Исследуются вопросы устойчивости линейного автономного функционально-дифферен­ци­аль­но­го уравнения нейтрального типа. В основе исследования лежит известное представление решения в явном виде с помощью интегрального оператора, ядром которого является функция Коши исследуемого уравнения. Показано, что определения устойчивости по Ляпунову, асимптотической и экспоненциальной устойчивости можно без потери общности формулировать в терминах соответствующих свойств функции Коши. Сделан вывод о зависимости устойчивости относительно начальных данных от того, какому функциональному пространству принадлежат начальные данные, и, как следствие, о необходимости указывать это пространство в определении устойчивости. Показано, что наряду с понятием асимптотической устойчивости требуется ввести более сильное свойство, которое получило название сильной асимптотической устойчивости.

Основное исследование посвящено устойчивости по начальной функции из пространств суммируемых функций. Особое внимание уделено изучению асимптотической и экспоненциальной устойчивости. Используются следующие известные свойства функции Коши уравнения нейтрального типа: эта функция является кусочно-непрерывной, а ее скачки определяются задачей Коши для линейного разностного уравнения. Установлено, что сильная асимптотическая устойчивость исследуемого уравнения при начальных данных из пространства L1 равносильна экспоненциальной оценке функции Коши; более того, показано, что эти свойства равносильны экспоненциальной устойчивости по начальным данным из пространств Lp для любого p от единицы до бесконечности включительно. При этом отмечено, что сильная асимптотическая устойчивость по начальным данным из пространства Lp для p, больших единицы, может не совпадать с экспоненциальной устойчивостью.

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, уравнение нейтрального типа, фундаментальное решение, функция Коши, формула представления решения, разностное уравнение, устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость, экспоненциальная устойчивость, область устойчивости.

Малыгина Вера Владимировна (Пермь, Россия) – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Вычислительная математика, механика и биомеханика», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: mavera@list.ru).

Чудинов Кирилл Михайлович (Пермь, Россия) – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Вычислительная математика, механика и биомеханика», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: cyril@list.ru).

1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. – М.: Мир, 1963. – 548 с.
2. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. – М.: Наука, 1971. – 296 с.
3. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1984. – 421 с.
4. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. – М.: Наука, 1981. – 484 с.
5. Junca S., Lombard B. Stability of a critical nonlinear neutral delay differential equation // Journal of Differential Equations. – 2014. – Vol. 256, iss.7. – Р. 2368–2391.
6. Баландин А.С., Малыгина В.В. Асимптотические свойства решений одного класса дифференциальных уравнений нейтрального типа // Математические труды. – 2020. – Т. 23, № 2. – С. 3–49.
7. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1991. – 280 с.
8. Баландин А.С., Малыгина В.В. Об экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2007. – № 7. – С. 17–27.
9. Власов В.В. Спектральные задачи, возникающие в теории дифференциальных уравнений с запаздыванием // Современная математика. Фундаментальные направления. – 2003. – Т. 1. – C. 69–83.
10. Симонов П.М., Чистяков А.В. Об экспоненциальной устойчивости линейнных дифференциально-разностных систем // Известия высших учебных заведений. Математика. – 1997. – № 6. – С. 37–49.
11. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 с.
12. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. – М.: Высш. шк., 1982. – 271 с.
13. Громова П.С., Зверкин А.М. О тригонометрических рядах, суммы которых являются непрерывными неограниченными функциями на вещественной оси – решениях уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. – 1968. – Т. 4, № 10. – C. 1774–1784.
14. Малыгина В.В., Баландин А.С. Асимптотическая устойчивость одного класса уравнений нейтрального типа // Сибирский математический журнал. В печати.
15. Андрианов Д.Л. Краевые задачи и задачи управления для линейных разностных систем с последействием // Известия высших учебных заведений. Математика. – 1993. – № 5. – С. 3–16.
16. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. – Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990. – 168 с.
17. Баландин А.С., Малыгина В.В. О разрешимости одного класса разностных уравнений // Вычислительная механика: сб. науч. тр. – 2006. – № 4. – С. 67–72.
18. Hahn W. Zur Stabilität der Lösungen von linearen Differential-Differenzen-gleichungen mit konstanten Koeffizienten // Mathematische Annalen. – 1956. – Bd. 131. – P. 151–166.
19. Баландин А.С. Редукция дифференциальных уравнений нейтрального типа к уравнениям запаздывающего типа // Динамические системы. – 2020. – Т. 10 (38), № 1. – С. 7–22.
20. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.

