Предложена модель сегнетоэлектрической структуры, состоящей из однородного пьезоактивного полупространства с неоднородным покрытием, представляющим собой либо слой, либо пакет однородных или функционально-градиентных пьезоактивных слоев. Предполагается, что полупространство, равно как и покрытие, являющиеся в естественном ненапряженном состоянии пьезоэлектриками гексагональной сингонии класса 6mm, находятся в условиях воздействия начальных механических напряжений. Исследования динамических свойств функционально-ориентированных предварительно напряженных структур проводятся в лагранжевой (материальной) прямоугольной системе координат, использованы линеаризованные определяющие соотношения и уравнения движения. Методами операционного исчисления краевая задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае однородных составляющих структуры функция Грина строится в замкнутой форме аналитическим образом на основе решение системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В случае неоднородных (функционально-градиентных) составляющих система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами специальной заменой сводится к системе начальных задач Коши. В этом случае функция Грина строится численно на основе использования численных процедур Рунге-Кутты с модификацией Мерсона, которая позволяет эффективно контролировать погрешность вычислений. При построении функции Грина сегнетоэлектрической структуры с неоднородным покрытием использован матричный подход, позволяющий сочетать аналитические и численные методы построения отдельных ее составляющих. Изучено влияние вида и величины начальных напряжений на особенности распространения поверхностных волн в гетероструктурах. Установлены условия, при которых действие начальных механических напряжений приводит к увеличению скорости волны Гуляева-Блюштейна относительно скорости исходного материала, а также условия, при которых пьезоэлектрическая структура перестает быть слабо неоднородной.

Ключевые слова: пьезоэлектрическая структура, неоднородное покрытие, функционально градиентный материал, гармонические колебания, сдвиговые горизонтально поляризованные (SH) волны, волна Гуляева-Блюштейна, поверхностные акустические волны (ПАВ), начальные механические напряжения, однородное начально деформированное состояние (НДС)

Калинчук Валерий Владимирович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: kalin@ssc-ras.ru

Белянкова Татьяна Ивановна – кандидат физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник,e-mail: tbelen415@mail.ru

1. Maugin G.A. Continuum Mechanics of Electromagnetic Solids. – Amsterdam, Elsevier Science Publishers, 1991. – 621 p.
2. Thurston R.N., Brugger K. Third-order elastic constants and the velocity of small amplitude elastic waves in homogeneously stressed media // Phys. Rev. – 1964 – Vol. 133. – No. 6A – P. A1604–A1610.
3. Tiersten H.F. Electroelastic equations for electrode thin plates subject to large driving voltages // J. Appl. Phys. – 1993. – Vol. 74. – No. 5 – P. 3389–3393.
4. Chai J.F., Wu T.T. Propagation of surface waves in a prestressed piezoelectric material // J. Acoust. Soc. Amer. – 1996. – Vol. 100. – No. 4. – Pt. 1 – P. 2112–2122.
5. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных полуограниченных тел. – М.: Физматлит, 2008. – 240 с.
6. Калинчук В.В., Белянкова Т.И., Евдокимова О.В. Определяющие соотношения динамики преднапряженной пьезоактивной среды в отсутствие внешних электрических полей // Вестн. Южного научного центра РАН. – 2006. – Т. 2, № 1. – С. 16–23.
7. Евдокимова О.В., Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Уравнения динамики преднапряженной пьезоактивной среды при наличии внешнего электростатического поля // Вестн. Южного научного центра РАН. – 2007. – Т. 3, № 4. – С. 19–25.
8. Liu H., Wang Z.K., Wang T.J. Effect of initial stress on the propagation behavior of Love waves in a layered piezoelectric structure // Int. J.Eng Sci. – 2001. – Vol. 38. – P. 37–51.
9. Jin F., Wang Z., Wang T. The Bleustein–Gulyaev (B–G) wave in a piezoelectric layered half-space // Int. J.Eng Sci. – 2001. – Vol. 39. – P. 1271–1285.
10. Liu H., Kuang Z.B., Cai Z.M. Propagation of Bleustein–Gulyaev waves in a prestressed layered piezoelectric structure // Ultrasonics. – 2003. – Vol. 41. – P. 397–405.
11. Love waves propagation in a piezoelectric layered structure with initial stresses / Z. Qian, F. Jin, Z. Wang, Xi’an China, K. Kishimoto // Acta Mechanica. – 2004. – Vol. 171. – P. 41–57.
12. Белянкова Т.И., Лыжов В.А. Некоторые особенности динамики слабо неоднородных пьезоактивных структур // Вестн. Южного научного центра РАН. – 2010. – Т. 6, № 2. – С. 3–10.
13. Collet B., Destrade M., Maugin G.A. Bleustein–Gulyaev waves in some functionally graded materials // European Journal of Mechanics A/Solids. – 2006. – Vol. 25. – Р. 695–706.
14. Bleustein-Gulyaev waves in a functionally graded piezoelectric material layered structure / C. Xiaoshan, J. Feng, W. ZiKun, L. TianJia // Science in China Series G: Physics, Mechanics & Astronomy. – 2009. – Vol. 52. – No. 4. – Р. 613–625.
15. Transverse surface waves on a piezoelectric material carrying a functionally graded layer of finite thickness / Z. Qian, F. Jin, Z. Wang, K. Kishimoto // International Journal of Engineering Science. – 2007. – Vol. 45 – P. 455–466.
16. Effect of initial stress on Love waves in a piezoelectric structure carrying a functionally graded material layer / Z.-H. Qian, F. Jin, T. Lu, K. Kishimoto, S. Hirose // Ultrasonics. – 2010. – Vol. 50 – P. 84–90.
17. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – М.: Наука, 1980. – 512 с.
18. Surface Acoustic Waves in Inhomogeneous Media / S.V. Biryukov, Y.V. Gulyaev, V.V. Krylov, V.P. Plessky. – New York, Springer-Verlag, 1995. – 287 p.
19. Калинчук В.В., Белянкова Т.И., Богомолов А.С. К проблеме моделирования неоднородных материалов с заданными свойствами // Эколог. вестн. науч. центров Черноморского экономического сотрудничества. – 2006. – № 2. – С. 26–32.
20. Численно-аналитическое построение матриц Грина трехмерных теорий упругости и электроупругости / Л.А. Игумнов, С.Ю. Литвинчук, В.П. Пазин, А.Н. Петров // Вестн. Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. – 2010. – № 3–1. – С. 134–140.
21. Igumnov L.A., Markov I.P., Rataushko Y.Y. Modeling the dynamics of 3-d elastic anisotropic solids using boundary element method // Advanced Materials Research. – 2014. – Vol. 1040. – P. 633–637.
22. Balogun S., Achenbach J.D. Surface waves on a half-space with depth dependent properties // J. Acoust. Soc. Am. – 2012. – Vol. 132. – No. 3. – P. 1336–1345.
23. Balogun S., Achenbach J.D. Surface waves generated by a line load on a half-space with depth-dependent properties // Wave Motion. – 2013. – Vol. 50 – P. 1063–1072.
24. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. К проблеме анализа динамических свойств слоистого полупространства // Акустический журнал. – 2014. – Т. 60, № 5. – С. 492–504.
25. Akusticheskie kristally: Spravochnik. [Acoustic crystals: a Handbook]. Eds. Shaskolskaya M.P. – Moscow: Nauka Publishers, 1982. – 632 p.
26. Sharma J.N., Pal M., Chand D. Propagation characteristics of Rayleigh waves in transversely isotropic piezothermoelastic materials // Journal of Sound and Vibration. – 2005. – Vol. 284. – P. 227–248.
27. Material Specification Sheet. Available at: www.delpiezo.com/products.

Рассматривается связанная нестационарная задача о распространении осесимметричных возмущений от сферической полости в электромагнитоупругом пространстве. Предполагается, что среда является однородным изотропным проводником. Используются линейные уравнения движения упругой среды с учетом линеаризованных сил Лоренца, а также уравнения Максвелла совместно с линеаризованным обобщенным законом. Начальные условия нулевые, на границе полости заданы перемещения и тангенциальная компонента напряженности электрического поля.

Для решения искомые функции раскладываются в ряды по полиномам Лежандра и Гегенбауэра, а также в ряды по малому параметру, характеризующему связь механических и электромагнитных полей. Кроме того, применяется преобразование Лапласа по времени. В результате получается рекуррентная по малому параметру последовательность краевых задач, решение которых представляется в интегральной форме с ядрами в виде объемных и поверхностных функций Грина.

Изображения функций Грина найдены в явном виде. Их «упругая» часть с помощью связи модифицированных функций Бесселя с элементарными функциями приводится к сумме произведений рациональных функций параметра преобразования Лапласа на экспоненты, что позволяет находить их оригиналы точно с помощью соответствующих теорем операционного исчисления. «Электромагнитная» часть функций Грина строится в квазистатическом приближении.

В результате в пространстве оригиналов построена разрешающая система рекуррентных уравнений, позволяющая находить перемещения и все компоненты электромагнитного поля. При вычислении входящих в нее интегралов используются квадратурные формулы. Даны примеры расчетов. Приведено численное исследование сходимости рядов по малому параметру.

Ключевые слова: нестационарная связанная электромагнитоупругость, пространство, сферическая полость, ряды, преобразование Лапласа, функции Грина

Вестяк Владимир Анатольевич – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: v.a.vestyak@mail.ru

Кузнецова Елена Львовна – кандидат физико-математичкских наук, доцент кафедры, e-mail: vida_ku@mail.ru

Тарлаковский Дмитрий Валентинович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: tdvhome@mail.ru

1. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость; отв. ред. А.Н. Гузь. – Киев: Наукова думка, 1989. – 280 с.
2. Gupta Mange Ram. Symmetric vibrations of an elastic semiconductor in the form of a spherical shell under mechanical, thermal and electric fields // Indian J. Pure and Appl. Math. – 1990. – Vol. 21. – No. 6. – P. 582–596.
3. Xiao Yu, Bhattacharya Kaushik. A continuum theory of deformable, semiconducting ferroelectrics // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 2008. – Vol. 189. – No. 1. – P. 59–95.
4. Партон В.З., Кудрявцев Б.А., Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. – М.: Наука,1988. – 470 с.
5. Гачкевич О.Р., Мусiй Р.С. Несущая способность электропроводящих элементов кононической формы при действии электромагнитных импульсов. Несуча здатнiсть електропровiдних елементiв канонiчноi форми за дii електромагнетних iмпульсiв // Фiз.-хiм. мех. матер. – 2010. – № 4. – С. 92–97.
6. Дашко О.Г. Несвязанная задача магнитоупругости для ферромагнитного тела со сферической полостью // Прикл. мех. – 2007. – Т. 43, № 10. – С. 42–48.
7. Aouadi M. Electromagneto-thermoelastic fundamental solutions in a two-dimensional problem for short time // Acta mech. – 2005. – Vol. 174. – No. 3–4. – P. 223–240.
8. Ватульян А.О. Фундаментальные решения в нестационарных задачах электроупругости // Прикл. мат. и мех. – 1996. – Т. 60, № 2. – С. 309–312.
9. Ding H.J., Wang H.M., Chen W.Q. Dynamic response of a pyroelectric hollow sphere under radial deformation // Eur. J. Mech. A. – 2004. – Vol. 22. – No. 4. – С. 617–631.
10. Allam Mohmed N., Elsibai Khaled A., Abouelregal Ahmed E. Magneto-thermoelasticity for an infinite body with a spherical cavity and variable material properties without energy dissipation // Int. J. Solids and Struct. – 2010. – Vol. 47. – No. 20. – P. 2631–2638.
11. Бабаев А.Э., Савин В.Г. Излучение нестационарных акустических волн толстостенной электроупругой сферой // Прикл. мех. – 1995. – Т. 31, № 11. – С. 25–32.
12. Бабаев А.Э., Савин В.Г., Джулинский А.В. Аналитический метод решения задачи излучения нестационарных волн сферическим пьезопреобразователем // Теор. и прикл. мех. – 2003. – № 37. – С. 195–199, 213.
13. Бабаев А.Э., Савин В.Г., Стадник А.И. Излучение звука системой пьезокерамических сферических оболочек при электрическом импульсном возбуждении // Прикл. мех. – 1988. – Т. 24, № 10. – С. 34–40.
14. Бабаев А.Э., Рябуха Ю.Н., Савин В.Г. Возбуждение толстостенной пьезокерамической сферы нестационарными электрическими импульсами // Изв. АН. Мех. тверд. тела. – 1995. –
    № 5. – С. 94–101.
15. Савин В. Г., Моргун И. О. Преобразование электрических импульсов в акустические экранированной сферической пьезокерамической оболочкой // Прикл. мех. – 2007. – Т. 43, № 2. – С. 133–142.
16. Vestyak V.A., Lemeshev V.A., Tarlakovskii D.V. The Propagation of Time-Dependent Radial Perturbations from a Spherical Cavity in an Electromagnetoelastic space // Doklady Physics. – 2010. – Vol. 55. – Iss. 9. – P. 468–470.
17. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Одномерные нестационарные волны в толстостенной электромагнитоупругой сфере // Эколог. вестн. науч. центров ЧЭС. – 2011. – № 4. – С. 16–21.
18. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Исследование нестационарных радиальных колебаний электромагнитоупругой толстостенной сферы с помощью численного обращения преобразования Лапласа // Вестн. Твер. гос. ун-та. Серия: Прикладная математика. – 2014. – № 1. – Вып. 9. – С. 51–64.
19. Vestyak V.A., Igumnov L.A., Tarlakovsky D.V. Electromagnetic filds in movings space with spherical enclosure // Materials physics and mechanics (MPM). – 2015. – Vol. 23. – No. 1. – P. 31–35.
20. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Нестационарные осесимметричные объемные возмущения в пространстве со сферической полостью // Методи розв'язування прикладних задач механiки деформiвного твердого тiла: збiрник наукових праць Днiпропетр. нацiон. ун-та. – Днiпропетровськ: Наука i освiта, 2010. – Вип. 11. – С. 49–56.
21. Tarlakovskii D.V., Vestyak V.A., Zemskov A.V. Dynamic processes in thermo-ectro-magneto-elastic and thermo-elasto-diffusive media // Encyclopedia of Thermal Stresses. Vol. 2. – Dordrecht, Heidelberg, New York, London: Springer, 2014. – P. 1064–1071.
22. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. – 287 с.
23. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами: пер. с англ. – М.: Наука, 1979. – 832 с.
24. Лаврентьев М.А, Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1973. – 736 c.
25. Gorshkov A.G., Tarlakovskiy D.V. Transient Aerohydroelasticity of Spherical Bodies. – Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 2001. – 289 p.
26. Григорьев И.С., Мейлихов Е.З. Физические величины: справочник. – М.: Энергоатомиздат, 1991. – 1232 с.

Дано описание математической модели частично насыщенной пористой среды, основанной на модели Био, с пятью базовыми функциями описания волнового процесса. В изображениях по Лапласу приведена математическая модель краевой задачи трехмерной динамической теории пороупругости. На основе теоремы операционного исчисления об интегрировании оригинала представлен шаговый метод численного обращения преобразования Лапласа. В качестве метода решения краевых задач трехмерной динамической теории пороупругости выбран прямой вариант метода граничных интегральных уравнений и приведено соответствующее граничное интегральное уравнение. Выписаны соответствующие матрицы фундаментальных и сингулярных решений трехмерной динамической теории пороупругости. Представлено краткое описание гранично-элементной дискретизации. Методическое обеспечение опирается на использование регуляризованного граничного интегрального уравнения, записанного с учетом преобразований симметрии задачи. Граничная поверхность исследуемого тела разбивается обобщенными восьмиузловыми четырехугольными элементами. Применяется согласованная поэлементная аппроксимация. Коллокационные точки решения граничного интегрального уравнения совпадают с узлами интерполяции неизвестных граничных функций. Для повышения точности интегрирования по элементу, не содержащему коллокационную точку, кроме формул интегрирования Гаусса, применяется также иерархический алгоритм интегрирования. Возникающие дискретные аналоги решаются методом Гаусса на основе шагового процесса получения значений граничных функций. Шаговый процесс определяется шаговым алгоритмом численного обращения преобразования Лапласа. Рассмотрена задача о скачке единичной поверхностной силы на торце призматического частично насыщенного пороупругого тела. В качестве пористого материала выбран песчаник. Для верификации гранично-элементной модели используется аналитическое решение соответствующей одномерной задачи. Проведено исследование решения задачи на сходимость по расчетной сетке, а также рассмотрено влияние параметра шаговой схемы на решение.

