Аннотация:

Сведения об авторах:

Аристов Сергей Николаевич (Пермь, Россия) – доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института механики сплошных сред УрО РАН (614013 Россия, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1, e-mail: asn@icmm.ru).

Князев Денис Вячеславович (Пермь, Россия) – кандидат физико-математических наук, научный сотрудник ИМСС УрО РАН (614013, Россия, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1, e-mail: dvk@icmm.ru).

Список литературы:

Библиографический список

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. – М.: Наука, 1972. – 392 с.

2. Богатырев Г.П. Возбуждение циклонического вихря или лабораторная модель тропического циклона // Письма в ЖЭТФ. – 1990. – Т. 51. – Вып. 11. – С. 557–559.

3. Гольдштик М.А., Штерн В.Н., Яворский Н.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. – Новосибирск: Наука, 1989. – 336 с.

4. Prager S. Spiral flow in a stationary porous pipe // Phys. Fluids – 1964. – Vol. 7. – P. 907–908.

5. Аристов С.Н. Стационарный цилиндрический вихрь в вязкой жидкости // Докл. АН. – 2001. – Т. 377, № 4. – С. 477–480.

6. Бурдэ Г.И. О движении жидкости вблизи растягивающегося кругового цилиндра // Прикл. математика и мех. – 1989. – Т. 53. – Вып. 4. – С. 343–345.

7. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Adv. Appl. Mech. – 1948. – No. 1. – P. 171–199.

8. Sullivan R.D. A two-cell solution of the Navier-Stokes equations // J. Aero/Space Sci. – 1959. – Vol. 26. – P. 767–768.

9. Rott N. On the viscous core of a line vortex // ZAMP. – 1958. – Vol. 9b. – P. 543–553.

10. Bellamy-Knights P.G. An unsteady two-cell vortex solution of the Navier-Stokes equations // J. Fluid Mech. – 1970. – Vol. 41. – Part 3. – P. 673–687.

11. Huang S.-L., Chen H.-S., Chu C.-C., Chang C.-C. On the transition process of a swirling vortex generated in a rotating thank // Exp. Fluids. – 2008. – Vol. 45. – P. 267–282.

Аннотация:

 

Рассматривается пространственная задача о равновесном состоянии мягкой сетчатой оболочки при наличии внешней точечной нагрузки, сосредоточенной в некоторой точке. Под сетчатой понимается оболочка, силовой основой которой является сетка, образованная двумя семействами взаимно перекрещивающихся, абсолютно гибких, упругих нитей. Предполагается, что функции, описывающие физические соотношения в нитях, являются непрерывными, неубывающими и имеют линейный рост на бесконечности. Обобщенная задача сформулирована в виде операторного уравнения в пространстве Соболева. Доказано, что множество решений обобщенной задачи не пусто, выпукло и замкнуто. Построены конечномерные аппроксимации задачи, исследована их сходимость. Для решения задачи использован двухслойный итерационный метод. Данный метод был реализован численно. Проведенные для модельных задач численные эксперименты подтвердили эффективность итерационного метода.

Ключевые слова: математическое моделирование, мягкая сетчатая оболочка, точечная нагрузка, конечномерные аппроксимации, двухслойный итерационный метод.

Сведения об авторах:

Бадриев Ильдар Бурханович (Казань, Россия) – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета (420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, e-mail: ildar.badriev@ksu.ru).

Бандеров Виктор Викторович (Казань, Россия) – кандидат физико-математических наук, заместитель директора по научной и инновационной деятельности Института вычислительной математики и информационных технологий Казанского (Приволжского) феде­рального университета (420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, e-mail: Victor.banderov@ksu.ru).

Задворнов Олег Анатольевич (Казань, Россия) – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной математики Казанского (Приволжского) феде­рального университета (420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, e-mail: Oleg.Zadvornov@ksu.ru).

Список литературы:

1. Исследование парашютов и дельтапланов на ЭВМ / С.М. Белоцерковский, М.И. Ништ, А.Т. Пономарев, О.В. Рысев; под ред. С.М. Белоцерковского. – М.: Машиностроение, 1987. – 260 с.

2. Гимадиев Р.Ш. Динамика мягких оболочек парашютного типа / Казан. гос. энерг. ун-т. – Казань, 2006. – 208 c.

3. Исследование процессов нагружения и деформирования парашютов / И.В. Днепров, А.Т. Пономарев, О.В. Рысев, С.А. Семушин // Математическое моделирование. – 1993. – Т. 5, № 3. – C. 97–109.

4. Ермолов В.В. Воздухоопорные здания и сооружения. – М.: Стройиздат, 1980. – 304 с.

5. Магула В.Э. Судовые эластичные конструкции. – Л.: Судостроение, 1978. – 263 c.

6. Судовые мягкие емкости / В.Э. Магула, Б.И. Друзь, В.Д. Кулагин, Е.П. Милославская, М.В. Новоселов. – Л.: Судостроение, 1966. – 287 с.

7. Миткевич А.Б., Пономарев В.П., Никитин О.Д. Разработка и экспериментальная проверка критериев моделирования напряженно-деформированного состояния эластичных резервуаров подушечного типа для хранения горючего // Вопросы оборонной техники. – 2006. – № 3/4. – С. 16–22.

8. Мифтахов Р.Н. Исследование ткани желудка человека при одноосном растяжении // Гидроупругость оболочек: тр. семинара. Вып. 16. – Казань: Изд-во Казан. физ.-техн. ин-та, 1983. – С. 163–171.

9. Отто Ф., Тростель Р. Пневматические строительные конструкции. – М.: Стройиздат, 1967. – 320 с.

10. Полякова Е.В., Товстик П.Е., Филиппов С.Б. Осесимметричная деформация мягкой армированной нитями тороидальной оболочки // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. – 2011. – Вып. 3. – С. 131–142.

11. Осесимметричная деформация торообразной оболочки из нитей под действием внутреннего давления / Е.В. Полякова, П.Е. Товстик, С.Б. Филиппов, В.А. Чайкин // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. – 2009. – Вып. 4. – С. 98–113.

12. Полякова Е.В., Чайкин В.А. Прикладные задачи механики мягких оболочек и тканей. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. гос. ун-та технологии и дизайна, 2006. – 193 с.

13. Edward W. A general theory of parachute opening // J. Aircraft. – 1972. – Vol. 9. – No. 4. – P. 257–258.

14. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Исследование разрешимости стационарных задач для сетчатых оболочек // Изв. вузов. Математика. – 1992. – № 1. – С. 3–7.

15. Задворнов О.А. Постановка и исследование стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием // Изв. вузов. Математика. – 2003. – № 1. – С. 45–52.

16. Бадриев И.Б., Бандеров В.В., Задворнов О.А. Постановка и чис­ленное исследование осесимметричной задачи о равновесии мягкой оболочки вращения // Исследования по прикладной математике и инфор­ма­тике. – Казань: Изд-во Казан. гос. ун-та, 2004. – Вып. 25. – С. 11–33.

17. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Исследование разрешимости осесимметричной задачи об определении положения равновесия мягкой оболочки вращения // Изв. вузов. Математика. – 2005. – № 1. – С. 25–30.

18. Бадриев И.Б., Бандеров В.В., Задворнов О.А. Итерационные методы решения осесимметричных задач о равновесии мягких сетчатых оболочек вращения // Труды Средневолжского математического общества. – 2007. – Т. 9, № 2. – С. 14–18.

19. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 588 с.

20. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1978. – 336 с.

