alloy at room temperature // Int. J. of Plasticity. - 2009. DOI: 10.1016/j.ijplas.2009.08.005
13. Chaboche J.-L.A review of some plasticity and viscoplasticity constitutive theories // Int.
    J. Of Plasticity. - 2008. – Vol. 24. - P. 1642–1692.
14. Rahman S.M., Hassan T., Corona E. Evaluation of cyclic plasticity models in ratcheting simulation of straight pipes under cyclic bending and steady internal pressure // Int. J. of Plasticity. - 2008. – Vol. 24. - P. 1756–1791.
15. Abdel-Karim M. Modified kinematic hardening rules for simulations of ratchetting // Int.
    J. Of Plasticity. - 2009. – Vol. 25. - P. 1560–1587.
16. Abdel-Karim M. An evaluation for several kinematic hardening rules on prediction of multiaxial stress-controlled ratchetting // Int. J. of Plasticity. - 2010. – Vol. 26. - P. 711–730.
17. Dafalias Y.F., Feigenbaum H.P. Biaxial ratchetting with novel variations of kinematic hardening // Int. J. of Plasticity. - 2011. – Vol. 27. - P. 479–491.
18. Chaboche J.-L., Kanouté P., Azzouz F. Cyclic inelastic constitutive equations and their impact on the fatigue life predictions // Int. J. of Plasticity. - 2012. – Vol. 35. - P. 44–66.
19. Бондарь В.С., Даншин В.В., Макаров Д.А. Математическое моделирование процессов деформирования и накопления повреждений при циклических нагружениях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2014. - № 2. - С. 125–152.
20. Бондарь В.С., Даншин В.В., Кондратенко А.А. Вариант теории термопластичности // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 2. – С. 21–35.
21. Бондарь В.С., Даншин В.В., Кондратенко А.А. Вариант теории термовязкопластичности // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 1. – С. 39–56.
22. Бондарь В.С., Горохов В.Б., Санников В.М. Исследование малоцикловой прочности оболочек вращения при сложном теплосиловом нагружении // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Механика деформируемых систем: всесоюзн. межвуз. сб. – Горький: Изд-во Горьк. ун-та. – 1979. – Вып. 12. – С. 120–126.
23. Бернард-Конноли, Бью Куок, Бирон. Усталость коррозионно-стойкой стали 304 при испытаниях в условиях многоступенчатой контролируемой деформации // Теор. основы инж. расчетов. – 1983. – № 3. – С. 47–53.
24. Socie D. Multiaxial fatigue damage models // ASME. – 1988. – Vol. 3. – P. 9–21.
25. Трощенко В.Т., Лебедев А.А., Стрижало В.А. Механическое поведение материалов при различных видах нагружения. – К.: Логос, 2000. – 571 с.
26. Мэнсон С. Температурные напряжения и малоцикловая усталость. – М.: Машиностроение, 1974. – 344 с.
27. Макаров Д.А. Математическое моделирование процессов неизотермического неупругого деформирования и накопления повреждений в конструкционных материалах: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - М.: Изд-во МАМИ, 2005. - 108 с.
28. Колмогоров В.Л. Напряжение, деформация, разрушение. – М.: Металлургия, 1970. – 230 с.
29. Development of a Finite Element Based Strain Accumulation Model for the Prediction of Fatigue Lives in Highly Stressed Ti Components / I.V. Putchkov, Y.M. Temis, A.L. Dowson, D. Damri // International Journal of Fatigue. – 1995. – Vol. 17. – No. 6. – P. 385–398.
30. Гусенков А.П. Прочность при изотермическом и неизотермическом малоцикловом нагружении. – М.: Наука, 1979. – 295 с.
31. Savalle S., Caienatd G.Vicroanureage, Micropropagation et Endommage-mant // La Resherche Aerospatiale. – 1982. – Vol. 6. – P. 395–411.
32. Jiang Y., Sehitoglu H. Multiaxial cyclic ratcheting under multiple step loading. International journal of Plasticity. – 1994. – Vol. 8. – P. 849–870.
33. Experimental study jn uniaxial and nonproportionally multiaxial ratcheting of SS304 stainless steel at room and high temperatures / Guozheng Kang, Qing Gao, Lixun Cai, Yafang Sun. // Nuclear Engineering and Design. – 2002. – Vol. 216. – P. 13–26.
34. Guozheng Kang, Qing Gao, Xianjie Yang. Uniaxial cyclic ratcheting and plastic flow properties of SS304 stainless steel at room and elevated temperatures // Mechanics of Materials. – 2002. – Vol. 34. – P. 145–159. 

В работе предложено обобщение критерия многоосного усталостного разрушения на случай сплава со структурной анизотропией усталостных свойств. В основе этого обобщения лежит замена второго инварианта девиатора напряжений, входящего в критерий, на функцию Хилла, предложенную им для описания анизотропной пластичности металлов. Эффект зависимости пределов усталости от оси нагружения при одноосных усталостных испытаниях образцов с текстурой отмечен в различных источниках. Соответствующая текстура, как правило, наводится в технологических процессах изготовления полуфабрикатов (в первую очередь – прокатки).

Разработан метод экспресс-расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) упругого кольцевого диска переменной толщины (диска компрессора газотурбинного двигателя). Циклический режим нагружения определяется полетными циклами и соответствует режиму малоцикловой усталости. С помощью упрощающих гипотез о зависимости решения от координат по толщине диска и в окружном направлении выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений для расчета радиального распределения напряжений и смещений в диске переменной толщины. Предложена и реализована численная процедура решения полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанная на методе ортогональной прогонки.

На основе предложенного критерия многоосного усталостного разрушения с параметрами титанового сплава и результатов расчета НДС получены распределения долговечности вращающегося диска компрессора газотурбинного двигателя под действием центробежных нагрузок в диске и лопатках. Определены опасные сечения, зоны и сроки зарождения усталостного разрушения в диске с учетом влияния анизотропии усталостных свойств. Путем численного моделирования обнаружено существенное падение долговечности в окрестности обода диска.

Ключевые слова: усталостная прочность, анизотропия усталостных свойств, напряженно-деформированное состояние, диск переменной толщины, циклическое нагружение, ряды Фурье.

Бураго Николай Георгиевич – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: burago@ipmnet.ru

Никитин Илья Степанович – доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, e-mail: i_nikitin@list.ru

Юшковский Павел Анатольевич – аспирант, e-mail: abrahas.23@gmail.com

Якушев Владимир Лаврентьевич – доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, e-mail: yakushev@icad.org.ru

1. Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях. Анализ. Предсказание. Предотвращение. – М.: Мир. 1984. – 624 с.

2. Fatigue testing and analysis. (Theory and Practice) / Y.-L. Lee, J. Pan, R.B. Hathaway, M. Barkey. – Elsevier B-H. Oxford, 2005. – 402 p.

3. Meggiolaro M.A., Miranda A.C., de Castro J. Comparison among fatigue life prediction methods and stress-strain models under multiaxial loading // Proceedings of 19^th Int. Congress of Mech. Eng. – Brasilia, DF, 2007.

4. Kallmeyer A.R., Krgo A., Kurath P. Evaluation of multiaxial fatigue life prediction methodologies for Ti-6Al-4V // ASME J. Eng. Mater. Technol. – 2002. – Vol. 124. – P. 229–237.

5. Бураго Н.Г., Журавлев А.Б., Никитин И.С. Анализ напряженного состояния контактной системы «диск-лопатка» газотурбинного двигателя. //Вычислительная механика сплошных сред. – 2011. – Т. 4, № 2. – С. 5–16.

6. Аэроупругий анализ элементов конструкции компрессора / Н.Н. Беклемишев, Н.Г. Бураго, А.Б. Журавлев, И.С. Никитин // Вестн. Моск. авиац. ин-та (национального исследовательского университета). – 2011. – T. 18, № 5. – С. 3–22.

7. Бураго Н.Г., Никитин И.С., Юшковский П.А. Долговечность дисков переменной толщины с учетом анизотропии усталостных свойств // Изв. РАН. МТТ. – 2015. – № 5. – С. 78–93.

8. Бураго Н.Г., Журавлев А.Б., Никитин И.С. Модели многоосного усталостного разрушения и оценка долговечности элементов конструкций // Изв. РАН. МТТ. – 2011. – № 6. – С. 22–33.

9. Шанявский А.А. Моделирование усталостных разрушений металлов. – Уфа: Монография, 2007. – 498 с.

10. Топоров Д.В., Ильченко Б.В., Яруллин Р.Р. Характеристики статической и малоцикловой прочности критических зон диска турбины // Труды Академэнерго. – 2010. – № 2. – С. 79–88.

11. Shlyannikov V.N., Yarullin R.R., Gizzatullin R.Z. Structural integrity prediction of turbine disk on a critical zone concept basis // Proceedings of 11^th International Conference on Engineering Structural Integrity Assessment. ESIA11. – Manchester UK, EMAS Publishing, 2011. – P. 1–10.

12. Residual life prediction of power steam turbine disk with fixed operating time / B.V. Ilchenko, R.R. Yarullin, A.P. Zakharov, R.Z. Gizzatullin // Proceedings of 19^th European Conference on Fracture. ECF19. – Kazan, Russia, 26-31 Aug. – 2012. – P. 1–8.

13. Ильин А.А., Колачев Б.А., Полькин И.С. Титановые сплавы. Состав, структура, свойства. – М.: ВИЛС-МАТИ, 2009. – 520 с.

14. Горынин И.В., Чечулин Б.Б. Титан в машиностроении. – М.: Машиностроение, 1990. – 400 с.

15. Развитие текстуры в  – титановых сплавах / Соммер А., Кригер М., Фудзисиро С., Айлон Д. // Титан. Металловедение и технология: тр. 3-й Междунар. конф. по титану. – М.: ВИЛС, 1978. – Т. 3. – С. 87–96.

16. Marmi A.K., Habraken A.M., Duchene L. Multiaxial fatigue damage modeling at macro scale of Ti6Al4V alloy // Int. J. of fatigue. – 2009. – Vol. 31. – P. 2031–2040.

17. Marmi A.K., Habraken A.M., Duchene L. Multiaxial fatigue damage modeling of Ti6Al4V alloy // Proc. 9 Int. Conf. of Multiaxial Fatigue and Fracture (ICMFF9). – Italy, Parma, 2010. – P. 559–567.

18. Хилл Р. Математическая теория пластичности. – М.: Гос. изд-во техн.-теорет. Лит., 1956. – 407 с.

19. Sines G. Behavior of metals under complex static and alternating stresses. – Metal fatigue. – McGraw-Hill, 1959. – P. 145–169.

20. Crossland B. Effect of large hydrostatic pressures on torsional fatigue strength of an alloy steel // Proc. Int. Conf. on Fatigue of Metals. – London, 1956. – P. 138–149.

21. Findley W. A theory for the effect of mean stress on fatigue of metals under combined torsion and axial load or bending // J. of Eng. for Indust. – 1959. – P. 301–306.

22. Биргер И.А. Стержни, пластины, оболочки. – М.: Физматлит, 1992. – 392 с.

23. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1986. – 560 с.

24. Костюк А.Г. Динамика и прочность турбомашин. – М.: Изд-во МЭИ, 2007. – 476 с.

25. Иноземцев А.А., Нихамкин М.А., Сандрацкий В.Л. Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок. – М.: Машиностроение, 2008. – 204 с.

26. Новацкий В. Теория упругости. – М.: Мир, 1975. – 872 с.

27. Демьянушко И.В., Биргер И.А. Расчет на прочность вращающихся дисков. – М: Машиностроение, 1978. – 247 с.

28. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. – М.: Наука, 1973. – 400 с.

29. Кукуджанов В.Н. Вычислительная механика сплошных сред. – М.: Физматлит, 2006. – 320 с.

30. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 600 с.

Статья посвящена описанию реализованных в вычислительном комплексе УПАКС (ВК УПАКС) алгоритмов, позволяющих в приемлемое для инженерных расчетов время осуществлять исследование процессов зарождения и развития усталостных трещин при малоцикловых термосиловых нагружениях путем их прямого численного моделирования на основе МКЭ. Исследования проводятся в рамках соотношений механики поврежденной среды с использованием гипотез о многостадийном характере развития повреждений в процессе разрушения материала.

Представлено описание алгоритма прогнозирования процессов деформирования и накопления повреждений в элементах конструкций при малоцикловых термосиловых нагружениях, сочетающего возможности детального описания особенностей процессов деформирования и накопления повреждений на первых стадиях разрушения с минимизацией объема вычислений при численном моделировании названных процессов на основе МКЭ.

Для исследования третьей стадии разрушения предложен алгоритм моделирования развития трещины в элементах конструкций на основе результатов численного моделирования процесса на первых двух стадиях без изменения исходной топологии КЭ области исследуемых конструкции.

Представлены результаты численного моделирования процесса упругопластического разрушения экспериментального образца с концентратором в условиях плоского изгиба, выполненные на основе программных средств ВК УПАКС. Сравнение численных результатов с результатами эксперимента показало их хорошее согласование, подтвердившее работоспособность предложенного алгоритма.

На примерах моделирования процесса малоциклового разрушения цилиндрического образца с выточкой проведена верификация программных средств, реализующих предложенные алгоритмы в составе программных средств ВК УПАКС, подтвердившая возможность их эффективного использования для моделирования процессов малоциклового разрушения элементов конструкций.

Ключевые слова: пластичность, малоцикловая усталость, термосиловое нагружение, деформирование, накопление повреждений, разрушение, трещина, механика поврежденной среды

Горохов Василий Андреевич – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: vas-gor@rambler.ru

Казаков Дмитрий Александрович – кандидат технических наук, заведующий лабораторией, e-mail: kazakov@mech.unn.ru

Капустин Сергей Аркадьевич – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией, e-mail: sergei.kapustin@mail.ru

Чурилов Юрий Анатольевич – кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: chyuan@rambler.ru

1. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. – М.: Наука, 1974. – 312 с.

2. Работнов Ю.И. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 1966. – 752 с.

3. Мураками. Сущность механики поврежденности среды и ее приложение к теории анизотропных повреждений при ползучести // Теоретические основы инж. расчетов: тр. амер. о-ва инж.-мех. – 1983. – Т. 5, № 2. – С. 28–36.

4. Chaboche J.L. La mechanique de L’endommangement et san application aux previsions de duree devie des structures // Rech. Depospat. – 1987. – No. 4. – P. 37–54.

5. Ju J.W. On energy-based coupled elastoplastic damage thearies: constitutive modeling and computational aspects // Int. J. Solid. and Struct. – 1989. – Vol. 25. – No. 7. – P. 803–833.

6. Wang J., Chaw C.L. Mixed mode ductile fracture studies with nonprapartional loading bazed on continuum damage mechanics // Trans ASME. J. Eng. Mater. and Technolog. – 1989. – Vol. 111. –
No. 2. – P. 204–209.

7. Бех О.И., Коротких Ю.Г. Уравнения механики поврежденной среды для циклических неизотермических процессов деформирования материалов // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: всесоюз. межвуз. сб / Горьк. ун-т. – Горький, 1989. – С. 28–37.

8. Радченко В.П., Еремин Ю.А. Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций. – М.: Машиностроение–1, 2004. – 264 с.

9. Казаков Д.А., Капустин С.А., Коротких Ю.Г. Моделирование процессов деформирования и разрушения материалов и конструкций: моногр. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та. – 1999. – 226 с.

10. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. – М.: Физматлит, 2008. – 424 с.

11. Капустин С.А., Чурилов Ю.А., Горохов В.А. Моделирование нелинейного деформирования и разрушения конструкций в условиях многофакторных воздействий на основе МКЭ . – Нижний Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та им. Н.И. Лобачевского, 2015. – 347 с.

12. Федоров, В.В. Кинетика повреждаемости и разрушения твердых тел: моногр. – Ташкент: Фан, 1985. – 168 с.

13. Партон В.З., Морозов В.М. Механика упругопластического разрушения. – М.: Наука, 1974. – 640 с.

14. Механика разрушения. Разрушение конструкций: сб. ст. / отв. ред. Д. Теплина. – М.: Мир, 1980. – 256 с.

15. Бондарь В.С., Даншин В.В., Кондратенко А.А. Вариант теории термопластичности // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 2. – С. 21–35. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.2.02

16. Chaboche J.-L. A review of some plasticity and viscoplasticity constitutive theories // Int. J of Plasticity. – 2008. – Vol. 24. – P. 1642–1692.

17. Chaboche J.-L., Kanoute P., Azzouz F. Cyclic inelastic constitutive equations and their impact on the fatigue life predictions // Int. J of Plasticity. – 2012. – Vol. 35. – P. 44–66.

18. Zhu Y., Kang G., Kan Q., Bruhns O.T., Liu Y. Thermo-mechanically coupled cyclic elasto viscoplastic constitutive model of metals: Theory and application // Int. J of Plasticity. – 2016. – Vol. 79. – P. 111–152. DOI: 10.1016/J.IJPLAS.2015.12.005

19. Taleb L., Cailletaud G. An updated version of the multimechanism model for cyclic plasticity // Int. J. of Plasticity. – 2010. – Vol. 26. – P. 859–874. DOI: 10.1016/J.IJPLAS.2009.11.002

20. Cyclic deformation response of AISI 316L at room temperature: Mechanical behaviour, microstructural evolution, physically-based evolutionary constitutive modelling / M.S. Pham,
S.R. Holdsworth, K.G.F. Janssens, E. Mazza // Int. J of Plasticity. – 2013. – Vol. 47. – P. 143–164.

21. Вычислительный комплекс УПАКС. Аттестационный паспорт программного средства. Регистрационный паспорт аттестации ПС № 147 от 31.10.2002 / Научно-технический центр по ядерной и радиационной безопасности.

22. Капустин С.А., Горохов В.А., Чурилов Ю.А. Алгоритмы прогнозирования малоцикловой прочности конструкций на основе МКЭ // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. – Н. Новгород, 2011. – Вып. 73. – С. 15–25.

Объектом исследования является лопатка спрямляющего аппарата (ЛСА) из полимерных композиционных материалов (ПКМ) современного авиационного двигателя. Лопатка из ПКМ обеспечивает снижение веса до 40 % по сравнению с металлическим аналогом. В процессе эксплуатации лопатка подвергается воздействию интенсивных аэродинамических сил. Для отстройки конструкции лопатки от резонансных частот необходимо проведение её модального анализа, результаты которого представлены в настоящей работе.

Экспериментальные исследования проводились методом трехкомпонентной сканирующей лазерной виброметрии с использованием программно-аппаратного комплекса PSV-400-3D. Описана методика экспериментального модального анализа ЛСА из ПКМ в диапазоне частот до 6,4 кГц. Экспериментальные исследования проводились на трех натурных образцах ЛСА, полностью соответствующих техническим требованием и изготовленных по одному технологическому процессу. Представлены экспериментальные оценки средних значений и коэффициентов вариации собственных частот ЛСА из ПКМ и проиллюстрированы основные собственные формы колебаний.

Численный расчет частот и форм ЛСА выполнялся с использованием математической модели, описывающей геометрию, схему укладки и анизотропию армирующих слоев. Расчет проводился методом конечных элементов в программном пакете ANSYS Workbench. Результаты численного моделирования хорошо согласуются с экспериментальными данными. Совпадение расчетных и экспериментальных собственных частот и форм колебаний свидетельствует о том, что жесткость натурной ЛСА при наличии возможных отклонений и разбросов параметров технологического процесса, геометрии выкроек слоев и механических свойств материалов соответствует проектируемой. В последующих исследованиях разработанная модель позволяет оценить изменение амплитудно-частотной характеристики ЛСА при вариации её схемы армирования и конструктивных особенностей исполнения, а лабораторный модальный анализ может использоваться для контроля стабильности геометрических размеров и механических свойств материала слоев

Ключевые слова: лопатка спрямляющего аппарата, собственные частоты, формы колебаний, полимерные композиционные материалы, углепластик, модальный анализ, экспериментальные исследования, метод конечных элементов, жесткость, ANSYS.