Ключевые слова: пористая среда, модель Био, преобразование Лапласа, граничные интегральные уравнения, метод граничных элементов, шаговая схема, призматическое тело, аналитическое решение

Игумнов Леонид Александрович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: igumnov@mech.unn.ru

Петров Андрей Николаевич – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: andrey.petrov@mech.unn.ru

1. Frenkel J. On the theory of seismic and seismoelectric phenomena in a moist soil // Journal of Physics. – 1944. – Vol. 8. – P. 230–241.
2. Косачевский Л.Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах // Прикладная математика и механика. – 1959. – Т. 23, № 6. – С. 1115–1123.
3. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturatedporous solid. I. Low-frequency range // Journal of the Acoustical Society of America. – 1956. – Vol. 28. – P. 168–178. DOI: 10.1121/1.1908239
4. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II. Higher-frequency range // Journal of the Acoustical Society of America. – 1956. – Vol. 28. – P. 179–191. DOI: 10.1121/1.1908241
5. Brutsaert W. The propagation of elastic waves in unconsolidated unsaturated granular mediums // Journal of Geophysical Research. – 1964. – Vol. 69. – P. 243–257. DOI: 10.1029/JZ069i002p00243
6. Nikolaevskij V.N. Mechanics of porous and fractured media. Singapore, World Scientific, 1990. – 472 p.
7. Garg S.K., Nayfeh A.H. Compressional wave propagation in liquid and/or gas saturated elastic porous media // Journal of Applied Physics. – 1986. – Vol. 60. – P. 3045–3055. DOI: 10.1063/1.337760
8. Santos J.E., Corberó J.M., Douglas J.Jr. Static and dynamic behavior of a porous solid saturated by a two-phase fluid // Journal of the Acoustical Society of America. – 1990. – Vol. 87. – P. 1428–1438. DOI: 10.1121/1.399439
9. A model for wave propagation in a porous medium saturated by a two-phase fluid / J.E. Santos, J.Jr. Douglas, J. Corberó, O.A. Lovera // Journal of the Acoustical Society of America. – 1990. – Vol. 87. – P. 1439–1448. DOI: 10.1121/1.399440
10. Tuncay K., Corapcioglu M.Y. Body waves in poroelastic media saturated by two immiscible fluids // Journal of Geophysical Research. – 1996. – Vol. 101. – P. 25149–25159. DOI: 10.1029/96JB02297
11. Tuncay K., Corapcioglu M.Y. Wave propagation in poroelastic media saturated by two fluids // Journal of Applied Mechanics. – 1997. – Vol. 64. – P. 313–320. DOI: 10.1115/1.2787309
12. Wei C., Muraleetharan K.K. A continuum theory of porous media saturated by multiple immiscible fluids: I. Linear poroelasticity // International Journal of Engineering Science. – 2002. – Vol. 40. – P. 1807–1833. DOI: 10.1016/S0020-7225(02)00068-X
13. Lo W.-C., Sposito G., Majer E. Wave propagation through elastic porous media containing two immiscible fluids // Water Resources Research. – 2005. – Vol. 41. – P. 140–160. DOI: 10.1029/2004WR003162
14. Lu J.-F., Hanyga A., Jeng D.-S. A mixture-theory-based dynamic model for a porous medium saturated by two immiscible fluids // Journal of Applied Geophysics. – 2007. – Vol. 62. – P. 89–106. DOI: 10.1016/j.jappgeo.2006.08.002
15. Berryman J.G. Waves in partially saturated porous media / Eds. In W.E. Fitzgibbon, M.F. Wheeler // Wave Propagation and Inversion (Proceedings of SIAM Conference on Mathematical and Computational Issues in Geophysical Fluid and Solid Mechanics) SIAM, Philadelphia, 1992. – P. 1–25.
16. Smeulders D., De La Rosette J., Van Dongen M. Waves in partially saturated porous media // Transp. Porous. Med. – 1992. – Vol. 9. – P. 25–37.
17. Thomas S.D. A finite element model for the analysis of wave induced stresses, displacements and pore pressures in an unsaturated seabed I // Theory. Comput. Geotech. – 1989. – Vol. 8. – P. 1–38.
18. Thomas S.D. A finite element model for the analysis of wave induced stresses, displacements and pore pressures in an unsaturated seabed II // Model verification. Comput. Geotech. – 1995. –
    Vol. 17. – P. 107–132.
19. Meissner H., Becker A. Dynamic behaviour of partially saturated sand // T. Built Environ. – 1995. – Vol. 14. – P. 45–55.
20. Schanz M. Poroelastodynamics: Linear models, analytical solutions, and numerical methods // Appl. Mech. Re. – 2009. – Vol. 62 (3). – 15 p.
21. Li P., Schanz M. Wave propagation in a 1–d partially saturated poroelastic column // Geophys. J. Int. – 2011. – Vol. 184. – P. 1341–1353.
22. Gatmiri B., Jabbari E. Time-domain green’s function for unsaturated soils. Part I: two-dimensional solution // International Journal of Solids and Structures. – 2005. – Vol. 42. – P. 5971–5990.
23. Gatmiri B., Jabbari E. Time-domain Green’s function for unsaturated soils. Part II: three-dimensional solution // International Journal of Solids and Structures. – 2005. – Vol. 42. –P. 5991–6002.
24. Jabbari E., Gatmiri B. Thermo-Poro-Elastostatic Green Functions for Unsaturated Soils // Comput. Model. Eng. Sci. – 2008. – Vol. 18 (1). – P. 31–43.
25. Gatmiri B., Maghoul P., Duhamel, D. Two-dimensional transient thermo-hydro-mechanical fundamental solutions of multiphase porous media in frequency and time domains // Int. J. Sol. Struct. – 2010. – Vol. 47. – P. 595–610. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2009.10.022
26. Maghoul P., Gatmiri B., Duhamel D. Three-dimensional transient thermo-hydro-mechanical of unsaturated soils // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. – 2009. – Vol. 34. – P. 297–329. DOI: 10.1002/nag.820
27. Maghoul P., Gatmiri B., Duhamel D. Boundary integral formulation and two-dimensional fundamental solutions for dynamic behaviour analysis of unsaturated soils // International Journal of Soil Dynamics and Earthquake Engineering. – 2011. – Vol. 31 (11). – P. 1480–1495.
28. Analytical 3d transient elastodynamic fundamental solution of unsaturated soils / I. Ashayeri, M. Kamalian, M.K. Jafari, B. Gatmiri // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. – 2010. – Vol. 35. – P. 1801–1829.
29. Li P. Boundary element method for wave propagation in partially saturated poroelastic continua. Computation in engineering and science. Graz: Verlag der Technischen Universität, 2012.
30. Bishop A.W., Blight G.E. Some aspects of effective stress in saturated and partly saturated soils // Geotechnique. – 1963. – Vol. 13. – P. 177–197.
31. Brooks R.H., Corey A.T. Hydraulic properties of porous media. – In Hydraulic Papers. Colorado State Univ., 1964.
32. Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. – М.: Физматлит, 2008. – 352 с.
33. Lubich C. Convolution quadrature and discretized operational calculus // Numer. Math. I. – 1988. – Vol. 52 (2). – P. 129–145.
34. Lubich C. Convolution quadrature and discretized operational calculus // Numer. Math. II. – 1988. – Vol. 52 (4). – P. 413–425.
35. Schanz M. Wave Propagation in Viscoelastic and Poroelastic Continua. – Berlin Springer, 2001. – 170 p.
36. Литвинчук С.Ю., Петров А.Н., Сабаева Т.А., Решение задачи о действии давления внутри полости в пороупругом полупространстве // Проблемы прочности и пластичности. – 2014. – № 76 (2). – C. 97–105.

В настоящее время в современных высотных зданиях получили распространение конструкции железобетонных колонн с жесткой арматурой – сталежелезобетонные конструкции. Известно, что одним из ключевых факторов, обеспечивающих совместную работу арматуры и бетона в конструкции, является сцепление арматуры с бетоном. Традиционно для повышения сцепления стальной арматуры с бетоном применяют гибкие арматурные стержни с рифленой поверхностью. Но на жесткой арматуре в виде двутавра, которая используется для увеличения несущей способности железобетонных колонн, такое рифление отсутствует. Выполнено комплексное расчетно-экспериментальное исследование процесса начала разрушения связей сцепления при вдавливании стержня жесткой стальной арматуры в виде двутавра в бетон. Цель данной работы – определение параметров начала разрушения связей (расслоения) в зоне контакта «сталь-бетон» и типа разрушения в контактной зоне.

При описании механизма разделения поверхностей «сталь-бетон» использовалась модель связанной зоны материала (Cohesive Zone Material Model) с билинейным законом поведения контактного слоя, встроенная в программный комплекс ANSYS Workbench. Представлена математическая модель контактной краевой задачи, которая решалась методом конечных элементов. Теоретически и экспериментально установлено, что сцепление гладкой жесткой арматуры с бетоном класса В35 обеспечивается главным образом за счет адгезии, и этот процесс лучше всего описывает CZM модель.

Выяснены закономерности распределения контактного давления в зоне контакта «сталь-бетон», касательных напряжений в бетоне на гранях и поверхностях, примыкающих к двутавру. Получены результаты расчета взаимного смещения компонентов жесткой арматуры и бетона в зависимости от внешнего воздействия (во «времени»). Результаты данного исследования показывают, что наблюдается удовлетворительное соответствие расчетных и экспериментальных данных.

Ключевые слова: жесткая арматура, бетон, контактная задача, разрушение связей сцепления, адгезия, когезия, численное моделирование, эксперимент

Кашеварова Галина Геннадьевна – доктор технических наук, профессор, e-mail: ggkash@mail.ru

Мартиросян Анна Сергеевна – аспирант, e- mail: anka_31@mail.ru

Травуш Владимир Ильич – вице-президент, доктор технических наук, академик, e-mail: raasn@raasn.ru

1. Математическое моделирование процесса разрушения сцепления арматуры с бетоном. Ч. 1. Модели с учетом несплошности соединения / А.В. Бенин [и др.] // Инженерно-строительный журнал. – 2013. – № 5. – С. 86–144.
2. Бенин А. В. Деформирование и разрушение железобетона: аналитические, численные и экспериментальные исследования: моногр.; ПГУПС. – СПб., 2006. – 127 с.
3. Джонсон К.Л. Механика контактного взаимодействия: пер. с англ. – М.: Мир, 1989. – 510 с.
4. Сцепление полимеркомпозитной арматуры с цементным бетоном / В.Г. Хозин, [и др.] // Известия КГАСУ. – 2013. – № 1 (23). – С. 214–220.
5. Особенности сцепления с бетоном стержневой арматуры различных профилей / А.С. Семченко [и др.] // БСТ Экспертиза. – 2008. – № 8. – С. 58–62.
6. Холмянский М.М. Контакт арматуры с бетоном. – М.: Стройиздат, 1981. – 184 с.
7. Холмянский М.М. Технические теории сцепления арматуры с бетоном // Бетон и железобетон. – 1968. – № 12. – С. 10–13.
8. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. – М.: Стройиздат, 1996. – 416 с.
9. CEB-FIP Model Code 1990. Design Code // Comite Euro-International du Beton. – 1991. – 437 р.
10. Cruz J.S., Barros J. Modeling of bond between near-suгface mounted CFRP laminate strips and concrete // Computers and Structures. – 2004. – No. 82. – Р. 1513–1521.
11. Shima Н., Chou L.-L., Okamura Н. Micro and Масro Models for Bond in Reinforced Concrete // Journal of the Faculty of Engineering: University of Тokyo. – 1987. – Vol. XXXIX. – No. 2. – Р. 133–194.
12. ACI 440.3R-04 Guide Test Methods for Fiber-Reinforced Polymers (FRPs) for Reinforcing or Strengthening Concrete Structures, 2004. – 40 p.
13. RILEM/CEB/FIP Recommendations RC5: Bond test for reinforcing steel, Beam Test, 1978.
14. Coronado C.A., Lopez M.M. Numerical modeling of concrete-FRP debonding using a crack band approach // Journal of Composites for Constraction. ASCE. – 2010. – Vol. 14 (1). – Р. 11–20.
15. Numerical investigation on the effect of concrete-FRP bond on the flexural behavior of RC beams / S. Sajedi, F. Grassemzaden, M. Shekarchi, F. Faraji, M. Solemani // Concrete Solution – Grantham, Mechtcherine & Schneck (eds) / Taylor & Francis Group, London, 2012. – P. 293–298.
16. Изучение процесса разрушения связей сцепления при вдавливании стержня жесткой арматуры в бетон. Ч. 1. Экспериментальные исследования / В.И. Травуш [и др.] // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. – 2016. – Vol. 12. – Iss. 1. – С. 140–146.
17. Щеткова Е. А., Кашеварова Г. Г. Повышение прочности сцепления при сдвиге в зоне контакта «сталь–бетон» // Вестник гражданских инженеров. – 2015. – № 6 (53). – С. 70–75.
18. Евдокимов Н.И., Мацкевич А.Ф., Сытник В.С. Технология монолитного бетона и железобетона: учеб. пособие для строит. вузов.– М.: Высш. школа, 1980. – 335 с.
19. Goto У. Cracks Formed in Concrete Around Deformed Tension Bars // Journal of the American Concrete Institute. – 1971. – Vol. 68. – No.4. – Р. 244–251.
20. Машков Ю.К. Трибофизика металлов и полимеров: моногр. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2013. – 240 с.
21. Попов В.Л. Механика контактного взаимодействия и физика трения. От нанотрибологии до динамики землетрясений. – М.: Физматлит, 2013. – 352 с.
22. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций: моногр. / А.Н. Подгорный, П.П. Гонтаровский [и др.]. – Киев: Наук. думка, 1989. – 232 с.
23. Веселов А.А. Нелинейная теория сцепления арматуры с бетоном и ее приложения: дис. … д-ра техн. наук. – СПб., 2000. – 320 с.
24. Balazs G.L. Connecting Reinforcement to Concrete bу Bond // Beton- und Stahlbetonbau. – 2007. – No. 102. – Р. 46–50.
25. Rehm G. Ueber die Grundlagen des Verbundes zwischen Stahl und Beton // Deutscher Ausschuss for Stahlbeton. – 1961. – No. 138. – 59 р.
26. Бруяка В.А., Фокин В.Г., Кураева Я.В. Инженерный анализ в ANSYS Workbench: учеб. пособие. – Самара: Изд-во Сам. гос. техн ун-та, 2013. – 149 с.
27. Alfano G., Crisfield M.A. Finite Element Interface Models for the Delamination Anaylsis of Laminated Composites: Mechanical and Computational Issues // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2001. – Vol. 50. – Р. 1701–1736. 

Рассмотрена область вблизи пересечения ударной адиабаты твердого тела и кривой плавления. Последняя описана с помощью уравнения Симона. Влияние фазового перехода первого рода на вид ударной адиабаты проследим на примере пересечения ударной адиабаты твердого тела с его кривой плавления. Влияние перехода второго рода покажем на примере пересечения ударной адиабаты с критической изотермой рассматриваемого вещества.

Пересечение ударной адиабаты твердого тела с кривой плавления определяет состояние начала плавления. Пересечение адиабаты жидкости определяет состояние окончания плавления. Определение параметров состояния ударно-сжатого твёрдого тела произведено с помощью законов сохранения массы и импульса на фронте ударной волны и уравнения состояния в форме уравнения Ми-Грюнайзена. В области жидкой фазы в уравнении Ми-Грюнайзена учтено уменьшение тепловой составляющей жидкой фазы вследствие расхода её на плавление твёрдого тела. Развитая модель продемонстрирована для легкоплавких металлов Pb, Bi, Cd, Sn II. Проанализированы экспериментальные данные по изменению с температурой различных физико-химических свойств веществ, подвергнутых воздействию ударных волн. Отмечено, что при температурах, близких к критическим, проявляются особенности в ходе изменения этих свойств с температурой.

Модельные результаты, подтверждённые известными экспериментальными данными, показывают, что, во-первых, пересечение ударной адиабаты твёрдого тела с кривой плавления приводит к разрыву ударной адиабаты и последующему уменьшению наклона, например зависимости волновой скорости от массовой скорости. Во-вторых, пересечение ударной адиабаты с критической изотермой приводит к излому зависимости волновая-массовая скорости. Кроме того, при пересечении ударной адиабаты с критической изотермой имеют место особенности в поведении некоторых свойств ударно-сжатого твёрдого тела: излом, перегиб, минимум, максимум в изменении параметров состояния с температурой.

Ключевые слова: твердое тело, ударная адиабата твёрдого состояния, кривая плавления, ударная адиабата жидкого состояния, критическая изотерма

Козлов Алексей Николаевич – кандидат технических наук, доцент, e-mail: 112_22@rambler.ru

Рыбаков Анатолий Петрович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: anatryb@yandex.ru