21. Задворнов О.А. Исследование нелинейной стационарной задачи фильтрации при наличии точечного источника // Изв. вузов. Математика. – 2005. – № 1. – С. 58–63.

22. Задворнов О.А. Существование решения квазилинейной эллиптической краевой задачи при наличии точечных источников // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физико-математические науки. – 2010. – Т. 152. – Кн. 1. – С. 155–163.

23. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. О сходимости итерационного процесса в банаховом пространстве // Исследования по прикладной математике. – Казань: Изд-во Казан. гос. ун-та, 1990. – Вып. 17. – С. 3–15.

24. Ридель В.В., Гулин Б.В. Динамика мягких оболочек – М.: Наука, 1990. – 206 с.

25. Бидерман В.Л., Бухин Б.Л. Уравнения равновесия безмоментной сетчатой оболочки // Инженерный журнал. Механика твердого тела. – 1966. – № 1. – С. 84–89.

26. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1967. – 348 с.

27. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Изв. вузов. Математика. – 1975. – № 6. – С. 73–81.

28. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.: Мир, 1980. – 512 с.

29. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. – М.: Мир, 1981. – 408 с.

30. Гловински Р.Г., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. – М.: Мир, 1979. – 576 с.

31. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. – М.: Наука, 1989. – 400 с.

32. Zhu D. New classes of generalized monotonicity // Journal of Optimazation Theory and Applications. – 1995. – Vol. 87. – No. 2. – P. 457–471.

Аннотация:

Рассматривается установившийся процесс фильтрации несжимаемой высоковязкой жидкости, следующей многозначному закону фильтрации. Обобщенная постановка данной задачи формулируется в виде смешанного вариационного неравенства с монотонным оператором и сепарабельным, вообще говоря, недифференцируемым функционалом в гильбертовом пространстве. К данной задаче сводится задача об определении границ предельно равновесных целиков остаточной вязкопластической нефти. Установлены свойства оператора, входящего в это неравенство (обратная сильная монотонность, коэрцитивность), а также свойства функционала (липшиц-непрерывность и выпуклость). Это дало возможность применить для доказательства теоремы существования известные результаты теории монотонных операторов. Для решения вариационного неравенства предложен итерационный метод, не требующий обращения исходного оператора. Каждый шаг итерационного процесса сводится фактически к решению краевых задач для оператора Лапласа. Исследование сходимости итерационного процесса удалось провести благодаря сведению его к методу последовательных приближений для отыскания неподвижной точки некоторого оператора (оператора перехода). Получена связь решения исходного вариационного неравенства с компонентами неподвижной точки этого оператора перехода. Доказано, что оператор перехода является нерастягивающим, сверх того, получено неравенство, более сильное, чем неравенство нерастягиваемости. Установлено также, что оператор перехода является асимптотически регулярным. Это и позволило доказать слабую сходимость последовательных приближений. Проведено исследование сходимости итерационного процесса. Метод был реализован численно. Проведенные для модельных задач численные эксперименты подтвердили эффективность итерационного метода. Следует отметить, что предложенные методы позволяют находить приближенные значения не только самого решения, но и его характеристик, для задач фильтрации – это приближенные значения градиента решения, а также приближенные значения скоростей фильтрации на множествах, соответствующих точкам многозначности в законе фильтрации, что весьма полезно с практической точки зрения.

Ключевые слова: математическое моделирование, установившаяся фильтрация, вариационное неравенство, недифференцируемый функционал, обратно сильно монотонный оператор, итерационный метод.

Сведения об авторах:

Бадриев Ильдар Бурханович (Казань, Россия) – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета (420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, e-mail: ildar.badriev@ksu.ru).

Нечаева Людмила Анатольевна (Казань, Россия) – научный сотрудник Института информатики Академии наук Республики Татарстан (420111, г. Казань, ул. Лево-Булачная, д. 36А, e-mail: nechaeva.ludmila64@mail.ru).

Список литературы:

1. О расчете предельно равновесных целиков при вытеснении вязкопластической нефти из слоисто-неоднородного пласта / В.М. Ентов, Т.А. Малахова, В.Н. Панков, С.В. Панько // Прикладная математика и механика. – 1980. – Т. 44, № 1. – C. 113–123.

2. Ентов В.М., Панков В.Н., Панько С.В. К расчету целиков остаточной вязкопластической нефти // Прикладная математика и механика. – 1980. – Т. 44, № 5. – C. 847–856.

3. Ентов В.М., Панков В.Н., Панько С.В. Математическая теория целиков остаточной вязкопластичной нефти. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 1989. – 196 с.

4. Ентов В.М., Панько С.В. К вариационной формулировке задачи о целиках остаточной нефти // Прикладная математика и механика. – 1984. – Т. 48, № 6. – C. 966–972.

5. Лапин А.В. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1979. – Т. 19, № 3. – С. 689–700.

6. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. Разностные методы решения нелинейных задач теории фильтрации // Изв. вузов. Математика. – 1983. – № 7. – С. 28–45.

7. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. – М.: Наука, 1989. – 400 с.

8. Badriev I.B., Zadvornov O.A. A Decomposition Method for Variational Inequalities of the Second Kind with Strongly Inverse-Monotone Operators // Differential Equations. – 2003. – Vol. 39. – No. 7. – P. 936–944.

9. Badriev I. B., Zadvornov O. A. Analysis of the Stationary Filtration Problem with a Multi-valued Law in the Presence of a Point Source // Differential Equations. – 2005. – Vol. 41. – No. 7. – P. 915–922

10. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 588 с.

11. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. – М.: Гостехиздат, 1956. – 344 с.

12. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. – М.: Мир, 1979. – 400 c.

13. Карчевский М.М., Бадриев И.Б. Нелинейные задачи теории фильтрации с разрывными монотонными операторами // Численные методы механики сплошной среды. – Новосибирск: Изд-во ин-та теорет. и прикл. мех. СО АН СССР. – 1979. – Т. 10, № 5. – С. 63–78.

14. Tzeng P. Futher Applications of a Splitting Algorithm to Decomposition in Variational Inequalities and Convex Programming// Mathematical Programming. – 1990. – Vol. 48. – P. 249–264.

15. Zhu D., Marcotte P. New classes of generalized monotonicity // Journal of Optimization Theory and Applications. – 1995. – Vol. 87. – No. 2. – P. 457–471.

16. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Изв. вузов. Математика. – 1975. – № 6. – С. 73–81.

17. Résolution numériques de problèmes aux limites par des méthodes de Lagrangien augmenté / Ed. M. Fortin, R. Glowinski. – Paris: Dunod, 1983. – 320 p.

18. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Итерационные методы решения вариационных неравенств в гильбертовых пространствах. – Казань: Изд-во Казан. гос. ун-та, 2007. – 152 с.

19. Browder F.E., Petryshin W.V. The solution by iteration of nonlinear functional equations in Banach spaces // Bulletin of the American Mathematical Society. – 1966. – Vol. 72. – P. 571–575

20. Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings // Bulletin of the American Mathematical Society. – 1967. – Vol. 73. – No. 4. – P. 591–597.

21. Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Исмагилов Л.Н. Применение метода декомпозиции для численного решения некоторых нелинейных стационарных задач теории фильтрации // Исследования по прикладной математике и информатике. – Казань: Изд-во Казан. гос. ун-та. – 2003. – Вып. 24. – С. 12–24.