Гринев Михаил Анатольевич – начальник конструкторского отдела, e-mail: grinev@avid.ru

Аношкин Александр Николаевич – доктор технических наук, профессор, e-mail: anoshkin@pstu.ru

Писарев Павел Викторович – кандидат технических наук, доцент, e-mail: pisarev@pstu.ru

Шипунов Глеб Сергеевич – младший научный сотрудник, e-mail: shipunov-kt@pstu.ru

Нихамкин Михаил Шмерович – доктор технических наук, профессор, e-mail: Nikhamkin@mail.ru

Балакирев Александр Андреевич – младший научный сотрудник, e-mail: 1st.leonao@gmail.com

Конев Иван Петрович – старший преподаватель, e-mail: kaf-ad@cpl.pstu.ac.ru

Головкин Андрей Юрьевич – старший преподаватель, e-mail: ya.golovkin.andrey@yandex.ru

Иноземцев А.А., Нихамкин М.Ш., Сандрацкий В.Л. Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 2. – М.: shape. © 2015 Elsevier Ltd. All rights reserved. Машиностроение, 2008. – 368 с.
Технологии и задачи механики композиционных материалов для создания лопатки спрямляющего аппарата авиационного двигателя / А.Н. Аношкин, В.Ю. Зуйко, Г.С. Шипунов, А.А. Третьяков // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 4. – С. 5–44. DOI: 10.15593/perm.mech/2014.4.01
Компьютерное моделирование механического поведения композитной лопатки спрямляющего аппарата авиационного двигателя / М.А. Гринёв, А.Н. Аношкин, П.В. Писарев, В.Ю. Зуйко, Г.С. Шипунов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 3. – С. 38–51. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.3.04
Исследование НДС и оценка прочности композитной лопатки спрямляющего аппарата авиационного двигателя / М.А. Гринёв, А.Н. Аношкин, П.В. Писарев, В.Ю. Зуйко, Г.С. Шипунов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 4. – С. 293–307. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.4.17
Carsten C. Aero-mechanical optimisation of a structural fan outlet guide vane // Structural and multidisciplinary optimization. – 2011. – Vol. 44. – No. 1. – P. 125–136. DOI: 10.1007/s00158-010-0617-4
Mistuning Identification and Model Updating of an Industrial Blisk / D. Laxalde, F. Thouverez, J.-J. Sinou, J.-P. Lombard, S. Baumhauer // International Journal of Rotating Machinery.V.2007. Hindawi Publishing Corp. Article ID 17289. – 10 p.
Bently D.E. Fundamentals of Rotating Machinery Diagnostics // Bently Pressurized Bearing Company. – 2002. – 764 p

8.   Griffith D.T., Paquette J.A. Panel resonant behavior of wind turbine blades//(2010) Collection of Technical Papers – AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics and Materials Conference. – 2010. – art. no. 2010–2741.
9.   Movaghghar A., Lvov G.I. A method of estimating wind turbine blade fatigue life and damage using continuum damage mechanics // International Journal of Damage Mechanics. – 2012. – Vol. 21 (6). – P. 810–821.
10.    Numerical validation of a finite element thin-walled beam model of a composite wind turbine blade / D. Cárdenas, A.A. Escárpita, H. Elizalde, J.J. Aguirre, H. Ahuett, P. Marzocca, O. Probst // Wind Energy. – 2012. – Vol. 15 (2). – P. 203–223.
11.    Kumar M., Khan G.S., Shakher C. Measurement of elastic and thermal properties of composite materials using digital speckle pattern interferometry // Proceedings of SPIE. – The International Society for Optical Engineering, 9660. – 2015, art. no. 966011. DOI: 10.1117/12.2196390
12.    Structural Health Monitoring of composite material typical of wind turbine blades by novelty detection on vibration response / N. Dervilis, R. Barthorpe, W.J. Staszewski, K. Worden // Key Engineering Materials. – 2012. – Vol. 518. – P. 319–327. Cited 1 time. DOI: 10.4028/www.scientific.net/KEM.518.319
13.    Material characterization and modal analysis of composite plates via digital image correlation / J. Chuang, C.W. Ray, R. Albertani, B.A. Batten // International SAMPE Technical Conference. – 2012. – 12 p.
14.    Structural Health Monitoring of composite material typical of wind turbine blades by novelty detection on vibration response / N. Dervilis, R. Barthorpe, W.J. Staszewski, K. Worden // Key Engineering Materials. – 2012. – Vol. 518. – P. 319–327.
15.    Бернс В.А., Долгополов А.В., Маринин Д.А. Модальный анализ конструкций по результатам испытаний их составных частей // Докл. Акад. наук высшей школы Российской Федерации. – 2014. – Vol. 1. – С. 24–42

16. Heylen W., Lamens S., Sas P. Modal Analyses. Theory and Testing. – Leven Univ. Belgium, 2003. – 325 p.
17. Ewins D.J. Modal Testing: Theory, Practice and Application// 2nd edition. Baldock, Research Studies Press LTD, 2000.
18. Собственные частоты и формы колебаний полой лопатки вентилятора ГТД / А.А. Иноземцев, М.Ш. Нихамкин, Л.В. Воронов, И.Л. Гладкий, А.Ю. Головкин, Б.П. Болотов // Авиационная промышленность. – 2010. – № 3. – С. 8–12.
19. Методика экспериментального модального анализа лопаток и рабочих колес газотурбинных двигателей / А.А. Иноземцев, М.Ш. Нихамкин, Л.В. Воронов, А.Б. Сенкевич, А.Ю. Головкин, Б.П. Болотов // Тяжелое машиностроение. – 2010 – № 11. – С. 2–6.
20. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. – М.: Наука, 1978. – 287 с.

Теоретические зависимости, получаемые из решений динамических задач вязкоупругости, представляют собой эффективную основу для экспериментальной динамической идентификации реологических свойств материалов. Для построения таких зависимостей предпочтительными являются замкнутые (записываемые в форме сходящихся рядов или интегралов) решения модельных начально-краевых задач, поскольку они, в отличие от решений, получаемых численными методами, допускают строгие оценки погрешности. Однако построение аналитических решений сопряжено с рядом трудностей: 1) Как правило, принимается гипотеза о пропорциональности операторов релаксации, соответствующих первому и второму модулям Ламе, что равносильно гипотезе о постоянном коэффициенте Пуассона; это в значительной мере снижает общность рассматриваемых моделей. 2) Представление решений трехмерных задач в форме разложений по собственным функциям приводит к необходимости учета большого числа собственных значений, которые, в подавляющем большинстве задач, могут быть найдены только численно, как корни трансцендентных уравнений; при этом велика вероятность пропуска близко расположенных
и кратных корней. 3) Построенные ряды медленно сходятся.

В настоящей работе предлагаются способы преодоления этих трудностей. Решения начально-краевых задач представляются в форме спектральных разложений, но в отличие от классического метода Фурье разложения ведутся по биортогональным системам собственных функций взаимно сопряженных пучков дифференциальных операторов, определяемых обобщенными задачами Штурма-Лиувилля с полиномиальным вхождением спектрального параметра. Это позволяет отказаться от гипотезы о пропорциональности операторов релаксации. Получены алгоритмически эффективные соотношения для компонент разложения, определяющие нормировку собственных функций, координатные функции, а также асимптотические формулы для начальных приближений корней частотного уравнения, исключающие их пропуск при вычислениях, в том числе в случаях кратных корней. Предлагается энергетическое ранжирование элементов спектрального разложения, позволяющее достигать требуемой точности вычислений на частичных суммах невысокого порядка.

Ключевые слова: линейная вязкоупругость, модели темпового типа, динамика, замкнутые решения, спектральные разложения, биортогональность, асимптотические представления для собственных значений.

Лычева Татьяна Николаевна – инженер-математик,e-mail: taniko@mail.ru

Лычев Сергей Александрович – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник,e-mail: lychevsa@mail.ru

1. Рейнер М. Реология. − М.: Наука, 1958. − 224 с.
2. Фрейденталь А., Гейрингер Ф. Математические теории неупругой сплошной среды. − М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. − 432 с.
3. Бленд Д.Р. Теория линейной вязкоупругости. − М.: Мир, 1965. − 390 с.
4. Reiner M., Lewis H.K. Advancedrheology. − London, 1971. − 374 p.
5. Alber H.-D. Materials with Memory: Initial-Boundary Value Problems for Constitutive Equations with Internal Variables. – Springer, 1988. – 170 p.
6. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. − М.: Наука, 1966. − 752 с.
7. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. − М.: Изд-во лит. по строит., 1968. − 416 с.
8. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости.− М.: Наука, 1970. − 280 с.
9. Пшеничнов С.Г. Динамические задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных тел // Изв. РАН. МТТ. − 2016. − № 1. − С. 79–89.
10. Amendola G., Fabrizio M., Golden J.M. Thermodynamics of materials with memory. − Springer, 2012. − 574 p.
11. Дэй У.А. Термодинамикапростыхсредспамятью. − М.: Мир 1974. − 190 с.
12. Полянин А.Д., Лычев С.А. Различные представления решений систем уравнений механики сплошных сред // Докл. Акад. наук. − 2014. − Т. 455, № 2. − С. 162–166.
13. Полянин А.Д., Лычев С.А. Различные способы декомпозиции линейных уравнений механики сплошных сред // Докл. Акад. наук. − 2014. − Т. 458, № 6. − С. 663–666.
14. Polyanin A.D., Lychev S.A. Decomposition methods for coupled 3d equations of applied mathematics and continuum mechanics: Partial survey, classification, new results, and generalizations // Applied Mathematical Modelling. − 2016. − Vol. 40. – No. 4. − P. 3298–3324.
15. Nairn J.A. Measurement of polymer viscoelastic response during an impact experiment // Polym. Eng. Sci. − 1989. – Vol. 29. – No. 10. − P. 654–661.
16. Baily F. On the correction of a pendulum for the reduction to a vacuum: Together with remarks on some anomalies observed in pendulum experiments // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. − 1832. − Vol. 122. − P. 399–492.
17. Stokes G.G. On the theories of the internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids // Mathematical and Physical Papers. Cambridge University Press (CUP). − 1866. − Vol. 1. − P. 75–129.
18. Maxwell J.C. The bakerian lecture: On the viscosity or internal friction of air and other gases // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. − 1866. − Vol. 156. − P. 249–268.
19. Thomson W. On the elasticity and viscosity of metals // Proceedings of the Royal Society of London. − 1865. − Vol. 14. − P. 289–297.
20. Voigt W. Ueber innere reibung fester körper, insbesondere der metalle // Ann. Phys. Chem.− 1892. − Vol. 283. – No. 12. − P. 671–693.
21. Gibbs J. W. Vector Analysis, a text–book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. − New Haven Yale University Press, 1901. − 480 p.
22. Gurtin M.E. The linear theory of elasticity // Linear Theories of Elasticity and Thermoelasticity. − Springer, 1973. − P. 1–295.
23. Truesdell C., Noll W. The non–linear field theories of mechanics. − Springer, 2004. − 602 p.
24. Михлин С.Г. Курс математической физики. − М.: Наука, 1968. − 576 с.
25. Kellogg O.D. Foundations of potential theory // Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Vol. 31. − Springer, 1967. − 386 p.
26. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды. − М.: Мир, 1975. − 592 с.
27. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. − М.: Наука, 1969. − 526 с.
28. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. − М.: Мир, 1974. − 338 с.
29. Лычев С. А., Сеницкий Ю. Э. Несимметричные интегральные преобразования и их приложения к задачам вязкоупругости // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественно-научная серия. − 2002. – Спец. вып. − C. 16–38.
30. Лычeв С. А. Связанная динамическая задача термовязкоупругости // Изв. РАН. МТТ. − 2008. − № 5. − С. 95–113.
31. Лычев С.А., Манжиров А.В., Юбер С. В. Замкнутые решения краевых задач связанной термоупругости // Изв. РАН. МТТ. − 2010. − № 4. − С. 138–154.
32. Келдыш М. В. О полнoте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН. − 1971. − T. 26,4(160). − С. 15–41.
33. Pochhammer L. Ueber die fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner schwingungen in einem unbegrenzten isotropen kreiscylinder // Journal für die reine und angewandte Mathematik. − 1876. − Vol. 81. − P. 324–336.
34. Chree C. The equations of an isotropic elastic solid in polar and cylindrical co-ordinates their solution and application // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. − 1889. − Vol. 14. − P. 250.
35. Filon L.N.G. On the elastic equilibrium of circular cylinders under certain practical systems of load // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. − 1902. − Vol. 198. – No. 300–311. − P. 147–233.
36. Eringen A.C., Suhubi E S. Elastodynamics. Vol. 1; Finite Motions, 1974. – Vol. 2: Linear Theory. − New York–London, Academic Press, 1975. − 1018 p.
37. Meleshko V. Equilibrium of an elastic finite cylinder: Filon’s problem revisited //Journal of Engineering Mathematics. − 2003. − Vol. 46. – No. 3/4. − P. 355–376.
38. Ляв А. Математическая теория упругости. − М.–Л.: ОНТИ, 1935. − 674 с.
39. Ватсон Дж.Н. Теория бесселевых функций. − М.: Изд-во иностр. лит., 1949. − 798 с.

В последние 15–20 лет математические модели становятся важнейшим «инструментом» при разработке и создании технологий термомеханической обработки металлов и сплавов, что в немалой степени обусловлено появлением моделей нового класса, основанных на физических теориях, постепенно вытесняющих базирующиеся на макроэкспериментах феноменологические модели. Основоположниками физических теорий пластичности являются Дж. Тейлор, Дж. Бишоп, Р. Хилл, Т.Г. Линь и др. Значительный вклад в развитие указанного направления внесли также советские и российские ученые Р.З. Валиев, Я.Д. Вишняков, С.Д. Волков, О.А. Кайбышев, В.А. Лихачев, В.Е. Панин, В.В. Рыбин, Т.Д. Шермергор и др. Физически обоснованный подход предполагает глубокое понимание внутренних механизмов и процессов, которые сопровождают обусловленное термомеханическими воздействиями неупругое деформирование на различных масштабных уровнях. Одним из весьма значимых для формирования микроструктуры (а следовательно, и механических свойств) готовых изделий, получаемых методами термомеханической обработки, является процесс рекристаллизации. В связи с этим в предлагаемой статье приводится обзор существующих теорий рекристаллизации, особое внимание уделено механизмам образования зародышей рекристаллизованных зерен. Классифицируются основные физические механизмы зародышеобразования рекристаллизованных зерен: 1) механизм, основанный на классической теории флуктуации, предложенной в работах Э.Дж. Бека и Д. Тернбулла; 2) механизм зарождения и роста субзерен поликристалла, образованных в результате процесса полигонизации (Р.В. Кан,
П.А. Бек, А. Котрелл, В.Г. Бюргерс); 3) механизм П.А. Бека и П.Р. Сперри миграции границ зерен, исходно существующих в поликристалле; 4) механизм зарождения и роста новых зерен в результате коалесценции полигонизированных субзерен (Х. Ху, Дж.К.М. Ли, Х. Фуджита). Реализация того или иного механизма образования новых зерен зависит от текущего состояния дефектной структуры, которая, в свою очередь, обусловлена историей термомеханических воздействий. Анализ существующих моделей, описывающих неупругое деформирование при повышенных температурах, свидетельствует о необходимости рассмотрения и включения в эти модели описания физических механизмов высокотемпературных процессов, сопровождающих пластическое деформирование.

Ключевые слова: термомеханическая обработка металлов, рекристаллизация, полигонизация, возврат, физические механизмы неупругого деформирования

Кондратьев Никита Сергеевич – кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник, e-mail: kondratevns@gmail.com

Трусов Петр Валентинович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: tpv@matmod.pstu.ac.ru