1. Евдокимова В.В.. Некоторые особенности закономерности фазовых P-T диаграмм и полиморфные превращения элементов при высоких давлениях // Успехи физических наук. – 1966. – Т. 88, вып. 1. – С. 93–124.
2. Альтшулер Л.В. Применение ударных волн в физике высоких давлений // Успехи физических наук. – 1965. – Т. 89, вып. 2. – С. 197–258.
3. Начало физики мегабарных давлений / Л.В. Альтшулер, К.К. Крупников, В.Е. Фортов, А.Н. Фунтиков // Вестник РАН. – 2004. – Т. 74, № 11. – С. 1011–1022.
4. Семенченко В.К. Избранные главы теоретической физики. – М.: Просвещение. – 1966. – 396 с.
5. Глаголев К.В., Морозов А.Н. Физическая термодинамика: учебник. Гл. 7. Равновесие фаз и фазовые превращения [Электронный ресурс]. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. – URL: http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom2/ch7/texthtm/ch7.4.htm (дата обращения: 25.12.2014).
6. Разумов В.Ф. Кинетика фазовых переходов [Электронный ресурс]. – URL: http:// lion.icp.ac.ru/e-learn/razumov/lection07 (дата обращения: 25.12.2014).
7. Теоретическая физика. Т. X. Физическая кинетика. Гл. XII. Кинетика фазовых переходов. §99. Кинетика фазовых переходов первого рода. Образование зародышей [Электронный ресурс]. – URL: http://www.scask.ru/booktphys10.php.id=116 (дата обращения: 25.12.2014).
8. Богданов Г.Е., Рыбаков А.П. Аномалии ударной сжимаемости воды // Журнал прикладной механики и технической физики. – 1992. – № 3. – С. 23–26.
9. Rybakov A.P., Rybakov I.A. Polymorphism of shocked water // Eur. Journal of Mechanics, B/Fluids. – 1995. – Vol. 14. – No. 3. – P. 323–332.
10. Рыбаков А.П. Особенности фазового превращения воды при ударном сжатии // Прикладная механика и техническая физика. – 1996. – Т. 37, № 5. – С. 17–23.
11. Rybakov A.P. Phase transitions of water under shock compression // Latvian Journal of physics and technical sciences. – 1993. – № 5. – P. 23–28.
12. Закритические и соответственные состояния ударно-сжатых конденсированных тел / М.В. Шимановская, М.А. Кочкина, А.Н. Козлов, Н.А. Рыбаков, А.П. Рыбаков // Химическая физика и мезоскопия. – 2011. – Т. 13, № 3. – С. 437–443.
13. Влияние фазового перехода первого рода на форму ударной адиабаты твердого тела / В.А. Шишкина, Н.А. Рыбаков, А.Н. Козлов, А.П. Рыбаков // Химическая физика и мезоскопия. – 2013. – Т. 15, № 2. – С. 188–182.
14. Журков С.Н. Проблема прочности твердых тел // Вестн. АН СССР. – 1957. – № 11. – С. 66–82.
15. Беляев В.В. Моделирование кинетики накопления и разрушения твёрдых тел в ударных волнах: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук / Ин-т прикл. математики АН СССР. – М., 1991. – 21 с.
16. Шимановская М.В., Рыбаков Н.А., Рыбаков А.П. Превращение воды в лед-VII при ударном сжатии // Химическая физика и мезоскопия. – 2010. – Т. 12, № 2. – С. 276–280.
17. Разумов В.Ф. Термодинамика фазовых переходов [Электронный ресурс]. – URL: http://lion.iop.ac.ru/e-learn/razumov/lection03/ (дата обращения: 25.12.2014).
18. Compendium of shock wav data / Ed. Van J Thiel. – Lowrence Radiation Labolatory. – Livermore: California University Press. – 1966. – 1030 p.
19. Жарков В.Н., Калинин В.А. Уравнение состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. – М.: Наука, 1968. – 311 с.
20. LASL. Shock Hugoniot Data / Ed. Marsh-Berkely. – Univ. California Press, 1980. – 948 p.
21. Mitchell A.C., Nellis W.J. Shock compression of aluminum, copper and tantalum // J. Appl. Phys. – 1981. – Vol. 52. – No. 5. – P. 3363–3374.
22. Los Alamos Shock Wave Profile Data / Ed. C.E. Morris Berkeley etc. – Univ. of California Press, 1982. – 488 p.
23. Трунин Р.Ф., Гударенко Л.Ф., Жерноклетов М.В. Экспериментальные данные по ударно-волновому сжатию и адиабатическому расширению конденсированных вещест; под ред.
    Р.Ф. Трунина. – 2-е изд., перераб. и доп. / РФЯЦ-ВНИИЭФ. – Саров, 2006. – 530 с.
24. Рыбаков А.П. Твердые тела в условиях давлений и температур ударного сжатия / ЦНИИ Атоминформ. – М., 1978. – 88 с.
25. Simon F.F., Glatzer G. // Z. Anorg. und allgem. Chem. – 1929. – Vol. 178. – P. 309.
26. Salter L. The Simon Melting Equation // Phil. Mag. – 1954. – Vol. 45. – P. 369–378.
27. Стишов С.М. Плавление при высоких давлениях // Успехи физических наук. – 1968. – Т. 96, Вып. 3. – С. 467–495.
28. Babb, Stanley E. JR. Parameters in the Simon Equation Relating Pressure and Melting Temperature // Reviews of Modern Physics. – 1963. – Vol. 35. – No. 2. – P. 400–413.
29. Staff of industrial and engineering Chemistry. Thermodynamic properties of elements. № 18. Advances in chemistry series. – Washington: Amer. Chem. Soc., 1956. – 234 p.
30. Урлин В.Д., Иванов А.А. О плавлении при сжатии ударной волной // Докл. АН СССР. – 1963. – Т. 149, № 6. – С. 1303–1306.
31. Урлин В.Д. Плавление при сверхвысоких давлениях, полученных в ударной волне // Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 1965. – Т. 49, вып. 2 (8). – С. 485–492.
32. Аномальная сжигаемость пористых материалов / С.В. Першин, Г.А. Ададуров, В.С. Трофимов, А.Н. Дрёмин // Физика горения и взрыва. – 1968. – Т. 4, № 2. – С. 244–253.
33. Зельдович Я.Б., Фортов В.Е., Ломоносов И.В. Проблемы уравнений состояния вещества в экстремальных условиях // Успехи физических наук. – 2014. – Т. 184, № 3. – С. 231-246
34. Рентгенографические исследования процесса разлета легкоплавких металлов при выходе ударной волны на их свободную поверхность / С.А. Бородулин, А.И. Бричиков, К.В. Волков, Ю.В. Ольховский, А.П. Рыбаков // Физика твердого тела. – 1976. – Т. 18. – С. 2814–2816.
35. Rybakov A.P., Rybakov I.A. Reaction of condensed matter to extremely short-duration and intense loading. Strength of solids and liguids under dynamic damage // Eur. J. Mech., B. Fluids. – 1995. – Vol. 14. – No. 2. – P. 197–205.
36. Rybakov A.P. Spall in non-one-dimensional shock waves // Int. J.of Impact Eng. – 2000. – Vol. 24. – P. 1041–1082.
37. Asay J.R., Graham R.A., Struab G.K. Shock waves in condensed matter. – 1983. – Part 2. – P. 91, 95.
38. Brown J.M., McQueen R.G., Geophys J. Res. 91, B7, 7485-7494 (1986).
39. Hixson R.S., Boness D.A., Shaner J.W. Acoustic velocities and phase transition in molibdenum under strong shock compression // Phys. Rev. Lett. – 1989. – Vol. 62. – P. 637.
40. Kanel G.I. Goel, B., Baumung K. Shock-wave physics with intense ion beams // Shock compression of condensed matter, 1997. – P. 155.
41. Осипов Р.С., Фунтиков А.И., Цыганов В.А. Определение термодинамических параметров ударного сжатия свинца, олова, меди и никеля по их плавлению в ампулах сохранения // ТВТ. – 1998. – Т. 36, № 4. – C. 590–595.
42. Жиембетов К.И. Плавления в волне разгрузки при ударно-волновом сжатии // Shock waves in condensed matter: тез. междунар. конф. 18–23 июля 2004. – СПб., 2004. – С. 124.
43. Забабахин Е.И. Некоторые вопросы газодинамики взрыва / РФЯЦ-ВНИТИФ. – Снежинcк, 1997. – 203 с.
44. Walsh J.M., Russel H.C. Equation of State of Metals from Shock Wave Measurements // Physical Review. – 1955. – Vol. 97. – No. 6. – P. 1544–1556.
45. Shock-Wave Compression of Twenty-Seven Metals / J.M. Walsh, M.H. Rice, R.G. McQueen [et. al.] // Physical Review. – 1957. – Vol. 108. – No. 2. – P. 196–216.
46. Ударная адиабата в закритической области / В.А. Огарков, В.П. Ратников, А.П. Рыбаков, С.В. Самолов, И.В. Санин // Журнал физической химии. – 1972. – Т. XLVI, № 7. – С. 1658–1660.
47. Morel V., Bultel A., Chéron B.G. The critical temperature of aluminum // International Journal of Thermophysics. – 2009. – No. 30 (6). – P. 1853–1863.
48. Кормер С.Б. Оптические исследования свойств ударно-сжатых конденсированных диэлектриков // Успехи физ. наук. – 1968. – Т. 94, вып. 4. – С. 641.
49. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Молекулярная физика. – М.: Физматгиз, 1963. – 473 с.
50. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.V. Статическая физика. – М.: Наука, 1964. – 657 с.
51. Skidmore J.C. An introduction to shock waves in solids // Appl. Mater. Res. – 1965. – Vol. 4. – No. 3. – P. 131–147.
52. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. – М.: Наука, 1966. – 626 с.
53. Вологжанин О.Ю. Вологжанин Р.О., Рыбаков А.П. Описание процессов в твёрдых телах при ударных нагрузках // Оборонная техника. – 2010. – № 10. – С. 30–35.
54. Кузьмин Н.Н., Черноземцев А.В., Рыбаков А.П. Модели для описания явлений воздействия ударников на панели бронежилета // Изв. ТулГУ. Технические науки. – 2014. – Вып. 12. – С. 174–181.
55. High velocity impact phenomena / Ed. R. Kinslow. – N.Y., London: Accd. Press, 1970. – 568 p.

Рассматривается задача определения силы сопротивления внедрению ударника с плоским торцом в сухой и водонасыщенный песчаный грунт в рамках методики обращенного эксперимента. В эксперименте контейнер с грунтом наносит удар по торцу мерного стержня, а значение силы сопротивления определяется на основе показаний датчика деформаций на поверхности мерного стержня на удалении от его торца. Численно исследован процесс распространения импульсов сжатия, образующихся при ударе о торец мерного стержня контейнера с водонасыщенным и сухим песчаным грунтом. Сжимаемость грунта отражается ударной адиабатой, сдвиговые свойства грунта описывает дробно-рациональная зависимость предела текучести от давления. Ударные адиабаты грунта различного водонасыщения получены на основе модели многокомпонентной среды. Численно получены зависимости от времени силы сопротивления внедрению цилиндрического ударника в сухой, влажный и водонасыщенный песчаный грунт. Отмечена меньшая длительность нестационарной стадии импульса силы во влажном грунте по сравнению с сухим грунтом.

Проведен анализ погрешности определения усилия, действующего на ударник, по значениям импульса деформации на поверхности мерного стержня. Численно продемонстрирован эффект действия геометрической дисперсии при распространении вдоль стержня импульса сжатия с длиной волны, сравнимой с радиусом цилиндра. Для восстановления импульса на торце стержня по его значениям на поверхности на удалении от места приложения нагрузки применяются модифицированные методики с поправками на дисперсию и с дополнительным учетом неравномерности распределения деформаций по поперечному сечению стержня. Отмечены искажения формы восстановленного импульса, получена зависимость ошибки в определении максимального значения от длительности нестационарной части исходного импульса. Показана достоверность определения квазистационарного значения силы сопротивления внедрению после введения поправок на дисперсию как в сухом, так и в водонасыщенном грунте.

Ключевые слова: удар, обращенный эксперимент, ударная адиабата, квазистационарное значение силы сопротивления внедрению, сопротивление сдвигу, водонасыщенный грунт, мерный стержень, дисперсия упругой волны

Котов Василий Леонидович – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: vkotov@inbox.ru

Баландин Владимир Васильевич – кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: balandin@mech.unn.ru

Баландин Владимир Владимирович – младший научный сотрудник, e-mail:rustydog2007@yandex.ru

1. Лагунов В.А., Степанов В.А. Измерение динамической сжимаемости песка при высоких давлениях // ПМТФ. – 1963. – № 1. – С. 88–96.
2. Дремин А.Н., Карпухин И.А. Метод определения ударных адиабат дисперсных веществ // ПМТФ. – 1963. – № 3. – С. 184–188.
3. Ударная сжимаемость сухого и водонасыщенного песка / М.Д. Дианов, Н.А. Златин, С.М. Мочалов [и др.] // Письма в ЖТФ. – 1976. – Т. 2, вып. 12. – С. 529–532.
4. Брагов А.М., Грушевский Г.М. Влияние влажности и гранулометрического состава на ударную сжимаемость песка // Письма в ЖТФ. – 1993. – Т. 19. – Вып. 12. – С. 70–72.
5. Bacon C., Lataillade J-L. Development of the Kolsky-Hopkinson technics and applications for non-conventional testing // In New experimental methods in material dynamics and impact. Eds. Nowacki W.K. and Klepaczko J.R. – Poland: Warsaw, 2001. – P. 1–58.
6. Gary G. Some aspects of dynamic testing with wave-guides // In New experimental methods in material dynamics and impact. Eds. Nowacki W.K. and Klepaczko J.R. – Poland: Warsaw, 2001. – P. 179–222.
7. Анализ особенностей измерения динамических характеристик мягких грунтов методом Кольского / А.М. Брагов, В.Л. Котов, А.К. Ломунов, И.В. Сергеичев // Изв. СО РАН. ПМТФ. – 2004. – Т. 45, № 4. – С. 147–153.
8. Баландин В.В., Брагов А.М. Экспериментальная методика измерения сил сопротивления при взаимодействии ударника с грунтовой средой // ПППП. Методы решения: межвуз. сб. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 1991. – С. 101–104.
9. Методика определения ударной адиабаты мягких грунтов по результатам обращенных экспериментов / А.М. Брагов, В.В. Баландин, А.К. Ломунов, А.Р. Филиппов // Письма в ЖТФ. – 2006. – Т. 32, вып. 11. – С. 52–55.
10. Обращенный эксперимент и численный анализ осесимметричных процессов соударения твердых тел и песчаного грунта / А.М. Брагов, В.Л. Котов, А.В. Кочетков, С.В. Крылов // ПППП. Численное моделирование физико-механических процессов: межвуз. сб. – Н. Новгород, 1999. – С. 12–18.
11. Экспериментальное изучение динамики проникания твердого тела в грунтовую среду / А.М. Брагов, В.В. Баландин, В.В. Баландин, В.Л. Котов // ЖТФ. – 2016. – Т. 86, вып. 6. – С. 62–70.
12. Баженов В.Г., Котов В.Л. Идентификация параметров динамической сжимаемости и сопротивления сдвигу грунтовой среды при внедрении ударников // ДАН. – 2006. – Т. 408, № 3. – С. 333–336.
13. Баженов В.Г., Брагов А.М., Котов В.Л. Экспериментально-теоретическое исследование процессов проникания жестких ударников и идентификация свойств грунтовых сред // ПМТФ. – 2009. – Т. 50, № 6. – С. 115–125.
14. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. – М.: ИЛ. 1955. – 194 с.
15. Дейвис Р.М. Волны напряжений в твердых телах. – М.: ИЛ. 1961. – 104 с.
16. Hsieh D.Y., Kolsky H. An Experimental Study of Pulse Propagation in Elastic Cylinders // Proceedings of the Physical Society. – 1961. – Vol. 71. – No. 4. – P. 608–612. DOI: 10.1088/0370-1328/71/4/308.
17. Follansbee P.S., Frantz C. Wave propagation in the split Hopkinson pressure bar // Journal of Engineering Materials and Technology. – 1983. – Vol. 105. – No. 1. – P. 61–66. DOI:10.1115/1.3225620.
18. Gorham D.А. A numerical method for the correction of dispersion in pressure bar signals // Journal of Physics E: Scientific Instruments. – 1983. – Vol. 16. – P. 477–479. DOI: 10.1088/0022-3735/16/6/008.
19. Gong J.C., Malvern L.E., Jenkins D.A. Dispersion Investigation in the Split-Hopkinson Pressure Bar // Journal of Engineering Materials and Technology. – 1990. – Vol. 112. – No. 3. – P. 309–314. DOI: 10.1115/1.2903329.
20. Корнев В.М. Уточнение зависимостей метода составного стержня Кольского – Гопкинсона // ПМТФ. – 1992. – № 3. – С. 127–131.
21. Юношев А.С., Сильвестров В.В. Разработка методики полимерного разрезного стержня Гопкинсона // ПМТФ. – 2001. – Т. 42, № 3. – С. 212–220.
22. Брагов А.М., Константинов А.Ю., Медведкина М.В. Дисперсия волн в разрезных стержнях Гопкинсона при динамических испытаниях хрупких материалов // Вестн. Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – № 6 (1). – С. 158–162.
23. Tyas A., Pope D.J. Full correction of first-mode Pochammer–Chree dispersion effects in experimental pressure bar signals // Measurement Science & Technology. – 2005. – Vol. 16. – No. 3. – P. 642–652. DOI: 10.1088/0957-0233/16/3/004.
24. Merle R., Zhao H. On the errors associated with the use of large diameter SHPB, correction for radially non-uniform distribution of stress and particle velocity in SHPB testing // International Journal of Impact Engineering. – 2006. – Vol. 32. – No. 12. – P. 1964–1980. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2005.06.009.
25. Tyas A., Ozdemir Z. On backward dispersion correction of Hopkinson pressure bar signals // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. – 2014. – Vol. 37. – No. 2. – P. 1–11. DOI: 10.1098/rsta.2013.0291.
26. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. – М.: Наука. 1967. – С. 212–265.
27. Жмакин А.И., Фурсенко А.А. Об одной монотонной разностной схеме сквозного счета // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 1980. – Т. 20, № 4. – С. 1021–1031.
28. Баженов В.Г., Зефиров С.В., Цветкова И.Н. Численное моделирование задач нестационарного контактного взаимодействия деформируемых конструкций // ПППП. Численное моделирование физико-механических процессов: всесоюз. межвуз. сб. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та. 1995. С. 154–160.

Композиты с термопластичной матрицей на основе высокопрочных волокон (арамидных или СВМПЭ) широко используются при производстве различных защитных структур (бронежилеты, шлемы, бронепанели), которые могут подвергаться высокоскоростному ударному воздействию. В настоящее время с целью снижения времени
и стоимости разработки новых конструкций, повышения их надежности широко используются возможности численного моделирования процессов деформирования и разрушения волокнистых композитных материалов при баллистическом нагружении. Можно выделить несколько основных подходов к моделированию композитного материала. Самым распространенным является подход, в котором композит рассматривается как однородный ортотропный материала. Его несомненным достоинством является высокая скорость решения задачи. В то же время он не позволяет описать все особенности разрушения волокнистых композитов, например расслоение и вытягивание волокон. Возросшая за последние несколько лет вычислительная мощность компьютеров,
а также повышение доступности суперкомпьютерных вычислений сделали возможным активную разработку и внедрение многоуровневых и мезоуровневых моделей композитных материалов, непосредственно учитывающих их неоднородную структуру на уровне волокон и матрицы. Применение подобного подхода позволяет использовать более простые модели материалов с меньшим числом параметров.

В данной работе мезо-уровневое моделирование в конечно-элементном пакете LS-DYNA было использовано для описания деформирования и разрушения двух прессованных композитов с термопластичной матрицей при баллистическом ударе имитатором осколка. Первый тип композитной панели был изготовлен из арамидной ткани полотняного переплетения КВ110П с прослойками из полиэтилена низкого давления (ПЭНД). Композитная панель второго типа состояла из материала на основе высокопрочных полиэтиленовых волокон Dyneema^® HB80. Для описания поведения данных панелей при ударе были предложены комбинированные конечно-элементные модели, в которых волокна были схематизированы оболочечными элементами, а матрица – твердотельными. Полученные модели позволили получить удовлетворительное соответствие экспериментальным данным, включая остаточную скорость ударника и основные механизмы разрушения (разрыв волокон, расслоение, вытягивание волокон и т.д.). Представленные модели могут быть использованы для детализированных расчетов керамокомпозитных слоистых структур при ударе.

Ключевые слова: композит, термопластичная матрица, защитная структура, высокоскоростной удар, конечно-элементный анализ, LS-DYNA, малопараметрическая модель, баллистический предел

Кудрявцев Олег Александрович – аспирант, e-mail: kudriavtcevoa@susu.ru

Сапожников Сергей Борисович – доктор технических наук, профессор, e-mail: ssb@susu.ru

1. Cheeseman B.A., Bogetti T.A. Ballistic impact into fabric and compliant composite laminates. Composite Structures. 2003, vol. 61, pp. 161-173. DOI: 10.1016/S0263-8223(03)00029-1

2. Kharchenko E.F., Ermolenko A.F. Composite, textile and combined armor materials. Moscow: Publ. of TsNIISM, 2014, 332 p.

3. Grigorian V.A., Kobylkin I.F., Mirinin V.M., Chistyakov E.N. Materialy i zashchitnye struktury dlya lokal'nogo i individual'nogo bronirovaniya. Moscow: RadioSoft, 2008, 406 p.

4. Bhatnagar A. Lightweight ballistic composites – military and law-enforcement applications. Cambridge: Woodhead Publishing Ltd., 2006, 482 p.