Аннотация:

Сведения об авторах:

Беляев Юрий Николаевич (Сыктывкар, Россия) – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического моделирования и кибернетики Сыктывкарского государственного университета (167001, г. Сыктывкар, Октябрьский пр., 55, e-mail: ybelyayev@mail.ru).

Список литературы:

1. Горелик Г.С. Колебания и волны. – М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1950. – 551 с.

2. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. – М.: Изд-во АН СССР, 1957. – 503 с.

3. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. – М.: Наука, 1967. – 684 с.

4. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. – М.: Наука, 1989. – 416 с.

5. Фейнберг Е.Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. – М.: Наука, 1999. – 496 с.

6. Bullen K.E. An introduction to the theory of seismology. – Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1963. – 381 p.

7. Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press F. Elastic waves in layered media. – New York: McGraw–Hill Book Company. 1957. – 380 p.

8. Mead D.J. A general theory of harmonic wave propagation in linear periodic systems with multiple coupling // J. Sound Vibr. – 1973. – Vol. 27. – P. 235–260.

 

 

9. Сибиряков Б.П., Максимов Л.А. Татарников М.А. Анизотропия и дисперсия упругих волн в слоистых периодических структурах. – Новосибирск: Наука, 1980. – 72 с.

10. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. – Киев: Наукова думка, 1981. – 200 с.

11. Meyers M.A., Mishra A., Benson D.J. Mechanical properties of nanocrystalline materials // Progress in Materials Science. – 2006. – Vol. 51. – P. 427–556.

12. Лаптева Т.В., Тарасенко О.С., Тарасенко С.В. Эффекты магнитоупругого взаимодействия при распространении сдвиговой волны в одномерном магнитном акустически гиротропном фононном кристалле // ФТТ. – 2007. – Т. 49. – Вып. 7. – С. 1210–1216.

13. Стретт Дж.В. (Лорд Рэлей). Теория звука. T. II. – М.: Гостехтеоретиздат, 1955. – 476 с.

14. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. – М.: Наука, 1979. – 383 с.

15. Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. – Л.: Наука, 1984. – 201 с.

16. Abelés F. Recherehes sur la propagation des ondes electromagnetiques sinusoidals dans les milieux stratifiées. Application aux conches minces // Ann. Phys. – 1950. – Vol. 5. – P. 596–640, 706–782.

17. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. – М.: Наука, 1970. – 856 с.

18. Berning P.H. Theory and calculations of optical thin films // Physics of thin films. Vol. 1. / Ed. G. Hass. – San Diego: Academic, 1963. – Pp. 69 –132.

19. Telen A. Design of multilayer interference filters // Physics of thin films. Vol. 5. / Ed. G. Hass, R.E. Thun. – San Diego: Academic, 1969. – Pp. 47 – 86.

20. Jacobson R. Inhomogeneous and coevaporated homogeneous films for optical applications // Physics of thin films. Vol. 8 / Ed. G. Hass, M.Y. Francombe, R.W. Hoffman. – New York: Academic, 1975. – P. 51–98.

21. Knittl Zd. Optics of thin films (An optical multilayer theory). – New York: J. Wiley & Sons, 1975. – 548 p

22. Бондарь Е.А., Шадрина Л.П. Метод определения оптических постоянных поглощающей пленки в составе слоистой системы // ОС. – 2004. – Т. 96, № 1. – С. 128–132.

23. Беляев Ю.Н. Рассеяние волн непрерывно слоистыми упругими средами // Вестн. СыктГУ. Сер. 1. Математика, механика, информатика. – 2011. – Вып. 13. – С. 75–88.

24. Беляев Ю.Н. Теория дифракции рентгеновских лучей в слоистых кристаллах: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. – М.: Изд-во МГУ, 1982. – 17 с.

25. Беляев Ю. Матричный подход теории волн к слоистым средам. – Saarbrücken: LAP Lambert Academic Publishing. 2012. – 156 c.

26. Tsu R., Esaki L. Tunneling in a finite superlattice // Appl. Phys. Lett. – 1973. – Vol. 22. – P. 562–564.

27. Trzeciakowski W. Boundary conditions and interface states in heterostructures // Phys. Rev. B. – 1988. – Vol. 38. – No. 6. – P. 4322–4325.

28. Владимиров М.Р., Кавокин А.В. Краевые электронные состояния в полупроводниковых сверхрешетках // ФТТ. – 1995. – Т. 37,
№ 7. – С. 2163–2188.

29. Басс Ф.Г., Булгаков А.А., Тетервов А.П. Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешетками. – М.: Наука, 1989. – 287 с.

30. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи с распределенными параметрами. – М.: Высшая школа, 1980. – 152 с.

31. Элаши Ш. Волны в активных и пассивных периодических структурах // Труды Института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. – 1976. – Т. 64, № 12. – С. 22–59.

32. Thomson W.T. Transmission of elastic wave through a stratified solid material // J. Appl. Phys. – 1950. – Vol. 21. – No. 1. – P. 89–93.

33. Haskell N.A. The dispersion of surface waves on multilayered // Bul. Seism. Soc. Amer. – 1953. – Vol. 43. – No. 1. – P. 17–34.

34. Teitler S. Henvis B. Refraction in stratified anisotropic media // JOSA. – 1970. – Vol. 60. – P. 830–834.

35. Berreman D.W. Optics in stratified and anisotropic media:  matrix formulation // JOSA. – 1972. – Vol. 62. – P. 502–510.

36. Berreman D.W. Optics in smoothly varying anisotropic planar structures: application to liquid–crystal twist cells // JOSA. – 1973. – Vol. 63. – P. 1374–1380.

37. Lin-Chung P.J. Teitler S.  Matrix formalisms for optics in stratified anisotropic media // JOSA A. – 1984. – Vol. 1. – P. 703–705.

 

 

38. Abdulhalim I., Benguigui L., Weil R. Selective reflection by helicoidal liquid crystals. Results of an exact calculation using  characteristic matrix method // J. Phys. (Paris). – 1985. – Vol. 46. – P. 815–825.

39. Abdulhalim I. Analytic propagation matrix method for anisotropic magneto-optic layered media // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. – 2000. – P. 557–564.

40. Wöhler H., Haas G., Fritsch M., Mlynski D.A. Faster  matrix method for uniaxial inhomogeneous media // JOSA. A. – 1988. – Vol. 5. – P. 1554–1557.

41. Аржанников А.В., Кузнецов С.А. Методы расчета спектральных свойств многослойных структур на основе скрещенных решеток-поляризаторов // Журнал технической физики. – 2001. – Т. 71. –
Вып. 12. – С. 1–5.

42. Andreeva M.A., Rosete K., Khapachev Yu.P. Matrix analog of Takagi equations for grazing-incidence diffraction // Phys. stat. sol. (a). – 1985. – Vol. 88. – P. 455–462.

43. Андреева М.А., Росете К. Теория отражения от мессбауэровского зеркала. Учет послойных изменений параметров сверхтонких взаимодействий вблизи поверхности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. – 1986. – Т. 27, № 3. – С. 57–62.

44. Каули Дж. Физика дифракции. – М.: Мир. 1979. – 432 с.

45. Monaco S.F. The use of Chebyshev polynomials in the computation of inhomogeneous thin dielectric films with exponentially varying index // Thin Solid Films. – 1980. – Vol. 73. – P. L1–L4.

46. Tolstoy I. Effects of density stratification on sound waves // J. Geophys. Res. – 1965. –Vol. 70. – P. 6009–6015.

47. Robins A.J. Reflection of plane acoustic waves from a layer of varying density // JASA. – 1990. – Vol. 87. – P. 1546–1552.

