Методы управления колебаниями элементов сложных механических систем, таких как струны, мембраны, балки, пластины, начали интенсивно развиваться с 70-х годов прошлого столетия. В частности, колебания балки моделируются уравнением в частных производных четвёртого порядка, гиперболическим по Петровскому. Минимизируемым функционалом является интеграл энергии колеблющейся балки. Управление осуществляется с помощью некоторой функции, входящей в правую часть уравнения. Ранее было показано, что решение задачи существует при любом заданном времени гашения, однако с уменьшением этого времени нахождение оптимального управления усложняется. Для получения приближенных численных решений рассматривались так называемые точечные актьюаторы. Было рассмотрено управление с помощью одного точечного актьюатора, помещенного в некоторой точке балки, однако оказалось, что в этом случае осуществить гашение не всегда возможно. Поэтому было также рассмотрено управление с помощью точечного актьюатора, перемещающегося по небольшому участку балки. Однако практическая реализация такого актьюатора весьма затруднительна.

В настоящей работе численное гашение колебаний балки осуществляется с помощью нескольких неподвижных точечных актьюаторов. Разработаны вычислительные алгоритмы на основе метода матричной прогонки и метода отыскания минимума функций многих переменных Марквардта. Для отыскания хорошего начального приближения при минимизации интеграла энергии используются эмпирические функции с небольшим числом переменных. Это позволило существенно уменьшить время расчета одного примера. Приводятся примеры расчетов гашения колебаний с различным числом актьюаторов. Показано, что амплитуда колебаний любых управляющих функций возрастает с уменьшением заданного времени гашения. Приводятся примеры гашения колебаний при наличии ограничений на управляющие функции, в этом случае существует минимальное время гашения. Рассмотрено гашение колебаний в случае, когда на разных временных промежутках гашения колебаний включаются разные комбинации актьюаторов.

Ключевые слова: гашение колебаний, стационарные точечные актьюаторы, метод матричной прогонки, метод Марквардта.

Атамуратов Андрей Жиенбаевич – кандидат технических наук, ведущий специалист, e-mail: goofydog@mail.ru

Михайлов Игорь Ефимович – доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, e-mail: mikh_igor@mail.ru

Таран Николай Алексеевич – студент, e-mail: n1ckolaytaran@gmail.com

1. Лурье А.И. Теория упругости. – М.: Наука, 1970. – 940 с.

2. Тимошенко Н.В. Курс теории упругости. – Киев: Наук. думка, 1972. – 508 с.

3. Лионс Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. – М.: Мир, 1972. – 414 с.

4. Lagness J. Control of wave process with distributed controls supported on a subregion // SIAM Journ. Control and Optim. – 1983. – Vol. 1. – Nо. 1. – P. 68–85.

5. Russel D. Controllability and stabilization theory for linear partial differential equations // SIAM Review. – 1978. – Vol. 20. – Nо. 5. – P. 639–739.

6. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. – М.: Наука, 1975. – 568 с.

7. Muravey L.A. On the suppression on membrane oscillations // Summaries of IUTAM Symposium «Dynamical problems of rigid-elastic system». – M., 1990. – Р. 50–51.

8. Muravey L.A., Mathematical problems on the damp of vibration // Preprint of IFAC Conference “Identification and system parameter estimations”. – Budapest, 1991. – Vol. 1. – P. 746–747.

9. Атамуратов А.Ж., Михайлов И.Е., Муравей Л.А. Проблема моментов в задачах управления упругими динамическими системами // Мехатроника, автоматизация, управление. – 2016. – № 9. – С. 587–598. – URL: http://novtex.ru/mech/mech 2016/archiv09.html (дата обращения: 11.03.2018).

10. Черноусъко Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. – М.: Наука, 1980. – 384 с.

11. Lions J.L. Exact controllability for distributed systems: some trends and some problems. In Applied and Industrial Mathematics, R. Spigler, ed., Kluwer, Dordrecht. – 1991. – P. 59–84.

12. Lions J.L. On some hyperbolic equation with a pressure term // In Partial Differential Equations and Related Subjects, ed. M. Miranda. – Longman Scientific and Technical. Harlow, UK. – 1992. – P. 196–208.

13. Lions J.L. Very rapid oscillations and control // In HERMIS ’96, Proceedings of the Third Hellenic-European Conference on Mathematics and Informatics, ed. E.A. Lipitakis,
EA Publisher, Athens, 1997. – P. 1–10.

14. Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение
с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференциальные уравнения. – 1999. – Т. 35, № 5. – С. 692–704.

15. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при свободном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны // Докл. Акад. наук. – 2005. – Т. 400, № 5. – С. 587–591.

16. Костин Г.Б., Саурин В.Б. Моделирование и оптимизация движений упругих систем методом интегродифференциальных соотношений // Докл. Акад. наук. – 2006. – Т. 408,
№ 6. – С. 750–753.

17. Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х. Применение обобщенного принципа Гаусса к решению задачи о гашении колебаний механических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2010. – № 2. – С. 20–25.

18. Солтаханов Ш.Х. Гашение колебаний консоли // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. – 2009. – Вып. 4. – С. 105–112.

19. Зегжда С.А., Товстик П.Е., Юшков М.П. Обобщенный принцип Гамильтона-Остроградского и его применение для гашения колебаний // ДАН. – 2012. – Т. 447, № 3. – С. 1–4.

20. Атамуратов А.Ж. Исследование гашения колебаний элементов механических структур: дис. … канд. техн. наук. 22.01.15. – М., 2015. – 130 с.

21. Асланов С.Ж. Расчет оптимальных режимов гашения колебаний механических систем: дис. … канд. техн. наук. 26.10.11. – М., 2011. – 101 с.

22. Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции по численным методам: учеб. пособие. Серия: МГУ. Классический университетский учебник. – М.: Логос, 2004. – С. 184.

23. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. – М.: Наука, 1977. – 440 с.

24. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1989. – 432 с.

25. Калиткин Н.Н. Численные методы. – СПб.: BHV, 2011. – 592 с.

26. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Бином. Лаборатория знаний. 2011. – 632 с.

27. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. – М.: Наука. 1984. – 192 с.

28. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. – М.: Наука, 1978. – 351 с.

29. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации
в примерах и задачах: учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 2005. – 544 с.

30. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1988. – 552 с.

31. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. – 2-е изд. – Долгопрудный: Интеллект, 2008. – 504 с.

Точное решение динамических задач в нелинейной постановке сопряжено с известными математическими трудностями. В исследовательских работах, посвященных решению задач на динамический прогиб и устойчивость стержней при ударном взаимодействии, рассматривались идеальные стержни с прямолинейной осью и при отсутствии каких-либо внешних воздействий. Учет дополнительных внешних факторов, оказывающих влияние на состояние ударной системы, ведет к дальнейшему усложнению решения поставленной задачи.

В настоящей работе с применением метода начальных параметров и волновой модели продольного удара делается попытка разработать методику расчета динамического прогиба однородного стержня, совершающего поперечные колебания при продольном ударе о жесткую преграду, с учетом поперечной нагрузки. В зависимости от предударного состояния стержня задаются соответствующие начальные параметры – начальные прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечная сила. Использование волновой модели продольного удара и метода характеристик учитывает кратковременность действия ударной сжимающей нагрузки, после прекращения действия которой стержень представляется колебательной системой, имеющей начальную скорость и отклонение от положения равновесия. В таком состоянии стержень совершает поперечные затухающие колебания.
В представленной работе излагается методика расчета амплитуды поперечных колебаний стержня постоянной продольной жесткости, испытывающего удар об абсолютно жесткую преграду. Особый интерес представляет применение данной методики в расчетах системы однородных и ступенчатых стержней, совершающих поперечные колебания при продольном ударе. Такие системы стержней часто встречаются в современных ударных механизмах и являются элементами строительных конструкций: стержневые элементы ферм, рам, стоек, колонн, свай и проч.

Ключевые слова: поперечные колебания, прогиб, продольный удар, волновая модель, метод начальных параметров, предударная скорость, стержень.

Битюрин Анатолий Александрович – кандидат технических наук, доцент, e-mail: sntk_2015@mail.ru

1. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // Докл. АН СССР. – 1949. – Т. 65, № 6.
2. Малый В.И. Длинноволновое приближение в задачах о потере устойчивости при ударе» // Изв. АН СССР. МТТ. – 1972. – № 4. – С. 138–144.
3. Малый В.И. Выпучивание стержня при продольном ударе. Малые прогибы // Изв. АН СССР. МТТ. – 1973. – № 4. – С. 181–186.
4. Малый В.И. Выпучивание стержня при продольном ударе. Большие прогибы // Изв. АН СССР. МТТ. – 1975. –
   № 1. – C. 52–61.
5. Hutchinson W.J., Budiansky B. Dinamic Buckling Estimates // AIAA Journal. – 1966. – Vol. 4. – No. 3. – P. 527–530.
6. Knauss W.G., Ravi-Chandar K. Some basic problems in stress wave dominated fracture // Int. J. Fracture. – 1985. – No. 27. – P. 127–143. DOI: 10.1007/978-94-009-5123-5_1
7. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. – М.: Машиностроение, 1970. – 734 с.
8. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. Динамика стержня при кратковременном продольном ударе // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. – 2013. – Вып. 3. – С. 131–141.
9. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. Динамика стержня при продольном ударе // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. –
   2009. – Вып. 2. – С. 105–111.
10. Беляев А.К., Ильин Д.Н., Морозов Н.Ф. Динамический подход к задаче Ишлинского-Лаврентьева // Изв. РАН. МТТ. – 2013. – № 5. – С. 28–33.
11. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. Поперечные колебания стержня, вызванные продольным ударом // Докл. АН. –
    2013. – Т. 452, № 1. – С. 37–41.
12. Беляев. А.К., Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. О статической и динамической неустойчивости тонких стержней // Механика деформируемого твердого тела: тр. 7-й Всерос. конф. – Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2013. – С. 80–84.
13. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Статика
    и динамика стержня при продольном нагружении // Вестн. Южно-Уральского ун-та. Сер. мат. модел. и прогр. – 2014. –
    Т. 7, № 1. – С. 76–89.
14. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Еще раз
    о задаче Ишлинского-Лаврентьева // Докл. АН. – 2014. –
    Т. 455, № 4. – С. 412–415.
15. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. О динамической потере устойчивости стержня при продольной нагрузке, меньшей эйлеровой // Докл. АН. – 2014. – Т. 453, № 3. – С. 282–285.
16. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Устойчивость стержня при длительном осевом сжатии // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. Н. Новгород, 2015. – № 77(1). – С. 40–48.
17. Чудновский В.Г. Методы расчета колебаний
    стержневых систем. – Киев: Изд-во АН УССР, 1952. –
    403 c.
18. Алимов О.Д., Манжосов В.К., Еремьянц В.Э. Распространение волн деформаций в ударных системах. – М.: Наука. – 1985. – 354 с.
19. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. – М.: Физматгиз, 1959. – 474 с.
20. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. – М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит, 1961. – 404 с.
21. Новацкий В. Динамика сооружений: пер. с пол. – М.: Госстройиздат, 1963. – 392 с.
22. Безухов Н.И., Лужин О.В., Колкунов Н.В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах. – М.: Изд-во лит. по строительству, 1969. – 424 с.
23. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. – М.: Наука, 1987. – 352 с.
24. Битюрин А.А., Манжосов В.К. Продольный удар неоднородного стержня о жесткую преграду. – Ульяновск, 2009. – 164 с.
25. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. – М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1956. –600 с.
26. Снитко Н.К. Динамика сооружений. – М., Л.: Гос. изд-во лит. по строит-ву, арх. и строит. матер.,
    1960. – 356 с.
27. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. – М.: Машиностроение, 1991. – 334 с.
28. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. – М.: Физматгиз, 1961. – 339 с.
29. Папкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля в 4-х т. Т. 4. Устойчивость стержней, перекрытий и пластин. – Л.: Судостроение, 1963. – 552 с.
30. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин
    и оболочек: избр. работы. – М.: Наука, 1967. – 808 с.
31. Kollar L., Dulacska E.  Bucking of shells for engineers // Budapest: Akademiai Kiado, 1984. – 303 p.
32. Petersen C. Statik und Stabilitat der Baukonstruktionen. – Braunschweig: Vieweg, 1982. – 960 p

В работе исследовано влияние структуры на свойства ме­таллополимерного композита, состоящего из полимерной матрицы в виде эпок­сидной смолы (ЭД-20) с бутадиен-стирольным каучуком (БСК), дисперсно-напол­ненной частицами наномеди. В рамках фрактального анализа рассчитан реальный диаметр агрегатов исходных частиц наполнителя при различных степенях концентрации и размерах частиц наполнения и для разных составов полимерной матрицы. При этом существенно использована концепция структуры полимерного композита как совокупности двух фракталов (мульти­фрак­талов), позволяющая определить характер изменения пластичности поли­мерной матрицы и одновременно выявить основные факторы, влияющие на степень возмущения её структуры. С использованием методов фрак­таль­ного анализа исследовано влияние факторов на величину фрактальной раз­мерности поверхности агрегатов исходных частиц наполнителя и на характер ее зависимости как от степени агрегации, так и от фрактальной размерности каркаса агрегата частиц. Предложенный подход позволяет предсказать конечные параметры агрегатов наночастиц как функцию размера исходных частиц, их концентрации и химических свойств поверхности полимерной матрицы.

С использованием скейлингового характера распределения размеров клубков полимерных макромолекул показано, что при наполнении полимерных композитов дисперсными микро- и наноразмерными частицами агрегаты этих частиц образуют фрактальный каркас, являющийся аналогом фрактальной решетки. Определенная в рамках кластерной модели степень локального порядка структуры осуществляет контроль важнейших свойств полимерной матрицы и в целом всего композита.

При уменьшении размеров частиц полимера и металла происходит существенное изменение практически всех физических и химических свойств как исходных компонентов, так и полученного композита. Регулирование соотношения между полимерной матрицей и наполнителем с адаптацией условий синтеза к заданным значениям характеристик способствует широкому применению металлополимерных композитов и дает возможность создавать новые технологии конструирования материалов с требуемыми свойствами, включая снижение себестоимости получаемых из них изделий.

Использование фрактальных размерностей для характеристики структурных уравнений полимеров позволяет получить ряд количественных аналитических соотношений между ними.

Ключевые слова: мультифракталы, фрактальный анализ, наполненный полимер, агрегация частиц, нанонаполнитель, металлополимерные композиты, скейлинговое соотношение, фрактальный каркас, эпоксидная смола, бутадиен-стирольный каучук, размерность Хаусдорфа, обобщенная размерность Реньи, фрактальная размерность агрегата частиц, фрактальная размерность поверхности.

Дышин Олег Александрович – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: h.ibo@mail.ru

Габибов Ибрагим Абульфас оглы – доктор технических наук, профессор, e-mail: h.ibo@mail.ru

Рустамова Конул Бадир кызы – старший лаборант, e-mail: h.ibo@mail.ru

1. Петров В.А., Башкарев А.Я., Веттегрень В.И. Физические свойства прогнозирования долговечности конструкционных материалов. – СПб.: Политехника, 1993. – 475 с.

2. Гуткин М.Ю., Овидко И.А. Физическая механика деформируемых наноструктур. Т. 1. Нанокристаллические материалы. Т. 2. Нанослойные структуры и покрытия. – СПб.: Янус, 2003.