5. Abrate S. Impact Engineering of Composite Structures. 2011, Springer. 403 p. DOI: 10.1007/978-3-7091-0523-8

6. Krishnan K., Sockalingam S., Bansal S., Rajan S.D. Numerical simulation of ceramic composite armor subjected to ballistic impact. Composites: Part B. 2010, vol. 41, pp. 583-593. DOI: 10.1016/j.compositesb.2010.10.001

7. Bürger D., Alfredo Rocha de Faria, Sérgio F.M. de Almeida, Francisco C.L. de Melo, Maurício V. Donadon. Ballistic impact simulation of an armour-piercing projectile on hybrid ceramic/fiber reinforced composite armours. International Journal of Impact Engineering. 2012, vol. 43, pp. 63-77.
DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2011.12.001

8. Tan P. Numerical simulation of the ballistic protection performance of a laminated armor system with pre-existing debonding/delamination. Composites: Part B. 2014, vol. 59, pp. 50-59.
DOI: 10.1016/j.compositesb.2013.10.080

9. Tasdemirci A., Tunusoglu G., Güden M. The effect of the interlayer on the ballistic performance of ceramic/composite armors: Experimental and numerical study. International Journal of Impact Engineering, 2012, vol. 44, pp. 1-9. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2011.12.005

10. Iannucci L., Pope D. High velocity impact and armour design. eXPRESS. Polym Lett, 2011, vol. 5(3), рр. 262-272. DOI: 10.3144/expresspolymlett.2011.26

11. Soykasap O., Colakoglu M. Ballistic performance of a Kevlar-29 woven fiber composite
under varied temperatures. Mechanics of Composite Materials. 2010, vol. 46 (1), pp. 35-42.
DOI: 10.1007/s11029-010-9124-3

12. Dimitrienko Yu.I., Belenovskaya Yu.V., Aniskovich V.A. Numerical simulation of shock-wave deformation of flexible armored composite materials. Science and Education. 2013, vol. 12, pp. 471-490. DOI: 10.7463/1213.0665297

13.  Grujicic M, Pandurangan B., Koudela K.L., Cheeseman B. A computational analysis of the ballistic performance of light-weight hybrid composite armors. Applied Surface Science. 2006, vol. 253, pp. 730-745. DOI: 10.1016/j.apsusc.2006.01.016

14. Nguyen L.H., Lässig T.R, Ryan S., Riedel W., Mouritz A.P., Orifici A.C. A methodology for hydrocode analysis of ultra-high molecular weight polyethylene composite under ballistic impact. Composites: Part A, 2016, vol. 84, pp. 224-235. DOI: 10.1016/j.compositesa.2016.01.014

15. Lässig T., Nguyen L., May M., Riedel W., Heisserer U., H. van der Werff, Hiermaier S. Non-linear orthotropic hydrocode model for ultra-high molecular weight polyethylene in impact simulations. International Journal of Impact Engineering. 2015, vol. 75, pp. 110–122. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2014.07.004

16. Bandaru A.K., Chavan V.V., Ahmad S., Alagirusamy R., Bhatnagar N. Ballistic impact response of Kevlar® reinforced thermoplastic composite armors. International Journal of Impact Engine ering, 2016, vol. 89, pp. 1-13. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2015.10.014.

17. Segala D.B., Cavallaro P.V. Numerical investigation of energy absorption mechanisms in unidirectional composites subjected to dynamic loading events. Computational Materials Science, 2014, vol. 81, pp. 303-312. DOI: 10.1016/j.commatsci.2013.08.039.

18. Grujicic M., Arakere G., He T., Bell W.C., Cheeseman B.A., Yen C.-F., Scott B. A ballistic material model for cross-plied unidirectional ultra-high molecular-weight polyethylene fiber-reinforced armor-grade composites. Materials Science and Engineering: A. 2008, vol. 498 (1-2), pp. 231-241. DOI: 10.1016/j.msea.2008.07.056.

19. Nilakantan G. Filament-level modeling of Kevlar KM2yarns for ballistic impact studies. Composite Structures. 2013, vol. 104, pp. 1-13. DOI: 10.1016/j.compstruct.2013.04.001.

20. Tan V.B.C., Ching T.W. Computational simulation of fabric armour subjected to ballistic impacts. International Journal of Impact Engineering. 2006, vol. 32, pp. 1737-1751. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2005.05.006.

21. Chocron S., Figueroa E., King N., Kirchdoerfer T., Nicholls A.E., Sagebiel E., Weiss C., Freitas C.J. Modeling and validation of full fabric targets under ballistic impact. Composites Science and Technology. 2010, vol.70, pp. 2012-2022. DOI: 10.1016/j.compscitech.2010.07.025.

22. Nilakantan G., Gillespie Jr. J.W. Ballistic impact modeling of woven fabrics considering yarn strength, friction, projectile impact location, and fabric boundary condition effects. Composite Structures. 2012, vol. 94, pp. 3624-3634. DOI: 10.1016/j.compstruct.2012.05.030.

23. Dolganina N.Yu., Sapozhnikov S.B. Study of the influence of type weave for strength of the textile armor panel at the local impact. Bulletin of the South Ural State University Series “Mechanical Engineering Industry”. 2013, vol. 13 (2), pp. 95-104.

24. Gopinath G., Zheng J.Q., Batra R.C. Effect of matrix on ballistic performance of soft body armor. Composite Structures. 2012, vol. 94, pp. 2690-2696. DOI:10.1016/j.compstruct.2012.03.038.

25. Bresciani L.M., Manes A., Ruggiero A., Iannitti G., Giglio M. Experimental tests and numerical modelling of ballistic impacts against Kevlar 29 plain-woven fabrics with an epoxy matrix: Macro-homogeneous and Meso-heterogeneous approaches. Composites Part B. 2016, vol. 88, pp. 114-130. DOI: 10.1016/j.compositesb.2015.10.039.

26. Gama B.A., Gillespie Jr. J.W. Finite element modeling of impact, damage evolution and penetration of thick-section composites. International Journal of Impact Engineering. 2011, vol. 38, pp. 181-197. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2010.11.001

27. Chocron S., Nicholls A.E., Brill A., Malka A., Namir T., Havazelet D., H. van der Werff, Heisserer U., Walker J.D. Modeling unidirectional composites by bundling fibers into strips with experimental determination of shear and compression properties at high pressures. Composites Science and Technology. 2014, vol. 101, pp. 32-40. DOI:10.1016/j.compscitech.2014.06.016

28. Bunsell A.R. Handbook of Tensile Properties of Textile and Technical Fibres. Cambridge: Woodhead Publishing Ltd, 2009. 696 p.

29. Chocron S., King N., Bigger R., Walker J.D., Heisserer U., H. van der Werff. Impacts and waves in Dyneema® HB80 strips and laminates. Journal of Applied Mechanics. 2013, vol. 80 (3), pp. 472-481. DOI: 10.1115/1.4023349

30. http://www.aramid.net/products/kv110p

31. GOST R 50744-95. Armor Clothes. Classification and general technical requirements. Moscow: State Standartization Committe of Russian Federation; September 2013. p. 11.

32. Sapozhnikov S.B., Kudryavtsev O.A., Zhikharev M.V. Fragment ballistic performance of homogenous and hybrid thermoplastic composites. International Journal of Impact Engineering, 2015, vol. 81, pp. 8-16. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2015.03.004.

33. Sapozhnikov S.B., Kudryavtsev O.A. Compact accelerator for ballistic testing. Bulletin of the South Ural State University Series “Mechanical Engineering Industry”. 2012, vol. 20 (33), pp. 139-143.

34. Lambert J.P., Jonas G.H. Towards standardization in terminal ballistics testing: velocity representation. BRL Report No. 1852. Aberdeen Proving Ground, MD: U.S. Army Ballistic Research Laboratories; 1976. p. 51.

35. http://supercomputer.susu.ru/en/computers/tornado/

36. Sapozhnikov S., Kudryavtsev O. Modeling of thermoplastic composites used in protective structures. Mechanics of Composite Materials. 2015, vol. 51(4), pp. 419-426. DOI: 10.1007/s11029-015-9513-8.

37. Dolganina N.Yu., Sapozhnikov S.B. Design of new constructions of textile armor panel using supercomputing. Bulletin of the South Ural State University Series “Mechanical Engineering Industry”. 2011, vol. 254 (37), pp. 71-81.

38. Utomo B.D. High-Speed Impact Modeling and Testing of Dyneema Composite, PhD thesis, Delft (2011).

39. Chen X. Advanced Fibrous Composite Materials for Ballistic Protection, 1st Edition. Cambridge: Woodhead Publishing Ltd, 2016. 548 p.

40. Tan V.B.C., Zeng X.S., Shim V.P.W. Characterization and constitutive modeling of aramid fibers at high strain rates. International Journal of Impact Engineering. 2008, vol. 35, pp. 1303-1313. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2007.07.010

41. Greenhalgh E.S., Bloodworth V.M., Iannucci L., Pope D. Fractographic observations on Dyneema® composites under ballistic impact. Composites: Part A. 2013, vol. 44, pp. 51-62. DOI: 10.1016/j.compositesa.2012.08.012

Взаимосвязанность электрического, механического и магнитного полей вызывает повышенный интерес к электромагнитоупругим материалам. Благодаря своей способности преобразовывать один вид энергии в другой, электромагнитоупругие материалы находят широкое применение в различных областях науки и техники.
В данной работе представлен прямой подход метода граничных элементов в пространстве Лапласа для решения статических и нестационарных динамических трехмерных задач линейной теории электромагнитоупругости. Использована стандартная система сокращенных обозначений для записи связанной задачи. Подход основан на интегральном уравнении для перемещений. Обобщенные фундаментальные решения в изображениях по Лапласу записаны в виде суммы сингулярной и регулярной частей. Динамическая часть выражена как интеграл по единичной полусфере, сингулярная статическая часть – как интеграл по единичной окружности. Для пространственной дискретизации применен классический узловой метод коллокаций вместе со смешанными граничными элементами. На каждом граничном элементе обобщенные перемещения и поверхностные усилия аппроксимируются линейными и постоянными функциями формы. Для уменьшения времени вычислений динамические части фундаментальных решений и их производные интерполируются по граничных элементам. Для получения решения во временной области используется схема численного обращения интегрального преобразования Лапласа. Представлены два численных примера: задача о статическом поведении прямоугольного параллелепипеда под действием заданной нагрузки и задача о нестационарном отклике единичного куба под действием равномерно распределенной нагрузки в виде функции Хевисайда по времени. Представлено исследование на наличие сеточной сходимости в случае динамической задачи, и получено очень хорошее соответствие гранично-элементных решений с аналитическими результатами для статической задачи.

Ключевые слова: статика, динамика, интегральное уравнение, метод граничных элементов, электромагнитоупругость, преобразование Лапласа, метод Дурбина, метод коллокаций, связанные задачи, фундаментальные решения

Марков Иван Петрович – кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, e-mail: teanku@gmail.com

1. Pan E., Heyliger P.R. Exact solutions for magneto-electro-elastic laminates in cylindrical bending // Int. J. Solids. Struct. – 2003. – Vol. 40. – No. 24. – P. 6859–6876. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2003.08.003
2. Heyliger P.R., Pan E. Static Fields in Magnetoelectroelastic Laminates // AIAA J. – 2004. – Vol. 42. – No. 7. – P. 1435–1443.
3. Ding H., Jiang A. A boundary integral formulation and solution for 2D problems in magneto-electro-elastic media // Comput. Struct. – 2004. – Vol. 82. – No. 20–21. – P. 1599–1607.
   DOI: 10.1016/j.compstruc.2004.05.006
4. Green’s functions for two-phase transversely isotropic magneto-electro-elastic media / H.J. Ding, A.M. Jiang, P.F. Hou, W.Q. Chen // Eng. Anal. Bound. Elem. – 2005. – Vol. 29. – No. 6. – P. 551–561. DOI: 10.1016/j.enganabound.2004.12.010
5. Li X.-C., Yao W.-A. Virtual boundary element-integral collocation method for the plane magnetoelectroelastic solids // Eng. Anal. Bound. Elem. – 2006. – Vol. 30. – No. 8. – P. 709–717.
   DOI: 10.1016/j.enganabound.2006.03.004
6. Daga A., Ganesan N., Shankar K. Harmonic response of three-phase magneto-electro-elastic beam under mechanical, electrical and magnetic environment // J. Intel. Mat. Syst. Str. – 2009. – Vol. 20. – No. 10. – P. 1203–1220. DOI: 10.1177/1045389X09103307
7. Daga A., Ganesan N., Shankar K. Transient Dynamic Response of Cantilever Magneto-Electro-Elastic Beam Using Finite Elements // Int. J. Comput. Meth. Eng. Sci. Mech. – 2009. – Vol. 10. – No. 3. – P. 173–185. DOI: 10.1080/15502280902797207
8. Milazzo A., Orlando C., Alaimo A. An analytical solution for the magneto-electro-elastic bimorph beam forced vibrations problem // Smart. Mater. Struct. – 2009. – Vol. 18. – No. 8. – P. 085012. DOI: 10.1088/0964-1726/18/8/085012
9. Fast multipole boundary element analysis for 2D problems of magneto-electro-elastic media / X. Zhu, Z. Huang, A. Jiang, W.Q. Chen, N. Nishimura // Eng. Anal. Bound. Elem. – 2010. – Vol. 34. – No. 11. – P. 927–933. DOI: 10.1016/j.enganabound.2010.06.006
10. Milazzo A., Orlando C. A beam finite element for magneto-electro-elastic multilayered composite structures // Compos. Struct. – 2012. – Vol. 94. – No. 12. – P. 3710–3721.
    DOI: 10.1016/j.compstruct.2012.06.011
11. Three-dimensional BEM for transient dynamic analysis of piezoelectric and anisotropic elastic solids / L. Igumnov, I. Markov, I. Vorobtsov, S. Litvinchuk, A. Bragov // EPJ Web Conf. – 2015. – Vol. 94. – P. 04025. DOI: 10.1051/epjconf/20159404025
12. Igumnov L.A., Markov I.P. Boundary-element modeling of three-dimensional anisotropic viscoelastic solids // Springer Proc. Phys. – 2016. – Vol. 175. – P. 517–526. DOI: 10.1007/978-3-319-26324-3_36
13. Pan E. Three-dimensional Green’s function in anisotropic magneto-electro-elastic biomaterials // Z Angew Math. Phys. – 2002. – Vol. 53. – P. 815–838.
14. Buroni F.C., Saez A. Three-dimensional Green's function and its derivative for materials with general anisotropic magneto-electro-elastic coupling // Proc. R. Soc. A – 2010. – Vol. 466. – No. 2114. – P. 515–537. DOI: 10.1098/rspa.2009.0389
15. Time-harmonic Green’s functions for anisotropic magnetoelectroelasticity / R. Rojas-Diaz, A. Saez, F. Garcia-Sanchez, Ch. Zhang // Int. J. Solids Struct. – 2008. – Vol. 45. – No. 1. – P. 144–158. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2007.07.024
16. Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. – М.: Физматлит, 2008. – 352 с.
17. Matsumoto T., Tanaka M., Ogawa Y. A simple technique for efficient evaluations of boundary integrals of time-harmonic elastodynamic BEM analyses for anisotropic solids // Proceedings Second MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics. 2003. – P. 2071–2073.
    DOI: 10.1016/B978-008044046-0.50508-X
18. Durbin F. Numerical Inversion of Laplace Transforms: An Efficient Improvement to Dubner and Abate's Method // Comput. J. – 1974. – Vol. 17. – No. 4. – P. 371–376. DOI: 10.1093/comjnl/17.4.371
19. Zhao X. An efficient approach for the numerical inversion of Laplace transform and its application in dynamic fracture analysis of a piezoelectric laminate // Int. J. Solids Struct. – 2004. – Vol. 41. – No. 13. – P. 3653–3674. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2004.01.006
20. Xue C.-X., Pan E. On the longitudinal wave along a functionally graded magneto‑electro‑elastic rod // Int. J. Eng. Sci. – 2013. – Vol. 62. – P. 48–55. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2012.08.004
21. Qin Q.-H. Green's Function and Boundary Elements of Multifield Materials. – Elsevier Science, 2007. – 266 с.
22. Wang C.-Y., Zhang Ch. 3-D and 2-D Dynamic Green's functions and time-domain BIEs for piezoelectric solids // Eng. Anal. Bound. Elem. – 2005. – Vol. 29. – No. 5. – P. 454–465.
    DOI: 10.1016/j.enganabound.2005.01.006

В отличие от обычно используемых для исследования напряженно-деформируемого состояния (НДС) вблизи особых точек деформируемых тел асимптотических методов предлагается подход, основанный на отождествлении особой точки с представительным объемом тела. Такой подход дает возможность сформулировать в особой точке задаваемые ограничения. Как правило, количество таких ограничений в особой точке оказывается большим, чем в обычной точке поверхности тела. Это обстоятельство обусловливает новую (по сравнению с классической) постановку задачи механики деформируемого твердого тела (МДТТ), содержащего особую точку. Проведено исследование ограничений в вершине составного клина с жестко защемленными образующими. Установлены сочетания материальных и геометрических параметров элементов конструкции, приводящие к различным вариантам постановки для нее задачи МДТТ. Выявлены критические значения задаваемых параметров, при которых напряжения в особой точке неограниченно возрастают.
С использованием итерационного численно-аналитического метода изучено НДС
в вершине составного клина с развернутым углом при вершине в случае его температурной нагрузки. Показано, что полученное решение согласовано со всеми задаваемыми в особых точках – представительных объемах – ограничениями; при стремлении материальных параметров к критическому сочетанию напряжения проявляют сингулярный характер; наибольшие значения напряжения достигают не в особой точке, а в ее ближайшей окрестности. Приведено сравнение итерационного решения с решением классическим методом конечных элементов (МКЭ). Классическое решение задачи МКЭ не может быть признано приемлемым для особых точек – представительных объемов, так как оно не удовлетворяет задаваемым в них ограничениям.

