Работа посвящена теоретическому и экспериментальному изучению механизмов локализации пластической деформации при динамическом нагружении. В рамках исследования на основе широкодиапазонных определяющих соотношений построена математическая модель, учитывающая структурную релаксацию и термическое разупрочнение. Предложенная модель способна адекватно описывать деформационное поведение пластичных материалов (металлы и сплавы) в диапазоне скоростей деформаций 10²–10⁴ с^–1 и диапазоне температур от 0 до 0,7 температуры плавления. В качестве исследуемого материала был выбран алюминиевый сплав АМг6 – перспективный материал машиностроения. Однако все полученные результаты могут быть распространены на широкий класс материалов: металлы и сплавы. Идентификация параметров модели проводилась с использованием экспериментальных данных (диаграмм деформирования) при различных скоростях деформации и температурах. Для апробации построенной модели была проведена серия оригинальных экспериментов по пробиванию дискообразных преград цилиндрическим ударником. В процессе эксперимента измерялась скорость соударения и температура на тыльной поверхности преграды в момент интенсивной локализации пластической деформации и разрушения. Скорость деформации в эксперименте, которая определена с помощью численного анализа, варьировалась от 500 до 30000 с^–1. В результате численных исследований было показано, что для сплава АМг6 при скоростях деформации менее
10⁴ с^–1 решающую роль в процессе локализации пластической деформации играют дефекты, а при скоростях деформации выше 10⁴ с^–1 существенную роль начинает играть термическое разупрочнение. Полученный теоретический результат также подтверждается проведенными оригинальными экспериментами по пробиванию преград.

Ключевые слова: динамическое нагружение,  локализация пластической деформации, термическое разупрочнение, микросдвиги, численное моделирование, АМг6, пробивание преград.

Билалов Дмитрий Альфредович – к.ф.-м.н., вед. инж., e-mail: ledon@icmm.ru, : 0000-0003-1541-2246.

Соковиков Михаил Альбертович – к.ф.-м.н., доц., с.н.с., e-mail: sokovikov@icmm.ru, : 0000-0003-0298-6240.

Баяндин Юрий Витальевич – к.ф.-м.н., с.н.с., e-mail: buv@icmm.ru, : 0000-0002-1824-1940.

Чудинов Василий Валерьевич – инж., e-mail: chudinov@icmm.ru, : 0000-0002-4109-1573.

Оборин Владимир Александрович – вед. инж., e-mail: oborin@icmm.ru, : 0000-0003-2836-2073.

Наймарк Олег Борисович – д.ф.-м.н., проф., зав. лаб., e-mail: naimark@icmm.ru, : 0000-0001-6537-1177.

1. Giovanola H. Adiabatic shear banding under pure shear loading // Mechanics of Materials. – 1988. – No 7. – P. 59–71. DOI: 10.1016/0167-6636(88)90006-3
2. Marchand А., Duffy J. An experimental study of the formation process of adiabatic shear bands in a structural steel // J. Mech. Phys. Solids. –1988. – Vol. 36. – No. 3. – P. 251–283. DOI:10.1016/0022-5096(88)90012-9
3. Nemat-Nasser S., Li Y.F., Isaacs J.B. Experimental/com­pu­tational evolution of flow stress at high strain rates with application to adiabatic shear banding // Mech. Mater. – 1994. – Vol. 17. – No. 2–3. – P. 111–134. DOI:10.1016/0167-6636(94)90053-1
4. Characteristics and microstructure in the evolution of shear localization in Ti-6Al-4V alloy / Y. Bai, Q. Xuc, Y. Xu, L. Shen // Mech. Mater. – 1994. – Vol. 17. – No. 2–3. – P. 155–164. DOI:10.1016/0167-6636(94)90056-6
5. Scudino S. Mechanism of shear banding during cold rolling of a bulk metallic glass // Journal of Alloys and Compounds. – 2019. – Vol. 773. – P. 883–889. DOI: 10.1016/j.jallcom.2018.09.302
6. Shear band formation and wear mechanisms of Ti-6Al-4V powder metallurgy materials with different densities / F.J. Sun, S.G. Qu, F. Su, Z.H. Deng, X.Q. Li // International Journal of Advanced Manufacturing Technology. – 2017. – Vol. 93. – No. 9–12. – P. 4429–4437. DOI: 10.1007/s00170-017-0939-0
7. Dorothy H.L., Longere P. Modelling of high strain rate adiabatic shear banding induced failure: A comparison of two approaches // International Journal of Impact Engineering. – 2017. – Vol. 110. – P. 219–227. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2017.02.024
8. Arriaga M., Waisman H. Combined stability analysis of phase-field dynamic fracture and shear band localization // International Journal of Plasticity. – 2017. – Vol. 96. – P. 81–119. DOI: 10.1016/j.ijplas.2017.04.018
9. Strain gradient drives shear banding in metallic glasses / Z.L. Tian, Y.J. Wang, Y. Chen, L.H. Dai // Physical Review B. – 2017. – Vol. 97. – No. 9. – P. 094103. DOI: 10.1103/PhysRevB.96.094103
10. Structural mechanisms of formation of adiabatic shear bands / M. Sokovikov, D. Bilalov, V. Oborin, V. Chudinov, S. Uvarov, Y. Bayandin, O. Naimark // Fracture and Structural Integrity. – 2016. – Vol. 10. – No. 38. – P. 296–304. DOI: 10.3221/IGF-ESIS.38.40
11. Karp B., Shapira G., Rittel D. Experimental investigation of fracture under controlled stress triaxiality using shear-compression disk specimen // International Journal of Fracture. – 2018. – Vol. 209. – No. 1–2. – P. 171–185. DOI: 10.1007/s10704-017-0254-7
12. Wright T.W., Ravichandran G. Canonical aspects of adiabatic shear bands // International Journal of Plasticity. – 1997. – Vol. 13. – No. 4. – P. 309–325.
13. Molinari A., Clifton R.J. Analytical characterization of shear localization inthermoviscoplastic materials // J. Appl. Mech. – 1987. – Vol. 54. – P. 806–812.
14. Temperature Rise Associated with Adiabatic Shear Band: Causality Clarified / Y.Z. Guo, Q.C. Ruan, S.X. Zhu, Q. Wei, H.S. Chen, J.A. Lu, B. Hu, X.H. Wu, Y.L. Li, D.N. Fang // Physical Review Letters. – 2019. – Vol. 122. – No. 1. – P. 015503. DOI: 10.1103/PhysRevLett.122.015503
15. Rittel D, Landau P., Venkert A. Dynamic recrystallization as a potential cause for adiabatic shear failure // Phys. Rev. Lett. – 2008. – No. 101. – P. 165501.
16. Zhang L.H., Rittel D., Osovski S. Thermo-mechanical characterization and dynamic failure of near alpha and near beta titanium alloys // Materials Science and Engineering A-Structural Materials Properties Microstructure and Processing. – 2018. – Vol. 729. – P. 94–101. DOI: 10.1016/j.msea.2018.05.007
17. Burns T.J. Does a shear band result from a thermal explosion? // Mech. Mater. – 1994. – Vol. 17. – No. 2–3. – P. 261–271.
18. Многомасштабные механизмы структурной релаксации и разрушения в условиях адиабатического сдвига / C. Froustey, О.Б. Наймарк, И.А. Пантелеев, Д.А. Билалов, А.Н. Петрова, Е.А. Ляпунова // Физическая мезомеханика. – 2017. – Т. 20, № 1. – С. 33–44.
19. Неравновесные переходы в ансамблях дефектов при динамической локализации пластической деформации / М.А. Соковиков, Д.А. Билалов, В.В. Чудинов, С.В. Уваров, О.А. Плехов, А.И. Терехина, О.Б. Наймарк // Письма в Журнал технической физики. – 2014. – Т. 40, № 23. – С. 82–88.
20. Численное моделирование и экспериментальное исследование локализации пластической деформации при динамическом нагружении образцов в условиях близких к чистому сдвигу / Д.А. Билалов, М.А. Соковиков, В.В. Чудинов, В.А. Оборин, Ю.В. Баяндин, А.И. Терехина, О.Б. Наймарк // Вычислительная механика сплошных сред. – 2017. – Т. 10, № 1. – С. 103–112. DOI: 10.7242/1999-6691/2017.10.1.9
21. Динамическое деформирование алюминиевого сплава АМг-6 при нормальной и повышенной температурах / Б.Л. Глушак, О.Н. Игнатова, В.А. Пушков, С.А. Новиков, А.С. Гирин, В.А. Синицын // Прикладная механика и техническая физика. – 2000. – Т. 41, № 6. – C. 139–143.
22. Релаксационная модель сдвиговой прочности пяти металлов (алюминий, бериллий, медь, тантал, уран) / Б.Л. Глу­шак, О.Н. Игнатова, С.С. Надежин, В.А. Раевский // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Математическое моделирование физических процессов. – 2012. – № 2. – С. 25–36.
23. Скрипняк Н.В. Особенности разрушения алюминий-магниевого сплава амг6 при высокоскоростной деформации // Изв. высш. учеб. заведений. Физика. – 2015. – Т. 58, № 5. – С. 96–101.
24. Мержиевский Л.А. Модели деформирования при интенсивных динамических нагрузках (обзор) // Физика горения и взрыва. – 2015. – Т. 51, № 2. – С. 144-160.
25. Jin T., Mourad H.M., Bronkhorst C.A. A comparative study of shear band tracking strategies in three-dimensional finite elements with embedded weak discontinuities // Finite Elements in Analysis and Design. – 2019. – Vol. 155. – P. 11–31. DOI: 10.1016/j.finel.2018.11.001
26. Nieto-Fuentes J.C., Rittel D., Osovski S. On a dislocation-based constitutive model and dynamic thermomechanical considerations // International Journal of Plasticity. – 2018. – Vol. 108. – P. 55–69. DOI: 10.1016/j.ijplas.2018.04.012
27. Lovinger Z., Rittel D., Rosenberg Z. Modeling spontaneous adiabatic shear band formation in electro-magnetically collapsing thick-walled cylinders // Mechanics of Materials. – 2018. – Vol. 116. – P. 130–145. DOI: 10.1016/j.mechmat.2017.01.010
28. Исследование локализации пластического сдвига в алюминиевых сплавах при динамическом нагружении / Д.А. Билалов, М.А. Соковиков, В.В. Чудинов, В.А. Оборин, Ю.В. Баяндин, А.И. Терехина, О.Б. Наймарк // Вычислительная механика сплошных сред. – 2015. – Т. 8, № 3. – С. 319–328. DOI: 10.7242/1999-6691/2015.8.3.27
29. Билалов Д.А., Баяндин Ю.В., Наймарк О.Б. Математическое моделирование процесса разрушения сплава АМг2.5 в режиме много- и гигацикловой усталости // Вычислительная механика сплошных сред. – 2018. – Т. 11, № 3. – С. 323–334. DOI: 10.7242/1999-6691/2018.11.3.24
30. Интерполяционные формулы зависимости максвелловской вязкости некоторых металлов от интенсивности касательных напряжений и температур / С.К. Годунов, А.Ф. Демчук,
    Н.С. Козин, В.И. Мали // ПМТФ. – 1974. – № 4. – С. 114–118.
31. Мержиевский Л.А. Моделирование релаксационных эффектов в ударно-волновых процессах в конденсированных средах // Омский научный вестник. – 2015. – № 3 (143). – С. 325–328.
32. Машиностроение. Т. II-3: Цветные металлы и сплавы. Композиционные металлические материалы / под общ. ред. К.В. Фролова. – М.: Машиностроение, 2001. – 880 с.
33. Астанин В.В., Галиев Ш.У., Иващенко К.Б. Численно-экспериментальное исследование упругопластического взаимодействия ударника с преградой // Проблемы прочности. – 1987. – № 11. – С. 97–100.
34. Bouchaud E. Scaling properties of cracks // J. Phys. Condens. Matter. – 1997. – Vol. 9. – Р. 4319–4344.

35. Фрактальный анализ поверхности разрушения сплава АМг6 при усталостном и динамическом нагружении / В.А. Оборин, М.В. Банников, Ю.В. Баяндин, М.А. Соковиков, Д.А. Билалов, О.Б. Наймарк // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 2. – С. 116–126. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.2.07

Представлена новая общая постановка задачи об установившихся колебаниях неоднородного вязкоупругого тела с учетом предварительно напряженно-деформированного состояния (ПНДС). Для ее формулировки были использованы теория комплексных модулей и принцип соответствия, позволяющий записывать задачи об установившихся колебаниях вязкоупругих тел в таком же виде, что и соответствующие задачи теории упругости, заменяя упругие характеристики соответствующими комплексными функциями от частоты колебаний. Для описания вязкоупругого поведения использовалась трехпараметрическая модель стандартного вязкоупругого тела, в состав которой входят мгновенный и длительный модули, а также время релаксации.

На основе представленной постановки рассмотрены модельные задачи о расчете колебаний для неоднородных вязкоупругих стержня и трубы с учетом наличия как предварительных напряжений, так и остаточных деформаций. В задаче для вязкоупругого стержня рассматривались продольные колебания, при этом свойства стержня, предварительные напряжения и остаточные деформации считались функциями продольной координаты. При рассмотрении задачи для вязкоупругой трубы рассматривалось плоское напряженно-деформированное состояние, колебания возбуждались радиальной нагрузкой, свойства цилиндра и ПНДС считались зависящими от радиальной координаты. Численное решение в обоих случаях было основано на методе пристрелки.

Для обеих модельных задач на основе проведения вычислительных экспериментов представлены результаты сравнительного анализа влияния предварительных напряжений и остаточных деформаций на амплитудно-частотные характеристики (АЧХ). Также проанализировано влияние каждого из факторов на значения частот, в которых АЧХ имеют максимумы. Проведенное исследование показало, что и для стержня и для трубы остаточные деформаций оказывают существенно большее влияние на АЧХ, чем предварительные напряжения. Данный вывод соответствует результатам, полученным ранее для упругих объектов.

Ключевые слова: вязкоупругость, предварительные напряжения, остаточные деформации, неоднородность, принцип соответствия, комплексный модуль, стержень, труба, акустический метод.

Богачев Иван Викторович – к.ф.-м.н., н.с., e-mail: bogachev89@yandex.ru, : 0000-0002-4725-5102

Ватульян Александр Ованесович – д.ф.-м.н., проф., зав. каф., e-mail: vatulyan@math.rsu.ru, vatulyan@aaanet.ru, : 0000-0003-0444-4496

Дударев Владимир Владимирович – к.ф.-м.н., доц., e-mail: dudarev_vv@mail.ru, : 0000-0003-2378-7574

Недин Ростислав Дмитриевич – к.ф.-м.н., ст. преп., e-mail: rdn90@bk.ru, : 0000-0003-4366-9591

1. Kieback B., Neubrand A., Riedel H. Processing techniques for functionally graded materials // Materials Science and Engineering: A. – 2003. – Vol. 362. – P. 81–106.

2. Полимерные композиционные материалы: структура, свойства, технология: учеб. пособие / М.Л. Кербер, В.М. Виноградов, Г.С. Головкин [и др.]; под ред. А.А. Берлина. – СПб.: Профессия, 2008. – 560 с.

3. Schajer G.S. Practical Residual Stress Measurement Methods. – Wiley, 2013. – 560 p.

4. Methods of measuring residual stressesin components / N.S. Rossini, M. Dassisti [et al.] // Materials and Design – 2012. – Vol. 35. – P. 572–588.

5. Guz A.N. Stability of elastic bodies under finite defor­mations. – Kiev: Naukova dumka, 1973. – 272 p.

6. Ogden R.W. Nonlinear elastic deformations. – Ellis Horwood / Halsted Press: Chichester / New York, 1984. – 562 p.

7. Радченко В.П., Саушкин М.Н. Ползучесть и релаксация остаточных напряжений в упрочненных конструкциях. – М.: Машиностроение-1, 2005. – 226 с.

8. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. – М.: Иностр. лит., 1963. – 535 с.

9. Determination of Residual Stresses in Products in Additive Production by the Layer-by-Layer Photopolymerization Method / P.S. Bychkov, V.M. Kozintsev, A.V. Manzhirov [et al.] // Mechanics of Solids. – 2017. – Vol. 52. – No 5. – P. 524–529.

10. Manzhirov A.V., Parshin D.A. Application of prestressed structural elements in the erection of heavy viscoelastic arched structures with the use of an additive technology // Mechanics of Solids. – 2016. – Vol. 51. – No. 6. – P. 692–700.

11. Residual stresses and viscoelastic deformation of an injection molded automotive part / S.H. Kim, C.H. Kim [et al.] // Korea-Australia rheology journal. – 2007. – Vol. 19. – No. 4. – P. 183–190.

12. Magnier A., Scholtes B., Niendorf T. On the reliability of residual stress measurements in polycarbonate samples by the hole drilling method // Polymer Testing – 2018. – Vol. 71. – P. 329–334.

13. Zhang J.T., M. Zhang, Li S.X. Residual stresses created during curing of a polymer matrix composite using a viscoelastic model // Composites Science and Technology – 2016. – Vol. 130. – P. 20–27.

14. Viscoelastic Finite Element Analysis of Residual Stresses in Porcelain-Veneered Zirconia Dental Crowns / J. Kim, S. Dhital, P. Zhivago [et al.] // Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. – 2018. – Vol. 82. – P. 202–209.

15. A three-dimensional thermo-viscoelastic analysis of process-induced residual stress in composite laminates / A. Ding, S. Li, J. Wang, L. Zu // Composite Structures. – 2015. –
Vol. 129. – P. 60–69.

16. Wang B., Fancey K. Viscoelastically prestressed poly­meric matrix composites: An investigation into fibre deformation and prestress mechanisms // Composites Part A: Applied Science and Manufacturing. – 2018. – Vol. 111. – P. 106–114.

17. Residual stress in polyethylene pipes / J. Poduška, P. Hu­tařa, J. Kučerac [et al.] // Polymer Testing. – 2016. – Vol. 54. – P. 288–295.

18. Dudarev V., Nedin R., Vatulyan A. Vibrations of inhomo­geneous piezoelectric bodies in conditions of residual stress–strain state // Applied Mathematical Modelling, – 2018. – Vol. 16. – P. 212–243.

19. Vatulyan A.O., Dudarev V.V., Mnukhin R.M. Deter­mi­nation of the Inhomogeneous Preliminary Stress–Strain State in a Piezoelectric Disk // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. – 2018. – Vol. 59. – No. 3. – P. 181–190.

20. Dudarev V., Nedin R., Vatulyan A. Nondestructive identi­fi­cation of inhomogeneous residual stress state in deformable bodies on the basis of the acoustic sounding method // Adv. Mater. Res. – 2014. – Vol. 996. – P. 409–414.

21. Ватульян А.О., Недин Р.Д. Сравнительный анализ предварительного состояния в неоднородных балках // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. – 2016. – Т. 3, № 1. – С. 110–119.

22. Vatul’yan A.O., Dudarev V.V., Bogachev I.V. Deter­mi­nation of the prestressed state in a tube // Doklady Physics. – 2014. – Vol. 59. – No. 5. – P. 241–243.

23. Vatulyan A., Dudarev V., Mnukhin R. Vibration of a prestressed tube in the presence of plastic zone // Journal of Sound and Vibration. – 2016. – Vol. 374. – No. 4. – P. 92–101.

24. Detection of nonuniform residual strain in a pipe / I.V. Bo­gachev, V.V. Dudarev, R.D. Nedin, A.O. Vatulyan // International Journal of Solids and Structures. – 2018. – Vol. 139–140. – P. 121–128.

25. Nedin R., Vatulyan A. Inverse problem of non-homo­geneous residual stress identification in thin plates // International Journal of Solids and Structures. – 2013. – Iss. 50. – P. 2107–2114.

26. Nedin R.D., Vatulyan A.O., Bogachev I.V. Direct and inverse problems for prestressed functionally graded plates in the framework of the Timoshenko model // Math. Meth. Appl. Sci. – 2018. – Vol. 41. – No. 4. – P. 1600–1618.

27. Bogachev I.V., Vatulyan A.O., Yavruyan O.V. Recon­struc­tion of inhomogeneous properties of orthotropic viscoelastic layer // International Journal of Solids and Structures. – 2014. – Vol. 51. – No. 11–12. – P. 2238–2243.

28. Kuang Z.-B., Theory of Electroelasticity. – Springer: Heidelberg, New York, 2014. – 426 p.

29. Nedin R.D., Dudarev V.V., Vatulyan A.O. Some aspects of modeling and identification of inhomogeneous residual stress // Engineering Structures. – 2017. – Vol. 151. – P. 391–405.

30. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. – М.: Мир, 1974. – 338 с.

31. Методы прикладной вязкоупругости / А.А. Адамов, В.П. Матвеенко, Н.А. Труфанов, И.Н. Шардаков. – Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2003. – 411 с.

32. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука,
1978. – 512 c.

33. Truesdell C.A. A first course in rational continuum mechanics. – Baltimore. Maryland: The John Hopkins University, 1972. – 417 p.

34. Hoger A. On the determination of residual stress in an elastic body // Journal of Elasticity. – 1986. – Vol. 16. – P. 303–324.

35. Robertson R.L., Determining residual stress from boundary. Measurements: A linearized approach // Journal of Elasticity – 1998. – Vol. 52. – P. 63–73.

На основе анализа результатов экспериментальных исследований образцов из нержавеющей стали 12Х18Н10Т при жестком (контролируемые деформации) процессе деформирования, включающем последовательности монотонных и циклических режимов нагружения, в условиях одноосного растяжения-сжатия и нормальной температуры выявлены некоторые особенности и различия процессов изотропного и анизотропного упрочнений при монотонных и циклических нагружениях. Для описания этих особенностей в рамках теории пластичности (модель Бондаря), относящейся к классу теорий течения при комбинированном упрочнении, в пространстве тензора пластических деформаций вводится критерий смены направления пластического деформирования и поверхность памяти, позволившие разделить процессы монотонного и циклического деформирования. Для описания переходных процессов от монотонного к циклическому и от циклического к монотонному формулируются эволюционные уравнения для параметров изотропного и анизотропного упрочнений. Базовый эксперимент, на основе которого определяются материальные функции, состоит из трех этапов – циклического нагружения, монотонного нагружения и последующего циклического вплоть до разрушения. Приводится метод идентификации материальных функций по результатам базового эксперимента. Для нержавеющей стали 12Х18Н10Т на основе базового эксперимента и метода идентификации определены материальные функции при комнатной температуре. Приводятся результаты сравнения расчетных и экспериментальных исследований нержавеющей стали при жестком нагружении, состоящем из пяти этапов: циклического, монотонного, циклического, монотонного и циклического вплоть до разрушения. Сравниваются расчетная и экспериментальная кинетика напряженно-деформированного состояния по всему процессу деформирования. Анализируются изменения размаха и среднего напряжения цикла на этапах циклических напряжений. На этих этапах имеет место посадка петли гистерезиса. Получено надежное соответствие расчетных и экспериментальных результатов. Достаточно адекватное описание теорией процессов изменения кинетики, размахов и среднего напряжения цикла при жестком нагружении позволяет предположить возможность более адекватного описания и процессов мягкого нагружения особенно при нестационарных несимметричных режимах нагружения.