3. Kozlov G.V., Yanovskii Yu.G., Zaikov G.E. Polymers, Composites and Nanocomposites – in Polymer Yearbook-2011. New-York: Nova-Science Publ., 2011. – 218 p.

4. Гомогайло А.Д., Розенберг А.С., Уфлянд И.Е. Наночастицы металлов в полимерах – М.: Химия, 2000. – 671 с.

5. Магеррамов А.М., Рамазанов М.А., Гаджиева Ф.В. Исследование структуры и диэлектрических свойств нанокомпозитов на основе полипропилена и наночастиц диоксида // Электронная обработка материалов. – 2013. – № 49 (5). – С. 1–5.

6. Новиков В.У., Козлов Г.В. Структура и свойства полимеров в рамках фрактального подхода // Успехи химии. – 2000. – Т. 69, № 4. – С. 378–399; Т. 69, № 6. – С. 572–589.

7. Козлов Г.В., Долбин И.В. Фрактальная физическая химия полимерных растворов и расплавов. – М.: Спутник +, 2016. – 252 с.

8. Металлополимерные нанокомпозиты (получение, свойства, применение) / В.М. Буздник, В.М. Фомин, А.И. Алхимов [и др.]. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2013. – 258 с.

9. Помогайло А.Д. Металлополимерные нанокомпозиты
с контролируемой молекульярной архитектурой // Рос. хим. журн. (Журнал Рос. хим. общества им. Д.И. Менделеева). – 2002. – XLVI, № 5. – С. 64–73.

10. Flory P. Principles of Polymer Chemistry. – Cornel University Press, Ithaca; N.Y., 1971. – Chaps III, IV.

11. Зуев Л.Б., Данилов В.И. Физические основы прочности материалов: учеб. пособие. – Долгопрудный: Изд. дом «Интеллект», 2012. – 376 с.

12. Астахов М.В., Сорокина И.И. Исследование влияния наночастиц оксидов алюминия на механические свойства полимерных композитных материалов // Изв. вузов. Машиностроение. – 2011. – № 11. – С. 56–60.

13. Козлов Г.В., Яновский Ю.Г., Карнет Ю.Н. Структура и свойства дисперсно-наполненных композитов: фрактальный анализ. – М.: Альянстрансатом, 2008. – 363 с.

14. Баланкин А.С. Синергетика деформируемого тела. – М.: Изд-во МШ СССР, 1991. – 404 с.

15. Микитаев А.К., Козлов Г.В., Заиков Г.Е. Полимерные нанокомпозиты: многообразие структурных форм и приложений. – М.: Наука, 2009. – 208 с.

16. Синергетика композитных материалов / А.Н. Бобрышев, В.Н. Козомазов, Л.О. Бабин, В.И. Соломатов / НПО «ОРИУС». – Липецк, 1994. – 154 с.

17. Козлов Г.В., Яновский Ю.Г., Карнет Ю.Н. Физико-механические свойства наноструктурованных полимерных композитов в рамках фрактального и мультифрактального описаний. – М.: One Book, 2013.

18. Meakin P. Diffusion-Controlled cluster formation in 2-6-dimen-tional space // Phys. Rev. A. – 1983. – Vol. 27 (3). – P. 1495–1507.

19. Witten I.A., Sander L.M. Diffusien limited aggregation,
a kinetic critical phenomenon // Phys. Rev. Lett. – 1981. –
Vol. 47(19). – P. 1400–1403.

20. Cмирнов Б. Физика фрактальных кластеров. – М.: Наука, 1991. – 136 с.

21. Brady R.M., Ball R.C. Fractal growth of copper electrodeposits // Nature. – 1984. – Vol. 309, 17 May. – P. 225–229.

22. Козлов Г.В., Микитаев А.К. Новый подход к фрактальным размерностям структуры полимерных дисперсно-наполненных композитов // Механика композиционных материалoв и конструкции. – 1996. – Т. 2, № 3-4. – С. 144–157.

23. Honeycombe R.W. The Plastic deformation of metals (London: Eward Arnold, 1986): Хоникомб Р. Пластическая деформация металлов. – М.: Мир, 1972.

24. Козлов Г.В., Сандитов А.Д. Ангармонические эффекты и физико-механические свойства полимеров. – Новосибирск: Наука, 1994. – 261 с.

25. Козлов Г.В., Заиков Г.Е. Структура и свойства дисперсно-наполненых полимерных нанокомпозитов. – Lambat Academic Publising, 2012. – 112 с.

26. Козлов Г.В., Овчаренко Е.Н., Микитаев А.К. Структура и свойства полимеров. – М.: Изд-во РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2009. – 392 с.

27. Взаимодействие основных компонентов в дисперсно-наполненных композитах / Г.В. Козлов, Л.А. Довбня,
И.В. Долбин, Ю.С. Лижтов // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2002. – № 16. – С. 140–144.

28. The model of fluctuation free volume and cluster model of amorphous polymer / D.S. Sanditov, G.V. Kozlov, V.N. Belousov,
Yu.S. Lipatov // Ukrain. Polymer J. – 1992. – Vol. 1. – No. 3-4. – P. 241–258.

29. Белощенко В.А., Козлов Г.В., Липатов Ю.С. Механизм стеклования сетчатых полимеров // Физика твердого тела. – 1994. – Т. 36, № 10. – С. 2903–2906.

30. Козлов Г.В., Новиков В.У. Физические основы охрупчивания полимерных дисперсно-наполнительных // Прикладная физика. – 1997. – № 1. – С. 95–101.

31. Новиков В.У., Козлов Г.В. Фрактальная параметризация структуры наполненных полимеров // Механика композитных материалов. – 1999. – Т. 35, № 3. – С. 269–290.

32. Chow T.S. Prediction of stress-strain relationships in polymer composites // Polymer. – 1991. – Vol. 32. – No. 1. – P. 29–33.

33. Бакнеля К.Б. Ударопрочные пластики. – Л.: Химия, 1981. – 328 с.

34. Mecekin P. Stress distribution for a rigid fractal embedded in a two-dimensional elastic medium // Phys. Rev. A. – 1987. – Vol. 36. – No. 1. – P. 325–331.

35. Fractals measures and their singularities the characterization of strange sets / T.C. Halsey, M.N. Jensen, L. Kadanoff, I. Protaccia, B.I. Shraiman // Phy. Rev. A. – 1986. – Vol. 33. – No. 2. – P. 1141–1151.

36. Willirord R.E. Multifractal fracture // Scr. Met. – 1988. – Vol. 22. – No. 11. – P. 1749–1754.

37. Avnir D., Farin D., Pfufer P. Chemistry in noninteger dimensions between two and three. Fractal surface of adsorbents // J. Chem. Phys. – 1983. – Vol. 79. – No. 7. – P. 3566–3571.

38. Козлов Г.В. Овчаренко Е.Н., Липатов Ю.С. Моделирование процессов агрегации частиц наполнителя в полимерных композициях в рамках моделов необратимой агрегации // НАН Украины. – 1999. – № 11. – С. 128–132.

Оболочечные конструкции часто применяются в разных областях техники, и их исследование важно для многих прикладных задач. Для исключения концентрации напряжений вблизи контура, особенно в угловых точках оболочки, используется шарнирно-подвижное закрепление контура конструкции.

В данной работе рассматриваются пологие оболочки двоякой кривизны, квадратные
в плане, выполненные из ортотропных материалов и закрепленные по контуру шарнирно-подвижно. Математическая модель основывается на гипотезах теории оболочек Тимошенко – Рейснера, учитывающей поперечные сдвиги, и представлена в виде системы уравнений в смешанной форме. Также учитывается геометрическая нелинейность.

Для решения системы дифференциальных уравнений применяется метод Бубнова–Галеркина, что позволяет свести задачу к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Показана сходимость метода при увеличении количества слагаемых аппроксимации. Полученная система является нелинейной и решается методом Ньютона. Разработанный алгоритм реализован в среде аналитических вычислений Maple 2017.

Проводится верификация предложенного алгоритма посредством сравнения результатов расчета тестовой задачи с результатом, полученным другими авторами. Совмещение графика зависимости «нагрузка–прогиб» показало хорошую согласованность данных.

Проводится анализ устойчивости трех вариантов пологих оболочечных конструкций двоякой кривизны. По каждой из них получены результаты расчета для четырех вариантов ортотропных материалов. На оболочки действует внешняя равномерно-распределенная поперечная нагрузка, закрепление контура – шарнирно-подвижное. Для всех исследованных конструкций приводятся значения критических нагрузок потери устойчивости, значения наибольшего прогиба, соответствующего данным нагрузкам, а также графики зависимости «нагрузка–прогиб». Сделаны выводы о напряженно-деформированном состоянии рассматриваемых оболочек.

Ключевые слова: оболочки, математическая модель, компьютерное моделирование, уравнения в смешанной форме, шарнирно-подвижное закрепление, модель Тимошенко–Рейснера, устойчивость, напряженно-деформированное состояние, метод Бубнова–Галеркина, метод Ньютона.

Каменев Иван Владимирович – магистрант, e-mail: ivankam447@rambler.ru

Семенов Алексей Александрович – кандидат технических наук, e-mail: sw.semenov@gmail.com

Столкновения твердых тел представляют значительный интерес для многих отраслей физики и инженерных наук. Данный обзор посвящен неупругим столкновениям твёрдых тел, в которых диссипация энергии обусловлена наличием внутреннего или внешнего трения, адгезии, шероховатостей, процессов пластической деформации, а также других специфических каналов затухания. Рассматриваются исключительно двухчастичные столкновения, которые эквивалентно могут быть сведены к задаче о столкновении твердой частицы с упругим полупространством. Эта последняя задача рассматривается как без учета проскальзывания (бесконечный коэффициент трения), так и при наличии трения с конечным коэффициентом, а также при наличии сил адгезии между контактирующими телами. Дан обзор основных результатов теоретических и экспериментальных исследований столкновений как для упругих, так и для упруго-пластических частиц. Основное внимание уделяется, однако, случаю столкновений упругих частиц. Рассмотрен косой удар, в котором в момент столкновения частицы имеют ненулевые нормальную и тангенциальную компоненты скоростей. Во многих случаях приводятся полученные различными авторами аналитические выражения для коэффициента восстановления, который представляет отношение скорости тела после соударения к его начальной скорости до момента контакта. В общем случае коэффициент восстановления зависит от адгезионных и пластических характеристик контактирующих тел. Область высоких скоростей, при которых происходит разрушение, не рассматривается. Статья представляет собой первую часть обзора.
Во второй части будут приведены результаты математического и численного моделирования, полученные авторами в рамках метода редукции размерности, который позволяет проводить описание трехмерного контакта путем трансформации к эквивалентной задаче в одномерном пространстве.

Ключевые слова: столкновение, нормальный и тангенциальный контакт, адгезия, трение, скольжение, коэффициент восстановления, метод редукции размерности.

Ляшенко Яков Александрович – доктор физико-математических наук, профессор, научный сотрудник, e-mail: i.liashenko@tu-berlin.de

Виллерт Эмануэль – научный сотрудник, e-mail: e.willert@tu-berlin.de

Попов Валентин Леонидович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: v.popov@tu-berlin.de