1. Effect of extension twins on texture evolution at elevated temperature deformation accompanied by dynamic recrystallization / Popova E. [et al.] // Materials & Design. – 2016. – Vol. 96. – P. 446–457.
2. Modelling for the dynamic recrystallization evolution of Ti–6Al–4V alloyin two-phase temperature range and a wide strain rate range / G.Z. Quan, G.-C. Luo, J.T. Liang, D.S. Wu, A. Mao, Q. Liu //Computational Materials Science. – 2015. – Vol. 97. – P. 136–147.
3. Texture and microstructure evolution of commercially pure titanium during hot rolling:
   Role of strain-paths / S.K. Sahoo, R.K. Sabat, S. Sahni, S. Suwas // Materials & Design. – 2016. –
   Vol. 91. – P. 58–71.
4. Effect of dynamic recrystallization on microstructure evolution and texture weakening during annealing of high speed rolled AZ31 magnesium alloy sheets / J. Su, A.S.H. Kabir, A. Syed, M. Sanjari, I.H. Jung, S. Yue // Magnesium Technology. – 2016. – P. 267–271.
5. Sun Z., Guo S., Yang H. Nucleation and growth mechanism of α-lamellae of Ti alloy TA15 cooling from an α+β phase field // Acta Materialia. – 2013. – Vol. 61. – P. 2057–2064.
6. Some advances in plastic forming technologies of titanium alloys / H. Yang, P.F. Gao, X.G. Fan, H.W. Li, Z.C. Sun, H. Li, L.G. Guo, M. Zhan, Y.L. Liu // Procedia Engineering. – 2014. – Vol. 81. – P. 44–53.
7. Лахтин Ю.М., Леонтьева В.П. Материаловедение. – М.: Машиностроение, 1980. – 493 с.
8. Исупова И.Л., Трусов П.В. Математическое моделирование фазовых превращений в сталях при термомеханической нагрузке // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. – №. 3. – С. 127–157.
9. Трусов П.В., Кондратьев Н.С. Двухуровневая модель для описания неизотермического деформирования двухфазных поликристаллов // Вычислительная механика сплошных сред. – 2014. – Т. 7, №. 2. – С. 181–199.
10. Горелик С.С., Добаткин С.В., Капуткина Л.М. Рекристаллизация металлов и сплавов / Моск. ин-т стали и сплавов. – М., 2005. – 432 c.
11. Фридель Ж. Дислокации. – М.: Мир, 1967. – 643 с.
12. Хоникомб Р. Пластическая деформация металлов. – М.: Мир, 1972. – 408 с.
13. Humphreys F.J., Hatherly M. Recrystallization and related annealing phenomena. Elsevier, 2004. – P. 605.
14. Li H., Wu C., Yang H. Crystal plasticity modeling of the dynamic recrystallization of two-phase titanium alloys during isothermal processing // International Journal of Plasticity. – 2013. – Vol. 51. – P. 271–291.
15. Characteristics of hot compression behavior of Ti–6.5Al–3.5Mo–1.5Zr–0.3Si alloy with an equated microstructure / L.J. Huang, L. Geng, A.B. Li, X.P. Cui, H.Z. Li, G.S. Wang // Mater. Sci. Eng. A. – 2009. – No. 505. – P. 136–143.
16. Vo P., Jahazi M., Yue S. Recrystallization during thermomechanical processing of IMI834 // Metallurgical and Materials Transactions A. – 2008. – Vol. 39. – No. 12. – P. 2965–2980.
17. Трусов П.В., Швейкин А.И., Янц А.Ю. О разложении движения, независимых от выбора системы отсчета производных и определяющих соотношениях при больших градиентах перемещений: взгляд с позиций многоуровневого моделирования // Физическая мезомеханика. – 2016. – Т. 19, № 2. – С. 49–65.
18. Multilevel models of inelastic deformation of materials and their application for description of internal structure evolution / P.V. Trusov, A.I. Shveykin, E.S. Nechaeva, P.S. Volegov // Physical mesomechanics. – 2012. – Vol. 15. – No. 3–4. – P. 155–175.
19. Лахтин Ю.М. Металловедение и термическая обработка металлов. – М.: Металлургия, 1983. – 359 с.
20. Zhang M., Zhang J., McDowell D.L. Microstructure-based crystal plasticity modeling of cyclic deformation of Ti–6Al–4V // International Journal of Plasticity. – 2007. – Vol. 23. – P. 1328–1348.
21. Исупова И.Л., Трусов П.В. Обзор математических моделей для описания фазовых превращений в сталях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. – № 3. – С. 158–192.
22. Ankem S., Margolin H. The role of elastic interaction stresses on the onset of plastic flow for oriented two ductile phase structures // Met. Trans. A. – 1980. – Vol. 11. – P. 963–972.
23. Burgers W.G. Rekristallisation, verformter Zustand und Erholung. – Becker & Erler, 1941. – P. 538.
24. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно и поликристаллов. Прямые модели // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, № 5. – С. 5–30.
25. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно и поликристаллов. Статистические модели //Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, № 4. – С. 17–28.
26. Смирнов А.С., Коновалов А.В., Мазунин В. П. Моделирование реологии сплава АМГ6 с учетом объемной доли динамической рекристаллизации [Электронный ресурс] // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. 2013. – Т. 14, № 2. – C. 1–6. – UR: http://chemphys.edu.ru/issues/2013-14-2/articles/405.
27. Honarmandi P., Aghaie-Khafri M. Hot deformation behavior of TI–6AL–4V alloy in β-phase field and low strain rate // Metallogr. Microstruct. Anal. – 2013. – Vol 2. – P. 13–20. DOI 10.1007/s13632-012-0052-6
28. Колмогоров А.Н. К статистической теории кристаллизации металлов // Изв. АН СССР. Серия Математика. – 1937. –Т. 1, № 3. – С. 355–359.
29. Avrami M. Kinetics of Phase Change. I. General Theory // Journal of Chemical Physics. – 1939. – Vol. 7 (12). – P. 1103–1112. DOI:10.1063/1.1750380
30. Avrami M. Kinetics of Phase Change. II. Transformation-Time Relations for Random Distribution of Nuclei // Journal of Chemical Physics. – 1940. – Vol. 8 (2). – P. 212–224. DOI:10.1063/1.1750631
31. Avrami M. Kinetics of Phase Change. III. Granulation, Phase Change, and Microstructure // Journal of Chemical Physics. – 1941. – Vol. 9 (2). – P. 177-184. DOI:10.1063/1.1750872
32. Johnson W., Mehl K. Reaction kinetics in processes of nucleation and growth // Trans. Am. Inst.Min. Met. Eng. – 1939. – Vol. 195. – P. 416–458.
33. Coupled crystal plasticity – Probabilistic cellular automata approach to model dynamic recrystallization in magnesiumalloys / E. Popova, Y. Staraselski, A. Brahme, R.K. Mishra, K. Inal // International Journal of Plasticity. – 2015. – No. 66. – P. 85–102.
34. Wu C., Yang H., Li H.-W. Simulated and experimental investigation on discontinuous dynamic recrystallization of a near-αTA15 titanium alloy during isothermal hot compression in β single-phase field // Trans. Nonferrous Met. Soc. China. – 2014. – Vol. 24. – P. 1819–1829.
35. Lipnitskii A.G., Nelasov I.V., Golosov E.V., Kolobov Yu.R., Maradudin D.N. A molecular-dynamics simulation of grain boundary diffusion of niobium and experimental investigation of its recrystallization in a niobium-copper system // Russian Physics Journal. – 2013. – Vol. 56. – No. 3. – P. 330–337.
36. Le K.C., Junker P.A. thermodynamically consistent model of static and dynamicrecrystallization // Arch. Appl. Mech. – 2014. – Vol. 84. – P. 1441–1451. DOI 10.1007/s00419-014-0850-1
37. An integrated fast Fourier transform-based phase-field and crystal plasticity approach to model recrystallization of three dimensional polycrystals / L. Chen, J. Chen, R.A. Lebensohn, Y.Z. Ji, T.W. Heo, S. Bhattacharyya, K. Chang, S. Mathaudhu, Z.K. Liu, L.-Q. Chen // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. – 2015. – Vol. 285. – P. 829–848.
38. Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. пролитехн. ун-та, 2013. – 244 с.
39. Fatemi-Varzaneh S.M., Zarei-Hanzaki A., Vaghar R. Discontinuous dynamic recrystallization during accumulative back extrusion of a magnesium alloy // Journal of ultrafine grained and nanostructured materials. – 2013. – Vol. 46. – No. 1. – P. 25–29.
40. Aust K.T., Rutter J.W. Recovery and recrystallization of metals. – New York: Wiley,
    1963. – 131 p.
41. Doherty R.D., Cahn R.W. Nucleation of new grains in recrystallization of cold-worked metals // Journal of the Less Common Metals. – 1972. – Vol. 28. – No. 2. – P. 279–296.
42. Burke J.E., Turnbull D. Recrystallization and grain growth // Progress in metal physics. – 1952. – Vol. 3. – P. 220–244.
43. Beck P.A. The formation of recrystallization nuclei // Journal of Applied Physics. – 1949. – Vol. 20. – No. 6. – P. 633–634.
44. Burgers W.G. Über das Auftreten einer orientierten Rekristallisation bei Aluminium // Zeitschrift für Physik. – 1930. – Vol. 59. – No. 9–10. – P. 651–655.
45. Cahn R.W. A new theory of recrystallization nuclei // Proc. phys. Soc. Lond. – 1950. –
    Vol. 63. – P. 323–336.
46. Cottrell A.H. Theory of dislocations // Progress in Metal Physics. – 1953. – Vol. 4. – P. 205–264.
47. Beck P. A., Sperry P.R. Strain induced grain boundary migration in high purity aluminum // Journal of Applied Physics. – 1950. – Vol. 21. – No. 2. – P. 150–152.
48. Bailey J.E., Hirsch P.B. The recrystallization process in some polycrystalline metals // Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. – The Royal Society, 1962. – Vol. 267. – No. 1328. – P. 11–30.
49. Bellier S.P., Doherty R.D. The structure of deformed aluminium and its recrystallization–investigations with transmission Kossel diffraction // Acta Metallurgica. – 1977. – Vol. 25. – No. 5. – P. 521–538.
50. Li J.C.M. Possibility of subgrain rotation during recrystallization // Journal of Applied Physics. – 1962. – Vol. 33. – No. 10. – P. 2958–2965.
51. Hu H. Recovery and Recrystallization // L. Himmel. Editor, Interscience. – New York, 1963. – P. 311.
52. Fujita H. Direct observation subgrain-growth of cold-worked aluminium by means of electron microscopy // Journal of the Physical Society of Japan. – 1961. – Vol. 16. – No. 3. – P. 397–406.
53. Turnbull D., Fisher J.C. Rate of nucleation in conceded systems // The Journal of chemical physics. – 1949. – Vol. 17 (1). – P. 71–73.
54. Burgers W.G. Schematic representation of nuclear growth in deformed metals // Physica. – 1942. – Vol. 9. – No. 10. – P. 987–995.
55. Sandee I.J. Forms of grain boundaries as may appear on primary recrystallization of deformed metals // Physica. – 1942. – Vol. 9. – No. 7. – P. 741–754.
56. Arkel A.E. van Gleiche Korngröße bei gleicher Verfestigung von verschiedenem Ausgangsgefüge Al // Z. Metallkde. – 1930. – Vol. 22. – P. 217–223.
57. Cahn R.W. Report of a Conference on Strength of Solids // The Physical Society, London, 1948. – P. 136.
58. Anderson W.A., Mehl R.F. Recrystallization of aluminum in terms of the rate of nucleation and the rate of growth // Trans. Aime. – 1945. – Vol. 161. – P. 140–172.
59. Davies P.W., Greenough A.P., Wilshire B. The ledge theory of recrystallization in polycrystalline metals // Philosophical Magazine. – 1961. – Vol. 6. – Iss. 66. – P. 795–799.
    DOI: 10.1080/14786436108238371
60. Ballmann W. Electron microscope observation on the recrystallization of nickel // J. Inst. Met. – 1959. – Vol. 87. – P. 439–445.
61. Liu Y.C., Hibbard W.R. Recrystallization textures of a cold-rolled aluminum single crystal // Trans. A.I.M.E. – l955. –Vol. 203. – P. 1249–1251.
62. Liu Y.C. Cube texture in copper // Trans. A.I.M.E. – l957. – Vol. 209. – P. 836–842.
63. Bailey J.E. Electron microscope observations on the annealing processes occurring in cold-worked silver // Philosophical Magazine – 1960. – Vol. 5. – Iss. 56. – P. 833–842. DOI: 10.1080/14786436008241221
64. Bailey J.E., Hirsch P.B. The dislocation distribution, flow stress, and stored energy in cold-worked polycrystalline silver // Philosophical Magazine. – 1960. – Vol. 5. – No. 53. – P. 485–497.
65. Burgers W.G., Louwerse P.C. Recrystallization of single aluminum crystals. III // Connection between deformation phenomena and recrystallization texture for aluminum. Z. Phys. – 1931. – Vol. 67. – P. 605–678.
66. Beck P. A., Sperry P. R., Hu H. The orientation dependence of the rate of grain boundary migration // Journal of Applied Physics. – 1950. – Vol. 21. – No. 5. – P. 420–425.
67. Drury M.R., Humphreys F.J. The development of microstructure in Al-5% Mg during high temperature deformation // Acta Metallurgica. – 1986. – Vol. 34. – No. 11. – P. 2259–2271.
68. McDonald D.T., Humphreys J.F., Bate P.S. Nucleation and texture development during dynamic recrystallization of copper // Trans Tech Publications. – 2005. – Vol. 495. – P. 1195–1200.
69. Dehghan H., Abbasi S.M., Momeni A., Taheri A.K. On the constitutive modeling and microstructural evolution of hot compressed A286 iron-base superalloy // Journal of Alloys and Compounds. – 2013. – Vol. 564. – P. 13–19.
70. Galiyev A., Kaibyshev R., Gottstein G. Correlation of plastic deformation and dynamic recrystallization in magnesium alloy ZK60 // Acta materialia. – 2001. – Vol. 49. – No. 7. – P. 1199–1207.

Многие сплошные на первый взгляд среды обладают многочисленными микропорами, которые содержат или не содержат жидкость. Эти поры гораздо меньше макроскопических размеров среды, но больше атомных или молекулярных размеров. Такие модели пористой среды, как модель грунта, широко применяются
в геофизике. Этой моделью объясняется распространение жидкости (нефть, вода) через грунты. Такой моделью пользуются и в биологии, в частности, при описании протекания жидкости через растения, например древесину. В последние годы созданы искусственные пористые материалы, которые широко применяются в быту,
в технике и других областях человеческой деятельности.

Внастоящей работе рассматривается распространение плоских продольных волн в пористой жидконасыщенной среде с полостями. Предполагается, что диссипацией энергии волны в среде можно пренебречь. Изучается поведение линейных волн в полостно-пористых средах. Как известно, в пористой среде (среде Био) могут распространяться две продольные волны: одна медленная и одна быстрая. В нашей задаче распространяются три продольные волны: две волны, как в среде Био, и одна волна за счет полостности среды. Если бы в среде не было ни пор, ни полостей, то распространялась бы одна быстрая волна.

Исследование поведения линейных волн проводится путем получения и анализа дисперсионного уравнения, фазовой скорости и групповой скорости, характеризующей перенос энергии волны. Для определения степени выраженности дисперсии рассматривается плотность спектра частот.В работе построены и проанализированы дисперсионные зависимости для рассматриваемой системы. Найдены области сильной и слабой дисперсии, области нормальной и аномальной дисперсии при конкретных значениях параметров системы.

Ключевые слова: линейная волна, продольная волна, упругая волна, пористая среда, двухфазная среда (среда Био), полости, дисперсионное соотношение, фазовая скорость, групповая скорость.

Айзикович Сергей Михайлович – доктор физико-математических наук, профессор,e-mail:saizikovich@gmail.com

Ерофеев Владимир Иванович – доктор физико-математических наук, профессор,e-mail:erof.vi@yandex.ru

Леонтьева Анна Викторовна – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail:aleonav@mail.ru

1. Biot M.A. General theory of three-dimentional consolidation // J. Appl. Phys. – 1941. – Vol. 12. – No. 1. – P. 155–164.
2. Biot M.A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid // J. Appl. Phys. – 1955. – Vol. 26. – No. 1. – P. 182–185.
3. Biot M.A. General solution of the equations of elastisity and consolidation for a porous materials // Trans. ASME: J. Appl. Mech. – 1956. – Vol. 23. – No. 1. – P. 91–96.
4. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid – saturated solid // J. Acoust. Soc. Amer. – 1956. – Vol. 28. – No. 2. – P. 168–191.
5. Biot M.A., Willis D.G. The elastic coefficient of theory consolidation // Trans. ASME: J. Appl. Mech. – 1957. – Vol. 24. – No. 3. – P. 594–601.
6. Biot M.A. Mechanics of deformation and acoustical propagation in porous media // J. Appl. Phys. – 1962. – Vol. 33. – No. 10. – P. 1482–1498.
7. Biot M.A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media // J. Acoust. Soc. Amer. – 1962. – Vol. 34. – No. 1. – P. 1254–1264.
8. Biot M.A. Variational langrangian thermodynamics of nonisotermal fin the strain mechanics of porous solid and thermomolecular diffusion // Int. J. Solids and Struct. – 1977. – Vol. 13. – No. 6. – P. 579–597.
9. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АНСССР. Серия географическая и геофизическая. – 1944. – Т.8, № 4. – С. 133–149.
10. Косачевский Л.Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах // Прикладная математика и механика. – 1959. – Т. 23, № 6. – С. 1115–1123.
11. Механика пористых насыщенных сред / В.Н. Николаевский, А.Т. Басниев, А.Т. Горбунов, Г.А. Зотов. – М.: Недра, 1970. – 335 с.
12. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. – М.: Наука, 1978. – 336 с.
13. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика с применением к проблемам газовых и нефтяных пластов. – М.: Недра, 1996. – 477 с.
14. Coussy O. Poromechanics. – Wiley, 2004. – 312 p.
15. Coussy O. Mechanics and Physics of Porous Solids. – Wiley, 2010. – 282 p.
16. Leclario F., Cohen-Tenou djv, Aguirre Puente Y. Extension of Boit’s theory of waves propagation to frozen porous media // J. Acoust. Soc. Amer. – 1994. – Vol. 96. – No. 6. – P. 3753–3768.
17. Быков В.Г. Сейсмические волны в пористых насыщенных породах. – Владивосток: Дальнаука, 1999. – 108 с.
18. Schanz M. Wave Propagation in Viscoelastic and Poroelastic Continua: A Boundary Element Approach. – Berlin: Springer, 2001. – 170 p.
19. Марков М.Г. Распространение волны Релея вдоль границы пористой среды, насыщенной неньютоновской жидкостью // Акустический журнал. – 2005. – Т. 52, № 4. – С. 1–7.
20. Марков М.Г. Распространение упругих продольных волн в насыщенной пористой среде со сферическими неоднородностями // Акустический журнал. – 2005. – Т. 52. Приложение. – С. 132–139.
21. Хоа Н.Н., Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных поверхностных кинематических возмущений в упругопористой полуплоскости // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2011. – Т. 17, № 4. – С. 567–576.
22. Численное моделирование динамики составного пороупругого тела / Л.А. Игумнов, С.Ю. Литвинчук, Д.В. Тарлаковский, Н.А. Локтева // Проблемы прочности и пластичности. – 2013. – Т. 75, № 2. – С. 130–136.
23. Гранично-элементный анализ волн на упругом, пористом и вязкоупругом полупространствах / Л.А. Игумнов, А.С. Оконечников, Д.В. Тарлаковский, А.А. Белов // Проблемы прочности и пластичности. – 2013. – Т. 75, № 2. – С. 145–151.
24. Данг К.З., Тарлаковский Д.В. Действие на границу упругопористого полупространства с касательной диафрагмой нестационарной нормальной осесимметричной нагрузки // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2014. – Т. 20, № 1. – С. 148–158.
25. Численно-аналитическое исследование динамики вязких пористо-упругих тел / Л.А. Игумнов, А.В. Аменицкий, А.А. Белов, С.Ю. Литвинчук, А.Н. Петров // Прикладная механика и техническая физика. – 2014. – Т. 55, № 1. – С. 108–114.
26. Poromechanics – A Tribute to Maurice A. Biot, Proceedings, Biot Conference on Poromechanics / J.-F. Thimus, Y. Abousleiman, A.H.-D. Cheng, O. Coussy, E. Detournay; eds. A.A. Balkema. – Rotterdam: Brookfield, 1998. – 648 p.
27. Poromechanics II / J.-L. Auriault, C. Geindrean, P. Royer, J.-F. Bloch, C. Boutin, L. Lewandovska; eds. A.A. Balkema. – Rotterdam: Brookfield, 2002. – 955 p.
28. Abousleiman Y.N., Cheng A.H.-D., Ulm F.-J. Poromechanics III / eds. A.A. Balkema. – Leidon, London, New York, Phyladelphia, Singapore, 2005. – 828 p.
29. Poromechanics IV / eds. Ling H.I., Smyth A., Betti R. – DEStech Publications. Inc., PA, USA, 2009. – 1151 p.
30. Poromechanics V / eds. Hellmich C., Pichler B., Adam D. – ASCE, 2013 (CD).
31. Bagdoev A.G., Erofeyev V., Shekoyan A.V. Wave Dynamics of Generalized Continua. – Springer, 2016. – 274 p.
32. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. – М.: Наука, 1984. – 432 с.

Рассмотрен ряд известных феноменологических моделей, которые применяются для описания разнообразных по природе гистерезисных эффектов. В этом случае система рассматривается как «черный ящик» с известными из эксперимента значениями входных и выходных параметров. Взаимосвязи между ними устанавливаются на основе математических зависимостей, параметры которых идентифицируются с использованием экспериментальных данных.

Среди феноменологических моделей отмечаются модель Бук-Вена и её аналоги, которые успешно применяются в различных научно-технических областях благодаря возможности аналитического описания разнообразных по форме гистерезисных петель нестационарных процессов. Сформулированы условия, которым должна удовлетворять модель Бук-Вена. Основными являются адекватность математической модели физическому процессу и её устойчивость.

Для описания гистерезиса предлагается модель, в соответствии с которой силовые и кинематические параметры связываются специальным дифференциальным уравнением первого порядка. В отличие от модели Бук–Вена правая часть этого уравнения подбирается в виде полинома от двух переменных, определяющих траекторию гистерезиса на диаграмме процесса. Указывается, что такое представление обеспечивает асимптотическое приближение решения к кривым объемлющего (включающего) гистерезисного цикла. Этот цикл образуется кривыми прямого и обратного процессов (процессов «нагрузки-разгрузки»), которые строятся по экспериментальным данным для максимально возможных или допустимых интервалов изменения параметров в условиях установившегося процесса. Коэффициенты в правой части определяются по экспериментальным данным для объемлющего гистерезисного цикла в условиях установившихся колебаний. Для этого строится аппроксимация кривых объемлющего цикла с использованием методов минимизации невязки аналитического представления к множеству экспериментальных точек. Предлагаемый метод позволяет одним дифференциальным уравнением описать траекторию гистерезиса с произвольной точкой старта внутри области объемлющего цикла.