Ключевые слова: монотонные и циклические нагружения, теория пластичности, изотропное и анизотропное упрочнение, поверхность памяти, базовый эксперимент, метод идентификации.

Бондарь Валентин Степанович – д.ф.-м.н., проф., зав. каф., e-mail: tm@mami.ru, : 0000-0002-1047-7211

Абашев Дмитрий Рустамович – к.ф.-м.н., доц., e-mail: tm@mami.ru, : 0000-0002-1626-0662

1. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. - Л.: Машиностроение, 1990. - 224 с.
2. Бондарь В.С. Неупругое поведение и разрушение материалов и конструкций при сложном неизотермическом нагружении: дис. … д-ра физ.-мат. наук. - М.: Изд-во МАМИ, 1990. - 314 с.
3. Бондарь В.С. Неупругость. Варианты теории. - М.: Физматлит, 2004. - 144 с.
4. Бондарь В.С., Даншин В.В. Пластичность. Пропорциональные и непропорциональные нагружения. - М.: Физматлит, 2008. -176 с.
5. Bondar V.S. Inelasticity. Variants of the theory. - New York: Begell House, 2013. - 194 p.
6. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. - М.: Физматлит, 2008. - 424 с.
7. Прикладная теория пластичности / Ф.М. Митенков [и др.]. – М.: Физматлит, 2015. – 284 с.
8. Прикладная теория вязкопластичности: моногр. / И.А. Волков [и др.]. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2015. – 318 с.
9. Волков И.А., Игумнов Л.А. Введение в континуальную механику поврежденной среды. – М.: Физматлит, 2017. 304 с.
10. Капустин С.А., Чурилов Ю.А., Горохов В.А. Моделирование нелинейного деформирования и разрушения конструкций в условиях многофакторных воздействий на основе МКЭ. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2015. 347 с.
11. Нелинейная механика материалов / Ж. Бессон
    [и др]. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. – 397 с.
12. Bari S., Hassan T. An advancement in cyclic plasticity modeling for multiaxial ratcheting simulation // Int. J. of Plasticity. - 2002. - Vol. 18. - P. 873–894.
13. Kan Q., Kang G. Constitutive model for uniaxial transformation ratcheting of super-elastic NiTi shape memory alloy at room temperature. // Int. J. of Plasticity. - 2009. - Vol. 26(3). - P. 441–465. DOI:10.1016/j.ijplas.2009.08.005
14. Chaboche J.-L. A review of some plasticity and viscoplasticity constitutive theories // Int. J. of Plasticity. - 2008. – Vol. 24. - P. 1642–1692.
15. Rahman S.M., Hassan T., Corona E. Evaluation of cyclic plasticity models in ratcheting simulation of straight pipes under cyclic bending and steady internal pressure // Int. J. of Plasticity. - 2008. – Vol. 24. - P. 1756–1791.
16. Abdel-Karim M. Modified kinematic hardening rules for simulations of ratchetting // Int. J. of Plasticity. - 2009. −
    Vol. 25. - P. 1560–1587.
17. Abdel-Karim M. An evaluation for several kinematic hardening rules on prediction of multiaxial stress-controlled ratchetting // Int. J. of Plasticity. - 2010. − Vol. 26. - P. 711–730.
18. Chaboche J.-L., Kanouté P., Azzouz F. Cyclic inelastic constitutive equations and their impact on the fatigue life predictions // Int. J. of Plasticity. - 2012. – Vol. 35. - P. 44–66.
19. Hassan T., Taleb L., Krishna S. Influence of non-proportional loading on ratcheting responses and simulations by two recent cyclic plasticity models // Int. J. Plasticity. - 2008. – Vol. 24. – P. 1863–1889.
20. Effect of dynamic strain aging on isotropic hardening in low cycle fatigue for carbon manganese steel / Z.Y. Huang, J.L. Cha­boche, Q.Y. Wang, D. Wagner, C. Bathias // Materials Science and Engineering. − 2014. - A589. − P. 34–40.
21. Kang G., Kan Q. Contitutive modeling for uniaxial time-dependent ratcheting of SS304 stainless steel // Mech. Mater. - 2007. − Vol. 39. − P. 488–499.
22. Taleb L., Cailletaud G. Cyclic accumulation of the inelastic strain in the 304L SS under stress control at room temperature: Ratcheting or creep // Int. J. Plasticity. − 2011. -
    Vol. 27 (12). − P. 1936–1958.
23. Taleb L. About the cyclic accumulation of the inelastic strain observed in metals subjected to cyclic stress control //
    Int. J. Plasticity. - 2013. − Vol. 43. − P. 1–19.
24. Taleb L., Cailletaud G., Saï K. Experimental and numerical analysis about the cyclic behavior of the 304L and 316L stainless steels at 350 °C // Int. J. Plasticity. - 2014. − Vol. 61. − P. 32–48.
25. Бондарь В.С., Даншин В.В., Макаров Д.А. Математическое моделирование процессов деформирования и накопления повреждений при циклических нагружениях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2014. - № 2. - С. 125–152.
26. Бондарь В.С., Даншин В.В., Кондратенко А.А. Вариант теории термопластичности // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 2. – С. 21–35. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.2.02
27. Бондарь В.С., Даншин В.В., Кондратенко А.А. Вариант теории термовязкопластичности // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 1. – С. 39–56. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.1.0.
28. Armstrong P.J., Frederick C.O. A mathematical representation of the multiaxial Bauscinger effect // CEGB Report No. RD/B/N/ 731. - 1966.
29. Кадашевич Ю.И. О различных тензорно-линейных соотношениях в теории пластичности // Исследования по упругости и пластичности. - Л.: Изд-во ЛГУ. − 1967. - Вып. 6. - С. 39-45.
30. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. мат. журн. - 1954. − Т. 6, вып. 3. - С. 314-324.
31. Prager W. The theory of plasticity: A Survey of Recent Achievements // Proc. Inst. Mech. Engrs. - London, 1955. – 169.41.
32. Ohno N., Wang J.-D. Kinematic hardening rules with critical state of dynamic recovery, part 1: formulations and basic features for ratcheting behavior // International Journal of Plasticity. - 1993. − Vol. 9. − P. 375–390.
33. Бондарь В.С., Абашев Д.Р., Петров В.К. Сравнительный анализ вариантов пластичности при циклических нагружениях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2017. – № 2. – C. 23–44. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.2.02
34. Коротких Ю.Г. Описание процессов накопления повреждений материала при неизотермическом вязкопластическом деформировании // Проблемы прочности. – 1985. –
    № 1. – С. 18–23.
35. Моделирование усталостной долговечности поликристаллических конструкционных сплавов при блочном несимметричном малоцикловом нагружении / И.А. Волков, Л.А. Игумнов, И.С. Тарасов, Д.Н. Шишулин, М.Т. Маркова // Проблемы прочности и пластичности. – 2018. – Т. 80, № 1. – С. 15–30.

Работа посвящена численному исследованию динамического поведения электроупругих коаксиальных оболочек, в кольцевом зазоре между которыми течет сжимаемая жидкость. Решение задачи осуществляется с использованием полуаналитического варианта метода конечных элементов. Оболочки выполнены из материала, обладающего пьезоэлектрическими свойствами и поляризованного в радиальном направлении, и рассматриваются в рамках классической теории, основанной на гипотезах Кирхгофа–Лява, а также уравнений линейной электроупругости. Распределение электрического потенциала по толщине принимается линейным. Движение сжимаемой невязкой жидкости описывается волновым уравнением, которое совместно с условиями непроницаемости и соответствующими граничными условиями преобразуются с помощью метода Бубнова–Галёркина. Давление жидкости на деформируемые тела вычисляется из линеаризованного уравнения Бернулли. Математическая постановка задачи динамики тонкостенных конструкций основана на вариационном принципе возможных перемещений. Оценка устойчивости базируется на вычислении и анализе комплексных собственных значений связанной системы уравнений, сформированной относительно неизвестных величин для упругой и жидкой сред. Электрические переменные исключаются на элементном уровне и оказывают влияние на динамические характеристики конструкции в виде присоединенной жесткости. Достоверность полученных результатов подтверждена путем сопоставления с известными данными для случая изотропных оболочек. Представлены исследования границ устойчивости при различных геометрических размерах, вариантах кинематических граничных условий (свободное опирание и жесткая заделка на обоих краях, консольное закрепление) и разной величине кольцевого зазора между оболочками. Оценено влияние электрических граничных условий, задаваемых на электродированных поверхностях внутренней и наружной оболочек, на критические скорости потока жидкости и формы потери устойчивости.

Ключевые слова: коаксиальные цилиндрические оболочки, пьезоэлектрический материал, потенциальная жидкость, метод конечных элементов, устойчивость, дивергенция, флаттер

Бочкарев Сергей Аркадьевич – к.ф.-м.н., с.н.с., e-mail: bochkarev@icmm.ru, : 0000-0002-9722-1269

Лекомцев Сергей Владимирович – к.ф.-м.н., н.с., e-mail: lekomtsev@icmm.ru, : 0000-0002-8331-2979

1. Abramovich H. Intelligent Materials and Structures. – Berlin: De Gruyter, 2016. – 378 p.
2. Kaljevic I., Saravanos D.A. Steady-state response of acoustic cavities bounded by piezoelectric composite shell structures // J. Sound Vib. – 1997. – Vol. 204. – No. 3. – P. 459–476. DOI: 10.1006/jsvi.1996.0911
3. Saravanos D.A. Mixed laminate theory and finite element for smart piezoelectric composite shell structures // AIAA J. – 1997. – Vol. 35. – No. 8. – P. 1327–1333. DOI: 10.2514/2.264
4. Lammering R., Mesecke-Rischmann S. Multi-field variational formulations and related finite elements for piezoelectric shells // Smart Mater. Struct. – 2003. – Vol. 12. – No. 6. – P. 904–913. DOI: 10.1088/0964-1726/12/6/007
5. Larbi W., Deü J.-F., Ohayon R. Vibration of axisymmetric composite piezoelectric shells coupled with internal fluid // Int. J. Num. Meth. Eng. – 2007. – Vol. 71. – No. 12 – P. 1412–1435. DOI: 10.1002/nme.1987
6. Deü J.-F., Larbi W., Ohayon R. Piezoelectric structural acoustic problems: Symmetric variational formulations and finite element results // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. – 2008. –
   Vol. 197. – No. 19-20. – P. 1715–1724. DOI: 10.1016/j.cma.2007.04.014
7. Larbi W., Deü J.-F., Ohayon R. Finite element formulation of smart piezoelectric composite plates coupled with acoustic fluid // Compos. Struct. – 2012. – Vol. 94. – No. 2. – P. 501–509. DOI: 10.1016/j.compstruct.2011.08.010
8. Ray M.C., Reddy J.N. Active damping of laminated cylindrical shells conveying fluid using 1-3 piezoelectric composites // Compos. Struct. – 2013. – Vol. 98. – P. 261–271. DOI: 10.1016/j.compstruct.2012.09.051
9. Miramini S.M., Ohadi A. Three-dimensional vibration of fluid-conveying laminated composite cylindrical shells with piezoelectric layers // Int. J. Struct. Stab. Dyn. – 2019. – Vol. 19. – 19500263. DOI: 10.1142/S0219455419500263
10. Кудрявцев Е.П. О колебаниях коаксиальных упругих цилиндрических оболочек, между которыми течет сжимаемая жидкость // Теория оболочек и пластин. – АН АрмССР. – Ереван, 1964. – С. 606–612.
11. Козаров М., Младенов К. Гидроупругая устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек // Прикладная механика. – 1981. – Т. 17, № 5. – С. 57–65,
12. Païdoussis M.P., Chan S.P., Misra A.K. Dynamics and stability of coaxial cylindrical shells containing flowing fluid // J. Sound Vib. – 1984. – Vol. 97. – P. 201–235. DOI: 10.1016/0022-460X(84)90319-5
13. Païdoussis M.P., Nguyen V.B., Misra A.K. A theoretical study of the stability of cantilevered coaxial cylindrical shells conveying fluid // J. Fluids Struct. – 1991. – Vol. 5. P. 127–164. DOI: 10.1016/0889-9746(91)90454-W
14. Païdoussis M.P., Misra A.K., Chan S.P. Dynamics and stability of coaxial cylindrical shells conveying viscous fluid // Appl. Mech. – Vol. 52. – P. 389–396. DOI: 10.1115/1.3169059
15. Païdoussis M.P., Misra A.K., Nguyen V.B. Internal- and annular-flow-induced instabilities of a clamped-clamped or cantilevered cylindrical shell in a coaxial conduit: the effects of system parameters // J. Sound Vib. – Vol. 159 – P. 193–205. DOI: 10.1016/0022-460X(92)90031-R
16. El Chebair A., Païdoussis M.P., Misra A.K. Experimental study of annular-flow-induced instabilities of cylindrical shells // J. Fluids Struct. – 1989. – Vol. 3. – P. 349–364. DOI: 10.1016/S0889-9746(89)80016-7
17. El Chebair A., Misra A.K., Païdoussis M.P. Theoretical study of the effect of unsteady viscous forces on inner- and annular-flow-induced instabilities of cylindrical shells // J. Sound
    Vib. – 1990. – Vol. 138 – P. 457–478. DOI: 10.1016/0022-460X(90)90599-U
18. Horáček J. Approximate theory of annular flow-induced instabilities of cylindrical shells // J. Fluids Struct. – 1993. –
    Vol. 7. – P. 123–135. DOI: 10.1006/jfls.1993.1010
19. Nguyen V.B., Païdoussis M.P., Misra A.K. A CFD-based model for the study of the stability of cantilevered coaxial cylindrical shells conveying viscous fluid // J. Sound Vib. 1994. – Vol. 176. – P. 105–125. DOI: 10.1006/jsvi.1994.1361
20. Nguyen V.B., Païdoussis M.P., Misra A.K. An experimental study of the stability of cantilevered coaxial cylindrical shells conveying fluid // J. Fluids Struct. – 1993. – Vol. 7. –
    P. 913–930. DOI: 10.1006/jfls.1993.1054
21. Amabili M., Garziera R. Vibrations of circular cylindrical shells with nonuniform constraints, elastic bed and added mass; Part II: Shells containing or immersed in axial flow // J. Fluids Struct. – 2002. – Vol. 16. – P. 31–51. DOI: 10.1006/jfls.2001.0402
22. Amabili M., Garziera R. Vibrations of circular cylindrical shells with nonuniform constraints, elastic bed and added mass; Part III: Steady viscous effects on shells conveying fluid // J. Fluids Struct. – 2002. – Vol. 16. – P. 795–809. DOI: 10.1006/jfls.446
23. Бочкарев С.А., Матвеенко В.П. Динамическое поведение упругих коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих движущуюся в них жидкость // ПММ. – 2010. –
    Т. 74, № 4. – С. 655–666.
24. Бочкарев С.А., Матвеенко В.П. Анализ устойчивости нагруженных коаксиальных цилиндрических оболочек с внутренним течением жидкости // Изв. РАН. МТТ. – 2010. –
    Т. 45, № 6. – С. 29–45.
25. Bochkarev S.A., Lekomtsev S.V., Matveenko V.P. Parametric investigation of the stability of coaxial cylindrical shells containing flowing fluid // Eur. J. Mech. A Solids. – 2014. –
    Vol. 47. – P. 174–181. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2014.04.003
26. Ning W.B., Wang D.Z., Zhang J.G. Dynamics and stability of a cylindrical shell subjected to annular flow including temperature effects // Arch. Appl. Mech. – 2016. – Vol. 86. –
    P. 643–656. DOI: 10.1007/s00419-015-1052-1
27. Ning W.B., Wang D.Z. Dynamic and stability response of a cylindrical shell subjected to viscous annular flow and thermal load // Int. J. Str. Stab. Dyn. – 2016. – Vol. 16. – 1550072. DOI: 10.1142/S0219455415500728
28. Hydroelastic stability of partially filled coaxial cylindrical shells / S.A. Bochkarev [и др.] // Acta Mech. – 2019. DOI: 10.1007/s00707-019-02453-4
29. Païdoussis M.P. Fluid-Structure Interactions: Slender Structures and Axial Flow. Vol. 2. 2nd ed. – London: Elsevier Academic Press, 2016. – 923 p.
30. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости. – М.: Наука, 1979. – 320 с.
31. Бочкарев С.А., Матвеенко В.П. Численное исследование влияния граничных условий на динамику поведения цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью //
    Изв. РАН. МТТ. – 2008. – № 3. – С. 189–199.
32. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость. – Киев: Наук. думка, 1989. – 280 с.
33. Rogacheva N.N. The theory of piezoelectric shells and plates. – London: CRC Press, 1994. – 249 p.
34. Sheng G.G., Wang X. Thermoelastic vibration and buckling analysis of functionally graded piezoelectric cylindrical shells // Appl. Math. Model. – 2010. – Vol. 34. – No. 9. – P. 2630–2643. DOI: 10.1016/j.apm.2009.11.024
35. Yao G., Li F.-M. The stability analysis and active control of a composite laminated open cylindrical shell in subsonic airflow // J. Intel. Mat. Sys. Struct. – 2014. – Vol. 25. – No. 3. – P. 259–270. DOI: 10.1177/1045389X13491020
36. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. – М.: Машиностроение, 1977. – 488 с.
37. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 544 с.
38. Shivakumar K.N., Krishna Murty A.V. A high precision ring element for vibrations of laminated shells // J. Sound Vib. – 1978. – Vol. 58. – P. 311–318. DOI: 10.1016/S0022-460X(78)80040-6
39. Матвеенко В.П., Севодин М.А., Севодина Н.В. Приложения метода Мюллера и принципа аргумента к задачам на собственные значения в механике деформируемого твердого тела // Вычисл. мех. сплош. сред. – 2014. – № 3. – С. 331–336. DOI: 10.7242/1999-6691/2014.7.3.32
40. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. – М.: Мир, 1984. – 333 с.
41. Chen S.S., Rosenberg G.S. Dynamics of a coupled shell-fluid system // Nucl. Eng. Des. – 1975. – Vol. 32. – No. 3. –
    P. 302–310. DOI: 10.1016/0029-5493(75)90101-6
42. Jeong K.-H. Natural frequencies and mode shapes of two coaxial cylindrical shells coupled with bounded fluid // J. Sound Vib. – 1998. – Vol. 215. – No. 1. – P. 105–124. DOI: 10.1006/jsvi.1998.1648
43. Бочкарев С.А., Лекомцев С.В., Сенин А.Н. Анализ пространственных колебаний коаксиальных цилиндрических оболочек, частично заполненных жидкостью // Вычисл. мех. сплош. сред. – 2018. – Т. 11, № 4. – С. 448–462. DOI: 10.7242/1999-6691/2018.11.4.35

Представлена методика решения контактных осесимметричных задач для ограниченных тел вращения из трансверсально-изотропного материала, находящихся одновременно под действием массовых сил.

Методика предполагает развитие энергетического метода граничных состояний, основу которого составляют понятия пространств внутренних и граничных состояний, сопряженных изоморфизмом, что позволяет установить взаимно однозначное соответствие между элементами этих пространств. Во внутреннее состояние входят компоненты тензора напряжений, деформаций и вектора перемещений. В граничное состояние входят усилия и перемещения на границе и массовые силы. Доказан изоморфизм пространств состояний, отыскание внутреннего состояния сводится к исследованию изоморфного ему граничного состояния. Базис формируется, основываясь на общем решении краевой задачи для трансверсально-изотропного тела вращения и способе создания базисных векторов перемещения в задаче по определению состояния от непрерывных неконсервативных массовых сил. Проводится ортогонализация пространств состояний, где в качестве скалярных произведений в пространстве внутренних состояний применяется двойная внутренняя энергия упругого деформирования; в пространстве граничных состояний используется работа внешних и массовых сил. Окончательно, отыскание искомого состояния сводится к решению бесконечной системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье.

Представлено решение задачи контакта без трения в контактирующих поверхностях для кругового в плане цилиндра. Материал цилиндра – трансверсально-изотропный алевролит с осью анизотропии, совпадающей с геометрической осью симметрии. На тело действуют массовые силы, имитирующие центробежные силы инерции и силы тяжести. Механические характеристики имеют аналитический полиномиальный вид. Представлены явные и косвенные признаки сходимости решения задач и графическая визуализация результатов.

Ключевые слова: метод граничных состояний, трансверсально-изотропные тела, массовые силы, краевые задачи, пространство состояний, контактная задача, осесимметричные задачи.