1. Dynamics of drag and force distributions for projectile impact in a granular medium / M.P. Ciamarra, A.H. Lara, A.T. Lee, D.I. Goldman, I. Vishik, H.L. Swinney // Phys. Rev. Lett. –
   2004. – Vol. 92. – No. 19. – P. 194301.
2. Jop P., Forterre Y., Pouliquen O. A constitutive law for dense granular flows // Nature. – 2006. – Vol. 441. – No. 7094. – P. 727–730.
3. Model for collisions in granular gases / N.V. Brilliantov,
   F. Spahn, J.-M. Hertzsch, T. Pöschel // Phys. Rev. E. – 1996. – Vol. 53. – No. 5. – P. 5382–5392.
4. Bernard B. Impacts in mechanical systems: analysis and modelling. – Berlin; New York: Springer, 2000. – 278 p.
5. Attractive particle interaction forces and packing density of fine glass powders / E.J.R. Parteli, J. Schmidt, C. Blümel,
   K.-E. Wirth, W. Peukert, T. Pöschel // Sci. Rep. – 2014. – Vol. 4. – P. 6227 (7 pp.).
6. Родионов А.И., Матвеев К.А. К динамике удара абсолютно твердого шара по упругому полупространству // Научный вестник НГТУ. – 2012. – № 1 (46). – С. 93–108.
7. Maw N., Barber J.R., Fawcett J.N. The oblique impact  of elastic spheres // Wear. – 1976. – Vol. 38. – No. 1. –P. 101–114.
8. Hauger W., Schnell W., Gross D. Technische Mechanik. Bd 3: Kinetik 7. – Berlin: Springer, 2002. – 267 p.
9. Hertz H.J. Ueber die berührung fester elastischer körper // J. für die reine Angew. Math. – 1882. – Vol. 92. – P. 156–171.
10. Mindlin R.D. Compliance of elastic bodies in contact // ASME J. Applied Mech. – 1949. – Vol. 16. – P. 259–268.
11. Barber J.R. Adhesive contact during the oblique impact of elastic spheres // Appl. Math. Phys. (ZAMP). – 1979. –Vol. 30. – No. 3. – P. 468–476.
12. Maw N., Barber J.R., Fawcett J.N. The role of elastic tangential compliance in oblique impact // Trans. ASME: J. Lubr. Technol. – 1981. – Vol. 103. – No. 1. – P. 74–80.
13. Labous L., Rosato A.D., Dave R.N. Measurements of collisional properties of spheres using high-speed video analysis // Phys. Rev. E. – 1997. – Vol. 56. – No. 5. – P. 5717–5725.
14. Measurements of the collision properties of small spheres / S.F. Foerster, M.Y. Louge, H. Chang, K. Allia // Phys. Fluids. – 1994. – Vol. 6. – No. 3. – P. 1108–1115.
15. Cross R. Grip-slip behavior of a bouncing ball // Am. J. Phys. – 2002. – Vol. 70. – No. 11. – P. 1093–1102.
16. Sondergaard R., Chaney K., Brennen C.E. Measurements of solid spheres bouncing off flat plates // ASME J. Appl. Mech. – 1990. – Vol. 57. – No. 3. – P. 694–699.
17. Stronge W.J. Impact Mechanics. – Cambridge: Cambridge University Press, 2004. – 280 p.
18. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т. 1. – М.: Наука, 1983. – 464 с.
19. Лапшин В.В., Юрин Е.А. Нелинейная модель удара с сухим трением // Инженерный журнал: наука и инновации. – 2014. – № 12 (36). – С. 1–11.
20. Ефименко В.В. Контактное взаимодействие тел при ударе // Вестник ФГОУ ВПО МГАУ. – 2009. – № 2. – С. 41–42.
21. Дудко О.В., Потянихин Д.А. О косом ударе жестким телом, имеющим плоскую границу, по нелинейному упругому полупространству // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2009. – Т. 9, вып. 4, ч. 2. – С. 32–40.
22. Кочетков А.В., Федотов П.В. Некоторые вопросы теории удара // Интернет-журнал “Науковедение”. – 2013. –№ 5. – С. 110ТВН513 (15 с.).
23. Экомасов С.П., Подмарков О.В. О коэффициенте восстановления при упругом соударении тел // Изв. вузов. Геология и разведка. – 2009. – № 2. – С. 74–76.
24. Cheng W., Dunn P.F., Brach R.M. Surface roughness effects on microparticle adhesion // J. Adhesion. – 2002. – Vol. 78. – No. 11. – P. 929–965.
25. Хабахпашева Т.И., Коробкин А.А. Соударение упругих тел с тонким слоем жидкости // Вестн. Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – № 4 (3). –
    С. 1222–1224.
26. Dahneke B.E. Particle bounce or capture-search for an adequate theory: I. Conservation-of-energy model for a simple collision process // Aerosol Sci. Technol. – 1995. – Vol. 23. –
    No. 1. – P. 25–39.
27. Dahneke B.E. Further measurements of the bouncing of small latex spheres // J. Colloid Interface Sci. – 1975. – Vol. 51. – No. 1. – P. 58–65.
28. Measurements of kinetic energy loss for particles impacting surfaces, aerosol science and technology / S. Wall, W. John, H.-C. Wang, S.L. Goren // Aerosol Sci. Technol. –1990. – Vol. 12. – No. 4. – P. 926–946.
29. Li X., Dunn P.F., Brach R.M. Experimental and numerical studies on the normal impact of microspheres with surfaces //
    J. Aerosol Sci. – 1999. – Vol. 30. – No. 4. – P. 439–449.
30. Kim O.V., Dunn P.F. Direct visualization and model validation of microsphere impact and surface capture // J. Aerosol Sci. – 2008. – Vol. 39. – No. 4. – P. 373–375.
31. Dahneke B.E. The capture of aerosol particles by surfaces // J. Colloid Interface Sci. – 1971. – Vol. 37. – No. 2. –P. 342–353.
32. Johnson K.L., Kendall K., Roberts A.D. Surface energy and the contact of elastic solids // Proc. R. Soc. London A. –1971. – Vol. 324. – No. 1558. – P. 301–313.
33. Gilman J.J. Direct measurements of the surface energies of crystals // J. Appl. Phys. –1960. – Vol. 31. – No. 12. – P. 2208–2218.
34. Kim O.V., Dunn P.F. A microsphere-surface impact model for implementation in computational fluid dynamics // J. Aerosol Sci. – 2007. – Vol. 38. – No. 5. – P. 532–549.
35. Poppe T., Blum J.R., Henning T. Experiments on collisional grain charging of micron-sized preplanetary dust // The Astrophysical Journal. – 2000. – Vol. 533. – No. 1. – P. 472–480.
36. Sorace C.M., Louge M.Y., Crozier M.D. High apparent adhesion energy in the breakdown of normal restitution for binary impacts of small spheres at low speed // Mech. Res. Commun. – 2009. – Vol. 36. – No. 3. – P. 364–368.
37. Gorham D.A., Kharaz A.H. The measurement of particle rebound characteristics // Powder Technol. – 2000. – Vol. 112. – No. 3. – P. 193–202.
38. Lifshitz J.M., Kolsky H. Some experiments on anelastic rebound // J. Mech. Phys. Solids. – 1964. – Vol. 12, No. 1. – pp. 35-43.
39. Maugis D. Adhesion of spheres: the JKR-DMT transition using a dugdale model // J. Colloid Interf. Sci. – 1992. –Vol. 150. – No. 1. – P. 243–269.
40. Derjaguin B.V., Muller V.M., Toporov Yu.P. Effect of contact deformations on the adhesion of particles // J. Colloid Interf. Sci. – 1975. – Vol. 53. – No. 2. – P. 314–326.
41. Tabor D. A simple theory of static and dynamic hardness // Proc. R. Soc. London, Ser. A. – 1948. – Vol. 192. – No. 1029. – P. 247–274.
42. Meyer E. Untersuchungen über Härteprüfung und Härte Brinell Methoden // Z. Ver. Dtsch. Ing. – 1908. – Vol. 52. –P. 645–654.
43. Zener C. The intrinsic inelasticity of large plates // Phys. Rev. – 1941. – Vol. 59. – No. 8. – P. 669–673.
44. Normal collisions of spheres: A literature survey on available experiments / C. Güttler, D. Heißelmann, J. Blum,S. Krijt // arXiv:1204.0001v2. 2012. (14 pp.).
45. Bridges F.G., Hatzes A., Lin D.N.C. Structure, stability and evolution of Saturn's rings // Nature. – 1984. – Vol. 309. –No. 5966. – P. 333–335.
46. Energy loss and sticking mechanisms in particle aggregation in planetesimal formation / F.G. Bridges, K.D. Supulver, D.N.C. Lin, R. Knight, M. Zafra // Icarus. – 1996. – Vol. 123. – No. 2. – P. 422–435.
47. Hatzes A.P., Bridges F.G., Lin D.N.C. Collisional properties of ice spheres at low impact velocities // Mon. Not. R. astr. Soc. – 1988. – Vol. 231. – No. 4. – P. 1091–1115.
48. Thornton C., Ning Z. A theoretical model for the stick/bounce behaviour of adhesive, elastic-plastic spheres // Powder Technol. – 1998. – Vol. 99. – No. 2. – P. 154–162.
49. Davies R.M. The determination of static and dynamic yield stresses using a steel ball // Proc. R. Soc. London A. –1949. – Vol. 197. – No. 1050. – P. 416–432.
50. Ning Z. Elasto-plastic impact of fine particles and fragmentation of small agglomerates: PhD Thesis. – Birmingham, Aston University, 1995. – 269 p.
51. Energy dissipation in head-on collisions of spheres /
    S. Krijt, C. Güttler, D. Heißelmann, C. Dominik, A.G.G.M. Tielens // J. Phys. D: Appl. Phys. – 2013. – Vol. 46. – No. 43. – pp. 435303 (14 pp.).
52. Collision dynamics of granular particles with adhesion / N.V. Brilliantov, N. Albers, Spahn F.. T. Pöschel // Phys. Rev. E. – 2007. – Vol. 76. – No. 5. – P. 051302 (12 pp.).
53. Thornton C., Yin K.K. Impact of elastic spheres with and without adhesion // Powder Technol. – 1991. – Vol. 65. –No. 1-3. – P. 153–166.
54. Li X., Dunn P.F., Brach R.M. Experimental and numerical studies of microsphere oblique impact with planar surfaces // J. Aerosol Sci. – 2000. – Vol. 31. – No. 5. – P. 583–594.
55. Brach R.M., Dunn P.F. Macrodynamics of microparticles // Aerosol Sci. Technol. – 1995. – Vol. 23. – No. 1. – P. 51–71.
56. Wu C.-Y., Thornton C., Li L.-Y. A semi-analytical model for oblique impacts of elastoplastic spheres // Proc. R. Soc. A. – 2009. – Vol. 465. – No. 2103. – P. 937–960.
57. Cross R. Impact of a ball on a surface with tangential compliance // Am. J. Phys. – 2010. – Vol. 78. – No. 7. –P. 716–720.
58. Stronge W.J., James R., Ravani B. Oblique impact with friction and tangential compliance // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. – 2001. – Vol. 359. – No. 1789. – P. 2447–2465.
59. Norbe J.P., Dias A.M., Gras R. A study on elasto-plastic impact friction // Wear. – 1999. – Vol. 230. – No. 2. – P. 133–145.
60. Великанов Н.Л., Наумов В.А., Корягин С.И. Упругий удар тела о наклонную поверхность // Вестн. Балт.федер. ун-та им. И. Канта. – 2013. – Вып. 10. –С. 36–42.
61. Johnson K.L. Contact mechanics. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985. – 452 p.
62. Kharaz A.H., Gorham D.A., Salman A.D. An experimental study of the elastic rebound of spheres // Powder Technol. – 2001. – Vol. 120. – No. 3. – P. 281–291.

Разработана численная методика обработки опытной виброграммы затухающих изгибных колебаний тест-образцов для определения экспериментальной низшей частоты и амплитудной зависимости логарифмического декремента колебаний (ЛДК), определяющего демпфирующие свойства тест-образца. Для определения ЛДК используется экспериментальная огибающая затухающих изгибных колебаний свободного конца тест-образца с аппроксимацией ее суммой двух экспонент с четырьмя независимыми параметрами. Они определяются прямым поиском минимума целевой функции, зависящей от указанных параметров. Проведены численные эксперименты, показывающие достоверность и достаточную точность разработанной методики. Показано, что для надежного определения экспериментальной аэродинамической составляющей демпфирования тест-образца необходимо, чтобы его материал имел стабильные и низкие демпфирующие свойства. Таким требованиям в полной мере удовлетворяет дюралюминий. Определены экспериментальные амплитудные зависимости ЛДК серии изготовленных из него тест-образцов, расположенных на различных расстояниях от абсолютно жесткого экрана. На их основе предложен теоретико-экспериментальный метод определения аэродинамической составляющей демпфирования путем модификации структурной формулы, полученной ранее для определения аэродинамической составляющей демпфирования тонкой прямоугольной в плане удлиненной пластины (тест-образца) при отсутствии экрана. В нее введены три дополнительных параметра, определяемые из условия минимума целевой функции, представляющей квадратичную невязку между расчетными и экспериментальными значениями аэродинамической составляющей демпфирования тест-образца при нескольких значениях длины его рабочей части и расстояния до жесткого экрана. Для поиска минимума целевой функции используется метод Хука-Дживса, не требующий вычисления ее градиента в текущей точке пространства искомых параметров. Построены полиномиальные зависимости найденных параметров от безразмерной низшей частоты колебаний тест-образца и относительного расстояния до жесткого экрана. Проведены численные эксперименты, подтверждающие достоверность разработанного метода.

Ключевые слова: тест-образец, затухающие изгибные колебания, эксперимент, аэродинамическое демпфирование, логарифмический декремент колебаний, целевая функция, прямой поиск.

Паймушин Виталий Николаевич – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: vpajmushin@mail.ru

Фирсов Вячеслав Анатольевич – доктор технических наук, профессор, e-mail: vafirsov_49@mail.ru

Газизуллин Руслан Камилевич – кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, e-mail: gazizullin.rk@yandex.ru

Шишкин Виктор Михайлович – доктор технических наук, профессор, e-mail: tism1@rambler.ru

1. Sader J.E. Frequency response of cantilever beams immersed in viscous fluids with applications to the atomic force microscope // Journal of Applied Physics. – 1998. – Vol. 84(1). – P. 64–76.
2. Kirstein S., Mertesdorf M., Schoenhoff M. The influence of a viscous fluid on the vibration dynamics of scanning near-field optical microscopy fiber probes and atomic force microscopy cantilevers // Journal of Applied Physics. – 1998. – Vol. 84 (4). –P. 1782–1790.
3. Kimber M., Lonergan R., Garimella S.V. Experimental study of aerodynamic damping in arrays of vibrating cantilevers // Journal of Fluids and Structures. – 2009. – Vol. 25. – P. 1334–1347.
4. Nonlinear aerodynamic damping of sharp-edged flexible beams oscillating at low Keulegan–Carpenter numbers /
   R.A. Bidkar, M. Kimber, A. Raman, A.K. Bajaj, S. Garimella // Journal of Fluid Mechanics. – 2009. – Vol. 634. – P. 269–289.
5. Tao L., Thiagarajan K. Low KC flow regimes of oscillating sharp edges. 1. Vortex shedding observation // Applied Ocean Research. – 2003. – Vol. 25 (2). – P. 21–35.
6. Tao L., Thiagarajan K. Low KC flow regimes of oscillating sharp edges. 2. Hydrodynamic forces // Applied Ocean Research. – 2003. – Vol. 25 (2) – P. 53–62.
7. Theoretical-Experimental Method for Determining the Parameters of Damping Based on the Study of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens. 1. Experimental Basis /
   V.N. Paimushin, V.A. Firsov, I. Gunal, A.G. Egorov // Mechanics of Composite Materials. – 2014. – Vol. 50. – No. 2. – P. 127–136.
8. Theoretical-Experimental Method for Determining the Parameters of Damping Based on the Study of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens. 2. Aerodynamic Component of Damping / A.G. Egorov,
   A.M. Kamalutdinov, A.N. Nuriev, V.N. Paimushin // Mechanics of Composite Materials. – 2014. – Vol. 50. – No. 3. – P. 267–278.
9. Theoretical-Experimental Method for Determining the Parameters of Damping Based on the Study of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens. 3. Identification of the Characteristics of internal Damping / V.N. Paimushin, V.A. Firsov, I. Gunal, A.G. Egorov, R.A. Kayumov // Mechanics of Composite Materials. – 2014. – Vol. 50. – No. 5. – P. 633–646.
10. Aureli M., Basaran M.E., Porfiri M. Nonlinear finite amplitude vibrations of sharp-edged beams in viscous fluids // Journal of Sound and Vibration. – 2012. – Vol. 331. – P. 1624–1654.
11. Aureli M., Porfiri M. Low frequency and large amplitude oscillations of cantilevers in viscous fluids // Applied Physics Letters. – 2010. – Vol. 96. – Art. 164102.
12. Sarpkaya T. Force on a circular cylinder in viscous oscillatory flow at low Keulegan–Carpenter numbers // Journal of Fluid Mechanics. – 1986. – Vol. 165. – P. 61–71.
13. Keulegan G.H. Carpenter L.H. Forces on cylinders and plates in an oscillating fluid. // Journal of Research of National Bureau of Standards. – 1958. – Vol. 60. – No. 5. – P. 423–440.
14. Theoretical-Experimental Method of Determining the Drag Coefficient of a Harmonically Oscillating Thin Plate / A.G. Egorov, A.M. Kamalutdinov, V.N. Paimushin, V.A. Firsov // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. – 2016. – Vol. 57. – No. 2. – P. 275–282. DOI: 10.1134/S0021894416020103
15. Adams R.D. The damping characteristics of certain steels, cast irons and other metals // Journal of Sound and Vibration. – 1972. – Vol. 23. – No. 2. – P. 199–216.
16. Felicity J.G. Property-microstructural relationships in GFRP // PhD Thesis. Plymouth Polytechnic, 1978.
17. Identification of the Elastic and Damping Characteristics of Soft Materials Based on the Analysis of Damped Flexural Vibrations of Test Specimens / V.N. Paimushin, V.A. Firsov,
    I. Gynal, V.M. Shishkin // Mechanics of Composite Materials. – 2016. – Vol. 52. – No. 4. – P. 435–454.
18. Egorov A.G., Kamalutdinov A.M., Nuriev A.N. Evaluation of aerodynamic forces acting on oscillating cantilever beams based on the study of the damped flexural vibration of aluminium test samples // Journal of Sound and Vibration. – 2018. – Vol. 421. – P. 334–347.
19. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. – М.: Физматгиз, 1960. – 193 с.
20. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала. – Киев: Наукова думка, 1970. – 377 с.
21. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. – М.: Госстройиздат, 1960. – 129 с.
22. Давиденков Н.Н. О рассеянии энергии при вибрациях // Журнал технической физики. – 1938. – Т. 8. – Вып. 6. –С. 483–499.
23. Хильчевский В.В., Дубенец В.Г. Рассеяние энергии при колебаниях тонкостенных элементов конструкций. – Киев: Вища школа, 1977. – 252 с.
24. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов: cправ. – Киев: Наукова думка, 1971. – 375 с.
25. Постников В.С. Внутреннее трение в металлах. – М.: Металлургия, 1969. – 330 с.
26. Василенко Н.В. Учет несовершенной упругости материала при использовании метода конечных элементов для исследования резонансных колебаний деформируемого твердого тела произвольной формы // Проблемы прочности. – 1980. – № 10. – С. 25–27.
27. Хильчевский В.В., Дубенец В.Г. Рассеяние энергии при деформировании в условиях сложного напряженного состояния материала. – Киев: Вища школа, 1981. – 168 с.
28. Яковлев А.П. Диссипативные свойства неоднородных материалов и систем. – Киев: Наукова думка, 1985. – 248 с.
29. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. – 664 с.
30. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 466 с.
31. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: практ. руководство / пер. с англ. – М.: Мир, 1982. – 238 с.
32. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: учебник для вузов / под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. – 440 с.
33. Теоретико-экспериментальный метод определения аэродинамической составляющей демпфирования тест-образца ромбовидного поперечного сечения / В.Н. Паймушин, В.А. Фирсов, И. Гюнал, В.М. Шишкин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 4. – С. 200–219.