Ключевые слова: особые точки, представительный объем, сингулярное напряжение, температурная нагрузка, критические сочетания параметров

Пестренин Валерий Михайлович – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: PestreninVM@mail.ru

Пестренина Ирина Владимировна – кандидат технических наук, доцент e-mail: IPestrenina@gmail.com

Ландик Лидия Владимировна – заведующая лабораторией, e-mail: LidiaLandik@gmail.com

1. Williams M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners in extension // J. of App. Mech. – 1952. – Vol. 19. – P. 526–528.
2. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. – М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1967. – 402 c.
3. Аксентян О.К. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестности ребра // Прикладная математика и механика. – 1967. – № 1. – С. 178–186.
4. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. ММО. – 1967. – Т. 16. – С. 209–292.
5. Bogy D.B. Two Edge-bonded Elastic Wedges of Different Materials and Wedge Angles under Surface Tractions // Trans. ASME. Ser.E. – 1971. – Vol. 38. – No. 2. – P. 87–96.
6. Чобанян К.С. Напряжения в составных упругих телах. – Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1987. – 338 с.
7. Аветисян А.Г., Чобанян К.С. Характер напряжений в заделанной окрестности края поверхности соединения составного тела, нагруженного в условиях плоской задачи теории упругости // Изв. АН Арм.ССР. – 1972. – № 6. – С. 13–25.
8. Аветисян А.Г. Исследование поведения напряжений около жестко защемленной вершины составного упругого клина // Изв. АН Арм.ССР, Сер. Механика. – 1981. – Т. 34, № 3. – С. 3–12.
9. Аветисян А.Г. Исследования характера напряженного состояния в частично заделанной окрестности края поверхности соединения нагруженного составного тела // Изв. АН Арм.ССР. Сер. Механика. – 1972. – Т. 25, № 5. – С. 23–34.
10. Sinclear G. B. Stress singularities in classical elasticity–I: Removal, interpretation and analysis // App. Mech. Rev. – 2004. – Vol. 57. – No. 4. – P. 251–297.
11. Sinclear G.B. Stress singularities in classical elasticity–II: Asymptotic identification // App. Mech. Rev. – 2004. – Vol. 57. – No. 4. – P. 385–439.
12. Корепанова Т.О., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Аналитические построения собственных решений для изотропных конических тел и их приложения для оценки сингулярности напряжений // ДАН. – 2014. – Т. 457, № 3. – С. 286–291. DOI: 10.7868/s0869565214210105
13. Paggi M., Carpintery A. On the stress singularities at multimaterial interfaces and related analogies with fluid dynamics and diffusion // Appl. Mech. Rev. – 2008. – Vol. 61. – Р. 020801–1–22.
14. Андреев А.В. Суперпозиция степенно-логарифмических и степенных сингулярных решений в двумерных задачах теории упругости // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. – № 1. – С. 5–30.
15. Разложения по функциям Фадля-Папковича в смешанных краевых задачах теории упругости / М.Д. Коваленко, С.Н. Попов, Н.Н. Цыбин, Т.Д. Шуляковская // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2007. – Т. 13, № 4. – С. 493–518.
16. Особенности напряженного состояния в конечных областях вблизи угловых точек границы / С.В. Галаджиев, О.С. Гоголева, М.Д. Коваленко, Д.В. Трубников // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2011. – Т. 17, № 1. – С. 53–60.
17. Степанова Л.В., Росляков П.С. Полное асимптотическое разложение М.Уильямса у вершин двух коллинеарных трещин конечной длины в бесконечной пластине // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 4. – С. 188–225. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.4.12
18. Пестренин В.М., Пестренина И.В., Ландик Л.В. Нестандартные задачи для однородных элементов конструкций с особенностями в виде клиньев в условиях плоской задачи // Вестн. Том. гос. ун-та. Математика и механика. –2014. – № 1 (27). – С. 95–109.
19. Пестренин В.М., Пестренина И.В., Ландик Л.В. Нестандартные задачи для элементов конструкций с особенностью в виде составного пространственного ребра // МКМ. – Рига. – 2015. – Т. 51, № 4. – С. 691–714.
20. Пестренин В.М., Пестренина И.В., Ландик Л.В. Итерационный конечно-элементный алгоритм исследования напряженного состояния элементов конструкций с особыми точками и его реализация // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 4. – С. 171–187. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.4.11

Разработана методика определения несущей способности ослабленных ледяных нагружаемых площадок, которые моделируются идеальной жесткопластической пластиной, расположенной на несжимаемом основании. Пластина имеет свободно опертый или защемленный произвольный кусочно-гладкий криволинейный внешний контур. В центральной части пластины расположено произвольное свободное отверстие. Толщина пластины уменьшается при приближении к границе отверстия. На пластину действует нагрузка, локально распределенная около отверстия по области произвольной формы. Приложенная нагрузка является произвольной функцией координат. Учитывается свойство разной сопротивляемости льда при растяжении и сжатии. Решение построено на основе принципа виртуальной работы. В зависимости от геометрических параметров пластины рассмотрены два варианта кинематически допустимого деформирования. В обеих схемах деформирования центральная часть пластины при воздействии нагрузки движется в направлении действия нагрузки, а область около границы вследствие несжимаемости основания движется в противоположном направлении. Введена криволинейная ортогональная система координат, связанная с внешним криволинейным контуром пластины, в которой удобно проводить вычисления двойных интегралов, описывающих решение задачи. Получены аналитические выражения для предельных нагрузок. Определены две интегральные характеристики приложенной нагрузки и показано, что в случае действия на пластину различно распределенных поверхностных нагрузок, у которых эти две характеристики совпадают, пластина будет иметь одинаковые предельные нагрузки. В качестве примера рассмотрена шарнирно опертая и защемленная пластина в форме эллипса с линейной функцией толщины, находящаяся под действием нескольких видов локальных поверхностных нагрузок.

Ключевые слова: жесткопластическая модель, криволинейный контур, несжимаемое основание, ледяная пластина, переменная толщина, предельная нагрузка, разносопротивляемый материал

Романова Татьяна Павловна – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: lab4nemir@gmail.com

1. Политько В.А., Кантаржи И.Г. Исследуемые характеристики льда, необходимые для определения ледовых нагрузок // Вестн. Моск. гос. строит. ун-та. – 2015. – № 12. – С. 106–117.
2. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Механика разрушения и проблемы освоения Арктики // Арктика: экология и экономика. – 2015. – № 4 (20). – С. 14–27.
3. Бычковский Н.Н., Гурьянов Ю.А. Ледовые строительные площадки, дороги и переправы. – Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2005. – 260 с.
4. Sodhi D.S. Breakthrough loads of floating ice sheets // J. Cold Reg. Eng. – 1995. – Vol. 9. –
   No. 1 (4). – P. 4–22.
5. Kerr A.D. The bearing capacity of floating ice plates subjected to static or quasi-static loads. A critical survey // U.S. Army Cold Regions Research and Engineering Laboratory, Hanover, N.H., Research Report 333. – 1975. – 43 p.
6. Langhorne P.J., Stone K.J.L., Smith C.C. The bearing capacity of saline ice sheets: centrifugal modelling // Can. Geotech. J. – 1999. – Vol. 36. – No. 3. – P. 467–481.
7. Hodge P.G., Chang-Kuei Sun. Yield-point load of a circular plate sealing an incompressible fluid // Int. J. Mech. Sci. – 1967. – Vol. 9. – No. 7. – P. 405–414.
8. Керр А.Д. Изгиб круговых пластинок, ограниченных несжимаемою жидкостью // Прикладная механика. Серия Е. Сб. переводов. – 1965. – Vol. 32. – No. 3 – С. 264–266.
9. Немировский Ю.В., Романова Т.П. Несущая способность ледяных пластин произвольного контура, нагружаемых по произвольной области // Тр. 5-го Евраз. симп. по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата. г. Якутск, 1-5 июня 2010 / ИФТПС СО РАН. – Якутск, 2010. – С. 81–91.
10. Немировский Ю.В., Романова Т.П. Несущая способность ледяных пластин криволинейной формы, усиленных жесткой вставкой // Прикладная механика и техническая физика. – 2013. – Т. 54, № 4. – С. 141–149.
11. Коренева Е.Б. Аналитические методы расчета пластин переменной толщины и их практические приложения. – М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2009. – 240 с.
12. Romanova T.P., Nemirovsky Yu.V. Dynamic rigid-plastic deformation of arbitrarily shaped plates // J. Mechanics of Materials and Structures. – 2008. – Vol. 3. – No. 2. – P. 313–334.
13. Немировский Ю.В., Романова Т.П. Динамическое деформирование жесткопластических криволинейных пластин переменной толщины // Прикладная механика и техническая физика. – 2007. – Т. 48, № 5. – С. 108–120.
14. Немировский Ю. В., Романова Т. П. Динамика жесткопластической криволинейной пластины переменной толщины с произвольным внутренним отверстием // Прикладная механика. – 2010. – Т. 46, № 3. – С. 70–82.
15. Kennedy J.B., Iyengar K.J. Rigid-plastic analysis of floating ice sheets under impact loads // Can. J. Civ. Eng. – 1981. – Vol. 8. – P. 409–415.
16. Якименко О.В., Матвеев С.А., Сиротюк В.В. Исследование напряженного состояния и расчет несущей способности армированной ледяной плиты // Вестн. СибАДИ. 2014. – Вып. 3 (37). – C. 63–67.
17. Якименко О.В., Сиротюк В.В. Армирование ледовых переправ // Криосфера Земли. – 2014. – Т. 18, № 1. – С. 88–91.
18. Ли Лян, Шхинек К.Н. Предельная несущая способность ледяных балок // Инженерно-строительный журнал. – 2013. – № 1. – С. 65–74.
19. Yan-bin Wang, Mao-hong Yu, Yun Xiao, Lin-sheng Li. Dynamic plastic response of circular plate based on unified strength theory // Int. J. Impact Engineering. – 2005. – Vol. 31. – No. 1. – p. 25–40.
20. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. – М.: Наука, 1978. – 352 с.
21. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – С. 202.

Известно, что разрушению твёрдых тел, в том числе хрупких и квазихрупких, в поле внешних сил предшествует появление некоторой плотности дефектов кристаллического строения. Коллективные движения таких дефектов в кооперативном взаимодействии со структурой материала на разных масштабных структурных уровнях (от нано- до макро-) и определяют процесс разрушения. По сути, разрушение есть заключительная стадия пластической деформации твёрдых тел. За последние два-три десятилетия установлено, что профиль и поверхность динамически разрушаемых материалов являются фрактальными объектами. В работе были проведены исследования, направленные на возможное использование фрактальной размерности в качестве характеристики, позволяющей связать между собой различные параметры процессов разрушения и динамических свойств материалов.

Лабораторные образцы трёх сплавов, используемых для трубопроводной судовой арматуры, подвергались ударному растяжению, и проводились структурные исследования разрушенных образцов. Эксперименты выполнены по методу Кольского с применением разрезного стержня Гопкинсона при скоростях деформации от 10³ до 3·10³ с^–1. Исследованы свойства титана 3М, нержавеющей стали 08Х18Н10Т и бронзы марки БрАЖНМц. Получены динамические диаграммы деформирования, определены прочностные свойства и предельные характеристики пластичности. Установлено, что разрушению образцов предшествовали акты микропластической деформации в пределах активационного объёма, не превосходящего объём зерна исследуемого материала. В условиях высокоскоростного нагружения повреждение материала реализуется последовательно с участием дефектов кристаллического строения путём накопления и смены их пространственной организации. В качестве параметра для поиска корреляций между скоростью деформации, типом излома и механизмом структурной аккомодации предлагается использовать фрактальную размерность контура поверхности разрушения образцов динамически нагруженного материала. В том числе продемонстрированы возможности применения фрактальной размерности при ранжировании свойств материалов.

Ключевые слова: динамическая прочность,фрактальная размерность, скорость деформации, структура, разрезной стержень Гопкинсона

Савенков Георгий Георгиевич – доктор технических наук, профессор, e-mail: sav-georgij@yandex.ru

Кузнецов Александр Викторович – кандидат технических наук, e-mail: avkuznecov@armalit1.ru

Брагов Анатолий Михайлович – доктор технических наук, профессор, e-mail: bragov@mech.unn.ru

Константинов Александр Юрьевич – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: constantinov.al@yandex.ru

Ломунов Андрей Кириллович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: lomunov@mech.unn.ru

1. Физическая мезомеханика и компьютерное моделирование материалов / под ред. В.Е Панина. – Новосибирск: Наука, 1995. – Т. 1. – 298 с.; Т. 2. – 320 с.
2. Макаров П.В., Ерёмин М.О. Модель разрушения хрупких и квазихрупких материалов // Физическая мезомеханика. – 2013. – Т. 16, № 1. – С. 5–26.
3. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов. – М.: Металлургия, 1984. – 280 с.
4. Щербаков И.П., Куксенко В.С., Чмель А.Е. Кооперативные эффекты на микро- и наноструктурном уровнях при динамическом разрушении твёрдых тел // Физическая мезомеханика. – 2013. – Т. 16, № 1. – С. 51–58.
5. Савенков Г.Г. Фрактально-кластерная модель откольного разрушения // ЖТФ. – 2002. – Т. 72, вып. 12. – С. 44–48.
6. Mandelbrot B.B. fractal analysis and synthesis of fracture surface roughness and related forms of complexity and disorder // Int. Journal of Fracture. – 2006. – Vol. 138. – P. 13–17.
7. Барахтин Б.К., Савенков Г.Г. Связь характеристик откола с размерностью фрактальной структуры разрушения // ПМТФ. – 2009. – Т. 50, № 6. – С. 61–69.
8. Колмаков А.Г. Использование положений системного подхода при изучении структуры, особенностей пластической деформации и разрушения металлов // Металлы. – 2004. – № 4. – С. 98–107.
9. Барахтин Б.К., Мещеряков Ю.И., Савенков Г.Г. Динамические и фрактальные свойства стали СП-28 в условиях высокоскоростного нагружения // ЖТФ. – 1998. – Т. 68, вып. 10. – С. 43–52.
10. Савенков Г.Г., Барахтин Б.К. Связь фрактальной размерности поверхности разрушения с комплексом стандартных характеристик материала на растяжение // ПМТФ. – 2011. – Т. 52,
    № 6. – С. 177–184.
11. Bragov A.M., Lomunov A.K. Methodological aspects of studying dynamic material properties using the Kolsky method // Int. Journal of Impact Engineering. – Vol. 16. – No. 2. – P. 321–330.
12.  Savenkov G.G. Mechanical Properties of Copper under Dynamic Load // Copper Alloys: Preparation, Properties and Applications / Eds. M. Naboka and J. Giordano. – New York: Nova Science Publishers, Inc., 2011. – P. 107–126.
13. Иванова В.С. Синергетика: Прочность и разрушение металлических материалов. – М.: Наука, 1992. – 160 с.
14. РД 50-672-88. Расчёты и испытания на прочность. Классификация видов излома.
15. Лазерный дифференциальный интерферометр / Н.А. Златин, С.М. Мочалов, Г.С. Пугачёв, А.М. Брагов // ЖТФ. – 1973. – Т. 49, вып. 9. – С. 194–205.
16. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. – М.: Металлургия, 1986. – 224 с.
17. Мещеряков Ю.И., Диваков А.К. Интерференционный метод регистрации скоростной неоднородности частиц в упруго-пластических волнах нагрузки в твёрдых телах: препринт № 25. – Л.: ЛФИМаш, 1989. – 36 с.
18. Мещеряков Ю.И., Савенков Г.Г. Двухуровневая модель динамического деформирования металлов // ПМТФ. – 1992. – № 4. – С. 141–145.
19. Milman V.Y., Stelmashenko N.A., Blumenfeld R. Fracture surfaces: A critical review of fractal studies and novel morphological analysis of scanning tunneling microscopy measurements // Progress Material Sciences. – 1994. – Vol. 38. – P. 425–474.
20. Барахтин Б.К., Обуховский В.В. Фракталы, структура и свойства материалов // Вопросы материаловедения. – 1995. – № 1. – С. 7–17.

Концепция рассмотрения структурно-неоднородных материалов как сложноорганизованных иерархических систем позволяет установить закономерность развития разрушения в зависимости от истории изменения напряженно-деформированного состояния материала. В настоящей работе на примере случайно выбранного фрагмента микроструктуры методологически показан способ численного исследования характера эволюции напряженно-деформированного состояния структурно-неоднородного материала на макро- и микромасштабном уровнях в условиях одноосного растяжения и сжатия с учетом особенностей строения и реологии его компонентов.

В качестве модельного материала использован дисперсно-упрочненный металломатричный композит, матрицей которого является алюминиевый сплав А8, а наполнителем – частицы карбида кремния SiC в форме неправильных призм. Геометрической моделью объема композита на микроуровне является кусочно-однородный трехмерный объем, имитирующий матрицу, в которой располагаются частицы наполнителя. Для учета влияния окружающих слоев материала вокруг микрообъема размещали буферный слой с усредненными механическими свойствами композита. Составленная таким образом вычислительная модель на макроуровне соответствует макрообъему композита, в геометрическом центре которого находится фрагмент его микроструктуры. Моделирование нагружения вычислительной модели позволяет детально исследовать и описывать эволюцию напряженно-деформированного состояния случайно выбранного элемента микроструктуры композита. При этом граничные условия задаются микрообъему в результате решения задачи на макроуровне, а выполняющие роль буфера слои материала позволяют более точно передать напряженно-деформированное состояние на микроуровень. Реологические свойства отдельных составляющих вычислительной модели – сплава А8 и материала композита, учитывали посредством задания соответствующих кривых деформационного упрочнения, полученных экспериментально. Матрицу задавали как изотропно-упрочняющуюся упругопластическую среду. Свойства буферного слоя соответствовали изотропной упруговязкопластической среде. Материал частиц карбида кремния полагали изотропным и линейно-упругим. Для выполнения конечно-элементной дискретизации были разработаны приёмы построения трёхмерных сеток по геометрически нерегулярным структурам и создан программный комплекс, позволяющий получать трехмерные модели объемов неоднородных материалов с учётом их сложной внутренней структуры.

В результате численных расчетов получены сведения об изменении компонент тензоров напряжений и приращений деформаций в узлах конечно-элементной сетки вычислительной модели композита. В отличие от однородных полей макронапряжений и макродеформаций, имеющих место при моделировании нагружения композита как квазиоднородного материала, установлено формирование специфического неоднородного напряженно-деформированного состояния выбранного фрагмента микроструктуры. Описаны особенности образования зон концентрации напряжений и участков локальной пластической деформации. Получены поля распределений коэффициента жесткости напряженного состояния и показателя вида напряженного состояния Лоде-Надаи в зависимости от степени деформации. Статистическая выборка подобных фрагментов микроструктуры и численное исследование нагружения каждого из них с использованием разработанной вычислительной модели позволяют обобщить результаты моделирования и вывести общие закономерности эволюции напряженно-деформированного состояния исследуемого материала на микроуровне.

Ключевые слова: масштабные уровни деформации, микроструктура, представительный объем, реологические свойства, вычислительная модель, металломатричный композит, конечно-элементное моделирование, одноосное нагружение, напряженно-деформированное состояние, неоднородность распределения, степень деформации

Смирнов Сергей Витальевич – доктор технических наук, профессор, e-mail: svs@imach.uran.ru.

Коновалов Анатолий Владимирович – доктор технических наук, профессор, заведующий лабораторией, e-mail: avk@imach.uran.ru.

Мясникова Марина Валерьевна – кандидат технических наук, научный сотрудник, e-mail: marina@imach.uran.ru.

Халевицкий Юрий Владимирович – аспирант, инженер, e-mail: me@dijkstra.ru.

Смирнов Александр Сергеевич – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: smirnov@imach.uran.ru.