Ключевые слова: гистерезис, модели диссипации, модели трения, феноменологические модели, модель Бук-Вена, идентификация параметров.

Данилин Александр Николаевич – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: andanilin@yandex.ru

Кузнецова Елена Львовна – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: vida_ku@mail.ru

Курдюмов Николай Николаевич – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: nick.n.kurdyumov@gmail.com

Рабинский Лев Наумович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: f9_dec@mai.ru

Тарасов Сергей Сергеевич – кандидат технических наук, инженер, e-mail: f9_dec@mai.ru

1. Мayergoyz I.D. Mathematical models of hysteresis and their applications: 2nd edn. (Electromagnetism). – Amsterdam: Elsevier, Academic Press, 2003. – 498 p.

2. Bertotti G. Hysteresis in magnetism: for physicists, materials scientists, and engineers, Part 2. – Boston: Elsevier, Academic Press, 1998. – 558 p.

3. Rieger M.O. Young measure solutions for nonconvex elastodynamics // SIAM Journal on Mathematical Analysis. – 2003. – Vol. 34. – No. 6. – P. 1380–1398. DOI: 10.1137/S0036141001392141

4. Rieger M.O. A model for hysteresis in mechanics using local minimizers of Young measures // Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. – 2005. – Vol. 63. – P. 403–414. DOI 10.1007/3-7643-7384-9_39

5. Mielke A. Analysis of energetic models for rate-independent materials // Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Beijing, China. – 2002. – Vol. 3. – P. 817–828.

6. Mielke A., Roubícek T. A rate-independent model for inelastic behavior of shape-memory
alloys // Multiscale Modeling and Simulation. – 2003. – Vol. 1. – No. 4. – P. 571–597. DOI:10.1137/S1540345903422860

7. Мишустин И.В., Мовчан А.А. Моделирование фазовых и структурных превращений в сплавах с памятью формы, происходящих под действием немонотонно меняющихся напряжений // Известия РАН. МТТ. – 2014. – № 1. – С. 37–53.

8. Мишустин И.В., Мовчан А.А. Аналог теории пластического течения для описания деформации мартенситной неупругости в сплавах с памятью формы // Известия РАН. МТТ. – 2015. – № 2. – С. 78–95.

9. The investigation on the nonlinearity of plasticine-like magnetorheological material under oscillatory shear rheometry / X. Gong, Ya. Xu, S. Xuan, C. Guo, L. Zong // Journal of Rheology. –
2012. – Vol. 56. – No. 6. – P. 1375–1391.

10.  Large amplitude oscillatory shear rheology for nonlinear viscoelasticity in hectorite suspensions containing poly(ethylene glycol) / Z. Tong, W.X. Sun, Y.R. Yang, T. Wang, X.X. Liu, C.Y. Wang // Polymer. – 2011. – Vol. 52. – No. 6. – P. 1402–1409.

11.  Danilin A.N., Yanovsky Yu.G., Semenov N.A., Shalashilin A.D. Kinematic model of the rheological behavior of non-Newtonian fluids in conditions of nonstationary cyclic loading // Composites: Mechanics, Computations, Applications: An International Journal. – 2012. – Vol. 3. –
No. 4. – P. 1–15.

12. Visintin A. Differential Models of hysteresis (Applied Mathematical Sciences). – Berlin: Springer, 1994. – 418 p.

13. Nová I., Zemánek I. Аnalytical model with flexible parameters for dynamic hysteresis loops modeling //Journal of Electrical Engineering. – 2010. – Vol. 61. – No. 7. – P. 46–49.

14. Danilin A.N., Shalashilin V.I. A method to identify hysteresis by an example of an antigalloping device // International Applied Mechanics. – 2010. – Vol.46. – No. 5. – P. 588–595.

15. Preisach F. Über die magnetische Nachwirkung // Zeitschrift für Physik. – 1935. – P. 277–302.

16. Preisach modeling of magnetization changes in steel / S.F.H. Parker, C.A. Faunce, P.J. Grundy, M.G. Maylin, J.L.C. Ludlow, R. Lane // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. – 1995. – Vol. 145. – P. 51–56.

17. Torre E.D. A Preisach model for accommodation // IEEE Transactions on Magnetics. – 1994. – Vol. 30. – No. 5. – P. 2701–2707.

18. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. – М.: Наука, 1983. – 271 с.

19. Smith R.Smart material systems: model development. – Philadelphia: SIAM, 2005. – 525 p.

20. Leenen R. The modeling and identification of an hysteretic system. The wire-rope as a nonlinear shock vibration isolator // Eindhoven University of Technology: Dept. Mechanical Engineering. – DCT 2002.72, 2002.

21. Rosensweig R.E.Ferrohydrodynamics. – New York: Dover Publications, Inc., 2014. – 348 p.

22. Berkovski B., Bashtovoy V. Magnetic Fluids and Applications. – New York: Begell House Inc. Publishers, 1996. – 350 p.

23. Bouc R. Forced vibrations of a mechanical system with hysteresis // Proceedings of the Fourth Conference on Nonlinear Oscillations, Prague, Czechoslovakia, 1967. – P. 315–321.

24. Bouc R. Modèle mathématique d’hystérésis (A mathematical model for hysteresis) // Acustica. – 1971. – Vol. 21. – P. 16–25.

25. Wen Y.K. Method for random vibration of hysteretic systems // Journal of the Engineering Mechanics Division. – 1976. – Vol. 102 (EM2). – P. 246–263.

26. Wen Y.K. Equivalent linearization for hysteretic systems under random excitation // Journal of Applied Mechanics. – 1980. – Vol. 47. – P. 150–154.

27. Development of adaptive modeling techniques for non-linear hysteretic systems / A.W. Smyth, S.F. Masri, E.B. Kosmatopoulos, A.G. Chassiakos, T.K. Caughey // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2002. – Vol. 37. – P. 1435–1451.

28. Low T., Guo W. Modelling of a three-layer piezoelectric bimorph beam with hysteresis // IEEE Journal of Microelectromechanical Systems. – 1995. – Vol. 4. – No. 4. – P. 230–237.

29. Yoshioka H., Ramallo J.C., Spencer Jr. B.F. “Smart” base isolation strategies employing magnetorheological dampers // Journal of Engineering Mechanics. – 2002. – Vol. 128. – No. 5. – P. 540–551.

30. Foliente G.C. Hysteresis modelling of wood joints and structural systems // ASCE Journal of Structural Engineering. – 1995. – Vol. 121. – No. 6. – P. 1013–1022.

31. Nagarajaiah S., Xiaohong S. Response of base-isolated USC hospital building in Northridge earthquake // ASCE Journal of Structural Engineering. – 2000. – Vol. 126. – No. 10. – P. 1177–1186.

32. Ismail M., Ikhouane F., Rodellar J. The hysteresis Bouc-Wen model, a survey // Archives of Computational Methods in Engineering. – 2009. – Vol. 16. – P. 161–188.

33. Ikhouane F., Mañosa V., Rodellar J. Dynamic properties of the hysteretic Bouc-Wen model // Systems & Control Letters. – 2007. – Vol. 56. – P. 197–205.

34. Ikhouane F., Rodellar J. On the hysteretic Bouc-Wen model // Nonlinear Dynamics. – 2005. – Vol. 42. – P. 63–78.

35. Данилин А.Н., Кузнецова Е.Л., Рабинский Л.Н. Модель гистерезиса энергорассеяния при колебаниях механических систем // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 4. – С. 45–67.

36. Danilin A.N., Vinogradov A.A., Lilien J.-L. Kinematic model for hysteretic dissipation of vibration energy for Torsional Damper and Detuner // Proceedings of 7^th International Symposium on Cable Dynamics. Vienna (Austria), 10–13 December 2007. – 2007. – P. 247–253.

37. Виноградов А.А., Данилин А.Н., Рабинский Л.Н. Деформирование многослойных проволочных конструкций спирального типа. Математическое моделирование, примеры использования / под ред. А.Н. Данилина. – М.: Изд-во Моск. авиац. ин-та, 2014. – 168 с.

Разработана методика численной обработки опытной виброграммы затухающих изгибных колебаний тест-образца для определения экспериментальной низшей частоты
и амплитудной зависимости логарифмического декремента колебаний (ЛДК), определяющего демпфирующие свойства тест-образца. Для определения ЛДК используется экспериментальная огибающая затухающих изгибных колебаний свободного конца тест-образца с аппроксимацией ее суммой двух экспонент с четырьмя независимыми параметрами, определяемыми прямым поиском минимума целевой функции, зависящей от указанных параметров. Проведены численные эксперименты, подтверждающие достоверность разработанной методики. Показано, что для надежного определения экспериментальной аэродинамической составляющей демпфирования тест-образца ромбовидного сечения необходимо, чтобы его материал имел стабильные и низкие демпфирующие свойства. Таким требованиям в полной мере удовлетворяет дюралюминий. Построена матрица демпфирования конечно-элементной модели тест-образца произвольного поперечного сечения при амплитудно-независимом внутреннем трении в материале. Получен параметр внутреннего демпфирования тест-образца, обусловленный демпфирующими свойствами материала. Определена экспериментальная аэродинамическая составляющая демпфирования серии тест-образцов ромбовидного сечения.

Отмечена частотная зависимость модуля упругости дюралюминия марки Д16АТ. Разработан итерационный алгоритм определения низшей частоты колебаний тест-образца с учетом частотной зависимости модуля упругости. Проведены численные эксперименты на образцах ромбовидного сечения, подтверждающие достоверность разработанного алгоритма. Разработан теоретико-экспериментальный метод построения структурной формулы для расчетного определения аэродинамической составляющей демпфирования тест-образца ромбовидного сечения, основанный на модификации базовой формулы для тонкой пластины постоянной толщины и использовании экспериментальных данных о демпфирующих свойствах серии тест-образцов с указанной формой поперечного сечения. Проведены численные эксперименты, подтверждающие достоверность полученной структурной формулы.

Ключевые слова: логарифмический декремент колебаний, параметр внутреннего демпфирования, динамический модуль упругости, конечный элемент, целевая функция, прямой поиск.

Паймушин Виталий Николаевич – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: vpajmushin@mail.ru

Фирсов Вячеслав Анатольевич – доктор технических наук, профессор, e-mail: vafirsov_49@mail.ru

Гюнал Ибрахим – кандидат технических наук, доцент, e-mail: ibrahimgunal@gmail.com

Шишкин Виктор Михайлович – доктор технических наук, профессор, e-mail: tism1@rambler.ru

1. Theoretical-Experimental Method for Determining the Parameters of Damping Based on the Study of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens. 1. Experimental Basis / V.N. Paimushin, V.A. Firsov, I. Gunal, A.G. Egorov // Mechanics of Composite Materials. – 2014. – Vol. 50. – No. 2. – P. 127–136.
2. Identification of the elasticity and damping characteristics of a fiberglass based on a study of dying flexural vibrations of test samples / V.N. Paimushin, V.A. Firsov, I. Gyunal, V.M. Shishkin // Mechanics of Composite Materials. – 2015. – Vol. 51. – No. 3. – P. 285–300.
3. Development of an improved technique for identification of the damping properties of orthogonally reinforced composites in shear / V.N. Paimushin, V.A. Firsov, I. Gynal, V.M. Shishkin // Mechanics of Composite Materials. – 2016. – Vol. 52. – No. 2. – P. 133–142.
4. Identification of the Elastic and Damping Characteristics of Soft Materials Based on the Analysis of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens / V.N. Paimushin, V.A. Firsov, I. Gynal, V.M. Shishkin // Mechanics of Composite Materials. – 2016. – Vol. 52. – No. 4. – P. 435–454.
5. Sader J.E. Frequency response of cantilever beams immersed in viscous fluids with applications to the atomic force microscope // Journal of Applied Physics. – 1998. – Vol. 84 (1). – P. 64–76.
6. Kirstein S., Mertesdorf M., Schoenhoff M. The influence of a viscous fluid on the vibration dynamics of scanning near-field optical microscopy fiber probes and atomic force microscopy cantilevers // Journal of Applied Physics. – 1998. – Vol. 84 (4). – P. 1782–1790.
7. Hosaka H., Itao K., Kuroda S. Damping characteristics of beam-shaped micro-oscillators // Sensors and Actuators A: Physical. – 1995. – Vol. 49 (1–2). – P. 87–95.
8. Kimber M., Garimella S.V., Raman A. Local heat transfer coefficients induced by piezoelectrically actuated vibrating cantilevers // Transactions of the ASME Journal of Heat Transfer. – 2007. – Vol. 129 (9). – P. 1168–1176.
9. Kimber M., Lonergan R., Garimella S.V. Experimental study of aerodynamic damping in arrays of vibrating cantilevers // Journal of Fluids and Structures. – 2009. – Vol. 5 (8). – P. 1334–1347.
10. Shyy W., Berg M., Ljungqvist D. Flapping and flexible wings for biological and micro air vehicles // Progress in Aerospace Sciences. –1999. – Vol. 35 (5). – P. 455–505.
11. Chen Z., Shatara S., Tan X. Modeling of biomimetic robotic fish propelled by an ionic polymer-metal composite caudal fin // IEEE/ASME Transactions on Mechatronics. – 2010. – Vol. 13 (5). – P. 519–529.
12. Aureli M., Kopman V., Porfiri M. Free-locomotion of underwater vehicles actuated by ionic polymer metal composites // IEEE/ASME Transactions on Mechatronics. – 2010. – Vol. 15 (4). – P. 603–614.
13. Микишев Г.Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. – М.: Машиностроение. – 1978. – 247 с.
14. Aureli M., Basaran M.E., Porfiri M. Nonlinear finite amplitude vibrations of sharp-edged beams in viscous fluids // Journal of Sound and Vibration. – 2012. – Vol. 331. – P. 1624–1654.
15. Sarpkaya T. Force on a circular cylinder in viscous oscillatory flow at low Keulegan–Carpenter numbers // Journal of Fluid Mechanics. – 1986. – Vol. 165. – P. 61–71.
16. Theoretical-Experimental Method of Determining the Drag Coefficient of a Harmonically Oscillating Thin Plate / A.G. Egorov, A.M. Kamalutdinov, V.N. Paimushin, V.A. Firsov // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. – 2016. – Vol. 57. – No. 2. – P. 275–282. DOI: 10.1134/S0021894416020103
17. Adams R.D. The damping characteristics of certain steels, cast irons and other metals // Journal of Sound and Vibration. – 1972. – Vol. 23. – No. 2. – P. 199–216.
18. Theoretical-Experimental Method for Determining the Parameters of Damping Based on the Study of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens. 2. Aerodynamic Component of Damping / A.G. Egorov, A.M. Kamalutdinov, A.N. Nuriev, V.N. Paimushin // Mechanics of Composite Materials. – 2014. – Vol. 50. – No. 3. – P. 267–278.
19. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: практ. руководство: пер. с англ. – М.: Мир, 1982. – 238 с.
20. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. – М.: Физматгиз, 1960. – 193 с.
21. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала. – Киев: Наукова думка, 1970. – 377 с.
22. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. – М.: Госстройиздат, 1960. – 129 с.
23. Давиденков Н.Н. О рассеянии энергии при вибрациях // Журнал технической физики. – 1938. – Т. 8, Вып. 6. – С. 483–499.
24. Хильчевский В.В., Дубенец В.Г. Рассеяние энергии при колебаниях тонкостенных элементов конструкций. – Киев: Вища школа, 1977. – 252 с.
25. Пальмов В.А. Колебания упругопластических тел. – М.: Наука, 1976. – 328 с.
26. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: пер. с англ. – М.: Мир, 1975. – 541 с.
27. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: пер. с англ. – М.: Мир, 1979. – 392 с.
28. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений: пер. с англ. – М.: Стройиздат, 1979. – 320 с.
29. Кандидов В.П., Чесноков С.С., Выслоух В.А. Метод конечных элементов в задачах динамики. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980. – 165 с.
30. Постников В.С. Внутреннее трение в металлах. – М.: Металлургия, 1969. – 330 с.
31. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. – М.: Высш. шк., 1985. – 392 с.
32. Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использование MatLab. –
    3-е изд. – М.: Вильямс, 2001. – 720 с.
33. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы: пер. с англ. – М.: Мир, 1983. – 384 с.

34. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов: пер. с англ. – М.: Стройиздат, 1982. – 447 с.

Работа посвящена изучению зависимости прочности флюидонасыщенных проницаемых хрупких материалов от скорости деформирования. Исследование проведено путем численного моделирования методом гибридных клеточных автоматов с применением связанной модели, учитывающей взаимосвязь процессов деформирования твердофазного каркаса, изменения порового давления и фильтрации флюида. Установлено, что влияние порового флюида на прочность материала определяется конкуренцией процессов изменения порового давления флюида (вследствие объемной деформации твердофазного каркаса) и фильтрации. Путем параметрического анализа получены комбинации физико-механических характеристик твердофазного каркаса и флюида и линейных размеров образцов, однозначно определяющие связь величины прочности деформируемого флюидонасыщенного образца со скоростью деформирования. На примерах испытаний на одноосное сжатие и стесненный сдвиг показано, что характер и степень влияния фильтрации флюида на величину прочности образца определяются знаком и величиной изменения порового объема в процессе деформирования. При нагружении, сопровождающемся уменьшением объема фильтрационного пространства и ростом порового давления, перераспределение флюида способствует снижению локальных максимумов порового давления и тем самым обеспечивает увеличение прочности образцов. В условиях нагружения, обусловливающих увеличение объема фильтрационного пространства и падение порового давления, фильтрация способствует поддержанию давления флюида и тем самым снижает прочность образцов. По результатам моделирования построены обобщающие зависимости прочности образцов хрупких материалов от скорости нагружения, механических свойств жидкости и вмещающего каркаса и размеров образца, имеющие логистический характер. Приведенные результаты демонстрируют, что нестационарный характер связанных процессов деформирования и фильтрации определяет существенные изменения величины прочности образцов проницаемых материалов даже в области малых скоростей деформации.

Ключевые слова: трещиновато-пористая среда, проницаемость, флюид, численное моделирование, метод гибридных клеточных автоматов, поровое давление, фильтрация, дилатансия, разрушение, прочность.

