Представлена новая постановка задачи о статическом расширении цилиндрической полости в упругопластической сжимаемой среде. Постановка задачи учитывает нелинейную сжимаемость, конечные деформации, закон текучести Мизеса–Шлейхера в зоне пластичности. Особенность настоящей постановки (нелинейная сжимаемость) позволяет рассматривать различные пористые материалы и изучать влияние пористости на параметры задачи.

Приведен вывод аналитических соотношений, определяющих сопротивление расширению полости и размер пластической зоны для двух классов материалов – металлов и пористых сред (грунтов). На основе выявленных аналитических соотношений получены качественные выводы о характере и уровне деформаций
в среде. В частности, отмечено, что сыпучая среда характеризуется аномально большой зоной пластической деформации.

В рамках численного анализа рассмотрен ряд металлов, сплавов и мягких грунтов. Получены оценки области значений наиболее важных параметров. Для металлов это безразмерный объемный модуль упругости , на основе которого
с помощью аппроксимирующих зависимостей вычисляется удельное сопротивление расширению и размеры полости и зоны уплотнения. Поскольку мягкие грунты являются материалами с выраженными нелинейными свойствами, то характер зависимости параметров обретает здесь более сложную форму – дополнительное влияние пористости материала на сопротивление расширению и размеры деформации. Результаты численных расчетов позволили провести сравнительный анализ влияния пористости на размер зоны уплотнения в окрестности полости для песчаных и глинистых грунтов.

Приведенные оценки сопротивления среды расширению цилиндрической полости полезны для формулировки и уточнения прикладных соотношений теории динамического проникания тонких (заостренных) ударников.

Ключевые слова: расширение цилиндрической полости, упругопластическая среда, нелинейная сжимаемость, прикладная теория проникания, металлы, грунты.

Аптуков Валерий Нагимович – доктор технических наук, профессор, e-mail: aptukov@psu.ru

Хасанов Артур Раисович – аспирант, ассистент, e-mail: artur_raisovich@rambler.ru

1. Bishop R.F., Hill R., Mott N.F. The theory of indentation and hardness tests // Proceedings of the Physics Society. – 1945. – Vol. 57. – No. 3. – P. 147–159.
2. Витман Ф.Ф., Златин Н.А., Иоффе Б.С. Сопротивление деформированию металлов при скоростях 10^–6–10² м/с // Журнал технической физики. – 1949. – Т. XIX. – Вып. 3. – С. 123–128.
3. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Алексеев H.A. Вопросы динамики грунтов. – М.: Изд-во МГУ, 1964. – 237 с.
4. Сагомонян А.Я. Проникание. – М.: Изд-во МГУ, 1974.
5. Сагомонян А.Я. Динамика пробивания преград. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.
6. Forrestal M.J. Penetration into dry porous rock // Int. Journal of Solids and Structures. – 1986. – Vol. 22(12). – P. 1485–1500.
7. Luk V.K., Forrestal M.J. Penetration into semi-infinite reinforced concrete targets with spherical and ogival nose projectiles // Int. Journal Impact Engineering. – 1987. – Vol. 6. – P. 291–301.
8. Forrestal M.J., Tzou D.Y. A spherical cavity-expansion penetration model for concrete targets // Int. Journal of Impact Engineering. – 1997. – Vol. 34(31–32). – P. 4127–4146.
9. Forrestal M.J., Luk V.K. Penetration into soil targets // Int. Journal Impact Engineering. – 1992. – Vol. 12. – P. 427–444.
10. Perforation of aluminum plates with conical-nosed rods / M.J. Forrestal, Z. Rosenberg, V.K. Luk, S.J. Bless // Journal of Applied Mechanics. – 1987. – Vol. 54(1). – P. 230–232.
11. Forrestal M.J., Okajima K., Luk V.K. Penetration of 6061-T651 aluminum target with rigid long rods // Journal of Applied Mechanics. – 1988. – Vol. 55(4). – P. 755–760.
12. Forrestal M.J., Luk V.K., Brar N.S. Perforation of aluminum armor plates with conical-nose projectiles // Mechanics of Materials. – 1990. – Vol. 10(1–2). – P. 97–105.
13. Penetration into ductile metal targets with rigid sphericalnose rods / M.J. Forrestal, D.Y. Tzou, E. Askari, D.B. Longcope // Int. Journal Impact Eng. – 1995. – Vol. 16. – No. 5/6. – P. 699–710.
14. Forrestal M.J., Longcope D.B. Target strength of ceramic materials for high-speed velocity penetration // J. Appl. Phys. – 1990. – Vol. 67. – P. 3669–3672.
15. Forrestal M.J., Luk V.K. Dynamic spherical cavity-expansion in a compressible elastic-plastic solid // Journal of Applied Mechanics. – 1988. – Vol. 55(2). – P. 275–279.
16. Luk V.K., Forrestal M.J. Amos D.E. Dynamic spherical cavity expansion of strain-hardening materials // ASME J. Appl. Mech. – 1991. – Vol. 58(1). – P. 1–6.
17. Satapathy S. Application of cavity expansion analysis to penetration problems // The Univ. of Texas at Austin, Inst. Adv. Technol., 1997, Report No. IAT.R-0136.
18. Yu, H.S. Cavity Expansion Methods in Geomechanics // Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. – 2000.
19. Котов В.Л. Исследование применимости автомодельного решения задачи о расширении сферической полости в сжимаемой среде для определения давления на поверхности контакта «ударник-грунт» // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та. – 2008. – Вып. 70. – С. 123–131.
20. Анализ приближенных решений задачи о расширении сферической полости в грунтовой среде / В.Л. Котов [и др.] // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. – Н. Новгород, 2011. – Вып. 73. – С. 58–63.
21. Решение задачи о расширении сферической полости в грунтовой среде в предположении несжимаемости за фронтом ударной волны / Е.Ю. Линник [и др.] // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. – Н. Новгород, 2012. – Вып. 74. – С. 49–57.
22. Котов В.Л., Линник Е.Ю., Тарасова А.А. Определение параметров квадратичной модели локального взаимодействия при внедрении сферического ударника в мягкий грунт // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. – Н. Новгород, 2013. – Вып. 75(1). – С. 47–55.
23. Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов // Прикладная математика и механика. – 1960. – Т. 244, № 6. – С. 1057–1072.
24. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Analytical Solution for Penetration by Rigid Conical Impactors Using Cavity Expansion Models // Mech. Res. Commun. – 2000. – Vol. 27(2). – P. 185–189.
25. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Analysis of Ballistic Properties of Layered Targets Using Cavity Expansion Model // Int J. Fract. – 1998e. – Vol. 90(4). – P. 63–67.
26. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Analytical engineering models of high speed normal impact by hard projectiles on metal shields // Cent. Eur. J. Eng. – 2013. – Vol. 3(3). – P. 349–373.
27. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Ballistic Impact: Recent Advances in Analitical Modeling of Plate Penetration Dynamics – A Review // Appl. Mech. Rev. – 2005. – Vol. 58(6). – P. 355–371.
28. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Engineering models of high speed penetration into geological shields // Cent. Eur. J. Eng. – 2013. – Vol. 4(1). – P. 1–19.
29. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Applied High-Speed Plate Penetration Dynamics. – Dordrecht. Springer, 2006.
30. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. High-Speed Penetration Dynamics // Engineering Models and Methods. – 2013.
31. Аптуков В.Н. Расширение сферической полости в упругопластической среде при конечных деформациях. Сообщение 1. Влияние механических характеристик, свободной поверхности, слойности // Проблемы прочности. – 1991. – № 12. – С. 1262–1268.
32. Аптуков В.Н. Расширение сферической полости в упругопластической среде при конечных деформациях. Сообщение 2. Влияние инерционных характеристик. Температурные эффекты // Проблемы прочности. – 1991. – № 12. – С. 1269–1274.
33. Аптуков В.Н., Мурзакаев Р.Т., Фонарев А.В. Прикладная теория проникания. – М: Наука, 1992.
34. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. – М.: Наука, 1987. – 464 с.
35. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. – М.: Наука, 1969. – 420 с.
36. Ильин А.А., Колачев Б.А., Полькин И.С. Титановые сплавы. Состав, структура, свойства. – М.: ВИЛС-МАТИ, 2009. – 520 с.
37. Колачев Б.А., Полькин И.С., Талалаев В.Д. Титановые сплавы разных стран. – М.: ВИЛС, 2000. – 316 с.
38. Колачев Б.А., Елагин В.И., Ливанов В.А. Металловедение и термическая обработка цветных металлов и сплавов. – 3-е издание – М.: Изд-во МИСИС, 2005 – 432 с.
39. Марочник стали и сплавов [Электронный ресурс]. – URL: http://www.splav-kharkov.com/ main.php.
40. Марочник металлов [Электронный ресурс]. – URL: http://metallicheckiy-portal.ru/marki_ metallov.
41. Алюминиевые, титановые, магниевые и бериллиевые сплавы / Всероссийский научно-исследовательский институт авиационных материалов [Электронный ресурс]. – URL: http://viam.ru/ viam_offers4.
42. On-line cправочник свойств сталей [Электронный ресурс]. – URL: http:// www.stresscalc.ru/ stress_npp/prop_npp.php?mat=30&get=1.
43. Алюминий и его сплавы / сост. А.Р.Луц, А.А. Суслина. – Самара: Изд-во Самар. гос. техн. ун-та, 2013. – 81 с.

В более ранней работе авторами была построена модель стартового землетрясения от подготовки до свершения события. Модель основывалась на принятой в ряде работ постановке граничной задачи, представляющей две полубесконечные литосферные плиты с прямыми границами, моделируемыми пластинами Кирхгофа, медленно движущимися навстречу друг другу. Плиты находятся на трехмерном линейно деформируемом основании. Предполагается, что поверхность основания является границей Конрада, разделяющей верхнюю, гранитную, и нижнюю, базальтовую, структуры коры Земли. Для таким образом поставленной граничной задачи исследуется изменение концентрации контактных напряжений под литосферными плитами для случаев наличия и отсутствия дистанции между плитами в зоне сближения литосферных плит. При непосредственной их близости концентрация напряжений в зоне сближения, являющаяся разломом, становится сингулярной. Из практики решения граничных задач для линейно упругих материалов это означает разрушение зоны такой концентрации напряжений, то есть возникновение землетрясения. Для этой модели были изучены различные варианты последствий от воздействия на литосферные плиты. В результате оказалось, что к таким же последствиям приводят реально происходившие сбросовые и разламывающие землетрясения. Исследование осуществлялось для статической задачи при вертикальных внешних воздействиях на литосферные плиты в предположении отсутствия граничных напряжений на торцах. Исследование, основанное на применении метода блочного элемента, выполненное в настоящей работе, направлено на построение более сложной модели в предположении присутствия на торцах плит, т.е. торцевых границах разломов, напряжений – перерезывающих сил и изгибающих моментов. Построены соотношения, позволяющие учитывать присутствие различных вариантов указанных граничных условий на берегах разломов и выяснено их влияние на возможность возникновения землетрясения

Ключевые слова: блочный элемент, факторизация, топология, методы интегральной и дифференциальной факторизации, внешние формы, блочные структуры, граничные задачи, псевдодифференциальные уравнения, пластина, землетрясение.

Бабешко Владимир Андреевич – доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН, заведующий лабораторией, e-mail: babeshko41@mail.ru

Евдокимова Ольга Владимировна – доктор физико-математических наук, доцент, главный научный сотрудник,
e-mail: evdokimova.olga@mail.ru

Бабешко Ольга Мефодиевна – доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, e-mail: babeshko49@mail.ru

1. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. К проблеме физико-механического предвестника стартового землетрясения: место, время, интенсивность // ДАН. – 2016. – Т. 466, № 6. – С. 664–669.

2. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О свойствах стартовых землетрясений // ДАН. – 2016. – Т. 467, № 5. – С. 530–533.

3. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. The theory of the starting earthquake // Экологический вестник научных центров ЧЭС. – 2016. – Т. 2, № 1. – С. 37–80.

4. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. – М.: Наука, 1974. 456 с.

5 Ворович И.И., Бабешко В.А., Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. – М.: Наука, 1979. – 320 с.

6. Бабешко В.А. Эффект упругости слоя несжимаемой жидкости // Письма в Журнал технической физики. – 1988. – Т. 14. – Вып. 17. – С. 1625–1627.

7. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О разнотипных покрытиях с дефектами в статических задачах сейсмологии и наноматериалах // ДАН. – 2014. – Т.459, № 6. – С. 41–45.

8. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. – М.: Наука, 1999. – 246 с.

9. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамика поверхности неоднородных сред. – М.: Физматлит, 2009. – 312 с.

10. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, 1979. – 320 с.

11. Зорич В.А. Математический анализ. – М.: МССМЕ, 2002. – Ч. 2 – 788 с.

12. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. – М.: Наука, 1979. – Т. 2. – 400 с.

13. Певнев А.К. Пути к практическому прогнозу землетрясений. – М.: ГЕОС, 2003. – 154 с.

14. Reid N.F. The Mechanism of the Earthquake. The California Earthquake of April 18, 1906. Rep. of the State Investigation Commiss. Vol. 2, pt. 1. – Washington, 1910. – 56 p.

15. Голицын Б.Б. Избранные труды. – М. Изд-во АН СССР, 1960. – Т. 2. – 465 с.

16. Gutenberg, B., Richter C. Seismicity of the Earth and associated phenomena. – Princeton Univ. Press, 1954. – 310 p.

17. Рихтер Ч. Элементарная сейсмология. – М.: Изд-во иностр. лит., 1963. – 670 с.

18. Гамбурцев Г.А Перспективный план исследований по проблеме «Изыскание и развитие прогноза землетрясений» // Развитие идей Г.А. Гамбурцева в геофизике. – М.: Наука, 1982. – С. 304–311.

19. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс. – М.: Наука, 1987. – 104 с.

20. Соболев Г.А. Основы прогноза землетрясений. – М.: Наука, 1993. – 313 с.

21. Кейлис-Борок В.А. Динамика литосферы и прогноз землетрясений // Природа. – 1989 – № 12. – С. 10–18.

22. Чернов Ю.К. Сильные движения грунта и количественная оценка сейсмической опасности территории. – Ташкент: ФАН, 1989. – 296 с.

23. Райс Дж. Механика очага землетрясения. – М.: Мир, 1982. – 217 с.

24. Mitchell E., Fialko Y, Brown K. Temperature dependence of frictional healing of Westerly granite: Experimental observations and numerical Simulations// Geochemistry, Geophysics, Geosystems. – 2013. – Vol. 14. – P. 567–582.

25. Mitchell E., Fialko Y., Brown K. Frictional properties of gabbro at conditions corresponding to slow slip events in subduction zones // Geochemistry, Geophysics, Geosystems. – 2015. – Vol. 16. – P. 4006–4020.

26. Ide S., Berosa G.S. Does apparent stress vary earthquake? // Geophisical Researche Letters. – 2001. – Vol. 28 (17). – P. 3349–3352.

27. Di Toro G. Fault lubrication during earthquake // Nature. – 2011. – Vol. 471 (7339). – P. 494–498.

28. Passelegue F.X., Goldsby D.L. The influence of ambient tempereche on flash-heating phenomena // Geophisical Researche Letters. – 2014. – Vol. 41. – P. 828–835.

29. Freed A.M. Earthquake triggering by static, dynamic and postseismic stress transfer // Annual Revue Earth Planet Sciensce. – 2005. – Vol. 33. – P. 335–367.

30. Bouchon M., Durand D, Marsan H., Karabulut H., Schmittbuhl J. The long precursory phase
of most lalge interplanet earthquakes // NatureGeoscience. – 2013. – Vol. 6. – P. 299–302.
DOI. 10.1038/NGEO1770

31. Blanpied M.L., Lockner D.A., Byerlee J.D. Fault stability inferred from granite silding experiments at hydrothermal conditions // Geophisical Researche Letters. – 1991. – Vol. 18 (4). – P. 609–617.

В работе проведено численное исследование физически нелинейной задачи о продольном изгибе бесконечно длинной трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем. Предполагается, что в правом торцевом сечении несущие слои жестко защемлены и отсутствует адгезионное соединение заполнителя с опорным элементом, в левом торцевом сечении несущие слои шарнирно оперты на абсолютно жесткие в поперечном направлении диафрагмы, склеенной с торцевым сечением заполнителя. Задача рассматривается в одномерной геометрически нелинейной постановке. Предполагается, что зависимость между касательным напряжением и деформацией поперечного сдвига соответствует идеальной упругопластической модели, т.е. модули касательных напряжений в заполнителе не превосходят некоторого предельного значения. Это условие означает недопущение разрушения конструкции и соответствует учету физической нелинейности в заполнителе по модели идеальной упругопластической модели. Обобщенная постановка сформулирована в виде задачи поиска седловой точки некоторого обобщенного функционала Лагранжа. Исследованы свойства функционала. Доказана выпуклость, полунепрерывность снизу и коэрцитивность по основным переменным (перемещениям точек срединных поверхностей несущих слоев), вогнутость, полунепрерывность сверху и антикоэрцитивность по множителям Лагранжа (касательным напряжениям в заполнителе). Это дало возможность при доказательстве теоремы существования и единственности использовать общую теорию существования седловых точек. Для решения задачи предложен двухслойный итерационный метод типа Удзавы, каждый шаг которого сводится к решению линейной задачи теории упругости и нахождению проекции на выпуклое замкнутое множество. Установлена сходимость метода. С помощью разработанного в среде MatLab комплекса программ проведены численные эксперименты для модельной задачи. Проведен анализ полученных результатов. Результаты численных экспериментов соответствуют физической картине.