1. Mesomechanics: The microstructure-mechanics connection / G.K. Haritos, J.W. Hager, A.K. Amos, M.J. Salkind, A.S.D. Wang // I nternational Journal of Solids and Structures. – 1988. – Vol. 24. – No. 11. – P. 1081–1096.
2. Panin V.E. Foundations of physical mesomechanics // Physical Mesomechanics. – 1998. – Vol. 1. – No 1. – P. 5–20.
3. Pugacheva N.B., Myasnikova M.V., Michurov N.S. Simulation of the Elastic Deformation of Laser Welded Joints of an Austenitic Corrosion Resistant Steel and a Titanium Alloy with an Intermediate Copper Insert//The Physics of Metals and Metallography. – 2016. – Vol. 117. – No. 2. – P. 195–203. DOI: 10.1134/S0031918X15120078.
4. Balokhonov R.R., Romanova V.A., Schmauder S. Computational analysis of deformation and fracture in a composite material on the mesoscale level// Computational Materials Science. – 2006. – Vol. 56. – P. 34–42.
5. Smirnov S.V., Myasnikova M.V., Pugacheva N.B. Hierarchical simulation of plastic deformation and fracture of complexly alloyed brass // International Journal of Damage Mechanics. – 2016. – Vol. 25. – No 2. – P. 251–265. DOI: 10.1177/1056789515577401.
6. Masa B., L. Nahlik L., Hutar P. Particulate composite materials: numerical modeling of a cross-linked polymer reinforced with alumina-based particles // Mechanics of Composite Materials. – 2013. – Vol. 49. – No. 4. – P. 421–428.
7. Three dimensional (3D) microstructure-based modeling of interfacial decohesion in particle reinforced metal matrix composites / J.J. Williams, J. Segurado, J. LLorca, N. Chawla // Materials Science & Engineering A. – 2012. – Vol. 557. – P. 113–118.
8. Broek D. Elementary engineering fracture mechanics/3rd edition. – Martinus Nijhoff Publishers, The Hague, 1984. – 469 p.
9. Smirnov S.V. Accumulation and healing of damage during plastic metal forming:
   Simulation and experiment // Key Engineering Materials. – 2013. – Vol. 528. – P. 61–69. DOI: 10.4028/www.scientific.net/KEM.528.61
10. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением: учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. техн. ун-та – УПИ, 2001. – 836 с.
11. Lemaitre J. A., Lippmann H.A. Course on Damage Mechanics. – Berlin: Springer-Verlag, 1996. – 228 p.
12. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов / под ред. Ю.В. Соколкина. – М.: Наука: Физматлит, 1997. – 288 с.
13. Buryachenko V. Micromechanics of heterogeneous materials. – New York: Springer, 2007. – 686 p.
14. Ташкинов М.А. Стохастическое моделирование процессов деформирования упругопластических композитов со случайным расположением включений с использованием моментных функций высоких порядков // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 3. – С. 163–185. DOI: 10.15593/perm.mech/2014.3.09
15. Pugacheva N. B., Michurov N. S., Bykova T. M. The Structure and Properties of the 30al-70sic Metal Matrix Composite Material // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. – 2015. – Iss. 6. – P. 6–18. DOI: 10.17804/2410-9908.2015.6.006-018. URL: http://dream-journal.org/issues/2015-6/2015-6_56.html (accessed: 26 Februar 2016).
16. Пугачева Н.Б., Мичуров Н.С., Быкова Т.М. Структура и свойства композиционного материала Al/SiC//Физика металлов и металловедение. – 2016. – № 6. – C. 457 – 468.
17. Халевицкий Ю.В., Мясникова М.В, Коновалов А.В. Приёмы создания вычислительной модели представительных объёмов металломатричного композита Al/SiC с внутренней структурой // Математическое моделирование в естественных науках. – 2014. – Т. 1. – С. 277–280.
18. Кочетов В.Т., Кочетов М.В., Павленко А.Д. Сопротивление материалов: учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 544 с.
19. Гнесин Г.Г. Карбидокремниевые материалы. – М.: Металлургия, 1977. – 216 с.
20. Микульский В.Г. Строительные материалы (Материаловедение и технология): учеб. пособие. – М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2002. – 536 с.
21. Богатов А.А., Мижирицкий О.И., Смирнов С.В. Ресурс пластичности металлов при обработке давлением. – М.: Металлургия, 1984. – 144 с. 

Предложена методика решения плоских нестационарных задач для упругого полупространства при наличии подвижной границы смены заданных на поверхности граничных условий смешанного типа. Движение полупространства описывают волновые уравнения относительно скалярного и ненулевой компоненты векторного упругих потенциалов перемещений. Начальные условия предполагаются нулевыми.

С использованием интегрального соотношения для нормальных перемещений границы полупространства в виде двумерной свертки напряжений с функцией влияния, вытекающего из принципа суперпозиции, свойств операции свертки по двум переменным и аппарата теории обобщенных функций получено явное решение поставленной задачи в интегральной форме. При этом получение указанного решения основано на методе расщепления функции влияния, согласно которому она представляется в виде произведения двух сомножителей, удовлетворяющих установленным необходимым условиям, поэтому для получения окончательных результатов необходима факторизация функции влияния, обладающая заданными свойствами.

Анализ изображения по Фурье и Лапласу функции влияния выявил наличие шести особых точек: два простых полюса и четыре точки ветвления.

Получение требуемой факторизации функции влияния основано на представлении ее изображения в виде произведения сомножителей, каждый из которых содержит лишь одну особую точку. При этом особые точки, являющиеся простыми полюсами, отделяются путем обычного разложения на множители, а точки ветвления – с помощью интегралов типа Коши. Описанный способ позволяет получить требуемые факторизации функции влияния в любом характерном скоростном диапазоне движения точки раздела граничных условий: дорелеевском, дозвуковом, трансзвуковом и свехзвуковом.

В результате получены разрешающие задачу явные интегральные формулы, позволяющие определить неизвестные перемещения и напряжения в любом скоростном диапазоне движения точки раздела граничных условий.

Построены асимптотические представления напряжений и перемещений в окрестности точки смены граничных условий.

Ключевые слова:нестационарные задачи теории упругости, смешанные граничные условия, подвижная граница раздела краевых условий, метод факторизации, интегральные преобразования, обобщенные функции, асимптотики

Тарлаковский Дмитрий Валентинович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой, e-mail: tdvhome@mail.ru

Федотенков Григорий Валерьевич – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: greghome@mail.ru

1. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. – М.: Наука: Физматлит, 1995. – 352 с.
2. Mikhailova E.Yu., Fedotenkov G.V. Nonstationary Axisymmetric Problem of the Impact of a Spherical Shell on an Elastic Half-Space (Initial Stage of Interaction) // Mechanics of Solids. – 2011. – Vol. 46. – No. 2. – P. 239–247. DOI: 10.3103/S0025654411020129
3. Удар деформируемым цилиндрическим телом по упругому полупространству / Амар Абдул Карим Салман, А.Г. Горшков, Д.В. Тарлаковский, Г.В. Федотенков // Изв. РАН. МТТ – 2004. –
   № 3. – С. 82–90.
4. Михайлова Е.Ю., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Нестационарный контакт сферической оболочки и упругого полупространства [Электронный ресурс] // Труды МАИ. – 2014. – № 78. – URL: http://www.mai.ru/upload/iblock/540/540b786eac60d751a2e5f5b8f745d731.pdf.
5. Tarlakovskiy D.V., Fedotenkov G.V. Analytic investigation of features of stresses in plane nonstationary contact problems with moving boundaries // Journal of Mathematical Sciences. – 2009. – Vol. 162. – No. 2. – P. 246–253. DOI: 10.1007/s10958-009-9635-4
6. Lamb H. On the propagation of tremors over the surface on an elastic solid // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. – 1904. – Vol. 208. – P. 1–42.
7. Слепян Л.П., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. – Л.: Судостроение, 1980. – 344 с.
8. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. – М.: Наука, 1986. – 328 с.
9. Файншмидт В.Л., Шемякин Е.И. Распространение волн в упругом полупространстве, возбуждаемом поверхностной касательной силой // Учен. зап. ЛГУ. – 1954. – № 177. – Вып. 28. – С. 148–179.
10. Hu De-sui An application of Ungar's differential transform to elastodynamics // Appl. math, and mech. – 1989. – Vol. 10. – No. 7. – P. 645–648.
11. Kosloff D., Reshef M., Loewenthal D. Elastic wave calculations by the Fourier method // Bull. Seismol. Soc. Amer. – 1984. – Vol. 74. – No. 3. – P. 875–891.
12. Richards P.G. Elementary solutions to Lamb's problem for a point source and their relevance to three-dimensional studies of spontaneous crack propagation // Bull. Seismol. Soc. Amer. – 1979. – Vol. 69. – No. 4. – P. 947–956.
13. Steinfeld B., Takemiya K., Antes H. Analysis of transient 3d wave propagation in an elastic half-space. The classical approach and the direct boundary element method // Z. angew. Math, und Mech. – 1995. – Bd. 75. Suppl. – No. 1. – P. 283–284.
14. Melnikov Y.A. Influence functions of a point source for perforated compound plates with facial convection // J. Eng. Math. – 2004. – Vol. 49. – No. 3. – P. 253–270.
15. Churchman C.M., Korsunsky A.M., Hills D.A. The edge dislocation in a three-quarter plane. Pt I. Influence functions // Eur. J. Mech. A. – 2006. – Vol. 25. – No. 1. – P. 42–50.
16. Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. Nonstationary 3D Motion of an Elastic Spherical Shell // Mechanics of Solids. – 2015. – Vol. 50. – No. 2. – P. 208–217. DOI: 10.3103/S0025654415020107
17. Зеленцов В.Б. Нестационарная динамическая контактная задача теории упругости об ударе параболического штампа в упругую полуплоскость // Изв. РАН. Мех. тверд. тела. – 2006. – № 1. – С. 28–46.
18. Зеленцов В.Б. Об ударе плоского штампа в упругую полуплоскость // Прикл. мат. и мех. – 2006. – Т. 70, № 1. – С. 150–161.
19. Аргатов И.И. Медленные нестационарные вертикальные движения штампа на поверхности упругого полупространства // Изв. РАН. Мех. тверд. тела. – 2007. – № 5. – С. 99–116.
20.  Рябченко В.П. Асимптотическое решение задачи о воздействии штампа на упругий слой, лежащий на поверхности сжимаемой жидкости бесконечной глубины // Прикл. мех. и техн. физ. – 2008. – Т. 49, № 2. – С. 131–142.
21. Кубенко В.Д., Марченко Т.А. Плоская задача нестационарного вдавливания затупленного жесткого индентора в поверхность упругого слоя // Прикл. мех. – 2008. – Т. 44, № 3. – С. 55–65.
22. Shmegera S.V. The initial boundary-value mixed problems for elastic half-plane with the conditions of contact friction // Int. J. Solids and Struct. – 2000. – Vol. 37. – No. 43. – P. 6277–6296.
23. Зеленцов В.Б., Батурина Н.Ю. О движении плоского штампа по границе упругой полуплоскости // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. – 2011. – № 3. – С. 40–48.
24. Suvorov Ye.M., Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. The plane problem of the impact of a rigid body on a half-space modelled by a Cosserat medium // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. – 2012. – Vol. 76. – No. 5. – P. 511–518. DOI: 10.1016/j.jappmathmech.2012.11.015
25. Батурина Н.Ю., Митрин Б.И. Об одном приближенном решении интегрального уравнения в контактной задаче о движении штампа // Научное обозрение. – 2012. – № 6. – С. 71–73.
26. Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. Two-dimensional nonstationary contact of elastic cylindrical or spherical shells // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. – 2014. – Vol. 43. – No. 2. – P. 145–152. DOI: 10.3103/S1052618814010178
27. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. – М.: Мир, 1978. – 508 с.
28. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.: Наука, 1966. – 708 с.
29. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – М.: Наука, 1977. – 640 с.
30. Гранично-элементное исследование поверхностных пористо-упругих волн / Л.А. Игумнов, И.С. Карелин, А.Н. Петров, А.Е. Петров // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та. – 2013. – Вып. 75. – С. 134–143.
31. Plane nonstationary problem of motion of the surface load over an elastic half space / L.A. Igumnov, A.S. Okonechnikov, D.V. Tarlakovskii, G.V. Fedotenkov // Journal of Mathematical Sciences. – 2014. – Vol. 203. – No. 2. – P. 193–201.
32. Igumnov L.A., Belov А.А., Petrov А.N. Boundary-Element Modeling of the Dynamics of Elastic and Viscoelastic Bodies and Media // Advanced Materials – Studies and Application. Nova Science Publishers. – 2015. – P. 301–318.
33. Igumnov L.A., Markov I.P., Amenitsky A.V. A three-dimensional boundary element approach for transient anisotropic viscoelastic problems // Key Engineering Materials. – 2014. – Vol. 685. – P. 267–271.

Многие элементы конструкций в реальных эксплуатационных условиях функционируют за пределом упругости, в условиях пластического течения и ползучести и подвергаются периодическому термомеханическому нагружению. В настоящее время активно развиваются инкрементальные (пошаговые) и прямые методы определения стабилизированного состояния таких систем.

Известно, что для конструкций, подверженных действию периодического нагружения, реализуются три различных типа асимптотического поведения: приспособляемость, когда конструкция ведет себя упругим образом после большого числа циклов нагружения; циклическая пластичность, когда реализуется пластическая деформация разных знаков; рэтчетинг – явление накопления пластических деформаций с течением времени, ведущих к разрушению конструкции.

В настоящей работе в многофункциональном конечно-элементном пакете SIMULIA Abaqus выполнено пошаговое циклическое нагружение образца с концентратором напряжений. В качестве которого рассматривалась упругопластическая пластина с центральным эллиптическим отверстием, подверженная действию двухосного нагружения. Нагружение по одной из осей являлось периодическим. Проведены расчеты для нескольких материалов, различных по своим механическим свойствам.

В статье представлены результаты и обобщения расчетов определения асимптотического поведения конструкции, приведены найденные в процессе исследований диапазоны нагрузок, при которых реализуются режимы приспособляемости, циклической пластичности и рэтчетинга. Выполнен анализ полученных расчетов и показано, что посредством выбора удобной нормировки результатов вычислений расчеты для различных материалов укладываются на единую кривую, что позволяет существенно сократить объем вычислений.

Ключевые слова: приспособляемость, знакопеременная пластичность, рэтчетинг, конечно-элементный анализ, инкрементальный анализ, циклическое нагружение, асимптотическое поведение конструкции, пластические деформации, стабилизированное состояние

Туркова Вера Александровна – аспирант, e-mail: turkovavera2016@yandex.ru

Степанова Лариса Валентиновна – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: stepanovalv@samsu.ru

1. Stolz C. Optimal control approach in nonlinear mechanics // C.R. Mecanique. – 2008. –
   No. 1–2. – P. 238–244.
2. Vetyukov Y. Nonlinear mechanics of Thin-walled structures. Asymptotics, direct approach and numerical analysis. – Berlin: Springer, 2014. – 272 p.
3. Peigney M. Shakedown of elastic-perfectly plastic materials with temperature-dependent elastic moduli // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. – 2014. – Vol. 71 – P. 112–131.
4. Spiliopoulos K.V., Weichet D. Direct methods for limit states in structures and materials. – Berlin: Springer, 2014. – 278 p.
5. Limit state of materials and structures / G. Saxce, A. Oueslati, E. Charkaluk, J.-B. Tritsch. – Berlin: Springer, 2013. – 218 p.
6. Fuschi P., Pisano A.A., Weichert D. Direct Methods for Limit and Shakedown Analysis of Structures: Advanced Computational Algorithms and Material Modelling (Solid Mechanics and Its Applications). – Berlin: Springer, 2015. – 313 p.
7. Chen H.F., Ponter A.R.S. Shakedown and limit analyses for 3-D structures using the linear matching method // International Journal of Pressure Vessels and Piping. – 2001. – Vol. 78 – P. 443–451.
8. Ponter A.R.S., Chen H. A minimum theorem for cyclic load in excess of shakedown, with application to the evaluation of a ratchet limit // Eur. J. Mech. A/Solids. – 2001. – Vol. 20 – P. 539–553.
9. Spiliopoulos K.V., Panagiotou K.D. A direct method to predict cyclic steady state of elastoplastic structures // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. – 2012. – Vol. 223–224 – P. 186–198.
10. Ponter A.R.S., Chen H. A minimum theorem for cyclic load in excess of shakedown, with application to the evaluation of a ratchet limit // Eur. J. Mech. A/Solids. – 2001. – Vol. 20 – P. 539–553.
11. Du Z., Wang J., Fan X. Direct cyclic method for solder joint reliability analysis// Proceedings of IMECE 2006: ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition. November 5-10, 2006, Chicago, USA.
12. Brassart L., Zhao K., Suo Zh. Cyclic plasticity and shakedown in high-capacity electrodes of lithium-ion batteries // Int. J. of Solids and Structures. – 2013. – Vol. 50 – P. 1120–1129.
13. Spiliopoulos K.V., Panagiotou K.D. A residual stress decomposition based method for the shakedown analysis of structures // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. – 2014. – Vol. 276 – P. 410–430.
14. Lee C-H., Do V.N.V., Chang K-H. Analysis of uniaxial ratcheting behaviour and cyclic mean stress relaxation of a duplex stainless steel// Int. J. of Plasticity. – 2014. – Vol. 62 – P. 17–33.
15. Mandal N.K. Ratchetting of railhead material of insulated rail joints (IRJs) with reference to endpost thickness // Engrg. Failure Analysis. – 2014. – Vol. 45 – P. 347–362.
16. Near-tip strain ratcheting and crack growth at elevated temperature / Tong J. [et al] // International Journal of fatigue. – 2016. – Vol. 82 – P. 514–520.
17. Experimental observation on multiaxial ratcheting of polycarbonate polymer at room temperature / F. Lu, G. Kang, Y. Zhu, C. Xi, H. Jiang // Polymer Testing. – 2016. DOI: 10.1016/j.polymertesting.2016.01.011
18. Da Costa Mattos H.S., Peres J.M.A., Melo M.A.C. Ratcheting behavior of elasto-plastic thin-walled pipes under internal pressure and subjected to cyclic axial loading // Thin-Walled Structures. – 2015. – Vol. 93 – P. 102–111.
19. Thermo-mechanically coupled cyclic elasto-viscoplastic constitutive model of metals: theory and application / Y. Zhu, G. Kang, Q. Kan, O.T. Bruhns, Y. Liu // International Journal of Plasticity. – 2016. DOI: 10.1016/j.ijplas.2015.12.005
20. Halama R., Sedlak J., Fusek M., Poruba Z. Uniaxial and biaxial ratcheting of ST52 steel under variable amplitude loading-experiments and modeling // Procedia Engineering. – 2015. – Vol. 101. – P. 185–193.
21. Gustafson A., Moller M. Experimental and numerical investigation of ratcheting in pressurized equipment // Procedia Engineering. – 2015. – Vol. 130 – P. 1233–1245.
22. Stepanova L.V., Igonin S.A. Perturbation method for solving the nonlinear eigenvalue problem arising from fatigue crack growth problem in a damaged medium // Applied Mathematical Modelling. – 2014. – Vol. 38 – P. 3436–3455.
23. Степанова Л.В., Игонин С.А. Асимптотика поля напряжений у вершины усталостной трещины в среде с поврежденностью: вычислительный эксперимент и аналитическое решение // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2015. – Т. 18, №2 – С. 201–217.
24. Хейдари А., Галишникова В.В. Аналитический обзор теорем о предельной нагрузке и приспособляемости в упругопластическом расчете стальных конструкций // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2014. – № 3. – С. 3–18.
25. Клебанов Я.М., Кураева Я.В. Численный анализ приспособляемости деталей при циклическом термомеханическом нагружении// Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2015. – №2. – С. 60–68.
26. Клебанов Я.М., Александрова М.Ю. Контактная приспособляемость при кулоновском трении упругих тел // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2012. – № 4. – С. 56–63.
27. Клебанов Я.М., Александрова М.Ю. Исследование процесса контактной приспособляемости при кулоновском трении упругих тел// Изв. Самар. науч. центра РАН. – 2011. – № 4–3 (11). – С. 748–752.
28. Abaqus. Применение комплекса в инженерных задачах. – М.: ТЕСИС, 2010. – 100 с.
29. Медь. Лист медный, пруток медный, лента, проволока медная [Электронный ресурс]. – URL: http://polias.ru/index/0-16.
30. Бьюи Х.Д. Механика разрушения: обратные задачи и решения. – М.: Физматлит, 2011. – 412 с.