Иванычев Дмитрий Алексеевич – к.ф.-м.н., доц., e-mail: Lsivdmal@mail.ru, : 0000-0002-7736-9311

1. Hertz H. Uber die Beruhrung fester elastischer Korper
   (On contact problem of elastic solids) // J. Reine Angew. Math. – 1881. – 92. – Р. 156–171.
2. Carter F.W. On the action of a locomotive driving wheel // Proc. Roy. Soc., Ser. A. – 1926. – Vol. 112. – Р. 151–157.
3. Cattaneo C. Sul contatto di due copri elastici: distribu­zione locale degli storzi // Rend. Dell’Academia nazionale dei Lincei. – 1938. – Vol. 27. – Ser. 6. – Р. 342–348.
4. Mindlin R.D. Compliance of elastic bodies in contact // J. Appl. Mech. – 1949. – Vol. 16. – No. 3. – Р. 259–268.
5. Пожарский Д.А. Контактная задача для трансверсально-изотропного полупространства с неизвестной зоной контакта // Докл. акад. наук. – 2014. – Т. 455, № 2 – С. 158–161. DOI: 10.7868/80869565214080118
6. Бокий И.Б. Численный подход к решению контактной задачи взаимодействия двух упругих тел с учетом трения и истории приложения внешнего нагружения / Вестн. ЯГУ. – 2006. – Т. 3, № 3.
7. Ищенко А.А., Ширяев А.В., Дегтяренко И.А. Исследование контактных напряжений упругих тел при наличии сил трения на площадке контакта // Вісник Приазовського державного технічного університету. Серія: Технічні науки. – 2012. – Вип. 24.
8. Золотов Н.Б., Пожарская Е.Д., Пожарский Д.А. К контактным задачам для цилиндра // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. – 2017. – № 2. DOI: 10.23683/0321-3005-2017-2-12-14
9. Айзикович С.М., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Контактные задачи для упругих оснований с функционально-гради­ентными покрытиями сложной структуры // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2009. – Т. 9. – Вып. 4, ч. 2.
10. Напряженно-деформированное состояние при контакте цилиндров в условиях перекоса / Ф.Г. Нахатакян [и др.] // Изв. ТулГУ. Технические науки. – 2016. – Вып. 4.
11. Привалихин Р.С. Напряженное состояние в зоне контакта двух цилиндрических тел конечной длины // Изв. Самар. науч. центра РАН. – 2011. – Т. 13, № 1(3). – С. 599–603.
12. Молчанов А.А., Пожарский Д.А. Обобщения контактной задачи Галина и взаимодействие штампов // Вестн. Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – № 4 (4). – С. 1636–1638.
13. Сравнение вариантов метода множителей Лагранжа для решения двумерных контактных задач / М.П. Галанин [и др.] // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. – 2017. – № 5. – С. 35–48. DOI: 10.18698/1812-3368-2017-5-35-48
14. Азаров А.Д., Журавлев Г.А., Пискунов А.С. Сравнительный анализ аналитического и численного методов решения плоской задачи о контакте упругих цилиндров // Инновационная наука: междунар. науч. журн. – 2015. – № 1–2. – С. 5–13.
15. Яковлев М.Е. Выбор итерационных параметров при использовании метода Шварца для решения контактных задач // Universum: Технические науки: электрон. научн. журн. –
    2018. – № 6 (51).
16. Пеньков В.Б., Рожков А.Н. Метод граничных состояний в основной контактной задаче теории упругости // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Механика. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. – Т. 11. – Вып. 2. – С. 101–106.
17. Пеньков В.Б., Саталкина Л.В., Теплова С.С. Контактное взаимодействие шара со сфероидом по полной границе // Вестн. Лип. гос. техн. ун-та. – 2012. – № 1 (20). – С. 36–41.
18. Пеньков В.Б., Саталкина Л.В., Теплова С.С. Метод граничных состояний в контактной задаче теории упругости // Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященная 90-летию профессора Л.А. Толоконникова: материалы междунар. науч. конф. (Россия, Тула, 16-20.09. 2013). – Тула: Изд-во ТулГУ. – 2013. – С. 436–439.
19. The method of boundary states in problems of torsion of anisotropic cylinders of finite length / D.A. Ivanychev [et al.] // International Transaction Journal of Engineering, Management, & Applied Sciences & Technologies. – 2019. – Vol. 10. – No. 2. – Р. 183–191. DOI: 10.14456/ITJEMAST.2019.18
20. Голоскоков Д.П., Данилюк В.А. Моделирование напряженно-деформированного состояния упругих тел с помощью полиномов // Вестн. гос. ун-та морского и речного флота им. адмирала С.О. Макарова. – 2013. – № 1.
21. Агаханов Э.К. О развитии комплексных методов решения задач механики деформируемого твердого тела // Вестн. Даг. гос. техн. ун-та. Технические науки. – 2013. – № 2 (29). – С. 39–45.
22. Стружанов В.В. О решении краевых задач теории упругости методом ортогональных проекций // Математическое моделирование систем и процессов. – 2004. – № 12.
23. Агаханов Э.К., Магомедэминов Н.С. Условия эквивалентности воздействий для перемещений // Вестн. Даг. гос. техн. ун-та. Технические науки. – 2007. – № 12. – С. 27–28.
24. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Нестационарное осесимметричное деформирование упругой толстостенной сферы под действием объемных сил // Прикладная механика и техническая физика. – 2015. – Т. 56, № 6. – С. 59–69.
25. Фукалов А.А. Задачи об упругом равновесии составных толстостенных трансверсально-изотропных сфер, находящихся под действием массовых сил и внутреннего давления, и их приложения // ХI Всерос. съезд по фундамент. пробл. теор. и прикл. мех. – Казань, 2015. – С. 3951–3953.
26. Иванычев Д.А., Пеньков В.Б. Фундаментальное решение как подход к решению анизотропных задач статики // Наука и бизнес: пути развития. – 2017. – № 8 (74). – С. 52–56.
27. Кузьменко Н.В., Левина Л.В. Обратный метод эффективного анализа состояния упругого тела от массовых сил из класса непрерывных // ХI Всерос. съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сб. докл. – Казань, 2015. – С. 2276–2278.
28. Пеньков В.Б., Левина Л.В., Кузьменко Н.В. Анализ напряженно-деформированного состояния массива, ослабленного взаимодействующими подземными хранилищами газа // Успехи современного естествознания. – 2017. – № 9 – С. 95–101.
29. Пеньков В.Б, Кузьменко Н.В., Левина Л.В. Решение задач изотропной теории упругости при наличии массовых непрерывных сил // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы междунар. науч. конф. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. – С. 259–265.
30. Пеньков В.Б., Пеньков В.В., Викторов Д.В. Учет массовых сил в методе граничных состояний // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2005. – Т. 11. – Вып. 2. – С. 94–100.
31. Пеньков В.Б., Новикова О.С., Левина Л.В. Состояние упругого тела при нагружении комбинацией объемных сил // Вестн. Лип. гос. техн. ун-та. – 2017. – № 4.– С. 25–56.
32. An algorithm for full parametric solution of problems on the statics of orthotropic plates by the method of boundary states with perturbations / V.B. Penkov [et. al.] // Journal of Physics: Conf. Series 973. – 2018. – 012015. – DOI: 10.1088/1742-6596/973/1/012015
33. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости (применение методов теории функций комплексного переменного). – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. – 464 с.
34. Иванычев Д.А. Метод граничных состояний в приложении к осесиметричным задачам для анизотропных тел // Вести высших учебных заведений Черноземья: науч.-техн. и производ. журн. – Липецк, 2014. – № 1. – С. 19–26.
35. Иванычев Д.А. Исследования равновесия транстропного упругого цилиндра методом граничных состояний // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы междунар. науч. конф. – Тула: Изд-во ТулГУ. – 2012. – С. 145–149.
36. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Дальневосточный математический журнал. – 2001. – Т. 2, № 2. – С. 115–137.
37. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – 2-е изд. – М.: Наука, 1977. – 416 с.
38. Новацкий В. Теория упругости. – М.: Мир, 1975. – 872 с.
39. Саталкина Л.В. Наращивание базиса пространства состояний при жестких ограничениях к энергоемкости вычислений // Сб. тез. докл. науч. конф. студентов и аспирантов Лип. гос. техн. ун-та. – Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2007. – С. 130–131.
40. Иванычев Д.А. Метод граничных состояний в задачах теории анизотропной упругости. LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG Dudweiler Landstr, 66123 Saarbrucken, Germany, 2011. – 99 с.

Дан сравнительный анализ основных методов исследования структурно-фазовых превращений, протекающих в наноструктурах металлов и сплавов в процессе пластического деформирования под давлением. Показано, что адекватное описание изменений в структуре гидростатически сжатых материалов при деформировании невозможно без использования континуальных моделей линейных, планарных и точечных дефектов, составляющих основу любой наноструктуры.

В рамках теории необратимых деформаций, основанной на континуальной модели Дебая и приближении Грюнайзена, исследованы объемные свойства дислокаций, их скоплений и межкристаллитных границ. Показано, что дислокации должны иметь избыточный объем, величина которого определяется асимметрией потенциалов межатомных взаимодействий по отношению к растяжению и сжатию материала. Приведены данные, свидетельствующие о значительном влиянии избыточного объема на скорость процессов диффузионного массопереноса вдоль дислокационных линий. Показано также, что избыточный объем дислокационных скоплений существенно зависит не только от объемных свойств индивидуальных дислокаций, но и от структуры скоплений.

Полученные результаты применяются к анализу проблем, возникающих при исследовании эффектов увеличения пластичности материалов под давлением. Показано, что сжимающее давление может способствовать увеличению скорости процессов релаксации внутренних напряжений и подавлять процессы концентрации напряжений в местах зарождения очагов разрушения материалов. Однако оно не препятствует процессам развития дефектов сплошности, и при достаточно низких температурах условия гидростатического сжатия могут приводить к ускорению процессов порообразования.

Рассмотрены методы описания деформационного взаимодействия точечных дефектов в химически неоднородных материалах. Дается анализ недостатков существующих микроскопических и континуальных теорий, применяемых к описанию объемных свойств точечных дефектов в неоднородных средах, соответствующих наноструктурам металлов и сплавов. Предложены модели, описывающие нелокальное деформационное взаимодействие точечных дефектов в континуальных средах с любыми свойствами анизотропии.

Ключевые слова: наноматериалы, избыточный объем дефектов кристаллической решетки, влияние давления на пластичность и разрушение, континуальные модели сплавов.

Васильев Леонид Сергеевич – д.ф.-м.н., доц., в.н.с., e-mail: VasilyevLS@yandex.ru,

Ломаев Степан Леонидович – к.ф.-м.н., с.н.с. e-mail: lomayevst@yandex.ru,

1. Estrin E.,  Vinogradov  A. Extreme grain refinement by severeplastic deformation: A wealth of challenging science / Acta Materialia. – 2013. – Vol. 61. – P. 782–817.

2. Васильев Л.С., Корзников А.В. Неравновесные кооперативные явления и процессы при интенсивном пластическом деформировании металлов и сплавов. I. Деформационно-индуцированные структурные превращения // Деформация и разрушение материалов. – 2014. – № 3. – С. 2–11.

3. Полухин П.И., Горелик С.С., Воронцов В.К. Физические основы пластической деформации. – М.: Металлургия, 1982. – 584 с.

4. Валиев Р.З., Александров И.В. Объемные наноструктурные металлические материалы: получение, структура и свойства. – М.: Академкнига, 2007. – 389 с.

5. Бокштейн Б.С., Копецкий Ч.В., Швиндлерман Л.С. Термодинамика и кинетика границ зерен в металлах. – М.: Металлургия, 1986. – 224 с.

6. Васильев Л.С., Ломаев С.Л. Избыточный объем материалов с дислокациями // ФММ (в печати).

7. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. – М.: Атомиздат, 1972. – 598 с.

8.Фридель Ж. Дислокации. – М.: Мир, 1967. – 643 с.

9. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов. – М.: Металлургия, 1984. – 280 с.

10.Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. – М.: Мир, 1985. – 352 с.

11. Henager C.H.Jr., Hoagland R.G. Dislocation core fields and forces in FCC metals // Scripta Materialia. – 2004. – Vol. 50. – P. 1091–1095.

12. Clouet E., Ventelon L., Willaime F. Dislocation Core Ener­gies and Core Fields from First Principles // Phys. Rev. Letters. – 2009. – Vol. 102. – 055502. – P. 1–4.

13. Васильев Л.С., Ломаев С.Л. Упругие свойства, внутренние напряжения и свободный объем наноматериалов // ФММ. – 2017. – T. 118, № 7. – C. 735–742.

14. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. – М.: Наука, 1970. – 568 с.

15. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. – М.: Мир, 1982. – 488 с.

16. Штремель М. А. Прочность сплавов, I. Дефекты решетки. – М.: Металлургия, 1982. – 277 с.

17. Бокштейн С.З. Строение и свойства металлических сплавов. – М.: Металлургия, 1971. – 496 с.

18. Numerical Data and Functional Relationships in Science and Technology. Group III: Crystal and Solid State Physics. Vol. 26. Diffusion in Solid Metals and Alloys. Ed. H. Mehrer. – Berlin-Heidelberg–New York–London–Paris–Tokyo–HongKong–Barce­lona: Springer-Verlag, 1990. – 747 p.

19. Влияние размера зерна на плотность объемных нанокристаллических материалов / М.И. Алымов, А.Б. Анкудинов, К.Н. Агафонов, В.А. Зеленский, С.И. Аверин // Металлы. – 2005. – № 3. – С. 95–97.

20. Васильев Л.С., Ломаев С.Л. Механизм образования избыточного объема в однокомпонентных нанокристаллических материалах // Физическая мезомеханика. – 2017. – T. 20, № 2. – C. 50–60.

21. Структура межкристаллитных и межфазных границ / В.М. Косевич, И.М. Иевлев, Л.С. Палатник, А.И. Федоренко. – М.: Металлургия, 1980. – 256 с.

22. Келли А., Гровс Г. Кристаллография и дефекты в кристаллах. – М.: Мир, 1974. – 496 с.

23. Васильев Л.С., Ломаев С.Л. Влияние давления на процессы формирования и эволюции наноструктуры в пластически деформируемых металлах и сплавах // ФММ (в печати).

24. Наблюдение аморфно-кристаллических фазовых переходов при мегапластической деформации спла­ва Ti50Ni25Cu25 / Г.И. Носова, А.В. Шалимова, Р.В. Сундеев, А.М. Глезер [и др.] // Кристаллография. – 2009. – Т. 54, № 6. – С. 1111–1118.

25. Новиков И.И., Портной В.К. Сверхпластичность сплавов с ультрамелким зерном. – М.: Металлургия, 1981. – 168 с.

26. Хачатурян А.Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов. – М.: Наука. 1974. – 383 с.

27. Кривоглаз М.А. Теория рассеяния рентгеновских лучей и тепловых нейтронов реальными кристаллами. – М.: Наука, 1967. – 336 с.

28. Смирнов А.А. Теория сплавов внедрения. – М.: Наука, 1979. – 363 с.

29. Кристиан Дж. Теория превращений в металлах и сплавах. Ч. 1. – М.: Мир, 1978. – 806 с

30. Физическое металловедение. – Т. 2. – М.: Металлургия, 1987. – 620 с.

31. Штремель М.А Прочность сплавов. II. Деформация. – М.: Изд-во МИСИС, 1997. – 527 с.

32. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. – М.: Изд-во иностр. лит., 1963. – 247 с.

33.Косевич А.М. Основы механики кристаллической решетки. – М.: Наука, 1972. – 280 с.

34. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела.
Т. 2. – М.: Мир, 1979. – 422 с.

35. Займан Дж. Принципы твердого тела. – М.: Мир,
1974. – 472 с.

36. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. – М.: Наука, 1987. – 248 с.

Одним из методов обнаружения и идентификации внутренних повреждений материалов и конструкций, широко применяемых на практике в различных областях машиностроения и геофизики, является неразрушающий ультразвуковой контроль. Для успешного использования данного метода необходима разработка математических моделей, описывающих рассеяние упругих волн на различных дефектах и неоднородностях. Современные композитные материалы делают актуальной задачу определения производственных или усталостных повреждений, расположенных на внутренних границах раздела разнородных сред. Для моделирования рассеяния упругих волн интерфейсными трещинами в настоящей работе используется аналитически ориентированный метод граничных интегральных уравнений (ГИУ). В рамках этого метода неизвестная функция раскрытия берегов трещины раскладывается в ряд ортогональных функций, и интегральное уравнение проецируется на некоторый набор функций. Регуляризация гиперсингулярных ГИУ методом Бубнова-Галеркина производится путем повторного интегрирования по берегам трещины. В данной работе с помощью метода ГИУ строится асимптотическое решение задачи о дифракции плоских упругих волн на полосовой интерфейсной трещине, расположенной между двумя разнородными полупространствами. Для рассеянного поля строится интегральное представление в терминах Фурье-образов матрицы Грина. Скачок перемещений на полосовой трещине раскладывается в ряд по полиномам Чебышева второго порядка. Предположение о малости характерного размера дефекта по сравнению с длиной падающей волны позволяет построить асимптотические представления для ядра интегрального уравнения в нуле и бесконечно удаленных точках. С помощью метода Бубнова-Галеркина находится асимптотическое зависящее от частоты решение ГИУ, которое имеет более широкий частотный диапазон сходимости по сравнению с известным квазистатическим решением. Хорошая согласованность построенного асимптотического решения с численным решением демонстрируется для разных пар материалов. Построенная асимптотика позволяет повысить эффективность МГИУ за счет уменьшения вычислительных затрат на расчет интегралов, а также может быть применена в рамках модели Бострема-Викхема для описания динамического поврежденных интерфейсов в более широком частотном диапазоне.

Ключевые слова: полосовая трещина, дифракция на трещине, метод граничных интегральных уравнений, гиперсингулярность, асимптотическое решение.

Дорошенко Ольга Валерьевна – к.ф.-м.н., доц., e-mail: oldorosh@mail.ru, : 0000-0002-8037-2976

Кириллова Евгения Вадимовна – к.ф.-м.н., проф., e-mail: evgenia.kirillova@hs-rm.de

Фоменко Сергей Иванович – к.ф.-м.н., доц., e-mail: sfom@yandex.ru, : 0000-0003-0087-4448

1. Викторов И.А. Физические основы применения ультра­звуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. – М.: Наука, 1966. – 320 с.
2. Achenbach J.D. Modeling for quantitative non-destructive evaluation // Ultrasonics. – 2002. – Vol. 40. – Р. 1–10.
3. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы // Прикладная математика и механика. – 1996. – Т. 60, № 2. – С. 282–289.
4. An analytically based computer model for surface measurements in ultrasonic crack detection / E. Glushkov, N. Glush­kova, A. Ekhlakov, E. Shapar // Wave Motion. – 2006. – No. 43. – Р. 458–473.
5. Ватульян А.О., Баранов И.В. Об определении конфигурации трещины в анизотропной упругой среде // Акустический журнал. – 2005. – Т. 51, № 4 – С. 456–462.
6. Углова Е.В., Тиратурян А.Н., Ляпин А.А. Ком­плекс­ный подход к исследованию характеристик динамического деформирования на поверхности нежестких дорожных одежд с использованием методов неразрушающего контроля // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 2. – С. 111130.
7. On the solution of crack identification problems in composite materials / A. Karmazin, E. Kirillova, W. Seemann, P. Syro­myat­nikov // Proc. Int. Symp. NDT Aerospace 2010. – 2010. – Р. 11–22.
8. Itou S. Three-dimensional wave propagation in a cracked elastic solid // J. Appl. Mech. – 1978. – Vol. 45. – Р. 807–811.
9. Visscher W. Scattering of elastic waves from planar cracks in isotropic media // J. Acoust. Soc. Am. – 1981. – Vol. 69. – No. 1. – Р. 50–53.
10. Krenk S., Schmidt H. Elastic wave scattering by a circular crack // Phil. Trans. R. Soc. London, Series A. – 1982. – Vol. 308. – No. 1502. – Р. 167–198.
11. Sumbatyan M.A., Remizov M.Yu. Asymptotic analysis in the anti-plane high-frequency diffraction by interface cracks // Appl. Math. Letters. – 2014. – Vol. 34. – Р. 72–75.
12. Мусшелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 513 с.
13. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. – М.: Наука, 1989. – 344 с.
14. Martin P.A., Rizzo F.J. On boundary integral equation for crack problems // Proc. R. Soc. London, Ser. A. – 1989. – Vol. 421. – Р. 341–355.
15. Zhang C., Gross D. On wave propagation in elastic solid with cracks. – Southampton: Computational Mechanics Publications, 2001. – P. 272.
16. Греков М.А. Сингулярная плоская задача теории упругости. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. – 192 с.
17. Nishimura N., Kobayashi S. A regularized boundary integral equation method for elastodynamic crack problems // Computational Mech. – 1989. – Vol. 4. – Р. 319–328.
18. Boström A. Review of hypersingular integral equation method for crack scattering and application to modeling of ultrasonic nondestructive evaluation // Appl. Mech. Rev. – 2003. – Vol. 56. – Р. 383–405.
19. Перельмутер М.Н. Исследование напряженно-дефор­ми­рованного состояния стоматологических имплантов методом граничных интегральных уравнений // Вестник Пермского национального исследовательского политехни­ческого университета. Механика. – 2018. – № 2. – С. 83–95.
20. Boström A, Golub M.V. Elastic SH wave propagation in a layered anisotropic plate with interface damage modelled by spring boundary condition // Q.J. Mech. Appl. Math. – 2009. – Vol. 62. – Р. 39–52.
21. Golub M.V., Boström A. Interface damage modelled by spring boundary conditions for in-plane elastic waves // Wave Motion. – 2011. – Vol. 48(2). – Р. 105–115. DOI: 10.1016/j.wavemoti.2010.09.003
22. Дорошенко О.В. Асимптотическое решение задачи о рассеянии плоских упругих волн на круговой интерфейсной трещине // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. – 2015. – № 2 – С. 30–38.
23. Golub M.V., Doroshenko O.V. Effective spring boundary conditions for modelling wave transmission through a composite with a random distribution of interface circular cracks // Int. J. Sol. Struct. – 2019. – Vol. 165. – Р. 115–126. DOI: 0.1016/j.ijsolstr.2015.11.021
24. Ватульян А.О., Явруян О.В. Асимптотический подход в задачах идентификации трещин // Прикладная математика и механика. – 2006. – № 4. – С. 714–725.
25. Ohyoshi T. Effect of orthotropy on singular stress produced near a crack tip by inсident SH waves // ZAMM – J. Appl. Math. Mech. – 1973. – Vol. 53. – Р. 409–411.
26. Айзикович С.М., Васильев А.С. Двухсторонний асимптотический метод решения интегрального уравнения контактной задачи о кручении неоднородного по глубине упругого полупространства // Прикладная математика и механика. – 2013. – Т. 77, № 1. – С. 129–137.
27. Андреев А.В. Суперпозиция степенно-логарифми­чес­ких и степенных сингулярных решений в двумерных задачах теории упругости // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 1. – С. 5–30.
28. Перельмутер М.Н. Модели и методы расчета процессов разрушения по границам соединения материалов: дис. … д-ра физ.-мат. наук. – 2015. – 356 c.
29. Немирович-Данченко М.М. Возможности обнаружения множественной трещиноватости сплошной среды на основе оценки спектральной плотности энергии отраженного сигнала // Физическая мезомеханика – 2013. – Т. 16, № 1. – С. 105–110.
30. Castaings M., Singh D., Viot P. Sizing of impact damages in composite materials using ultrasonic guided waves // NDT and E International. – 2012. – Vol. 46. – Р. 22–31.
31. Leckey C.A.C., Parker F. Raymond. Simulation based investigation of hidden delamination damage detection in CFRP composites // AIP Conference Proceedings. – 2014. – № 1. – Vol. 1581. – Р. 1114–1121.
32. Ishii Y., Biwa S. Transmission of ultrasonic waves at oblique incidence to composite laminates with spring-type interlayer interfaces // J. Acoust. Soc. Am. – 2015. – Vol. 138. – Р. 2800–2810. DOI.org/10.1121/1.4934265
33. Ishii Y., Biwa S. Ultrasonic bandgaps and interlaminar interface echoes of composite laminates: Analysis and experiments // J. Acoust. Soc. Am. – 2017. – Vol. 142. – No. 4. –
    Р. 2600–2623.
34. Guided wave propagation and scattering for structural health monitoring of stiffened composites / V. Memmolo, E. Monaco, N.D. Boffa, L. Maio, F. Ricci // Composite Structures. – 2018. – Vol. 184. – Р. 568–580.
35. Baik J.M., Thompson R.B. Ultrasonic scattering from imperfect interfaces: a quasi-static model // J. Nondestruct. Eval. – 1984. – Vol. 4. – Р. 177–196.
36. Effective spring stiffness for a planar periodic array of collinear cracks at an interface between two dissimilar isotropic materials / H. Lekesiz, N. Katsube, S.I. Rokhlin, R.S. Seghi // Mech. Materials. – 2011. – Vol. 43. – Р. 87–98.
37. Голуб М.В., Дорошенко О.В. Моделирование прохождения упругих волн через зоны неидеального контакта с помощью граничных условий пружинного типа // Проблемы прочности и пластичности. – 2015. – № 77. – С. 113–120.
38. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Интегральные преобразования и волновые процессы. – Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 2017. – 201 с.
39. Численный анализ сингулярных решений двумерных задач несимметричной теории упругости / В.В. Корепанов, В.П. Матвеенко, А.Ю. Федоров, И.Н. Шардаков // Изв. РАН. МТТ. – 2013. –№ 4 – с. 50–58.
40. Сметанин Б.И., Соболь Б.В., Волков С.С. Об одном эффективном методе решения сингулярных уравнений задач механики со смешанными граничными условиями // Вестник ДГТУ. – 2009. – Т. 9, № 4(43). – С. 589–598.
41. Ворович И.И. Метод Бубнова-Галеркина, его развитие и роль в прикладной математике // Успехи механики деформируемых сред. – М.: Наука, 1975. – C. 121–133.