Ключевые слова: математическое моделирование, трехслойная пластина, трансверсально-мягкий заполнитель, физически нелинейная задача, обобщенная постановка, теорема разрешимости, теорема сходимости, итерационный метод, численный эксперимент.

Бадриев Ильдар Бурханович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: ildar.badriev1@mail.ru

Макаров Максим Викторович – младший научный сотрудник, e-mail: makarovmaksim@mail.ru

Паймушин Виталий Николаевич – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: vpajmushin@mail.ru

1. Композиционные материалы: справочник / В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин [и др.]; под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. – М.: Машиностроение, 1990. – 512 с.

2. Öchsner A., Da Silva L.F.M., Altenbach H. Mechanics and Properties of Composed Materials and Structures. – Berlin: Springer-Verlag, 2012. – 195 p.

3. Vasiliev V.V., Morozov E. Advanced Mechanics of Composite Materials and Structural Elements. – Elsevier, 2013. – 816 p.

4. Advanced Materials: Physics, Mechanics and Applications / Eds. S-H. Chang, I. Parinov, V.Y. Topolov. – Springer Cham Heidelberg New York Dordrecht London, 2014. – XVIII. – 380 p.

5. Gibson R.F. Principles of Composite Material Mechanics. – Taylor&Francis Group, LLC,
2015. – 815 p.

6. Sause M.G.R. In Situ Monitoring of Fiber-Reinforced Composites. Theory, Basic Concepts, Methods, and Applications. – Springer International Publishing, 2016. – 633 p.

7. Reissner E. Finite deflections of sandwich plates // Journal of Aeronautical Science. – 1948. – Vol. 15. – No. 7. – P. 435–440.

8. Крысин В.Н. Слоистые клееные конструкции в самолётостроении. – М.: Машиностроение, 1980. – 232 с.

9. Старовойтов Э.И. Вязкоупругопластические слоистые пластины и оболочки / Белорус. гос. ун-т. – Гомель, 2002. – 343 с.

10. Frostig Y. Elastica of sandwich panels with a transversely flexible core – A high-order theory approach // International Journal of Solids and Structures. – 2009. – Vol. 46. – P. 2043–2059. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2008.05.007

11. Сухинин С.Н. Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек. – М.: Физматлит, 2010. – 248 с.

12. Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Яковлев Д.О. Асимптотическая теория многослойных упругих пластин – М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2014. – 32 c.

13. Прохоров Б.Ф., Кобелев В.Н. Трехслойные конструкции в судостроении. – Л.: Судостроение, 1972. – 344 с.

14. Plantema F.J. Sandwich Construction. – New York: John Wiley, 1966.

15. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. – М.: Машиностроение, 1973. – 172 с.

16. Noor A.K., Burton W.S., Bert Ch.W. Computational models for sandwich panels and shells // Applied Mechanics Reviews. – 1996. – Vol. 49. – No. 13. – P. 155–199.

17. Hohe J., Librescu L. A Nonlinear Sandwich Shell Theory Accounting for Transverse Core Compressibility // PAMM, the Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics. – 2003. – Vol. 2. – P. 158–159. DOI: org/10.1002/pamm.200310064

18. Rahmani O., Lashkari M.J. Bending analysis of sandwich plates with composite face sheets and compliance functionally graded syntactic foam core // Journal of Mechanical Engineering Science. – 2015. – Vol. 1. – No. 1. – P. 1–24. DOI: 10.1177/0954406215616417

19. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. On the interaction of composite plate having a vibration-absorbing covering with incident acoustic wave // Russian Mathematics. – 2015. – Vol. 59. –
No. 3. – P. 66–71. DOI: 10.3103/S1066369X1503007X

20. Liang Y., Izzuddin B.A. Large displacement analysis of sandwich plates and shells with symmetric/asymmetric lamination // Computers & Structures. – 2016. – No. 1. – P. 11–32.

21. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Contact Statement of Mechanical Problems of Reinforced on a Contour Sandwich Plates with Transversally-Soft Core // Russian Mathematics. –
2017. – Vol. 61. – No. 1. – P. 69–75. DOI: 10.3103/S1066369X1701008X

22. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. – М.: Машиностроение, 1980. – 375 с.

23. Ekeland I., Temam R. Convex Analysis and Variational Problems. – Amsterdam: North-Holland, 1976. – 402 p.

24. Lions J.L. Quelque problèmes méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires. – Paris: Dunod, 1969. – 554 p

25. Gajewskii H., Gröger K., Zacharias K. Nichtlineare Operatorgleichungen und Operator differential gleichungen. – Berlin: Akademie-Verlag, 1974. – 281 p.

26. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. – М: Наука,
1972. – 416 с.

27. Bank R.E., Welfert B.D., Yserentant H. A class of iterative methods for solving saddle point problems // Numerische Mathematik. – 1989. – Vol. 56. – No. 7. – P. 645–666. DOI: 10.1007/BF01405194

28. Badriev, I.B., Karchevskii, M.M. Convergence of the iterative Uzawa method for the solution of the stationary problem of seepage theory with a limit gradient // Journal of Soviet Mathematics. – 1989. – Vol. 45. – No. 4. – P. 1302–1309. DOI: 10.1007/bf01097083

29. Bramble J.H., Pasciak J.E., Vassilev A.T. Analysis of the inexact Uzawa algorithm for saddle point problems // SIAM Journal on Numerical Analysis. – 1997. – Vol. 34. – No. 3. – P. 1072–1092.

30. Zulehner W. Analysis of iterative methods for saddle point problems: A unified approach // Mathematics of Computation. – 2002. – Vol. 71. – No. 238. – P. 479–505. DOI: 10.1090/S0025-5718-01-01324-2

31. Gräser C., Kornhuber R. On Preconditioned Uzawa-type Iterations for a Saddle Point Problem with Inequality Constraints // Lecture Notes in Computational Science and Engineering. – 2007. –
Vol. 55. – P. 91–102.

32. Lapin A.V. Preconditioned Uzawa-Type Methods for Finite-Dimensional Constrained Saddle Point problems // Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2010. – Vol. 31. – No. 4. – P. 309–322. DOI 10.1134/s1995080210040013

33. Muravleva L. Uzawa-like methods for numerical modeling of unsteady viscoplastic
Bingham medium flows // Applied Numerical Mathematics. – 2015. – Vol. 93. – P. 140–149. DOI: 10.1016/j.apnum.2014.06.001

34. Solving Physically Nonlinear Equilibrium Problems for Sandwich Plates with a Transversally Soft Core / I.B. Badriev, G.Z. Garipova, M.V. Makarov, V.N. Paimushin, R.F. Khabibullin // Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2015. – Vol. 36. – No. 4. – P. 474–481. DOI: 10.1134/S1995080215040216

35. On the solvability of geometrically nonlinear problem of sandwich plate theory / I.B. Badriev, V.V. Banderov, G.Z. Garipova, M.V. Makarov, R.R. Shagidullin // Applied Mathematical Sciences. – 2015. – Vol. 9. – No. 81–84. – P. 4095–4102.

36. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Numerical Investigation of Physically Nonlinear Problem of Sandwich Plate Bending // Procedia Engineering. – 2016. – Vol. 150. – P. 1050–1055. DOI: 10.1016/j.proeng.2016.07.213

37. Zemskov A.V., Tarlakovskii D.V. Approximate solution of a three-dimensional problem of elastic diffusion in an orthotropic layer // Journal of Mathematical Sciences (United States). – 2014. – Vol. 203. – No. 2. – P. 221–238. DOI: 10.1007/s10958-014-2103-9

38. Berezhnoi D.V., Sachenkov A.A., Sagdatullin M.K. Geometrically nonlinear deformation elastoplastic soil // Applied Mathematical Sciences. – 2014. – Vol. 8. – No. 125–128. – P. 6341–6348. DOI: 10.12988/ams.2014.48672

39. Berezhnoi D.V., Sachenkov A.A., Sagdatullin M.K. Research of interaction of the deformable designs located in the soil // Applied Mathematical Sciences. – 2014. – Vol. 8. – No. 141–144. – P. 7107–7115. DOI: 10.12988/ams.2014.49706

40. Investigation of Strain of Solids for Incompressible Materials / A.I. Abdrakhmanova, I.R.Gariffulin, R.L. Davydov, L.U. Sultanov, L.R. Fakhrutdinov // Applied Mathematical Sciences. – 2015. – Vol. 9. – No. 118. – P. 5907–5914. DOI: 10.12988/ams.2015.57507

41. Davydov R.L., Sultanov L.U. Numerical Algorithm for Investigating Large Elasto-Plastic Deformations // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. – 2015. – Vol. 88. – No. 5. – P. 1280–1288. DOI: 10.1007/s10891-015-1310-7

42. Davydov R.L., Sultanov L.U., Kharzhavina V.S. Elastoplastic model of deformation of three- dimensional bodies in terms of large strains // Global Journal of Pure and Applied Mathematics. –
2015. – Vol. 11. – No. 6. – P. 5099–5108.

43. Abdrakhmanova A.I., Sultanov L.U. Numerical modelling of deformation of hyperelastic incompressible solids // Materials Physics and Mechanics. – 2016. – Vol. 26. – No. 1. – P. 30–32.

44. Badriev I.B., Banderov V.V., Zadvornov O.A. On the Equilibrium Problem of a Soft Network Shell in the Presence of Several Point Loads // Applied Mechanics and Materials. – 2013. – Vol. 392. – P. 188–190. DOI: 10.4028/www.scientific.net/AMM.392.188

45. Badriev I.B., Banderov V.V., Zadvornov O.A. On the solving of equilibrium problem for the soft network shell with a load concentrated at the point // PNRPU Mechanics Bulletin. – 2013. – No. 3. – P. 17–35.

46. Determination of stress-strain state of geometrically nonlinear sandwich plate / I.B. Badriev, V.V. Banderov, M.V. Makarov, V.N. Paimushin // Applied Mathematical Sciences. – 2015. – Vol. 9. – No. 77–80. – P. 3887–3895.

47. Numerical Solution of the Issue about Geometrically Nonlinear Behavior of Sandwich Plate with Transversal Soft Filler / I.B. Badriev, G.Z. Garipova, M.V. Makarov, V.N. Paymushin // Research Journal of Applied Sciences. – 2015. – Vol. 10. – No. 8. – P. 428–435. DOI: 10.3923/rjasci.2015.428.435

48. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. Mathematical Simulation of Nonlinear Problem of Three-point Composite Sample Bending Test // Procedia Engineering. – 2016. – Vol. 150. – P. 1056–1062. DOI: 10.1016/j.proeng.2016.07.214

49. Paimushin V.N., Bobrov S.N. Refined geometric nonlinear theory of sandwich shells with a transversely soft core of medium thickness for investigation of mixed buckling forms // Mechanics of Composite Materials. – 2000. – Vol. 36. – No. 1. – P. 59–66.

50. Adams R.A. Sobolev Spaces. – New York, San Francisco, London: Academic Press, 1975. – 286 p.

51. Glowinski R., Lions J.-L., Tremolieres R. Analyse nume'rique des ine'quations variationnelles. – Paris: Dunod, 1976.

52. Fortin M., Glowinski R. Augmented Lagrangian Methods: Applications to the Numerical Solution of Boundary-Value Problems. – Amsterdam: North-Holland, 1983. – 340 p.

53. Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings // Bulletin of the American Mathematical Society. – 1967. – Vol. 73. – No. 4. – P. 591–597.

54. Kinderlehrer D., Stampaccia G. An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications. – New York, London, Toronto, Sydney, San Francisco: Academic Press, 1980.

Разработана модель продольных колебаний штанговой колонны глубинно-насосной установки, учитывающая сжимаемость газожидкостной смеси в цилиндре насоса. Был применен подход, использующий формулировку задачи в виде квазивариационного неравенства. Решение этой задачи может быть сведено к последовательности задач негладкой минимизации. Данный подход является достаточно универсальным и может быть использован для колонн в сильно искривленных скважинах.

В данной модели газовый компонент смеси подчиняется закону Бойля. Сжимаемость жидкостного компонента, растворение газа в жидкости и выделение газа из жидкости в этой модели не учитываются.

На базе предложенной модели рассмотрено влияние содержания газа в смеси, заполняющей цилиндр насоса, на динамограмму штанговой колонны в верхнем сечении. Кроме того, рассмотрено различие поведения штанговой колонны в двух случаях: когда газ равномерно распределен (но не растворен) в жидкости, заполняющей цилиндр насоса и когда газ в цилиндре насоса занимает локализованный объем.

Если газ распределен в откачиваемой смеси, то сегменты динамограмм, соответствующие фазе сжатия, имеют более слабый наклон, чем в фазе расширения. Это объясняется тем, что масса газа, а следовательно, и сжимаемость смеси
в фазе сжатия больше, чем в фазе расширения. Этот факт также объясняет ослабление свободных колебаний, которое гораздо более значительно для той фазы, когда плунжер движется вниз, чем для фазы, когда плунжер движется вверх. Если газ занимает локализованный объем в цилиндре насоса, то в фазе сжатия имеет ту же форму, что и в фазе растяжения. Повышенного ослабления вибраций при движении плунжера вниз в этом случае не наблюдается.

Ключевые слова: динамические задачи, насосные системы, закон Бойля, стержневые системы, вариационные неравенства.

Вассерман Игорь Николаевич – кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, e-mail: igorw@icmm.ru

Шардаков Игорь Николаевич – доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией, e-mail: shardakov@icmm.ru

1. Вирновский А.С. Способ вычисления величин, характеризующих работу глубиннонасосной установки по данным наземных измерений // Нефтяное хозяйство.– 1952. – № 5. – С. 30–36.
2. S.G.Gibbs. Predicting the behaviour of sucker rod systems // Journal of Petroleum Technology – 1963. – Vol. 6. – P. 769–778.
3. Doty D.R., Schmidt Z. An improved model for sucker rod pumping // Society of Petroleum Engineers Journal (US). – 1983. – Vol. 23. – P. 33–41
4. Romero O.J, Almeida P. Numerical simulation of the sucker-rod pumping system // Ingenieria e Investigacion. – 2014. – Vol. 34. – No. 3. – P. 4–11.
5. Gibbs S. Rod Pumping. Modern Methods of Design // Diagnosis and Surveillance, 2012. – 212 р.
6. A uniform and reduced mathematical model for sucker rod pumping / Leiming Liu, ChaonangTong, Jianqin Wang, Ranbing Liu // Computational Science – ICCS 2004, 2004. – P. 372–379.
7. Hojjati H., Lukasiewicz S.A. Modelling of sucker rod strings // Journal of Canadian Petroleum Technology. – 2005. – Vol. 44. – No. 12. – P. 55–58.
8. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. – М.: Наука, 1980. – 198 с.
9. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. – М.: Мир, 1979.
10. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функционалы энергии. – М.: Мир, 1989.
11. Кравчук А.С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения // Прикладная математика и механика. – 1980. – Т. 44. – Вып. 1. – С. 122–129.
12. Вовкушевский А.В. Вариационная постановка и методы решения контактной задачи с трением при учете шероховатости поверхности // Механика твердого тела. – 1991. – № 3. – С. 56–62.
13. Hlavacek I., Haslinger J., Necas J., Lovisek J. Solution of variational inequalitiesin mechanics. – NewYork: Springer-Verlag, 1988.
14. Вассерман И.Н., Шардаков И.Н. Постановка и решение упругих динамических задач для стержневых систем с граничными условиями, описываемыми многозначными соотношениями // Прикладная механика и техническая физика. – 2003. – Т. 44, № 3. – С. 124–135.
15. Вассерман И.Н., Шардаков И.Н., Вассерман Н.Н. Влияние режима работы глубинной насосной установки на долговечность штанговой колонны // Химическое и нефтегазовое машиностроение. – 2004. – № 5. – С. 7–9.
16. Вассерман И.Н., Шардаков И.Н., Вассерман Н.Н. Динамика стеклопластиковых и комбинированных штанговых колонн // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2009. – № 1. – С. 35–39.
17. Shardakov I.N., Wasserman I.N. Numerical modelling of longitudional vibrations of a sucker rod string // Journal of Sound and Vibration. – 2010. – Vol. 329. – Iss. 3. – P. 317–327.
18. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975.
19. Бертсекас Д. Условная оптимизация и метод множителей Лагранжа. – М.: Радио и связь, 1987.

При эксплуатации триботехнических агрегатов и устройств может возникнуть неустойчивость скользящего фрикционного контакта, сопровождающаяся ростом температуры и напряжений, что часто приводит к возникновению нештатных ситуаций, аварий и т.п. Для предупреждения таких явлений предлагается система мониторинга возникновения неустойчивости, основанная на опосредованной индикации температуры и напряжений с помощью измерения и анализа индукции и напряженности электрического поля на встроенной пьезокерамической прослойке. С целью моделирования такой схемы мониторинга термоупругой неустойчивости рассматривается нестационарная динамическая контактная задача термоэлектроупругости
о скольжении жёсткого тела в виде полуплоскости по поверхности упругого покрытия. Контакт осуществляется с учётом сил трения и тепловыделения от трения. Пьезокерамическая прослойка располагается между упругим покрытием и недеформируемым основанием и жёстко сцеплена с ними. При этом пьезокерамическая прослойка термоизолирована от термоупругого покрытия, вектор предварительной поляризации направлен вдоль вертикальной оси, ортогональной граням прослойки, на которых располагаются электроды с подведённой разностью потенциалов.