Разработана математическая модель резонансного диагностирования неоднородного поля температур пьезоэлектролюминесцентным оптоволоконным датчиком. Датчик представляет собой оптоволокно с электролюминесцентным и пьезоэлектрическим слоями.
В датчике первый тонкий цилиндрический фотопрозрачный электрод расположен между оптоволокном и электролюминесцентным слоем, а второй электрод – на внешней цилиндрической поверхности пьезоэлектрического слоя. Механолюминесцентный эффект возникает в результате взаимодействия между собой электролюминесцентного и пьезоэлектрического слоев при осесимметричных вынужденных вибрациях датчика. При вибрациях электролюминесцентное свечение проникает через внутренний электрод в оптоволокно и далее распространяется по нему к приемнику-анализатору интенсивности света на выходе из оптоволокна. Модель основана на заданной амплитудно-частотной характеристике вынужденных стационарных электроупругих осесимметричных колебаний локального участка датчика, которые вызваны гармонической составляющей управляющего электронапряжения на его электродах; постоянная составляющая управляющего электронапряжения необходима для настройки датчика на рабочий режим в рассматриваемом диапазоне температур. При нагреве локального участка датчика график его амплитудно-частотной характеристики смещается по оси частоты (на величину изменения резонансной частоты) пропорционально изменению температуры этого участка. В результате искомая функция плотности распределения температуры по длине датчика находится как решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода по результатам измеряемых значений производной амплитуды интенсивности свечения на выходе из оптоволокна датчика по частоте управляющего электронапряжения; ядро Фредгольма рассчитывается через известную амплитудно-частотную характеристику датчика и зависимость резонансной частоты от температуры. Представлены результаты численного моделирования и изучены закономерности влияния на амплитуды интенсивности свечения на выходе из оптоволокна датчика различных модельных и реальных законов распределения диагностируемых температур по длине датчика.

Ключевые слова: пьезоэлектроупругость, механолюминесцентный эффект, оптоволокно, распределенный датчик температуры, интегральное уравнение Фредгольма, численное моделирование.

Паньков Андрей Анатольевич – доктор физико-математических наук, доцент, e-mail: a_a_pankov@mail.ru

1. Окоси Т. Волоконно-оптические датчики. – Л.: Энергоатомиздат, 1990. – 256 с.
2. Guemes A., Fernandez-Lopez A., Soller B. Optical fiber distributed sensing – physical principles and applications // Structural Health Monitoring. – 2010. – Vol. 9. – No. 3. – P. 233–245.
3. Suresh R., Tjin S.C., Hao J. Fiber Bragg Grating / Smart Materials in Structural Health Monitoring, Control and Biomechanics. – Springer Berlin Heidelberg, 2012. – P. 413–439.
4. Prabhugoud M., Peters K. Efficient simulation of Bragg grating sensors for implementation to damage identification in composites // Smart Materials & Structures. – 2003. – Vol. 12. – No. 6. – P. 914–924.
5. Варжель С.В. Волоконные брэгговские решетки. – СПб.: Изд-во ун-та ИТМО, 2015. – 65 с.
6. Kashyap R. Fiber Bragg gratings. – San Diego: Academic Press, 1999. – 458 p.
7. Yu F.T.S.Y., Yin S. Fiber optic sensors. – New York: Marcel Dekker, Inc, 2002. – 495 p.
8. Козлов В. Л. Оптоэлектронные датчики. – Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 2005. – 116 с.
9. Кульчин Ю.Н. Распределенные волоконно-оптические измерительные системы. – М.: Физматлит, 2001. – 272 с.
10. Ларионов В. А. Резистивный датчик температуры
    с метрологическим самоконтролем // Датчики и системы. – 2015. – № 9-10. – С. 76–78.
11. Линевег Ф. Измерение температур в технике: справ.: пер. с нем. – М.: Металлургия, 1980. – 320 с.
12. Ионов Б.П., Ионов А.Б. Спектрально-статистический подход к бесконтактному измерению температуры // Датчики и системы. – 2009. – № 2. – С. 9–11.
13. Казарян А. А. Тонкопленочный датчик давления и температуры // Датчики и системы. – 2016. – № 3. – С. 50–56.
14. Дмитриев С.А., Слепов Н.Н. Волоконно-оптическая техника: современное состояние и новые перспективы: сб. статей. – 3-е изд. – М.: Техносфера, 2010. – 608 с.
15. Волоконно-оптические датчики. Вводный курс для инженеров и научных работников / под ред. Э. Удда. – М.: Техносфера, 2008. – 520 с.
16. Макарецкий Е.А. Оптико-электронные измерительные системы. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. – 100 с.
17. Кульчин Ю.Н., Каменев О.Т., Петров Ю.С. Физические принципы создания распределенных измерительных сетей на основе одноволоконного двухмодового интерферометра // Вестн. ДВО РАН. – 2004. – № 5. – С. 39–45.
18. Закасовская Е.В., Кульчин Ю.Н. Неравномерные схемы укладки измерительных линий в распределенных волоконно-оптических системах // Измерительная техника. –
    2009. – № 3(21). – С. 61–71.
19. Цуканов В.Н., Яковлев М.Я. Волоконно-оптическая техника: практ. рук. – М.: Инфра-Инженерия, 2014. – 304 с.
20. Пат. RU № 2630537. Волоконно-оптический датчик давления / Паньков А.А., опубл. 11.09.2017 г.; заявка
    № 2016136058 от 06.09.2016 г.
21. Паньков А.А. Математическое моделирование пьезоэлектролюминесцентного эффекта и диагностика распределения давления по длине оптоволоконного датчика // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 4. – С. 259–272.
22. Pan’kov A.A. Piezoelectroluminescent optical fiber sensor for diagnostics of the stress state and defectoscopy of composites // Mechanics of Composite Materials. – 2017. – Vol. 53. – No. 2. – P. 229–242.
23. Пат. RU № 2643692. Волоконно-оптический датчик объемного напряженного состояния / Паньков А.А., опубл. 05.02.2018 г.; заявка № 2017111405 от 04.04.2017 г.
24. Попов С.М., Фотиади А.А., Чаморовский Ю.К. Волоконные лазеры с резонатором из оптического волокна с непрерывной брэгговской решеткой // Спецвыпуск “Фотон-экспресс”-аука: тез. докл. всерос. конф. по волоконной оптике. – г. Пермь, 7–9 окт. 2015 г. – Пермь, 2015. – № 6(126). – С. 57–58.
25. OFTD-рефлектометрия оптических волокон с распределенным отражателем брэгговского типа / С.М. Попов, О.В. Бутов, В.В. Волошин, И.Л. Воробьев, М.Ю. Вяткин,
    А.О. Колосовский, Ю.К. Чаморовский // Оптическая рефлектометрия – 2016: материалы I Всерос. науч.-практ. конф.
    26–27 мая 2016 г. – Пермь, 2016. – С. 36–38.
26. Распределенный сенсор на многомодовых оптических волокнах, дополненных волоконной решеткой Брэгга, функционирующих в маломодовом режиме передачи сигнала / А.В. Бурдин, А.А. Василец, В.А. Бурдин, О.Г. Морозов // Оптическая рефлектометрия – 2016: материалы I Всерос. науч.-практ. конф. 26–27 мая 2016 г. – Пермь, 2016. – С. 25–26.
27. Измерение величины и положения точечных температурных воздействий на длинные ВБР / С.С. Якушин,
    А.В. Достовалов, А.А. Вольф, А.В. Парыгин, С.А. Бабин // Оптическая рефлектометрия – 2016: материалы I Всерос. науч.-практ. конф. 26–27 мая 2016 г. – Пермь, 2016. – С. 39–40.
28. Измерение деформации и температуры датчиками на основе брегговских решеток / В.В. Григорьев, В.А. Лазарев,
    А.К. Митюрев [и др.] // Датчики и системы. – 2009. – № 1. – С. 15–18.
29. Сенсорная система на основе волоконно-оптических брэгговских решеток / C.А. Бабин, А.А. Власов, С.И. Каблуков, И.С. Шелемба // Вестн. НГУ. Сер.: Физика. – 2007. –
    Т. 2. – № 3. – С. 54–57.
30. Кульчин Ю.Н., Ноткин Б.С., Седов В.А. Нейроитерационный алгоритм томографической реконструкции распределенных физических полей в волоконно-оптических измерительных системах // Компьютерная оптика. – 2009. – Т. 33, № 4. – С. 446–455.
31. Терещенко С.А. Методы вычислительной томографии. – М.: Физматлит, 2004. – 320 с.
32. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии: пер. с англ. – М.: Мир. 1990. – 280 с.
33. Буймистрюк Г.Я. О современных физических пределах мультиплексирования внутрисветоводных массивов волоконно-оптических датчиков // Датчики и системы. – 2015. –
    № 4. – С. 36–39.
34. Карякин А.В., Боровиков А.С. Люминесцентная и цветная дефектоскопия. – М.: Машиностроение, 1972. – 240 с.
35. Левшин Л.В., Салецкий А.М. Люминесценция и ее измерения. Молекулярная люминесценция. – М.: Изд-во МГУ, 1989. – 272 с.
36. Гришаева Т.И. Методы люминесцентного анализа; АНО НПО «Профессионал». – СПб., 2003. – 226 с.
37. Карицкая С.Г. Диагностика полей температур и скоростей люминесцентными методами: дис. … канд. физ.-мат. наук. – М.: Изд-во МГУ, 1997. – 103 с.
38. Макарова Н.Ю. Моделирование выходного сигнала механолюминесцентного датчика динамического давления // Наука и образование: науч. изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2015. – № 6. – С. 187–200.
39. Tатмышевский К.В. Научные основы расчета и проектирования механолюминесцентных чувствительных элементов датчиков импульсного давления: автореф. дис. … д-ра техн. наук. – М., 2010. – 33 с.
40. Real- time mechanoluminescence sensing of the amplitude and duration of impact stress / B.P. Chandra, V.K. Chandra, S.K. Mahobia, P. Jha, R. Tiwari, B. Haldar // Sensors and Actuators A: Physical. – 2012. – Vol. 173. – P. 9–16.
41. Detecting mechanoluminescence from ZnS:Mn powder using a high speed camera / L. Kobakhidze, C.J. Guidry,
    W.A. Hollerman, R.S. Fontenot // IEEE Sensor Journal. – 2013. – Vol. 13. – No. 8. – P. 3053–3059.
42. Chandra B.P., Chandra V.K. Dynamics of the mechanoluminescence induced by elastic deformation of persistent luminescent crystals // Journal of Luminescent. – 2012. – Vol. 132. – No. 3. – P. 858–869.
43. Банишев А.Ф., Банишев А.А., Лотин А.А. Исследование люминесценции и механолюминесценции мелкодисперсного порошка SrAl2O4:(Eu2+, Dy3+) в матрице полимера // Физика
    и химия обработки материалов. – 2012. – № 5. – С. 89–92.
44. Писаревский А.И., Татмышевский К.В., Голубев А.М. Сравнение особенностей механолюминесценции в кристаллах ZnS и (BaSr)Al2O4 [Электронный ресурс] // Наука
    и образование.МГТУ им. Н.Э. Баумана: электрон. журн. – 2012. – № 1. – URL: http://technomag.bmstu.ru/doc/297102.html.
45. Возможности, задачи и перспективы волоконно-оптических измерительных систем в современном приборостроении / В.Б. Гармаш, Ф.А. Егоров, Л.Н. Коломиец,
    А.П. Неугодников, В.И. Поспелов // Спецвыпуск «ФОТОН-ЭКСПРЕСС» – НАУКА. – 2005. – № 6. – С. 128–140.
46. Справочник по кварцевым резонаторам / В.Г. Андросова, В.Н. Банков, А.Н. Дикиджи и др. / под ред. П.Г. Позднякова. – М.: Связь, 1978. – 288 с.

Метод граничных интегральных уравнений используется для исследования напряженно-деформированного состояния стоматологических имплантатов. Для численного решения граничных интегральных уравнений применяются изопараметрические квадратичные граничные элементы. Методика численного решения реализована в форме комплекса программ для решения задач упругости и термоупругости со смешанными граничными условиями и условиями неидеального соединения подобластей конструкции.

Рассмотрены имплантаты с цементной фиксацией коронки при использовании различных материалов в соединении. Расчёт в двумерной постановке выполнен в два этапа: 1) определение напряженно-деформированного состояния всей конструкции имплантата со сглаженными зубцами в соединении имплантата с костной тканью; 2) исследование концентрации напряжений в винтовом соединении в зоне сцепления имплантата с костной тканью. Расчетная модель первого этапа содержала 7 подобластей, соответствующих элементам конструкции имплантата. На втором этапе исследование концентрации напряжений винтового соединения и костной ткани выполнено на модели винтового соединения имплантата и губчатой кости. Полагалось, что углубления в губчатой кости, образующиеся при внедрении имплантата в костную ткань, соответствуют резьбе на имплантате. Предполагалось также, что происходит формирование полного соединения материалов на границе имплантата и кости.

Первый этап расчета конструкции имплантата с компонентами из различных материалов позволил определить, что наибольшие напряжения возникают в имплантатах с преобладанием компонентов из титана. Оценка величины концентрации напряжений в витках резьбы и в костной ткани получена на втором этапе расчета винтового соединения имплантата и костной ткани. Установлено также, что наибольшие напряжения возникают в зоне первого витка резьбы имплантата.

Ключевые слова: метод граничных интегральных уравнений, напряжённо-деформированное состояние, имплантат, титан, керамика, цементная фиксация,
концентрация напряжений.