Получено аналитическое решение однородной задачи изотропной теории упругости в постановке плоской деформации о полубесконечной трещине, проходящей вдоль границы, разделяющей два упругих слоя одинаковой толщины с отличающимися свойствами, для равного нулю второго параметра Дундурса (безразмерной комбинации упругих констант материалов). Данная задача является частным случаем задачи о полубесконечной трещине, проходящей вдоль границы, разделяющей два упругих слоя с произвольными соотношениями толщин и упругих свойств. Решения для случаев трещин нормального отрыва и сдвига в предположении возможности пренебрежения влиянием нормальных напряжений на сдвиговые смещения и сдвиговых напряжений на нормальные смещения даны в первой и второй частях статьи (Вестник ПНИПУ. Механика. 2015. № 4; 2016, № 2). Рассматриваемое решение для частного случая получено путем применения преобразования Лапласа и сведения задачи к матричной задаче Римана-Гильберта. Ограничение, состоящее в необходимости равенства толщин, и ограничение на сочетание упругих постоянных материалов определяются методом решения, позволяющим осуществить факторизацию матричного коэффициента задачи в замкнутой форме.

Получены асимптотические выражения для смещений берегов трещины вдали от ее вершины, соответствующие смещениям эквивалентной пластины (балки) при граничных условиях типа обобщенной упругой заделки, т.е. условиям пропорциональности нормального и тангенциального смещений и угла поворота в точке заделки действующим компонентам главного вектора и изгибающего момента нагрузки. Получены выражения для компонент матрицы коэффициентов упругой заделки, связывающей указанные кинематические и силовые величины. Также получены выражения для коэффициента интенсивности напряжений и скорости высвобождения энергии.

Ключевые слова: отслоение, интерфейсная трещина, матричная факторизация, упругая заделка, матрица упругой податливости

Устинов Константин Борисович – доктор физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, e-mail: ustinov@ipmnet.ru

1. Устинов К.Б. О расслоении полосы по границе раздела упругих свойств. Часть 1. Постановка задачи, случай нормального отрыва // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 4. – С. 226–245.
2. Устинов К.Б. О расслоении полосы по границе раздела упругих свойств. Часть 2. Случай сдвиговой трещины // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 2. – С. 131–142. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.2.09
3. Златин А.Н., Храпков A.A. Полубесконечная трещина, параллельная границе упругой полуплоскости // Докл. АН СССР. – 1986. – Т. 31. – С. 810–813.
4. Златин А.Н., Храпков A.A. Упругая полуплоскость, ослабленная трещиной, параллельной ее границе // ЛГУ. Исследования по упругости и пластичности. – 1990. – T. 16. Проблемы современной механики разрушения. – С. 68–75.
5. Златин А.Н., Храпков A.A. Векторная задача Римана с ненулевым индексом показателя матрицы-коэффициента // Изв. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. – 1985. – Т. 181. – С. 12–16.
6. Khrapkov A.A. Wiener-Hopf method in mixed elasticity theory problems. – S.-P., 2001.
7. Устинов К.Б. Еще раз к задаче о полуплоскости, ослабленной полубесконечной трещиной, параллельной границе // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. – № 4. – C. 138–168.
8. Устинов К.Б.. Об отслоении слоя от полуплоскости; условия упругой заделки для пластины, эквивалентной слою // Изв. РАН. МТТ. – 2015. – № 1. – С. 75–95.
9. Dundurs J., Discussion: “Edge-bonded dissimilar orthogonal elastic wedges under normal and shear loading” (Bogy, D. B., 1968, ASME J. Appl. Mech., 35, pp. 460–466) // Trans ASME J. Appl. Mech. – Vol. 36. – Nо. 3. – P. 650–652.
10. Suo Z., Hutchinson J.W. Interface crack between two elastic layers // Int. J. Fract. – 1990. – Vol. 43. – P. 1–18.
11. Ентов В.М., Салганик Р.Л. О балочном приближении в теории трещин // Изв. АН СССР. Механика. – 1965. – № 5. – С. 95–102.
12. Fitcher W.B. The stress intensity factor for the double cantilever beam // Int. J. Fract. 1983. – Vol. 22. – P. 133–143.
13. Foote R.M.L., Buchwald V.T. An exact solution for the stress intensity factor for a double cantilever beam // Int. J. Fract. 1985. – Vol. 29. – P. 125–134.
14. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. – М.: Изд-во иностр. лит. 1962. – 279 с.
15. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – М.: Наука, 1977. – 640 с.
16. The edge cracking and spalling of brittle plates / M.D. Thouless, A.G. Evans, M.F. Ashby,
    J.W. Hutchinson // Acta Metallurgica. – 1997. – Vol. 35. – P. 1333–1341.
17. Ustinov K.B., Dyskin A.V., Germanovich L.N. Asymptotic analysis of extensive crack growth parallel to free boundary // 3rd Int. Conf. Localized Damage 94. – 1994. – P. 623–630.
18. Cotterell B., Chen Z. Buckling and cracking of thin film on compliant substrates under compression // Int. J. Frac. – 2000. – Vol. 104. – No 2. – P. 169–179.
19. Hutchinson, J.W., Suo, Z., Mixed Mode Cracking in Layered Materials // Advances in Applied Mechanics / eds J.W. Hutchinson and T.Y. Wu. – 1992. – Vol. 29. – P. 63–191.
20. Салганик Р.Л. О хрупком разрушении склеенных тел // ПММ. – 1963. – Т. 27, вып. 5. – C. 957–962.
21. Malyshev B.M., R.L. Salganik. The strength of adhesive joints using the theory of crack // Int. J. Fracture Mechanics. – 1965. – Vol. 1. – No. 2. – P. 114–128.
22. Дёч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. – М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1958. – 207 с.
23. Устинов К.Б.. О сдвиговом отслоении тонкой полосы от полуплоскости // Изв. РАН. МТТ. – 2014. – № 6. – С. 141–152.
24. Салганик Р.Л., Устинов К.Б. Задача об упругозаделанной пластине, моделирующей частично отслоившееся от подложки покрытие (плоская деформация) // Изв. РАН МТТ. – 2012. – № 4. – C. 50–62.
25. Yu H.-H., Hutchinson J.W. Influence of substrate compliance on buckling delamination of thin films // Int. J. Fract. – 2002. – Vol. 113. – P. 39–55.
26. Гольдштейн Р.В., Устинов К.Б., Ченцов А.В. Оценка влияния податливости подложки на напряжения потери устойчивости отслоившегося покрытия // Вычисл. мех. спл. сред. – 2011. – Т. 4, № 3. – С. 48–57.
27.  Кургузов В.Д. Моделирование отслоения тонких пленок при сжатии // Выч. мех. спл. сред. – 2014. – Т. 7, № 1. – С. 91–99.
28. Попов Г.Я. Изгиб полубесконечной плиты, лежащей на линейно-деформируемом основании // ПММ. – 1961. – № 25, вып. 2. – С. 342–355.
29. Dannenberg H. Measurement of Adhesion by a Blister Method // J. Appl. Pol. Sci. – 1961. – Vol. 5. – No. 14. – P. 125–134.
30. Williams M.L. The continuum interpretation for fracture and adhesion // J. Appl. Pol. Sci. – 1969. – Vol. 13. – P. 29–40.
31. Karihaloo B.L., Stang H. // Composites: Part B. – 2008. – Vol. 39. – P. 386–395.
32. Storakers B., Anderson B., Nonlinear plate theory applied to delamination in composites // J. Mech. Phys. Solids. – 1988. – Vol. 36. – P. 689–718.

Работа посвящена разработке и реализации численно-экспериментального метода оценки компонент тензоров напряжений и деформаций на основе инфракрасной термографии в процессе деформирования металлов. Инфракрасная термография является бесконтактным методом визуализации и измерения температурных полей объектов на основе их инфракрасного излучения и используется как успешный метод неразрушающего контроля. В результате работы создан программный комплекс, позволяющий на основе сопоставления результатов решения краевой задачи и данных измерения изменения температуры образца, вызванных термоупругим эффектом, проводить оценку отдельных компонент тензоров напряжений и деформаций. Для верификации предложенной методики проведена серия экспериментов на квазистатическое растяжение образцов из конструкционной стали 8Х18Н10 и титанового сплава ВТ1-0 с концентраторами напряжений. В результате показано, что в отличие от аналогичных подходов (например, TSA-Thermal Stress Analysis) метод позволяет получить дополнительную информацию о напряжённо-деформируемом состоянии материала и провести более детальную оценку степени критичности состояния конструкции.

Методика предлагаемого комплекса основана на экспериментальном измерении первого инварианта тензора напряжений с использованием техники инфракрасного сканирования и его последующим пересчетом для определения граничных условий для исследуемой области образца или конструкции, что позволит определить все компоненты тензора напряжений в любой точке исследуемой области на основе численного решения соответствующей краевой задачи.

Особенностью разрабатываемого подхода является незначительные вычислительные затраты для определения компонент тензора напряжений, что позволяет применять данную методику при анализе широкого класса инженерных конструкций в режиме реального времени.

Ключевые слова: инфракрасная термография, термический анализ напряжений, метод конечных элементов

Терехина Алена Ильинична – аспирантка, e-mail: terekhina.a@icmm.ru

Костина Анастасия Андреевна – аспирантка, e-mail: kostina@icmm.ru

Плехов Олег Анатольевич – доктор физико-математических наук, e-mail: poa@icmm.ru

1. Мойсейчик Е.А., Мойсейчик Е.К. Выявление дефектов в стальных элементах конструкций с использованием инфракрасных технологий неразрушающего контроля // Проблемы механики современных машин. – 2012. – Т. 3. – С. 5–10.
2. Вавилов В.П. Динамическая тепловая томография // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. – 2006. – Т. 72, № 3. – C. 26–36.
3. Determination of critical strain for rapid crack growth during tensile deformation in aluminide coated near-α titanium alloy using infrared thermography / Punnosen Sony, Mukhopadhyay Amretendu, Sarkar Rajdeep, Alam Zafir, Das Dipak, Kumar Vikas // Materials Science & Engineering. – 2013. – Vol. A 576. – P. 217–221. DOI: 10.1016/j.infrared.2015.09.021
4. Huilong Dong, Boyu Zheng, Feifan Chen. Infrared sequence transformation technique for in situ measurement of thermal diffusivity and monitoring of thermal diffusion // Infrared Physics & Technology. – 2015. – Vol. 73. – P. 130–140. DOI: 10.1016/j.infrared.2015.09.021
5. La Rosa G., Risitano A. Thermographic methodology for rapid determination of the fatigue limit of materials and mechanical components // International Journal of Fatigue. – 2000. – No. 22. – P. 65–73.
6. A thermodynamic internal variable model for the partition of plastic work into heat and stored energy in metals / P. Rosakis, A.J. Rosakis, G. Ravichandran, J. Hodowany // J. Mech. And Phys. Solids. – 2000. – No. 48. – P. 581–607.
7. Oliferuk W., Maj M., Raniecki B. Experimental analysis of energy storage rate components during tensile deformation of polycrystals // Materials Science and Engineering A. – 2004. – Vol. 374. – P. 77–81.
8. Heat dissipation energy under fatigue based on infrared data processing / A. Fedorova, M. Bannikova, A. Terekhina, O. Plekhov // Qualitative Infrared Thermograthy Journal. – 2014. – Vol. 11. – Iss. 1. – P. 2–9.
9. An experimental analysis of fatigue behavior of AZ31B magnesium alloy welded joint based on infrared thermography / H.X. Zhang, G.H. Wu, Z.F. Yan, S.F. Guo, P.D. Chen, W.X. Wang // Materials and Design. – 2014. – Vol. 55. – P. 785–791.
10. Quantitative Thermographic Methodology for fatigue assessment and stress measurement / X.G. Wang, V. Crupi, X.L. Guo, Y.G. Zhao // International Journal of Fatigue. – 2010. – Vol. 32. – No. 12. – P. 1970–1976.
11. Fatigue crack initiation and growth in a 35CrMo4 steel investigated by infrared thermography / O. Plekhov, T. Palin-Luc, O. Naimark, S. Uvarov, N. Saintier // Fatigue and fracture of engineering materials and structures. – 2005. – Vol. 28. – Iss. 1. – P. 169–178.
12. Theoretical analysis, infrared and structural investigations of energy dissipation in metals under cyclic loading / O. Plekhov, N. Saintier, T. Palin-Luc, S. Uvarov, O. Naimark // Material Science and Engineering. – 2007. – Vol. 462. – No. 1. – P. 367–370.
13. Экспериментальное исследование генерации тепла в вершине усталостной трещины / А.И. Терёхина, М.В. Банников, О.А. Плехов, Э.В. Плехова // Письма в ЖТФ. – 2012. – Т. 38. – Вып. 16.
14. Вавилов В.П. Инфракрасная термография и тепловой контроль. – M.: Спектр, 2009. – 544 с.
15. Современные методы и средства неразрушающего контроля сварного соединения выполненного контактной точечной сваркой (обзор) / Е.В. Шаповалов, Р.М. Галаган, Ф.С. Клищар, В.И. Запара // Техническая диагностика и неразрушающий контроль. – 2013. – № 1. – С. 10–22.
16. Review of aPplications of THermal Stress Analyser // Presented by Pierre Bremond, Presented at Testing Expo, 26 May 2004. – Stuttgart, Germany, 2004.
17. Murakami Y., Yoshimura M. Determination of all stress components from measurements of the stress invariant by the thermoelastic stress method // International Journal of Solids and Structures. – 1997. – Vol. 34 (35–36). – P. 4449–4461.
18. Стандарт по использованию тепловизоров BALTECH [Электронный ресурс]. – URL: http://www.baltech.ru/catalog.php?catalog=14#.
19. Stanley P. Beginnings and Early Development of Thermoelastic Stress Analysis // Strain. – 2008. – Vol. 44. – P. 285–297.
20. Thompson W. (Lord Kelvin). Trans. Roy. Soc. Edinburgh. – 1853. – Vol. 20. – P. 261.
21. Infrared thermography study of the fatigue crack propagation / A.Yu. Fedorova, M.V. Bannikov, O.A. Plekhov, E.V. Plekhova // Fracture and Structural integrity. – 2012. – Vol. 21. – P. 46–53.
22. Грубин А.Н. Нелинейные задачи концентрации напряжений в деталях машин. – Л.: Машиностроение, 1972. – 160 с.
23. Корихин Н.В., Эйгенсон С.Н. Исследование концентрации напряжений в некоторых ответственных деталях гидромашин // Вестник МГТУ. – 2013. – Т. 16, № 1. – С. 108–113.

Многослойные газопроницаемые пакеты из металлических плетеных сеток являются перспективным демпфирующим элементом, защищающим конструкции от ударных и взрывных воздействий. За счет развитой межфазной поверхности пакеты могут отбирать значительную долю энергии горячих продуктов взрыва и снижать интенсивность проходящих ударных волн. Пакеты сеток конструктивно формируются путем свободного наложения слоев друг на друга с сохранением направлений проволок, поэтому пакеты можно считать высокопористой деформируемой средой, обладающей ортотропными свойствами. Проведены экспериментальные исследования деформационных и прочностных свойств конструктивно ортотропных пакетов плетеных металлических сеток при статическом и динамическом нагружении. Пакет сетки сопротивляется сжатию по нормали к слоям сетки: первая ось – ортотропии и растяжению вдоль направлений проволок, другие оси – ортотропии. Для ударного растяжения в плоскости слоев использовался аналог схемы Николаса, представляющей собой модификацию метода Кольского. В разрезных стержнях Гопкинсона сделаны продольные пазы, в которых размещается и закрепляется испытываемый образец. Ударное растяжение проводится в волне растяжения, формирующейся в стержнях
в результате отражения от свободного торца первичной волны сжатия, которая проходит через стык стержней, не деформируя образец. Статическое растяжение образцов сеток производится на испытательных машинах Zwick. Испытания проведены для образцов с различным шагом плетения сеток и различным количеством слоев. Опытами определены необходимые размеры рабочей части образца. Показано, что диаграммы деформирования при растяжении вдоль проволок в плоскости слоев
и при сжатии по нормали к слоям сетки при всех режимах нагружения носят нелинейный и необратимый характер, а также проявляют существенную зависимость от скорости деформации. При квазистатическом растяжении пакетов сеток в направлении проволок существенное влияние оказывает их предварительное обжатие по нормали к слоям сеток. При динамическом растяжении этот эффект выражен значительно слабее.