Решение поставленной задачи о скользящем термофрикционном контакте строится с помощью интегрального преобразования Лапласа, позволяющего представить основные физические параметры задачи: температуру, напряжения, смещения, индукцию и напряженность электрического поля, электростатический потенциал в виде контурных квадратур обратного преобразования Лапласа или свёртки Лапласа. После изучения свойств подынтегральных функций и изолированных особых точек в комплексной плоскости переменной интегрирования квадратуры вычисляются методами теории функций комплексного переменного. Вычисление квадратур приводит к бесконечным рядам по полюсам подынтегральных функций, являющихся собственными числами задачи. Решение в такой форме позволяет достаточно просто установить области устойчивых и неустойчивых решений задачи на бесконечном временном интервале. Формулы электрического тока и его напряженности, возникающих на пьезокерамической прослойке, совместно с формулами температуры
и напряжений на скользящем контакте позволяют во времени диагностировать процесс возникновения и развития термоупругой неустойчивости скользящего контакта.

Ключевые слова: термоупругость, термоупругая неустойчивость, электроупругость, пьезокерамика, нестационарная динамическая контактная задача, диагностика, скользящий контакт.

Зеленцов Владимир Борисович – кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: vbzelen@gmail.com

Митрин Борис Игоревич – младший научный сотрудник, e-mail: bmitrin@dstu.edu.ru

Сукиязов Александр Гургенович – кандидат физико-математических наук, профессор, e-mail: radio_ras@mail.ru

Айзикович Сергей Михайлович – доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией, e-mail: saizikovich@gmail.com

1. Barber J.R. Thermoelastic instabilities in the sliding of conforming solids // Proc. R. Soc. A Math. Phys. Eng. Sci. – 1969. – Vol. 312. – P. 381–394.
2. Lee K., Barber J.R. An experimental investigation of frictionally-excited thermoelastic instability in automotive disk brakes under a drag brake application // J. Tribol. – 1994. – Vol. 116. – No. 3. – P. 409–414.
3. Temperature and thermoelastic instability at tread braking using cast iron friction material / S. Abbasi [et al.] // Wear. – 2014. – Vol. 314. – No. 1–2. – P. 171–180.
4. Shpenev A.G., Kenigfest A.M., Golubkov A.K. Theoretical and experimental study of carbon brake discs frictionally induced thermoelastic instability // Springer Proc. Phys. – 2016. – Vol. 175. – P. 551–559.
5. Netzel J.P. Observations of thermoelastic instability in mechanical face seals // Wear. – 1980. – Vol. 59. – No. 1. – P. 135–148.
6. Dow T.A., Burton R.A. Thermoelastic instability of sliding contact in the absence of wear // Wear. – 1972. – Vol. 19. – No. 3. – P. 315–328.
7. Моров В.А., Черский И.Н. Термоупругая неустойчивость фрикционного контакта штампов с полупространством // Трение и износ. – 1985. – Т. 6, № 1. – С. 27–38.
8. Yi Y.-B., Barber J.R., Zagrodzki P. Eigenvalue solution of thermoelastic instability problems using Fourier reduction // Proc. R. Soc. A Math. Phys. Eng. Sci. – 2000. – Vol. 456. – P. 2799–2821.
9. Davis C.L., Krousgrill C.M., Sadeghi F. Effect of Temperature on Thermoelastic Instability in Thin Disks // J. Tribol. – 2002. – Vol. 124. – No. 3. – P. 429–437.
10. Interaction of thermal contact resistance and frictional heating in thermoelastic instability / M. Ciavarella [et al.] // Int. J. Solids Struct. – 2003. – Vol. 40. – No. 21. – P. 5583–5597.
11. Afferrante L., Ciavarella M., Barber J.R. Sliding thermoelastodynamic instability // Proc. R. Soc. A Math. Phys. Eng. Sci. – 2006. – Vol. 462. – No. 2071. – P. 2161–2176.
12. Afferrante L., Ciavarella M. Thermo-elastic dynamic instability (TEDI) in frictional sliding of two elastic half-spaces // J. Mech. Phys. Sol. – 2007. – Vol. 55. – P. 744–764.
13. Jang Y.H., Ahn S. H. Frictionally-excited thermoelastic instability in functionally graded material // Wear. – 2007. – Vol. 262. – No. 9–10. – P. 1102–1112.
14. Mao J.-J., Ke L.-L., Wang Y.-S. Thermoelastic contact instability of a functionally graded layer and a homogeneous half-plane // Int. J. Solids Struct. – 2014. – Vol. 51. – No. 23–24. – P. 3962–3972.
15. Frictionally excited thermoelastic instability of functionally graded materials sliding out-of-plane with contact resistance / J.-J. Mao [et al.] // J. Appl. Mech. ASME. – 2016. – Vol. 83. – No. 2. – Ст. № 021010.
16. Zagrodzki P. Thermoelastic instability in friction clutches and brakes – Transient modal analysis revealing mechanisms of excitation of unstable modes // Int. J. Solids Struct. – 2009. – Vol. 46. – No. 11–12. – P. 2463–2476.
17. Frictionally excited thermoelastic instability and the suppression of its exponential rise in disc brakes / M. Honner [et al.] // J. Therm. Stress. – 2010. – Vol. 33. – No. 5. – P. 427–440.
18. Слоновский Н.В. О термоупругой устойчивости при трении скольжения // Прикл. мат. мех. – 1969. – Т. 33, № 1. – С. 117–121.
19. Евтушенко А.А., Пырьев Ю.А. Влияние изнашивания на развитие термоупругой неустойчивости фрикционного контакта // Изв. РАН. МТТ. – 1997. – № 1. – С. 114–121.
20. Термоупругодинамическая неустойчивость решения контактной задачи для покрытия с учетом тепловыделения от трения / В.Б. Зеленцов [и др.] // Вестн. Дон. гос. техн. ун-та. – 2014. – Т. 14, № 4. – С. 17–29.
21. Instability of solution of the dynamic sliding frictional contact problem of coupled thermoelasticity / V.B. Zelentsov [et al.] // Mater. Phys. Mech. – 2015. – Vol. 23. – P. 14–19.
22. Vasiliev A.S., Volkov S.S., Aizikovich S.M. Normal point force and point electric charge in a piezoelectric transversely isotropic functionally graded half-space // Acta Mech. – 2016. – Vol. 227. – No. 1. – P. 263–273.
23. Closed-form solutions of the frictional sliding contact problem for a magneto-electro-elastic half-plane indented by a rigid conducting punch / R. Elloumi [et al.] // Int. J. Solids Struct. – 2013. – Vol. 50. – No. 24. – P. 3778–3792.
24. Zhou Y.-T., Lee K.Y. Investigation of frictional sliding contact problems of triangular and cylindrical punches on monoclinic piezoelectric materials // Mech. Mater. – 2014. – Vol. 69. – No. 1. – P. 237–250.
25. Thermal contact of magneto-electro-elastic materials subjected to a conducting flat punch / J. Ma [et al.] // J. Strain Analysis Eng. Design. – 2015. – Vol. 50. – No. 7. – P. 513–527.
26. Неустойчивость скользящего термофрикционного контакта жесткого тела с упругим покрытием, содержащим пьезокерамическую прослойку / В.Б. Зеленцов [и др.] // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Сер.: естеств. науки. – 2015. – № 4. – С. 56–62.
27. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. – Киев: Наукова думка, 1989. – 134 с.
28. Коваленко А. Д. Введение в термоупругость. – Киев: Наукова думка, 1965. – 204 c.
29. Диткин В.А., Прудников, А.П. Операционное исчисление. – М.: Высш. шк., 1975. – 409 с.
30. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. – М.: Наука, 1977. – 288 с.
31. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. – М.: Наука, 1968. – 648 с.
32. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1965. – 331 с.

Рассмотрена задача по удержанию оторвавшейся лопатки вентилятора турбореактивного авиационного двигателя для обеспечения безопасности пассажиров и экипажа самолета. Указаны основные направления конструирования вентилятора по обеспечению данного требования, одному из которых посвящена данная работа. Представлены расчетные и экспериментальные исследования прочности нескольких вариантов конструкций корпусов вентиляторов. Показано различие результатов расчета и эксперимента для металлов, отличающихся пластичностью. Дан обзор и описание известных методик расчета металлической бронезащиты, указан их общий недостаток, заключающийся в неучете предельной деформации материала. Предложена методика расчета металлического корпуса, учитывающая предельную деформацию материала. При этом указано граничное значение предельной деформации материала, разделяющее металлы на жесткие и пластичные, для которых приведены математические формулы расчета стенки бронезащиты. Показана хорошая сходимость расчета по предложенным соотношениям с результатами эксперимента для титановых и алюминиевых сплавов. Описана конструктивная схема, проведены расчеты прочности и степени поглощения энергии удара оторвавшейся лопатки специально разработанным устройством в виде гофрированного защитного пакета (или чехла) из высокопрочной ткани, который может быть установлен на любую конструкцию корпуса вентилятора как из металлических, так и из полимерных композиционных материалов без принципиальных изменений схемы компоновки. Приведено расчетное обоснование преимущества конструкции гофрированного защитного пакета по сравнению с конструкцией традиционного пакета. Приведена оценка эффективности применения алюминиевых сплавов в качестве материала корпуса вентилятора как альтернативы титановым сплавам. Описана экспериментальная установка для испытания полногабаритных корпусов. Показаны недостатки установки для испытаний модельных корпусов. Описана проблема применения полимерного композиционного материала для силового корпуса вследствие его резания лопатками вентилятора при отрыве одной из лопаток. Представлена проектная оценка применения полимерных композиционных материалов для корпуса вентилятора, указаны пути повышения баллистической стойкости корпуса из полимерных композиционных материалов.

Ключевые слова: корпус вентилятора, лопатка, защитный пакет, композиционный материал, оболочка, ткань, предельная деформация, предел прочности, работа деформирования, кинетическая энергия, баллистическая стойкость.

Куртеев Владимир Аркадьевич – ведущий научный сотрудник, e-mail: kva730@iskra.perm.ru

Бурдюгов Сергей Иванович – заместитель генерального конструктора – главный конструктор, e-mail: pioneer241@mail.ru

Иноземцев Александр Александрович – доктор технических наук, профессор, e-mail: office@avid.ru

Ломаев Владимир Иванович – доктор технических наук, e-mail: pzmash@perm.ru

Мозеров Борис Георгиевич – главный конструктор, e-mail: pioneer241@mail.ru

Cоколовский Михаил Иванович – доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РАН, e-mail: pioneer241@mail.ru

Шатров Владимир Борисович – кандидат технических наук, e-mail: pioneer241@mail.ru

1. Акимов В.М. Основы надежности газотурбинных двигателей. – М.: Машиностроение, 1981.

2. Биргер И.А., Балашов Б.Ф., Дульнев Р.А. Конструкционная прочность материалов и деталей ГТД. – М.: Машиностроение, 1981.

3. Петухов А.Н. Сопротивление усталости деталей ГТД. – М.: Машиностроение,1993.

4. Federal Aviation Administration. Airworthiness Standards: Aircraft Engine Standards for Engine Life-Limited Parts. 14 CFR. Part 33.70 Amdt. 33-22. 72 FR 50860, 2007.

5. European Aviation Safety Agency. Centification Specifications for Engines. CS-E.

6. Нормы прочности авиационных газотурбинных двигателей гражданской авиации / под ред. Ю.А. Ножницкого. – 6-е изд. / Центр. ин-т авиац. моторостроения им. П.И. Баранова. – М., 2004.

7. Оценка свойств высоколегированных титановых сплавов, закаленных на b-структуру, в качестве материалов для броневой защиты / А.Л. Гавзе, Е.И. Степанов, С.Ю. Чусов, В.П. Яньков // Вопросы оборонной техники. – 2011. – Сер. 15. – Вып. 1 (160), 2 (161). – С. 30–34.

8. Перспективы применения в средствах индивидуальной бронезащиты высокопрочных алюминиевых сплавов / Д.Г. Купрюнин, Э.Н. Петрова, С.Ю. Чусов, В.П. Яньков // Вопросы оборонной техники. – 2013. – Сер. 15. – Вып. 3(170)–4(171). С. 51–55.

9. Нормы прочности авиационных двигателей. – 6-е изд. / Центр. ин-т авиац. моторостроения им. П.И. Баранова. – М., 2005.

10. Материалы и защитные структуры для локального и индивидуального бронирования / В.А. Григорян [и др.]. – М.: РадиоСофт, 2008.

11. Ефимов М.Г. Курс артиллерийских снарядов. – М.: Оборонгиз, 1939.

12. Оценка защитной способности корпуса вентилятора турбореактивного двигателя / В.А. Куртеев, Б.Г. Мозеров, М.И. Соколовский, А.А. Иноземцев // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. – 2015. – № 40. – С. 22–43.

13. Лизин В.Т., Пяткин В.А. Проектирование тонкостенных конструкций. – М.: Машиностроение, 1994.

14. Металлические конструкции: в 3 т. Т. 2. Стальные конструкции зданий и сооружений: справ. проектировщика. – М.: АСВ, 1998.

15. Биргер И.А.,. Шорр Е.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин: справочник. – М.: Машиностроение, 1993.

16. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. – М., 1962.

17. Крундаева А.Н. Разработка облегченной конструкции корпуса вентилятора авиационного двигателя // Вестник УГАТУ. Авиационная и ракетно-космическая техника. – 2013. – Т. 17, № 1(54). – С. 27–32.

18. Туренко А.Н., Ужва А.В., Сергиенко А.В. Результаты исследований поглощения энергии при ударе изделиями из композитных материалов // Вестник ХНАДУ. – 2013. – Вып. 60. – С. 90–94.

19. Семейство ТРДД Trent. Работы ведущих авиадвигателестроительных компаний по созданию перспективных авиадвигателей / Центр. ин-т авиац. моторостроения им. П.И. Баранова. – М., 2004.

20. Каримбаев Т.Д., Луппов А.А. Исследование кинематики взаимодействия оборвавшейся лопатки вентилятора с деталями и узлами тракта ГТД методом конечных элементов в пакете
LS-DYNA // Новые технологические процессы и надежность ГТД. – 2008. – Вып. 8. – С. 85–96.

21. Численное моделирование обрыва лопатки вентилятора / Ю.Н. Шмотин, А.А. Рябов, Д.В. Габов, С.С. Куканов // Авиационно-космическая техника и технология. – 2005. – № 9 (25). – С. 63–67.

22. Гладкий И.Л. Исследование последовательности обрыва лопаток ГТД методом конечных элементов // Вестник Перм. гос. техн. ун-та. Динамика и прочность машин. – 2003. – № 4. – С. 125–130.

23. Гладкий И.Л., Березин Р.И. Экспериментальное исследование стойкости к ударному воздействию материалов, применяющихся в корпусах вентиляторов газотурбинных двигателей // Изв. Самар. науч. центра РАН. – 2012. – Т. 14, № 4–5. – С. 1359–1362.

24. Бузюркин А.Е., Гладкий И.Л., Краус Е.И. Численное моделирование аварийного обрыва лопатки вентилятора газотурбинного двигателя // Обработка металлов. – 2014. – Вып. 4 (65). –
С. 52–60.

25. Пат. РФ № 2293885 от 20.02.2007 г.

26. Куртеев В.А. Баллистическая стойкость многослойных пластин бронезащиты // Вопросы оборонной техники. – 2016. – Сер. 15. – Вып. 3 (182)–4 (183). – С. 87–93.

27. Пейчев Г.И., Николаевский С.В., Вигант Ю.В. ЗМКБ «Прогресс»: композиты в авиадвигателях семейства Д36 // Технологические системы. – 2000. – № 2. – С. 15–21.

28. Пат. США № 6814541 от 07.10.2002 г.

29. Пат. РФ № 2433281 от 10.11.2011 г.

30. Поглощение энергии арамидным волокном. Полимерные композиционные материалы. Прочность и технология / С.Л. Баженов, А.А. Бердин, А.А. Кульков, В.Г. Ошмян. – Долгопрудный: Интеллект, 2010. – С. 104–121.

31. Ткань техническая для производства средств индивидуальной бронезащиты. Технические условия. ТУ8378-020-00320992-2004.

32. Крундаева А.Н., Шмотин Ю.Н. Разработка конструкции комбинированного корпуса и расчет его динамической прочности в случае обрыва лопатки ротора // Электронный журнал «Труды МАИ». – Вып. 73.

Актуальной задачей является исследование и анализ влияния повышенных
и пониженных (эксплуатационных) температур на механические свойства и механизмы разрушения композиционных материалов в условиях, максимально приближенных к эксплуатационным режимам, а также установления температурных зависимостей упругих и прочностных характеристик волокнистых композитов, применяемых в ответственных конструкциях.

Исследовались механические характеристики композиционных материалов на основе комбинированной стеклоорганоткани и двух типов связующего – полиимидного (КМ-1) и эпоксидного (КМ-2).

Целью настоящей работы было исследование деградации механических характеристик композиционных материалов при повышении температуры.

Исследования проводились на универсальной электромеханической системе Instron 5882, в состав которой входит термокамера и бесконтактный видеоэкстензометр. Исследования при высокой температуре 500 ºС проводились на сервогидравлической испытательной системе Instron 8850 с использованием высокотемпературной муфельной печи.