Перельмутер Михаил Натанович – доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: perelm@ipmnet.ru

1. Branemark P.I., Zarb G.A., Albrektsson T. Tissue-Integrated Prostheses: Osseointegration in Clinical Dentistry. – Chicago: Quintessence Publishing, Co., Inc., 1985. – 352 p.
2. Albrektsson T., Wennerberg A. The impact of oral implants – past and future, 1966-2042 // J. Can. Dent. Assoc. –
   2005. – Vol. 71. – No. 5. – P. 327–331.
3. Параскевич В.Л. Дентальная имплантология: Основы теории и практики. – 3-е изд. – М., 2011. – 400 с.
4. Создание научных основ, разработка и внедрение в клиническую практику компьютерного моделирования лечебных технологий и прогнозов реабилитации больных с челюстно-лицевыми дефектами и стоматологическими заболеваниями / Е.Н. Чумаченко [и др.]. – М.: Изд-во Моск. гос. мед.-стомат. ун-та, 2010. – 144 с.
5. Биомеханический анализ зубных имплантатов из сплава титана и диоксида циркония / Ю.И. Няшин [и др.] // Российский журнал биомеханики. – 2012. – Т. 16. № 1. –
   C. 102–109.
6. 2D and 3D finite element analysis of central incisor generated by computerized tomography / I.A. Poiate, A.B. Vascon-cellos, M. Mori, E.Jr. Poiate // Computer Methods and Programs in Biomedicine. – 2011. – Vol. 104(2). – P. 292–299.
7. Finite element analysis of dental implant loading on atrophic and non-atrophic cancellous and cortical mandibular
   bone – a feasibility study / P. Marcián, L. Borák, J. Valášek,
   J. Kaiser, Z. Florian, J. Wolff // Journal of Biomechanics. –
   2014. – Vol. 47. – P. 3830–3836.
8. Jadhav R.S., Dhatrak P.N., Gajjal S.Y. A review: Mechanical Design of Dental Implants to Reduce Stresses around Implant-Bone Interface // International Journal of New Technologies in Science and Engineering. – 2015. – Vol. 2. – No. 2. – P. 142–146.
9. Gungor M.B., Yılmaz H. Evaluation of stress distributions occurring on zirconia and titanium implant-supported prostheses: A three-dimensional finite element analysis // The Journal of Prosthetic Dentistry. – 2016. – Vol. 116. – No. 3. – P. 346–355.
10. Performance evaluation of dental implants: An experimental and numerical simulation study / P. Bicudo, J. Reis,
    A.M. Deus, L. Reis, M.F. Vaz // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2016. – Vol. 85, Part A. – P. 74–83.
11. Comparison of the fracture resistance of dental implants with different abutment taper angles / K. Wang, J. Geng, D. Jones, W. Xu // Materials Science and Engineering: C. – 2016. – Vol. 63. – P. 164–171.
12. Джалалова М.В., Степанов А.Г., Влияние уровня резекции корня зуба на напряженно-деформированное состояние эндодонто-эндооссального имплантата в зубочелюстном сегменте // Российский журнал биомеханики. – 2017. – Т. 21, № 1. – С. 51–63.
13. Modeling dental implant insertion / A. Dorogoy, D. Rittel, K. Shemtov-Yona, R. Korabi // Journal of the mechanical behavior of biomedical materials. – 2017. – Vol. 68. – P. 42–50.
14. Chang Y., Tambe A.A., Maeda Y., Wada M., Gonda T. Finite element analysis of dental implants with validation: to what extent can we expect the model to predict biological phenomena? A literature review and proposal for classification of a validation process // International Journal of Implant Dentistry. – 2018. – Vol. 4. – No. 7. – P. 1–14.
15. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. – М.: Мир, 1984. – 494 с.
16. Перельмутер М.Н. Применение метода граничных элементов при исследовании пространственного напряженного состояния составных конструкций // Проблемы прочности и динамики в авиадвигателестроении. – Вып. 4. – Тр. ЦИАМ. – 1989. – № 1237. – С. 74–99.
17. Wolfe L.A. Stress analysis of endosseous implants using the Boundary Integral Equation (BIE) method // Journal of Biomedical Engineering. – 1993. – Vol. 15. – No. 4. – P. 329–323.
18. Stress Analysis of an Endosseus Dental Implant by BEM and FEM / R. Citarella, E. Armentani, F. Caputo, M. Lepore // The Open Mechanical Engineering Journal. – 2012. – Vol.6. – P. 115–124.
19. Perrella M., Franciosa P., Gerbino S. FEM and BEM Stress Analysis of Mandibular Bone Surrounding a Dental Implant // The Open Mechanical Engineering Journal. –2015. – Vol. 9. –
    P. 282–292.
20. Жолудев С.Е., Кандоба И.Н., Об оптимизации элементов конструкций зубных протезов // Российский журнал биомеханики. – 2017. – Т. 21, № 4. – С. 376–386.
21. Вафин С.М., Хван В.И., Керамика на основе диоксида циркония. Достижения и перспективы // Стоматолог-практик. – 2011. – № 1. – C. 21–27.
22. Özkurt Z., Kazazoğlu E. Zirconia Dental Implants: A literature Review // Journal of Oral Implantology. – 2011. – Vol. 37. – No. 3. – P. 367–376. DOI.org/10.1563/AAID-JOI-D-09-00079
23. Cionca N., Hashim D., Mombelli A. Zirconia dental implants: where are we now, and where are we heading? // Periodontology-2000. – 2017. – Vol. 73. – P. 241–258. DOI.org/ 10.1111/prd.12180
24. Balanford G., Ingraffea A., Liggett J. Two-dimensional stress intensity factor computation using boundary element method // Int J. for Numer Meth in Eng. – 1981. – Vol. 17. – P. 387–404. DOI: 10.1002/nme.1620170308
25. Перельмутер М.Н. Анализ напряженного состояния в концевой области трещины на границе раздела материалов методом граничных элементов // Вычислительная механика сплошных сред. – 2012. – Т. 5, № 4. – С. 415–426.
26. Perelmuter M. Boundary element analysis of structures with bridged interfacial cracks // Computational Mechanics. – 2013. – Vol. 51. – No. 4. – P. 523–534.
27. Определение интенсивности окклюзионного давления у пациентов на ортопедическом приеме / Д.М. Король
    [и др.] // Современная медицина: актуальные вопросы: материалы XLVI–XLVII Междунар. науч.-практ. конф. № 8-9 (42). – Новосибирск: Изд-во СибАК, 2015. – C. 40–46.
28. Результаты трехмерного математического моделирования функциональных напряжений в имплантате и несъемной протезной конструкции / В.Н. Олесова [и др.] // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 2. – С. 135–139.
29. Напряженно-деформированное состояние в протезной конструкции на дентальном имплантате при цементной фиксации искусственной коронки / В.Н. Олесова [и др.] // Российский журнал биомеханики. – 2016. – Т. 20, № 4. – C. 311–315.
30. Haiat G., Wang H.-L., Brunski J. Effects of Biomechanical Properties of the Bone-Implant Interface on Dental Implant Stability: From In Silico Approaches to the Patient's Mouth // Annual Review of Biomedical Engineering. – 2014. – Vol. 16. – No. 1. –
    P. 187–213. DOI:10.1146/annurev-bioeng-071813-104854
31. The influence of thread geometry on implant osseointegration under immediate loading: a literature review /
    H.-S. Ryu, C. Namgung, J.-H. Lee, Y.-J. Lim // The Journal of Advanced Prosthodontics. – 2014. – Vol. 6. – No. 6. – P. 547–554. DOI:10.4047/jap.2014.6.6.54
32. Биргер И.А., Иосилевич Г.Б. Резьбовые и фланцевые соединения. – М.: Машиностроение, 1990. – 368 с.
33.  Ghoggali S., Outtas T., Latrèche S. 3D Finite Elements Modeling of the Interfacial Stresses Bone/Dental Implant – Effects of the Geometric Parameters // Journal of Biomimetics, Biomaterials and Biomedical Engineering. – 2017 – Vol. 33. – P. 32–44. DOI.org/10.4028/www.scientific.net/JBBBE.33.32
34. Effects of implant threads on the contact area and stress distribution of marginal bone / C.-C. Lee, S.-C. Lin, M.-J. Kang,
    S.-W. Wu, P.-Y. Fu // Journal of Dental Sciences. – 2010. – Vol. 5. – No. 3. – P. 156–165. DOI.org/10.1016/S1991-7902(10)60023-2
35. Faegh S., Müftü S. Load transfer along the bone-dental implant interface // Journal of Biomechanics. – 2010. – Vol. 43. – No. 9. – P. 1761–1770. DOI.org/10.1016/j.jbiomech.2010.02.017
36. Investigation of the dental implant geometry effect on stress distribution at dental implant-bone interface / M. Ghadiri
    [et al.] // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. – 2016 – Vol. 38. – No. 2. – P. 335–343. DOI 10.1007/s40430-015-0472-8
37. Geramizadeh M., Katoozian H., Amid R., Kadkhodazadeh M. Comparison of finite element results with photoelastic stress analysis around dental implants with different threads // Dental and Medical Problems. – 2018. – Vol. 55. –
    No. 1. – P. 17–22.

В работе проведены экспериментальные и расчётные исследования кратковременной прочности растягиваемых стержней из пластичного материала с U- и V-образными острыми надрезами. В качестве модельного материала выбран термопласт-акрил-бутадиен-стирол (АБС). Образцы диаметром около 5 мм получены на одношнековом экструдере плавлением гранул. В первом разделе работы изучена зависимость механических свойств АБС в широком диапазоне квазистатических скоростей деформирования (0,02–10 мин-1). Показано, что
в этих условиях при однократном нагружении материал можно считать упругопластическим
с модулем упругости 2200 МПа, пределом текучести, равным 41 МПа и независящим от скорости деформирования с погрешностью не более 5 %. Для десятикратных образцов остаточные продольные деформации при разрушении составили 15–25 %, остаточное сужение поперечного сечения составило 30–50 %.

Образцы для испытаний имели U-образные надрезы с радиусом закругления 1,6 мм. Угол острых V-образных надрезов составлял 60°. Глубину односторонних надрезов варьировали в диапазоне 0–3,5 мм.

Получено, что предельная нагрузка, выдерживаемая образцами с V-образными вырезами, превышает соответствующую нагрузку образцов с U-образными вырезами той же глубины из-за большего стеснения пластических деформаций материала в зоне выреза. Вырезы глубиной до 0,7 мм практически не снижают предельной нагрузки отмеченных образцов.

Во втором разделе работы с помощью МКЭ выполнен расчёт кинетики упругопластического деформирования и разрушения с использованием нелокального подхода, явной схемы интегрирования в пакете ANSYS Workbench. Расчёты показали, что предельная нагрузка определяется лишь пределом текучести материала и конфигурацией выреза. Разрушение на части (в ANSYS – это технология удаления критически деформированных конечных элементов) происходит при меньших нагрузках, зависящих от ресурса пластичности материала и конфигурации выреза. Расчётные значения предельных и разрушающих нагрузок хорошо согласуются с экспериментальными данными. Методика может быть рекомендована для оценки прочности деталей сложной формы из пластичных материалов с произвольными концентраторами напряжений.

Ключевые слова: острый V-образный надрез, U-образный надрез, прочность, термопласт, нелокальная теория прочности.

Сапожников Сергей Борисович – доктор технических наук, профессор, e-mail: sapozhnikovsb@susu.ru

Лешков Егор Валерьевич – студент, e-mail: sapozhnikovsb@susu.ru

Иванов Михаил Александрович – кандидат технических наук, доцент, e-mail: ivanovma@susu.ru

Ярославцев Сергей Иванович – кандидат технических наук, доцент, e-mail: iaroslavtcevsi@susu.ru

Щербаков Игорь Александрович – старший преподаватель, e-mail: shcherbakovia@susu.ru

1. Anderson T.L. Fracture Mechanics: Fundamentals and Applications, 2nd ed. – Florida: CRC Press LLC, 1995. – 669 p.

2. Hertzberg R.W. Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials. – NewYork: Wiley, 1976. – 810 p.

3. Knott J.F. Fundamentals of Fracture Mechanics. – New York: John Wiley – Halsted Press, 1973.

4. Strawley J.E., Brown W.F. Fracture Toughness Testing. – ASTM STP 381, 1965. – 133 p.

5. Gordon J.E. The New Science of Strong Materials, or Why You Don’t Fall Through the Floor. – Princeton University Press, 1976.

6. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука, 1967. – 744 с.

7. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. – М.: Наука, 1975. – Т. 1. – 832 с.

8. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 1. Жесткопластические и упругопластические модели // Вестник Пермского государственного технического университета. Механика. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – № 1. – С. 5–45.

9. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 2. Вязкопластические и упруговязкопластические модели // Вестник Пермского государственного технического университета. Механика. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – № 2. – С. 101–131.

10. Bazant Z.P. Scaling of Structural Strength. – Elsevier, 2005. – 336 p.

11. Panlilio F. Elementary Theory of Structural Strength. – John Wiley & Sons Inc, 1972. – 478p.

12. John C., Chilver A.H., Ross C.T.F. Strength of Materials and Structures, Fourth ed. – 1999. – 706 p.

13. Махутов Н.А. Конструкционная прочность, ресурс и техногенная безопасность. – Новосибирск, 2005. – 493 с.

14. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – М.: Наука, 1974. – 640 с.

15. Rolfe J.M., Stanley В.T. Fracture and fatigue control in structures: applications of fracture mechanics (3. ed.). – West Conshohocken, Pa.: ASTM. – 1999. – 519 p.

16. Campbell F.C. Fatigue and fracture: understanding the basics. – Materials Park, Ohio: ASM International. – 2012. – 525 p.

17. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. –М.: Наука, 1985. – 502 с.

18. Морозов Н.Ф. Математические вопросы механики трещин. – М.: Наука, 1984. –256 с.

19. Данилов В.И., Нариманова Г.Н., Зуев Л.Б. Пластическое течение в зоне концентратора (трещины) в малоуглеродистой стали // Металлофизика и новейшие технологии. – 2000. – Т. 22, № 3. – С. 17–21.

20. Agathos K., Chatzi E., Bordas S.P.A. Multiple crack detection in 3D using a stable XFEM and global optimization // Computational Mechanics. – 2018. – P. 1–18. DOI:10.1007/s00466-017-1532-y

21. Xu B., Chen X., Waisman H. Crack propagation toward a desired path by controlling the force direction // Engineering Fracture Mechanics. – 2009. – Vol. 76(16). – P. 2554–2559. DOI:10.1016/j.engfracmech.2009.09.007

22. Eftekhari M., Baghbanan A., Hashemolhosseini H. Crack propagation in rock specimen under compressive loading using extended finite element method // Arabian Journal of Geosciences. – 2016. – Vol. 9(2). – P. 1–10. DOI:10.1007/s12517-015-2196-6

23. Шалимов А.С., Ташкинов М.А. Моделирование роста трещины в матрице неоднородной среды со случайным расположением включений при помощи метода XFEM // Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций: материалы XI Междунар. конф. – 2017. – 112 с.