42. Golub M.V., Zhang Ch. In-plane motion and resonance phenomena in a periodically layered composite with a strip-like crack // Wave Motion. – 2014. – Vol. 54. – Р. 308–322.

Приложения критериев и параметров механики трещин к условиям нелинейного деформирования при сложном напряженном состоянии имеют свои особенности. В основном эффекты влияния подобных состояний реализуются через зону пластической деформации в области вершины трещины, что предопределяет необходимость построения исследований в нелинейной постановке для определения параметров напряженно-деформиро­ванного состояния экспериментальных образцов и реальных элементов конструкций. В работе представлено обобщение реализованных подходов к решению задач вычислительной и экспериментальной механики трещин на основе единого параметра в форме пластического коэффициента интенсивности напряжений (КИН), учитывающего нелинейное поведение материала, условия нагружения, вид напряженного состояния и проявление эффектов стеснения во взаимно перпендикулярных направлениях. Результаты численных расчетов на основе метода конечных элементов, описанные в настоящей работе, дают наглядную иллюстрацию перспектив использования нелинейных параметров, учитывающих условия нагружения, влияние геометрии тела с трещиной, а также механические свойства в диапазоне температур при интерпретации и прогнозировании характеристик сопротивления деформированию и разрушению. Подход на основе пластического КИН позволяет получить однопараметрическую количественную оценку свойств сопротивления материала статическому и циклическому разрушению, свободную от влияния геометрии тела с трещиной и условий нагружения. Показана эффективность применения пластического КИН в задачах механики разрушения при сложном напряженном состоянии и смешанных формах деформирования. На примере диска паровой турбины реализовано практическое приложение концепции пластического КИН в порядке расчета долговечности на стадии роста поверхностной трещины.

Ключевые слова: пластический коэффициент интенсивности напряжений, эффекты стеснения, смешанные формы деформирования, сложное напряженное состояние, прогнозирование остаточной долговечности.

 Захаров Александр Павлович – к.ф.-м.н., зав.лаб., e-mail: alex.zakharov88@mail.ru, : 0000-0003-3568-1427

Шлянников Валерий Николаевич – д.т.н., проф., e-mail: shlyannikov@mail.ru, : 0000-0003-2468-9300

Иштыряков Иван Сергеевич – м.н.с., e-mail: ivan_200999@mail.ru, : 0000-0001-5122-2672

1. Rice J.R. A path Independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks // ASME. – 1967.
2. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – М.: Наука, 1974. – 640 c.
3. Hutchinson J.W. Plastic stress and strain fields at a crack tip // Journ. Mech. Phys. Solids. – 1968. – Vol. 16. – Р. 337–347.
4. Hutchinson J.W. Singular behaviour at the end of a tensile crack in a hardening material // Journ. Mech. Phys. Solids. –
   1968. – Vol. 16. – Р. 13–31.
5. Rice J.R., Rosengren G.F. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material // Journ. Mech. Phys. Solids. – 1968. – Vol. 16. – Р. 1–12.
6. Shlyannikov V.N., Tumanov A.V. Characterization of crack tip stress fields in test specimens using mode mixity parameters // International Journal of Fracture. – 2014. – Р. 49–76.
7. Surface flaw behavior under tension, bending and biaxial cyclic loading / V.N. Shlyannikov, A.V. Tumanov, A.P. Zakharov, A.A. Gerasimenko // International Journal of Fatigue. – 2016. – Vol. 92, part 2. – Р. 557–576.  DOI.org/10.1016/j.ijfatigue.2016.05.003
8. Шлянников В.Н., Захаров А.П. Закономерности развития поверхностных и сквозных трещин в алюминиевом сплаве Д16Т при двухосном нагружении // Труды Академэнерго. – 2016. – № 4. – С. 98–107.
9. Shlyannikov V.N., Yarullin R.R., Ishtyryakov I.S. Effect of temperature on the growth of fatigue surface cracks in aluminum alloys // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2018. – Vol. 96. – Р. 758–767. DOI.org/10.1016/j.tafmec.2017.11.003
10. Шлянников В.Н., Яруллин Р.Р., Иштыряков И.С. Развитие поверхностных трещин в полых цилиндрических образцах при комбинированном циклическом нагружении // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. – 2016. – Т. 82, № 8. – С. 47–54.
11. Яруллин Р.Р., Захаров А.П., Бойченко Н.В., Развитие поверхностных трещин в алюминиевом сплаве Д16Т при растяжении и трехточечном изгибе в диапазоне температур // Труды Академэнерго. – 2017. – № 4. – С. 112–125.
12. Shlyannikov V.N., Tumanov A.V., Zakharov A.P. Mixed mode crack growth rate in cruciform specimens subject to biaxial loading // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2014. – Vol. 53. – Р. 185–193. DOI.org/10.1016/j.tafmec.2014.06.016
13. Шлянников В.Н., Захаров А.П. Обобщенные диаграммы циклической трещиностойкости при двухосном нагружении // Труды Академэнерго. – 2015. – № 4. – С. 90–100.
14. Unified characterization of crack growth parameters based on plastic stress intensity factor / V.N. Shlyannikov, N.V. Boychenko, A.V. Tumanov, A.P. Zakharov // Procedia Materials Science. – 2014. – Vol. 3. – Р. 1606–1611. DOI.org/10.1016/j.mspro.2014.06.259
15. Shlyannikov V.N., Zakharov A.P., Lyagova A.A. Surface and through thickness crack growth in cruciform specimens subjected to biaxial loading // Procedia Structural Integrity. – 2016. – Vol. 2. – Р. 3248–3255. DOI.org/10.1016/j.prostr.2016.06.405
16. Shlyannikov V.N., Zakharov A.P., Yarullin R.R. Structural integrity assessment of turbine disk on a plastic stress intensity factor basis // International Journal of Fatigue. – 2016. – Vol. 92, part 1. – Р. 234–245. DOI.org/10.1016/j.ijfatigue.2016.07.016.
17. Shlyannikov V.N., Zakharov A.P., Yarullin R.R. A plastic stress intensity factor approach to turbine disk structural integrity assessment // Frattura ed Integrità Strutturale. – 2016. – Vol. 37. – Р. 193–199. DOI.org/10.3221/IGF-ESIS.37.25
18. Захаров А.П., Шлянников В.Н., Туманов А.В. Нелинейные параметры сопротивления разрушению для элементов авиационных конструкций при двухосном нагружении. // Изв. вузов. Авиационная техника. – 2018. – № 3. – С. 22–28. DOI: 10.3103/S1068799818030042
19. Hilton P.D, Hutchinson J.W. Plastic intensity factors for cracked plates // Eng. Fract.Mech. – 1971. – Vol. 3. – Р. 435–451.
20. Lee J.D., Liebowitz H. The nonlinear and biaxial effects on energy release rate, J-integral and stress intensity factor // Eng. Fract. Mech. – 1977. – Vol. 9. – Р. 765–779.
21. Shlyannikov V.N., Zakharov A.P. Generalization of mixed mode crack behaviour by the plastic stress intensity factor // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2017. – Vol. 91. – Р. 52–65. DOI.org/10.1016/j.tafmec.2017.03.014
22. Generalization of mixed mode crack behavior on the base of nonlinear fracture resistance parameters / V.N. Shlyan­nikov, A.P. Zakharov, A.V. Tumanov, A.M. Tartygasheva // Procedia Structural Integrity. – 2018. – Vol. 13. – Р. 1117–1122. DOI.org/10.1016/j.prostr.2018.12.234
23. Shih C.F. Small-scale yielding analysis of mixed mode plane-strain crack problems // ASTM STP 560. – 1974. – Р. 187–210.
24. ASTM Standard E1820-17. Standard test method for measurement of fracture toughness // ASTM International. – West Conshohocken, 2017. – 53 р.
25. The elastic and plastic constraint parameters for three-dimensional problems / V. Shlyannikov, N. Boychenko, A. Tuma­nov, A.Fernández-Canteli // Engineering Fracture Mechanics. – 2014. – Vol. 127. – Р. 83–96. DOI.org/10.1016/j.engfracmech.2014.05.015
26. Matvienko Yu.G. The effect of the Non-singular T-stress components on crack tip plastic zone under mode I loading // Procedia Materials Science. – 2014. – Vol. 3. – Р. 141–146. DOI.org/10.1016/j.mspro.2014.06.026
27. Zhao J., Guo W., She C. The in-plane and out-of-plane stress constraint factors and K-T-Tz description of stress field near border of semi-elliptical surface crack // International Journal of Fatigue. – 2007. – Vol. 29. – Р. 435–443.
28. Experimental and numerical analysis of in-plane and out-of-plane crack tip constraint characterization by secondary fracture parameters / J. Hebel, J. Hohe, V. Friedmann, D. Siegele // International Journal of Fracture. – 2007. – Vol. 146. – Р. 173–188.
29. Шлянников В.Н., Долгоруков В.А. Метод определения характеристик циклической трещностойкости для смешанных форм развития трещин // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. – 1987. – № 53. – С. 67–71.
30. Shlyannikov V.N. Modelling of crack growth by fracture damage zone // Theoretical and Applied Fracture Mecha­nics. – 1996. – Vol. 25. – Р. 187–201. DOI.org/10.1016/S0167-8442(96)00021-3

Рассматриваются оболочки произвольного вида, подкрепленные со стороны вогнутости перекрестной системой ребер, направленных параллельно координатным линиям. Места расположения ребер по оболочке задаются с помощью единичных столбчатых функций, так что контакт ребра и обшивки происходит по полосе. Срединная поверхность обшивки принимается за координатную поверхность. Учитываются геометрическая нелинейность, поперечные сдвиги, но считается, что оболочка пологая. Усилия выражаются через некоторую функцию напряжений в срединной поверхности обшивки таким образом, чтобы первые два уравнения равновесия выполнялись тождественно. Через эту функцию выражается и деформация обшивки. Введение ребер с помощью единичных столбчатых функций не вызывает затруднений при выражении деформаций через усилия и последующей подстановке их в моменты, так как единичные столбчатые функции могут быть и в знаменателе, чего нельзя сказать про дельта-функции (когда для узких ребер места расположения их задаются с помощью дельта-функций).

Из условия минимума полного функционала энергии деформации оболочки выводятся уравнения в смешанной форме. При этом, кроме уравнений равновесия, вариационный метод позволяет получить и третье уравнение совместности деформаций в срединной поверхности обшивки и для ребристых оболочек. В этом уравнении функции изменения кривизн и кручения записываются в том же виде, что и для модели Кирхгофа–Лява, хотя и учитываются поперечные сдвиги.

Приводятся уравнения в смешанной форме для ребристых оболочек общего вида и для модели Кирхгофа–Лява. Для ребристых пологих оболочек разработан алгоритм их решения и приводятся результаты расчета их устойчивости при различном числе подкрепляющих ребер.

Ключевые слова: оболочки, подкрепленные оболочки, вариационный метод, уравнения в смешанной форме, математическая модель,алгоритм, устойчивость.

Карпов Владимир Васильевич – д.т.н., проф., email: vvkarpov@lan.spbgasu.ru, : 0000-0001-7911-4067

1. Сухинин С.Н. Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек. – М.: Физматлит, 2010. – 248 с.
2. Shen H.-S., Yang D.-Q. Nonlinear vibration of anisotropic laminated cylindrical shells with piezoelectric fiber reinforced composite actuators // Ocean Engineering. – 2014. – Vol. 80. – P. 36–49. DOI: 10.1016/j.oceaneng.2014.01.016
3. Solovei N.A., Krivenko O.P., Malygina O.A. Finite element models for the analysis of nonlinear deformation of shells stepwise-variable thickness with holes, channels and cavities // Magazine of Civil Engineering. – 2015. – Vol. 53. – No. 1. – С. 56–69. DOI: 10.5862/MCE.53.6
4. Yu W., Li Z.L. Structural similitude for prestressed vibration and buckling of eccentrically stiffened circular cylindrical panels and shells by energy approach // International Journal of Structural Stability and Dynamics. – 2016. – Vol. 16. – No. 10. – P. 1550074. DOI: 10.1142/S0219455415500741
5. Бакусов П.А., Семенов А.А. Устойчивость сегментов тороидальных оболочек при изменении угла отклонения от вертикальной оси // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2017. – № 3. – С. 17–36. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.3.02
6. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. – М.; Л.: Гостехиздат, 1949. – 784 с.
7. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. – 119 с.
8. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. – 216 с.
9. Reddy J.N. Canonical relationships between bending solutions of classical and shear deformation beam and plate theories // Annals of Solid and Structural Mechanics. – 2010. – Vol. 1. – No. 1. – P. 9–27. DOI: 10.1007/s12356-009-0002-4
10. Никитин К.Е., Ступишин Л.Ю., Ватанин А.Н. Расчет ребристых оболочек в рамках геометрически нелинейной теории методом конечных элементов в смешанной формулировке // Изв. Юго-Зап. гос. ун-та. Сер.: Техника и технологии. – 2012. – № 2(2). – С. 27–30.
11. Коломоец А.А., Модин А.С. Устойчивость равновесных состояний цилиндрической оболочки при действии неравномерного внешнего давления // Изв. вузов. Строительство. – 2014. – № 1. – С. 13–17.
12. Спасская М.В., Трещев А.А. Термоупругое деформирование цилиндрической оболочки из анизотропного разносопротивляющегося материала // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яков­лева. Сер.: Механика предельного состояния. – 2015. – № 1 (23). – С. 65–74.
13. Zhang J., Campen van D.H. Stability and bifurcation of doubly curved shallow panels under quasi-static uniform load // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2003. – Vol. 38. – No. 4. – P. 457–466. DOI: 10.1016/S0020-7462(01)00069-5
14. Semi-analytical stability analysis of doubly-curved orthotropic shallow panels – considering the effects of boundary conditions / D.H. van Campen [et al.] // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2002. – Vol. 37. – No. 4–5. – P. 659–667. DOI: 10.1016/S0020-7462(01)00090-7
15. Seffen K.A. ‘Morphing’ bistable orthotropic elliptical shallow shells // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. – 2007. – Vol. 463. –
    No. 2077. – P. 67–83. DOI: 10.1098/rspa.2006.1750
16. Карпов В.В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения: в 2 ч. Ч. 1. Модели и алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения. – М.: Физматлит, 2010. – 288 с.
17. Антуфьев Б.А., Антуфьев С.Б., Сергеев В.Н. Свободные колебания цилиндрической оболочки, дискретно подкреплённой системой стрингеров // Изв. вузов. Авиационная техника. – 2000. – № 1. – С. 54–56.
18. Мехтиев М. А. Нелинейные параметрические колебания подкрепленной цилиндрической оболочки с вязкоупругим заполнителем // Механика машин, механизмов и материалов. – 2011. – № 3(16). – С. 28–30.
19. Kim Y.-W., Lee Y.-S. Transient analysis of ring-stiffened composite cylindrical shells with both edges clamped // Journal of Sound and Vibration. – 2002. – Vol. 252. – No. 1. – P. 1–17. DOI: 10.1006/jsvi.2001.4020
20. Librescu L., Chang M.-Y. Imperfection sensitivity and postbuckling behavior of shear-deformable composite doubly-curved shallow panels // International Journal of Solids and Structures. – 1992. – Vol. 29. – No. 9. – P. 1065–1083. DOI: 10.1016/0020-7683(92)90136-H
21. Dung D.V., Dong D.T. Post-buckling analysis of functionally graded doubly curved shallow shells reinforced by FGM stiffeners with temperature-dependent material and stiffener properties based on TSDT // Mechanics Research Communications. – 2016. – Vol. 78. – P. 28–41. DOI: 10.1016/j.mechrescom.2016.09.008.
22. Jaunky N., Knight N.F., Ambur D.R. Formulation of an improved smeared stiffener theory for buckling analysis of grid-stiffened composite panels // Composites Part B: Engineering. – 1996. – Vol. 27. – No. 5. – P. 519–526. DOI: 10.1016/1359-8368(96)00032-7
23. Brauns J., Skadins U. Semi-analytical postbuckling strength analysis of anisotropic shell structures // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. – 2017. – Vol. 251. – P. 012096. DOI: 10.1088/1757-899X/251/1/012096
24. Bich D.H., Ninh D.G. Research on dynamical buckling of imperfect stiffened three-layered toroidal shell segments containing fluid under mechanical loads // Acta Mechanica. – 2017. – Vol. 228. – No. 2. – P. 711–730. DOI: 10.1007/s00707-016-1724-0
25. Krysko V.A., Awrejcewicz J., Saveleva N.E. Stability, bifurcation and chaos of closed flexible cylindrical shells // International Journal of Mechanical Sciences. – 2008. – Vol. 50. – No. 2. – P. 247–274. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2007.07.006
26. Dey T., Ramachandra L.S. Dynamic stability of simply supported composite cylindrical shells under partial axial loading // Journal of Sound and Vibration. – 2015. – Vol. 353. – P. 272–291. DOI: 10.1016/j.jsv.2015.05.021
27. Dynamic Stability of Doubly Curved Orthotropic Shallow Shells Under Impact / J. Zhang [et al.] // AIAA Journal. – 2001. – Vol. 39. – No. 5. – P. 956–961. DOI: 10.2514/2.1401
28. Гольденвейзер А.Л. Уравнения теории оболочек // Прикладная математика и механика. – 1940. – № 2.
29. Karpov V.V. Models of the shells having ribs, reinforcement plates and cutouts // International Journal of Solids and Structures. – 2018. – Vol. 146. – P. 117–135. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2018.03.024
30. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. – М.: Наука, 1978. – 228 с.
31. Кузнецов Е.Б. Продолжение решения в многопараметрических задачах приближения кривых и поверхностей // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 2012. – Vol. 52. – № 8. – С. 1457–1471. DOI: 10.1134/S0965542512080076

32. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация (в прикладной математике и механике). – М.: Эдиториал УРСС, 1999. – 224 с.

Обеспечение надежности соединений деталей машин и механизмов закладывается еще на стадии проектирования. Исследования показывают, что более 80 % случаев выхода из строя машин и механизмов обусловлено процессами, происходящими в зоне контакта деталей. Поэтому современное инженерное проектирование трудно представить без инструментов для решения контактных задач. С точки зрения механики контактного взаимодействия стык соединений деталей машин является сложной технической системой. Поэтому для определения эксплуатационных показателей используется основной метод исследования сложных систем – метод математического моделирования. Метод расчета контактных сближений упругопластических гладких тел должен органично сочетаться с применением классических контактных задач теории упругости и пластичности в расчетах на прочность и жесткость в машиностроении. А применительно к исследованию шероховатых поверхностей необходимо органичное сочетание с разработанными теориями контактирования шероховатых поверхностей. Поэтому разработка вычислительной модели неупругого деформирования материалов является одной из фундаментальных проблем современного машиностроения. Для сокращения времени на процесс расчета динамических характеристик был создан расчетно-программный комплекс, в который была заложена модель расчета статических и динамических параметров (сближений, напряжений, амплитуд контактных колебаний), необходимых для описания и прогнозирования работы условно-неподвижных соединений деталей машин на стадиях проектных разработок. При создании расчетно-программного комплекса для оценки динамических характеристик механического контакта в упругопластическом диссипативном контакте были выделены факторы, определяющие состояние исследуемого объекта. К основным относятся: физико-механические свойства контактирующих тел, геометрические характеристики поверхностей, внешние условия.