48. Huang G.Y., Wang Y.S., Yu S.W. Stress concentration at apenny-shaped cracks in a nonhomogeneous medium under torsion // Acta Mech. – 2005. – Vol. 180. – P. 107–115.

49. Itou S. Transient dynamic stress intensity factors around two rectangular cracks in nonhomogeneous interfacial layer between two elastic half-spaces under impact load // Acta Mech. – 2007. – Vol. 192. – P. 89–110.

50. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – 4-е изд. – М.: Наука, 1988. – 552 с.

51. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – 9-е изд. – М.: Наука, 1971. – 432 с.

52. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Мир, 1969. – 272 с.

53. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. – М.: Наука, 1972. – 232 с.

54. Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1976. –
352 с.

55. Liou M.L. A novel method of evaluating transient response // Proc. IEEE. – 1966. – Vol. 54. – P. 20–23.

56. Everling W. On the evaluation of  by power series // Proc. IEEE. – 1967. – Vol. 55. – P. 413.

57. Bickart T.A. Matrix exponential: Approximation by truncated power series // Proc. IEEE. – 1968. – Vol. 56. – P. 372–373.

58. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. – М.: Наука, 1967. – 780 с.

59. Cody W.J., Meinardus G., Varga R.S. Chebyshev rational approximation to exp(-x) in [0;∞] and applications to heat conduction problems // J. Approx. Theory. – 1969. – Vol. 2. – P. 50–65.

60. Padé H. Sur la repréesentation approchéee d’une fonction par des fractions rationnelles. Thèse de Doctorat présentée à l’Université de la Sorbonne, 1892 // Annales Scientifiques de l'Ecole Normale. (3ieme Serie). – 1892. – Vol. 9. – P. 1–93.

61. Gragg W.B. The Padé Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis // SIAM Review. – 1972. – Vol. 14. – No. 1. – P. 1–62.

62. Fair W., Luke Y. Padé approximations to the operator exponential // Numer. Math. – 1970. – Vol. 14. – P. 379–382.

63. Wragg A., Davies C. Computation of the exponential of a matrix I: Theoretical considerations // J. Inst. Math. Appl. – 1973. – Vol. 11. – P. 369–375.

64. Wragg A., Davies C. Computation of the exponential of a matrix II: Practical considerations // J. Inst. Math. Appl. – 1975. – Vol. 15. – P. 273–278.

65. Arioli M., Codenotti B., Fassino C., The Padé method for computing the matrix exponential // Lin. Alg. Appl. – 1996. – Vol. 240. – P. 111–130.

66. Ward R.C. Numerical computation of the matrix exponential with accuracy estimate // SIAM J. Numer. Anal. – 1977. – Vol. 14. – P. 600–610.

67. Scraton R.E. Comment on rational approximants to the matrix exponential // Electron. Lett. – 1971. – Vol. 7. – P. 260–261.

68. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1965. – 704 с.

69. Современные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. – М.: Мир. 1979. – 312 с.

70. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003. – 632 с.

71. Moler C., Van Loan C. Nineteen dubious ways to compute the exponential of matrix, Twenty-five years later // SIAM Review. – 2003. – Vol. 45. – No. 1. – P. 3–49.

72. Mastascusa E.J. A relation between Liou's method and fourth order Runge-Kutta method for evaluation of transient response // Proc. IEEE. – 1969. – Vol. 57. – P. 803–804.

73. Whitney D.E. More similarities between Runge-Kutta and matrix exponential methods for evaluating transient response // Proc. IEEE. – 1969. – Vol. 57. – P. 2053–2054.

74. Крылов А.Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем // Изв. АН ОМЕН. – 1931. – № 4. – С. 491–539.

75. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – М.: Наука, 1963. – 656 с.

76. Samuelson P.A. A method of determining explicitly the coefficients of the characteristic equation // Ann. Math. Statistics. – 1942. – Vol. 13. – P. 424–429.

77. Данилевский А.М. О численном решении векового уравнения // Математический сборник. – 1937. – Т. 2. – С. 169–171.

78. Morris J., Heed J.W. Lagrangian frequency equation. Fn “escalator” method for numerical solution // Aircraft Eng. – 1942. – Vol. 14. – P. 312–314, 316.

79. Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. – М.: Наука. 1970. – 564 с.

80. Smith B.T., Boyle J.M., Dongarra J.J., Garbow B.S., Ikebe Y., Klema V.C., Moler C.B. Matrix Eigensystem Routines: EISPACK Guide, 2nd ed. Lecture Notes in Comput. Sci. 6. – New York: Springer-Verlag, 1976. – 551 p.

81. Golub G.H., Wilkinson J.H. Ill-conditioned eigensystems and the computation of the Jordan canonical form // SIAM Review. – 1976. – Vol. 18. – P. 578–619.

82. Kågstrom B., Ruhe A. An algorithm for numerical computation of the Jordan normal form of a complex matrix // ACM Transactions on Mathematical Software. – 1980. – Vol. 6. – P. 437–443.

83. Parlett B.N. A recurrence among the elements of functions of triangular matrices // Linear Algebra Appl. – 1976. – Vol. 14. – P. 117–121.

84. Vidysager M. A novel method of evaluating  in closed form // IEEE Trans. Automatic Control. – 1970. – Vol. AC-15. – P. 600–601.

85. MacDuffee C.C. The Theory of Matrices. – New York: Chelsea, 1956. – 128 p.

86. Liou M.L. Evaluation of the transition matrix // Proc. IEEE. – 1967. – Vol. 55. – P. 228–229.

87. Bierman G.J. Finite series solutions for the transition matrix and covariance of a time invariant system // IEEE Trans. Automatic Control. – 1971. – Vol. AC-16. – P. 173–175.

88. Chen C.F., Parker R.R. Generalization of Heaviside’s expansion technique to transition matrix evaluation // IEEE Trans. Educ. – 1966. – Vol. E-9. – P. 209–212.

89. Rao K.R., Ahmed N. Heaviside expansion of transition matrices // Proc. IEEE. – 1968. – Vol. 56. – P. 884–886.

90. Zakian V. Solution of homogeneous ordinary linear differential equations by numerical inversion of Laplace transforms // Electron. Lett. – 1971. – Vol. 7. – P. 546–548.

91. Беляев Ю.Н. Алгебра тензоров. – Сыктывкар: Изд-во Сыктывкар. гос. ун-та, 2009. – 180 с.

92. Беляев Ю.Н. Векторный и тензорный анализ. – Сыктывкар: Изд-во Сыктывкар. гос. ун-та, 2010. – 298 с.

93. Belyayev Yu.N. Representation of matrix functions by means of symmetric polynomials // Book of abstracts of the International Conference on Algebra, Аugust 20–26 2012; Institute of mathematics NAS of Ukraine. – Kiev, 2012. – P. 30.

94. Беляев Ю.Н. Применение симметрических многочленов в решении задачи Коши // Алгебра и линейная оптимизация: тез. междунар. конф., Екатеринбург, 14–19 мая 2012. – Екатеринбург: Изд-во УМЦ-УПИ, 2012. – С. 20–22.

95. Belyayev Yu.N. Calculations of transfer matrix by means of symmetric polynomials // Days on Diffraction 2012. Proceedings of the International Conference May 28 – June 1 2012. – Sankt Peterburg, 2012. – P. 36–41.

96. Беляев Ю.Н. Матричный метод расчета перерассеяния волн в периодической структуре // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2011. – № 2(23). – С. 142–148.