24. Perez N. Fracture Mechanics 2nd ed. – Springer, 2016. – 418 p.

25. Jin C.T., Sun Z.-H. Fracture mechanics. – Waltham, MA: Academic Press, 2012. – 311 p.

26. Prediction of fracture loads in PMMA U-notched specimens using the equivalent material concept and the theory of critical distances combined criterion / S. Cicero, A.R. Torabi,
V. Madrazo, P. Azizi // Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures. – 2018. – Vol. 41(3). – P. 688–699. DOI:10.1111/ffe.12728

27. Louks R., Askes H., Susmel L. Static assessment of brittle/ductile notched materials: An engineering approach based on the theory of critical distances // Frattura Ed Integrita Strutturale. – 2014. – Vol. 30. – P. 23–30. DOI:10.3221/IGF-ESIS.30.04

28. Taylor D. The theory of critical distances. – 2007. – 284 p. DOI:10.1016/B978-0-08-044478-9.X5000-5

29. Susmel L., Taylor D. On the use of the theory of critical distances to estimate KIc and δKth from experimental results generated by testing standard notches // Key Engineering Materials. – 2010. – Vol. 417–418. – P. 25–28. DOI: 10.4028/www.scientific.net/KEM.417-418.25

30. Susmel L., Taylor D. The theory of critical distances to estimate the static strength of notched samples of Al6082 loaded in combined tension and torsion. part I: Material cracking behavior // Engineering Fracture Mechanics. – 2010. – Vol. 77(3). – P. 452–469. DOI:10.1016/j.engfracmech.2009.11.015

31. Louks R., Askes H., Susmel L. A generalised approach to rapid finite element design of notched materials against static loading using the theory of critical distances // Materials and Design. – 2016. – Vol. 108. – P. 769–779. DOI:10.1016/j.matdes.2016.07.047

32. Intrinsic material length, theory of critical distances and gradient mechanics: Analogies and differences in processing lineara-elastic crack tip stress fields / H. Askes, P. Livieri,
L. Susmel, D. Taylor, R. Tovo // Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures. – 2013. – Vol. 36(1). –
P. 39–55. DOI:10.1111/j.1460-2695.2012.01687.x

33. Pelekis I., Susmel L. The theory of critical distances to assess failure strength of notched plain concrete under static and dynamic loading // Engineering Failure Analysis. – 2017. –
Vol. 82. – P. 378–389. DOI:10.1016/j.engfailanal.2017.07.018

34. Assessment of brittle fracture for PUR materials using local strain energy density and theory of critical distances /
R. Negru, L. Marsavina, H. Filipescu, C. Căplescu, T. Voiconi // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2015. – Vol. 79. – P. 62–69. DOI:10.1016/j.tafmec.2015.07.011

35. Knothe K., Müller W. Some remarks on the elastic-plastic limit load analysis of a plane V-notched specimen // International Journal of Mechanical Sciences. – 1980. – Vol. 22(3). – P. 167–172. DOI:10.1016/0020-7403(80)90065-X

36. Zerbst U., Ainsworth R.A., Madia M. Reference load Vol. 91. – P. 62–72. DOI:10.1016/j.engfracmech.2011.10.018 

38. Spika T. The dynamic uni-layer melting model: A revolutionary advancement in plastics processing technology // Paper presented at the 23rd Annual International Conference and Exhibit: Vital Technologies for Business Success in a Changing Global Market, MOLDING 2013.

39. Wagner Jr. J.R., Mount III E.M., Giles Jr. H.F. Extrusion: The definitive processing guide and handbook: Second edition. Extrusion: The definitive processing guide and handbook: Second edition. – 2013. – P. 1–620. DOI:10.1016/C2010-0-67040-4

40. Capaccio G., Ward I.M. Preparation of ultra-high modulus linear polyethylenes; effect of molecular weight and molecular weight distribution on drawing behaviour and mechanical properties // Polymer. – 1974. – Vol. 15(4). – P. 233–238

41. Marikhin V.A., Myasnikova L.P. Structural Basis of High-Strength High-Modulus Polymers, Chapter 2, in book: Oriented polymer materials. Ed. S. Fakirov. – Wiley, 2008. – P. 38–98.

42. Chua C.K.,Wong C.H.,Yeong W.Y. Standards, Quality Control, and Measurement Sciences in 3D Printing and Additive Manufacturing. – 2017. – P. 1–250.

43. Yu M. Unified strength theory and its applications: Second edition. Unified strength theory and its applications: Second edition. – 2017. – P. 1–463. DOI:10.1007/978-981-10-6247-6

Основная проблема при диагностике и контроле заключается в том, что подавляющее число физических величин не может быть измерено непосредственно. Непосредственному измерению поддается лишь ограниченный набор физических параметров, на величину которых остальные (неизмеряемые) параметры оказывают лишь опосредованное влияние. Отсюда возникает задача определения физических величин по результатам их проявлений.
К этой же проблеме относится и определение свойств материалов на всех этапах деформирования, включая и стадию разупрочнения, что является достаточно трудоемкой задачей. Сложность проблемы состоит в том, что на закритической стадии материал физически неустойчив. Поэтому требуются специальные устройства для получения характеристик материала, причем зачастую их не удается получить даже при помощи отнюдь не тривиальных технических приспособлений. Одним из реальных путей решения данной проблемы является проведение испытаний особых конструктивных элементов с последующим пересчетом полученных данных на свойства материала. В данной работе излагается известная методология решения обратных некорректных задач, разработанная А.Н. Тихоновым и В.К. Ивановым, которая основывается на методе подбора и понятии квазирешения. В качестве примера рассматривается задача об определении диаграммы деформирования материала с падающей ветвью в координатах «главные касательные напряжения – сдвиги» по диаграмме кручения цилиндрического образца. Показано, что эта задача требует решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода и, следовательно, является некорректной задачей. После сведения к системе алгебраических уравнений с использованием метода трапеций вычисления определенных интегралов при неточной правой части эта система дает характерное пилообразное решение. Регуляризация решения осуществляется методом подбора в специальной интерпретации. В работе приведены экспериментальные данные, полученные при кручении цилиндрических образцов из стали Ст3сп. Изложенная методика применена для пересчета диаграммы кручения образца на диаграмму деформирования материала с падающей ветвью при чистом сдвиге.

Ключевые слова: некорректная задача, регуляризация, кручение, цилиндрический образец, уравнение Вольтерра, диаграмма с падающей ветвью.

Стружанов Валерий Владимирович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: stru@imach.uran.ru

Вичужанин Дмитрий Иванович – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: mmm@imach.uran.ru

В статье представлена вторая часть обзора современных подходов и работ, посвященных построению потенциалов межатомного взаимодействия с использованием методологии погруженного атома (EAM-потенциалы). Эта часть обзора посвящена одной из наиболее остро стоящих проблем в молекулярной динамике – вопросам построения потенциалов, которые были бы пригодны для описания структуры и физико-механических свойств многокомпонентных (в первую очередь – бинарных и тернарных) материалов. Отмечены первые работы, в которых предлагались подходы к построению функций перекрестного взаимодействия для сплавов никеля и меди – как с использованием методологии EAM, так и несколько отличающийся по процедуре построения потенциал типа Финисса-Синклера. Рассматриваются работы, в которых производится сопоставление различных подходов к построению потенциалов, а также к процедуре идентификации их параметров на примере одних и тех же многокомпонентных систем (типа Al-Ni или Cu-Au). Кроме того, особый интерес представляют некоторые тернарные системы, например Fe–Ni–Cr, W–H–He или U–Mo–Xe, которые являются ключевыми для материалов атомной энергетики и которые в последние годы активно изучаются как возможные материалы для использования в термоядерных ректорах. Приведены примеры работ, в которых предлагаются и исследуются потенциалы для описания многокомпонентных систем, пригодных для использования в аэрокосмической промышленности и изготовленных прежде всего на основе никеля. Рассмотрены результаты исследований различных интерметаллических соединений, отмечены работы, в которых при помощи построенного EAM потенциала удалось количественно точно описать фазовые диаграммы соединений и вычислить характеристики фазовых переходов.

Ключевые слова: молекулярная динамика, потенциал взаимодействия, метод погруженного атома, EAM, MEAM.

Волегов Павел Сергеевич – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: crocinc@mail.ru