Димаки Андрей Викторович – кандидат технических наук, научный сотрудник, e-mail: dav@ispms.tsc.ru

Шилько Евгений Викторович – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: shilko@ispms.tsc.ru

Астафуров Сергей Владимирович – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: svastafurov@gmail.com

Псахье Сергей Григорьевич – член-корреспондент РАН, e-mail: sp@ispms.tsc.ru

1. Biot M.A. General Theory of Three-Dimensional Consolidation // J. Appl. Phys. – 1941. – Vol. 12. – P. 155–164.
2. Biot M.A. The Elastic Coefficients of the Theory of Consolidation // J. Appl. Mech. – 1957. – Vol. 24. – P. 594–601.
3. Detournay E., Cheng A.H.-D. Fundamentals of poroelasticity. Chapter 5 in Comprehensive Rock Engineering: Principles, Practice and Projects. Vol. II. Analysis and Design Method / ed. C. Fairhurst. – Pergamon Press, 1993. – P. 113–171.
4. Mesri G., Jones R.A., Adachi K. Annual report on influence of pore water pressure on the engineering properties of rock. – Urbana, Illinoise: University of Illinoise, 1972. – 102 p.
5. Bishop A.V., Skinner A.E. The influence of high pore-water pressure on the strength of cohesionless soils // Philos. Trans. A Math. Phys. Eng. Sci. – 1975. – Vol. 284. – P. 91–130.
6. Ставрогин, А.Н., Тарасов Б.Г. Экспериментальная физика и механика горных пород. – СПб.: Наука, 2001. – 343 с.
7. Lyakhovsky V., Hamiel Y. Damage evolution and fluid flow in poroelastic rock // Физика Земли. – 2007. – № 1. – С. 16–25.
8. Paterson M.S., Wong T.-f. Experimental rock deformation – the brittle field. – Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2005. – 347 p.
9. Jaeger J.C., Cook N.G.W., Zimmerman R.W. Fundamentals of rock mechanics. – Backwell Publishing, 2007. – 475 p.
10. Левин Б.В., Родкин М.В., Сасорова Е.В. Особенности сейсмического режима литосферы – проявления воздействия глубинного водного флюида // Физика Земли. – 2010. – № 5. – С. 88–96.
11. Bidgoli M.N., Jing L. Water pressure effects on strength and deformability of fractured rocks under low confining pressures // Rock Mech. Rock. Eng. – 2014. – Vol. 48. – P. 971–985.
12. Makhnenko R.Y., Labuz J.F. Dilatant hardening of fluid-saturated sandstone // J. Geophys. Res. Solid Earth. – 2015. – Vol. 120. – P. 909–922.
13. Hickman S., Sibson R., Bruhn R. Introduction to special section: mechanical involvement of fluids in faulting // J. Geophys. Res. Solid Earth. – 1995. – Vol. 100. – P. 12831–12840.
14. Киссин И.Г. Флюиды в земной коре: геофизические и тектонические аспекты. – М: URSS, 2009. – 328 с.
15. Wong T.-f., Baud P. The brittle-ductile transition: a review // J. Struct. Geol. – 2012. –
    Vol. 44. – P. 25–53.
16. Lyakhovsky V., Ben-Zion Y. Damage-breakage rheology model and solid-granular transition near brittle instability // J. Mech. Phys. Solids. – 2014. – Vol. 64. – P. 184–197.
17. Deformation bands in porous carbonate grainstones: field and laboratory observations / A. Cilona [et al.] // J. Struct. Geol. – 2012. – Vol. 45. – P. 137–157.
18. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Модель хрупкого разрушения пористых материалов при сжатии // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2009. – № 17. – С. 47–57.
19. Стефанов Ю.П. Моделирование поведения консолидированных и высокопористых геологических сред в условиях сжатия // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2007. – № 15. – С. 156–169.
20. Brace W.F., Martin R.J. A test of the law of effective stress for crystalline rocks of low porosity // Int J. Rock Mech. Min. Sci. – 1968. – Vol. 5. – P. 415–426.
21. Rice J.R. On the stability of dilatant hardening for saturated rock masses // J. Geophys. Res. – 1975. – Vol. 80. – P. 1531–1536.
22. Coussy O. Poromechanics. – John Wiley & Sons, 2004. – 312 p.
23. Casagrande A. Shannon W.L. Strength of Soil under Dynamic Loading // Proc. Am. Soc. Civil Eng. – 1948. – Vol. 74. – P. 591–632.
24. Seed H.B., Lundgren R. Investigation of the Effect of Transient Loading on the Strength and Deformation Characteristics of Saturated Sands // Proc. Am. Soc. Test. Mater. – 1954. – Vol. 54. – P. 1288–1306.
25. Segall P., Rice J.R. Dilatancy, compaction and slip instability of a fluid-infiltrated fault // J. Geophys. Res. Solid Earth. – 1995. – Vol. 100. – P. 22155–22171.
26. Garagash D.I., Rudnicki J.W. Shear heating of a fluid-saturated slip-weakening dilatant fault zone: 2. Quasi-drained regime // J. Geophys. Res. Solid Earth. – 2003. – Vol. 108. – No. B10. – P. 2472.
27. Samuelson J.E. Laboratory measurement of shear induced fault zone dilatancy, and numerical estimation of its influence on friction constitutive parameters in quasi-undrained scenarios. Ph.D. thesis. – The Pennsylvania State University, 2010. – 205 p.
28. Carmeliet J., Van Den Abeele K.E.A. Application of the Preisach-Mayergoyz Space Model to Analyze Moisture Effects on the Nonlinear Elastic Response of Rock // Geophys. Res. Lett. – 2002. – Vol. 29. – P. 1144–1148.
29. Influence of Water Saturation on the Nonlinear Elastic Mesoscopic Response in Earth Materials and the Implications to the Mechanism of Nonlinearity / K.E.A. Van Den Abeele [et al.] // J. Geophys. Res. Solid Earth. – 2002. – Vol. 107. – P. 1029–1039.
30. Yamamura J.A., Lade P.V. Effects of Stain Rate on Instability of Granular Soils // Geotech. Test. J. – 1993. – Vol. 16. – P. 304–313.
31. Watanabe K., Kusakabe O. Reappraisal of Loading Rate Effects on Sand Behavior in View of Seismic Design for Pile Foundation // Soils and Foundations. – 2013. – Vol. 53. – P. 215–231.
32. Two models for earthquake forerunners / V.I. Mjachkin [et al.] // Pure Appl. Geophys. – 1975. – Vol. 113. – P. 169–181.
33. The dilatancy-diffusion hypothesis and earthquake predictability / I.G. Main [et al.] // Geological Society, London, Special Publications. – 2012. – Vol. 367. – P. 215–230.
34. Sibson R.H. Implication of Fault-Valve Behavior for Rupture Nucleation and Recurrence // Tectonophysics. – 1992. – Vol. 211. – P. 283–293.
35. Vernik L., Nur A. Petrophysical Analysis of the Cajon Pass Scientific Well: Implications for Fluid Flow and Seismic Studies in the Continental Crust // J. Geophys. Res. – 1992. – Vol. 97. – P. 5121–5134.
36. Ougier-Simonin A., Zhu W. Effect of pore pressure buildup on slowness of rupture propagation // J. Geophys. Res. Solid Earth. – 2015. – Vol. 120. – P. 7966–7985.
37. Byerlee J. Friction, Overpressure and Fault Normal Compression // Geophys. Res. Lett. – 1990. – Vol. 17. – P. 2109–2112.
38. Garagash D.I., Rudnicki J.W. Shear heating of a fluid-saturated slip-weakening dilatant fault zone: 1. Limiting regimes // J. Geophys. Res. Solid Earth. – 2003. – Vol. 108. – No. B2. – P. 2121.
39. Ougier-Simonin A., Zhu W. Effects of pore fluid pressure on slip behaviors: an experimental studies // Geophys. Res. Lett. – 2013. – Vol. 40. – P. 1–6.
40. Развитие подхода к моделированию деформирования и разрушения иерархически организованных гетерогенных, в том числе контрастных сред / С.Г. Псахье [и др.] // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, № 3. – С. 27–54.
41. Развитие формализма метода частиц для моделирования отклика флюидонасыщенных пористых геологических материалов / А.В. Димаки [и др.] // Изв. Том. гос. ун-та. – 2014. – Т. 324, № 1. – С. 102–111.
42. Связанная модель флюидонасыщенных пористых материалов, основанная на совмещении дискретного и континуального подходов / А.В. Димаки [и др.] // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 4. – С. 68–101.
43. A coupled discrete element-finite difference approach for modeling mechanical response of fluid-saturated porous material / S.G. Psakhie [et al.] // Int. J. Numer. Meth. Eng. – 2016. – Vol. 106. – P. 623–643.
44. Mustoe G.G.W. A generalized formulation of the discrete element method // Eng. Computation. – 1992. – Vol. 9. – P. 181–190.
45. Jing L., Stephansson O. Fundamentals of discrete element method for rock engineering: theory and applications. – Elsevier, 2007. – 562 p.
46. Tavarez F.A., Plesha M.E. Discrete element method for modelling solid and particulate materials // Int. J. Numer. Meth. Eng. – 2007. – Vol. 70. – P. 379–404.
47. Potyondy D.O., Cundall P.A. A bonded-particle model for rock // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. – 2004. – Vol. 41. – P. 1329–1364.
48. Bićanić N. Discrete element methods // Encyclopedia of computational mechanics / eds.
    E. Stein, R. Borst, T.J.R. Hughes. Vol. 1: Fundamentals. – Chichester: Wiley, 2004. – P. 311–371.
49. Development of a formalism of movable cellular automaton method for numerical modeling of fracture of heterogeneous elastic-plastic materials / S. Psakhie [et al.] // Fracture and Structural Integrity. – 2013. – Vol. 24. – P. 59–91.
50. A mathematical model of particle–particle interaction for discrete element based modeling of deformation and fracture of heterogeneous elastic–plastic materials / S.G. Psakhie [et al.] // Engng. Fract. Mech. – 2014. – Vol. 130. – P. 96–115.
51. Overcoming the limitations of distinct element method for multiscale modeling of materials with multimodal internal structure / E.V. Shilko [et al.] // Comp. Mater. Sci. – 2015. – Vol. 102. – P. 267–285.
52. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. – М.: Недра, 1993. – 416 с.
53. Стефанов Ю.П. Локализация деформации и разрушение в геоматериалах. Численное моделирование // Физическая мезомеханика. – 2002. – Т. 5, № 5. – С. 107–118.
54. Нелинейная механика геоматериалов и геосред / П.В. Макаров [и др.] / отв. ред. Л.Б. Зуев. – Новосибирск: Гео, – 2007. – 235 с.
55. Robin P.Y.F. Note on Effective Pressure // J. Geophys. Res. – 1973. – Vol. 78. – P. 2434–2437.
56. Yamaji A. An Introduction to Tectonophysics: Theoretical Aspects of Structural Geology. – Tokyo: TERRAPUB, 2007. – 386 p.
57. Permeability of Wilcox shale and its effective pressure law / O. Kwon [et al.] // J. Geophys. Res. – 2001. – Vol. 106. – P. 19339–19353.
58. Alam M.M., Fabricius I.L., Christensen H.F. Static and dynamic effective stress coefficient of chalk // Geophysics. – 2012. – Vol. 77. – P. L1–L11.
59. Modeling of the Bacterial Growth Curve / M.H. Zwietering [et al.] // Appl. Environ. Microb. – 1990. – Vol. 56. – No. 6. – P. 1875–1881.
60. О влиянии динамических возмущений напряженного состояния на процесс накопления необратимых деформаций на границах раздела в блочных средах / Григорьев А.С. [и др.] // Физическая мезомеханика. – 2015. – Т. 18, № 4. – С. 24–37.

Рассматривается динамическое поведение пороупругих и поровязкоупругих тел. Поровязкоупругая постановка опирается на полную модель насыщенной пороупругой среды Био. Теория Био является расширением классической теории упругости на случай двухфазной среды, состоящей из упругого скелета с порами и наполнителя. Для описания вязкоупругих свойств упругого скелета используются классические модели вязкоупругости, такие как Кельвина-Фойгта, стандартного вязкоупругого тела и модель со слабосингулярным ядром типа Абеля. Использованы система дифференциальных уравнений для полной модели Био в преобразованиях Лапласа и принцип соответствия упругой и вязкоупругой реакции. Решение исходной задачи получается в пространстве Лапласа, с последующим применением алгоритма численного обращения интегрального преобразования. Для получения решения в изображениях по Лапласу записывается система граничных интегральных уравнений (ГИУ) прямого подхода. Рассматриваются регуляризованные ГИУ и вводится согласованная гранично-элементная дискретизация для получения дискретных аналогов. Применяется иерархический алгоритм интегрирования совместно с квадратурами Гаусса для поэлементного интегрирования по круговой частоте. Численное обращение преобразования Лапласа реализовано на основе модифицированного алгоритма Дурбина с переменным шагом интегрирования. Верификация описанной численной схемы проводится путем сравнения с аналитическим решением.

Рассматриваются однородные поровязкоупругие призматические тела и полупространства. Представлены результаты численных экспериментов. Получены решения задачи о действии осевой силы на торец призматического тела и действии вертикальной силы на поверхность полупространства. Исследуется влияние параметра вязкости материала на динамические отклики перемещений и порового давления. Проводится моделирование поверхностных волн при различной вязкости материала.

Ключевые слова: слова: трехмерные краевые задачи, метод граничных элементов, классические модели вязкоупругости, пороупругость, поровязкоупругость, полупространство, обращение преобразования Лапласа.

Ипатов Александр Александрович – младший научный сотрудник, e-mail: ipatov@mech.unn.ru

Белов Александр Александрович – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: belov_a2@mech.unn.ru

Литвинчук Светлана Юрьевна – кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: litvinchuk@mech.unn.ru

1. Frenkel J. On the theory of seismic and seismoelectric phenomena in a moist soil // Journal of Physics, – 1944. – Vol. 8. – P. 230–241.
2. Biot M.A. General theory of three-dimensional consolidation // J. Appl. Phys. – 1941. – Vol. 12 (2). – P. 155–164.
3. Biot M.A. Theory of deformation of a porous viscoelastic anisotropic solid // J. Appl. Phys. – 1956. – Vol. 27 (5). – P. 459–467.
4. Biot M.A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid // J. Appl. Phys. – 1955. – Vol. 26 (2). – P. 182–185.
5. Schanz M. Wave Propagation in Viscoelastic and Poroelastic Continua. Berlin Springer, 2001. – 170 p.
6. Schanz M. Poroelastodynamics: Linear models, analytical solutions, and numerical methods // Appl. Mech. Rev. – 2009. – Vol. 62 (3), – 15 p. DOI:10.1115/1.3090831
7. Boer R. de. Highlights in the Historical Development of the Porous Media Theory: Toward a Consistent Macroscopic Theory' // Appl. Mech. Rev. – 1996. – Vol. 49(4). – P. 201–262.
8. Nikolaevskiy V.N. Biot–Frenkel Poromechanics in Russia (Review) // J. Eng. Mech. – 2005. – Vol. 131 (9). – P. 888–897.
9. Garg S.K., Nayfeh A.H., Good A.J. Compressional waves in fluid-saturated elastic porous media // J Appl Phys. – 1974. – Vol. 45. – P. 1968–1974.
10. Simon B.R., Zienkiewicz O.C., Paul D.K. An analytical solution for the transient response of saturated porous elastic solids // Int J Num Anal Meth Geomech. – 1984. – Vol. 8. – P. 381–398.
11. Schanz M., Cheng A. H.-D.,Transient Wave Propagation in a One-Dimensional Poroelastic Column // Acta Mech. – 2000. – Vol. 145. – P. 1–8.
12. Boer R. de., Wolfqang E., Liu Z.F. One-dimensional transient wave propagation in fluid-saturated incompressible porous media // Arch. Appl. Mech. – 1993. – Vol. 63. – P. 59–72.
13. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. – М.: Мир, 1974. – 338 с.
14. Wilson R.K., Aifantis E.C. On the Theory of Consolidation With Double Porosity // Int. J. Eng. Sci. – 1982. – Vol. 20. – P. 1009–1035.
15. Vgenopoulou I. Beskos D.E., Dynamic Behavior of Saturated Poroviscoelastic Media // Acta Mech. – 1992. – Vol. 95. – P. 185–195.
16. Schanz M., Cheng A. H.-D. Dynamic Analysis of a One-Dimensional Poroviscoelastic Column // J. Appl. Mech. – 2001. – Vol. 68. – P. 192–198. DOI: 10.1115/1.1349416#
17. Cruse T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. Part I // J. Math. Anal., Applic. – 1968. – Vol. 22. – P. 244–259.
18. Cruse T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. Part II // J. Math. Anal, Applic. – 1968. – Vol. 22 (2). – P. 341–355.
19. Mansur W.J., Brebbia C.A. Transient Elastodynamics Using a Time-Stepping Technique // In Boundary Elements. – Berlin: Springer-Verla, 1983. – P. 677–698.
20. Beskos D.E. Boundary Element Methods in Dynamic Analysis // Appl. Mech. Rev. – 1987. – Vol. 40 (1). – P. 1–23.
21. Beskos D.E. Boundary element methods in dynamic analysis: Part II 1986–1996 // Appl. Mech. Rev. – 1997. – Vol. 50(3). – P. 149–197.
22. Игумнов Л.А., Петров А.Н., Ипатов А.А. Сравнение численного построения оригинала решения одномерной пороупругой задачи на основе шагового метода и метода Дурбина // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, – 2013. – Вып. 75 (4). – С. 273–279.
23. Игумнов Л.А., Ипатов А.А., Сабаева Т.А. Влияние вязкости на динамический отклик в вязкоупругих и поровязкоупругих телах // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та. – 2014. – Вып. 76 (2). – С. 106–113.
24. Igumnov L.A., Litvinchuk S.Y., Petrov A.N., Belov A.A. Boundary-element modeling of 3-D poroelastic half-space dynamics // Advanced Materials Research – 2014. – Vol. 1040. – P. 881–885.
25. Numerical-analytic investigation of the dynamics of viscoelastic and porous elastic bodies / L.A. Igumnov, A.V. Amenitskii, A.A. Belov, S.Y. Litvinchuk, A.N. Petrov // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. – 2014. – Vol. 55 (1). – P. 89–94.
26. Nardini D., Brebbia C.A. A New Approach to Free Vibration Analysis Using Boundary Elements // In Boundary Element Methods / ed. C.A. Brebbia. – Berlin: Springer-Verlag, – 1982. – P. 312–326.
27. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Об интегральном и дифференциальном методах факторизации // Докл. РАН. – 2006. – Т. 410, № 2. – С. 168–172.
28. Ватульян А.О. О граничных интегральных уравнениях I рода в динамических задачах анизотропной теории упругости // Докл. РАН. – 1993. – Т. 333, № 3. – С. 312–314.
29. Игумнов Л.А Граничные интегральные уравнения трехмерных задач на плоских волнах // Докл. РАН. – 2006. – Т. 409, № 5. – С. 1–3.
30. Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. – М.: Физматлит, 2008. – 352 с.
31. Durbin F. Numerical inversion of Laplace transforms: an efficient improvement to Dubner and Abate's method // Computer Journal. – 1974. – Vol. 17. – No. 4. – P. 371–376.

Предложена методика прогноза предела прочности и модуля упругости высокопористых керамик, состоящих из волокон или нитевидных кристаллов. Методика основана на прямом численном моделировании микроструктуры материала с использованием метода конечных элементов. Представительные фрагменты материала создаются на основе случайных алгоритмов с учетом заданных размеров, ориентации и объемного содержания волокон. Волокнистая структура представляется в виде системы длинных стержней, моделирующих волокна, и коротких стержней, моделирующих контакты между волокнами. Для рассматриваемых структур предлагается формулировка критерия прочности, в соответсвии с которым разрушение материала наступает вследствие нарушения контакта между волокнами. Предложено считать предел прочности контактов волокон неизвестным параметром модели, который следует определять из условия наилучшего соотвествия расчетных оценок прочности и данных эспериментальных исследований. На основе анализа напряженного состояния структуры материала под действием механического нагружения даются прогнозы значений эффективной жесткости и прочности при сжатии. В работе проведено исследование повторяемости результатов вычислений при рассмотрении однотипных представительных фрагментов с одинаковыми значениями усредненных характеристик микроструктуры. Проведено исследование сходимости получаемых результатов вычислений при увеличении размера представительного фрагмента. Представлены тестовые результаты моделирования механических свойств волокнистых материалов в зависимости от объемного содержания пористости и ориентации волокон. В работе показано, что для достаточно больших фрагментов (40 мкм и более) предложенная методика позволяет получать стабильные прогнозы механических свойств с относительно небольшим разбросом значений вследствие статистического отличия рассматриваемых фрагментов.