97. Belyaev Yu.N., Kolpakov A.V. On the theory of X-ray diffraction in a perfect crystal with distorted surface layer // Phys. stat. sol.(a). – 1983. – Vol. 76. – P. 641–646.

98. Беляев Ю.Н. Характеристическая матрица слоисто-периоди­ческой структуры // Вестн. СыктГУ. Сер. 1. Математика, механика, информатика. – 2010. – Вып. 11. – С. 86–91.

99. Floquet G. Sur les équations différentielles linéaires á coefficients périodiques // Ann. sciéntifiques de l'Ecole Normale supérieure, ser. 2. – 1883. – Vol. 12. – No. 1. – P. 47–88.

100. Bloch F. Űber die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern // Z. Physik. – 1928. – Vol. 52. – P. 555–600.

101. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т. 1. – М.: Мир, 1979. – 400 с.

102. Chen Z., Yu S., Meng L., Lin Y. Effective properties of layered magneto-electro-elastic composites // Compos. Struct. – 2002. –Vol. 57. – P. 177–182.

103. Багдасарян Г.Е., Даноян З.Н. Электромагнитоупругие волны. – Ереван: Изд-во Ереван. гос. ун-та, 2006. – 492 с.

104. Bhangale R.K., Ganesan N. Static analysis of simply supported functionally graded and layered magneto-electro-elastic plates // Int. J. Solids Struct. – 2006. – Vol. 43. – P. 3230–3253.

105. Guo S. H. A fully dynamic theory of piezoelectromagnetic waves // Acta Mech. – 2010. – Vol. 215. – P. 335–344.

106. Guo S. H. The thermo-electromagnetic waves in piezoelectric solids // Acta Mech. – 2011. – Vol. 219. – P. 231–240.

107. Xiaoshan Cao, Junping Shi Feng Jin Lamb wave propagation in the functionally graded piezoelectric–piezomagnetic material plate // Acta Mech. – 2012. – Vol. 223. – P. 1081–1091.

Аннотация:

 В статье исследуется усталостная долговечность структурно-неоднородного диска постоянной толщины при малоцикловых (МЦУ) и сверхмногоцикловых (СВМУ) нагрузках. Для этого решены две модельные задачи теории упругости о нагружении кольцевого диска. В первой задаче к диску приложена центробежная нагрузка, а на внешнем контуре переменное и периодическое по углу радиальное напряжение, моделирующее центробежную нагрузку от лопаток (МЦУ). Во второй задаче решается уравнение для изгиба диска под действием периодических по углу крутящих моментов на внешнем контуре. Циклически приложенные крутящие моменты моделируют влияние высокочастотных колебаний лопаток и соответствуют режиму сверхмногоцикловой усталости (СВМУ). Определена структура и глубина приповерхностного слоя с повышенными усталостными характеристиками, при которой достигается максимальная долговечность для каждого из режимов циклического нагружения. Определены суммарные радиальные и тангенциальные напряжения в ободной части диска при действии центробежных сил. Найдено распределение долговечности по радиусу в окрестности ободной части титанового диска (режим МЦУ) для однородной структуры и для неоднородной структуры. Построена зависимость логарифма долговечности от предела усталости в приповерхностном слое (режим МЦУ). Вычислены суммарные радиальные, тангенциальные и касательные напряжения в ободной части диска, соответствующие максимальному кручению лопаток по и против часовой стрелки (СВМУ). Определены распределение долговечности по радиусу в окрестности ободной части титанового диска и зависимость логарифма долговечности от предела усталости в приповерхностном слое (режим СВМУ).

Ключевые слова: сверхмногоцикловая усталость, малоцикловая усталость, структурная неоднородность, приповерхностный слой, долговечность, концентрация напряжений, колебания лопаток, полетный цикл нагружения.

Сведения об авторах:

Бураго Николай Георгиевич (Москва, Россия) – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник лабо­ратории моделирования Института проблем механики РАН им. А.Ю. Ишлинского (119526, г. Москва, пр. Вернадского, 101 к. 1, e-mail: buragong@yandex.ru).

Никитин Илья Степанович (Москва, Россия) – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела мате­мати­чес­кого моделирования Института автоматизации проектирования РАН (123056, г. Москва, 2-я Брестская ул., 19/18, e-mail: i_nikitin@list.ru).

Список литературы:

1. Полькин И.С. Перспективы развития гранульной металлургии титановых сплавов // Технология легких сплавов. – 2011. – № 4. – С. 5–11.

2. Исследование возможности изготовления дисков ГТД с переменной структурой и функционально-градиентными свойствами из гранул разных фракций / Г.С. Гарибов, Н.М. Гриц [и др.] // Технология легких сплавов. – 2011. – № 4. – С. 41–50.

3. Взаимосвязь структуры и комплекса механических свойств в титановом сплаве ВТ6 / А.А. Ильин, С.В. Скворцова [и др.] // Титан. – 2011. – № 1. – С. 26–29.

4. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. – 744 с.

5. Burago N.G., Zhuravlev A.B., Nikitin I.S. Models of Multiaxial Fatigue Fracture and Service Life Estimation of Structural Elements // Mechanics of Solids. – 2011. – Vol. 46. – No. 6. – P. 828–838.

6. Демьянушко И.В., Биргер И.А. Расчет на прочность вращающихся дисков. – М.: Машиностроение, 1978. – 247 с.

Аннотация:

Сведения об авторах:

Исупова Ирина Леонидовна (Пермь, Россия) – аспирант кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: enoty­forever@yandex.ru).

Трусов Петр Валентинович (Пермь, Россия) – доктор физико-математических наук, профессор, заведующей кафедрой математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: tpv@matmod.pstu.ac.ru).

Список литературы:

1. Волегов П.С., Никитюк А.С., Янц А.Ю. Геометрия поверхности текучести и законы упрочнения в физических теориях пластичности // Вестник Перм. гос. техн. ун-та. Сер. Математическое моделирование систем и процессов. – 2009. – № 17. – С. 25–33.

2. Исупова И.Л., Трусов П.В. Обзор математических моделей для описания фазовых превращений в сталях // Вестник Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. Механика. – 2013. – № 3. – С. 157–192.

3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – М.: Наука, 1980. – 512 с.

4. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругоплас­тические деформации: теория, алгоритмы, приложения. – М.: Наука, 1986. – 232 с.

5. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур / пер. с англ. Ю.А. Данилова и В.В. Белого. – М.: Мир, 2002. – 461 с.

6. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физическая мезомеханика. – 2011. – № 4. – С. 17–28.

7. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14. – № 4. – С. 5–30.

8. Конститутивные соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры / П.В. Трусов, В.Н. Ашихмин, П.С. Волегов, А.И. Швейкин // Физическая мезомеханика. – 2009. – Т. 12. – № 3. – С. 61–71.

9. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2009. – Т. 15. – № 3. – С. 327–344.

10. Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры / П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Е.С. Нечаева, П.С. Волегов // Физическая мезомеханика. – 2012. – Т. 15. – № 1. – С. 33–56.

11. Трусов П.В., Нечаева Е.С., Швейкин А.И. Применение несимметричных мер напряженного и деформированного состояния при построении многоуровневых конститутивных моделей материалов // Физическая мезомеханика. – 2013. – Т. 16. – № 2. – С. 15–31.

12. Beese A.M., Mohr D. Anisotropic plasticity model coupled with lode angle dependent strain-induced transformation kinetics law. Submitted for publication, 2011.