Целью данной работы является анализ динамических характеристик контактного взаимодействия твердых тел за пределом упругости при нормальном направлении внешней нагрузки к плоскости контактирования, которые были получены с использованием расчетно-программного комплекса для оценки динамических характеристик механического контакта в упругопластическом диссипативном контакте. Приведенные теоретические результаты позволяют оценить как качество самого программного продукта, так и заложенной в расчетно-программном комплексе физико-математической модели.

Ключевые слова: динамические характеристики, механический контакт, упругопластическое взаимодействие, гладкая сфера, шероховатый штамп, расчетно-программный комплекс, свободные колебания.

Максименко Андрей Алексеевич – д.т.н., проф., зав. каф., e-mail: sopromat116@ mail.ru, : 0000-0001-5002-6266

Котенева Наталья Владимировна – к.т.н., доц., e-mail: sopromat116@ mail.ru, : 0000-0002-0956-7631

Перфильева Наталья Вадимовна – д.т.н., проф., e-mail: sopromat116@ mail.ru, : 0000-0001-7903-2862

Борисова Анастасия Дмитриевна – к.т.н., доц., e-mail: sopromat116@ mail.ru, : 0000-0001-5696-3760

1. Гусакова Л.В. К вопросу о контактном взаимодействии поверхностей твердых тел // Изв. ЮФУ. Технические науки. – 2008. – № 1 (78). – С. 136.
2. Ольшевский А.А., Винник Л.В., Фридберг А.М. Решение нормальной контактной задачи для шероховатых номинально плоских поверхностей методом конечных элементов // Динамика и прочность машин: сб. науч. тр. / Брянский ГТУ. – Брянск, 2000. – С. 102–108.
3. Геча В.Я., Иванов А.С., Половинкина Т.В. Колебания резьбовых соединений с собственной частотой, обусловленной контактной жесткостью стыка // Вестник машиностроения. – 2008. – № 12. – С. 23–31.
4. Расчет деформаций фрикционного соединения нагруженного сжимающей силой и произвольной системой моментов / А.С. Иванов, М.М. Ермолаев, Н.Н. Куралина, С.В. Муркин // Вестник машиностроения. – 2013. – № 7. – С. 17–19.
5. Гаврилова Т.М. Контактное трение в зоне деформации при ультразвуковом поверхностном пластическом деформировании // Вестник машиностроения. – 2008. – № 8. – С. 36–40
6. Александров В.М., Чебанов М.И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. – М.: Физматлит, 2004. – 304 с.
7. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Обзор контактных алгоритмов // Изв. РАН. МТТ. – 2005. – № 1. – С. 45–87.
8. Елисеев С.В., Артюнин А.И. Прикладная теория колебаний в задачах линейных механических системах. – Новосибирск: Наука, 2016. – 459 с.
9. Xiao S., Lu Z., Wang P. Multivariate global sensitivity analysis for dynamic models based on wavelet analysis 20-30 Reliability engineering & system safety // Elsevier Science Publishing Company. – 2018. – Vol. 170.
10. Си Ту Хтет Математическое моделирование контактного взаимодействия упругопластических тел: дис. … канд. техн. наук: 05.13.18. – М.: Изд-во Моск. гос. техн. ун-т им. Н.Э. Баумана 2013. – 137 с.
11. Беклемышева К.А., Петров И.Б., Фаворская А.В. Численное моделирование процессов в твердых деформируемых средах при наличии динамических контактов с помощью сеточно-характеристического метода // Труды МФТИ. Информатика, математическое моделирование, экономика. – 2013. – Т. 5, № 3. – С. 3–10.
12. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел / Г.В. Иванов, Ю.М. Волчков, И.О. Богульский [и др.]. – Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2006. – 349 с.
13. Science, Technology and Life – 2014: Proceedings of the international scientific conference. – Czech Republic, Karlovy Vary, 27–28 December 2014.
14. Абрамов И.В., Лекомцев П.В. Моделирование точности сопрягаемых поверхностей в конических соединениях // Вестник машиностроения. – 2015. – № 6. – С. 32–35.
15. Буланов Э.А. Осисимметричная контактная задача // Трение и износ. – 2006. – Т. 27, № 6. – С. 587–591.
16. Методика расчета сближения в контакте сферы с плоской поверхностью детали при малых нагрузках / М.М. Матлин, А.И. Мозгунова, Е.Н. Казанкина, В.А. Казанкина // Трение и износ. – 2015. – Т. 39, № 3. – С. 247–252.
17. Пановко М.Я. Численное моделирование точечного упругогидродинамического контакта с учетом локальных неровностей движущейся поверхности // Проблемы машиностроения и надежность машин. – 2010. – № 6. – С. 35–45.
18. Рубин А.М. Расчетная модель резьбовых соединений при произвольном порядке расположения зазоров между витками резьбы // Вестник машиностроения. – 2013. – № 2. – С. 31–33.
19. Свид. об официальной регистрации программы для ЭВМ. Расчетный комплекс точных соединений с учетом деформации в контакте сопряжения / Феропонтов В.А., Перфильева Н.В., Хохрякова М.В. № 2013660380; опубл. 27.07.2013, Бюл. № 3.
20. Котенева Н.В. Упругопластический динамический контакт твердых тел: моногр. – Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2011. – 127с.
21. Дрозд М.С., Матлин М.М., Сидякин Ю.И. Инженерные расчеты упругопластической контактной деформации. – М.: Машиностроение, 1986. – 224 с.
22. Сенашов С.И., Савостьянова И.Л., Фимошина Е.В. Точные решения уравнений идеальной пластичности в случае плоского напряженного состояния // Решетниковские чтения. – 2017. – С. 31–32.
23. Ланков А.А., Миронов В.А. Упругость, упругопластичность, пластичность в конструкционных средах. – Тверь: Изд-во ТГТУ, 1997. – С. 152–189.
24. Елисеев А.В., Артюнин А.И., Ситов И.С. Метод определения условий ненарушения контакта при вибрационных нагружениях с учетом неудерживающих связей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – 2017. – № 1. – С. 26–34.
25. Maximenko А.А., Koteneva N.V. Dynamic model of elas­toplastic contact interaction of smooth bodies // Bulletin of the Tomsk Polytechnic University. – 2007. – Vol. 310. – No. 2. – С. 60–63.
26. Максименко А.А., Котенева Н.В., Перфильева Н.В. Динамика взаимодействия твердых тел при наличии местной пластической деформации в зоне контакта // Ползуновский вестник. – 2009. – № 3–4. – С. 264–266.
27. Котенева Н.В., Перфильева Н.В., Перфильева А.Д. Упругопластическая модель контактного взаимодействия в условиях свободных колебаний // Вестн. Алтайской науки. – 2013. – № 2–2 – С. 210–213.
28. Hyun S., Robbins M.O. Elastic contact between rough surfaces // Trobology International. – 2007. – Vol. 40. –
    P. 1413–1422.
29. Образование «третьего тела» и положительный градиент механических свойств на примере химико-механи­ческого нанесения латунного покрытия / Г. Польцер, А. Фирковский, Рейнхольд, В. Мюллер, И. Ланге [и др.] // Трение и износ. – 1992. – Т. 13, № 1. – С. 67–70.
30. Михин Н.М. Внешнее трение твердых тел. – М.: Наука, 1977. – 221 с.

В динамических расчетах тонкостенных конструкций учет нелинейных вязкоупругих свойств материала играет важную роль для достоверной оценки прочностных возможностей конструкций. В связи с этим в механике деформируемого твердого тела уделяется большое внимание описанию нелинейных свойств материала и методам решения конкретных задач для различных тонкостенных конструкций при статических и динамических нагрузках. Часто тонкостенные конструкции типа пластин и оболочек играют роль несущей поверхности, к которым крепятся такие элементы конструкций, как накладки, крепления и различные узлы приборов. В динамических расчетах такие присоединенные элементы, имеющие инерционный характер, рассматриваются как дополнительные массы, жестко соединенные с системами и сосредоточенные в точках. Эффект действия сосредоточенных масс вводится с использованием дельта-функции Дирака.
В работе построена математическая модель, предложен метод решения и разработан вычислительный алгоритм задачи о колебаниях вязкоупругой пластины, несущей сосредоточенные массы, с учетом физически нелинейного деформирования материала при различных условиях закрепления контуров пластины в рамках гипотезы Кирхгофа–Лява. Физическая зависимость между напряжениями и деформациями с учетом нелинейности принята в виде интегральной модели Больцмана–Вольтерры, где при расчетах в качестве ядра релаксации принималось слабо-сингулярное ядро Колтунова–Ржаницына. С помощью метода Бубнова–Галёркина произведены дискретизации по пространственным переменным, и получены нераспадающиеся системы интегродифференциальных уравнений (ИДУ) относительно функции времени задачи. Для решения ИДУ предложен численный метод, основанный на использовании квадратурных формул, устраняющий особенности в ядре релаксации. Разработан единый вычислительный алгоритм для нахождения прогиба вязкоупругой пластины с сосредоточенными массами.

Ключевые слова: пластина, вязкоупругость, физическая нелинейность, сосредоточенные массы, метод Бубнова–Галеркина, ядро релаксации, математическая модель, численный метод, алгоритм, нелинейное интегродифференциальное уравнение.

Мирсаидов Мирзиёд Мирсаидович – д.т.н., проф., зав. каф., e-mail: theormir@mail.ru, : 0000-0002-8907-7869.

Абдикаримов Рустамхан Алимханович – д.ф.-м.н., доц., e-mail: rabdikarimov@mail.ru, : 0000-0001-8114-1187.

Ходжаев Дадахан Акмарханович – к.ф.-м.н., доц., e-mail: dhodjaev@mail.ru, : 0000-0001-5526-8723.

1. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 1966. – 752 с.
2. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. – М.: Высшая школа, 1976. – 276 с.
3. Каудерер Г. Нелинейная механика. – М.: ИЛ, 1961. – 777 с.
4. Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. – Киев: Технiка, 1976. – 176 с.
5. Бишимбаев В.К., Ширинкулов Т.Ш., Дасибеков А.Д. Изгиб, устойчивость и колебания составных анизотропных пластин, взаимодействующих с деформируемой средой. – Шымкент: Изд-во Южно-Казах. гос. ун-та им. М. Ауезова, 2004. – 294 с.
6. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. – М.: Наука, 1977. – 318 с.
7. Розовский М.И. Нелинейные интегрально-оператор­ные уравнения ползучести и задача о кручении цилиндра при больших углах крутки // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. – 1959. – № 5. – С. 109–116.
8. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической термовязкоупругости. – М.: Наука, 1970. – 280 с.
9. Москвитин В.В. Об одном методе решения задач нелинейной термовязкоупругости // Упругость и неупругость. – 1971. – Вып. 2. – С. 167–174.
10. Ширинкулов Т.Ш. О некоторых соотношениях между напряжениями и деформациями в физически нелинейных вязкоупругих средах // Докл. АН Республики Узбекистан. – 2005. – № 3. – С. 30–35.
11. Ширинкулов Т.Ш., Темиров О.Г., Абсаломов Ш.К. Динамика физически нелинейных вязкоупругих пластин и оболочек // Узбекский журнал проблем механики. – 2005. – № 5–6. – С. 54–59.
12. Ширинкулов Т.Ш., Индиаминов Р.Ш. Изгиб физически нелинейных вязкоупругих тонких пластинок // Докл. АН Республики Узбекистан. – 2007. – № 2. – С. 31–37.
13. Бадалов Ф. К решению одной системы нелинейных интегральных уравнений // Докл. АН УзССР. – 1973. – № 6. – С. 12–13.
14. Бадалов Ф. Об одном методе решения задачи колебаний гибких вязкоупругих пластинок // Докл. АН УзССР. – 1971. – № 12. – С. 12–13.
15. Бадалов Ф., Ширинкулов Т. Решения нелинейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра и их систем при помощи степенных рядов // Докл. АН УзССР. – 1971. – № 9. – С. 14–16.
16. Badalov F., Batirov R. On the solution of physically nonlinear quasistatic problems in viscoelasticity // Polymer Mechanics. – 1973. – Vol. 9. – Iss. 3. – Р. 496–498. DOI: 10.1007/BF00856406
17. Мирсаидов М.М., Трояновский И.Е., Балакиров А. Об одном способе решения задачи Коши для системы интегродифференциальных уравнений // Изв. АН РУз. Сер. техн. наук. – 1985. – № 6. – С. 32–36.
18. Koltunov M.A., Mirsaidov M., Troyanovskii I.E. Transient vibrations of axissymmetric viscoelastic shells // Polymer Mechanics. – 1978. – Vol. 14. – Iss. 2. – Р. 233–238. DOI: 10.1007/BF00857468
19. Mirsaidov M., Troyanovskii I.E. Forced axisymmetric oscillations of a viscoelastic cylindrical shell // Polymer Mechanics. – 1975. – Vol. 11. – Iss. 6. – Р. 953–955. DOI: 10.1007/BF00857626
20. Ishmatov A.N., Mirsaidov M.M. Nonlinear vibrations of an axisymmetric body acted upon by pulse loads // Soviet Applied Mechanics. – 1991. – Vol. 27. – Iss. 4. – Р. 388–394. DOI: 10.1007/BF00896519
21. Бадалов Ф., Ширинкулов Т. Колебания пластинок из нелинейно вязкоупругих материалов // Тр. VIII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. – М., 1973. – С. 85–88.
22. Филатов А.Н. Асимптотические методы и теория дифференциальных и интегродифференциальных уравне­ний. – Ташкент: Фан, 1974. – 216 с.
23. Блохина Н.С. Проблема учета физической нели­ней­ности при расчете строительных конструкций // Вестник МГСУ. – 2011. – № 6. – С. 384–387.
24. Петров В.В. Расчет неоднородных по толщине оболочек с учетом физической и геометрической нелинейностей // Academia. Архитектура и строительство. – 2016. – № 1. – С. 112–117.
25. Иванов С.П., Иванов О.Г., Иванова А.С. Динами­чес­кая устойчивость физически нелинейных пластинчатых систем при сжатии в двух направлениях // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2018. – Т. 14, № 2. – С. 132–141. DOI: 10.22363/1815-5235-2018-14-2-132-141
26. Иванов С.П., Иванова А.С. О расчете физически нелинейных стержней // Труды Поволж. гос. технол. ун-та. Сер. технологическая. – 2015. – № 3. – С. 126–130.
27. Rutman J., Ulitin V. Limit dependences in stability calculations with account for physical nonlinearity // Journal of Mechanics. – 2017. – Vol. 33. – Iss. 2. – Р. 157–160.  DOI: 10.1017/jmech.2016.72
28. Karpov V., Maslennikov A. Methods for solving non-linear tasks for calculating construction structures // World Applied Sciences Journal. Problems of Architecture and Construction. – 2013. –
    No. 23. – P. 178–183. DOI: 10.5829/idosi.wasj.2013.23.pac.90035
29. Бадалов Ф. Метод степенных рядов в нелинейной наследственной теории вязкоупругости. – Ташкент: Фан,
    1980. – 221 с.
30. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников А.М. Численные методы решения задач строительной механики. – Минск: Вышэйшая школа, 1990. – 349 с.
31. Мирсаидов М.М., Султанов Т.З. Оценка напряженно-деформированного состояния грунтовых плотин с учетом нелинейного деформирования материала и конечных деформаций // Инж.-строит. журн. – 2014. – № 5. – C. 73–82. DOI: 10.5862/MCE.49.8
32. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых сис­тем. – М.: Наука, 1967. – 984 с.
33. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – М.: Наука, 1972. – 432 с.
34. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. – М.: Наука, 1964. – 192 с.
35. Бадалов Ф.Б., Эшматов Х., Юсупов М. О некоторых методах решения систем интегродифференциальных уравне­ний, встречающихся в задачах вязкоупругости // Прикладная математика и механика. – 1987. – Т. 51, № 5. – С. 867–871.
36. Верлань А.Ф., Абдикаримов Р.А., Эшматов Х. Чис­лен­ное моделирование нелинейных задач динамики вязко­упругих систем с переменной жесткостью // Электронное моделирование. – 2010. – Т. 32, № 2. – С. 3–14.
37. Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М. Геометрически нелинейное математическое моделирование динамической устойчивости вязкоупругих пологих оболочек переменной толщины // Инж.-строит. журн. – 2011. – № 6(24). – С. 12–22.
38. Нелинейные параметрические колебания вязко­упру­гой пластинки переменной толщины / М.М. Мирсаидов, Р.А. Абдикаримов, Н.И. Ватин, В.М. Жгутов, Д.А. Ходжаев, Б.А. Нормуминов // Инженерно-строительный журнал. – 2018. – № 6(82). – С. 112–126. DOI: 10.18720/MCE.82.11
39. Abdikarimov R., Khodzhaev D., Vatin N. To calculation of rectangular plates on periodic oscillations // MATEC Web of Conferences. – 2018. – Vol. 245. – 01003. DOI.org/10.1051/matecconf/201824501003
40. Исследование параметрических колебаний вязко­упру­гой цилиндрической панели переменной толщины / Р.А. Аб­дикаримов, Д.А. Ходжаев, Б.А. Нормуминов, М.М. Мир­саидов // Вестник МГСУ. – 2018. – Т. 13. – Вып. 11. – С. 1315–1325. DOI: 10.22227/1997-0935.2018.11.1315-1325
41. Абдикаримов Р.А., Ходжаев Д.А. Компьютерное моделирование задач динамики вязкоупругих тонкостенных элементов конструкций переменной толщины // Инженерно-строительный журнал. – 2014. – № 5(49). – С. 83–94.
42. Khodzhaev D.A., Abdikarimov R.A., Vatin N.I. Non­linear oscillations of a viscoelastic cylindrical panel with a concentrated mass // MATEC Web of Conferences. – 2018. – Vol. 245. – 01001.
43. Ильюшин А.А. Пластичность. – М.: Гостехиздат, 1948. – 376 с.
44. Amba-Rao C.L. On the vibration of a rectangular plate carrying a concentrated mass // J. Appl. Mech. – 1964. – Vol. 31. –
    P. 550–551.

45. Абдикаримов Р.А., Худаяров Б.А. Исследование вязкоупругих круговых цилиндрических панелей переменной толщины // Вычислительная механика сплошных сред. – 2012. – Т. 5, № 1. – С. 11–18. DOI: 10.7242/1999-6691/2012.5.1.2

На основе решения вариационной задачи получена система дифференциальных уравнений и естественных граничных условий, которая описывает деформацию изотропной пятислойной панели с жестким при поперечном сдвиге заполнителе при ее нагружении силами, действующими как в поперечном направлении, так и по ее контуру. Система дифференциальных уравнений включает в себя три уравнения. Первые два уравнения описывают деформацию от действия нагрузки по контуру панели. Третье уравнение описывает деформацию панели от действия равномерно распределенной поперечной нагрузки. Система граничных условий включает в себя как условия на кромках панели, так и условия в ее углах. Решение системы дифференциальных уравнений в перемещениях для случая равномерно распределенной поперечной нагрузки при шарнирном закреплении соответствует решению в двойных тригонометрических рядах, а для сил, равномерно распределенных по контуру панели, в виде линейных функций этих сил. В качестве примера, подтверждающего практическую полезность предложенного подхода, проведена верификация конечно-элементной модели пятислойной панели с использованием полученного аналитического решения. Показано, что для совпадения результатов аналитического и конечно-элементного решений необходимо в конечно-элементной модели базовую поверхность совмеcтить со срединной поверхностью панели. Верифицированная конечно-элементная модель может быть использована для исследования конструкций, относящихся к классу биконструкций, которые нашли широкое применение в различных отраслях промышленности. Область применения аналитической модели распространяется на стадию эскизного проектирования, а верифицированной конечно-элементной модели – на стадию опытно-конструкторских работ по созданию пятислойных панелей с жестким заполнителем.

Ключевые слова: пятислойная панель, жесткий заполнитель, перемещения, аналитическая и конечно-элементная модель, верификация.

Осадчий Николай Васильевич – к.т.н., эксперт, e-mail: nikosadchii@yandex.ru, : 0000-0002-2756-2770

Малышев Владимир Алексеевич – д.ф.-м.н., проф., вед. спец., e-mail: malysheva314@mail.ru, : 0000-0002-5074-7212

Шепель Вячеслав Тимофеевич – д.т.н., вед. спец., e-mail sshepel@yandex.ru, : 0000-0003-4243-3034

1. Панин В.Ф., Гладков Ю.А. Конструкции с заполнителем: справочник. – М.: Машиностроение, 1991. – 272 с.

2. Васильев В.В. Механика конструкций из композитных материалов. – М.: Машиностроение, 1988. – 264 с.

3. Тостоедов Н.А., Наговицин В.Н., Пермяков М.Ю. Применение трехслойных конструкций в космических аппаратах // Вестник СибГАУ. – 2016. – Т. 17, № 1. – С. 200–211.

4. Johnson A., Sims G. Mechanical properties and design of sandwich materials // Composites. – 1986. – Vol. 17. – P. 321–328.

5. Осадчий Н.В., Шепель В.Т. Решение задачи изгиба пятислойной панели с использованием вариационного исчисления // Изв. вузов. Авиационная техника. – 2017. – № 1. – С. 26–31.

6. Kaszynski Alexander A., Beck Joseph A., Brown Jeffrey M. Experimental validation of a mesh quality optimized morphed geometric mistuning model // Proceedings of ASME Turbo Expo–2015. Turbine Technical Conference and Exposition, June 15 – 19, 2015, Montreal. – Canada, 2015. – P. 1–13.

7. Salih N. Akour, Hussein Z. Maaitah. Effect of core material stiffness on sandwich panel behavior beyond the yield limit // Proceedings of the World Congress on Engineering. – WCE 2010. – June 30 – July 2. – London, U.K., 2010. – P. 1321–1330.

8. Strength, stiffness, and panel peeling strength of carbon fiber-reinforced composite sandwich structures with aluminum honeycomb cores for vehicle body / Wang Jianfeng, Shi Chengyang, Yang Na, Sun Haonan, Liu Yiqun, Song Baoyu // Composite Structures. – 2018. – Vol. 184. – P. 1189–1196.