Ключевые слова: моделирование, микроструктура, пористая керамика, волокнистые материалы, механические свойства.

Лурье Сергей Альбертович – доктор технических наук, профессор, e-mail: lurie@ccas.ru

Рабинский Лев Наумович – доктор физико-математических наук, e-mail: f9_dec@mai.ru

Соляев Юрий Олегович – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудни, e-mail: yos@iam.ras.ru

Бузник Вячеслав Михайлович – академик РАН, зав. лаб., e-mail: bouznik@ngs.ru

Лизунова Дарья Владимировна – аспирант, e-mail: f9_dec@mai.ru

1. Щетанов Б.В., Ивахненко Ю.А., Бабашов В.Г. Теплозащитные материалы // Российский химический журнал. – 2010. – Т. 54, № 1. – С. 12–19.
2. Каблов Е.Н. Доспехи для «Бурана» // Материалы и технологии ВИАМ для МКС «Энергия-Буран». – М.: Наука и Жизнь, 2013. – С. 172.
3. Green D.J. Nondestructive Evaluation of Low Density Fibrous Ceramics // In D.O. Thompson & D.E. Chimenti (Eds.), Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation. – Boston, MA: Springer US, 1983. – Vol. 2A. – P. 651–661. DOI: 10.1007/978-1-4613-3706-5_43
4. Бабашов В.Г. Некоторые применения теплоизоляционных материалов в машиностроении // Глобальный научный потенциал. – 2015. – № 1 (46). – С. 67–70.
5. Бабашов В.Г., Варрик Н.М. Высокотемпературный гибкий волокнистый теплоизоляционный материал // Труды ВИАМ. – 2015. – № 1. – С. 3.
6. Алифанов О.М., Черепанов В.В. Математическое моделирование высокопористых волокнистых материалов и определение их физических свойств // Теплофизика высоких температур. – 2009. – Т. 47, № 3. – С. 463–472. DOI: 10.1134/S0018151X09030183
7. Экспериментально-теоретическое исследование процессов теплообмена в высокопористых материалах / О.М. Алифанов, С.А. Будник, А.В. Ненарокомов, В.В. Черепанов // Тепловые процессы в технике. – 2011. – № 2. – С. 53–65.
8. Effect of temperature on the mechanical behavior of mullite fibrous ceramics with a 3D skeleton structure prepared by molding method / X. Dong, G. Sui, Z. Yun, M. Wang, A. Guo, J. Zhang, J. Liu // Materials & Design. – 2016. – Vol. 90 – P. 942–948. DOI: 10.1016/j.matdes.2015.11.043
9. Thermal and mechanical properties of fibrous zirconia ceramics with ultra-high porosity / J. Sun, Z. Hu, J. Li, H. Zhang, G.G. Sun // Ceramics International. – 2014. – Vol. 40. – P. 11787–11793. DOI: 10.1016/j.ceramint.2014.04.008
10. Nima N., Alexandre M. Three dimensional radiative heat transfer model for the evaluation of the anisotropic effective conductivity of fibrous materials // Int. J. Heat Mass Transf. – 2014. – Vol. 83. DOI:10.1016/J.IJHEATMASSTRANSFER
11. Дульнев Г.Н., Заричняк Г.Н. Теплопроводность смесей и композиционных материалов // Справочная книга. – Л.: Энергия, 1974. – C. 263.
12. Керамика для машиностроения / А.П. Гаршин, В.М. Гропянов, Г.П. Зайцев, С.С. Семёнов. – М.: Научтехлитиздат, 2003. – C. 384.
13. Finite element analysis on tensile behaviour of 3D random fibrous materials / Q. Liu, Z. Lu, Z. Hu, J. Li // Model description and meso-level approach. Materials Science and Engineering. – 2013. – Vol. 587. – P. 36–45. DOI: 10.1016/j.msea.2013.07.087
14. Experiment and modeling on the compressive behaviors for porous silicon nitride ceramics / Z. Lu, Q. Liu, H. Han, D. Zhang // Materials Science and Engineering. – 2013. – Vol. 559. – P. 201–209. DOI:10.1016/j.msea.2012.08.081
15. Scheffler M., Colombo P. Cellular Ceramics // Structure, Manufacturing, Properties and Applications. – N.Y.: Wiley, 2005. – P. 670. DOI: 10.1002/3527606696
16. Refined gradient theory of scale-dependent superthin rods / S.A. Lurie, E.L. Kuznetsova,
    L.N. Rabinskii, E.I. Popova // Mechanics of Solids. – 2015. – Vol. 50 (2). – P. 135–146. DOI: 10.3103/S002565441502003X
17. Multiscale modelling of aluminium-based metal-matrix composites with oxide nanoinclusions / S. Lurie, D. Volkov-Bogorodskiy, Y. Solyaev, R. Rizahanov, L. Agureev // Computational Materials Science. – 2016. – P. 62–73. DOI: 10.1016/j.commatsci.2015.12.034
18. Lurie S.A., Solyaev Y.O. Identification method of gradient models parameters of inhomogeneous structures based on discrete atomistic simulations // PNRPU Mechanics Bulletin. – 2014. – P. 89–112. DOI: 10.15593/perm.mech/2014.3.06
19. A four-phase confocal elliptical cylinder model for predicting the effective thermal conductivity of coated fibre composites / C.P. Jiang, F.L. Chen, P. Yan, F. Song // Philosophical Magazine. – 2010. – P. 3601–3615. DOI: 10.1080/14786435.2010.491806
20. Lee J.K., Kim J.G. Governing equations for effective thermal conductivity of composites with coated short fibers // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 2013. – Vol. 67. – P. 654–658. DOI: 10.1016/J.IJHEATMASSTRANSFER.2013.08.075

В работе проведен анализ динамического поведения вибрационного гироскопа в форме полой пьезокерамической трубки с двумя парами электродов, расположенными крестообразно на ее внешней боковой поверхности. Для случая одного жестко закрепленного торца трубки рассмотрены два варианта поляризации пьезокерамического материала: полная радиальная поляризации
и частичная радиальная поляризация только под электродами внешней боковой поверхности. Для полностью поляризованного материала кроме консольного закрепления рассматривались также два других варианта крепления торцов, имитирующих условия шарнирного опирания. Изучался режим установившихся колебаний гироскопа в рамках линейной теории пьезоэлектричества (электроупругости) с учетом механического демпфирования и эффектов вращения в относительной системе координат. Все исследуемые варианты допускают наличие электрически активных мод изгибных колебаний в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, которыми можно управлять электрическими потенциалами на двух парах электродов. В таких конфигурациях при работе вблизи соответствующих резонансных частот генерируются первичные изгибные колебания в одной плоскости, а за счет осевого вращения гироскопа возбуждаются вторичные изгибные движения в другой перпендикулярной плоскости, которые и можно эффективно зарегистрировать. При проведении численных расчетов использовались метод конечных элементов, вычислительный комплекс ANSYS и специально разработанные компьютерные программы, написанные на макроязыке APDL ANSYS. Результаты вычислительных экспериментов показали, что вариант с жестко закрепленным торцом и полной радиальной поляризацией пьезокерамического материала дает наибольшие максимумы выходного потенциала при вращении гироскопа. Обнаружено, что варианты гироскопа с закреплениями торцов, имитирующими условия шарнирного опирания, также достаточно перспективны для практического использования.

Ключевые слова: пьезоэлектричество, электроупругость, пьезокерамика, неоднородная поляризация, установившиеся колебания, вибрационный гироскоп, сила Кориолиса, частота вращения, метод конечных элементов, ANSYS.

Наседкин Андрей Викторович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: nasedkin@math.sfedu.ru

Шпрайзер Евгения Игоревна – аспирант, ассистент, e-mail: shprayzer@gmail.com

1. Apostolyuk V. Coriolis vibratory gyroscopes: Theory and design. – Cham, Switzerland: Springer International Publishing, 2016. – 117 p.
2. A review of vibratory gyroscopes / J.S. Burdess, A.J. Harris, J. Cruickshank, D. Wood, G. Cooper // Eng. Sci. Educ. J. – 1994. – Vol. 3. – No. 6. – P. 249–254. DOI: 10.1049/esej:19940603
3. Singh A.K. Piezoelectric gyro sensor technology // Def. Sci. J. – 2007. – Vol. 57. – No. 1. – P. 95–103. DOI: 10.14429/dsj.57.1735
4. Yang J. A review of analyses related to vibrations of rotating piezoelectric bodies and gyroscopes // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. and Freq. Control. – 2005. – Vol. 52. – No. 5. – P. 698–706. DOI: 10.1109/TUFFC.2005.1503958
5. Hunt G.H., Hobbs A.E.W. Development of an accurate tuning fork gyroscope // Proc. Inst. Mech. Eng., Conf. Proc. – 1964. – Vol. 179. – No. 5. – P. 129–139. DOI: 10.1243/PIME_CONF_1964_179_116_02
6. Fan M., Zhang L. Research progress of quartz tuning fork micromachined gyroscope // Proc. 2015 Int. Conf. Artificial Intelligence and Industrial Engineering, Atlantis Press, 2015. – P. 361–364. DOI:10.2991/aiie-15.2015.100
7. Quartz rate gyro sensor for automotive control / Y. Nonomura, M. Fujiyoshi, Y. Omura [et al.] // Sensors and Actuators A. – 2004. – Vol. 110. – P. 136–141. DOI:10.1016/j.sna.2003.10.048
8. Bhadbhade V., Jalili N., Mahmoodi S.N. A novel piezoelectrically actuated flexural/torsional vibrating beam gyroscope // J. Sound and Vibration. – 2008. – Vol. 311. – P. 1305–1324. DOI: 10.1016/j.jsv.2007.10.017
9. Seok J., Scarton H.A. Dynamic characteristics of a beam angular-rate sensor // Int. J. Mech. Sci. – 2006. – Vol. 48. – P. 11–20. DOI:10.1016/j.ijmecsci.2005.09.015
10. Seok J., Tiersten H.F., Scarton H.A., An analysis of a vibratory angular-rate gyroscope using polarized piezoceramic bimorph plates. Part 2: Solution procedure for the gyroscope with superposed angular velocity // J. Sound and Vibration. – 2005. – Vol. 280. – P. 289–310. DOI:10.1016/j.jsv.2003.12.031
11. Effect of polarized electric field on piezoelectric cylinder vibratory gyroscope / Y. Ting,
    J.-S. Huang, J.-L. Huang, C.-M. Yang // Sensors and Actuators. A. – 2006. – Vol. 128. – No. 2. – P. 248–256. DOI: 10.1016/j.sna.2006.02.034
12. Optimization and analysis of novel piezoelectric solid micro-gyroscope with high resistance to shock / Y. Lu, X. Wu, W. Zhang, W. Chen, F. Cui, W. Liu // Microsyst. Technol. – 2010. – Vol. 16. – No. 4. – P. 571–584. DOI: 10.1007/s00542-009-0963-6
13. Vibration analysis of a piezoelectric micromachined modal gyroscope (PMMG) / X.S. Wu, W.Y. Chen, Y.P. Lu, Q.J. Xiao, G.Y. Ma, W.P. Zhang, F. Cui // J. Micromech. Microeng. – 2009. – Vol. 19. – No. 12. – P. 125008. DOI: 10.1088/0960-1317/19/12/125008
14. Wu X., Chen W., Reza A. Optimal design of piezoelectric micromachined modal gyroscope (PMMG) with modes matched: modal analysis // Microsyst. Technol. – 2014. – Vol. 21. – No. 1. – P. 101–108. DOI: 10.1007/s00542-014-2156-1
15. Yang J.S, Fang H.Y., Jiang Q. A vibrating piezoelectric ceramic shell as a rotation sensor // Smart Mater. Struct. – 2000. – Vol. 9. – P. 445–451. DOI: 10.1088/0964-1726/9/4/307
16. Kagawa Y., Tsuchiya T., Kawashima T. Finite element simulation of vibrator gyroscopes // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelectr., Freq. Control. – 1996. – Vol. 43. – P. 509–518. DOI: 10.1109/58.503709
17. Kagawa Y., Tsuchiya T., Sakai T. Three-dimensional finite element simulation of a piezoelectric vibrator under gyration // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelectr., Freq. Control. – 2001. – Vol. 48. – P. 180–188. DOI: 10.1109/58.895931
18. Наседкин А. В. Моделирование пьезоэлектрических преобразователей в ANSYS: Учеб. пособие. – Ростов н/Д: Изд-во Юж. федер. ун-та, 2015. – 176 с.
19. Nasedkin A.V. Some finite element methods and algorithms for solving acousto-piezoelectric problems // Piezoceramic materials and devices, ed. I.A. Parinov. – N.-Y.: Nova Science Publishers. – 2010. – P. 177–218.
20. Yang J.S., Fang H.Y. A new ceramic tube piezoelectric gyroscope // Sensors and Actuators. A. – 2003. – Vol. 107. – No. 1. – P. 42–49. DOI: 10.1016/S0924-4247(03)00209-7
21. Левицкий А.А., Маринушкин П.С. Численное моделирование пьезоэлектрического вибрационного гироскопа // Датчики и системы. – 2009. – № 9. – С. 11–14.
22. Левицкий А.А., Маринушкин П.С. Исследование режимов работы пьезоэлектрического вибрационного гироскопа осцилляторного типа // Датчики и системы. – 2011. – № 3. – С. 55–59.
23. Левицкий А.А., Маринушкин П.С. Анализ погрешностей миниатюрного пьезоэлектрического гироскопа // Успехи современной радиоэлектроники. – 2012. – № 9. – С. 34–38.
24. Marinushkin P.S. Dynamic analysis of tubular piezoelectric gyroscopes // XI International Conference and Seminar on Micro/Nanotechnologies and Electron Devices EDM'2010: Conference Proceedings. – Novosibirsk, 2010. – P. 168–171. DOI: 10.1109/EDM.2010.5568838
25. Наседкин А.В., Шпрайзер Е.И. Конечно-элементный анализ пьезокерамического вибрационного гироскопа в форме полого цилиндра при различных условиях закрепления // Инновационные технологии в науке и образовании. ИТНО-2015: сб. науч. тр. междунар. науч.-метод. конф. Ростов-на-Дону – пос. Дивноморское, 7–10 сентября, 2015. – Ростов-на-Дону – Зерноград, 2015. – С. 203–208.
26. Наседкин А.В., Шпрайзер Е.И. Анализ вибрационного гироскопа в форме полого цилиндра из неоднородно поляризованной пьезокерамики // Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения. – 2015. – Т. 15, № 4. – С. 57–60.
27. Юрлов М.А., Юрлова Н.А. Стратегии демпфирования колебаний конструкций с пьезоэлементами и внешними электрическими цепями и их экспериментальная иллюстрация // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 4. – С. 240–270. DOI: 10.15593/perm.mech/2014.4.10
28. ANSYS. Theory reference for ANSYS and ANSYS Workbench. Rel.11. Ed. P. Kothnke. – Canonsburg, ANSYS Inc., 2007. – 1072 p.
29. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. – М.: Наука, 1977. – 400 с.
30. Numerical recipes: The art of scientific computing / W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery. – New York, Cambridge University Press, 2007. – 1256 p.
31. Peters G., Wilkinson J.H. The calculation of specified eigenvectors by inverse iteration // Handbook for Automatic Computation. Vol. 2. Linear Algebra, еds. J.H. Wilkinson, C. Reinsch. – New York, Springer-Verlag, 1971. – P. 418–439. DOI: 10.1007/978-3-642-86940-2_29

Разработана математическая модель пьезоэлектролюминесцентного оптоволоконного датчика давления, в котором механолюминесцентный эффект возникает в результате взаимодействия электролюминесцетного и пьезоэлектрического покрытий поверх оптоволокна. Разработан алгоритм нахождения функции распределения давления по длине трехфазного оптоволоконного датчика по результатам замеряемой на торцевом сечении датчика интенсивности исходящего из оптоволоконной фазы света для случая нелинейной «функции свечения» – зависимости интенсивности света от действующего на электролюминофор электронапряжения; задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с разностным ядром, зависящим от рассчитываемых эффективных параметров датчика и от производной заданной функции свечения электролюминофора. Получено аналитическое решение для функции плотности вероятностей распределения давления для частного случая, когда ядро выражается через дельта-функцию и интегральное уравнение Фредгольма сводится к алгебраическому. Для иллюстрации алгоритма решены «прямая» и «обратная» задачи интегрального уравнения Фредгольма для случая нелинейной функции свечения электролюминофора: в прямой задаче найдена производная интенсивности света на выходе оптоволокна от управляющего напряжения для заданного равномерного закона функции плотности вероятностей распределения давления, в обратной задаче определялась функция плотности вероятностей в сравнении с известным точным решением с использованием решения прямой задачи для производной интенсивности света. Численное решение обратной задачи осуществлено в различных приближениях, в которых распределение узловых точек внутри интервалов и искомые узловые значения функции плотности вероятностей давления находили из условия минимизации суммарных невязок по заданным и рассчитываемым на каждом шаге значениям производной интенсивности света по управляющему напряжению на выходе оптоволокна.

Ключевые слова: пьезоэлектроупругость, механолюминесцентный эффект, электролюминофор, оптоволокно, датчик давления.

Паньков Андрей Анатольевич – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: a_a_pankov@mail.ru

1. Бростилов С.А., Мурашкина Т.И., Пивкин А.Г. Перспективы использования волоконно-оптических датчиков давления для систем контроля и испытаний космической и авиационной техники // Математическое моделирование в машино- и приборостроении: сб. науч. тр. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2013. – № 10 (спец. вып.). – С. 55–66.
2. Пат. РФ № 2488772 C2. Способ неразрушающего контроля деталей из полимерных композиционных материалов / Ю.Ф. Огнев, О.Ш. Бердиев; опубл. 27.07.2013.
3. Бадеева Е.А., Бростилов С.А., Юрова О.В. Волоконно-оптический датчик давления на основе туннельного эффекта // Современная электроника. – 2011. – № 2. – С. 26–27
4. Томышев К.А., Баган В.А., Астапенко В.А. Распределённые волоконно-оптические датчики давления для применения в нефтегазовой промышленности // Труды МФТИ. – 2012. – Т. 4, № 2. – С. 64–72.
5. Макарова Н.Ю. Моделирование выходного сигнала механолюминесцентного датчика динамического давления // Наука и образование науч. изд. – 2015. – № 6. – С. 187–200.
6. Tатмышевский К.В. Научные основы расчета и проектирования механолюминесцентных чувствительных элементов датчиков импульсного давления: автореф. дис. … докт. техн. наук. – М., 2010. – 33 с.
7. Real- time mechanoluminescence sensing of the amplitude and duration of impact stress / B.P. Chandra, V.K. Chandra, S.K. Mahobia, P. Jha, R. Tiwari, B. Haldar // Sensors and Actuators A: Physical. – 2012. – Vol. 173. – P. 9–16.
8. Detecting Mechanoluminescence From ZnS:Mn Powder Using a High Speed Camera / L. Kobakhidze, C.J. Guidry, W.A. Hollerman, R.S. Fontenot // IEEE Sensor Journal. – 2013. – Vol. 13. – No. 8. – Р. 3053–3059.
9. Chandra B.P., Chandra V.K. Dynamics of the mechanoluminescence induced by elastic deformation of persistent luminescent crystals // Journal of Luminescent. – 2012. – Vol. 132. – No. 3. – P. 858‑869.
10. Банишев А.Ф., Банишев А.А., Лотин А.А. Исследование люминесценции и механолюминесценции мелкодисперсного порошка SrAl₂O₄:(Eu2+, Dy3+) в матрице полимера // Физика и химия обработки материалов. – 2012. – № 5. – С. 89‑92.
11. Писаревский А.И., Татмышевский К.В., Голубев А.М. Сравнение особенностей механолюминесценции в кристаллах ZnS и (BaSr)Al₂O₄ // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Бауман а. Электрон. журн. – 2012. – № 1. – URL: http://technomag.bmstu.ru/doc/297102.html (дата обращения: 01.05.2015).
12. Пат. РФ Волоконно-оптический датчик давления / А.А. Паньков; заявл. RU № 2016136058 от 06.09.2016.
13. Паньков А.А. Статистическая механика пьезокомпозитов. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. – 480 с.
14. Паньков А.А. Электромагнитоупругость и эффективные свойства пьезокомпозитов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2012. – № 4. – С. 79–98.
15. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. – Киев: Наукова думка, 1989. – 280 с. – Механика связанных полей в элементах конструкций: в 5 т., Т. 5.
16. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. – М.: Наука, 1988. – 472 с.
17. Дианов Д.Б., Кузьменко А.Г. Расчет цилиндрического пьезокерамического преобразователя, совершающего радиально-симметричные колебания // Акуст. журн. – 1970. – Т. 16, № 1. – С. 42–48.
18. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для анизотропного пьезокерамического радиально-поляризованного цилиндра // Изв. РАН. МТТ. – 2009. – №1. – С. 73–81.
19. Михлин С.Г., Смолицкий X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. – М.: Наука, 1965. – 384 с.
20. Верлань А.Ф. Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. – Киев: Наукова думка, 1986. – 543 с.
21. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. – 2-е, стреотип. изд. – М.: Физматлит, 2002. – 360 с.
22. Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. – М.: Физматлит, 2003. – 608 с.
23. Латыпов А.Ф. Численные методы решения линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1-го рода // Обратные и некорректные задачи математической физики: материалы междунар. конф., посвященной 75-летию академика М.М. Лаврентьева, 20–25 августа 2007 г. – Новосибирск, 2007. 