Получены результаты экспериментальных исследований влияния повышенных
и высокой температур на деформационные и прочностные свойства композитов двух рецептур КМ-1 и КМ-2 при растяжении и смятии вдоль утка и вдоль основы. Проведены механические испытания на растяжение и смятие при нормальной и повышенных (100, 250 ºС) температурах для КМ-1 и КМ-2. Для композита КМ-1 также проведены испытания на растяжение при высокой (500 ºС) температуре. Построены диаграммы деформирования, при растяжении и при смятии в условиях повышенных температур выявлена стадия закритического деформирования, определены значения упругих коэффициентов, пределов прочности и прочности при смятии. Построены и проанализированы зависимости деградации механических свойств композитов при повышении температуры. Выявлено преимущество рецептуры КМ-2 над КМ-1 по комплексу механических характеристик, поддающихся сравнению, в диапазоне температур от 22 до 250 ºС при растяжении и температуре 22 ºС при смятии в направлении основы.

Ключевые слова: экспериментальная механика, композиционные материалы, стеклоорганопластик, механические свойства, методики испытаний, повышенные температуры, испытания на растяжение.

Лобанов Дмитрий Сергеевич – кандидат технических наук, научный сотрудник, e-mail: cem.lobanov@gmail.com

Бабушкин Андрей Викторович – кандидат технических наук, доцент, e-mail: bav651@yandex.ru

1. Каблов Е.Н. Стратегические направления развития материалов и технологий их переработки на период до 2030 года // Авиационные материалы и технологии. – 2012. – №5. – С. 7–17.
2. Зорин В.А. Опыт применения композиционных материалов в изделиях авиационной и ракетно-космической техники // Конструкции из композиционных материалов. – 2011. – № 4. – С. 44–59.
3. Субботин В.В., Гринев М.А. Опыт применения материалов производства ФГУП «ВИАМ» и PORCHER в конструкциях узлов и деталей авиационных силовых установок из полимерных композиционных материалов [Электронный ресурс] // Научный электронный журнал «Новости материаловеденья. Наука и техника» – 2013. – № 5. – URL: http://www.materialsnews.ru/plugins/ content/journal/uploads/articles/pdf/45.pdf (дата обращения: 22.09.2016).
4. Соколов И.И., Раскутин А.Е. Углепластики и стеклопластики нового поколения [Электронный ресурс] // Труды ВИАМ. – 2013. – № 4. – URL: http://www.viam-works.ru/plugins/content/ journal/uploads/articles/pdf/29.pdf (дата обращения: 22.09.2016).
5. Технологии и задачи механики композиционных материалов для создания лопатки спрямляющего аппарата авиационного двигателя / А.Н Аношкин [и др.] // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 4. – С. 5–44.
6. Адамов А.А., Лаптев М.Ю., Горшкова Е.Г. Анализ отечественной и зарубежной нормативной базы по механическим испытаниям полимерных композиционных материалов // Конструкции из композиционных материалов. – 2012. – № 3. – С. 72–77.
7. Тарнопольский Ю.М., Кинцис Т.Я. Методы статических испытаний армированных пластиков. – М.: Химия, 1981. – 272 с.
8. Антюфеева Н.В., Столянков Ю.В., Исходжанова И.В. Исследование и оценка свойств полимерных композиционных материалов по методикам, гармонизированным с международными стандартами // Конструкции из композиционных материалов. – 2013. – №3. – С. 41–45.
9. Welsh J.S., Adams D.F. Current Status of Compression Test Methods for Composite Materials // SAMPE Journal. – 1997. – Vol. 33. – No. 1. – P. 35–43.
10. Hussain, A.K., Adams, D.F. Experimental Evaluation of the Wyoming-Modified Two-Rail Shear Test Method for Composite Materials // Experimental Mechanics. – 2004. –Vol. 44. – No. 4. – P. 354–364.
11. Dixit A., Harlal Singh Mali. Modeling techniques for predicting the mechanical properties of woven-fabric textile composites: a Review // Mechanics of Composite Materials. – 2013. – Vol. 49. – No. 1. – P. 1–20.
12. Халиулин В.И., Двоеглазов И.В., Ковалев В.В. Методика испытаний складчатых заполнителей на поперечное сжатие // Вестн. Казан. гос. тех. ун-та им. А.Н. Туполева. – 2012. –
    № 4–2. – С. 85–88.
13. Двоеглазов И.В., Халиулин В.И. К вопросу проведения экспериментальных исследований прочности складчатых заполнителей типа z-гофра на поперечное сжатие // Вестн. Самар. гос. аэрокос. ун-та им. академика С.П. Королева (национального исследовательского университета). – 2012. – № 5–2 (36). – С. 275–281.
14. Research of the effectiveness of mechanical testing methods with analysis of features of destructions and temperature effects / A.V. Babushkin, D.S. Lobanov, A.V. Kozlova, I.D. Morev // Frattura ed Integrita Strutturale. – 2013. – Vol. 24. – P. 89–95. DOI: 10.3221/IGF-ESIS.24.09
15. Лобанов Д.С., Бабушкин А.В. Методика испытаний на одноосное растяжение однонаправленных композиционных материалов при пониженных температурах // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2012. – № 4. – С. 33–41.
16. Бабушкин А.В., Вильдеман В.Э., Лобанов Д.С. Испытания на растяжение однонаправленного высоконаполненного стеклопластика при нормальных и повышенных температурах // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. – 2010. – Т. 76, № 7. – С. 57–59.
17. Experimental research into the effect of external actions and polluting environments on the serviceablity of fiber-reinforced polymer composite materials / D.S. Lobanov, V.E. Vildeman,
    A.D. Babin, M.A. Grinev // Mechanics of Composite Materials. – 2015. – Vol. 51. – No. 1. – P. 69–76.
18. Adams D. S., Herakovich C.T. Influence of damage on the thermal response of graphite-epoxy laminates // J. Thermal Stresses. – 1984. – Vol. 7. – No. 7. – P. 91–103.
19. Startsev O.V., Krotov A.S., Startseva L.T. Interlayer Shear Strength of Polymer Composite Materials During Long Term Climatic Ageing // Polym. Degrad. and Stab. – 1999. – Vol. 63. – P. 183–186.
20. Кириллов В.Н., Старцев О.В., Ефимов В.А. Климатическая стойкость и повреждаемость полимерных композиционных материалов, проблемы и пути их решения // Авиационные материалы и технологии. – 2012. – № 5. – С. 412–423.
21. Панин С.В., Старцев О.В., Кротов А.С. Диагностика начальной стадии климатического старения ПКМ по изменению коэффициента диффузии влаги [Электронный ресурс] // Труды ВИАМ. – 2014. – № 7. – URL: http://viam-works.ru/ru/articles?art_id=688 (дата обращения: 21.09.2016).
22. Экспериментальное исследование влияния дефектов на прочность композитных панелей методами корреляции цифровых изображений и инфракрасной термографии / Д.С. Лобанов [и др.] // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 4. – С. 159–170.
23. Kucher N.K., Zarazovskii M.N., Danil’chuk E.L. Deformation and strength of laminated carbon-fiber-reinforced plastics under a static thermomechanical loading // Mechanics of Composite Materials. – 2013. – Vol. 48. – No. 6. – P. 669–680.
24. Трещиностойкость композитных материалов на полимерных связующих при повышенных температурах / В.В. Болотин [и др.] // Механика композитных материалов. – 1988. – № 5. – С. 839–844.
25. Болотин В.В., Мурзаханов Г.Х., Щугорев В.Н. Влияние повышенных температур на удельную работу межслойного разрушения композитных материалов с полимерной матрицей // Механика композитных материалов. – 1990. – № 6. – С. 1033–1037.
26. Димитриенко Ю.И. Разрушение композитных материалов при высоких температурах и конечных деформациях // Механика композитных материалов. – 1992. – № 1. – С. 43–54.
27. Кузьмин С.А., Булманис В.Н., Стручков А.С. Экспериментальное исследование прочности и деформативности намоточных стеклопластиков и органопластиков при низких климатических температурах // Механика композитных материалов. – 1989. – № 1. – С. 57–61.
28. Скудра А.М. Бертулис Д.Р. Зависимость упругих характеристик армированных пластиков от температуры и влаги // Механика композитных материалов. – 1993. – № 1. – С. 105–109.
29. Скудра А.М. Бертулис Д.Р. Зависимость упругих характеристик армированных пластиков от температуры и влаги // Механика композитных материалов. – 1993. – № 2. – С. 222–226.
30. Бабушкин А.В., Лобанов Д.С. Экспериментальное исследование и моделирование свойств композиционных материалов в условиях сложных термомеханических воздействий // Вестн. Нижегор. ун-та им. Н.И. Лобачевского. – Н. Новгород, 2011. – № 4 (5). – С. 1984–1986.
31. Lobanov D.S., Babushkin A.V. Deformation and fracture of fibrous polymer composites in thermo-mechanical impact conditions // Proc. of ECCM15: European Conference on Composite Materials, Venice, Italy, 24-28 June 2012. – Paper ID: 1224.
32. Скудра А.А. Микроструктурный метод прогнозирования температурной зависимости упругих свойств армированных пластиков // Механика композитных материалов. – 1990. – № 4. – С. 594–598.
33. Шаклеина С.Е., Соколкин Ю.В., Чекалкин А.А. Изменение микроструктуры и механических свойств стеклопластиковых труб после длительной эксплуатации на промышленных пульпо- и реагентопроводах // Техника машиностроения. – 2001. – № 5. – С. 68–70.
34. Вильдеман В.Э. Закономерности и модели процессов накопления повреждений, закритического деформирования и структурного разрушения композиционных материалов // Вестник Пермского государственного технического университета. Динамика и прочность машин. – 2001. – № 2. – С. 37–44.

оценку межслоевых отрывных и сдвиговых напряжений, которые определяют разрушение конструкции, зафиксированное в эксперименте. Решение данной задачи осуществлялось методом конечных элементов (МКЭ) в пакете ANSYS Workbench
с использованием высокопроизводительного вычислительного комплекса.

Сравнение результатов численного моделирования механических испытаний и данных рентгенографического контроля показало хорошее качественное совпадение – области локализации максимальных межслоевых напряжений, определяющих характер разрушения детали, возникают в зонах скругления профиля. Отличие оценок несущей способности, полученных экспериментальными и численными методами, составило порядка 23 %, что может быть скорректировано после проведения натурных испытаний серии подобных образцов и уточнения прочности материала на межслойный отрыв.

В настоящей работе на примере конструктивно-подобного элемента типа «сегмент шпангоута», имеющего П-образное сечение и выполненного из углепластика по технологии пропитки под давлением (RTM), с использованием метода микрофокусной рентгенографии проведена качественная и количественная оценка микроповреждений, возникающих в конструкции при проведении механических испытаний.

В ходе эксперимента были получены рентгенографические изображения образца при фиксированных уровнях растягивающего усилия. Полученные снимки анализировались на предмет появления расслоений как основного вида повреждений, возникающих в микроструктуре испытываемой детали. Были определены места локализации и ориентировочные значения размеров межслоевых трещин при различных уровнях нагрузки. Отмечено, что после снятия нагрузки межслоевые трещины «смыкаются» и с трудом идентифицируются средствами неразрушающего контроля.

Для численного анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) рассматриваемой конструкции была разработана трехмерная компьютерная модель с явным описанием её слоистой структуры. Такой подход позволил провести

 Ключевые слова: рентгеновский контроль, полимерные композиционные материалы, углепластик, эксперимент, механика композиционных материалов, напряженно-деформированное состояние, метод конечных элементов (МКЭ), жесткость, прочность, расслоение, шпангоут.

Потрахов Николай Николаевич – доктор технических наук, профессор, e-mail: nn@eltech-med.com

Аношкин Александр Николаевич – доктор технических наук, профессор, e-mail: anoshkin@pstu.ru

Зуйко Валерий Юрьевич – кандидат технических наук, заведующий испытательной лабораторией, e-mail: zuiko-kt@pstu.ru

Осокин Владимир Михайлович – младший научный сотрудник, e-mail: osokin-kt@pstu.ru

Писарев Павел Викторович – кандидат технических наук, доцент, e-mail: pisarev@pstu.ru

Пеленев Константин Александрович – младший научный сотрудник, e-mail: kpelenev@yandex.ru

1. Гагауз Ф.М. Проблемы технологии формирования соединительных узлов конструкций летательных аппаратов из композиционных материалов // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов: сб. науч. тр. Харьк. авиац. ин-та. – 2012. – № 4 (72). – С. 15–20.
2. Иноземцев А.А., Нихамкин М.Ш., Сандрацкий В.Л. Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. – М.: Машиностроение, 2008. – Т. 2. – 368 с.
3. Конструкция и прочность авиационных газотурбинных двигателей / Л.П. Лозицкий [и др.]. – М.: Воздушный транспорт, 1992. – 536 с.
4. Технологии и задачи механики композиционных материалов для создания лопатки спрямляющего аппарата авиационного двигателя / А.Н. Аношкин, В.Ю. Зуйко, Г.С. Шипунов, А.А. Третьяков // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 4. – С. 5–44. DOI: 10.15593/perm.mech/2014.4.01.
5. Bottega W.J., Maewal A. Delamination buckling and growth in laminates // Journal Applied Mechanics. – 1983. – Vol. 50. – No 1. – P. 184–189. DOI:10.1115/1.3166988
6. Chai H., Babcock C.D., Knauss W.G. One dimensional modeling of failure in laminated plates by delamination buckling // International Journal of Solids and Structures. – 1981. – Vol. 27. – No. 11. – P. 1069–1083. DOI: 10.1016/0020-7683(81)90014-7
7. Prediction of flange debonding in composite stiffened panels using an analytical crack tip element-based methodology / Z. Mikulik, D.W. Kelly, B.G. Prusty, R.S. Thomson // Composite Structures. – 2008. – Vol. 85. – No. 3. – P. 233–244. DOI:10.1016/j.compstruct.2007.10.027
8. Березин А.В., Козинкина А.И. Особенности диагностики повреждений и оценки прочности композита // Механика композиционных материалов и конструкций. – 1999. – № 1. – С. 99–122.
9. In-situ damage monitoring of textile composites using x-ray computed tomography / W.J. Na, H.C. Ahn, K.M. Park, H.M. Kang, W.R. Yu // ECCM15: 15th European conference on composite materials. – Italy, Venice, 2012.
10. Swygenhoven H., Petegem S. In-situ mechanical testing during X-ray diffraction // Materials Characterization. – 2013. – Vol. 78. – P. 47–59. DOI:10.1016/j.matchar.2012.12.010
11. Nishino T., Hirokane D., Nakamae K. X-ray diffraction studies of the environmental deterioration of a transversely loaded carbon-fibre-reinforced composite // Composites Science and Technology. – 2001. – Vol. 61. – No. 16. – P. 2455–2459. DOI:10.1016/S0266-3538(01)00174-9
12. Microfocus radiography studies during model interlaminar fracture tests on composites /
    T. De Kalbermatten, R. Jäggi, P. FLüeler, H.H. Kausch, P. Davies // Journal of Materials Science Letters. – 1992. – Vol. 11. – No. 9. – P. 543–546.
13. Withers P.J., Preuss M. Fatigue and Damage in Structural Materials Studied by X-Ray Tomography // Annual Reviews. – 2012. – Vol. 42. – P. 81–103. DOI: 10.1146/annurev-matsci-070511-15511
14. Клюев В.В. Рентгенотехника: справ. – М.: Машиностроение, 1980. – Кн. 2. – 383 с.
15. Румянцев С.В. Радиационная дефектоскопия. – М.: Атомиздат, 1974. – 500 с.
16. Артемьев Б.В., Буклей А.А. Радиационный контроль: учеб. пособие // под общ. ред.
    В.В. Клюева. – 2-е изд. – М.: Спектр. 2013. – 192 с.
17. In-situ Analysis of Laminated Composite Materials by X-ray Micro-Computed Tomography and Digital Volume Correlation / R. Brault, A. Germaneau, C. Dupré, P. Doumalin, S. Mistou, M. Fazzini // Experimental Mechanics. – 2013. – Vol. 53. – No. 7. P. 1143–1151. DOI: 10.1007/s11340-013-9730-9
18. Потрахов Н.Н. Метод и особенности формирования теневого рентгеновского изображения микрофокусными источниками излучения // Вестник новых медицинских технологий. – 2007. – Т. 14, № 3. – С. 167–169.
19. Технология оперативного рентгеновского контроля изделий из полимерных композиционных материалов / Н.Н. Потрахов, К.К. Жамова, В.Б. Бессонов, А.Ю. Грязнов, А.В. Ободовский // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. – 2015. – № 4. – С. 97–115. DOI: 10.15593/2224-9982/2015.43.08
20. Блинов Н.Н., Леонов Б.И. Рентгеновские диагностические аппараты. – М.: Экран, 2001. – Т. 1. – С. 220.
21. Иванов С.А., Щукин Г.А. Рентгеновские трубки технического назначения. – Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-е., 1989. – С. 200.
22. Аношкин А.Н., Ташкинов А.А. Прогнозирование несущей способности композитных фланцев корпусных деталей авиадвигателей / Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 1998. – С. 101.
23. Лукина Н.Ф. Клеевые препреги на основе тканей Porcher – перспективные материалы для деталей и агрегатов из ПКМ [Электронный ресурс] // Труды ВИАМ. – 2014. – № 6. – URL:http://viam-works.ru/ru/articles?art_id=677 (дата обращения: 03.11.16). DOI: 10.18577/2307-6046-2014-0-6-10-10
24. Компьютерное моделирование механического поведения композитной лопатки спрямляющего аппарата авиационного двигателя / М.А. Гринев, А.Н. Аношкин, П.В. Писарев, В.Ю. Зуйко, Г.С. Шипунов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 3. – С. 38–51. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.3.04
25. Исследование НДС и оценка прочности композитной лопатки спрямляющего аппарата авиационного двигателя / М.А. Гринев, А.Н. Аношкин, П.В. Писарев, В.Ю. Зуйко, Г.С. Шипунов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 4. – С. 293–307. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.4.17
26. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. – М.: Наука, 1978. – 287 с.
27. Скудра А.М., Булавс Ф.Я., Роценс К.А. Ползучесть и статическая усталость армированных пластиков. – Рига: Зинатне, 1971. – 238 с.