9. Experimental and numerical study on honeycomb sandwich panels under bending and in panel compression / Guangyong Sun, Xintao Huo, Dongdong Chen, Qing Li // Materials and Design. – 2017. – Vol. 133. – P. 154–168.

10. Осадчий Н.В., Малышев В.А., Шепель В.Т. Методы выбора плотности и типа конечных элементов в задачах статической прочности многослойных конструкций // Деформация и разрушение материалов. – 2017. – № 1. – С. 10–17.

11. Тимошенко С.П., Войновский–Кригер С. Пластинки и оболочки. – М.: Наука, 1966. – 636 с.

12. Ланцош К. Вариационные принципы механики. – М.: Наука, 1965. – 408 с.

13. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: изгиб, устойчивость, колебания. – Новосибирск: Наука, 2001. – 288 с.

14. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций. – М.: Физматлит, 2005. – 576 с.

15. Биргер И.А. Стержни, пластинки, оболочки. –
Изд. 2-е. – М.: ЛЕНАНД, 2015. – 392 с.

16. Atteshamuddin S. Sayyad, Yuwaraj M. Ghugal. Bending, buckling and free vibration of laminated composite and sandwich beams: A critical review of literature // Composite Structures. – 2017. – Vol. 171. – P. 486–504.

17. Groh R.M.J., Weaver P.M. On displacement-based and mixed-variational equivalent single layer theories for modelling highly heterogeneous laminated beams//International Journal of Solids and Structures. – 2015. – Vol. 59. – P. 147–170.

18. Groh A. literature review on computational models for laminated composite and sandwich panels // Central European Journal of Engineering. – 2011. – Vol. 1(1). – P. 59–80.

19. Srinivas S., Rao A.K. Bending, vibration and bulking of simply supported thick orthotropic rectangular plates and laminates // International Journal of Solids and Structures. – 1970. – Vol. 6. – P. 1463–1481.

20. Ferreira A.J.M., Roque C.M.C., Jorge R.M.N. Analysis of composite plates by trigonometric shear deformation theory and multiquadrics // Composite Structures. – 2005. – Vol. 83. –
P. 2225–2237.

21. Sayyad A.S., Ghugal Y.M. Static flexure of soft core sandwich beams using trigonometric shear deformation theory // Mechanics of Advanced Composite Structures. – 2015. –
Vol. 2(1). – P. 45–53.

22. Ghugal Y.M., Shimpi R.P. A trigonometric shear deformation theory for flexure and free vibration of isotropic thick beams // Structural Engineering Convention (SEC-2000), Bombay, India, 2000. – P. 58–72.

23. Ghugal Y.M. Flexure and vibration of thick beams using trigonometric shear deformation theory // Experimental and Applied Mechanics. – 2010. – Vol. 1(1). – P. 1–27.

24. A quasi-3D hyperbolic shear deformation theory for the static and free vibration analysis of functionally graded plates / A.M.A. Neves, A.J.M. Ferreira, E. Carrera, M. Cinefra, C.M.C. Roque, R.M.N. Jorge, C.M.M. Soares // Composite Structures. – 2012. – Vol. 94. – P. 1814–1825.

25. Analysis of laminated composites and sandwich structures by trigonometric, exponential and miscellaneous polynomials and a MITC9 plate element / M. Filippi, M. Petrolo, S. Valvano,
E. Carrera // Composite Structures. – 2016. – Vol. 150. – P. 103–114.

26. Static and free vibration analysis of laminated beams by refined theory based on Chebyshev polynomials / M. Filippi,
A. Pagani, M. Petrolo, G.Colonna, E. Carrera // Composite Structures. – 2015. – Vol. 132. – P. 1248–1259.

27. Analysis of laminated beams via Unified Formulation and Legendre polynomial expansions / A. Pagani, A.G. de Miguel, M. Petrolo, E. Carrera // Composite Structures. – 2016. Vol. 156. –
P. 78–92.

28. Best Theory Diagrams for cross-ply composite plates using polynomial, trigonometric and exponential thickness expansions / J. Yarasca, J.L. Mantari, M. Petrolо, E. Carrera // Composite Structures. – 2017. – Vol. 161. – P. 362–383.

29. Cook G., Tessler A.A. 3, 2-order bending theory for laminated composite and sandwich beams // Composites. Part B: Engineering. – 1998. – Vol. 29. – No. 5. – P. 565–576.

30. Reddy J.N. A simple higher-order theory for laminated composite plates // Applied Mechanics. –1984. – Vol. 51. –
P. 745–752.

31. Курнаев В.М. Расчет ортотропных пластин с учетом поперечного сдвига: учеб. пособие. – Л., 1976. – 33 с.

32. Осадчий Н.В., Малышев В.А., Шепель В.Т. Исследование изгиба трехслойной прямоугольной панели вариационным методом // Деформация и разрушение материалов. – 2016. – № 7. – С. 6–10.

Известно, что некомпактные материалы (пористые, порошковые, с дефектами сплошности) существенно слабее сопротивляются сдвигу, чем всестороннему сжатию. Эффект дилатансии в таких средах вызывает изменение плотности при сдвиговой деформации. Для компактных материалов известен процесс боковой экструзии или равноканального углового прессования, который реализует в зоне деформации напряженное состояние, близкое к чистому сдвигу (в отличие, например, от прямой экструзии, где реализуется простой сдвиг). Можно ожидать, что РКУП некомпактных материалов менее энергозатратно и приводит к более интенсивной консолидации каркаса, чем гидростатическое сжатие.
В частности, РКУП может рассматриваться как один из способов отжима флюида из пористой среды (масел из растительного сырья, воды из грунтов и т.д.). Моделированию таких процессов посвящена настоящая работа.

Рассматривается плоская задача о стационарном пластическом деформировании материала в области сопряжения щелевых каналов. Сечение области деформирования представляет собой сектор кольца. Материал полагается необратимо сжимаемым, подчиняющимся эллиптическому условию текучести типа Грина. Рассматривается фильтрация флюида в порах при наличии стока на одной из стенок канала. Выдвигается ряд модельных предположений: о кинематике частиц каркаса (плоское азимутальное движение в цилиндрической системе координат); о малом изменении плотности материала (и, соответственно, малом изменении его механических характеристик); о том, что внутрипоровое давление мало по сравнению с напряженным состоянием каркаса и не оказывает существенного влияния на процесс пластического течения. Проведен жесткопластический анализ и получено точное решение механической части задачи. В случае постоянного коэффициента фильтрации получено точное решение задачи фильтрации флюида в виде поля внутрипорового давления. По этим результатам однозначно восстанавливается двумерное векторное поле скорости фильтрации и мощность стока. В случае непостоянного коэффициента фильтрации задача сведена к интегрированию краевой задачи анизотропной теплопроводности с частным случаем анизотропии, для которой известен ряд точных решений.

Ключевые слова: равноканальное угловое прессование, боковая экструзия, необратимая сжимаемость, эллиптическая поверхность текучести, фильтрация, жесткопластический анализ, аналитические решения, системы квазилинейных уравнений в частных производных

Севастьянов Георгий Мамиевич – к.ф.-м.н., с.н.с., e-mail: akela.86@mail.ru, : 0000-0003-4755-5305

1. Соколовский В.В. Плоское и осесимметричное равновесие пластической массы между жесткими стенками // ПММ. – 1950. – Т. 14. – Вып. 1. – С. 75–92.
2. Shield R.T. Plastic flow in a converging conical channel // J. Mech. & Phys. Solids. – 1955. – Vol. 3. – P. 246–258. DOI: 10.1016/0022-5096(55)90035-1
3. Danyluk H.T., Haddow J.B. Elastic-plastic flow through a converging conical channel // Acta Mechanica. – 1969. – Vol. 7. – P. 35–44. DOI: 10.1007/BF01204710
4. Alexandrov S., Barlat F. Modeling axisymmetric flow through a converging channel with an arbitrary yield condition // Acta Mechanica. – 1999. – Vol. 133. – P. 57–68. DOI: 10.1007/BF01179010
5. Cox A.D., Eason G., Hopkins H.G. Axially symmetric plastic deformations in soils // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. – 1961. – Vol. 254. – P. 1–45. DOI: 10.1098/rsta.1961.0011
6. Oh H.-K., Lee J.-K. A study of the extrusion of sintered porous metal // J. Mech. Work. Tech. – 1985. – Vol. 11. – Iss. 1. – P. 53–69. DOI: 10.1016/0378-3804(85)90112-3
7. Monchiet V., Kondo D. Exact solution of a plastic hollow sphere with a Mises –Schleicher matrix // Int. J. Eng. Sci. – 2012. – Vol. 51. – P. 168–178. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2011.10.007
8. Closed-form solutions for the hollow sphere model with Coulomb and Drucker – Prager materials under isotropic loadings / P. Thore, F. Pastor, J. Pastor, D. Kondo // Comptes Rendus Mecanique. – 2009. – Vol. 337. – P. 260–267. DOI: 10.1016/j.crme.2009.06.030
9. Green R.J. A plasticity theory for porous solids // Int. J. Mech. Sci. – 1972. – Vol. 14. – P. 215–224. DOI: 10.1016/0020-7403(72)90063-X
10. Approximate criteria for ductile porous materials having a Green type matrix: Application to double porous media / W.Q. Shen, J.F. Shao, L. Dormieux, D. Kondo // Comp. Mater. Sci. – 2012. – Vol. 62. – P. 189–194. DOI: 10.1016/j.commatsci.2012.05.021
11. Gurson A.L. Continuum theory of ductile rupture by void nucleation and growth: Part I – Yield criteria and flow rules for porous ductile media // Trans. ASME. J. Eng. Mater. & Tech. – 1977. – Vol. 99. – P. 2–15. DOI: 10.1115/1.3443401
12. Durban D., Mear M.E. Asymptotic solution for extrusion of sintered powder metals // Trans. ASME. – 1991. – Vol. 58. – Iss. 2. – P. 582–584. DOI: 10.1115/1.2897226
13. Alexandrov S., Chesnikova O., Pirumov A. An approximate solution for axisymmetric extrusion of porous material // J. Tech. Plast. – 2007. – Vol. 32. – No. 1–2. – P. 13–27.
14. Александров С.Е., Друянов Б.А. Исследование процесса установившейся экструзии уплотняемого материала // ПМТФ. – 1990. – Т. 31, № 4. – С. 141–145.
15. Hill R. A general method of analysis for metal-working processes // J. Mech. & Phys. Solids. – 1963. – Vol. 11. – P. 305–326. DOI: 10.1016/0022-5096(63)90033-4
16. Revil-Baudard B., Cazacu O. Role of the plastic flow of the matrix on yielding and void evolution of porous solids: Comparison between the theoretical response of porous solids with Tresca and von Mises matrices // Mechanics Research Communications. – 2014. – Vol. 56. – P. 69–75. DOI: 10.1016/j.mechrescom.2013.11.008
17. Segal V.M. Materials processing by simple shear // Mater. Sci. & Eng.: A. – 1995. – Vol. 197. – P. 157–164. DOI: 10.1016/0921-5093(95)09705-8
18. Segal V.M. Slip line solutions, deformation mode and loading history during equal channel angular extrusion // Mater. Sci. & Eng.: A. – 2003. – Vol. 345. – P. 36–46. DOI: 10.1016/s0921-5093(02)00258-7
19. Александров С.Е., Александрова Н.Н. О разрывных полях скоростей в упрочняющемся жесткопластическом материале // ПМТФ. – 2000. – Т. 41, № 1. – C. 198–203.
20. Altan B.S., Purcek G., Miskioglu I. An upper-bound analysis for equal-channel angular extrusion // J. Mater.
    Proc. Tech. – 2005. – Vol. 168. – P. 137–146. DOI: 10.1016/j.jmatprotec.2004.11.010
21. Analysis of the billet deformation behaviour in equal channel angular extrusion / J.R. Bowen, A. Gholinia, S.M. Roberts, P.B. Prangnell // Mater. Sci. & Eng.: A. – 2000. – Vol. 287. – P. 87–99. DOI: 10.1016/S0921-5093(00)00834-0
22. Semiatin S.L., DeLo D.P., Shell E.B. The effect of material properties and tooling design on deformation and fracture during equal channel angular extrusion // Acta Materialia. – 2000. – Vol. 48. – Iss. 8. – P. 1841–1851. DOI: 10.1016/S1359-6454(00)00019-7
23. Finite element analysis of the plastic deformation zone and working load in equal channel angular extrusion / S. Li, M.A.M. Bourke, I.J. Beyerlein, D.J. Alexander, B. Clausen // Mater. Sci. & Eng.: A. – 2004. – Vol. 382. – P. 217–236. DOI: 10.1016/j.msea.2004.04.067
24. Русин Н.М. Исследование особенностей пластического течения на макроскопическом уровне в порошковых телах при равноканальном угловом прессовании // Перспективные материалы. – 2007. – № 4. – C. 83–91.
25. Kaushik A., Karaman I., Srinivasa A.R. Simulation of powder compaction using equal channel angular extrusion at room temperature: comparison of two constitutive theories // Int. J. Struct. Changes in Solids – Mech. & Appl. – 2009. – Vol. 1. – No. 1. – P. 211–226.
26. Steady plastic flow of a polymer during equal channel angular extrusion process: experiments and numerical modeling / F. Zairi, B. Aour, J.M. Gloaguen, M. Nait-Abdelaziz, J.M. Lefebvre // Polymer Eng. & Sci. – 2008. – Vol. 48. – Iss. 5. – P. 1015–1021. DOI 10.1002/pen.21042
27. Connolly J.A.D., Podladchikov Y.Y. Compaction-driven fluid flow in viscoelastic rock // Geodinamica Acta. – 1998. – Vol. 11. – No. 2–3. – P. 55–84. DOI: 10.1016/S0985-3111(98)80006-5
28. Tokareva M.A. Localization of solutions of the equations of filtration in poroelastic medium // J. Siberian Federal University. Math. & Phys. – 2015. – Vol. 8. – No. 4. – P. 467–477. DOI: 10.17516/1997-1397-2015-8-4-467-477
29. Анферов С.Д., Скульский О.И., Славнов Е.В. Математическое моделирование процесса прямого отжима масличной культуры // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 1. – С. 31–56.
30. Showalter R.E., Stefanelli U. Diffusion in poro-plastic media // Math. Methods in the Appl. Sci. – 2004. – Vol. 27. – P. 2131–2151. DOI: 10.1002/mma.541
31. Plastic deformation in cake consolidation / J. Zhao,
    C.-H. Wang, D.-J. Lee, C. Tien // J. Colloid & Interface
    Sci. – 2003. – Vol. 261. – P. 133–145. DOI: 10.1016/S0021-9797(02)00214-X
32. Буренин А.А., Обухова Е.В. Перенос несжимаемой жидкости примеси при учете ее диффузии в основной поток // Дальневосточный математический журнал. – 2003. – Т. 4,
    № 1. – С. 101–107.
33. Polyanin A.D., Nazaikinskii V.E. Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists. Second edition. – CRC Press, Boca Raton – London, 2016.

Успехи современной пластики грыжевых дефектов (герниопластики) свя­заны с расширением использования синтетических эндопротезов в виде сетчатых имплантатов, выполненных из различных полимеров. Однако существенное число возникающих осложнений, связанных в том числе и с ошибочным применением того или иного имплантата, обусловливает необходимость более глубокого понимания механизмов не только биологического, но и механического поведения конструкций такого типа.

В ходе выполнения работы предложена методика оценки деформационных свойств сетчатых имплантатов, выполненных на основе пенопропилена и полиэстера. Данные имплантаты применяются в хирургических операциях при ненатяжной герниопластике и являются на данный момент одними из самых распространенных. В результате были проведены испытания по изучению деформирования сетчатых имплантатов таких марок, как SPMM, TCM, «Реперен», ТЕС, под воздействием брюшного давления в квазистатических условиях. Отработана предложенная методика проведения исследований. Получены данные зависимости деформации от внутрибрюшного давления.

Разработаны методика исследований и математическая модель, описывающая механическое поведение сетчатого имплантата, установленного в брюшную полость. Проведен анализ механического поведения для различных размеров рабочих областей сетчатого имплантата в условиях различных значений внутрибрюшных давлений в диапазоне от низких (2 кПа) до высоких (20 кПа) давлений.

Полученные результаты позволяют провести оценку механического поведения конкретного типа имплантатов и их применимость для клинического случая в зависимости от размеров дефекта живых тканей и ожидаемых внутрибрюшных давлений.

Ключевые слова: сетчатый имплантат, экспериментальная механика, хирургические материалы, механические свойства, методы механических испытаний, эндопротез, герниопластика.

Словиков Станислав Васильевич – к.т.н., с.н.с., e-mail: sslovikov@ya.ru, : 0000-0003-3884-3882

Ильиных Артем Валерьевич – к.т.н., доц., e-mail: ilinih@yandex.ru, : 0000-0001-9162-1053

1. Егиев В.Н. Ненатяжная герниопластика. – М.: Медпрактика, 2002. – 148 с.
2. Рагимов В.А. Сравнительный анализ результатов аллопластических методов в хирургическом лечении вентральных грыж // Вестник экспериментальной и клинической хирургии. – 2012. – Т. V, № 3. – C. 574–577.
3. Грубник В.В., Лосев А.А., Баязитов И.Р. Современные методы лечения брюшных грыж. – Киев: Здоровье, 2001. – 280 с.
4. Биомеханика для хирургического лечения послеоперационных грыж / Ф. Шумпелик, У. Клише, С. Титкова [и др.] // Современные подходы к разработке и применению эффективных перевязочных средств, шовных материалов и полимерных имплантатов: материалы 7 IV Междунар. конф. (27–28 ноября 2001 г., г. Москва). – М., 2001. – С. 158–160.
5. Биомеханическая концепция патогенеза послеоперационных вентральных грыж / В.И. Белоконев, С.Ю. Пушкин, Т.А. Федорина. С.В. Нагапетян // Вестник хирургии. – 2004. – № 5. – С. 23–27.
6. Coda A., Lamberti R., Martorana S. Classification of prosthetics used in hernia repair based on weight and biomaterial // Hernia. – 2012. – No. 16 (1). – P. 9–20. DOI: 10.1007/s10029-011-0868-z
7. Earle D.B., Mark L.A. Prosthetic material in inguinal hernia repair: how do I choose? // Surgery Clin. North. Am. – 2008. – No. 88 (1). – P. 179–201. DOI: 10.1016/j.suc.2007.11.002
8. Amid P.K. Classification of biomaterials and their related complications in abdominal wall hernia surgery // Hernia. – 1997. – No. 1. – P. 15–21. DOI: 10.1007/BF02426382
9. Жуковский В.А. Полимерные эндопротезы для герниопластики. – СПб.: Эскулап, 2011. – 104 с.
10. Experimental comparison of monofile light and heavy polypropylene meshes: less weight does not mean less biological response / D. Weyhe, I. Schmitz, O. Belyaev [et al.] // World Journal Surgery. – 2006. – No. 30 (8). – P. 1586–1591. DOI: 10.1007/s00268-005-0601-0
11. Tissue integration and tolerance to meshes used in gynecologic surgery: an experimental study / L. Boulanger, M. Bou­kerrou, E. Lambaudie [et al.] // European Journal of Obstetrics & Gynecology and Reproductive Biology. – 2006. – No. 125 (1). – P. 103–108. DOI: 10.1016/j.ejogrb.2005.07.029
12. Ануров В.Н. Влияние структурных и механических свойств сетчатых протезов на эффективность пластики грыжевых дефектов передней брюшной стенки: дис. … д-ра мед. наук. – М., 2014. – 298 c.
13. Lintin L.A., Kingsnorth A.N. Mechanical failure of a lightweight polypropylene mesh // Hernia. – 2014. – No. 18 (1). – P. 131–133. DOI: 10.1007/s10029-012-0959-5
14. Central failures of lightweight monofilament polyester mesh causing hernia recurrence: a cautionary note / C.C. Petro, E.H. Nahabet, C.N. Criss [et al.] // Hernia. – 2015. – No. 19. – P. 155–159. DOI: 10.1007/s10029-014-1237-5
15. Central rupture and bulging of low- weight polypropylene mesh following recurrent incisional sublay hernioplasty / M. Zuvela, D. Galun, A. Djuric-Stefanovic [et al.] // Hernia. – 2014. – No. 18 (1). – P. 135–140. DOI: 10.1007/s10029-013-1197-1
16. Mechanical response of animal abdominal walls in vitro: evaluation of the influence of a hernia defect and a repair with a mesh implanted intraperitoneally / F. Podwojewski, M. Ottenio, P. Beillas [et al.] // Journal of Biomechanics. – 2013. – No. 46 (3). – P. 561–566. DOI: 10.1016/j.jbiomech.2012.09.014
17. Röhrnbauer B., Mazza E. A non-biological model system to simulate the in vivo mechanical behavior of prosthetic meshes // Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. – 2013. – No. 20 (0). – P. 305–315. DOI: 10.1016/j.jmbbm.2013.01.029
18. Physical and mathematical modelling of implant–fascia system in order to improve laparoscopic repair of ventral hernia / A. Tomaszewska, I. Lubowiecka, C. Szymczak, K. Bury // Clinical Biomechanics. – 2013. – Vol. 28. – No. 7. – P. 743–751. DOI: /10.1016/j.clinbiomech.2013.06.009
19. Characterizing the ex vivo mechanical properties of synthetic polypropylene / X. Li, J. Kruger, J. Jor, P. Nielsen, M. Nash, V. Wong, H.P. Diet // Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. – 2014. – Vol. 37. – P. 48–55. DOI: 10.1016/j.jmbbm.2014.05.005
20. The effect of fabric structure on the mechanical properties of warp knitted surgical mesh for hernia repair / M. Mirjavan, A. Asayesh, A. Asghar, A. Jeddi // Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. – 2017. – Vol. 66. – P. 77–86. DOI: 10.1016/j.jmbbm.2016.10.016
21. Работнов Ю.Н. Сопротивление материалов. – М.: Физматгиз, 1962. – 456 с.
22. Normal intraabdominal pressure in healthy adults / W.S. Cobb, J.M. Burns, K.W. Kercher [et al.] // Journal of Surgical Research. – 2005. – No. 129 (2). – P. 231–235. DOI: 10.1016/j.jss.2005.06.015
23. Внутрибрюшное давление человека / В.С. Туктамышев, А.Г. Кучумов, Ю.И. Няшин, В.А. Самарцев, Е.Ю. Касатова // Российский журнал биомеханики. – 2013. – Т. 17, № 1(59) – C. 22–31.
24. Modified mesh for hernia repair that is adapted to the physiology of the abdominal wall / U. Klinge, B. Klosterhalfen, J. Conze [et al.] // Eur. J. Surg. – 1998. – Vol. 164 (12). – P. 951–960. DOI: 10.1080/110241598750005138
25. Technical consideration for subxiphoidal incisional hernia repair / J. Conze, A. Prescher, K. Kisielinski [et al.] // Hernia. – 2005. – Vol. 9 (1). – P. 84–87. DOI: 10.1007/s10029-004-0239-0
26. Polypropylene in the intra-abdominal position: Influence of pore size and surface area / J. Conze, R. Rosch, U. Klinge [et al.] // Hernia. – 2004. – No. 8 (4). – P. 365–372. DOI: 10.1007/s10029-004-0268-8
27. Incisional hernia: Open techniques / U. Klinge, J. Conze, C.J. Krones, V. Schumpelick // World Journal Surgical. – 2005. – No. 29(8). – P. 1066–1072. DOI: 10.1007/s00268-005-7970-2
28. Anisotropy of Human Linea Alba: A Biomechanical Study / D. Gräβel, A. Prescher, S. Fitzek, D. Keyserlingk, H. Axer // Journal of Surgical Research. – 2005. – Vol. 124. – No. 1. – P. 118–125. DOI: 10.1016/j.jss.2004.10.010
29. Стратегия применения современных шовных материалов с антимикробными свойствами в абдоминальной хирургии / В.А. Самарцев, В.Э. Вильдеман, С.В. Словиков, В.А. Гаврилов, А.Е. Федоров // Пермский медицинский журнал. – 2010. – Т. 27, № 5. – C. 104–108.
30. Экспериментальное исследование механических свойств современных хирургических рассасывающихся шовных материалов / А.Е. Федоров, В.А. Самарцев, В.А. Гаврилов, В.Э. Вильдеман, С.В. Словиков // Российский журнал биомеханики. – 2009. – T. 13, № 4 (46). – С. 78–84.
31. Словиков С.В., Янкин А.С. Исследование механических свойств хирургических синтетических шовных материалов в условиях биодеградации // Математическое моделирование в естественных науках. – 2015. – Т. 1. – С. 416–418.
32. Словиков С.В., Янкин А.С. Экспериментальные исследования биодеградации прочностных свойств хирургического шовного материала // Математическое моделирование в естественных науках. – 2016. – Т. 1. – С. 341–345.
33. Словиков С.В., Самарцев В.А., Гаврилов В.А. Методология определения механических характеристик атравматических дугообразных медицинских игл // Российский журнал биомеханики. – 2016. – Т. 20, № 3 (46). – С. 249–256. DOI: 10.15593/RZhBiomeh/2016.3.05
34. Elasticity of the anterior abdominal wall and impact for reparation of incisional hernias using mesh implants / K. Junge, U. Klinge, A. Prescher [et al.] // Hernia. – 2001. – No. 5 (3). – P. 113–118. DOI: 10.1007/s100290100019
35. Physicomechanical evaluation of absorbable and nonabsorbable barrier composite meshes for laparoscopic ventral hernia repair / C.R. Deeken, M.S. Abdo, M.M. Frisella, B.D. Matthews // Surgical Endoscopy and Other Interventional Techniques. – 2011. – No. 25 (5). – P. 1541–1552. DOI: 10.1007/s00464-010-1432-0