Рассматриваются упаковки крупногабаритных составных оболочечных конструкций (гофра, цилиндр и усеченный конус) и их развертывание посредством нагружения внутренним давлением. Полагается, что срединные поверхности составных элементов оболочек имеют развертку, с которой эти поверхности совпадают в упакованном состоянии. Составные элементы гофры – кольца, а цилиндра и конуса – трапециевидные пластины. Составные элементы изготовлены из углепластика с ортотропными или трансверсально-изотропными упругими свойствами и скреплены (сшиты) между собой швами, не воспринимающими сопротивление повороту вокруг касательной к линии шва. Рассматриваемые конструкции, в отличие от пневматических изделий из мягких материалов (ткани, пленки), воспринимают изгибающие нагрузки. Геометрически нелинейные задачи механики деформируемого твердого тела по нагружению конструкции внутренним давлением решаются с применением инженерного вычислительного комплекса ANSYS. Изучена зависимость давлений, приводящих оболочку в рабочее состояние от материала конструкции, толщины оболочки, количества составляющих элементов. Показано, что давления развертывания крупногабаритных оболочек соизмеримы с избыточными давлениями пневматических конструкций из мягких материалов. Выявлено, что напряжения в оболочках, развертывающихся в гофру, могут достигать критических значений, а в цилиндре и усеченном конусе напряжения незначительные. Дана постановка и приведено решение задачи о термодинамическом состоянии вдуваемого газа при квазистатическом нагружении оболочки внутренним давлением. Показано, что в начале развертывания газ охлаждается в зависимости от состава на 50–80 ^оС, затем его температура стремится к температуре вдувания. Полученные результаты расширяют выбор материалов для изготовления пневматических изделий, включая конструкции космического назначения.

Ключевые слова: упаковка конструкций, крупногабаритные оболочки, развертка конструкций, композитные материалы, ортотропные свойства, сопротивление изгибу, геометрически нелинейные задачи, избыточное давление, термодинамическое состояние газа, квазистатическое состояние, давление развертывания.

Пестренин Валерий Михайлович – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: Pestreninvm@mail.ru

Пестренина Ирина Владимировна – кандидат технических наук, доцент, e-mail: IPestrenina@gmail.com

Русаков Сергей Владимирович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: Rusakov@psu.ru

Кондюрин Алексей Викторович – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: A.Kondyurin@physics.usyd.edu.au

Корепанова Анастасия Владимировна – магистр, e-mail: Nastya-kanavka@mail.ru

1. Белов Д.В., Югов А.М. Возведение купольных конструкций с использованием пневматических опалубок // Вестн. Донбас. акад. строит. и архит. – 2009. – № 6 (80). – С. 3–8.

2. Кривошапко С.Н. Пневматические конструкции и сооружения // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2015. – № 3. – С. 45–53.

3. Соколовская И.Ю. Напряженно-деформированное состояние армированных пневмоопорных оболочек и наземных емкостей: автореф. дис. … канд. техн. наук: 05.23.17 / Новосиб. гос. арх.-строит. ун-т. – Новосибирск, 2006. – 22 с.

4. Прошлое, настоящее и будущее пневматических строительных конструкций // Пневматические строительные конструкции / В.В. Ермолов, У.У. Бэрд, Э. Бубнер [и др.]. – М.: Стройиздат, 1983. – С. 5–46.

5. Quinn G., Gengnagel C. A review of elastic grid shells, their erection methods and the potential use of pneumatic formwork // Mob Rapidly Assem Struct IV. – 2014. – Vol. 136. – P. 129–143. DOI: 10.2495/MAR140111

6. Бельков А.В. Моделирование крупногабаритных пневматических конструкций // Перспективы развития фундаментальных наук: сб. науч. тр. XIII Междунар. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых / Нац. исслед. Том. политехн. ун-т. – 2016. – Т. 3. – С. 21–23.

7. Рефлекторы антенн космических аппаратов на базе гибкой формообразующей структуры // Актуальные проблемы авиации и космонавтики / И.С. Морозков, С.В. Ромащенко, Е.А. Шевцов, А.К. Шатров. – 2010. – Т. 1, № 6. – С. 100–101.

8. Леонов В.В., Жаренов И.С. Анализ особенностей конструкции крупногабаритных надувных концентраторов солнечного излучения // Наука и образование: науч. изд. МГТУ им. НЭ Баумана. – 2013. – № 10. – С. 177–192. DOI:10.7463/1013.0618788

9. Леонов В.В., Жарёнов И.С. Особенности проектирования крупногабаритных космических зеркальных концентраторов солнечного излучения // Сб. тр. Шестой Рос. нац. конф. по теплообмену. – 2014. – С. 1233–1236.

10. Creation of biological module for self-regulating ecological system by the way of polymerization of composite materials in free space / A. Kondyurin, B. Lauke, I. Kondyurina, E. Orba // Advances in Space Research. – 2004. – No. 34. – P. 1585–1591.

11. Polymerisation of composite materials in space environment for development of a Moon base / I. Kondyurina, A. Kondyurin, B. Lauke, Ł. Figiel, R. Vogel, U. Reuter // Advances in Space Research. – 2006. – Vol. 37. – P. 109–115.

12. Хауг Э. Проектирование и расчет пневматических конструкций с использованием метода конечных элементов // Пневматические строительные конструкции / В.В. Ермолов, У.У. Бэрд, Э. Бубнер [и др.]. – М.: Стройиздат, 1983. – С. 333–360.

13. Ишии К. Проектирование и расчет пневматических сооружений // Пневматические строительные конструкции / В.В. Ермолов, У.У. Бэрд, Э. Бубнер [и др.]. – М.: Стройиздат, 1983. – С. 273–298.

14. Чесноков А.В. Влияние изменения температуры на работу фрагментов пневматических оболочек [Электронный ресурс] // Интернет-вестник ВолгАСУ. Сер.: Строит. информатика. – 2013. – Вып. 9 (26). – 11 c. (http://vestnik.vgasu.ru/?source=4&coverno=93) (дата обращения: 28.10.2016).

15. Бельков А.В., Пономарев С.В. Моделирование напряженно-деформированного состояния надувной конструкции космического рефлектора // Вестн. Том. гос. ун-та. Математика и механика. – 2008. – № 1 (12). – С. 83–89.

16. Ким А.Ю. Итерационный метод приращений параметров для расчета нелинейных мембранно-пневматических систем с учетом упругой работы воздуха: дис. … д-ра техн. наук: 05.23.17. – Саратов, 2005. – 568 с.

17. Onate E., Kroplin B. Textile composites and inflatable structures II. Computational Methods in Applied Sciences. – Berlin: Springer, 2008. – 272 p.

18. Усюкин В. И. Техническая теория мягких оболочек и ее применение для расчета пневматических конструкций // В.В. Ермолов, У.У. Бэрд, Э. Бубнер [и др.] / Пневматические строительные конструкции / под ред. В.В. Ермолова. – М.: Стройиздат, 1983. – С. 299–332.

19. Развертывание крупногабаритных оболочечных конструкций внутренним давлением / В.М. Пестренин, И.В. Пестренина, С.В. Русаков, А.В. Кондюрин // Механика композитных материалов. – Рига. – 2015. – Т. 51, № 5. – С. 889–898.

20. Паймушин В.Н.  Об уравнениях геометрически нелинейной теории упругости и безмоментных оболочек при произвольных перемещениях // Прикладная математика и механика. – 2008. – Т. 72, № 5. – С. 822–841.

21. Pestrenin V. M., Pestrenina I. V., Rusakov S. V., Kondyurin A. V. Deployment of large-size shell constructions by internal pressure // Mechanics of Composite Materials. – 2015. – Vol. 51, Nо. 5. – P. 629–636.

22. Хорошун Л.П., Маслов В.П. Методы автоматизированного расчета физико-механических постоянных композиционных материалов. – Киев: Наукова думка, 1980. – 156 с.

23. Пестренин В.М., Пестренина И.В. Механика композитных материалов и элементов конструкций / Перм. ун-т. – Пермь, 2005. – 364 с.

24. Беляев ВМ., Миронов В.М. Конструирование и расчет элементов оборудования отрасли. Ч.1: Том. политех. ун-т. – Томск, 2003. – 168 с.

25. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Шубович А.А. Анализ геометрически нелинейной оболочки вращения на основе МКЭ с вариативным формированием матрицы упругости на шаге нагружения // Строительная механика и расчет сооружений. – 2011. – № 3. – С. 40–44.

26. Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Чумакова С.В. О численной реализации метода последовательных нагружений при расчете геометрически нелинейных оболочек // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. – 2010. – № 6. – С. 27–43.

27. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Расчет композитных конструкций под действием следящих нагрузок с использованием геометрически точного элемента оболочки // Механика композитных материалов. – 2009. – Т. 45, № 6. – С. 789–804.

28. Применение системы ANSYS к решению задач механики сплошной среды: практ. руководство. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2006. – 115 с.

29. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. – М.: Наука, 1973. – 536 с.

30. Бородачев С.М., Никишкин С.И., Халатов Е.М. Основы термодинамики реальных газов: учеб. пособие / Ковр. гос. технол. акад. – Ковров, 2004.

Статья посвящена построению пространственных микроструктур дисперсно-упрочненных композитов. Особенностью таких материалов является наличие связной компоненты (матрицы) и равномерно распределенных по объему частиц наполнителя (включений), которые могут иметь разную форму и размер. В работе рассматриваются включения эллипсоидальной формы, при этом их распределение по объему композита и ориентация считаются стохастическими. Излагается новый алгоритм построения таких микроструктур, основанный на методе, идея которого заключается в итерационном процессе, минимизирующем области пересечения частиц. Вначале случайным образом задаются координаты центров включений и их ориентация, т.е. на этом шаге частицы могут пересекаться. В процессе работы алгоритма пересечения частиц также допускается, при этом на каждом шаге области пересечения минимизируются с помощью задания нового положения включений, которое определяется следующим образом: если два включения пересекаются, то выбирается реперная точка внутри области пересечения и затем новое положение частиц задается таким образом, что реперная точка становится точкой касания. Для того чтобы определить взаимное расположение двух частиц (ни одной общей точки, одна общая точка, множество общих точек) и в случае пересечения выбрать реперную точку, используется метод, основанный на решении обобщенной проблемы поиска собственных значений, сформулированной для двух эллипсоидов. Разработанный алгоритм позволяет сформировать микроструктуры с объемными долями включений, близкими к максимально достижимым, для эллипсоидов произвольной формы, в том числе для дисков и вытянутых волокон с большим (более 10) отношением полуосей. Анализ матрицы ориентации показывает, что распределение ориентаций включений в сформированных микроструктурах изотропно.

Ключевые слова: композит, стохастическая микроструктура, представительный элемент объема, эллипсоидальное включение, матрица ориентаций.

Шубин Сергей Николаевич – аспирант, e-mail: shubinsn@gmail.com

Фрейдин Александр Борисович – доктор физико-математических наук, зав. отделом, e-mail: alexander.freidin@gmail.com

1. Kepler J. Strena seu de nive sexangula. – Francofurti ad Moenum: apud Tampach, 1611. – 21 p.
2. Hales T.C. A proof of the Kepler conjecture // Annals of mathematics. – 2005. – Vol. 162. – P. 1065–1185.
3. Torquato S., Truskett T.M., Debenedett P.G. Is random close packing of spheres well defined? // Physical Review Letters. – 2000. – Vol. 84 – P. 2064–2067.
4. Scott G.D. Packing of spheres // Nature. – 1960. – Vol. 188 – P. 908–909.
5. Scott G.D., Kilgour D.M. The density of random close packing of spheres // J. Phys. D: Appl. Phys. – 1969. – Vol. 2 – P. 863–866.
6. Milewski J.V. A study of the packing of milled fibreglass and glass beads // Composites. – 1973. – Vol. 4 – P. 258–265.
7. Milewski J.V. The combined packing of rods and spheres in reinforcing plastics // Ind. Engng. Chem. Prod. Res. Dev. – 1978. – Vol. 17. –P. 363–366.
8. Nardin M., Papirer E. Contribution a l'etude des empilements au hasard de fibres et/ou de particules spheriques // Powder Technology – 1985. – Vol. 44. – P. 131–140.
9. Evans K.E., Gibson A.G. Prediction of the maximum packing fraction achievable in randomly oriented short-fibre composites // Composites Science and Technology – 1986. – Vol. 25. – P. 149–162.
10. Evans K.E., Ferrar M.D. The packing of thick fibers // J. Phys. D: Appl. Phys. – 1989. – Vol. 22. – P. 354–360.
11. Parkhouse J.G., Kelly A. The Random Packing of Fibres in Three Dimensions // Proc. R. Soc. Lond. A. – 1995. – Vol. 451. – P. 737–746.
12. Philipse A.P. The random contact equation and its implications for (colloidal) rods in packings, suspensions, and anisotropic powders // Langmuir. – 1996. – Vol. 12. – P. 1127–1133.
13. Effects of grain shape on packing and dilatancy of sheared granular materials / Wegner S.
    [et al.] // Soft Matter. – 2014. – Vol. 10. – P. 5157–5167.
14. Improving the density of jammed disordered packings using ellipsoids / Donev A. [et al.] // Science. – 2004. – Vol. 303. – P. 990–993.
15. Experiments on random packings of ellipsoids / Man W. [et al.] // Physical Review Letters. – 2005. – Vol. 94 (19). – P. 198001-1 – 198001-4.
16. X-ray tomography study of the random packing structure of ellipsoids / Xia C. [et al.] // Soft Matter. – 2014. – Vol. 10. – P. 990–996.
17. Local Origin of Global Contact Numbers in Frictional Ellipsoid Packings / Schaller F.M. [et al.] // Physical Review Letters. – 2015. – Vol. 114(15). – P. 158001-1 – 158001-5.
18. Bennett C. H. Serially depositied amorphous aggregates of hard spheres // J. Appl. Phys. – 1972. – Vol 32(6). – P. 2727–2734.
19. Sherwood J. D. Packing of spheroids in three-dimensional space by random sequential addition // J. Phys. A: Math. Gen. – 1997. – Vol. 30. – P. 839–843.
20. Lubaehevsky B.D., Stillinger F.H. Geometric properties of random disk packings // Journal of Statistical Physics. – 1990. – Vol. 60. – P. 561–583.
21. Donev A., Torquato S., Stillinger F.H. Neighbor list collision-driven molecular dynamics simulation for nonspherical hard particles. I. Algorithmic details // Journal of computational physics. – 2005. – Vol. 202 (2) – P. 737–764.
22. Donev A., Torquato S., Stillinger F.H. Neighbor list collision-driven molecular dynamics simulation for nonspherical hard particles. II Application to ellipses and ellipsoids // Journal of computational physics. – 2005. – Vol. 202 (2). – P. 765–793.
23. Ghossein E., L´evesque M. Random generation of periodic hard ellipsoids based on molecular dynamics: a computationally-efficient algorithm // Journal of Computational Physics. – 2013. – Vol. 253. – P. 471–490.
24. Lubachevsky B.D., Stillinger F.H., Pinson E.N. Disks vs. spheres: contrasting properties of random packings // Journal of Statistical Physics. – 1991. – Vol. 64. – P. 501–524.
25. Jodrey W.S. Computer simulation of close random packing of equal spheres // Physical Review A. – 1985. – Vol. 32. – No. 4. – P. 2347–2351.
26. Williams S.R., Philipse A.P. Random packings of spheres and spherocylinders simulated by mechanical contraction // Physical Review E. – 2003. – Vol. 67. – P. 051301-1 – 051301-9.
27. Stillinger F.H., Weber T.A. Inherent structure of liquids in the hard-sphere limit // J. Chem. Phys. – 1985. – Vol. 83(9). – P. 4767–4775.
28. Zinchenko A. Algorithm for random close packing of spheres with periodic boundary conditions // J. Comp. Phys. – 1994. – Vol. 114. – P. 298–307.
29. Determination of the size of the representative volume element for random composites: statistical and numerical approach / Kanit T. [et al.] // International Journal of Solids and Structures. – 2003. – Vol. 40. – P. 3647–3679.
30. Chan K. A simple mathematical approach for determining intersection of quadratic surfaces // Multiscale optimization methods and applications. – New York, 2006. – P. 271–298.
31. Continuous collision detection for ellipsoids / Choi Y. [et al.] // Visualization and computer Graphics, IEEE Transactions. – 2009. – Vol. 15. – P. 311–325.
32. Advani S.G., Tucker C.L. The use of tensors to describe and predict fiber orientation in short fiber composites // Journal of rheology. – 1987. – Vol. 31. – P. 751–784.

В работе моделируется динамическое поведение движущейся конструкции, составленной из гибких стержневых элементов, которые соединяются через шарниры. Предполагается, что в шарнирах есть связи – жесткие и нежесткие, управляемые и неуправляемые. Математически они считаются дифференциальными
в интегрируемой или неинтегрируемой формах.

Модель стержневой системы строится на основе метода конечных элементов, учитывая конечные деформации и нелинейности инерционных сил. Считается, что концы каждого стержневого элемента жестко соединены с твёрдыми телами, размеры которых малы по сравнению с длиной элемента. Каждый конечный элемент связывается с локальной системой координат, для которой перемещения, углы поворотов, поступательные и вращательные скорости учитываются строго. Функции формы выбираются в виде квазистатических аппроксимаций локальных перемещений и углов поворотов сечений стержневого элемента. В качестве обобщенных координат задачи принимаются абсолютные перемещения и углы поворотов краевых сечений конечных элементов модели.