Прерывистая текучесть как проявление неустойчивости пластического деформирования обнаруживается в ряде металлов и сплавов в определенных диапазонах скоростей деформации и температур при различных нагружениях. Процессы неупругого деформирования и свойства поликристаллических материалов на макроуровне, как показывают многочисленные экспериментальные и теоретические исследования, существенным образом определяются состоянием эволюционирующей мезо- и микроструктуры материала. Для описания пластической неустойчивости необходимо создание математических моделей, позволяющих учитывать самоорганизацию микроструктурных процессов, которые в конечном счете могут привести к спонтанному появлению локализации деформации.

В статье (Трусов П.В., Чечулина Е.А. Прерывистая текучесть: физические механизмы, экспериментальные данные, макрофеноменологические модели // Вестник ПНИПУ. Механика. 2014. № 3. С. 186–232) был представлен краткий обзор работ, посвященных описанию физических механизмов и экспериментальных исследований прерывистой пластичности, рассмотрены также наиболее известные макрофеноменологические модели. Однако для корректного описания пластической деформации и ее неоднородности, для учета наиболее значимых реальных физических механизмов, определяющих её и сопутствующих ей, необходимо изучать поведение материала на более низких, чем макроуровень, масштабных уровнях. Пластическая деформация обусловлена неоднородным (во времени и пространстве) движением элементарных носителей пластической деформации – дислокаций. Дислокации и барьеры дислокационной (Ломера–Коттрелла, иммобильные дислокации) и недислокационной природы (облака примесных атомов, твердых частиц, выделений вторичной фазы и т.д.) позволяют описывать многоуровневые модели на мезо- и микроуровне.

В настоящей статье предлагается краткий обзор теоретических работ, основанных на физических теориях пластичности, посвященных описанию особенностей деформирования сплавов в температурно-скоростных диапазонах, в которых существенное влияние на поведение материалов оказывают диффузионные процессы. Особое внимание уделено описанию эффекта Портевена–Ле Шателье (ПЛШ), возникновение которого большинство авторов связывают с взаимодействием дислокаций с атмосферами примесных атомов.

Ключевые слова: обзор, эффект Портевена–Ле Шателье, прерывистая текучесть, деформационное старение, отрицательная чувствительность к скорости деформации, неустойчивость, конститутивные модели, многоуровневые модели, модели, основанные на физических теориях вязкопластичности, дислокационные модели.

Трусов Петр Валентинович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: tpv@matmod.pstu.ac.ru

Чечулина Евгения Александровна – аспирант, e-mail: Zhenya-chechulina@yandex.ru

1. Александров И.В., Чембарисова Р.Г. Кинетическая модель деформационного поведения нанокристаллических материалов // Вестник УГАТУ. Машиностроение. – 2007. – Т. 9, № 1. – C. 150–159.
2. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Ч.1. Малые деформации. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1984. – 600 с.
3. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Ч.2. Конечные деформации. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1984. – 432 с.
4. Экспериментальные высокоскоростные измерения скорости вершины и бокового роста полос в сплаве АМг6 / М.Ф. Гасанов, С.А. Титов, А.Е. Золотов, О.В. Гребеньков // Вестн. Тамбов. гос. ун-та. – 2012. – Т. 17, Вып. 1. – С. 125–127.
5. Эффекты локализации деформации в композитах на основе Al с включениями Al₂O₃ /
   Е.Е. Дерюгин, В.Е. Панин, З. Шмаудер, И.В. Стороженко // Физическая мезомеханика. – 2001. – Т. 4, № 3. – С. 35–47.
6. Исследование локальных характеристик прерывистой текучести дисперсно-упрочненного алюминия как многоуровневой системы / Е.Е. Дерюгин, В.Е. Панин, З. Шмаудер, Б.И. Суворов // Физическая мезомеханика. – 2006. – Т. 9, № 5. – С. 27–32.
7. Механизмы эффекта подавления током полосообразования и прерывистой деформации / А.Е. Золотов, М.А. Желтов, А.А. Шибков, А.А. Денисов // Вестн. Тамбов. ун-та. Серия: Естественные и технические науки. – 2016. – Т. 21, Вып. 3. Физика. – С. 1008–1011. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1008-1011
8. Коновалов А.В., Смирнов А.В. Влияние динамического деформационного старения сплава АМГ6 на сопротивление деформации [Электронный ресурс] // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. – 2011. – URL: http://www.chemphys.edu.ru/pdf/2011-02-01-012.pdf
9. Криштал М.М. Неустойчивость и мезоскопическая неоднородность пластической деформации (аналитический обзор). Ч. I. Феноменология зуба текучести и прерывистой текучести // Физическая мезомеханика. – 2004. – Т. 7, № 5. – С. 5–29.
10. Кришталл М.М. Неустойчивость и мезоскопическая неоднородность пластической деформации (аналитический обзор). Ч. II. Теоретические представления о механизмах неустойчивости пластической деформации // Физическая мезомеханика. – 2004. – Т. 7, № 5. – С. 31–45.
11. Лебедев С.В., Савич С.В. Параметры скачкообразной деформации сплава Al-3% Mg в интервале температур (210- 350) К // Весн. ХНУ. Серия «Физика». – 2010. – № 915. – Вып. 14. – С. 91–95.
12. Лебедкин М.А., Дунин-Барковский Л.Р. Динамический механизм температурной зависимости эффекта Портевена–Ле Шателье // ФТТ.– 1998. – Т. 40, №3. – С. 487–492.
13. Лебедкин М.А., Дунин-Барковский Л.Р., Лебедкина Т.А. Статистический и мультифрактальный анализ коллективных дислокационных процессов в условиях эффекта Портевена–Ле Шателье // Физическая мезомеханика. – 2001. – Т. 4, № 2. – С. 13–19.
14. Малыгин Г.А. Динамическая модель взаимодействия дислокаций с атмосферами примесей (эффект Портевена–Ле Шателье) // Взаимодействие между дислокациями и атомами примесей и свойства металлов. – Тула: Изд-во ТулПИ. – 1974. – С. 64–71.
15. Малыгин Г.А. Аномальный эффект Портвена–Ле Шателье при сегрегации примесей внедрения и замещения на дислокациях // ФТТ. – 1992. – Т. 34, № 5. – С. 2356–2366.
16. Малыгин Г.А. Процессы самоорганизации дислокаций и пластичность кристаллов // Успехи физических наук. – 1999. – Т. 169, Вып. 9. – С. 979–1010. DOI: 10.3367/UFNr.0169.199909c.0979
17. Михлик Д.В., Шибков А.А. Полосы деформации и разрушение алюминий-магниевого сплава АМг6 // Изв. Туль. гос. ун-та. Естественные науки. – 2011. – Вып. 3. – С. 184–190.
18. Могучева А.А., Журавлева М.А. Влияние пластической деформации на свойства алюминиевого сплава Al-Cu-Ce // Научное обозрение. – 2013. – № 2. – С. 121–123.
19. Нагорных С.Н., Сарафанов Г.Ф. Динамическая модель эффекта Портевена–Ле Шателье // Физ. основы прочности и пластичности / Нижегород. гос. пед. ин.-т. – Н. Новгород, 1991. – С. 74–84.
20. Петухов Б.В. Влияние динамического старения дислокаций на деформационное поведение примесных полупроводников // Физика и техника полупроводников. – 2002. – Т. 36. – Вып. 2. – С. 129–133.
21. Петухов Б.В. Об упрочнении кристаллов посредством иммобилизации дислокаций подвижными примесями // Кристаллография. – 2011. – Т. 56, № 1. – С. 65–71.
22. Петухов Б.В. Роль статического и динамического старения дислокаций в кинетике деформации легированных кристаллов// Физика твердого тела, – 2014. – Т. 56. – Вып. 6. – С. 1134–1140.
23. Смирнов А.С., Коновалов А.В., Муйземнек О.Ю. Моделирование сопротивления деформации металломатричного алюминиевого композита 15 % SiC /Al при высоких температурах // Int. J. ofappliedandfundamentalresearch. – 2014. – Vol. 11. – P. 22–25.
24. Трусов П.В., Чечулина Е.А. Прерывистая текучесть: физические механизмы, экспериментальные данные, макрофеноменологические модели // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 3. – С. 186–232.
    DOI: 10.15593/perm.mech/2014.3.10
25. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, № 5. – С. 5–30.
26. Чембарисова Р.Г., Александров И.В. Моделирование высокопрочных состояний в Al сплавах // Письма о материалах. – 2013. – Т. 3. – С. 159–162.
27. Подавление прерывистой деформации Портевена−Ле Шателье постоянным электрическим током в алюминий-магниевом сплаве АМг5 / А.А. Шибков, А.А. Денисов, М.А. Желтов, А.Е. Золотов, М.Ф. Гасанов, С.С. Кочегаров // Физика твердого тела. – 2015. – Т. 57. – Вып. 2. – С. 228–236.
28. Шибков А.А., Золотов А.Е. Нелинейная динамика пространственно-временных структур макролокализованной деформации // Письма в ЖЭТФ. – 2009. – Т. 90. – Вып. 5. – С. 412–417.
29. Влияние геометрических концентраторов напряжения на подавление током прерывистой деформации алюминий-магниевого сплава АМг5 / А.А. Шибков, А.Е. Золотов, М.А. Желтов, А.А. Денисов, М.Ф. Гасанов, С.С. Кочегаров // Журнал технической физики. – 2016. – Т. 86. – Вып. 5. – С. 77–83.
30. Методика комплексного in situ исследования динамики и морфологии деформационных полос на поверхности металлических сплавов / А.А. Шибков, А.В. Шуклинов, М.А. Желтов, В.В. Скворцов, А.Е. Золотов, Д.В. Михлик //Вестник ТГУ. – 2010. – Т. 15. – Вып. 3. – С. 989–991.
31. Переход от устойчивой к скачкообразной деформации, вызванный изменением состава и структуры сплава Al-Mg / А.В. Шуклинов, Е.К. Денисов, Д.В. Михлик, А.Е. Золотов, М.А. Желтов, А.А. Шибков // Деформация и разрушение материалов. – 2008. – № 3. – С. 30–35.
32. Dynamic strain aging studied at the atomic scale / H. Aboulfadl, J. Deges, P. Choi, D. Raabe // Acta Materialia. – 2015. – Vol. 86. – P. 34–42.
33. Alankar A., Field D.P., Zbib H.M. Explicit incorporation of cross-slip in a dislocation density-based crystal plasticity model // Philosophical Magazine. – 2012. – Vol. 92. – No. 24. – P. 3084–3100.
34. Strain hardening and dislocation avalanches in micrometer-sized dimensions / J. Alcala, J. Ocenasek, K. Nowag, D. Esqueґ-de los Ojos, R. Ghisleni, J. Michler // Acta Materialia. – 2015. – Vol. 91. – P. 255–266, available at: http://dx.doi.org/10.1016/j.actamat.2015. 02.027
35. Ananthakrishna G.Negative strain rate sensitivity and the critical natureof type A bands in the Portevin – Le Chatelier effect // J. Computer-Aided Mater. Des. – 2007. – Vol. 14. – P. 5–14. DOI: 10.1007/s10820-007-9071-z
36. Ananthakrishna G., Bharathi M.S. Dynamical approach to the spatiotemporal aspects of the Portevin–Le Chatelier effect: Chaos, turbulence, and band propagation // Physical review. – 2004. – Vol. E 70. – P. 026111 1–15. DOI: 10.1103/PhysRevE.70.026111
37. Ananthakrishna G.Valsakumar M.C. Repeated yield drop phenomenon: a temporal dissipative structure // J. Phys. D: Appl. Phys. – 1982. – Vol. 15. – P. 171–175.
38. Anjabin N., Karimi Taheri A., Kim H.S. Simulation and experimental analyses of dynamic strain aging of a supersaturated age hardenable aluminum alloy // Materials Science and Engineering A. – 2013. – Vol. 585. – P. 165–173.
39. Arsenlis A., Parks D.M. Modeling the evolution of crystallographic dislocation density in crystal plasticity // J. Mech. Phys. Solids. – 2002. – Vol. 50. – P. 1979–2009.
40. Asaro R.J., Rice J.R. Strain localization in ductile single crystals // J. Mech. Phys. Solids. – 1977. – Vol. 25. – P. 309–338.
41. A stochastic crystal plasticity framework for deformation of micro-scale polycrystalline materials / H. Askari, M.R. Maughan, N. Abdolrahim, D. Sagapuram, D.F. Bahr, H.M. Zbib // Int. J. of Plasticity. – 2015. – Vol. 68. – P. 21–33.
42. A study of the hot and cold deformation of twin-roll cast magnesium alloy AZ31 / H. Askari, J. Young, D. Field, G. Kridli, D. Li, H. Zbib // Philosophical Magazine. – 2014. – Vol. 94. – No. 4 – P. 381–403, available at: http://dx.doi.org/10.1080/14786435. 2013.853884
43. Austin R.A., McDowell D.L. A dislocation-based constitutive model for viscoplastic deformation of fcc metals at very high strain rates // Int. J. Plasticity. – 2011. – Vol. 27. – P. 1–24.
44. Austin R.A., McDowell D.L. Parameterization of a rate-dependent model of shock-induced plasticity for copper, nickel, and aluminum // Int. J. Plasticity. – 2012. – Vol. 32/33. – P. 134–154.
45. Balik J., Lukac P. Influence of solute mobility on dislocation motion II. Application of the basic model // Czech. J. Phys. B. – 1989. – Vol. 39. – Iss. 10. – P. 1138–1146. DOI: 10.1007/BF01605398
46. Balik J., Lukac P. On the kinetics of dynamic strain ageing // Kovove Mater. – 1998. –
    Vol. 36. – No. 1. – P. 3–9.
47. Béda P.B. The Portevin-Le Chatelier effect and dynamical systems// Periodica polytechnica. Mechanical Engineering. – 2007. – Vol. 51. – No. 2. – P. 55–58. DOI: 10.3311/pp.me.2007-2.02
48. Bharathi M.S., Rajesh S., Ananthakrishna G. A dynamical model for the Portevin–Le Chatelier bands // Scripta Materialia. – 2003. – Vol. 48. – P. 1355–1360. DOI: 10.1016/S1359-6462(02)00653-X
49. Bondár G., Böhlke T., Estrin Y. Three-dimensional continuum mechanical modeling of the Portevin–Le Chatelier effect // Proc. Appl. Math. Mech. – 2007. – Vol. 7. – P. 4060035–4060036.
    DOI: 10.1002/pamm.200700555
50. Brechet Y., Estrin Y. On the influence of precipitation on the Portevin-Le Chatelier effect // Acta metal. mater. – 1995. – Vol. 43, – No. 3. – P. 955–963.
51. Cheng J., Nemat-Nasser S., Guo W. A unified constitutive model for strain-rate and temperature dependent behavior of molybdenum // Mechanics of material. – 2001. – Vol. 33. – P. 603–616.
52. Cottrell A.H. A note on the Portevin–Le Chatelier effect // Philosophical Magazine. – 1953. Ser. 7. – Vol. 44. – Iss. 355. – P. 829–832.
53. Curtin W.A., Olmsted D.L., Hector L.G. A predictive mechanism for dynamic strain ageing in aluminium–magnesium alloys // Nature materials. – 2006. – Vol. 5. – P. 875–880.
54. Davoudi K.M., Nicola L., Vlassak J.J. Bauschinger effect in thin metal films: Discrete dislocation dynamics study // J. Appl. Phys. – 2014. – Vol. 115. – P. 013507 1–7. DOI: 10.1039/c3sm51617b
55. Draheim K.J., Schlipf J. Simulation of dynamic strain aging and the Portevin-Le Chatelier effect // Computational Materials Science.– 1996. – Vol. 5. – P. 67–74.
56. Estrin Y. Dislocation theory based constitutive modelling: foundations and applications // J. Materials Processing Technology. – 1998. – Vol. 80/81. – P. 33–39.
57. Estrin Y., Kubin L.P. Plastic instabilities: phenomenology and theory // Materials Science and Engineering A. – 1991. – Vol. 137. – P. 125–134.
58. Estrin Y., MacCormick P. Modelling the transient flow behaviour of dynamic strain ageing materials // Acta Metall. Mater. – 1991. – Vol. 39. – No. 12. – P. 2977–2983.
59. Dynamic strain aging: A coupled dislocation-Solute dynamic model / C. Fressengeas, A. Beaudoin, M. Lebyodkin, L.Р. Kubin, Y. Estrin // Mat. Sci. and Eng. – 2005. – Vol. 51. – P. 226–230.
60. Fressengeas C., Acharya A., Beaudoin A.J. Dislocation Mediated Continuum Plasticity: case studies on modeling scale-dependence, scale-invariance, and directionality of sharp yield point // Springer-Science. – 2011. – P. 277–309. DOI: 10.1007/978-1-4419-0643-4 8
61. Gremaud G. Dislocation-point defects interactions // Materials Science Forum. 1993. – Vol. 119/121. – P. 771–774. DOI: 10.4028/www.scientific.net/MSF.119-121.771
62. Gremaud G. Dislocation-point defects interactions // Mechanical Spectroscopy, Materials Science Forum. – 2001. – Vol. 366–368, Chapter 3.3. – P. 178–247.
63. Gremaud G. Overview on dislocation-point defect interaction: the brownian picture of dislocation motion // Materials Science and Engineering A. 2004. – Vol. 370. – P. 191–198.
64. Hähner P. On the physics of the Portevin-Le Chatelier effect part 1: The statistics of dynamic strain ageing // Materials Science and Engineering A. – 1996. – Vol. 207. – P. 208–215.
65. Plastic instabilities and dislocation densities during plastic deformation in Al–Mg alloys / Gy. Horvath, N.Q. Chinh, J. Gubicza, J. Lendvai // Materials Science and Engineering A. – 2007. – Vol. 445/446. – P. 186–192. DOI:10.1016/j.msea.2006.09.019
66. Keshavarz S., Ghosh S. Hierarchical crystal plasticity FE model for nickel-based superalloys: Sub-grain microstructures to polycrystalline aggregates // Int. J. of Solids and Structures. 2015. – Vol. 55. – P. 17–31, available at: http://dx.doi.org/10.1016/j.ijsolstr. 2014.03.037
67. Kiely L. Review of new methods of modelling plasticity // School of Engineering MSC. Thesis Academic. 2013. – P. 262–274.
68. A crystallographic dislocation model for describing hardening of polycrystals during strain path changes. Application to low carbon steels / K. Kitayama, C.N. Tomé, E.F. Rauch, J.J. Gracio, F. Barlat // Int. J. of Plasticity. – 2013. – Vol. 46. – P. 54–69.
69. Kocks U.F., Mecking H. Physics and phenomenology of strain hardening: the FCC case// Progress in Materials Science. – 2003. – Vol. 48. – P. 171–273.
70. A finite element model for the Portevin–Le Chatelier effect based on polycrystal plasticity / S. Kok, A.J. Beaudoin, D.A. Tortorelli, M. Lebyodkin // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. – 2002. – Vol. 10. – P. 745–763.
71. Kubin L.P., Estrin Y. The Portevin Le Chatelier effect in deformation with constant stress rate // Acta Metall. – 1985. – Vol. 33. – P. 397–407.
72. Kubin L.P., Estrin Y. Evolution of dislocation densities and the critical conditions for the Portevin-Le Châtelier effect // Acta Metall. Mater. –1990. – Vol. 38. – No. 5. – P. 679–708.
73. Kuhlmann-Wilsdorf D. Theory of Workhardening 1934–1984 // Metallurgical Transactions A. – 1985. – Vol. 16А. – P. 2091–2107.
74. Statistical behaviour and strain localization patterns in the Portevin-Le Chatelier effect / M.A. Lebyodkin, Y. Brechet, Y. Estrin, L.P. Kubin // Acta mater. – 1996. – Vol. 44. – No. 11. – P. 4531–4541.
75. A new dislocation-density-function dynamics scheme for computational crystal plasticity by explicit consideration of dislocation elastic interactions / H.S. Leung, P.S.S. Leung, B. Cheng, A.H.W. Ngan // Int. J. Plasticity. – 2015. – Vol. 67. – P. 1–25.
76. Predicting plastic flow and irradiation hardening of iron single crystal with mechanism-based continuum dislocation dynamics / D. Li, H. Zbib, X. Sun, M. Khaleel // Int. J. of Plasticity. – 2014. – Vol. 52. – P. 3–17.
77. Lindgren L.-E., Domkin K., Hansson S. Dislocations, vacancies and solute diffusion in physical based plasticity model for AISI 316L // Mechanics of Materials. – 2008. – Vol. 40. – P. 907–919.
78. Effect of alloying elements and processing parameters on the Portevin–Le Chatelier effect of Al–Mg alloys / P.С. Ma, D. Zhang, L.-Z. Zhuang, J.-S. Zhang // Int. J. Miner. Metall. Mater. – 2015. – Vol. 22. – No. 2. – P. 175–183.
79. MacCormick P.G. The Portevin-Le Chatelier effect in an Al–Mg–Si alloy // Acta Metall. – 1971. – Vol. 19. – No. 5. – P. 463–471.
80. MacCormick P.G. Theory of flow localisation due to dynamic strain ageing // Acta Metall. – 1989. – Vol. 36. – P. 3061–3067.
81. Kinematics of Portevin-Le Chatelier bands in simple shear / P.Y. Manach, S. Thuillier, J.W. Yoon, J. Coer, H. Laurent // Int. J. of Plasticity. – 2014. – Vol. 54. – P. 1–39, available at: http://dx.doi.org/10.1016/j.ijplas.2014.02.005
82. Numerical modelling of the Portevin-Le Chatelier effect / M. Mazière, J. Besson, S. Forest, B. Tanguy, H. Chalons, F. Vogel // Eur. J. Comp. Mech. – 2008. – Vol. 17(5/7). – P. 761–772. DOI: 10.3166/REMN.17.761-772
83. Mesarovic S. Dj. Dynamic strain aging and plastic instabilities // J. Mech. Phys. Solids. – 1995. – Vol. 43. – No. 5. – P. 671–700.
84. Effect of Grain Refinement on Jerky Flow in an Al-Mg-Sc Alloy / A. Mogucheva, D. Yuzbekova, R. Kaibyshev, T. Lebedkina, M. Lebyodkin // Metallurgical and Materials Transactions A. – 2016. – No. 5. – P. 14. DOI: 10.1007/s11661-016-3381-2
85. Penning P. Mathematics of the Portevin – Le Chatelier effect // Acta Metallurgica. – 1972. – Vol. 20. – P. 1169–1175.
86. Dislocation density distribution around an indent in single-crystalline nickel: Comparing nonlocal crystal plasticity finite-element predictions with experiments / C. Reuber, P.Eisenlohr, F. Roters, D. Raab // Acta Materialia. – 2014. – Vol. 71. – P. 333–348, available at: http://dx.doi.org/10.1016/j.actamat.2014.03.012
87. Experimental and numerical study of the thermo-mechanical behavior of Al bi-crystal in tension using full field measurements and micromechanical modeling / A. Saai, H. Louche, L. Tabourot, H.J. Chang // Mechanics of Materials. – 2010. – Vol. 42. – P. 275–292.
88. Schoeck G. The Portevin Le Chatelier effect. A kinetic theory // Acta Metall. – 1984. – Vol. 32. – No. 8. – P. 1229–1234.
89. Constitutive model of discontinuous plastic flow at cryogenic temperatures / B. Skoczeń, J. Bielski, S. Sgobba, D.Marcinek // Int. J. Plasticity. – 2010. – Vol. 26. – P. 1659–1679.
90. Skoczeń B., Bielski J., Tabin J.Multiaxial constitutive model of discontinuous plastic flowat cryogenic temperatures // Int. J. Plasticity. – 2014. – Vol. 55. – P. 98–118, available at: http://dx.doi.org/10.1016/j.ijplas.2013.09.04
91. Smirnov A.S., Konovalov A.V., Muizemnek O.Yu. Modelling and simulation of strain resistance of alloys taking into account barrier effects // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. – 2015. – Iss. 1. – P. 61–72, available at: http://dream-journal.org
92. An ageing elasto-viscoplastic model for ceramics / J. Soulacroix, B. Michel, J.-M. Gatt, R. Kubler, L. Barrallier // Int. J. of Plasticity. – 2014. – Vol. 55. – P. 1–29.
93. Tamimi S., Andrade-Campos A., Pinho-da-Cruz J. Modelling the Portevin-Le Chatelier effects in aluminium alloys: a review // J. Mech Behav Mater. – 2015. – Vol. 24 (3/4). – P. 67–78. DOI: 10.1515/jmbm-2015-0008
94. Tsuru T., Chrzan D.C. Effect of solute atoms on dislocation motion in Mg: An electronic structure perspective // Scientific reports. – 2015. – Vol. 5. – P. 1–8. DOI: 10.1038/srep08793
95. Varadhan S., Beaudoin A.J., Fressengeas C. Lattice incompatibility and strain-aging in single crystals // J. Mech. Phys. Solids. – 2009. – Vol. 57. – P. 1733–1748.
96. Yilmaz A. The Portevin–Le Chatelier effect: a review of experimental findings // Sci. Technol. Adv. Mater. – 2011. – Vol. 12. – P. 063001 1–16. DOI:10.1088/1468-6996/12/6/063001
97. Zbib H., Aifantis E. On the localization and postlocalization behavior of plastic deformation. III. On the structure and velocity of the Portevin - Le Chatelier bands// Res Mechanica. – 1988. – Vol. 23. – P. 293–305.
98. Zecevic M., Knezevic M. A dislocation density based elasto-plastic self-consistent model for the prediction of cyclic deformation: Application to AA6022-T4 // Int. J. of Plasticity. – 2015. – Vol. 72. – P. 200–217.
99. An elasto-plastic self-consistent model with hardening based on dislocation density, twinning and de-twinning: Application to strain path changes in HCP metals / M. Zecevic, M. Knezevic, I.J. Beyerlein, C.N. Tomé // Materials Science and Engineering A. – 2015. – Vol. 638. – P. 262–274.
100. Zhang F., Curtin W.A. Atomistically informed solute drag in Al–Mg // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. – 2008. – Vol. 16. – P. 1–18.
101. Unusual behavior of the Portevin-Le Chatelier effect in an AlMg alloy containing precipitates / D.А. Zhemchuzhnikova, M.A. Lebyodkin, T.A. Lebedkina, R.O. Kaibyshev // Materials Science and Engineering A. – 2015. – Vol. 639. – P. 37–41, available at: http://dx.doi.org/10.1016/j.msea.2015.04.094