13. Cherkaoui M., Berveiller M., Sabar H. Micromechanical modeling of martensitic transformation induced plasticity (TRIP) in austenitic single crystals // International Journal of Plasticity. – 1998. – Vol. 14. – No. 7. – P. 597–626.

14. Dinsdale A. T. SGTE Data for Pure Elements // Calphad. – 1991. – Vol. 15. – P. 317–425.

15. Ozdemir I., Brekelmans W.A.M., Geers M.G.D. Computational homogenization for heat conduction in heterogeneous solids // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2008. – Vol. 73. – No. 2. – P. 185–204.

16. Redlich O., Kister A.T. Algebraic representation of thermodynamic properties and the classification solutions // Ind. Eng. Chem. – 1948. – Vol. 40. – No. 2. – P. 345–348.

17. Wagemaker M., Mulder F.M., Van Der Ven A. The role of surface and interface energy on phase stability of nanosized insertion compounds // Adv. Mater. – 2009. – Vol. 21. – P. 2703–2709.

18. Wang J.J., Van Der Zwaag S. Stabilization mechanisms of retained austenite in transformation-induced plasticity steel // Metall. Mater. Trans. A. – 2001. – Vol. 32. – No. 6. – P. 1527–1539.

Аннотация:

В сталях наблюдаются все известные для твердого состояния фазовые превращения: полиморфное с широким спектром морфологических и кинетических особенностей; эвтектоидный распад (перлитное превращение); распад пересыщенных твердых растворов внедрения и замещения; упорядочение с изменением ближнего и дальнего порядка в аустените и мартенсите. Важная особенность данных систем заключается в резко различающейся диффузионной подвижности металлических атомов и углерода, поэтому при превращениях перестройка кристаллической решетки может происходить наряду с диффузионным перераспределением углерода и легирующих элементов.

В представленной статье приводится обзор работ, посвященных математическому моделированию как бездиффузионных (мартенситных), так и диффузионных фазовых превращений, происходящих в сталях при термомеханической нагрузке. Можно выделить два основных подхода к построению моделей полиморфных превращений. Первый подход основан на явном введении в рассмотрение межфазных границ с учетом условий на границе фаз деформируемого материала и кинетики развития новой фазы. Второй подход связан с разработкой моделей, основанных на введении дополнительных параметров состояния, характеризующих те или иные особенности структуры материала «в среднем» (например, концентрация новой фазы), и формулировкой соотношений для них. Модели, применяемые для описания фазовых превращений, весьма разнообразны. В представленном обзоре приведены работы, в которых используются и многоуровневые, и самосогласованные, и прямые модели. Рассмотрены также работы, в которых модели основаны на градиентных теориях, что позволяет учесть влияние масштабных факторов на процессы фазовых превращений и поведение исследуемой стали.

Ключевые слова: обзор, модели, фазовые переходы, стали.

Сведения об авторах:

Исупова Ирина Леонидовна (Пермь, Россия) – аспирантка кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: enoty­for­ever@yandex.ru).

 

Трусов Петр Валентинович (Пермь, Россия) – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: tpv@matmod.pstu.ac.ru).

Список литературы:

1. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. – 312 с.

2. Кащенко М.П., Чащина В.Г. Динамическая теория g–a мартенситного превращения в сплавах железа и решение проблемы критического размера зерна / НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижев. ин-т компьютерных исслед. – М.; Ижевск, 2010. – 132 с.

3. Кащенко М.П., Чащина В.Г. Формирование мартенситных кристаллов в предельном случае сверхзвуковой скорости роста // Письма о материалах. – 2011. – Т. 1. – С. 7–14.

4. Лебедев В.Г., Данилов Д.А., Галенко П.К. Об уравнениях модели фазового поля для неизотермической кинетики превращений в многокомпонентной и многофазной системе // Вестн. Удмурт. ун-та. Физика и химия. – 2010. – Вып. 1. – С. 26–33.

5. Мовчан А.А., Мовчан И.А. Одномерная микромеханическая модель нелинейного деформирования сплавов с памятью формы при прямом и обратном термоупругих превращениях //Механика композиционных материалов и конструкций. – 2007. – Т. 13. – № 3. – C. 297–322.

6. Мовчан А.А., Мовчан И.А., Сильченко Л.Г. Микромеханическая модель нелинейного деформирования сплавов с памятью формы при фазовых и структурных превращениях // Изв. Рос. акад. наук. Механика твердого тела. – 2010. – № 3. – C. 118–130.

7. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физическая мезомеханика. – 2011. – № 4. – С. 17–28.

8. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14. – № 4. – С. 5–30.

9. Фрейдин А.Б., Шарипова Л.Л. Равновесные двухфазные деформации и зоны фазовых переходов в приближении малых деформаций // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. Спецвып. – 2003. – С. 291–298.

10. Avrami M. Kinetics of phase change. II: transformation–time relations for random distribution of nuclei // Journal of Chemical Physics. – 1940. – Vol. 8. – P. 212.

11. Barbe F., Quey R., Taleb L. Numerical modelling of the plasticity induced during diffusive transformation. Case of a cubic array of nuclei // Europ. J. Mechanics A/Solids. – 2007. – Vol. 26. – Р. 611–625.

12. Barbe F., Quey R. A numerical modelling of 3D polycrystal-to-polycrystal diffusive phase transformations involving crystal plasticity // Int. J. Plasticity. – 2011. – Vol. 27. – Р. 823–840.

13. Berveiller M., Zaoui A. An extension of the self-consistent scheme to plastically-flowing polycrystals // J. Mech. Phys. Solids. – 1979. – Vol. 26. – P. 325–344.

14. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a non-uniform systems. I. Interfacial free energy // J. Chem. Phys. – 1958. – Vol. 28. – P. 258–266.

15. Chen L.-Q., Khachaturyan A. Computer simulation of structural transformations during precipitation of an ordered intermetallic phase // Acta Mater. – 1991. – Vol. 39 – P. 2533–2551.

16. Cherkaoui M., Berveiller M., Sabar H. Micromechanical modeling of martensitic transformation induced plasticity (trip) in austenitic single crystals // Int. J. Plasticity. – 1998. – Vol. 14. – No.7. – Р. 597–626.

17. Fischlschweiger M., Cailletaud G., Antretter T.A mean-field model for transformation induced plasticity including backstress effects for non-proportional loadings // Int. J. Plasticity. – 2012. – Vol. 37. – Р. 53–71.

18. Fleck N.A., Hutchinson J.W. A reformulation of strain gradient plasticity // J. Mech. Phys. Solids. – 2001. – Vol. 49. – P. 2245–2271.

19. Hsu T.Y. Additivity Hypothesis and Effects of Stress on Phase Transformations in Steel // Current Opinion in Solid State & Materials Science. – 2005. – Vol. 9. – P. 256–268.

20. Hüßler I. Mathematische Untersuchungen eines gekoppelten Systems von ODE und PDE zur Modellierung von Phasenumwandlungen im Stahl. Diplomarbeit im Studiengang Technomathematik, Universität Bremen, 2007. – 100 p.

21. Inoue T., Wang, Z.G. Coupling between stresses, temperature and metallic structural during processes involving phase transformation //Mater. Sci. Technol. – 1985. – Vol. 1. – P. 845–850.

22. Iwamoto T. Multiscale computational simulation of deformation behavior of TRIP steel with growth of martensitic particles in unit cell by asymptotic homogenization method // Int. J. Plasticity. – 2004. – Vol. 20. – Р. 841–869.