Герасимов Роман Михайлович – студент, e-mail: romagrizly@gmail.com

Давлятшин Роман Позолович – студент, e-mail: romadavly@gmail.com

1. Волегов П.С., Герасимов Р.М., Давлятшин Р.П. Модели молекулярной динамики: обзор EAM-потенциалов. Ч. 1. Потенциалы для однокомпонентных систем//Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2017. – № 4. – С. 214–237. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.4.14
2. Лахтин Ю.М. Металловедение и термическая обработка металлов. – 3-е изд. – М.: Металлургия, 1983. – 359 с.
3. Левин В.Е. Ядерная физика и ядерные реакторы: учебник. – 4-е изд. – М.: Атомиздат, 1979. – 288 с.
4. Мильман Ю.В., Ефимов Н.А., Гончарова И.В. Квазикристаллы – новый класс твердых тел с уникальными физическими свойствами // Электронная микроскопия и прочность материалов. Сер. Физическое материаловедение, структура и свойства материалов. – 2012. – № 18. – С. 3–15.
5. Михайлушкин А.С. Теоретическое исследование электронной структуры металлов и сплавов под давлением: Al-Si, Al-Ge, In и Bi-Sb: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.07. – М., 2003. – 116 c. РГБ ОД, 61:04-1/145-8.
6. Ackland G.J., Vitek V. Many-body potentials and atomic-scale relaxations in noble-metal alloys // Physical Review B. – 1990. – Vol. 41. – No. 15. – P. 324–333.
7. Ackland G.J., Reed S.K. Two-band second moment model and an interatomic potential for caesium // Physical Review B. – 2003. –
   Vol. 67. – No. 17. – 174108. DOI: 10.1103/PhysRevB.67.174108
8. Development of an interatomic potential for phosphorus impurities in α-iron / G.J. Ackland, M.I. Mendelev, D.J. Srolovitz,
   S. Han, A.V. Barashev // J. Phys.: Condens. Matter. – 2004. –
   Vol. 16. – No. 27. – P. 2629–2642. DOI: 10.1088/0953-8984/16/27/003
9. Andersen O.K. Linear methods in band theory // Physical Review B. – 1975. – Vol. 12. – No. 8. – P. 3060–3083. DOI: 10.1103/PhysRevB.12.3060
10. Asta M., Foiles S.M. Embedded-atom-method effective-pair-interaction study of the structural and thermodynamic properties of Cu-Ni, Cu-Ag, and Au-Ni solid solutions// Physical Review B. – 1996. – Vol. 53. – No. 5. – P. 2389–2404. DOI: 10.1103/PhysRevB.53.2389
11. Becquart C.S., Domain C. A density functional theory assessment of the clustering behavior of He and H in tungsten // Journal of Nuclear Materials. – 2009. – Vol. 386–388. – P. 109–111. DOI: 10.1016/j.jnucmat.2008.12.085
12. Interatomic potential to study plasticity in stainless steels: the FeNiCr model alloy / G. Bonny, D. Terentyev,
    R.C. Pasianot, S. Ponce, A. Bakaev // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. – 2011. – Vol. 19. – No. 8. – 085008. DOI: 10.1088/0965-0393/19/8/085008
13. Iron chromium potential to model high-chromium ferritic alloys / G. Bonny, R.C. Pasianot, D. Terentyev, L. Malerba // Philosophical Magazine. – 2011. – Vol. 91. – No. 12. – P. 1724–1746. DOI: 10.1080/14786435.2010.545780
14. Bonny G., Castin N., Terentyev D. Interatomic potential for studying ageing under irradiation in stainless steels: the FeNiCr model alloy// Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. – 2013. – Vol. 21. – No. 8. – 085004. DOI: 10.1088/0965-0393/21/8/085004
15. Bonny G., Grigorev P., Terentyev D. On the binding of nanometric hydrogen–helium clusters in tungsten // Journal of Physics: Condensed Matter. – 2014. – Vol. 26. – No. 48. – 485001. DOI: 10.1088/0953-8984/26/48/485001
16. Broyden C.G. A Class of Methods for Solving nonlinear Simultaneous Equations // Mathematics of Computation. – 1965. – Vol. 19. – No. 92. – P. 577–593.
17. Cai J., Ye. Y.Y. Simple analytical embedded-atom- potential model including a long-range force for fcc metals and their alloys // Physical Review B. – 1996. – Vol. 54. – No. 12. –
    P. 8398–8410. DOI:10.1103/PhysRevB.54.8398
18. Castin N., Malerba L. Calculation of proper energy barriers for atomistic kinetic Monte Carlo simulations on rigid lattice with chemical and strain field long-range effects using artificial neural networks // The Journal of Chemical Physics. – 2010. – Vol. 132. – No. 7. – 074507. DOI: 10.1063/1.3298990
19. Clementi E., Roetti C. Roothaan-Hartree-Fock atomic wavefunctions: Basis functions and their coefficients for ground and certain excited states of neutral and ionized atoms, Z≤54 // Atomic Data and Nuclear Data Tables. – 1974. – Vol. 13. –
    No. 3-4. – P. 177–478. DOI: 10.1016/S0092-640X(74)80016-1
20. Dench W.A. Adiabatic high-temperature calorimeter for the measurement of heats of alloying // Transactions of the Faraday Society. – 1963. – Vol. 59. – P. 1279–1292. DOI: 10.1039/TF9635901279
21. Du J.P., Wang C.Y., Yu. T. Construction and application of multi-element EAM potential (Ni–Al–Re) in γ/γ′ Ni-based single crystal superalloys // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. – 2012. – Vol. 21. – No. 1. – 015007. DOI: 10.1088/0965-0393/21/1/015007
22. Du J.-P., Wang C.-Y., Yu T. The ternary Ni–Al–Co embedded-atom-method potential for γ/γ' Ni-based single-crystal superalloys: Construction and application // Chinese Physics B. – 2014. – Vol. 23. – No. 3. – 033401. DOI: 10.1088/1674-1056/23/3/033401
23. Eich S.M., Beinke D., Schmitz G. Embedded-atom potential for an accurate thermodynamic description of the iron–chromium system // Computational Materials Science. – 2015. – Vol. 104. – P. 185–192. DOI: 10.1016/j.commatsci.2015.03.047
24. Ercolessi F., Adams J.B. Interatomic Potentials from First-Principles Calculations: The Force-Matching Method // Europhysics Letters. – 1994. – Vol. 26. – No. 8. – P. 583–588.
25. A ternary Ni–Al–W EAM potential for Ni-based single crystal superalloys / Q.-N. Fan, C.-Y. Wang, Y. Tao, J.-P. Du // Physica B: Condensed Matter. – 2015. – Vol. 456. – P. 283–292. DOI: 10.1016/j.physb.2014.09.012
26. Finnis M.W., Sinclair J.E. A simple empirical N-body potential for transition metals // Philosophical Magazine A. – 1984. – Vol. 50. – No. 1. – P. 44–55. DOI:10.1080/01418618408244210
27. Foiles S.M. Calculation of the surface segregation of Ni-Cu alloys with the use of the embedded-atom method // Physical Review B. – 1985. – Vol. 32. – No. 12. – P. 7685–7693. DOI: 10.1103/PhysRevB.32.7685
28. Foiles S.M., Baskes M.I., Daw M.S Embedded-atom-method functions for the fcc metals Cu, Ag, Au, Ni, Pd, Pt, and their alloys // Physical Review B. – 1986. – Vol. 33. – No. 12. –
    P. 7983–7991. DOI: 10.1103/PhysRevB.33.7983
29. Henkelman G., Uberuaga B.P., Jonsson H. A climbing image nudged elastic band method for finding saddle points and minimum energy paths // The Journal of Chemical Physics. – 2000. – Vol. 113. – No. 22. – 9901. DOI: 10.1063/1.1329672
30. Simulations of the Initial Stages of Blistering in Helium Implanted Tungsten / K.O.E. Henriksson, K. Nordlund, J. Keinonen,
    D. Sundholm, M. Patzschke // Physica Scripta. – 2004. – Vol. T108. – P. 95–98. DOI: 10.1238/Physica.Topical.108a00095
31. Hultgren R.R., Desai P.D. Selected Thermodynamic Values and Phase Diagrams for Copper and Some of Its Binary Alloys. – New York: International Copper Research Association, 1971. – 204 p.
32. Johnson R.A. Analytic nearest-neighbor model for fcc metals // Physical Review B. – 1988. – Vol. 37. – No. 8. –
    P. 3924–3931. DOI: 10.1103/PhysRevB.37.3924
33. Johnson R.A. Alloy metals with the embedded-atom method // Physical Review B. – 1989. – Vol. 39. – No. 17. –
    P. 12554–12559. DOI: 10.1103/PhysRevB.39.12554
34. Analytical interatomic potential for modeling nonequilibrium processes in the W–C–H system / N. Juslin, P. Erhart,
    P. Träskelin, J. Nord, K.O.E. Henriksson, K. Nordlund, E. Salonen,
    K. Albe // Journal of Applied Physics. – 2005. – Vol. 98. – No. 12. – 123520. DOI: 10.1063/1.2149492
35. Juslin N., Wirth B.D. Interatomic potentials for simulation of He bubble formation in W// Journal of Nuclear Materials. – 2013. – Vol. 432. – No. 1–3. – P. 61–66. DOI: 10.1016/j.jnucmat.2012.07.023
36. Kellou A., Grosdidier T., Raulot J.M., Aourag H. Atomistic study of magnetism effect on structural stability in Fe3Al and Fe3AlX (X = H, B, C, N, O) alloys // Phys. Status Solidi B. – 2008. – Vol. 245. – No. 4. – P. 750–755. DOI: 10.1002/pssb.200743301
37. Kirkpatrick S., Gelatt C.D.Jr., Vecchi M.P. Optimization by simulated annealing // Science. – 1983. – Vol. 220. – No. 4598. – P. 671–680. DOI: 10.1126/science.220.4598.671
38. Klaver T.P.C., Hepburn D.J., Ackland G.J. Defect and solute properties in dilute Fe-Cr-Ni austenitic alloys from first principles // Physical Review B. – 2012. – Vol. 85. – No. 17. – 174111. DOI: 10.1103/PhysRevB.85.174111
39. Novel Type of Dislocation in an Al-Pd-Mn Quasicrystal Approximant / H. Klein, M. Feuerbacher, P. Schall, K. Urban // Phys. Rev. Letters. – 1999. – Vol. 82. – No. 17. – P. 3486–3471. DOI: 10.1103/PhysRevLett.82.3468
40. Kresse G., Furthmuller J. Efficient iterative schemes for ab initio total-energy calculations using a plane-wave basis set // Physical Review B. – 1996. – Vol. 54. – No. 16. – P. 11169–11186. DOI: 10.1103/PhysRevB.54.11169
41. Lee E., Lee B.-J. Modified embedded-atom method interatomic potential for the Fe–Al system // Journal of Physics: Condensed Matter. – 2010. – Vol. 22. – No. 17. – 175702. DOI: 10.1088/0953-8984/22/17/175702
42. Modified analytical interatomic potential for a W–H system with defects / X.-C. Li, X. Shu, Y.-N. Liu, F. Gao, G.-H. Lu // Journal of Nuclear Materials. – 2011. – Vol. 408. – No. 1. –
    P. 12–17. DOI: 10.1016/j.jnucmat.2010.10.020
43. Phase diagram of an empirical potential: The case of Fe-Cu / E.M. Lopasso, M. Caro, A. Caro, P.E.A. Turchi // Physical Review B. – 2003. – Vol. 67. – No. 21. DOI: 10.1103/PhysRevB.68.214205
44. Ab initio calculations and interatomic potentials for iron and iron alloys: Achievements within the Perfect Project /
    L. Malerba, G.J. Ackland, C.S. Becquart et al. // Journal of Nuclear Materials. – 2010. – Vol. 406. – No. 1. – P. 7–18. DOI: 10.1016/j.jnucmat.2010.05.016
45. Malinsky I., Claisse F. A high-temperature calorimeter// J. Chem. Thermodynamic. – 1973. – Vol. 5. – No. 5. – P. 615–622. DOI: 10.1016/S0021-9614(73)80002-3
46. Interatomic potentials for modelling radiation defects and dislocations in tungsten / M.-C. Marinica, L. Ventelon,
    M.R. Gilbert, L. Proville, S.L. Dudarev, J. Marian, G. Bencteux,
    F. Willaime // J. Phys.: Condens. Matter. – 2013. – Vol. 25. –
    No. 39. DOI: 10.1088/0953-8984/25/39/395502
47. Mendelev M.I., Srolovitz D.J. Determination of alloy interatomic potentials from liquid-state diffraction data // Physical Review B. – 2002. – Vol. 66. – No. 1. – 014205. DOI: 10.1103/PhysRevB.66.014205
48. Mendelev M.I., Ackland G.J. Development of an interatomic potential for the simulation of phase transformations in zirconium // Philosophical Magazine Letters. – 2007. – Vol. 87. – No. 5. – P. 349–359. DOI: 10.1080/09500830701191393
49. Mendelev M.I., Sordelet D.J., Kramer M.J. Using atomistic computer simulations to analyze x-ray diffraction data from metallic glasses // J. Appl. Phys. – 2007. – Vol. 102. – No. 4. – 043501. DOI: 10.1063/1.2769157
50. Analysis of semi-empirical interatomic potentials appropriate for simulation of crystalline and liquid Al and Cu /
    M.I. Mendelev, M.J. Kramer, C.A. Becker, M. Asta // Philosophical Magazine. – 2008. – Vol. 88. – No. 12. – P. 1723–1750. DOI: 10.1080/14786430802206482
51. Development of suitable interatomic potentials for simulation of liquid and amorphous Cu–Zr alloys / M.I. Mendelev,
    M.J. Kramer, R.T. Ott, D.J. Sordelet, D. Yagodin, P. Popel // Philosophical Magazine. – 2009. – Vol. 89. – No. 11. – P. 967–987. DOI: 10.1080/14786430902832773
52. Mishin Y., Farkas D. Atomistic simulation of point-defects and diffusion in B2 NiAl // Philosophical Magazine. – 1997. –
    Vol. 75. – No. 1. – P. 169–185. DOI: 10.1080/01418619708210289
53. Structural stability and lattice defects in copper: Ab initio, tight-binding and embedded atom method calculations /
    Y. Mishin, M.J. Mehl, D.A. Papaconstantopoulos, A.F. Voter,
    J.D. Kress // Physical Review B. – 2001. – Vol. 63. – No. 22. – 224106. DOI: 10.1103/PhysRevB.63.224106
54. Mishin Y., Mehl M.J., Papaconstantopoulos D.A. Embedded-atom potential for B2-NiAl // Physical Review B. – 2002. – Vol. 65. – No. 22. – 224114. DOI: 10.1103/PhysRevB.65.224114
55. Mishin Y., Mehl M.J., Papaconstantopoulos D.A. Phase stability in the Fe–Ni system: Investigation by first-principles calculations and atomistic simulations // Acta Materialia. – 2005. – Vol. 53. – No. 15. – P. 4029–4041. DOI: 10.1016/j.actamat.2005.05.001
56. Najafabadi R., Srolovitz D.J. Thermodynamic properties of metastable Ag-Cu alloys // Journal of Applied Physics. – 1993. – Vol. 74. – No. 5. – P. 3144–3149. DOI: 10.1063/1.354582
57. Nelder J.A., Mead R. A Simplex Method for Function Minimization // The Computer Journal. – 1965. – Vol. 7. – No. 4. –
    P. 308–313. DOI: 10.1093/comjnl/7.4.308
58. Norskov J.K., Lang N.D. Effective-medium theory of chemical binding: Application to chemisorption // Physical Review Letters. – 1980. – Vol. 21. – No. 6. – P. 2131–2136. DOI: 10.1103/PhysRevB.21.2131
59. Two-band modeling of α-prime phase formation in Fe-Cr / P. Olsson, J. Wallenius, C. Domain, K. Nordlund, L. Malerba // Physical Review B. – 2005. – Vol. 72. – No. 21. – 214119. DOI: 10.1103/PhysRevB.72.214119
60. Osetsky Y.N., Bacon D.J. An atomic-level model for studying the dynamics of edge dislocations in metals // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. – 2003. – Vol. 11. – No. 4. – P. 427–446. DOI: 10.1088/0965-0393/11/4/302
61. Thermodynamic and physical properties of FeAl and Fe3Al: an atomistic study by EAM simulation / Y. Ouyang,
    X. Tong, C. Li, H. Chen, X. Tao, T. Hickel, Y. Du // Physica B: Condensed Matter. – 2012. – Vol. 407. – No. 23. – P. 4530–4536. DOI: 10.1016/j.physb.2012.08.025
62. Perdew J.P., Burke K., Wang Y. Generalized gradient approximation for the exchange-correlation hole of a many-electron system // Physical Review B. – 1996. – Vol. 54. –
    No. 23. – P. 16533–16539. DOI: 10.1103/PhysRevB.54.16533
63. Purja Pun G.P., Mishin Y. Development of an interatomic potential for Ni-Al system // Philosophical Magazine. – 2009. – Vol. 89. – No. 34–36. – P. 3245–3267. DOI: 10.1080/14786430903258184
64. Reed R.C., Tao T., Warnken N. Alloys-By-Design: Application to nickel-based single crystal superalloys // Acta Materialia. – 2009. – Vol. 57. – No. 19. – P. 5898–5913. DOI: 10.1016/j.actamat.2009.08.018
65. Universal features of the equation of state of metals /
    J.H. Rose, J.R. Smith, F. Guinea, J. Ferrante // Physical Review B. – 1984. – Vol. 29. – No. 6. – P. 2963–2969. DOI: 10.1103/PhysRevB.29.2963
66. Embedded atom method potentials for Al-Pd-Mn
    phases / D. Schopf, P. Brommer, B. Frigan, H.-R. Trebin // Physical Review B. – 2012. – Vol. 85. – No. 5. – 054201. DOI: 10.1103/PhysRevB.85.054201
67. Scott M.J., Zaremba E. Quasiatoms: An approach to atoms in nonuniform electronic systems // Physical Review B. – 1980. – Vol. 22. – No. 4. – P. 1564–1583. DOI: 10.1103/PhysRevB.22.1564
68. Smirnova D.E., Starikov S.V., Stegailov V.V Corrigendum: Interatomic potential for uranium in a wide range of pressures and temperatures // J. Phys.: Condens. Matter. – 2012. –
    Vol. 42. – No. 14. – 015702. DOI: 10.1088/0953-8984/24/14/149501
69. A ternary EAM interatomic potential for U–Mo alloys with xenon / D.E. Smirnova, A.Y. Kuksin, S.V. Starikov, V.V. Stegailov, Z. Insepov, J. Rest, A.M. Yacout // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. – 2013. – Vol. 21. – No. 3. – 035011. DOI: 10.1088/0965-0393/21/3/035011
70. Starikov S.V., Insepov Z., Rest J. Radiation-induced damage and evolution of defects in Mo // Physical Review B. – 2011. – Vol. 84. – No. 10. – 104109. DOI: 10.1103/PhysRevB.84.104109
71. Thomas L.H. The calculation of atomic fields// Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. – 1927. – Vol. 23. – No. 5. – P. 542–548. DOI: 10.1017/S0305004100011683
72. Enthalpies of formation of liquid and amorphous Cu-Zr alloys / A.A. Turchanin, I.A. Tomilin, M.A. Turchanin,
    I.V. Belokonenko, P.G. Agraval // Journal of non-Crystalline Solids. – 1999. – Vol. 250–252. – P. 582–585. DOI: 10.1016/S0022-3093(99)00136-2
73. Voter A.F., Chen S.P. Accurate Interatomic Potentials for Ni, Al and Ni3Al // MRS Proceedings. – 1986. – Vol. 82. – P. 175–180. DOI: 10.1557/PROC-82-175
74. Rapid Production of Accurate Embedded-Atom Method Potentials for Metal Alloys / L. Ward, A. Agrawal, K.M. Flores, W. Windl // arXiv.org. – 2012.
75. Dissolutive wetting of Ag on Cu: A molecular dynamics simulation study / E.B. Webb, G.S. Grest, D.R. Heine, J.J. Hoyt // Acta Materialia. – 2005. – Vol. 53. – No. 11. – P. 3163–3177. DOI: 10.1016/j.actamat.2005.03.021
76. Williams P.L., Mishin Y., Hamilton J.C. An embedded-atom potential for the Cu–Ag system // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. – 2006. – Vol. 14. – No. 5. – P. 817–833. DOI: 10.1088/0965-0393/14/5/002
77. Yan M., Vitek V., Chen S.P. Many-body central force potentials and properties of grain boundaries in NiAl // Acta Materialia. – 1996. – Vol. 44. – No. 11. – P. 4351–4365. DOI: 10.1016/1359-6454(96)00117-6
78. Young W.M., Elcock E.W. Monte Carlo studies of vacancy migration in binary ordered alloys: I // Proceedings of the Physical Society. – 1966. – Vol. 89. – No. 3. – P. 735–746. DOI: 10.1088/0370-1328/89/3/329
79. Zhou X.W., Johnson R.A., Wadley H.N.G. Misfit-energy-increasing dislocations in vapor-deposited CoFe/NiFe multilayers // Physical Review B. – 2004. – Vol. 69. – No. 14. DOI: 10.1103/PhysRevB.69.144113

Сформулирована начально-краевая задача упругопластического деформирования гибких волокнистых цилиндрических круговых оболочек. Перекрестное армирование осуществляется по эквидистантным поверхностям. Механическое поведение материалов фаз композиции описывается уравнениями теории течения с изотропным упрочнением. Геометрическая нелинейность рассматривается в приближении Кармана. Учитывается ослабленное сопротивление волокнистых оболочек поперечным сдвигам. Получены система разрешающих уравнений и соответствующие ей граничные и начальные условия, которые позволяют с разной степенью точности определять напряженно-деформированное состояние в компонентах композиции гибких цилиндрических оболочек. Из полученных уравнений, граничных и начальных условий в первом приближении вытекают соотношения традиционной неклассической теории Редди. Решение поставленной начально-краевой задачи строится на основе явной численной схемы «крест». Исследованы особенности неупругого динамического и квазистатического деформирования очень коротких, коротких и длинных волокнистых цилиндрических оболочек разной относительной толщины при разных структурах армирования. Обнаружено, что при динамическом нагружении таких конструкций внутренним давлением теория Редди может приводить к неприемлемым результатам. Различие в расчетах по теории Редди и уточненным теориям возрастает с увеличением рассматриваемого интервала времени. Продемонстрировано, что при проведении динамических расчетов очень тонких цилиндрических армированных оболочек необходимо учитывать изменение их метрики по толщине конструкции. Показано, что в силу геометрической и физической нелинейности сформулированной задачи максимальные прогибы в тонких оболочках могут возникнуть после нескольких десятков осцилляций волокнистой конструкции, а не только окрестности начального момента времени, когда цилиндрическая оболочка подвергается кратковременному, но интенсивному динамическому нагружению.

Ключевые слова: цилиндрические оболочки, армированные конструкции, геометрическая нелинейность в приближении Кармана, упругопластическое деформировани, теория Редди, уточненные теории деформирования оболочек, динамическое и квазистатическое нагружение, численная схема «крест».