Аддитивные технологии позволяют изготавливать изделия за счет послойного синтеза и таким образом получать изделия сложной формы. При решении комплексной задачи численного моделирования аддитивных технологических процессов необходимо с высокой точностью описывать различные термомеханические явления. Наиболее эффективным в связи с этим является применение сочетания возможностей специализированных программных комплексов и разработки уникальных алгоритмов для них, учитывающих максимально возможное число параметров процесса. В работе рассматривается разработанный и реализованный в пакете ANSYS Mechanical на языке APDL алгоритм расчета нестационарных температурных полей и напряженно-деформированного состояния конструкции в процессе ее создания 3D наплавкой проволочных материалов. Данная модель, в частности, учитывает нестационарный лучистый перенос тепловой энергии сварочной дуги на поверхность изделия. В обзоре выделены три наиболее часто используемых метода моделирования осаждения материала – так называемый рождающийся элемент (element birth), спящий элемент (quiet element) и гибридная активация (hybrid activation). Показано, что для обеспечения большей эффективности вычислений необходимо применять принцип, при котором следующие друг за другом шаги проплавки и даже слои группируются вместе для последующей одновременной активации. В представляемой модели задача разделена на краевую задачу нестационарной теплопроводности и краевую задачу термомеханики о напряженно-деформированном состоянии, которые являются несвязанными. Для их решения применяется технология «умерщвления» и последующего «возрождения» части материала, реализованная в пакете ANSYS. Проведена верификация разработанного численного алгоритма решения трехмерной задачи дуговой наплавки проволочных материалов сравнением с результатами натурных испытаний на образцах из алюминиевого сплава Д16. Для описания упругопластического поведения исследуемого сплава использована модель билинейной изотропной пластичности BISO с температурной зависимостью предела текучести. Показана хорошая согласованность расчетных данных с экспериментом. Исследовано влияние на уровень остаточного коробления параметров процесса: времени выдержки до следующего слоя; траектории движения слайсера; температуры окружающей среды. Показано, что последний параметр является наиболее эффективным способом снижения остаточных отклонений формы, но требует высокой термостойкости оборудования и точности регулирования энергии дуги.

Ключевые слова: аддитивное производство, аддитивные технологии, наплавка, плавление проволоки, конечно-элементное моделирование, многовариантный анализ.

Сметанников Олег Юрьевич – д.т.н., доц., e-mail: sou2009@mail.ru, : 0000-0003-3100-7283.

Максимов Петр Викторович – к.т.н., доц., e-mail: pvmperm@mail.ru, : 0000-0002-3617-5617.

Трушников Дмитрий Николаевич – д.т.н., проф., e-mail: trdimitr@yandex.ru, : 0000-0001-7105-7934.

Пермяков Глеб Леонидович – м.н.с., e-mail: gleb.permyakov@yandex.ru, : 0000-0001-8158-3460.

Беленький Владимир Яковлевич – д.т.н., проф., e-mail: vladimirbelenkij@yandex.ru, : 0000-0002-8791-1696.

Фарберов Александр Сергеевич – студ., e-mail: snesh15@mail.ru, : 0000-0003-3569-3807.

1. Petrick I., Simpson T. 3D Printing disrupts manufacturing // Research-Technology Management. – November-December 2013. – P. 15–16.
2. Wray P. Additive manufacturing: turning manufacturing inside out // Amer. Ceram. Soc. Bull. – 2014. – Vol. 93. – No. 3. – P. 17–23.
3. Electron Beam Additive Manufacturing (EBAM) – Advantages of Wire AM vs. Powder AM // Sciake Inc., available at: http://additivemanufacturing.com/2015/10/14/electron-beam-addi­tive-manufacturing-ebam-advantages-of-wire-am-vs-powder-am.
4. Jhavar S., Jain N.K., Paul С.P. Development of micro-plasma transferred arc (p-PTA) wire deposition process for additive layer manufacturing applications // Journal of Materials Processing Technology. – 2014. – Vol. 214. – No. 5. – P. 1102–1110.
5. Hybrid layered manufacturing using yungsten inert gas cladding / Sajan Kapil, Fisseha Legesse, Pravin Milind Kulkarni, Prathmesh Joshi, Ankit Desai, K.P. Karunakaran // Progress in Additive Manufacturing. – 2016. – Vol. 1. – No. 1. – P. 79–91. DOI: 10.1007/s40964-016-0005-8
6. Overview of modelling and simulation of metal powder bed fusion process at Lawrence Livermore National Laboratory / W. King, A. Anderson, R. Ferencz, N. Hodge, C. Kamath, S. Khairallah // Material Science and Technology. – 2015. – Vol. 31. – No. 8. – P. 957–968.
7. Three-dimensional finite element analysis of temperatures and stresses in wide-band laser surface melting processing / C. Li, Y. Wang, H. Zhan, T. Han, B. Han, W. Zhao // Materials & Design. – 2010. – Vol. 31. – No. 7. – P. 3366–3373. DOI: 10.1016/j.matdes.2010.01.054
8. Ma L., Bin H. Temperature and stress analysis and simulation in fractal scanning-based laser sintering // International Journal of Advanced Manufacturing Technology. – 2007. – Vol. 34. – No. 9. – P. 898–903.
9. Experimental and numerical analysis of residual stresses in additive layer manufacturing by laser melting of metal powders / Ibiye A. Roberts [et al.] // Key Engineering Materials. – 2011. – Vol. 450. – P. 461–465, available at: http://www.scientific.net/ KEM.450.461. DOI: 10.4028/www.scientific.net/KEM.450.461
10. Investigation of residual stresses in selective laser melting / L. Parry, I. Ashcroft, D. Bracket, R.D. Wildman // Key Engineering Materials. – 2015. – Vol. 627. – P. 129–132.
11. An experimental investigation into additive manufacturing-induced residual stresses in 316L stainless steel / A. Wu, D. Brown, M. Kumar, G. Gallegos, W. King // Metall. Mater. Trans. – 2014. – Vol. 45A. – P. 1–11.
12. Baufeld B., Van der Biest O., Gault R. Additive manufacturing of Ti–6Al–4V components by shaped metal deposition: Microstructure and mechanical properties // Materials & Design. – 2010. – Vol. 31. – P. 106–111.
13. Macroscopic modelling of the selective beam melting process / D. Riedlbauer, J. Mergheim, A. McBride, P. Steinmann // Proc. Appl. Math. Mech. – 2012. – Vol. 12. – No. 1. – P. 381–382.
14. Shaped metal deposition processes: encyclopedia of thermal stresses / C. Agelet de Saracibar, A. Lundbäck, M. Chiu­menti, M. Cervera. – Publisher: Springer Dordrecht, 2014. – P. 4346–4355. DOI: 10.1007/978-94-007-2739-7_808
15. Lundbäck A. Modelling of metal deposition // Finite Elements in Analysis and Design. – 2011. – Vol. 47. – P. 1169–1177.
16. Labudovic M., Hu D., Kovacevic R. A three dimensional model for direct laser metal powder deposition and rapid prototyping // Journal of Materials Science. – 2003. – Vol. 38. – No. 1. – P. 35–49.
17. Linking process, structure, property, and performance for metal-based additive manufacturing: computational approaches with experimental support / J. Smith, W. Xiong, W. Yan, S. Lin, P. Cheng, O.L. Kafka [et al.] // Computational Mechanics. – 2016. – Vol. 57. – No. 4. – P. 583–610.
18. Toward an integrated computational system for describing the additive manufacturing process for metallic materials / R. Martukanitz, P. Michaleris, T. Palmer, T. DebRoy, Z.-K. Liu, R. Otis [et al.] // Additive Manufacturing. – 2014. – Vol. 1. – P. 52–63. DOI: 10.1016/j.addma.2014.09.002
19. Michaleris P. Modeling metal deposition in heat transfer analyses of additive manufacturing processe // Finite Elements in Analysis and Design. – 2014. – Vol. 86. – P. 51–60. DOI: 10.1016/j.finel.2014.04.003
20. Denlinger E.R., Michaleris P. Effect of stress relaxation on distortion in additive manufacturing process modeling // Additive Manufacturing. – 2016. – Vol. 12. – P. 51–59.
21. Korner C. Additive manufacturing of metallic components by selective electron beam melting – a review // International Materials Reviews. – 2016. – Vol. 61. – No. 5. – P. 361–377.
22. Computational modeling of residual stress formation during the electron beam melting process for Inconel 718 / P. Prabhakar, W. Sames, R. Dehoff, S. Babu // Additive Manufacturing. – 2015. – Vol. 7. – P. 83–91. DOI: 10.1016/j.addma.2015.03.003
23. A multiscale modeling approach for fast prediction of part distortion in selective laser melting / C. Li, C.Fu, Y. Guo, F. Fang // Journal of Materials Processing Technology. – 2016. – Vol. 229. – P. 703–712. DOI: 10.1016/j.jmatprotec.2015.10.022
24. Yuan M.G., Ueda Y. Prediction of residual stresses in welded T- and I-joints using inherent strains // Journal of Engineering Materials and Technology. – 1996. – Vol. 118. – No. 2. – P. 229–234. DOI: 10.1115/1.2804892
25. Printability of alloys for additive manufacturing / T. Mukherjee, J.S. Zuback, A. De, T. Debroy // Scientific Reports. – 2016. – Vol. 6. – Article No. 9717. DOI: 10.1038/srep19717
26. Mitigation of thermal distortion during additive manufacturing / T. Mukherjee, V. Manvatkar, A. De, T. DebRoy // Scripta Materialia. – 2017. – Vol. 127. – P. 79–83. DOI: 10.1016/j.scriptamat.2016.09.001
27. Моделирование в ANSYS термомеханического поведения изделия в процессе 3D-наплавки проволочных материалов / О.Ю. Сметанников, Д.Н. Трушников, П.В. Максимов, М.Л. Бартоломей, А.В. Ковязин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2017. – № 4. – С. 154–172.
28. Finite element modeling of multi-pass welding and shaped metal deposition processes / M. Chiumenti, M. Cervera, A. Salmi, C. Agelet de Saracibar, N. Dialami, K. Matsui // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2010. – Vol. 199. – P. 2343–2359.
29. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1982. – 327 с.
30. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. –
    5-е изд. – М.: Атомиздат, 1979. – 416 с.

31. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. – М.: Изд-во МГУ, 1981. – 343 с.

Наполнение каучуков активными наполнителями существенно улучшает их прочностные и деформационные свойства. Одно из возможных объяснений этого явления представлено в данной статье. В основе его лежит известный факт, что при больших деформациях наполненного эластомера связующее в зазорах между близко расположенными частицами наполнителя находится в напряженно-деформированном состоянии, близком
к одноосному растяжению. При этом большая часть полимерных цепей оказывается ориентированной вдоль оси, связывающей центры включений. В работе высказано предположение, что прочность матрицы в таком состоянии (за счет ориентации) должна быть более высокой по сравнению с другими возможными состояниями с той же самой интенсивностью деформаций. Для учета этого эффекта был разработан соответствующий прочностной критерий.

В работе представлены результаты компьютерного моделирования особенностей разрушения эластомерного связующего около двух абсолютно твердых сферических включений. Для описания свойств эластомерной матрицы использована модель несжимаемого гиперупругого материала, свойства которого заданы неогуковым потенциалом.
В рамках компьютерных экспериментов показано, что при деформировании такой системы разрывы связующего должны появляться не в зазоре между частицами наполнителя, а на некотором от него удалении. Упругая связь между включениями сохранится. Между частицами образуется полимерный тяж (полимерное волокно), способный выдерживать более высокие растягивающие нагрузки.

Известно, что около частиц наполнителя могут формироваться слои с другими физико-механическими свойствами. Для оценки возможного влияния таких слоев получены решения задач, в которых матрица в зазорах между частицами наполнителя имеет более высокий модуль. Установлено, что этот фактор практически не сказывается на процессе возникновения и формирования тяжей.

Ключевые слова: появление наноповреждений, нанокомпозит, конечные деформации, вычислительное моделирование, метод конечных элементов, критерий разрушения, эластомер, наполнитель, включения, нанотяжи.

Соколов Александр Константинович – аспирант, e-mail: aleksandr__sokol@mail.ru, : 0000-0001-7684-0557

Гаришин Олег Константинович – д.ф.-м.н., с.н.с., e-mail: gar@icmm.ru, : 0000-0001-7384-7366

Свистков Александр Львович – д.ф.-м.н., с.н.с., e-mail: svistkov@icmm.ru, : 0000-0002-4754-5214

1. Rodgers B., Waddel W. Chapter 9: The science of rubber compounding // The Science and Technology of Rubber. – 2013. – P. 417–471.

2.  Composites based on carbon black reinforced NBR/EPDM rubber blends / V. Jovanovich [et al.] // Composites Part B: Engineering. – 2013. – Vol. 45. – No. 1. – PЗ.333–340.

3.  Formation and stability of carbon nanotube network in natural rubber: Effect of non-rubber components / H.H. Le [et al.] // Polymer. – 2015. – Vol. 73. – P. 111–121.

4.  Hallousite clay nanotubes for loading and sustained release of functional compounds / Y. Lvov [et al.] // Advanced Materials. – 2016. – Vol. 28. – No. 6. – P. 1227–1250.

5.  Experimental analysis of the effect of carbon nanoparticles with different geometry on the appearance of anisotropy of mechanical properties in elastomeric composites / K.A. Mokhireva [et al.] // Polymer Testing. – 2017. – Vol. 59. – P. 46–54.

6.  Design and preparation of natural layered silicate/bio-based elastomer nanocomposites with improved dispersion and interfacial interaction / Q. He [et al.] // Polymer. – 2015. –
Vol. 79. – P. 1–11.

7.  Design of high-performance poly(L-lactide)/elastomer blends through anchoring carbon nanotubes at the interface with the aid of stereo-complex crystallization / L. Huili [et al.] // Polymer. – 2017. – Vol. 108. – P. 38–49.

8.  Impact of filler surface modification on large scale mechanics of styrene butadiene/silica rubber composites /
K.W. Stöckelhuber [et al.] // Macromolecules. – 2011. – Vol. 44. – No. 11. – P. 4366–4381. DOI: 10.1021/ma1026077

9.  Garishin O.K., Moshev V.V. Structural rearrangement in dispersion-filled composites: influence on mechanical properties // Polymer Science. – 2005. – Vol. 47. – No. 4. – P. 403–408.

10.   Reese S. A micromechanically motivated material model for the thermo-viscoelastic material behavior of rubber-like polymers // International Journal of Plasticity. – 2003. – Vol. 19. –
No. 7. – P. 909–940.

11.   Österlöf R., Wentzel H., Kari L. An efficient method for obtaining the hyperelastic properties of filled elastomers in finite strain applications // Polymer Testing. – 2015. – Vol. 41. – P. 4454.

12.   Modeling of dynamic-mechanical behavior of reinforced elastomers using a multiscale approach / I. Ivaneiko [et al.] //
Polymer. – 2016. – Vol. 82. – P. 356–365.

13.   Raghunath R., Juhre D., Klüppel M. A physically motivated model for filled elastomers including strain rate and amplitude dependency in finite viscoelasticity // International Journal of Plasticity. – 2016. – Vol. 78. – P. 223–241.

14.   Plagge J., Klüppel M. A physically based model of stress softening and hysteresis of filled rubber including rate- and temperature dependency// International Journal of Plasticity. – 2017. – Vol. 89. – P. 173–196.

15.   Svistkov A.L. A continuum-molecular model of oriented polymer region formation in elastomer nanocomposite // Mechanics of solids. – 2010. – Vol. 45. – No. 4 – P. 562–574.

16.   Патрикеев Г.А. Глава в книге // Общая химическая технология / под ред. Волковича. – М.: Гос. науч.-техн. изд-во хим. лит., 1946. – С. 407.

17.   Mullins L. Effect of stretching in the properties of rubber // J. of Rubber Research. – 1947. – Vol. 16 – No. 12 – Р. 245–289.

18.   Mullins L., Tobin N.R. Stress softening in rubber vulcanizates. Part I. Use of a strain amplification factor to prescribe the elastic behavior of filler reinforced vulcanized rubber // Appl. Polym. Sci. – 1965. – Vol. 9. – Р. 2993–3005.

19.   Mullins L. Engineering with rubber // Rubber Chem. Technol. – 1986. – Vol. 59. – No. 3. – Р. G69–G83.

20.   Diani J., Fayolle B, Gilormini P. A review on the Mullins effect // European Polymer Journal. – 2009. – Vol. 45. – Р. 601–612.

21.   Проявление эффекта размягчения материала в изменении напряженно-деформированного состояния шины /
А.К. Соколов [и др.] // Вычислительная механика сплошных сред. – 2016. – Т. 9, № 3. – С. 358–365.

22.   Reichert W.F., Dietmar G., Duschl E.J. The double network, a model describing filled elastomers // Polymer. – 1993. – Vol. 34. –No. 6. – Р. 1216–1221.

23.   Mechanism of Fatigue Crack Growth in Carbon Black Filled Natural Rubber / J.B. Le [et al.] // Macromolecules. –
2004. – Vol. 37. – Р. 5011–5017.

24.   Atomic Force Microscopy of Mechanical Property of Natural Rubber / H. Watabe [et al.] // Japanese Journal of Applied Physics. – 2005. – Vol. 44. – No. 7B. – P. 5393–5396.

25.   Beurrot S., Huneau B., Verron E. In Situ SEM Study of Fatigue Crack Growth Mechanism in Carbon Black-Filled Natural Rubber // Journal of Applied Polymer Science. – 2010 –
Vol. 117. – P. 1260–1269.

26.   X-ray computed μ-tomography: a tool for the characterization fatigue defect population in a polychloroprene / Y. Marco [et al.] // Procedia Engineering. – 2010. – Vol. 2. – P. 2131–2140.

27.   Matos C.F., Galembeck F. Zarbin A.J.C. Multifunctional materials based on iron/iron oxide-filled carbon nanotubes / natural rubber composites // Carbon. – 2012. – Vol. 50. – P. 4685–4695.

28. Mesoscopical mechanical analysis of filled elastomer with 3D-finite element analysis and transmission electron micro­tomo­graphy / K. Akutagava [et al.] // Rubber Chemistry and Technology. – 2008. – Vol. 81. – P. 182–189.

29.   Morozov I.A., Lauke B., Heinrich G. Quantitative microstructural investigation of carbon-black-filled rubbers by AFM // Rubber chemistry and technology. – 2012. – Vol. 85. – P. 244–263.

30.   Morozov I.A. Structural-Mechanical AFM Study of Surface Defects in Natural Rubber Vulcanizates // Macromolecules. – 2016. – Vol. 49. – No. 16. – P. 5985–5992.