23. Koistinen D.P., Marburger R.E. A general equation prescribing the extent of the austenite-martensite transformation in pure ironcarbon alloys and plain carbon steels // Acta Metallurgica. – 1959. – Vol. 7. – P. 59–60.

24. Kroner E. Zur plastischen verformung des vielkristalls // Acta Metall. – 1961. – Vol. 9. – P. 155–161.

25. Kouznetsova V.G., Geers M.G.D. A multi-scale model of martensitic transformation plasticity // Mechanics of Materials. – 2008. – Vol. 40. – Р. 641–657.

26. Lee M.-G., Kim S.-J., Han H.N. Crystal plasticity finite element modeling of mechanically induced martensitic transformation (MIMT) in metastable austenite // Int. J. Plasticity. – 2010. – Vol. 26. – Р. 688–710.

 

27. Logé R.E., Chastel Y.B. Coupling the thermal and mechanical fields to metallurgical evolutions within a finite element description of a forming process // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. – 2006. – Vol. 195. – Р. 6843–6857.

28. Loginova I., Amberg G., Agren J. Phase-field simulations of non-isothermaly binary alloy solidification // Acta Materialia. – 2001. – Vol. 49. – P. 573–581.

29. Mahnken R., Schneidt A., Antretter T. Macro modelling and homogenization for transformation induced plasticity of a low-alloy steel // Int. J. Plasticity. – 2009. – Vol. 25. – Р. 183–204.

30. Mazzoni-Leduc L., Pardoen T., Massart T.J. Strain gradient plasticity analysis of transformation induced plasticity in multiphase steels // Int. J. Solids and Structures. – 2008. – Vol.45. – Р. 5397–5418.

31. Olson G.B., Cohen M. Kinetics of strain-induced martensitic nucleation // Metallurgical Transactions A. – 1975. – Vol. 6A. – Р. 791–795.

32. Petit-Grostabussiat S., Taleb L., Jullien J.-F. Experimental results on classical plasticity of steels subjected to structural transformations // Int. J. Plasticity. – 2004. – Vol. 20. – Р. 1371–1386.

33. Shi J., Turteltaub S., Van der Giessen E. Analysis of grain size effects on transformation-induced plasticity based on a discrete dislocation–transformation model // J. Mech. Phys. Solids. – 2010. – Vol. 58. – Р. 1863–1878.

34. Steinbach I., Apel M. Multi-phase field model for solid state transformation with elastic strain // Physica D. – 2006. – Vol. 217. – P. 153–160.

35. Tjahjanto D. D., Turteltaub S., Suiker A. S. J. Crystallographically based model for transformation-induced plasticity in multiphase carbon steels // Continuum Mech. Thermodyn. – 2008. – Vol. 19. – Р. 399–422.

36. Turteltaub S., Suiker A.S.J. A multiscale thermomechanical model for cubic to tetragonal martensitic phase transformations // Int. J. Solids and Structures. – 2005. – doi:10.1016/j.ijsolstr.2005.06.065.

37. Varma M. R., Sasikumar R., Pillai S.G.K. Cellular automaton simulation of microstructure evolution during austenite decomposition under continuous cooling conditions // Bull. Mater. Sci. – 2001. – Vol. 24. – No. 3. – P. 305–312.

38. Wang Y., Chen L.-Q., Khachaturyan A.G. Kinetics of strain-induced morphological transformation in cubic alloys with a miscibility gap // Acta Metall. Mater. – 1993. – Vol. 41. – No. 1. – P. 279–296.

39. Yamanaka A., Takaki T., Tomita Y. Elastoplastic phase-field simulation of martensitic transformation with plastic deformation in polycrystal // Int. J. Mech. Sci. – 2010. – Vol. 52. – Р. 245–250.

Аннотация:

В настоящей работе для изучения основных закономерностей движения расплава металла в неоднородном переменном магнитном поле разработана математическая модель, в которой рассматривается заполненная парамагнитным проводящим расплавом цилиндрическая область, ось симметрии которой направлена вертикально. Модель включает в себя: уравнения, описывающие пространственное распределение магнитного поля индуктора, который представляет собой короткую катушку; уравнения для индукционных токов, возникающих в объеме металла при изменении магнитного поля индуктора; уравнение переноса тепловой энергии, учитывающее движение среды и действие объемных источников тепла; уравнения конвекции расплава в приближении Буссинеска с учетом силы Лоренца, действующей на расплав. На твердых боковой и нижней границах области выполняются условия прилипания, верхняя граница расплава считается свободной. Теплоотвод на боковой поверхности задается законом Ньютона–Рихмана. Тепловой поток на верхней границе рассчитывается по закону Стефана–Больцмана, а нижняя грань считается теплоизолированной. Уравнения и граничные условия записаны в безразмерной форме. Показано, что поставленная задача сводится к последовательному решению магнитной и конвективной подзадач. В приближении осесимметричного индуктора методами вычислительного эксперимента для различных магнитных чисел Рейнольдса рассчитаны пространственно-временные распределения вектора напряженности магнитного поля в области расплава металла, плотности индукционных токов и мощности источников теплоты. Выявлены закономерности в изменениях указанных выше величин при варьировании управляющего параметра – магнитного числа Рейнольдса. Эта информация в перспективе позволит моделировать конвективные течения в расплаве и выявить эффекты, важные для понимания процессов, влияющих на распределения примесей.

Ключевые слова: математическое моделирование, магнитное поле, уравнение диффузии магнитного поля, магнитное число Рейнольдса, индукционные токи, конвекция.

 

Сведения об авторах:

Никулин Илларион Леонидович (Пермь, Россия) – кандидат технических наук, доцент кафедры общей физики Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, е-mail: nil@mail.ru).

Перминов Анатолий Викторович (Пермь, Россия) – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей физики Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, е-mail: perminov1973@mail.ru).

Список литературы:

1. Кристаллизация цилиндрическиих алюминиевых слитков при МГД-перемешивании / С. Ю. Хрипченко [и др.] // Российская конференция по магнитной гидродинамике: тез. докл., Пермь, 18–22 июня 2012 г.; Институт механики сплошных сред УрО РАН. – Пермь, 2012. ‒ С. 101.

 

2. Numerical Investigation of Dynamic Magnetic Field Influence on Vertical Bridgman Crystal Growth / T.P. Lyubimova [et al.] // Proc. of Int. Conf. Advanced Problems in Thermal Convection. – Perm, 2004. – P. 343–349.

3. Любимова Т.П., Файзрахманова И.С. Численное исследование влияния бегущего магнитного поля на тепломассоперенос в жидкой зоне // Гидродинамика: сб. науч. тр. – Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2004. – Вып. 11. – С. 173–190.

4. Демин В.А., Макаров Д.В. Влияние вращающегося магнитного поля на расплав в цилиндрической жидкой зоне // Вестн. Перм. ун-та. – Вып. 1. – Физика. – Пермь, 2004. – С. 106–111.

5. Цаплин А.И. Теплофизика внешних воздействий при кристаллизации стальных слитков на машинах непрерывного литья. – Екатеринбург: Изд-во УрО РАН., 1995. – 238 с.

6. Шейден О., Леман А. Разработки в области электромагнитного перемешивания (ЭМП) расплава в печах для плавки алюминия // Цветные металлы Сибири: сб. науч. статей. – Красноярск: Версо, 2009. – С. 648–656.