Янковский Андрей Петрович – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: lab4nemir@rambler.ru, yankovsky_ap@rambler.ru

1. Богданович А.Е. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек. – Рига: Зинатне, 1987. – 295 с.
2. Прикладные задачи механики цилиндрических оболочек / Ю.С. Соломонов, В.П. Георгиевский, А.Я. Недбай,
   В.А. Андрюшин. – М.: Физматлит, 2014. – 408 с.
3. Gill S.K., Gupta M., Satsangi P. Prediction of cutting forces in machining of unidirectional glass-fiber-reinforced plastic composites // Frontiers of Mechanical Eng. – 2013. – Vol. 8. –
   No. 2. – P. 187–200.
4. Gibson R.F. Principles of composite material mechanics / 3^rd ed. – Boca Raton: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2012.
5. Review of advanced composite structures for naval ships and submarines / Mouritz A.P., Gellert E., Burchill P., Challis K. // Compos. Struct. – 2001. – Vol. 53. – No. 1. – P. 21–42.
6. Bannister M. Challenger for composites into the next millennium – a reinforcement perspective // Composites. – 2001. – Part A 32. – P. 901–910.
7. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. – Киев: Наук. думка, 1973. – 228 с.
8. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. – М.: Наука, 1974. – 446 с.
9. Абросимов Н.А., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2002. – 400 с.
10. Reddy J.N. Mechanics of laminated composite plates and shells: Theory and analysis / 2^nd ed. – Boca Raton: CRC Press, 2004.
11. Reissner E. On transverse vibrations of thin shallow elastic shells // Quarterly of Applied Mathematics. – 1955. – Vol. 13. – No. 2. – P. 169–176.
12. Mindlin R.D., Bleich H.H. Response of an elastic cylindrical shells to a transverse step shock wave // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. – 1953. – Vol. 20. – No. 2. – P. 189–195.
13. Whitney J., Sun C. A higher order theory for extensional motion of laminated composites // J. of Sound and Vibration. – 1973. – Vol. 30. – No. 1. – P. 85–97.
14. Lo K.H., Christensen R.M., Wu E.M. A higher-order theory of plate deformation. Part 2: Laminated plates // Trans. ASME, J. Appl. Mech. – 1977. – Vol. 44. – P. 669–676.
15. Muc A., Muc-Wierzgoń M. An evolution strategy in structural optimization problems for plates and shells // Compos. Struct. – 2012. – Vol. 94. – No. 4. – P. 1461–1470.
16. Баженов В.А., Кривенко О.П., Соловей Н.А. Нелинейное деформирование и устойчивость упругих оболочек неоднородной структуры: Модели, методы, алгоритмы, малоизученные и новые задачи. – М.: ЛИБРОКОМ, 2012. – 336 с.
17. Андреев А. Упругость и термоупругость слоистых композитных оболочек. Математическая модель и некоторые аспекты численного анализа. – Saarbrucken (Deutschland): Palmarium Academic Publishing, 2013. – 93 c.
18. Шкутин Л.И. Нелинейные деформации и катастрофы тонких тел. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2014. – 139 с.
19. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость и колебания. – Новосибирск: Наука, 2001. – 287 с.
20. Куликов Г.М. Термоупругость гибких многослойных анизотропных оболочек // Изв. РАН. МТТ. – 1994. – № 2. –
    С. 33–42.
21. Пикуль В.В. Механика оболочек. – Владивосток: Дальнаука, 2009. – 536 с.
22. Янковский А.П. Уточненная модель упругопластического изгибного деформирования гибких армированных пологих оболочек, построенная на основе явной схемы типа «крест» // Вычислительная механика сплошных сред. – 2017. – Т. 10, № 3. – С. 276–292.
23. Композиционные материалы: справ. / под ред.Д.М. Карпиноса. – Киев: Наук. думка, 1985. – 592 с.
24. Справочник по композитным материалам: в 2 кн. Кн. 1 / под ред. Дж. Любина; пер. с англ. А.Б. Геллера, М.М. Гельмонта; под ред. Б.Э. Геллера. – М.: Машиностроение, 1988. – 448 с.
25. Maćko W., Kowalewski Z.L. Mechanical properties of A359/SiCp metal matrix composites at wide range of strain rates // Appl. Mech. Mater. – 2011. – Vol. 82. – P. 166–171.
26. Янковский А.П. Моделирование динамики армированных пологих оболочек из нелинейно-упругих материалов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2017. – № 2. – С. 226–245.
27. Янковский А.П. Применение явного по времени метода центральных разностей для численного моделирования динамического поведения упругопластических гибких армированных пластин // Вычислительная механика сплошных сред. – 2016. – Т. 9, № 3. – С. 279–297.
28. Houlston R., DesRochers C.G. Nonlinear structural response of ship panels subjected to air blast loading // Computers & Structures. – 1987. – Vol. 26. – No. 1/2. – P. 1–15.
29. Zeinkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. – Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. – 707 p.
30. Librescu L., Oh S.-Y., Hohe J. Linear and non-linear dynamic response of sandwich panels to blast loading // Composites. – 2004. – Part B 35. – P. 673–683.
31. Kazanci Z. Dynamic response of composite sandwich plates subjected to time-dependent pressure pulses // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2011. – Vol. 46. – P. 807–817.
32. Новожилов В.В. Теория упругости. – Л.: Судпромгиз, 1958. – 371 с.
33. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. – М.: Наука, 1986. – 232 с.
34. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1981. – 798 с.

На основе метода структурного моделирования и гипотезы Больцмана-Вольтерры о наследственно упругом деформируемом твердом теле рассмотрены линейные и нелинейные дробные аналоги классических реологических моделей: Ньютона (так называемая модель Скотт Блэра), Фойхта, Максвелла, Кельвина и Зенера с использованием аппарата дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля.

Выделены классы нелинейных математических моделей, для которых решение задачи ползучести удается получить в явном виде в терминах известных специальных функций. Разработана методика идентификации параметров предложенных математических моделей на основе экспериментальных данных по одноосному растяжению образцов при различных постоянных уровнях нагрузки. При наличии явных решений задачи ползучести параметры математических моделей определяются из решения задачи аппроксимации экспериментальных значений деформации методом наименьших квадратов с последующим уточнением методом координатного спуска. Для нелинейных математических моделей вязкоупругого деформирования, не позволяющих найти решение задачи ползучести в явном виде, разработана методика определения параметров модели на основе метода координатного спуска с обращением на каждом шаге к численному решению определяющего интегрального уравнения.

Методика идентификации параметров моделей с операторами дробного интегро-дифференцирования реализована на примере ползучести поливинилхлоридного пластиката. Приводятся значения параметров для всех исследуемых моделей, выполнена проверка их адекватности экспериментальным данным, анализируются погрешности отклонения расчетных данных от опытных значений. В качестве примера выполнен сравнительный анализ относительной погрешности аппроксимации экспериментальных кривых ползучести и теоретических значений деформации в рамках линейного, нелинейного интегрируемого и нелинейного неинтегрируемого дробных аналогов модели Кельвина.

Обсуждаются вопросы целесообразности использования моделей вязкоупругого деформирования с операторами дробного интегро-дифференцирования на основе сопоставления расчетов по рассмотренным моделям с данными расчетов по моделям вязкоупругости с целочисленными операторами интегро-дифференцирования.

Ключевые слова: наследственно-упругое тело, нелинейность, структурные модели, операторы дробного интегро-дифференцирования, реологические модели, идентификация, интегральные уравнения, численные методы, экспериментальные данные, поливинилхлоридный пластикат.

Огородников Евгений Николаевич – кандидат физико-математиических наук, доцент, e-mail: eugen.ogo@gmail.com

Радченко Владимир Павлович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: radch@samgtu.ru

Унгарова Луиза Гадильевна – ассистент, e-mail: algluiza@gmail.com

1. Огородников Е.Н., Радченко В.П., Унгарова Л.Г. Математическое моделирование наследственно-упругого деформируемого тела на основе структурных моделей и аппарата дробного интегро-дифференцирования Римана–Лиувилля // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, – 2016. –
   № 1(20). – С. 167–194. DOI: 10.14498/vsgtu1456
2. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies. Vol. 204. – Amsterdam: Elsevier, 2006. – 523 p.
3. Унгарова Л.Г. Применение линейных дробных аналогов реологических моделей в задаче аппроксимации экспериментальных данных по растяжению поливинилхлоридного пластиката // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2016. – № 4(20). – С. 691–706. DOI:10.14498/vsgtu1523
4. Радченко В.П., Голудин Е.П. Феноменологическая стохастическая модель изотермической ползучести поливинилхлоридного пластиката // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2008. – № 1(16). – С. 45–52. DOI: 10.14498/vsgtu571
5. Огородников Е.Н., Унгарова Л.Г. Аналитические решения задачи о ползучести и иден­тификация параметров нелинейных математических моделей наследственно-упругого тела // Тр. Х Всерос. науч. конф. по механике деформиру­емого твердого тела. – Самара: Изд-во СамГТУ, 2017. – С. 120–123.
6. Volterra V. Sulle equazioni integro-differeziali della teoria dell'elascita // Rend. Acс. Naz. Lincei. – 1909. – Vol. 5. – P. 295–301.
7. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных
   и интегро-дифференциальных уравнений / пер. с англ.
   П.Н. Кузнецова. – М.: Наука, 1982. – С. 304.
8. Boltzmann L. Theorie der elastischen Nachwirkung (Theory of elastic after effects) // Wien. Ber. – 1874. – Vol. 70. – P. 275–306; Boltzman L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkung (On the elastic after effect) // Pogg. Ann. (2). – 1878. – Vol. 5. – P. 430–432; Boltzman L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkung / Wissenschaftliche Abhandlungen. vol. 2 / Cambridge Library Collection, ed. F. Hasenӧhrl. – Cambridge: Cambridge University Press. – 2012. – P. 318–320. DOI: 10.1017/CBO9781139381437.015
9. Работнов Ю.Н. Равновесие упругой среды с последействием // ПММ. 1948. – Т. 12, № 1. – С. 53–62.
10. Duffing G. Elastizität und Reibung beim Riementrieb (Elasticity and friction of the belt drive) // Forschung auf dem Gebiet des Ingenieurwesens A. – 1931. – Vol. 2. – No. 3. –
    P. 99–104. DOI: 10.1007/BF02578795
11. Gemant A. A Method of Analyzing Experimental Results Obtained from Elasto-Viscous Bodies // J. Appl. Phys. – 1936. – P. 311–317. DOI: 10.1063/1.1745400
12. Gemant A. On fractional differentials // Philos. Mag. VII. Ser. – 1938. – Vol. 25. – P. 540–549.
13. Бронский А.П. Явление последействия в твёрдом теле // ПММ. – 1941. – Т. 5, № 1. – С. 31–56.
14. Слонимский Г.Л. О законах деформации реальных материалов // ЖТФ. – 1939. – Т. 9, № 20. – С. 1791–1799.
15. Герасимов А.Н. Обобщение лилейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // ПММ. – 1948. – Т. 12, № 3. – С. 251–260.
16. Булгаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. – 288 c.
17. Podlubny I. Fractional Differential Equations. An introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications // Mathematics in Science and Engineering. Vol. 198. – San Diego: Academic Press, 1999. – 340 p.
18. Учайкин В.В. Метод дробных производных. – Ульяновск: Артишок, 2008. – 512 с.
19. Mainandi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. – London: Imperial College Press, 2010. – 347 p. DOI: 10.1142/9781848163300
20. Caputo M., Mainardi F. A new dissipation model based on memory mechanism // Pure and Applied Geophysics. – 1971. – Vol. 91. – No. 1. – P. 134–147. DOI: 10.1007/bf00879562
21. Caputo M., Mainardi F. Linear models of dissipation in anelastic solids // La Rivista del Nuovo Cimento. – 1971. –
    P. 161–198. DOI: 10.1007/bf02820620
22. Bagley R.L., Torvik P.J. A theoretical basis for the Application of Fractional Calculus to Viscoelasticity // J. Rheol. – 1983. – Vol. 27. – No. 3. – P. 201–210. DOI: 10.1122/1.549724
23. Bagley R.L., Torvik P.J. Fractional Calculus – A Different Approach to the Analysis of Viscoelastically Damped Structures // AIAA. 1983. – Vol. 21. – No. 5. – P. 741–748. DOI: 10.2514/3.8142
24. Schmidt A., Gaul L. Parameter Identification and FE Implementation of a Viscoelastic Con-stitutive Equation
    Using Fractional Derivatives // Proc. Appl. Math. Mech. –
    2002. – Vol. 1(1). – P. 153–154. DOI: 10.1002/1617-7061(200203)1:1<153::AID-PAMM153>3.0.CO;2-J
25. Lewandowski R., Chorążyczewski B. Identification of the parameters of the Kelvin Voigt and the Maxwell fractional models, used to modeling of viscoelastic dampers // Computers and Structures. – 2009. – Vol. 88. – No. 1-2. – P. 1–17. DOI: 10.1016/j.compstruc.2009.09.001
26. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твёрдых тел. – М.: Наука, 1977. – 384 c.
27. Определение харак­теристик ползучести линейных упруго-наследственных материалов с использованием ЭЦВМ / Е.Н. Звонов, Н.И. Малинин, Л.X. Паперник, Б.М. Цейтлин // Изв. АН СССР. МТТ. – 1968. – № 5. – С. 76–85.
28. Vasques С.М.A., Dias Rodrigues J., Moreira R.A.S. Experimental identification of GHM and ADF parameters for viscoelastic damping modeling // III European Conference on Computational Mechanics. – Springer, 2006. – P. 76–95. DOI: 10.1007/1-4020-5370-3_173
29. Параметрическая идентификация математической модели вязкоупругих материалов с использованием производных дробного порядка / С.В. Ерохин, Т.С. Алероев,
    Л.Ю. Фриштер, А.В. Колесниченко // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. – 2015. – Т. 11,
    № 3. – С. 82–86.
30. Огородников Е.Н., Яшагин Н.С. Некоторые специальные функции в решении задачи Коши для одного дробного осцилляционного уравнения // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2009. – № 1(18). – С. 276–279. DOI: 10.14498/vsgtu685
31. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплекс­ной области. – М.: Наука, 1966. – 672 с.
32. Hooke R., Jeeves Т.A. “Direct Search” Solution of Numerical and Statistical Problems // Journal of the ACM (JACM). – 1961. – P. 212–229. DOI: 10.1145/321062.321069
33. Barrett J.H. Differential equations of non-integer order // Canad. J. Math. – 1954. – Vol. 6. – P. 529–541. DOI: 10.4153/cjm-1954-058-2
34. Огородников E.H., Радченко В.П., Яшагин Н.С. Реологические модели вязкоупруго­го тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2011. – № 1(22). –
    С. 255–268. DOI: 10.14498/vsgtu932.
35. Манжиров А.В., Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям: методы решения. – М.: Факториал Пресс, 2000. – 384 с.
36. Яшагин Н.С. Математическое моделирование и исследование осцилляционных явле­ний в системах с памятью на основе аппарата дробного интегро-дифференцирования: дис. … канд. физ.-мат. наук. – Самара, 2011. – 186 с.
37. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 1966. – 752 с.
38. Самарин Ю.П. Уравнения состояния материалов со сложными реологическими свойствами. – Куйбышев: Куйб. гос. ун-та, 1979. – 84 с.
39. Самарин Ю.П. Построение экспоненциальных аппроксимаций для кривых ползучести методом последовательного выделения экспоненциальных слагаемых // Проблемы прочности. – 1974. – № 9. – С. 24–27.