Рассматривается динамическая осесимметричная задача для круглой биморфной конструкции, состоящей из металлической подложки и пьезокерамической аксиально поляризованной пластины. Ее изгибные колебания осуществляются за счет действия на торцевой поверхности механической нагрузки (нормальных напряжений), являющейся произвольной функцией радиальной координаты и времени. Учитывается жесткое и шарнирное закрепление цилиндрической поверхности пластины. Исходные расчетные соотношения сформулированы для пьезокерамического материала с гексагональной кристаллической решеткой класса 6 mm. Для решения задачи теории электроупругости в трехмерной постановке используются конечные интегральные преобразования Ханкеля по аксиальной координате и обобщенное преобразование (КИП) по радиальной переменной. При этом на каждом этапе решения проводится процедура стандартизации, которая позволяет реализовать соответствующий алгоритм преобразования. В первом случае краевые условия представляются в смешанной форме, а во втором приводятся к однородным путем введения вспомогательных функций. Данный подход позволяет получить точные, в рамках используемых моделей, расчетные соотношения в наиболее общем виде.

Построенное замкнутое решение позволяет определить частотный спектр собственных осесимметричных колебаний, напряженно-деформированное состояние и характер изменения индуцируемого электрического поля биморфной пластины. Это дает возможность на основании анализа связанности электрических
и механических полей напряжений научно обосновать конструктивные решения проектируемых приборов, определить способ фиксации электрического сигнала, подобрать все геометрические, а также физические характеристики типовых элементов пьезокерамических преобразователей.

Разработанный алгоритм решения позволяет также решать задачи теории упругости и электроупругости для круглых толстых и тонких пластин с произвольным количеством слоев при наиболее общих условиях загружения без использования кинематических гипотез.

Ключевые слова: биморфная пластина,задача прямого пьезоэффекта, теория электроупругости, динамическая нагрузка, конечные интегральные преобразования

Шляхин Дмитрий Аверкиевич – доктор технических наук, доцент, e-mail: d-612-mit2009@yandex.ru

1. Roche D., Richard C., Eyraud L., Audoly C. Piezoelectric bimorph bending sensor for shear-stress measurement in fluid flow. Sensors and Actuators, 1996, vol. 55, pp. 157-162.

2. Yoo J.H., Hong J.I., Cao W. Piezoelectric ceramic bimorph coupled to thin metal plate as cooling fan for electronic devices. Sensors and Actuators, 2000, vol. 79, pp. 8-12.

3. Sharapov V. Piezoceramic sensors. Springer Verlag, 2010, 498 p.

4. Jurenas V., Bansevicius R., Navickaite S. Piezoelectric bimorphs for laser shutter systems:optimization of dynamic characteristics. Mechanika. Kaunas: Technologija, 2010, no. 5 (85), pp. 44-47.

5. Seung-Bok Choi, Young-Min Han. Piezoelectric actuators: control applications of smart materials. – N.-Y.: CRC Press, 2010, 280 p.

6. Sharapov V., Sotula J. Piezoceramic transducers. New design technology. Electronics: STB, 2012, no. 5, pp. 96-102.

7. Negrov D.A., Eremin E.N., Novikov A.A., Shestel L.A. Ultrasonic oscillatory systems for the synthesis of polymeric composite materials. – Omsk: Publisher OmsSTU, 2012, 128 p.

8. Shikina V.E. Calculation of the frequency of oscillation of piezoceramic primary Converter for mass flowmeter for liquids. Proceedings of higher educational institutions. Povolzhskiy region. Technical Sciences, 2014, no. 1 (29), pp. 54-63.

9. Ivina N.F., Tagil'tsev A.A. Analysis of natural vibrations of the Flexural disk pied-superoverlay with arbitrary aspect ratio. Electronic journal "Technical acoustics"(http:// webcenter.ru/ eeaa/ejta), 2005, no. 2, pp. 1-9.

10. Yanchevskii I.V. Minimizing electroelastic bimorph deflection plates under impact loading. Problems of computational mechanics and structural strength, Kharkiv National Automobile and Highway University, 2011, vol. 16, pp. 303-313.

11. Nikiforov S.N. The theory of elasticity and plasticity. Mockow : State Publishing House. Architecture and Construction, 1955, 284 p.

12. Senitsky Yu.E. Study of the elastic deformation of structural elements under dynamic impacts finite integral transformations. Saratov: Publisher SSU, 1985, 174 p.

13. Mohammad Amin Rashidifar , Ali Amin Rashidifar. Vibrations Analysis of Circular Plate with Piezoelectric Actuator Using Thin Plate Theory and Bessel Function. American Journal of Engineering, Technology and Society, 2015, no. 2 (6), pp. 140-156.

14. Tsaplev V., Konovalov R., Abbakumov K. Disk bimorph-type piezoelectric energy harvester. J. of Power and Energy Eng., 2015, no. 3, рр. 63-68.

15. Jafar Eskandari Jam , Mahmood Khosravi, Nader Namdaran. An exact solution of mechanical buckling for functionally graded material bimorph circular plates. Metall. Mater. Eng., 2013, vol. 19 (1), pp. 45-63.

16. Adelman N.T., Stavsky Y. Flexural-extensional behavior piezoelectric cilcular plates. J. Acoust. Soc. Amer., 1980, vol. 67, no. 3, pp. 819-822.

17. Karlash V.L. Resonance Electro-Mechanic Vibration of Piezo-Ceramic Plates. Int. Appl. Mech., 2005, vol. 41, no. 7, pp. 535-541.

18. Vatulyan A.O., Rynkova A.A. A model of bending vibrations of piezoelectric bimorphs with split electrodes and its applications. Mech. Solids., 2007, vol. 42, no. 4, pp. 595-602.

19. Wang Y., Xu R.Q., Ding H.J. Analytical solutions of functionally graded piezoelectric circular plates subjected to axisymmetric loads. Acta Mechanica, 2010, vol. 215. Issue 1–4, pp. 287-305.

20. Shlyakhin D.A. Forced nonstationary axisymmetric vibrations of a piezoceramic thin bimorph plate. Mech. Solids., 2013, vol. 48, no. 2, pp. 178-185.

21. Shlyakhin D.A., Kazakova O.V. Non-Stationary Flexural Fluctuations of a Round Flat Bimorph Plate with Graded-Varying Thickness. Procedia Engineering, 2014, vol. 91, pp. 69-74. DOI: 10.1016/j.proeng.2014.12.014

22. Shlyakhin D.A . Dynamic axisymmetric problem of electroelasticity for a rigidly fixed bimorph plate. PNRPU Mechanics Bulletin, 2015, no. 2, pp.164-178. DOI:10.15593 /perm. mech/2015.2.11

23. Shlyakhin D.A., Kazakova O.V. A dynamic axially symmetric goal and its extended solution for a fixed rigid circular multi-layer plate // Procedia Engineering, 2016, vol. 153. pp. 662-666. DOI: 10.1016/j.proeng.2016.08.219.

24. Grinchenko V.T., Ulitko A.F., Shul'ga N.A. Mechanics of coupled fields in structural elements, Kiev, Naukova Dumka, 1989, 279 p.

25. Parton V.Z., Kudryavtsev B.A. Electro-elasticity of piezoelectric and conductive bodies.Moscow, Nauka,1988, 470 p.

26. Sneddon, I. Fourier Transforms, McGraw-Hill Book Co., New York–Toronto–London, 1951.

27. Vladimirov C.C. Generalized functions in mathematical physics. Moskow, Science, 1978, 318 p.

28. Senitsky Yu.E. Multicomponent generalized finite integral transformation and its application to non-stationary problems of mechanics. Izvestiya vuzov: Mathematics, 1991, no. 4, pp. 57-63.

29. Shlyakhin D.A. The compelled axisymmetric bending fluctuations of thick round rigid plate. Vestnik of Samara state University. Estestvennonauchn. Series, 2011, no. 8 (89), pp. 142-152

30. Shlyakhin D.A. Forced axisymmetric bending vibrations of a thick circular piezoceramic plate rigidly fixed. Vestnik of Samara state University. Estestvennonauchn. Series, 2012, no. 6 (97). pp. 124-135.