31.   Three-dimensional imaging in polymer science: Its application to block copolymer morphologies and rubber composites /
H. Dohi [et al.] // Polymer Journal. – 2007. – Vol. 39. – No. 8. –
P. 749–758.

32.   Garishin O.C., Moshev V.V. Computer modeling of mechanical behavior of damageable particulate composites // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 1999. – Vol. 31. – P. 61–66.

33.   Garishin O.C. Mathematical simulation of degradation processes in topologically disordered rubbery polymer networks // Polymer Science. – Ser. A. – 2001. – Vol. 43. – No. 8. – P. 892–898.

34.   Гаришин О.К. Механические свойства и разрушение дисперсно наполненных эластомеров. Структурное моделирование. – Saarbrucken: Palmarium Academic Publishing (LAP), 2012. – С. 286.

35. Гипотеза о роли свободных радикалов на поверхности наночастиц технического углерода в формировании механических свойств наполненного каучука / А.Л. Свистков [и др.] // Физическая мезомеханика. – 2016. – Т. 19, №. 5. – C. 84–93

Целью данного исследования является разработка новых аналитических подходов для определения эффективных свойств упругих структурно-неоднородных сред на основе многоточечных приближений решений стохастических краевых задач. Предсказание макроскопических свойств неоднородных материалов сопряжено с необходимостью достоверного описания их микроструктурного поведения, включая взаимодействия между отдельными компонентами. К настоящему времени разработан ряд аналитических и численных подходов для оценки эффективных свойств структурно-неоднородных сред, однако ни один из них не дает возможности вычислять эффективные свойства таких сред с абсолютной точностью. Одно из основных ограничений состоит в необходимости в полной мере учитывать особенности микроструктуры среды, такие как ориентация, размер, форма и распределение включений, а также особенности влияния матрицы на включения. В данной работе для расчета эффективных характеристик используются многоточечные приближения решений краевых задач, в которых необходимым является использование моментных функций высших порядков, что в более полной мере позволяет учитывать многочастичное взаимодействие микроструктурных элементов.

Получены аналитические выражения для расчета эффективных свойств структурно-неоднородных сред с использованием многоточечных приближения высших порядков решений стохастических краевых задач в упругой постановке. Выполнено численное сравнение результатов расчета относительных эффективных характеристик пористых неоднородных полидисперсных сред со сферическими включениями различной объемной доли. Для численного решения интегродифференциальных уравнений применяется глобальная адаптивная стратегия в совокупности с многомерным правилом интегрирования и правилом преобразования переменных IMT для обращения с сингулярностью функции Грина. Сделаны некоторые заключения об эффективности и ограничениях предложенного
подхода.

Ключевые слова: эффективные характеристики, cтохастическая структура, представительный объем, стохастическая краевая задача, микроструктурные параметры, численные решения, интегродифференциальное уравнение, упругость, моментные функции.

Ташкинов Михаил Анатольевич – к.ф.-м.н., доц., e-mail: m.tashkinov@pstu.ru, : 0000-0003-4660-0020

1.  Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems // Collected Works of J.D. Eshelby. – 2007. DOI: 10.1007/1-4020-4499-2_18

2.  Hashin Z., Shtrikman S. A Variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials // J. Appl. Phys. – 1962. – Vol. 33. – No. 10. – P. 3125–3131. DOI: 10.1063/1.1728579

3.  Beran M. Statistical continuum theories // J. Rheol. (N. Y. N. Y). – 1965. – Vol. 9. – No. 1. – P. 339–355. DOI: 10.1122/1.548991

4.  Mori T., Tanaka K. Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions // Acta Metall. – 1973. – Vol. 21. – No. 5. – P. 571–574. DOI: 10.1016/0001-6160(73)90064-3

5.  Hori M., Nemat-Nasser S. Double-inclusion model and overall moduli of multi-phase composites // Mech. Mater. –
1993. – Vol. 14. – No. 3. – P. 189–206. DOI: 10.1016/0167-6636(93)90066-Z

6.  Christensen R.M. Mechanics of composite materials. – New York: Wiley-Interscience, 1979. – 348 p.

7.     Berryman J.G. Measures of microstructure to improve estimates and bounds on elastic constants and transport coefficients in heterogeneous media // Mech. Mater. – 2006. –
Vol. 38. – No. 8–10. – P. 732–747. DOI: 10.1016/j.mechmat.2005.06.014

8.     Pierard O., Friebel C., Doghri I. Mean-field homogenization of multi-phase thermo-elastic composites: A general framework and its validation // Compos. Sci. Technol. – 2004. – Vol. 64. – № 10–11. – P. 1587–1603. DOI: 10.1016/j.compscitech.2003.11.009

9.     Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials // J. Mech. Phys. Solids. – 1965. – Vol. 13. – No. 4. – P. 213–222. DOI: 10.1016/0022-5096(65)90010-4

10.   Kröner E. Statistical Modelling // Modelling Small Deformations of Polycrystals. – Dordrecht: Springer Netherlands, 1986. – P. 229–291. DOI: 10.1007/978-94-009-4181-6_8

11.   Budiansky B. On the elastic moduli of some heterogeneous materials // J. Mech. Phys. Solids. – 1965. – Vol. 13. – P. 223–227. DOI: 10.1016/0022-5096(65)90011-6

12.   Willis J.R. Variational and Related Methods for the Overall Properties of Composites // Advances in Applied Mechanics. – 1981. – Vol. 21. – No. C. – P. 1-78. DOI: 10.1016/S0065-2156(08)70330-2

13.   Castañeda P.P. Exact second-order estimates for the effective mechanical properties of nonlinear composite materials // J. Mech. Phys. Solids. – 1996. – Vol. 44. – No. 6. – P. 827–862. DOI: 10.1016/0022-5096(96)00015-4

14.   Castañeda P.P. New variational principles in plasticity and their application to composite materials // J. Mech. Phys. Solids. – 1992. – Vol. 40. – No. 8. – P. 1757–1788. DOI: 10.1016/0022-5096(92)90050-C.

15.   Benveniste Y. A new approach to the application of Mori-Tanaka’s theory in composite materials // Mech. Mater. – 1987. – Vol. 6. – No. 2. – P. 147–157. DOI: 10.1016/0167-6636(87)90005-6

16.   Allen D.H., Lee J.-W. The Effective Thermoelastic Properties of Whisker- Reinforced Composites as Functions of Material Forming Parameters // Micromechanics and Inhomogeneity. – New York: Springer New York, 1990. –
P. 17–39. DOI: 10.1007/978-1-4613-8919-4_2

17.   Dunn M.L., Ledbetter H. Elastic-plastic behavior of textured short-fiber composites // Acta Mater. – 1997. – Vol. 45. – No. 8. – P. 3327–3340. DOI: 10.1016/S1359-6454(96)00401-6

18.   Computation of linear elastic properties from microtomographic images: Methodology and agreement between theory and experiment / C.H. Arns [et al.] // GEOPHYSICS. – 2002. – Vol. 67. – No. 5. – P. 1396–1405. DOI: 10.1190/1.1512785

19.   Comparison of prediction on effective elastic property and shape optimization of truss material with periodic microstructure / J. Yan [et al.] // Int. J. Mech. Sci. – 2006. – Vol. 48. – No. 4. – P. 400–413. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2005.11.003

20.   Ostoja-Starzewski M. Material spatial randomness: From statistical to representative volume element // Probabilistic Eng. Mech. – 2006. – Vol. 21. – No. 2. – P. 112–132. DOI: 10.1016/j.probengmech.2005.07.007

21.   Drugan W.J., Willis J.R. A micromechanics-based nonlocal constitutive equation and estimates of representative volume element size for elastic composites // J. Mech. Phys. Solids. – 1996. – Vol. 44. – No. 4. – P. 497–524. DOI: 10.1016/0022-5096(96)00007-5

22.   Monetto I., Drugan W.J. A micromechanics-based nonlocal constitutive equation and minimum RVE size estimates for random elastic composites containing aligned spheroidal heterogeneities // J. Mech. Phys. Solids. – 2009. – Vol. 57. –
No. 9. – P. 1578–1595. DOI: 10.1016/j.jmps.2009.05.005

23.   Determination of the size of the representative volume element for random composites: Statistical and numerical approach / T. Kanit [et al.] // Int. J. Solids Struct. – 2003. –
Vol. 40. – No. 13–14. – P. 3647–3679. DOI: 10.1016/S0020-7683(03)00143-4

24.   Khisaeva Z.F., Ostoja-Starzewski M. On the size of RVE in finite elasticity of random composites // J. Elast. – 2006. –
Vol. 85. – No. 2. – P. 153–173. DOI: 10.1007/s10659-006-9076-y

25.   Determination of the critical size of a statistical representative volume element (SRVE) for carbon reinforced polymers / D. Trias [et al.] // Acta Mater. – 2006. – Vol. 54. –
No. 13. – P. 3471–3484. DOI: 10.1016/j.actamat.2006.03.042

26.   Sevostianov I., Kachanov M., Zohdi T. On computation of the compliance and stiffness contribution tensors of non ellipsoidal inhomogeneities // Int. J. Solids Struct. – 2008. – Vol. 45. – No. 16. – P. 4375–4383. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2008.03.020

27.   Kachanov M., Tsukrov I., Shafiro B. Effective Moduli of Solids With Cavities of Various Shapes // Appl. Mech. Rev. – 1994. – Vol. 47. – No. 1S. – P. S151. DOI: 10.1115/1.3122810

28.   Evaluation of the effective elastic and conductive properties of a material containing concave pores / F. Chen [et al.] // Int. J. Eng. Sci. – 2015. – Vol. 97. – P. 60–68. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2015.08.012

29.   Influence of waviness and curliness of fibres on mechanical properties of composites / A.Y. Matveeva [et al.] // Comput. Mater. Sci. Elsevier B.V. – 2014. – Vol. 87. – P. 1–11. DOI: 10.1016/j.commatsci.2014.01.061

30.   Böhm H.J., Rasool A. Effects of particle shape on the thermoelastoplastic behavior of particle reinforced composites // Int. J. Solids Struct. Elsevier Ltd. – 2016. – Vol. 87. – P. 90–101. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2016.02.028

31.   Rasool A., Böhm H.J. Effects of particle shape on the macroscopic and microscopic linear behaviors of particle reinforced composites // Int. J. Eng. Sci. Elsevier Ltd. – 2012. – Vol. 58. – P. 21–34. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2012.03.022

32.   Klusemann B., Böhm H.J., Svendsen B. Homogenization methods for multi-phase elastic composites with non-elliptical reinforcements: Comparisons and benchmarks // Eur. J. Mech. A/Solids. Elsevier Masson SAS. – 2012. – Vol. 34. – P. 21–37. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2011.12.002

33.   Chen F.C., Young K. Inclusions of arbitrary shape in an elastic medium // J. Math. Phys. American Institute of Physics. – 1977. – Vol. 18. – No. 7. – P. 1412–1416. DOI: 10.1063/1.523438

34.   Composite structure modeling and mechanical behavior of particle reinforced metal matrix composites / Y. Su [et al.] // Mater. Sci. Eng. A. – 2014. – Vol. 597. – P. 359–369. DOI: 10.1016/j.msea.2014.01.024

35.   Automated modeling of random inclusion composites / M. Bailakanavar [et al.] // Eng. Comput. – 2012. – Vol. 30. –
No. 4. – P. 609–625. DOI: 10.1007/s00366-012-0310-x

36.   Torquato S. Random Heterogeneous Media: Microstructure and Improved Bounds on Effective Properties // Appl. Mech. Rev. – 1991. – Vol. 44. – No. 2. – P. 37. DOI: 10.1115/1.3119494

37.   Torquato S. Morphology and effective properties of disordered heterogeneous media // Int. J. Solids Struct. Elsevier Science Ltd. – 1998. – Vol. 35. – No. 19. – P. 2385–2406. DOI: 10.1016/S0020-7683(97)00142-X

38.   Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеодно­род­ных сред. – М.: Наука, 1977.

39.   Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. – Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 1978. – 208 с.

40.   Ломакин В.А. Статистические задачи механики твер­дых деформируемых тел. – М.: Наука, 1970. – 139 с.

41.   Хорошун Л.П. Методы случайных функций в задачах о макроскопических свойствах микронеоднородных сред // Прикл. механика. – 1978. – Т. 14, № 2. – С. 3–17.

42.   Болотин В.В., Москаленко В. К расчету макро­ско­пи­ческих постоянных сильно изотропных композиционных ма­те­риалов // Механика твердого тела. – 1967. – Т. 3. – С. 106–111.

43.   Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика дефор­ми­рования и разрушения структурно неоднородных тел. – М.: Наука, 1984. – 116 с.

44.   Tashkinov M., Wildemann V., Mikhailova N. Method of successive approximations in stochastic elastic boundary value problem for structurally heterogenous materials // Comput. Mater. Sci. – 2012. – Vol. 52. – No. 1. – P. 101–106. DOI: 10.1016/j.commatsci.2011.04.025

45.   Tashkinov M.A. Methods of Stochastic Mechanics for Characterization of Deformation in Randomly Reinforced Composite Materials // Mechanics of Advanced Materials. Ed. Silberschmidt V.V., Matveenko V.P. – Cham: Springer, 2015. –
С. 43–78. DOI: 10.1007/978-3-319-17118-0_3

46.   Tashkinov M. Micro-scale modeling of phase-level elastic fields of SiC reinforced metal matrix multiphase composites using statistical approach // Comput. Mater. Sci. Elsevier. – 2016. – Vol. 116. – P. 113–121. DOI: 10.1016/j.commatsci.2015.10.047

47.   Tashkinov M. Modeling of elastic behavior of multicomponent composite materials based on approximate solution of stochastic boundary value problems // PNRPU Mech. Bull. – 2015. – No. 3. – P. 165–181. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.3.12

48.   Tashkinov M.A. Stochastic modelling of deformation process in elastoplastic composites with randomly located inclusions using high order correlation functions // PNRPU Mech. Bull. Perm National Research Polytechnic University. – 2014. – Vol. 2014. – No. 3. – P. 163–185. DOI: 10.15593/perm.mech/2014.3.09

49.   Torquato S. Random Heterogeneous Materials // Applied Mechanics Reviews. – 2002. – Vol. 16. – XXI. – 703 p. DOI: 10.1007/978-1-4757-6355-3

50.   Genz A.C., Malik A.A. An Imbedded Family of Fully Symmetric Numerical Integration Rules // SIAM J. Numer.
Anal. – 2005. DOI: 10.1137/0720038

51.   Davis P.J., Rabinowitz P. Approximate Integration over Infinite Intervals // Methods of Numerical Integration. Elsevier. – 1984. – P. 199–270. DOI: 10.1016/B978-0-12-206360-2.50009-1

Построены уточненные математические модели изгибного деформирования пространственно-армированных гибких пластин, изготовленных из нелинейно-упругих материалов компонентов композиции. Геометрическая нелинейность задачи учитывается в приближении Кармана. Полученные уравнения позволяют с разной степенью точности определять деформированное состояние таких конструкций при учете их возможного слабого сопротивления поперечным сдвигам. В частном случае из этих уравнений получаются соотношения традиционной неклассической теории Редди. Решение сформулированной приведенной начально-краевой задачи разыскивается с применением явной численной схемы типа «крест». Продемонстрировано, что в общем случае не при всех пространственных структурах армирования пластин удается разработать явную численную схему. Исследовано динамическое поведение плоско- и пространственно армированных пластин разной формы и относительной толщины под действием воздушной взрывной волны. Показано, что в случае сильно выраженной анизотропии для относительно толстых прямоугольных пластин замена плоской структуры на пространственную структуру армирования позволяет уменьшить прогибы по модулю на несколько десятков процентов, а интенсивность деформаций компонентов композиции – в разы. Уменьшение степени анизотропии композиции и относительной толщины пластин приводит к ослаблению эффекта от замены плоской структуры армирования на пространственную структуру. В кольцевых пластинах с жесткой внутренней шайбой этот эффект не проявляется. Наоборот, замена плоской структуры армирования на пространственную структуру приводит к ухудшению динамических характеристик таких конструкций даже при их относительно большой толщине. Продемонстрировано, что динамическое поведение пластин, рассчитанное по теории Редди, существенно отличается от расчетов по уточненным теориям, особенно при сравнении деформированных состояний компонентов композиции.

Ключевые слова: плоское армирование, пространственное армирование, гибкие пластины, динамический изгиб, уточненные теории изгиба, теория Редди, нелинейная упругость, схема «крест», взрывные нагрузки.

Янковский Андрей Петрович – д.ф.-м.н., в.н.с., e-mail: lab4nemir@rambler.ru, yankovsky_ap@rambler.ru, : 0000-0002-2602-8357

1. Композиционные материалы: справочник / под ред. Д.М. Карпиноса. – Киев: Наук. думка, 1985. – 592 с.
2. Справочник по композитным материалам: в 2 кн. Кн. 1 / под ред. Дж. Любина; пер. с англ. А.Б. Геллера, М.М. Гельмонта; под ред. Б.Э. Геллера. – М.: Машиностроение, 1988. – 448 с.
3. Bannister M. Challenger for composites into the next millennium – a reinforcement perspective // Composites. – 2001. – Part A 32. – Р. 901–910. DOI: 10.1016/S1359-835X(01)00008-2
4. Review of advanced composite structures for naval ships and submarines / A.P. Mouritz, E. Gellert, P. Burchill, K. Challis // Compos. Struct. – 2001. – Vol. 53. – No. 1. – Р. 21–42. DOI: 10.1016/S0263-8223(00)00175-6
5. Gibson R.F. Principles of composite material mechanics / 3^rd ed. – Boca Raton: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2012. – 686 p.
6. Gill S.K., Gupta M., Satsangi P. Prediction of cutting forces in machining of unidirectional glass-fiber-reinforced plastic composites // Frontiers of Mechanical Eng. – 2013. – Vol. 8. –
   No. 2. – Р. 187–200. DOI: 10.1007/s11465-013-0262-x
7. Композиционные материалы, армированные системой прямых взаимно ортогональных волокон. 2. Экспериментальное изучение / И.Г. Жигун, М.И. Душин, В.А. Поляков, В.А. Якушин // Механика полимеров. – 1973. – № 6. – С. 1011–1018.
8. Тарнопольский Ю.М., Жигун И.Г., Поляков В.А. Пространственно-армированные композиционные материалы: справочник. – М.: Машиностроение, 1987. – 224 с.
9. A new generation of 3D woven fabric performs and composites / M.H. Mohamed, A.E. Bogdanovich, L.C. Dickinson,
   J.N. Singletary, R.R. Lienhart // SAMPE J. – 2001. – Vol. 37. – No. 3. – Р. 3–17.
10. Измерение и моделирование теплопроводности трехмерных тканых композитов / Й. Шустер, Д. Гейдер, К. Шарп, М. Глования // Механика композитных материалов. – 2009. – Т. 45, № 2. – С. 241–254. DOI: 10.1007/s11029-009-9072-y
11. Тарнопольский Ю.М., Поляков В.А., Жигун И.Г. Композиционные материалы, армированные системой прямых взаимно ортогональных волокон. 1. Расчет упругих характеристик // Механика полимеров. – 1973. – № 5. – C. 853–860.
12. Крегерс А.Ф., Тетерс Г.А. Структурная модель деформирования анизотропных, пространственно армированных композитов // Механика композитных материалов. – 1982. –
    № 1. – C. 14–22.
13. Янковский А.П. Определение термоупругих характеристик пространственно армированных волокнистых сред при общей анизотропии материалов компонент композиции.
    1. Структурная модель // Механика композитных материалов. – 2010. – Т. 46, № 5. – С. 663–678.
14. Reissner E. The effect of transverse shear deformations on the bending of elastic plate // J. Appl. Mech. – 1945. – Vol. 12. – No. 2. – Р. 69–77.
15. Богданович А.Е. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек. – Рига: Зинатне, 1987. – 295 с.
16. Абросимов Н.А., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2002. – 400 с.
17. Баженов В.А., Кривенко О.П., Соловей Н.А. Нелинейное деформирование и устойчивость упругих оболочек неоднородной структуры: модели, методы, алгоритмы, малоизученные и новые задачи. – М.: ЛИБРОКОМ, 2012. – 336 с.
18. Reddy J.N. Energy and variational methods in applied mechanics. – N.Y.: John Wiley, 1984. – 545 p.
19. Reddy J.N. A refined nonlinear theory of plates with transverse shear deformation // Int. J. of Solids and Structures. – 1984. – Vol. 20. – No. 9. – Р. 881–896.
20. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Проч­ность, устойчивость и колебания. – М.: Наука, 1987. – 360 с.
21. Андреев А. Упругость и термоупругость слоистых композитных оболочек. Математическая модель и некоторые аспекты численного анализа. – Saarbrucken (Deutschland): Palmarium Academic Publishing, 2013. – 93 c.
22. Янковский А.П. Моделирование динамики армированных пологих оболочек из нелинейно-упругих материалов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2017. – № 2. – С. 226–245. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.2.13
23. Янковский А.П. Построение уточненной модели динамического поведения гибких армированных пластин из нелинейно-упругих материалов на основе явной численной схемы типа «крест» // Математичнi методи та фiзико-механiчнi поля. – 2017. – Т. 60, № 1. – С. 43–61.
24. Whitney J., Sun C. A higher order theory for extensional motion of laminated composites // J. of Sound and Vibration. – 1973. – Vol. 30. – No. 1. – Р. 85–97.
25. Lo K.H., Christensen R.M., Wu E.M. A higher-order theory of plate deformation. Part 2: Laminated plates // Trans. ASME, J. Appl. Mech. – 1977. – Vol. 44. – Р. 669–676.
26. Houlston R., DesRochers C.G. Nonlinear structural response of ship panels subjected to air blast loading // Computers & Structures. – 1987. – Vol. 26. – No. 1/2. – Р. 1–15.
27. Zeinkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. – Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. – 707 p.
28. Librescu L., Oh S.-Y., Hohe J. Linear and non-linear dynamic response of sandwich panels to blast loading // Compo­sites. – 2004. – Part B 35. – Р. 673–683.
29. Kazanci Z. Dynamic response of composite sandwich plates subjected to time-dependent pressure pulses // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2011. – Vol. 46. – Р. 807–817.
30. Ильюшин А.А. Труды. Т. 3. Теория термовязкоупругости. – М.: Физматлит, 2007. – 288 с.