Уравнения движения системы составляются на основе принципа Даламбера-Лагранжа. Считается, что на обобщенные координаты системы наложены связи, линейные относительно обобщённых скоростей. Вариация функционала задачи, для которого ищется стационарное значение, преобразуется путём прибавления уравнений связей, умноженных на неопределённые множителя Лагранжа. Вариационная задача для преобразованного функционала решается как свободная. Условия стационарности вместе с дифференциальными уравнениями связей определяют искомые значения обобщенных координат.

В работе предлагается подход, позволяющий избежать громоздких вычислений нелинейных инерционных членов без упрощения физической модели и (или) изменения первоначальной структуры уравнений.

Рассмотрен пример развертывания стержневой системы, состоящей из трех гибких стержней, последовательно соединенных через шарниры. Решение нелинейных уравнений движения получено численным методом с использованием параметра длины интегральной кривой решения в качестве аргумента задачи. Такое преобразование доставляет системе разрешающих уравнений наилучшую обусловленность процесса численного решения.

Ключевые слова: стержневая система, нелинейная динамика, конечные перемещения и повороты, гибкость, кинематические связи, конечно-элементная формулировка.

Данилин Александр Николаевич – доктор физико-математических наук, заместитель директора, e-mail: andanilin@yandex.ru

1. Hodges D.H. Finite rotating and nonlinear beam kinematics // Vertica. – 1987. – Vol. 11, No. 1/2. – P. 297-307.
2. Misra A.K., Modi V.J. A survey on the dynamics and control of tethered satellite systems // Advances in Astronautical Sciences. – 1987. – Vol. 62. – P. 667–719 (https:// www.researchgate.net/ publication/234283745) (дата обращения: 08.11.2016).
3. Iura M., Atluri S.N. Dynamic analysis of finitely stretched and rotated three-dimensional space-curved beams // Computers & Structures. – 1988. – Vol. 29. – No. 5. – P. 875–889 (http:// link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-61381-4_300) (дата обращения: 08.11.2016).
4. Ferri A.A. Modeling and analysis of nonlinear sleeve joints of large space structures // Journal of Spacecraft and Rockets. – 1988. – Vol. 25. – No. 5. – P. 354–360 (http://dx.doi.org/10.2514/3.26012) (дата обращения: 08.11.2016).
5. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. – М.: Наука, 1990. – 330 с.
6. Folkman S.L., Rowsell E.A., Ferney G.D. Gravity effects on damping of a truss using pinned joints // Dynamics Specialists Conference «Structures, Structural Dynamics and Materials», AIAA-94-1685-CP. – Hilton Head, SC, U.S.A. 1994. – P. 131–140. DOI: 10.2514/6.1994-1685
7. Folkman S.L., Ferney G.D., Rowsell E.A. Influence of pinned joints on damping and dynamic behavior of a truss // Journal of Guidance Control and Dynamics. – 1995. – Vol. 18. – No. 6. – P. 1398–1403. DOI: 10.2514/3.21559
8. Danilin A.N., Grishanina T.V., Shklyarchuk F.N., Buzlaev D.V. Dynamics of a space vehicle with elastic deploying tether // Computers & Structures. – 1999. – Vol. 72. – No. 1–3. – P. 141–147. DOI: 10.1016/S0045-7949(99)00039-5
9. Гуляев В.И., Завражина Т.В. Динамика робота-манипулятора с упругоподатливыми звеньями и приводными механизмами // Изв. РАН. МТТ. – 2003. – № 6. – С. 18–30.
10. Ibrahimbegovic A., Taylor R.L. On the role of frame-invariance in structural mechanics models at finite rotations // Computer methods in applied mechanics and engineering. – 2002. – Vol. 191. – P. 5159–5176 (http://dx.doi.org/10.1016/S0045-7825(02)00442-5) (дата обращения: 08.11.2016).
11. Steindl A., Troger H. Optimal control of deployment of tethered subsatellite // Nonlinear Dyn. – 2003. – Vol. 31. – No. 3. – P. 257–274. DOI: 10.1023/A:1022956002484
12. Williams P. Deployment/retrieval optimization for flexible tethered satellite systems // Nonlinear Dynamics. – 2008. – Vol. 52. – Iss.1. – P. 159–179. DOI: 10.1007/s11071-007-9269-3
13. Cao D.Q., Tucker R.W. Nonlinear dynamics of elastic rods using the Cosserat theory: Modelling and simulation // Int. Journal of Solids and Structures. – 2008. – Vol. 45. – Iss. 2. – P. 460–477 (http://dx.doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2007.08.016) (дата обращения: 08.11.2016).
14. Luo Y., Xu M., Zhang X. Nonlinear self-defined truss element based on the plane truss structure with flexible connector // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. – 2010. – Vol. 15. – Iss. 10. – P. 3156–3169 (http://dx.doi.org/10.1016/ j.cnsns.2009.11.006) (дата обращения: 08.11.2016).
15. Akour S.N. Dynamics of nonlinear beam on elastic foundation // Proceedings of the World Congress on Engineering. Vol. II. WCE 2010, June 30-July 2, 2010. – London, U.K, 2010. – P. 1427–1433 (http://www.iaeng.org/publication/WCE2010/WCE2010_pp1427-1433.pdf) (дата обращения: 08.11.2016).
16. Qin Z.Y., Yan S.Z., Chu F.L. Dynamic analysis of clamp band joint system subjected to axial vibration // J. Sound Vib. – 2010. – Vol. 329. – P. 4486–4500 (http://dx.doi.org/10.1016/ j.jsv.2010.05.012) (дата обращения: 08.11.2016).
17. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Динамика плоского движения тела с системой последовательно соединённых упруговязкими шарнирами гибких нерастяжимых стержней при больших углах поворота // Изв. РАН. МТТ. – 2011. – № 2. – С. 109–117. DOI: 10.3103/S0025654411020130
18. Lenci S., Clementi F. Effects of shear stiffness, rotatory and axial inertia, and interface stiffness on free vibrations of a two-layer beam // J. Sound Vib. – 2012. – Vol. 331. – P. 5247–5267.
    DOI: 10.1016/j.jsv.2012.07.004
19. Li F.M., Wu Z.J., Liu R.Q. Study on the dynamics problems of truss structure with joints // Journal of Astronautics. – 2012. – Vol. 33. – No. 5. – P. 556–561. DOI: 10.3873/j.issn.1000-1328.2012.05.005
20. Shon S.D., Lee S.J., Lee G.G. Characteristics of bifurcation and buckling load of space truss in consideration of initial imperfection and load mode // J. Zhejiang Univ. Sci. A. – 2013. – Vol. 14. – P. 206–218. DOI:10.3390/ma8052400
21. Stability of shallow arches under constant load / J.H. Ha, S. Gutman, S.D. Shon, S.J. Lee // Int. J. Nonlinear Mech. – 2014. – Vol. 58. – P. 120–127 (http://dx.doi.org/10.1016/ j.ijnonlinmec.2013.08.004) (дата обращения: 08.11.2016).
22. Lee K., Han S.-E., Hong J.-W. Post-buckling analysis of space frames using concept of hybrid arc-length methods // Int. J. Nonlinear Mech. – 2014. – Vol. 58. – P. 76–88 (http://dx.doi.org/ 10.1016/j.ijnonlinmec.2013.09.003) (дата обращения: 08.11.2016).
23. Lenci S., Clementi F., Warminski J. Nonlinear dynamics of a two-layer composite beam with nonlinear interface with different boundary conditions // 11th World Congress on Computational Mechanics (WCCM XI). 5th European Conference on Computational Mechanics (ECCM V). 6th European Conference on Computational Fluid Dynamics (ECFD VI). July 20–25, 2014. – Barcelona, Spain (http://www.wccm-eccm-ecfd2014.org/admin/ files/fileabstract/a2413.pdf) (дата обращения: 08.11.2016).
24. Shon S., Lee S., Ha J., Cho C. Semi-analytic solution and stability of a space truss using a high-order Taylor series method // Materials. – 2015. – Vol. 8. – P. 2400–2414. DOI: 10.3390/ma8052400
25. Garcia A., Singhose W., Ferri A. Dynamics and control of off-centered crane lifts // 10th Asian Control Conference (ASCC, 31 May-3 June 2015). – Kota Kinabalu (Malaysia), 2015. – P. 1–6. DOI: 10.1109/ASCC.2015.7244753
26. Chen R., Wu T. Vibration reduction in a periodic truss beam carrying locally resonant oscillators // Journal of Vibration and Control. – 2016. – Vol. 22. – No. 1. – P. 270–285. DOI: 10.1177/1077546314528020
27. Lepidi M., Gattulli V. Non-linear interactions in the flexible multi-body dynamics of cable-supported bridge cross-sections // Int. J. Nonlinear Mech. – 2016. – Vol. 80. – P. 14–28 (http://dx.doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2015.09.009) (дата обращения: 08.11.2016).
28. Franzini G.R., Mazzilli C.E.N. Non-linear reduced-order model for parametric excitation analysis of an immersed vertical slender rod // Int. J. Nonlinear Mech. – 2016. – Vol. 80. – P. 29–39 (http://dx.doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2015.09.0190) (дата обращения: 08.11.2016).
29. Piccardo G., Tubino F., Luongo A. Equivalent nonlinear beam model for the 3-D analysis of shear-type buildings: Application to aeroelastic instability // Int. J. Nonlinear Mech. – 2016. – Vol. 80. – P. 52–65 (http://dx.doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2015.07.013) (дата обращения: 08.11.2016).
30. Данилин А.Н., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. О неявных алгоритмах интегрирования задачи Коши для параметризованных уравнений, описывающих динамическое поведение механических систем // ПММ. – 2003. – Т. 67. – Вып. 6. – С. 1053–1069.
31. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.
32. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. Серия «Механика твердых деформируемых тел». Т. 5 / Всерос. ин-т науч. техн. инф. АН СССР. – М., 1973. – 272 с.
33. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 541 с.
34. Donea J., Huerta A., Ponthot J.-Ph., Rodriguez-Ferran A. Arbitrary Lagrangian-Eulerian methods. Encyclopedia of computational mechanics. – New York: Wiley, 2004. – P. 413–437.
    DOI: 10.1002/0470091355.ecm009
35. Reddy J.N. An introduction to nonlinear finite analysis. – Oxford: Oxford Univ. Press, 2004. DOI:10.1093/acprof:oso/9780198525295.001.0001
36. Жилин П.А. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней: учеб. пособие. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2007. – 100 с.

Одна из важных проблем механики роторных систем – динамика ротора при его контактном взаимодействии со статорными элементами (задевании) в процессе движения. Известны случаи, когда задевание ротора о статор в турбомашинах приводило к серьезным авариям.

Цель описанного в настоящей работе исследования – получение детальных экспериментальных данных о движении ротора с задеванием о статор, пригодных для верификации расчетных моделей, математическое моделирование и выявление диагностических признаков задевания по характеристикам вибрации применительно к роторным системам с анизотропией жесткости опор.

Разработана методика и проведено экспериментальное исследование поведения гибкого неуравновешенного ротора, установленного на шариковых подшипниках, при его контакте со статором с учетом взаимного влияния анизотропии жесткости опор, величины дисбаланса, условий трения в контакте, упругой податливости статора. На основе модели Джеффкотта разработана и идентифицирована по экспериментальным данным расчетная методика, которая позволяет моделировать динамику ротора при его контакте со статором с учетом перечисленных выше факторов. Данная модель объясняет появление дополнительных гармоник, появляющихся на диаграмме Кэмпбелла и амплитудно-частотных характеристиках при задевании ротора о статор, позволяя использовать их в качестве диагностического признака.

Разработанная экспериментальная методика и полученные данные могут быть использованы для верификации и отработки расчетных методик. Разработанная методика математического моделирования может быть использована для выяснения и устранения причин задевания ротора о статор, а также как основа более сложных моделей, разрабатываемых с целью повышения вибрационной надежности роторных систем.

Ключевые слова: роторная динамика, роторная система, анизотропия жесткости опор, задевание ротора о статор, математическое моделирование.

Куракин Антон Дмитриевич – аспирант, e-mail: dj-anton-pstu-2010@mail.ru

Нихамкин Михаил Шмерович – доктор технических наук, профессор, e-mail: nikhamkin@mail.ru

Семенов Сергей Валерьевич – ассистент, e-mail: sergey.semyonov@mail.ru

1. Кельзон А.С., Журавлев Ю.Н., Январев Н.В. Расчет и конструирование роторных машин. – Л.: Машиностроение. 1977. – 288 с.
2. Bently D. Fundamentals of rotating machinery diagnostics. – Bently pressurized bearing press. NW, USA. 2002. – 726 p.
3. Muszynska A. Rotordynamics. Taylor & Francis Group. – NW, USA, 2005. – 1054 p.
4. Разрушение турбоагрегата 300 МВт Каширской ГРЭС: причины, последствия и выводы / И.Ш. Загретдинов, А.Г. Костюк, А.Д. Трухний, П.Р. Должанский // Теплоэнергетика. – 2004. – № 5. – С. 5–15.
5. Банах Я.Л. Проблемы колебаний и устойчивости роторных систем // Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем: сб. тр. XVIII Междунар. симпозиума / Ин-т машиностр. им. А.А. Благонравова РАН. – М., 2015. С. 34–41.
6. Костюк А.Г., Шатохин В.Ф., Волоховская О.А. Движение неуравновешенного ротора с задеванием о статор // Теплоэнергетика. – 2012. – № 2. – С. 3–11.
7. Иноземцев А.А., Нихамкин М.Ш., Сандрацкий В.Л. Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок. – М.: Машиностроение, 2008. – Т. 4. – 192 с.
8. Белоусов А.И., Балякин В.Б., Новиков Д.К. Теория и проектирование гидродинамических демпферов опор роторов / под ред. А.И. Белоусова. – Самара: Изд-во Самар. науч. центра РАН, 2002. – 335 с.
9. Никифоров А.Н. Обобщенная математическая модель ротора Джеффкотта-Лаваля с учетом его проскальзывания при контакте и несоосности со статором // Вестник научно-технического развития. – 2012. – № 5 (57). – С. 41–56.
10. Hamit Saruhan, Suat Saridemir, Ömer Erkan. The effect of full annular rub on the rotating machinery system considering different rub materials and shaft running speeds // U.P.B. Sci. Bull., Series D. – 2013. – Vol. 75. – Iss. 4. – P. 198–209.
11. Grissom Robert. Partial rotor-to-stator rub demonstration // Proceedings of a symposium Instability in Rotating Machinery. Carson City, Nevada June 10-14, 1985. – Nо. 86–30197. – P. 427–430.
12. Mohamed A.A., Mohamed E.E., Mohamed G.Z. Effect of partial rotor-to-stator rub on shaft vibration // Journal of Mechanical Science and Technology. – 2009. – No. 23. – Р. 170–182.
13. Баландин Д.В., Никифоров А.Н., Шохин А.Е. Влияние вибрации статора на движение неуравновешенного гибкого ротора при их контактном взаимодействии // Вестн. Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. – 2013. – № 1 (3). – С. 47–54.
14. Dynamic response of a rub-impact rotor system under axial thrust / An Xueli, Zhou Jianzhong, Xiang Xiuqiao, Li. Chaoshun, Luo Zhimeng // Archive of Applied Mechanics. November. – 2009. – Vol. 79. – Iss. 11. – P. 1009–1018.
15. Шатохин В.Ф. Стационарные и нестационарные колебания роторов турбоагрегатов с обкатом ротором статора при задеваниях (методы математического моделирования и программные средства): дис. … д-ра техн. наук. – Калуга, 2014. – 283 с.
16. Feng Z.C., Zhang Xiao-Zhang. Rubbing phenomena in rotor–stator contact // Chaos, Solitons and Fractals. – 2002. – Vol. 14. – P. 257–267.
17. Костюк А.Г., Шатохин В.Ф., Циммерман С.Д. Численное моделирование нестационарных колебаний после внезапной разбалансировки многоопорного ротора с обкатом неуравновешенного ротора по статору // Электрические станции. – 2012. – № 9. – С. 33–41.
18. Seung-Mock Lee, Yeon-Sun Choi. Fault diagnosis of partial rub and looseness in rotating machinery using Hilbert-Huang transform // Journal of Mechanical Science and Technology. – 2008. – Vol. 22. – P. 2151–2162.
19. Tchomeni B.X., Alugongo A.A., Masu L.M. A fault analysis cracked-rotor-to-stator rub and unbalance by vibration analysis technique. International // Journal of Mechanical, Aerospace, Industrial, Mechatronic and Manufacturing Engineering. – 2015. – Vol. 9. – No. 11. – P. 1811–1820.
20. Hee L.M., Leong M.S., Keng N.W. Vibration analysis of rub in rotating machinery // Applied Mechanics and Materials. – 2013. – Vol. 390. – P. 215–219.
21. Vibration response analysis caused by rubbing between rotating blade and casing / H. Ma, F. Yin, X. Tai, Di Wang, B. Wen // Journal of Mechanical Science and Technology. – 2016. – Vol. 30. – Iss. 5. – P. 1983–1995.
22. Русов В.А. Диагностика дефектов вращающегося оборудования по вибрационным сигналам. – Пермь: Вибро-Центр, 2012. – 200 с.
23. Вибрационная диагностика технического состояния ГТД в составе газоперекачивающих агрегатов / А.А. Дегтярев, М.Е. Колотников, В.Г. Кульчихин, М.К. Леонтьев, С.С. Некрасов // Вестн. Моск. авиац. ин-та, 2001. – Т. 4. – № 4. – С. 12–28.
24. Раннее обнаружение и локализация скрытых дефектов узлов ГТД по данным многомерного дискриминатного анализа корпусной вибрации / А.Г. Соколова, Ф.Я. Балицкий, Г.В. Долаберидзе, М.А. Иванова // Вестн. науч.-техн. развития. – 2013. – № 11 (75). – С. 50–59.
25. Detection of shaft-seal rubbing in large-scale power generation turbines with acoustic еmissions. Case study. Proceeding of the Institution of Mechanical Engineers. Part A. / D. Mba, A. Cooke, D. Roby, G. Hewitt. // Journal of Power and Energy. – 2004. – Vol. 218. – No. 2. – P. 71–81.
26. Нихамкин М.Ш., Семенов С.В., Мехоношин Г.В. Экспериментальное исследование демпфирования колебаний двухвальной роторной системы газотурбинного двигателя // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 11 (ч. 2). – С. 280–284.
27. Experimental investigation of rotor dynamics in aircraft engine with two-axis stiffness anisotropy of supports / S.V. Semenov, M.Sh. Nikhamkin, O.V. Korepanova, Y.A. Berendorf // 29th Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences, ICAS 2014 CD-ROM PROCEEDINGS. 2014.
28. Twin Shaft Rotor System Vibration Damping Experimental Investigation / M.S. Nikhamkin, S.V. Semenov, G.V. Mekhonoshin, I.V. Semenova, N.A. Sazhenkov // Applied Mechanics and Materials. – 2015. – P. 918–921.
29. Особенности модального анализа роторов с цанговыми соединениями деталей /
    М.Ш. Нихамкин, Г.В. Мехоношин, С.В. Семенов, Б.П. Болотов // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 10 (ч. 2). – С. 280–288.
30. Cеменов С.В., Мехоношин Г.В. Информационно-измерительная система управления модельной двухвальной роторной установкой [Электронный ресурс] / Инновационные технологии: теория, инструменты, практика (InnoTech 2013). – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. http://conference.msa.pstu.ru/sekcia_1/informatsionno-izmeritelnaya.