Предложена стохастическая модель для расчета остаточных напряжений
в поверхностно упрочненном полом цилиндре в условиях ползучести при осевом растяжении. Выполнен цикл экспериментальных исследований для определения распределения деформации ползучести по длине упрочненного образца из сплава Д16Т при температуре 125 °С при четырех условиях растягивающего напряжения: 353; 385; 406.2; 420 МПа. Установлен существенный разброс деформации ползучести локальных участков, деформации которых могут отличаться друг от друга
в 3–4 раза. Предложены феноменологические стохастические уравнения ползучести и выполнена проверка их адекватности экспериментальным данным.

Разработана методика численного решения стохастической краевой задачи ползучести поверхностно упрочненных изделий, реализованная для полого цилиндра из сплава Д16Т в условиях осевого растяжения. Теоретически исследована релаксация остаточных напряжений в полом цилиндре и получены статистические оценки для полей остаточных напряжений в процессе ползучести в различные моменты времени. Приводятся доверительные интервалы для компонент тензора остаточных напряжений в процессе ползучести образца в различные временные сечения. Выполнены экспериментальные исследования по влиянию растягивающей нагрузки на релаксацию остаточных напряжений в полом цилиндрическом образце из сплава Д16Т. Приводятся финишные экспериментальные диаграммы для осевой и окружной компонент тензора остаточных напряжений после процесса ползучести длительностью от 83 до 166 часов. Теоретические и экспериментальные исследования позволили сделать вывод о практически полной релаксации остаточных напряжений в исследуемых цилиндрических образцах вследствие ползучести в условиях растяжения в течение 100–160 часов. Обсуждаются вопросы применимости метода колец и полосок для экспериментального определения остаточных напряжений в условиях существенного разброса данных при ползучести и интенсивной релаксации остаточных напряжений.

Ключевые слова: поверхностное пластическое упрочнение, пневмодробеструйная обработка, полый цилиндр, остаточные напряжения, стохастическая модель, ползучесть, экспериментальные данные.

Радченко Владимир Павлович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: radch@samgtu.ru

Морозов Андрей Павлович – аспирант, e-mail: andre15@inbox.ru

Саушкин Михаил Николаевич – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: saushkin.mn@samgtu.ru

1. Биргер И.А. Остаточные напряжения. – М.: Машгиз, 1963. – 262 с.
2. Павлов В.Ф., Кирпичев В.А., Иванов В.Б. Остаточные напряжения и сопротивление усталости упрочненных деталей с концентраторами напряжений / Самар. науч. центр РАН. – Самара: 2008. – 64 с.
3. Гринченко И.Г. Упрочнение деталей из жаропрочных и титановых сплавов. – М.: Машиностроение, 1971. – c 120.
4. Кравченко Б.А., Круцило В.Г., Гутман Г.Н. Термопластическое упрочнение – резерв повышения прочности и надежности деталей машин. – Самара: Изд-во Самар. гос. техн. ун-та, 2000. – 216 с.
5. Сулима А.М., Шувалов В.А., Ягодкин Ю.Д. Поверхностный слой и эксплуатационные свойства ГТД. – М.: Машиностроение, 1988. – 240 с.
6. Радченко В.П., Саушкин М.Н. Ползучесть и релаксация остаточных напряжений в упрочненных конструкциях. – М.: Машиностроение-1, 2005. – 226 с.
7. Иванов С.И. К определению остаточных напряжений в цилиндре методом колец и полосок // Остаточные напряжения. – Куйбышев, 1974. – Вып. 53. – С. 32–42.
8. Иванов С.И., Шатунов М.П., Павлов В.Ф. Определение дополнительных остаточных напряжений в надрезах на цилиндрических деталях // Вопросы прочности элементов конструкций. – Куйбышев, 1973. – Вып. 60. – С. 160–170.
9. Павлов В.Ф., Кирпичев В.А., Вакулюк В.С. Прогнозирование сопротивления усталости поверхностно упрочненных деталей по остаточным напряжениям / Самар. науч. центр РАН. – Самара, 2012. – 125 с.
10. Methods of measuring residual stresses in components (Review) / N.S. Rossini, M. Dassisti, K.Y. Benyounis, A.G. Olabi // Matherials and Design. – 2012. – Vol. 35. – P. 572–588. DOI: 10.1016/j.matdes.2011.08.022
11. Recent advances in residual stress measurement / P.J. Withers, M. Turski, L. Edwards, P.J. Bouchard, D.J. Buttle // International Journal of Pressure Vessels and Piping. – 2008. – Vol. 85. – No. 3. – P. 118–127. DOI: 10.1016/j.ijpvp.2007.10.007
12. Wern H. A new approach to triaxial residual stress evaluation by the hole drilling method // Strain. – 1997. – Vol. 33. – No. 4. – P. 121–125. DOI: 10.1111/j.1475-1305.1997.tb01059.x
13. Павлов В.Ф. О связи остаточных напряжений и предела выносливости при изгибе в условиях концентрации напряжений // Изв. вузов. Машиностроение. – 1986. – № 8. – С. 29–32.
14. Радченко В.П., Кирпичев В.А., Лунин В.А. Влияние пневмодробеструйной обработки термоэкспозиции на остаточные напряжения и предел выносливости образцов из сплавов В95 и Д16Т // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2011. – № 3. – С. 181–184. DOI: 10.14498/vsgtu994
15. Радченко В.П., Морозов А.П., Лунин В.А. Исследование кинетики физико-механических параметров сплавов В95 и Д16Т вследствие температурных выдержек и многоцикловых усталостных испытаний // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2012. – № 1. – С. 123–132. DOI: 10.14498/vsgtu1059
16. Радченко В.П., Саушкин М.Н. Феноменологический метод расчета остаточных напряжений и пластических деформаций в полом поверхностно упрочненном цилиндрическом образце // Прикладная математика и механика. – 2013. – Т. 77, № 1. – С. 143–152.
17. On the effect of deep-rolling and laser-peening on the stress-controlled low- and high-cycle fatigue behavior of Ti-6Al-4V at elevated temperatures up to 550 °C / I. Altenberger, D.K. Nalla, Y. Sano, L. Wagner, R.O. Ritchie // International Journal of Fatigue. – 2012. – Vol. 44. – P. 292–302.
    DOI: 10.1016/j.ijfatigue.2012.03.008
18. Prediction and characterization of residual stresses from laser shock peening / R.A. Brockman, W.R. Braisted, S.E. Olson, R.D. Tenaglia, A.H. Clauer, K. Langer, M.J. Shepard // International Journal of Fatigue. – 2012. – Vol. 36. – No. 1. – P. 96–108. DOI: 10.1016/j.ijfatigue.2011.08.011
19. Dai K., Shaw L. Analysis of fatigue resistance improvements via surface severe plastic deformation // International Journal of Fatigue. – 2008. – Vol. 30. – No. 8. – P. 1398–1408. DOI: 10.1016/ j.ijfatigue.2007.10.010
20. Residual stresses and fatigue performance / M.N. James, D.J. Hughes, Z. Chen, H. Lombard, D.G. Hattingh, D. Asquith, J.R. Yates, P.J. Webster // Engineering Failure Analysis. – 2007. – Vol. 14. – No. 2. – P. 384–395. DOI: 10.1016/j.engfailanal.2006.02.011
21. Majzoobi G.H., Azadikhah K., Nemati J. The effects of deep rolling and shot peening on fretting fatigue resistance of Aluminum-7075-T6 // Materials Science and Engineering A. – 2009. – Vol. 516. – No. 1–2. – P. 235–247. DOI: 10.1016/j.msea.2009.03.020
22. McClung R.C. A literature survey on the stability and significance of residual stresses during fatigue // Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures. – 2007. – Vol. 30. – No. 3. – P. 173–205. DOI: 10.1111/j.1406-2695.2007.01102.x
23. Soady K.A. Life assessment methodologies incoroporating shot peening process effect: Mechanistic consideration of residual stresses and strain hardening: Part 1 – Effect of shot peening on fatigue resistance // Materials Science and Technology (United Kingdom). – 2013. – Vol. 29. – No. 6. –
    P. 637–651. DOI: 10.1179/1743284713Y.0000000222
24. Terres M.A., Laalai N., Sidhom H. Effect of nitriding and shot-peening on the fatigue behavior of 42CrMo4 steel: Experimental analysis and predictive approach // Materials and Design. – 2012. – Vol. 35. – P. 741–748. DOI: 10.1016/j.matdes.2011.09.055
25. Цейтлин В.И., Колотникова О.В. Релаксация остаточных напряжений в деталях турбины ГТД в процессе эксплуатации // Пробл. прочности. – 1980. – № 8. – С. 982–984.
26. Колотникова О.В. Эффективность упрочнения методами поверхностного пластического деформирования деталей, работающих при повышенных температурах // Пробл. прочности. – 1983. – № 2. – С. 112–114.
27. Радченко В.П., Афанасьева О.С. Методика расчета предела выносливости упрочненных цилиндрических образцов с концентраторами напряжений при температурных выдержках в условиях ползучести // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2009. – № 2. – С. 264–268. DOI: 10.14498/vsgtu733
28. Радченко В.П., Кирпичев В.А., Лунин В.А. Влияние термоэкспозиции на остаточные напряжения образцов из сплава ЭП742 после ультразвукового упрочнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Техн. науки. – 2012. – № 3. – С. 147–154.
29. Радченко В.П., Саушкин М.Н. Прямой метод решения краевой задачи релаксации остаточных напряжений в упрочненном изделии цилиндрической формы при ползучести // ПМТФ. – 2009. – Т. 50, № 6. – С. 90–99.
30. Радченко В.П., Цветков В.В. Кинетика напряженно-деформированного состояния в поверхностно упрочненном цилиндрическом образце при сложном напряженном состоянии в условиях ползучести // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2014. – № 1. – С. 93–108. DOI: 10.14498/vsgtu1313
31. Радченко В.П., Саушкин М.Н., Бочкова Т.И. Математическое моделирование формирования и релаксации остаточных напряжений в плоских образцах из сплава ЭП742 после ультразвукового упрочнения в условиях высокотемпературной ползучести // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 1. – С. 93–112. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.1.07
32. Радченко В.П., Саушкин М.Н., Цветков В.В. Влияние термоэкспозиции на релаксацию остаточных напряжений в упрочненном цилиндрическом образце в условиях ползучести // ПМТФ. – 2016. – Т. 57, № 3. – С. 196–207. DOI: 10.15372/PMTF20160320
33. Радченко В.П., Саушкин М.Н. Математические модели восстановления и релаксации остаточных напряжений в поверхностно упрочненном слое уилиндрических элементов конструкций при ползучести // Изв. вузов. Машиностроение. – 2004. – № 11. – С. 3–17.
34. Бадаев А.Н. Стохастическое прогнозирование ползучести жаропрочных сплавов с использованием метода Монте-Карло // Пробл. прочности. – 1985. – № 2. – С. 7–10.
35. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 1966. – 752 с.
36. Радченко В.П., Дудкин С.А., Тимофеев М.И. Экспериментальное исследование и анализ полей неупругих микро- и макродеформаций сплава АД-1 // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2002. – № 16. – С. 111–117. DOI: 10.14498/vsgtu107
37. Самарин Ю.П. Стохастические механические характеристики и надежность конструкций с реологическими свойствами / Ползучесть и длительная прочность конструкций: сб. науч. тр. – Куйбышев, 1986. – С. 8–17.
38. Локощенко А.М., Шестериков С.А. Методика описания ползучести и длительной прочности при чистом растяжении // ПМТФ – 1980. – № 3. – С. 155–159.
39. Багмутов В.П., Богданов Е.П. Микронеоднородное деформированние и статистические критерии прочности. – Волгоград: Изд-во Волг. гос. ун-та, 2003. – 358 с.
40. Экспериментальное исследование кинетики остаточных напряжений в упрочненных полых цилиндрических образцах из сплава Д16Т при осевом растяжении в условиях ползучести / В.П. Радченко, В.А. Кирпичев, В.В. Лунин, А.П. Филатов, А.П. Морозов // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2016. – Т. 20, № 2. – С. 290–305. DOI: 10.14498/vsgtu1468
41. Самарин Ю.П. Уравнение состояния материалов со сложными реологическими свойствами. – Куйбышев: Изд-во Куйбышев. гос. ун-та, 1979. – 84 с.
42. Радченко В.П., Еремин Ю.А. Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций. – М.: Машиностроение-1, 2004. – 265 с.
43. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576 с.
44. Радченко В.П., Симонов А.В., Дудкин С.А. Стохастический вариант одномерной теории ползучести и длительной прочности // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2001. – № 12. – С. 73–84. DOI: 10.14498/vsgtu64

В работе с использованием компьютерного моделирования методом подвижных клеточных автоматов проведено исследование особенностей неупругого деформирования и разрушения микроскопических областей пористых хрупких материалов в условиях неравноосного сжатия. Акцент в исследовании сделан на анализе применимости классических макроскопических критериев пластичности и прочности для интегрального описания механического отклика представительных объемов микроскопического масштаба. Проанализирована связь параметров интегрального механического отклика микроскопических областей с объемным содержанием пор, характером их пространственного распределения в объеме материала и прочностными свойствами материала стенок каркаса. На примере осевого сжатия образцов в условиях постоянного бокового давления исследована стадийность процессов накопления и роста повреждений в стенках пористого каркаса и их связь с интегральным неупругим откликом. Показано, что с ростом величины бокового давления происходит смена характера разрушения пористого материала от упруго-хрупкого к неупругому, локализованному в форме полосы сдвига, и далее к объемному катакластическому. Значения характерных боковых давлений, при которых происходит смена механизма разрушения, существенным образом зависят от чувствительности прочности стенок каркаса к локальному давлению. Анализ результатов моделирования показал, что традиционные условия (критерии) пластичности, учитывающие вклад локального среднего напряжения в линейном приближении, адекватно описывают отклик микроскопических представительных объемов хрупких пористых материалов в стесненных условиях только от начала неупругого деформирования до стадии формирования системы относительно коротких невзаимодействующих трещин. Важно отметить, что разупрочнение представительных микрообъемов хрупких пористых материалов, деформируемых в стесненных условиях, связано не с потерей целостности, но с более поздними процессами формирования полос локализованного сдвига и коллапсом пор в уже фрагментированном материале. Это дает основания предполагать, что экспериментально измеряемые значения прочности стесненных образцов как максимума интегрального сопротивления могут быть существенно завышены по сравнению с истинными значениями (соответствующими фрагментации образцов). Установлено, что условия потери целостности хрупких пористых материалов в стесненных условиях адекватно описываются с использованием «линейных» критериев разрушения, параметры которых определены не из стандартных испытаний на одноосные сжатие/растяжение, но на основе тестирования образцов
в стесненных условиях.

Ключевые слова: хрупкий пористый материал, неупругая деформация, полоса локализованного сдвига, катакластическое течение, разрушение, функция текучести, прочность, компьютерное моделирование, метод подвижных клеточных автоматов.

Астафуров Сергей Владимирович – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: svastafurov@gmail.com

Шилько Евгений Викторович – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: shilko@ispms.tsc.ru

Псахье Сергей Григорьевич – член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: sp@ispms.tsc.ru

1. Brace W.F. Volume changes during fracture and frictional sliding: a review // Pure Appl. Geophys. – 1978. – Vol. 116. – P. 603–614.

2. Wong T.-f., David C., Zhu W. The transition from brittle faulting to cataclastic flow in porous sandstones // J. Geophys. Res. – 1997. – Vol. 102. – P. 3009–3025.

3. Baud P., Vajdova V., Wong T.-f. Shear-enhanced compaction and strain localization: mechanical data and constitutive parameters for porous sandstones // J. Geophys. Res. – 2006. – Vol. 111. – P. B12401-1–B12401-17.

4. Influence of grain size and geothermal gradient on the ductile-to-brittle transition in arenaceous sedimentary rocks: implications for fault structure and fluid flow / Q.J. Fisher, S.D. Harris, M. Casey, R.J. Knipe // Geological Society, London, Special Publications. – 2007. – Vol. 289. – P. 105–121.

5. Стефанов Ю.П. Численное моделирование деформирования и разрушения горных пород на примере расчета поведения образцов песчаника // ФТПРПИ. – 2008. – № 1. – С. 73–83.

6. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Модель хрупкого разрушения пористых материалов при сжатии // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. – 2009. – № 17. – С. 47–57.

7. Deformation bands in porous carbonate grainstones: field and laboratory observations / A. Cilona,
P. Baud, E. Tondi, F. Agosta, S. Vinciguerra, A. Rustichelli, C.J. Spiers // J. Struct. Geol. – 2012. – Vol. 45. – P. 137–157.

8. Wong T.-f., Baud P. The brittle-ductile transition in porous rock: A review // J. Struct. Geol. – 2012. – Vol. 44. – P. 25–53.

9. Rutter E.H., Glover C.T. The deformation of porous sandstones; are Byerlee friction and the critical state line equivalent? // J. Struct. Geol. – 2012. – Vol. 44. – P. 129–140.

10. Стефанов Ю.П. Моделирование поведения консолидированных и высокопористых геологических сред в условиях сжатия // Вестник Перм. гос. техн. ун-та. – 2007. – № 15. – С. 156–169.