Ключевые слова: плетеная металлическая сетка, эксперимент, разрезной стержень Гопкинсона, динамическая деформация, статическое растяжение, нелинейность, необратимость

Брагов Анатолий Михайлович – доктор технических наук, профессор, e-mail: bragov@mech.unn.ru

Жегалов Дмитрий Владимирович – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: zhegalov@mech.unn.ru

Константинов Александр Юрьевич – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: constantinov.al@yandex.ru

Кочетков Анатолий Васильевич – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: kochetkov@mech.unn.ru

Модин Иван Александрович – аспирант, e-mail: mianet@mail.ru

Савихин Андрей Олегович – младший научный сотрудник, e-mail: andrey-savikhin@yandex.ru

1. Stolz A., Ruiz-Ripoll M.L. Experimental and computational characterization of dynamic loading and structural resistance of tunnels in blast scenarios // Fire technology. – 2015. – P. 24. DOI: 10.1007/s10694-015-0496-8
2. An Inverse Estimation of High Strain Rate Properties of Composite Material Constituents / S. Chacko, A. Jones, R. Brooks, M.J. Lidgett // 20th International Conference on Composite Materials Copenhagen, 19–24th July 2015, Copenhagen, 2015.
3. Splichal J., Pistek A., Hlinka J. Dynamic tests of composite panels of an aircraft wing // Progress in Aerospace Sciences. 06/2015. DOI:10.1016/j.paerosci.2015.05.005
4. Cadoni E, Forni D. Strain rate effects on reinforcing steels in tension // EPJ Web of Conferences 94 01004, 2015. DOI: http://dx.doi.org/10.1051/epjconf/20159401004
5. Zhu H, Pierron F. Exploration of Saint-Venant’s Principle in Inertial High Strain Rate Testing of Materials // Experimental Mechanics. – 07/2015. DOI: 10.1007/s11340-015-0078-1.
6. Hu D., Meng K., Jiang H. Experimental Investigation of Dynamic Properties of AerMet 100 Steel // Procedia Engineering ­– 12/2015; 99:1459-1464. DOI:10.1016/j.proeng.2014.12.685
7. Гельфанд Б.Е., Сильников М.В. Фугасные эффекты взрывов. – СПб.: Полигон, 2002. – 266 с.
8. Альтшулер Л.В., Кругликов Б.С. Затухание сильных ударных волн в двухфазных и гетерогенных средах // ПМТФ. – 1984. – № 5. – С. 24−29.
9. Кругликов Б.С., Кутушев А.Г. Ослабление ударных волн экранирующими решетками // ФГВ. – 1998. – Т. 24, № 1. – С. 115−118.
10. Численная модель деформирования противоосколочной сетки при взрывном нагружении / А.И. Абакумов [и др.] // Тр. ВНИИЭФ. Математическое моделирование физических процессов. – 2006. – № 10. – С. 16−30.
11. Моделирование взаимодействия ударных волн с деформируемыми газопроницаемыми преградами / М.Х. Абузяров, Е.Г. Глазова, А.В. Кочетков, С.В. Крылов, В.И. Романов, М.А. Сырунин // Проблемы прочности и пластичности. – 2010. – Вып. 72. – С. 120–129.
12. Мельцас В.Ю., Портнягина Г.Ф., Соловьев В.П. Численное моделирование прохождения ударных волн через экранирующие решетки // ВАНТ. – 1993. Вып. 3. – С. 26–31.
13. Глазова Е.Г., Кочетков А.В. Численное моделирование взаимодействия деформируемых газопроницаемых пакетов сеток с ударными волнами // ПМТФ. – 2012. – № 3. – С. 11–19.
14. Исследование деформационных свойств пакетов плетеных металлических сеток при квазистатическом сжатии и растяжении / А.Н. Горохов, Д.А. Казаков, А.В. Кочетков, И.А. Модин, В.И. Романов // Проблемы прочности и пластичности. – 2014. – Вып. 76 (3). – С. 251−255.
15. Bragov A.M., Lomunov A.K. Methodological aspects of studying dynamic material properties using the Kolsky method // Int.J. of Impact Engineering. – 1995. – Vol. 16 (2). – P. 321–330.
16. Investigations on specimen design and mounting for Split Hopkinson Tension Bar (SHTB) experiments / N. Ledford, H. Paul, G. Ganzenmüller, M. May, M. Höfemann, M. Otto, N. Petrinic // DYMAT. – 09/2015.
17. Design and Computational Validation of a Split Hopkinson Pressure Bar for Dynamic Characterization of Materials Under High Strain Rate Tension Loading / A. Sasikumar, N. John, S. Pushpagiri, L.L. Koithara // International Journal of Engineering Research & Technology. – 2015. – Vol. 4 – Iss. 06, June. DOI: http://dx.doi.org/10.17577/IJERTV4IS060894
18. Nicholas O. Tensile testing of materials at high rates of strain // Exp.Mech. – 1981. – Vol. 21. – No. 5. – P. 177–195.
19. Методика определения параметров уравнений механики поврежденной среды при усталости и ползучести / И.А. Волков, Д.А. Казаков, Ю.Г. Коротких, А.И. Волков // Прикладная механика и технологии машиностроения. – 2012 – № 2 (21) – C. 7–24.

Обсуждается проблема оценки прочности и ресурса ответственных инженерных объектов, эксплуатационные свойства которых характеризуются многопараметрическими нестационарными термомеханическими воздействиями. Рассмотрены основные деградационные механизмы конструкционных материалов (металлов и их сплавов), характерные для данных объектов. Сформулированы основные требования к математическим моделям накопления усталостных повреждений.

Рассматриваются основные физические закономерности сложного термопластического деформирования и накопления усталостных повреждений в конструкционных материалах (металлах и их сплавах) при различных режимах комбинированного термомеханического нагружения и их основные отличия от изотермических усталостных процессов.

С современных позиций механики повреждённой среды (МПС) развита математическая модель, описывающая процессы циклического термопластического деформирования и накопления усталостных повреждений в конструкционных сплавах при многоосных непропорциональных путях комбинированного термомеханического нагружения. Модель МПС состоит из трёх взаимосвязанных частей определяющих соотношений термопластичности с учётом их зависимости от процесса разрушения, эволюционных уравнений накопления усталостных повреждений и критерия прочности повреждённого материала.

Показано,что при известных параметрах уравнений циклической термопластичности по одной экспериментальной точке на усталостной кривой определяются параметры эволюционных уравнений накопления повреждений, с помощью которых кривые малоцикловой усталости для различных сложных траекторий деформирования восстанавливаются с высокой точностью расчётным путём.

Приводятся результаты численного моделирования циклического термопластического деформирования и накопления усталостных повреждений в жаропрочных сплавах (Haynes188) при комбинированном термомеханическом нагружении. Особое внимание уделяется вопросам моделирования процессов циклического термопластического деформирования и накопления усталостных повреждений для сложных процессов деформирования, сопровождающихся вращением главных площадок тензоров напряжений и деформаций.

Ключевые слова: моделирование, пластичность, термоциклическая прочность, сложное деформирование, напряжённо-деформированное состояние, механика повреждённой среды, усталостная долговечность, прочность, разрушение, ресурс

Волков Иван Андреевич – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: pmptmvgavt@yandex.ru

Игумнов Леонид Александрович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: igumnov@mech.unn.ru

1. Методы обоснования ресурса ЯЭУ / A.М. Митенков, В.Б. Кайдалов, Ю.Г. Коротких [и др.]. – М.: Машиностроение, 2007. – 445 с.
2. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. – М.: Физматлит, 2008. – 424 с.
3. Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях. Анализ, предсказание, предотвращение. – М.: Мир, 1984. – 624 с.
4. Корум, Сартори. Оценка современной методологии проектирования высокотемпературных элементов конструкций на основе экспериментов по их разрушению // Теоретические основы инженерных расчетов. – 1988. – № 1. – С. 104–118.
5. Исследование термоциклической долговечности деталей с различными углами наклона охлаждаемых каналов / Н.Г. Бычков, А.Р. Лепёшкин, А.В. Першин, А.Д. Рекин, В.П. Лукаш // Авиационно-космическая техника и технологии. – 2009. – №. 10 (67). – С. 113–117.
6. Капустин С.А., Чурилов Ю.А., Горохов В.А. Моделирование нелинейного деформирования и разрушения конструкций в условиях многофакторных воздействий на основе МКЭ: моногр. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та им. Н.И. Лобачевского, 2015. – 347 с.
7. Hulford G. R. Low cycle thermal fatigue. Mechanics and Mathematical Methods // F Thermal stress II. Chapter 6. Elsevier Science Publishers B.V., 1987. – P. 329–428.
8. Исследование малоцикловой прочности при высоких температурах / под. ред. С.В. Серенсена. – М.: Наука, 1975.
9. Chaboche J.L. Constitutive equation for cyclic plasticity and cyclic viscoplasticity // Int. J. Plasticity. – 1989. – Vol. 5, No. 3. – P. 247–302.
10. Bernard-Connolly M., Biron A., Bue-Quic T. Low-cycle fatigue behaviour and cumulative dormage effect of SA-516-70 steel at room and high temperature // Journal Random Fatigue Life Predictions Asme Publ. – 1980. – Р. 297–302.
11. Гусенков А.П., Казанцев А.Г. Прочность при малоцикловом и длительном циклическом нагружении и нагреве // Машиноведение. – 1979. – № 3. – С. 59–65.
12. Сентоглу. Влияние ограничений на термомеханическую усталость // Теоретические основы инженерных расчетов. – 1985. – № 3. – С. 74–83.
13. Liang Jin, Pellox R.M., Xie Xishan Thermomechanical fatique behavior of a nickel base superalloy // Chin. J. Met. Sci. Technol. – 1989. – Vol. 5. – P. 1–7.
14. Temis Y.M., Azmetov K.K., Fakeev A.I. Numerical simulation of nonisothermal plasticity and thermomechanical fatigue of turbomachinery components // Computational Plasticity XII: Fundamentals and Applications – Proceedings of the 12th International Conference on Computational Plasticity – Fundamentals and Applications, COMPLAS, 2013. – С. 1130–1141.
15. Экспериментально-теоретическое исследование усталости материалов и конструкций в условиях высокотемпературных многоцикловых нагружений / А.А. Антипов, А.Н. Горохов, В.А. Горохов, Д.А. Казаков, С.А. Капустин // Проблемы прочности и пластичности. – 2014. – Т. 76, № 1. – С. 26–38.
16. Волков И.А, Коротких Ю.Г., Тарасов И.С. Моделирование сложного пластического деформирования и разрушения металлов при многоосном непропорциональном нагружении // ПМТФ. – 2009. – Т. 50, № 5. – С. 193–205.
17. Коротких Ю.Г., Волков И.А., Игумнов Л.А., Шишулин Д.Н., Тарасов И.С. Моделирование процессов неупругого деформирования и разрушения жаропрочных сплавов при циклическом термомеханическом нагружении // Проблемы прочности и пластичности. – 2015. – Вып. 77, № 4. – С. 329–343.
18. Боднер С.Р., Линдхолм У.С. Критерий приращения повреждения для зависящего от времени разрушения материалов // Тр. Амер. о-ва инж.-мех. Сер. Д. Теор. основы инж. расчетов. – 1976. – Т. 100, № 2. – С. 51–58.
19. Леметр Ж. Континуальная модель повреждения, используемая для расчёта разрушения пластичных материалов // Тр. Амер. о-ва инж.-мех. Сер. Д. Теор. основы инж. расчетов. – 1985. – Т. 107, № 1. – С. 90–98.
20. Murakami S., Imaizumi T. Mechanical description of creep damage and its experimental verification // J. Méc. Théor. Appl. – 1982. – Vol. 1. – P. 743–761.
21. Bondar’ V.S., Danshin V.V. Mathematical simulation of cyclic thermoviscoplastic deformation and fracture of materials // Strength of Materials. – 2014. – Т. 46, № 5. – С. 613–618.
22. Бондарь В.С., Даншин В.В., Макаров Д.А. Математическое моделирование процессов деформирования и накопления повреждений при циклических нагружениях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 2. – С. 125–152.
23. Бондарь В.С., Даншин В.В., Семенов П.В Нелинейные процессы накопления повреждений при циклических нагружениях // Проблемы прочности и пластичности. – 2013. – Т. 75, № 2. – С. 96–104.
24. Волков И.А, Коротких Ю.Г. Моделирование процессов усталостной долговечности материалов и конструкций при малоцикловом нагружении // Механика твёрдого тела. Изв. РАН. – 2014. – № 3. – С. 66–78.
25. Оценка ресурсных характеристик конструкционных сталей с использованием модели деградации, учитывающих усталость и ползучесть материала / И.А. Волков, В.В. Егунов, Л.А. Игумнов, Д.А. Казаков, Ю.Г. Коротких, Ф.Н. Митенков // ПМТФ. – 2015. – Т. 56, № 6. – С. 70–83.
26. HAYNES^® 188 ALLOY. STANDART PRODUCTS by Brand or Alloy Designation H-3001B / Global Headquarters 1020 West Park Avenue, P.O. Box 9013. Kokomo, Indiana 46904-9013 (USA).
27. Kalluri S., Bonacuse P.J. An axial-torsional termomechanical fatique testing technique // Preparade for the Symposium on multiaxial fatique and deformation testing techniques. Denver, Colorado, may 15. 1995. – 25 p.
28. Маковкин Г.А. Моделирование циклического упрочнения при блочном непропорциональном деформировании // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: межвуз. сб. – М., 1997. – С. 62–69.
29. Бантхья, Мукерджи Об усовершенствованной схеме интегрирования по времени для системы определяющих соотношений неупругой деформации с нелинейностью жёсткого типа // Теоретические основы инженерных расчётов. – 1985. – № 4. – С. 54–60.
30. Кумар, Морджариа, Мукерджи Численное интегрирование связанных определяющих моделей неупругой деформации // Journal of Eng. Mater. Technol. – 1980. – № 1. – P. 97–100.
31. Программная реализация процессов вязкопластического деформирования и накопления повреждений в конструкционных сплавах при термомеханическом нагружении / И.А. Волков, Л.А. Игумнов, Ю.Г. Коротких, Д.А. Казаков, А.А. Емельянов, И.С. Тарасов, М.А. Гусева // Проблемы прочности и пластичности. – 2016. Вып. 78, № 2. – С. 119–134. 

Теория графов представляет собой один из разделов дискретной математики с широким диапазоном приложений. Основываясь на простых идеях и элементах (точки и линии), теория графов строит из них богатые разнообразные формы, обеспечивает простой и доступный инструмент построения моделей и средство решения широкого круга проблем.

В работе рассматривается численный метод расчета полей деформаций и напряжений трехмерных упругих тел, дискретной моделью которых служит ориентированный граф как идеализация гипотетических приборов, необходимых для измерения деформированного состояния тела. В соответствии с предлагаемым методом упругая среда разделяется на отдельные элементы плоскостями, параллельными координатным. Для каждого элемента, полученного при декомпозиции, строим элементарную ячейку (подграф), являющуюся его моделью. Она представляет комплект измерителей, установленных на элемент для определения его деформированного состояния. Уравнение элементарной ячейки получаем, пользуясь инвариантом, сохраняющимся при преобразовании элемента в ячейку. В качестве инварианта используем энергию деформации. Описана процедура определения параметров элементарной ячейки. Граф тела конструируем с помощью операции объединения элементарных ячеек. Он отражает характер декомпозиции и является дискретной моделью анализируемого сплошного тела.

Графовый метод позволяет построить линейную аппроксимацию деформаций (соответствует квадратичной функции перемещений) на восьмиузловом шестигранном элементе с 24 степенями свободы. В методе конечных элементов (МКЭ) для такой аппроксимации требуется элемент, имеющий 20 узлов (60 степеней свободы). В результате определяющая система уравнений графового метода содержит уравнений примерно в 3 раза меньше по сравнению с системой, выведенной традиционным способом МКЭ.

Показано, что уравнения равновесия и совместности деформаций на графовой модели обеспечиваются автоматически, как следствие фундаментальных законов Кирхгофа (вершинного и контурного).

Ключевые слова:математическое  моделирование, теория упругости, ориентированный граф, напряжения, деформация, матрица жесткости, законы Кирхгофа

Тырымов Александр Александрович – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail:tyrymov2010@yandex.ru

1. Oster G., Auslander D. Topological representation of thermodynamic system. Part 1: Basic concepts // J. Franklin Inst. – 1971. – Vol. 292. – No. 1. – Р. 1–17.
2. Trent H. Isomorphism between oriented linear graphs and lumped physical systems // J. of the Acoustical Soc. of America. – 1955. – Vol. 27 – No. 3. – P. 500–527.
3. Trent H. On the construction of schematic diagrams for mechanical systems // J. of the Acoustical Soc. of America. – 1958. – Vol. 30 – No. 8. – P. 795–800.
4. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. – М.: Мир, 1984. – 454 с.
5. Крон Г. Исследование сложных систем по частям – диакоптика. – М.: Наука, 1972. – 542 с.
6. Крон Г. Тензорный анализ сетей. – М.: Советское радио, 1978. – 720 с.
7. Kron G. Equivalent circuits of the elastic field // J.Appl. Mech. – 1944. – Sept. – Vol. 11. – P. A149–A161.
8. Kron G. Tensorial analysis and equivalent circuity of elastic structures // J. Franklin Inst. – 1944. – Vol. 238. – No. 6. – P. 399–442.
9. Кузовков Е.Г. Конфигурация и параметры графовой модели упругого тела // Пробл. прочн. – 1986. – № 4. – С. 98–103. DOI:10.1007/BF01524081
10. Кузовков Е.Г. Уравнения состояния графовой модели упругого тела // Пробл. прочн. – 1986. – № 5. – С. 112–117. DOI: 10.1007/BF01522789
11. Kuzovkov E.G. Axisymmetric Graph Model of an Elastic Solid // Пробл. прочн. – 1996. – № 6. – С. 83–103. DOI: 10.1007/BF02209319
12. Кузовков Е.Г. Графовая модель упругой среды в декартовой системе координат // Пробл. прочн. – 1993. – № 12. – С. 60–70. DOI: 10.1007/BF00774638
13. Кузовков Е.Г. Графовая модель упругого тела в смешанных переменных // Пробл. прочн. – 1986. – № 6. – С. 88–92. DOI: 10.1007/BF001523964
14. Кузовков Е.Г., Тырымов А.А. Графовые модели в плоской и осесимметричной задачах теории упругости / ИУНЛ ВолгГТУ. – Волгоград, 2010. – 128 с.
15. Тырымов А.А. Сингулярный элемент графовой модели упругой среды в декартовой системе координат // Вычислительная механика сплошных сред. – 2011. – Т. 4, № 4. – C. 125–136. DOI: org/10.7242/1999-6691/2011.4.4.47
16. Тырымов А.А. Осесимметричная графовая модель упругого тела с переменным модулем упругости // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Серия: Физико-математические науки. – 2012. – № 2. – C. 103–114. DOI: 10.14498/vsgtu914
17. Тырымов А.А. Численное моделирование и анализ напряжённо-деформированного состояния анизотропного массива горных пород на основе графового метода // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. – 2012. – № 5. – C. 52–66. DOI: 10.1134/s1062739148050061
18. Тырымов А.А. Графовая модель упругой среды в полярной системе координат // Изв. вузов. Машиностроение. – 1999. – № 1. – С. 3–15
19. Демидов С.П. Теория упругости. – М.: Высшая школа, 1979. – 432 с.
20. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. – М.: Мир, 1984. – 428 с.