7. Свойства элементов: справ.: в 2 кн. Кн. 1. – 2-е изд., перераб. и доп. / под ред. М.Е. Дрица – М.: Металлургия, 1997. – 432 с.

8. Ландау Л.Д., Лившиц И.М. Электродинамика сплошных сред – М.: Наука, 1982. – 620 с.

9. Stability of convection in a horizontal channel subjected to a longitudinal temperature gradient. Part 2. Effect of a magnetic field / D.V. Lyubimov [et al.] // J. Fluid Mech. – 2009. – Vol. 635 – P. 297–319.

10. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление: cправ. пособие. – М.: Энергоатомиздат. – 1990. – 367 с.

Аннотация:

Сведения об авторах:

Савельева Наталья Владимировна (Пермь, Россия) – аспирантка кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29), инженер-исследователь Института механики сплошных сред УрО РАН (614013, Пермь, ул. Академика Королева, 1, e-mail: saveleva@icmm.ru).

Баяндин Юрий Витальевич (Пермь, Россия) – кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института механики сплошных сред УрО РАН (614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1,
e-mail: buv@icmm.ru).

Наймарк Олег Борисович (Пермь, Россия) – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией Института механики сплошных сред УрО РАН (614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1, e-mail: naimark@icmm.ru).

Список литературы:

1. Ударно-волновые явления в конденсированных средах / Г.И. Кан­нель, С.В. Разоренов, Л.В. Уткин, В.Е. Фортов. – М.: Янус-К, 1996. – 408 с.

2. Гаркушин Г.В., Канель Г.И., Разоренов С.В. Сопротивление деформированию и разрушению алюминия AD1 в условиях ударно-волнового нагружения при температурах 20 и 600°С // Физика твердого тела. – 2010. – Вып. 11. – Т. 52. – С. 2216–2222.

3. О механизмах микро- макроэнергообмена при ударном нагружении твердых тел / Ю.И. Мещеряков, А.К. Диваков, Н.И. Жигачева, И.П. Макаревич, С.Ю. Мушникова, Г.Ю. Калинин // Письма в ЖТФ. – 2010. – Вып. 11. – Т. 36. – С. 54–60.

4. Влияние предварительного деформационного упрочнения на напряжение течения при ударном сжатии титана и титанового сплава / С.В. Разоренов, А.С. Савиных, Е.Б. Зарецкий, Г.И. Канель, Ю.Р. Колобов // Физика твердого тела. – 2005. – Вып. 4. – Т. 47. – С. 639–645.

5. Bo Ren, Shaofan Li, Jing Qian, Xiaowei Zeng. Meshfree simulation of spall fracture // Computer method in applied mechanics and engineering. – 2011. – Vol. 200. – P. 797–811.

6. Danian Chen, S.T.S. Al-Hassani, M.Sarumi, Xiaogang Jin. Crack straining-based spall model // International Journal of Impact Engineering. – 1997. – Vol. 19. – No. 2. – P. 107–116.

7. A modified Cochran-Banner spall model / Chen Danian, Yu Yuying, Yin Zhihua, Wang Huanran, Liu Guoqing, Xie Shugang // International Journal of Impact Engineering. – 2005. – Vol. 31. – P. 1106–1118.

8. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физ. мезомех. – 2003. – Т. 6, № 4. – С. 45–72.

9. Савельева Н.В., Баяндин Ю.В., Наймарк О.Б. Численное моделирование деформирования и разрушения металлов в условиях плоского удара // Вычисл. мех. сплош. сред. – 2012. – Т. 5, № 3. – С. 300–307.

10. Баяндин Ю.В. Исследование автомодельных закономерностей формирования пластических фронтов в металлах при интенсивных воздействиях: дис. ... канд. физ.-мат. наук. – Пермь. 2007. – 119 с.

11. Баяндин Ю.В., Наймарк О.Б., Уваров С.В. Структурно-скейлинговые переходы при динамических и ударно-волновых нагрузках в твердых телах // Физика экстремальных состояний вещества – 2008. – Черноголовка, 2008. – С. 122–124.

12. Tonks D.L. The DataShop: а Database of Weak-Shock Constitutive Data. – LosAlamos, New Mexico, 1991. – 135 p

Аннотация:

Сведения об авторах:

Саркисян Самвел Оганесович (Гюмри, Республика Армения) – доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент НАН Армении, заслуженный деятель науки Армении, заведующий кафедрой высшей математики Гюмрийского государственного педагогического института (377526, г. Гюмри, ул. Паруйра Севака, 4, Республика Армения, e-mail: s_sargsyan@yahoo.com).

Фарманян Анаит Жораевна (Гюмри, Республика Армения) – кандидат физико-математических наук, доцент, проректор по науке и внешним связям Гюмрийского государственного педагогического института (377526, г. Гюмри, ул. Паруйра Севака, 4, Республика Армения, e-mail: afarmanyan@yahoo.com).

Список литературы:

1. Подстригач Я.С., Швац Р.Н. Термоупругость тонких оболочек. – Киев: Наукова думка, 1978. – 344 с.

2. Швец Р.Н., Лунь Е.И. Некоторые вопросы теории термоупругости ортотропных оболочек с учетом инерции вращения и поперечного сдвига // Прикладная механика. – 1971. – Т. 7, № 10. – С. 121–125.

3. Новацкий В. Моментные напряжения в термоупругости // Прикладная механика. – 1967. – Т. 3, № 1. – С. 3–17.

4. Nowacki W. Couple-stresses in the theory of thermoelasticity // Irreversible aspects of continuum mechanics and transfer of physical characteristics in moving fluids. IUTAM Symposia. – Vienna, 1966. Ed. H. Parkus, L.I. Sedov. Springer-Verlag. Wien; New York, 1966. – P. 259–278.

5. Nowacki W. Theory of asymmetric elasticity. – Pergamon Press. Oxford. New York. Toronto. Sydney. Paris. Frankfurt, 1986. – 383 p.

6. Саркисян С.О. Математическая модель микрополярных упругих тонких пластин и особенности их прочностных и жесткостных характеристик // Прикладная механика и техническая физика. – 2012. – Т. 53. – Вып. 2. – С. 148–155.

7. Саркисян С.О. Общая теория микрополярных упругих тонких оболочек // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, №1. – С. 55–66.

8. Sargsyan S.H. Mathematical models of micropolar elastic thin shells // Advanced structured materials. Shell-like structures. Non-classical theories and applications. Springer. – 2011. – Vol. 15. – P. 91–100.

9. Sargsyan S.H. Termoelasticity of thin shells on the basis of asymmetrical theory of elasticity // Journal of thermal stresses. – 2009. – Vol. 32. – No. 6. – P. 791–818.

10. Саркисян С.О. Термоупругость микрополярных тонких оболочек // Актуальные проблемы механики сплошной среды: cб. науч. тр. междунар. конф. 8–12 октября 2012. Цахкадзор. Армения. – Ереван: Изд-во Ереван. гос. ун-та архитектуры и строительства. – 2012. – С. 184–189.

11. Iesen D. Torsion of anisotropic micropolar elastic cylinders // ZAMM. – 1974. – Vol. 54. – No. 12. – P. 773–779.

12. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. – М.: Гос. изд. техн. теорет. лит., 1953. – 544 с.

13. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости. – Киев: Наук. думка, 1981. – 544 с.

14. Подстригач Я.С., Пелех Б.Л. Термоупругие задачи для оболочек и пластин с низкой сдвиговой жесткостью // Тепловые напряжения в элементах конструкций. – 1970. – Вып. 10. – С. 17–23.