11. Jaeger C. Rock Mechanics and Engineering. – Cambridge University Press, 2009. – 523 p.

12. Николаевский В.Н. Собрание трудов. Геомеханика. Т. 3. Землетрясения и эволюция коры. Скважины и деформации пласта. Газоконденсат / НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований. – М.–Ижевск, 2012. – 644 с.

13. Paterson M.S., Wong T.-f. Experimental rock deformation – the brittle field. – Springer-Verlag, New York, 2005. – 347 p.

14. Frank F.C. On dilatancy in relation to seismic sources // Rev. Geophys. – 1965. – Vol. 3. –
P. 485–503.

15. Brace W.F., Paulding B.W. Jr., Scholz C. Dilatancy in the fracture of crystalline rocks //
J. Geophys. Res. – 1966. – Vol. 71. – P. 3939–3956.

16. Nur A. A note on the constitutive law of dilatancy // Pure Appl. Geophys. – 1975. – Vol. 113. – P. 197–206.

17. Baud P., Schubnel A., Wong T.-f. Dilatancy, compaction and failure mode in Solnhofen limestone // J. Geophys. Res. – 2000. – Vol. 105. – P. 19289–19303.

18. Vajdova V., Baud P., Wong T.-f. Compaction, dilatancy and failure in porous carbonate rocks // J. Geophys. Res. – 2004. – Vol. 109. – P. B05204-1–B05204-16.

19. 3D simulation of dependence of mechanical properties of porous ceramics on porosity / A.Yu. Smolin, N.V. Roman, Ig.S. Konovalenko, G.M. Eremina, S.P. Buyakova, S.G. Psakhie // Eng. Fract. Mech. – 2014. – Vol. 130. – P. 53–64.

20. Давыдова М.М., Уваров С.В., Наймарк О.Б. Пространственно-временная масштабная инвариантность при динамической фрагментации квазихрупких материалов // Физическая мезомеханика. – 2015. – Т. 18, № 1. – С. 100–107.

21. Sammis C.G., Ashby M.F. The failure of brittle porous solids under compressive stress states // Acta. Metall. – 1986. – Vol. 34. – P. 511–526.

22. Ashby M.F., Sammis C.G. The damage mechanics of brittle solids in compression // Pure Appl. Geophys. – 1990. – Vol. 133. – P. 489–521.

23. Tsukrov I, Kachanov M. Stress concentrations and microfracturing patterns in a brittle elastic solid with interacting pores of diverse shapes // Int. J. Solids Struct. – 1997. – Vol. 34. – P. 2887–2904.

24. Романова В.А., Балохонов Р.Р. 3D-анализ напряженного состояния пористой керамики на основе диоксида циркония на начальной стадии сжатия // Физическая мезомеханика. – 2007. – Т. 10, № 2. – С. 63–67.

25. Shipton Z.K., Cowie P.A. Damage zone and slip-surface evolution over mkm to km scales in high-porosity Navajo sandstone, Utah // J. Struct. Geol. – 2001. – Vol. 23. – P. 1825–1844.

26. Makowitz A., Milliken K.L. Quantification of brittle deformation in burial compaction. Frio and Mount Simon Formation sandstones // J. Sediment. Res. – 2003. – Vol. 73. – P. 1007–1021.

27. The impact of constitutive modeling of porous rocks on 2-D wellbore stability analysis / L. Coelho, A.C. Soares, N.F.F. Ebecken, J.L. Drummond Alves, L. Landau // J. Petrol. Sci. Eng. – 2005. – Vol. 46. – P. 81–100.

28. Sheldon H.A., Barnicoat A.C., Ord A. Numerical modelling of faulting and fluid flow in porous rocks: an approach based on critical state soil mechanics // J. Struct. Geol. – 2006. – Vol. 28. – P. 1468–1482.

29. Yarushina V., Podladchikov Y. Low-frequency attenuation due to pore-scale inelasticity // Geophysics. – 2010. – Vol. 75. – P. 51–63.

30. Стефанов Ю.П. Некоторые особенности численного моделирования поведения упруго-хрупкопластических материалов // Физическая мезомеханика. – 2005. – Т. 8, № 3. – С. 129–142.

31. Нелинейная механика геоматериалов и геосред / П.В. Макаров [и др.] / отв. ред. Л.Б. Зуев. – Новосибирск: Гео, 2007. – 235 с.

32. DiMaggio F.L., Sandler I.S. Material model for granular soils // J. Eng. Mech. ASCE. – 1971. – Vol. 97. – P. 935–950.

33. Carroll M.M. A critical state plasticity theory for porous reservoir rock. In: M. Massoudi, K.R. Rajagopal (Eds.), Recent Advances in Mechanics of Structured Continua. – ASME AMD, 1993. – Vol. 117. – P. 1–5.

34. Стефанов Ю.П. Методы численного моделирования деформации и разрушения в геомеханике // Современная тектонофизика. Методы и результаты. Школа-2015: материалы четвертой молодежной тектонофизической школы-семинара. – 2015. – Т. 2. – С. 77–103.

35. Rudnicki J.W., Rice J.R. Condition for localization of plastic deformation in pressure sensitive dilatant materials // J. Mech. Phys. Solids. – 1975. – Vol. 23. – P. 371–390.

36. Замышляев Б.В., Евтерев Л.С. Модели динамического деформирования и разрушения грунтовых сред. – М.: Наука, 1990. – 215 с.

37. Hazzard J.F., Young R.P., Maxwell S.C. Micromechanical modeling of cracking and failure in brittle rocks // J. Geophys. Res. – 2000. – Vol. 105. – P. 16683–16697.

38. Grueschow E., Rudnicki J.W. Elliptic yield cap constitutive modeling for high porosity sandstone // Int. J. Solids Struct. – 2005. – Vol. 42. – P. 4574–4587.

39. Dynamics of inelastic deformation of porous rocks and formation of localized compaction zones studied by numerical modeling / Y.P. Stefanov, M.A. Chertov, G.R. Aidagulov, A.V. Myasnikov // J. Mech. Phys. Solids. – 2011. – Vol. 59. – P. 2323–2340.

40. Развитие подхода к моделированию деформирования и разрушения иерархически организованных гетерогенных, в том числе контрастных, сред / С.Г. Псахье [и др.] // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, № 3. – С. 27–54.

41. A mathematical model of particle–particle interaction for discrete element based modeling of deformation and fracture of heterogeneous elastic–plastic materials / S.G. Psakhie, E.V. Shilko, A.S. Grigoriev, S.V. Astafurov, A.V. Dimaki, A.Yu. Smolin // Eng. Fract. Mech. – 2014. – Vol. 130. – P. 96–115.

42. Overcoming the limitations of distinct element method for multiscale modeling of materials with multimodal internal structure / E.V. Shilko, S.G. Psakhie, S. Schmauder, V.L. Popov,
S.V. Astafurov, A.Yu. Smolin // Comp. Mater. Sci. – 2015. – Vol. 102. – P. 267–285.

43. Mustoe G.G.W. A generalized formulation of the discrete element method // Eng. Computation. – 1992. – Vol. 9. – P. 181–190.

44. Potyondy D.O., Cundall P.A. A bonded-particle model for rock // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. – 2004. – Vol. 41. – P. 1329–1364.

45. Jing L., Stephansson O. Fundamentals of discrete element method for rock engineering: theory and applications. – Elsevier, 2007. – 562 p.

46. Micromechanics of inelastic compaction in two allochemical limestones / V. Vajdova, P. Baud, L. Wu, T.-f. Wong // J. Struct. Geol. – 2012. – Vol. 43. – P. 100–117.

47. Detournay E., Cheng A.H.-D. Fundamentals of poroelasticity. Chapter 5 in Comprehensive Rock Engineering: Principles, Practice and Projects. Vol. II. Analysis and Design Method / ed. C. Fairhurst. – Pergamon Press, 1993. – P. 113–171.

48. Labuz J.F., Dai S.-T., Papamichos E. Plane-strain compression of rock-like materials // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Geomech. Abstr. – 1996. – Vol. 33. – P. 573–584.

49. Друккер Д., Прагер В. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проектирование // Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 2. Определяющие законы механики грунтов. – М.: Мир, 1975. – С. 166–177.

50. Alejano L.R., Bobet A. Dricker-Prager criterion // Rock. Mech. Rock Engrg. – 2012. – Vol. 45. – P. 995–999.

51. Sevostianov I., Kushch V. Effect of pore distribution on the statistics of peak stress and overall properties of porous material // Int. J. Solids Struct. – 2009. – Vol. 46. – P. 4419–4429.

52. Zhang L., Cao P., Radha K.C. Evaluation of rock strength criteria for wellbore stability analysis // Int. J. Rock. Mech. Min. Sci. – 2010. – Vol. 47. – P. 1304–1316.

53. Al-Ajmi A.M., Zimmerman R.W. Stability analysis of vertical boreholes using the Mogi-Coulomb failure criterion // Int. J. Rock. Mech. Min. Sci. – 2006. – Vol. 43. – P. 1200–1211.

54. Colmenares L.B., Zoback M.D. A statistical evaluation of intact rock failure criteria constrained by polyaxial test data for five different rocks // Int. J. Rock. Mech. Min. Sci. – 2002. – Vol. 39. – P. 695–729.

Представлена новая постановка задачи о статическом расширении. Рассмотрена постановка контактной термосиловой задачи с учетом фазовых превращений и численное решение её термоструктурной подзадачи, возникающей при моделировании процесса поверхностного упрочнения электромеханической обработкой (ЭМО). Предложена математическая модель формирования структуры металлических сплавов при ЭМО на основе совместного анализа расчетных данных
о динамике температурных полей и термокинетической диаграммы на примере титанового сплава Ti6Al2V. Кинетика характерного для ЭМО мартенситного превращения при этом описана с использованием эмпирического уравнения Койстинена-Марбургера.

Приведен алгоритм решения тепловой задачи на основе метода конечных элементов в слабой форме Галеркина. При аппроксимации расчетной области, представленной в виде полупространства, использовались специальные конечные элементы типа Зенкевича.

На основе серии вычислительных экспериментов исследовано влияние величины временного шага на точность решения задачи. Проведен анализ значимости связанных и нелинейных эффектов, характерных для высокоскоростных высокотемпературных тепловых процессов, в частности изменения теплофизических свойств металла, наличия скрытой теплоты фазовых переходов, теплового излучения и зависимости теплофизических свойств металла от температуры.

Учет рассматриваемых эффектов в процессе решения термоструктурной задачи осуществлялся с применением двух методик: решение полностью связанной нелинейной задачи на основе прямого итерационного метода Пикара, использованного совместно с формулой релаксации для ускорения сходимости; решение квазилинейным способом, когда значения нелинейных членов вычисляются на основе распределения температуры, полученного на предыдущем временном шаге.

На основе численных экспериментов приведен анализ возникающих нестационарных температурных полей, а также картины распределения структурных областей, характерных для ЭМО титановых псевдоальфа-сплавов.

Ключевые слова: метод конечных элементов, метод Галеркина, нестационарная теплопроводность, связанные эффекты, структурно-фазовые превращения, поверхностное упрочнение, контактное термосиловое нагружение.

Багмутов Вячеслав Петрович – доктор технических наук, профессор, e-mail: sopromat@vstu.ru

Захаров Игорь Николаевич – доктор технических наук, доцент, e-mail: zaxap@mail.ru

Денисевич Денис Сергеевич – аспирант, e-mail: adven148@ya.ru

Иванников Александр Юрьевич – старший научный сотрудник, e-mail: sopromat@vstu.ru

1. Черепанов А.Н., Шапеев В.П., Исаев В.И. Моделирование процессов теплопереноса при лазерной сварке разнородных металлов с использованием промежуточной вставки  // Теплофизика высоких температур. – 2015. – Т. 53, № 6. – С. 885–890.

2. Fanrong Kong, Radovan Kovacevic. 3D finite element modeling of the thermally induced residual stress in the hybrid laser/arc welding of lap joint // Journal of Materials Processing Technology. – 2010. – Vol. 210. – P. 941–950.

3. Jao-Hwa Kuang, Tsung-Pin Hung, Chih-Kuan Chen. A keyhole volumetric model for weld pool analysis in Nd:YAG pulsed laser welding // Optics & LaserTechnology. – 2012. – Vol. 44. – P. 1521–1528.

4. Morgan Dal, Philippe Le Masson, Muriel Carin. A model comparison to predict heat transfer during spot GTA welding // International Journal of Thermal Sciences. – 2014. – Vol. 75. – P. 54–64.

5. Quan Nguyen, Ching-yu Yang. A modified Newton–Raphson method to estimate the temperature-dependent absorption coefficient in laser welding process // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 2016. – Vol. 102. – P. 1222–1229.

6. Appasaheb Adappa Keste, Shravan Haribhau Gawande, Chandrani Sarkar. Design optimization of precision casting for residual stress reduction // Journal of Computational Design and Engineering. – 2016. – Vol. 43. – P. 140–150.

7. Venkatesan A., Gopinath V.M., Rajadurai A. Simulation of casting solidification and its grain structure prediction using FEM // Journal of Materials Processing Technology. – 2005. – Vol. 168. –  P. 10–15.

8. Numerical Simulation and Experimental Study of an Ultrasonic Waveguide for Ultrasonic Casting of 35CrMo Steel / Gen LIANG, Chen SHI, Ya-jun ZHOU, Da-heng MAO // Journal of Iron and Steel Research, International. – 2016. – Vol. 23. – P. 772–777.

9. Bouzakis K.-D., Maliaris G., Tsouknidas A. FEM supported semi-solid high pressure die casting process optimization based on rheological properties by isothermal compression tests at thixo temperatures extracted // Computational Materials Science. – 2012. – Vol. 44. – P. 133–139.

10. Şimşir C., Gür C.H. Mathematical Framework for Simulation of Thermal Processing of Materials: Application to Steel Quenching // Turkish J. Eng. Env. Sci. – 2008. – No. 32. – P. 85–100.

11. Xiawei Yang, Jingchuan Zhu, Zhisheng Nong, Zhonghong Lai, Dong He. FEM simulation of quenching process in A357 aluminum alloy cylindrical bars and reduction of quench residual stress through cold stretching process // Computational Materials Science. – 2013. – Vol. 69. – P. 396–413.

12. Li Huiping, Zhao Guoqun, Niu Shanting, Huang Chuanzhen. FEM simulation of quenching process and experimental verification of simulation results // Materials Science and Engineering: A. – 2007. – Vol. 452–453. – P. 705–714.

13. Багмутов В.П., Захаров И.Н., Денисевич Д.С. Особенности решения технологических задач механики неоднородных металлических тел со структурой, трансформирующейся в ходе термосилового нагружения // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 1. – С. 5–25.

14. Багмутов В.П., Захаров И.Н. Моделирование тепловых процессов при поверхностной обработке неоднородных металлических тел высокотемпературным движущимся импульсным источником // Вычислительная механика сплошных сред. – 2011. – Т. 4, № 1. – C. 5–16.

15. Багмутов В.П., Захаров И.Н. Моделирование структурных превращений при электромеханической обработке стали // Физика и химия обработки материалов. – 2002. – № 4. – C. 29–32.

16. Исупова И.Л., Трусов П.В. Обзор математических моделей для описания фазовых превращений в сталях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. – № 3. – С. 157–191.

17. Кукуджанов К.В., Левитин А.Л. Процессы деформирования упругопластического материала с дефектами при электродинамическом нагружении // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 1. – С. 106–120.

18. Lusk M.T.A., Lee Y.K. global material model for simulating the transformation kinetics of low alloy steels // Proceedings of the 7th international seminar of the international IFHT. – Budapest, Hungary: IFHT, 1999. – 273 p.

19. Клюшников В.Д., Овчинников И.В. Плоская задача о воздействии мгновенного точечного источника тепла // Изв. АН СССР. МТТ. – 1988. – № 4. – С. 118–122.

20. Гордиенко А.И., Шипко А.А.Структурные и фазовые превращения в титановых сплавах при быстром нагреве; ред. М.Н. Бодяко. – Минск: Наука и техника, 1983. – 336 с.

21. Van Der Voort G.F. Atlas of Time-Temperature Diagrams for Irons and Steels, ASM International, Materials Park, OH, 1991. – 807 p.

22. Гаврилин И.В. Плавление и кристаллизация металлов и сплавов. − Владимир: Изд-во Влад. гос. ун-та, 2000. – 260 с.

23. Пикунов М.В. Металлургия расплавов: курс лекций. – М.: Изд-во Моск. ин-та стали и сплавов, 2005. – 286 с.

24. Andrews K.W. Empirical formulae for the calculation of some transformation temperatures // Journal of the iron and steel institute. – 1965. – Vol. 203. – P. 721–727.

25. Bergheau J., Fortunier R. Finite element simulation of heat transfer / Bergheau Jean-Michel. – Wiley, 2010. – 281 p.

26. Reddy J.N., Gartling D.K. The Finite Element Method in Heat Transfer and Fluid Dynamics 3rd Edition. – CRC Press, Taylor & Francis Group, 2010. – XXIV, 489 p.

27. Теплофизические свойства титана и его сплавов: справ. / В.Э. Пелецкий, В.Я. Чеховской, Э.А. Бельская [и др.]. – М.: Металлургия, 1985. – 103 с.

28. Bathe K., Finite element procedures / Bathe Klaus-Jürgen. – Prentice Hall. – 2014. – 1051 p.

29. Bathe K., Khoshgoftaar R. Finite element formulation and solution of nonlinear heat transfer // Nuclear Engineering and Design. – 1979. – № 51. – P. 389–401.

30. Bettes P. Infinite Elements. – Penshaw Press, 2014. – 251 p.