Костная ткань в различных отделах скелета подчиняется закону Вольфа: стремится стать оптимальной для действующей на соответствующую кость нагрузки, перестраивая себя посредством механизмов остеосинтеза и резорбции. Современные задачи биомеханики требуют изучения истории формирования костных структур во времени как при физиологических, так и при патологических нагрузках. Постоянно изменяющиеся нагрузки различной природы оказывают влияние на развитие и функционирование трабекулярной костной ткани. Одной из наиболее подверженных внешнему и внутреннему изменению костей является нижняя челюсть. Очень часто приходится сталкиваться с патологическими изменениями, вызванными неправильным нагружением различных участков костной ткани вследствие дисфункции зубного ряда, височно-нижнечелюстного сустава и т.п. Например, синдром Попова – Годона, связанный с потерей зуба, сопровождается патологической перестройкой окружающих костных тканей. Таким образом, математическое моделирование поведения губчатой костной ткани в зубочелюстной системе человека является одной из наиболее актуальных задач биомеханики и медицины. Трабекулярная костная ткань является неоднородным пористым анизотропным материалом. Неоднородность пористых материалов может быть описана методами количественной стереологии; при этом структурные особенности трабекулярной кости можно описать при помощи тензора структуры. Это возможно реализовать, имея как определяющее соотношение, связывающее тензор напряжений с тензорами структуры и деформации, так и кинетические уравнения, описывающие эволюцию тензора структуры и плотности костной ткани. Осуществлена постановка начально-краевой задачи о перестройке трабекулярной костной ткани. Разработаны эффективные численные алгоритмы ее решения, реализованные в виде пакетов проблемно-ориентированных программ, проведена верификация модели и идентификация параметров модели. Все численные расчеты выполнялись с использованием программного продукта ANSYS. На ряде примеров показана эволюция губчатой костной ткани при изменении напряженно-деформированного состояния. Результаты показывают различный характер влияния изменения нагрузки на процесс формирования структуры и соответствуют закону Вольфа.

Ключевые слова: трабекулярная (губчатая) костная ткань, закон Вольфа, тензор структуры, адаптация трабекулярной кости, перестройка костной ткани, математическое моделирование, определяющие соотношения, кинетические уравнения, начально-краевая задача о перестройке трабекулярной костной ткани, зубочелюстная система, нижняя челюсть, ветвь нижней челюсти.

Киченко Александр Александрович (Пермь, Россия) – старший преподаватель кафедры «Вычислительная математика, механика и биомеханика», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: kichenko.alex@inbox.ru).

1. Бусыгин А.Т. Возрастные особенности строения восходящей ветви нижней челюсти. – Ташкент: Гос. мед. изд-во Министерства здравоохранения УзССР, 1961. – 171 с.
2. О приложении теории перестройки трабекулярной костной ткани / А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин, М.А. Осипенко, В.А. Лохов // Российский журнал биомеханики. – 2012. – Т. 16, № 4. – С. 53–72.
3. Постановка начально-краевой задачи о перестройке трабекулярной костной ткани / А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин, М.А. Осипенко, В.А. Лохов // Российский журнал биомеханики. – 2012. – Т. 16, № 4. – С. 36–52.
4. Киченко А.А. Перестройка структуры губчатой костной ткани: математическое моделирование // Российский журнал биомеханики. – 2019. – Т. 23, № 3. – С. 336–358.
5. Курляндский В.Ю. Ортодонтия, травматология, челюстное и лицевое протезирование: атлас. – М.: Издатбюро треста Медучпособие, 1970. – Т. II. – 404 с.
6. Няшин Ю.И., Подгаец Р.М. Экспериментальные методы в биомеханике. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. – 400 с.
7. Моделирование перестройки трабекулярной костной ткани в ветви нижней челюсти человека / Т.Н. Чикова, А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин // Российский журнал биомеханики. – 2018. – Т. 22, № 3. – С. 292–300.
8. Cowin S.C. An evolutionary Wolff’s law for trabecular architecture // Journal of Biomechanical Engineering. – 1992. – Vol. 114. – P. 129–136.
9. Cowin S.C. Bone mechanics handbook. – Second ed. – New York: CRC Press, 2001. – 1136 p.
10. Cowin S.C. Fabric dependence of an anisotropic strength criterion // Mechanics of Materials. – 1986. – Vol. 5. – P. 251–260.
11. Cowin S.C. Wolff’s law of trabecular architecture at remodeling equilibrium // Journal of Biomechanical Engineering. – 1986. – Vol. 108. – P. 83–88.
12. Martin R.B., Burr D.B., Sharkey N.A. Skeletal tissue mechanics. – Second ed. – New York: Springer-Verlag, 1998. – 392 p.
13. The fabric dependence of the orthotropic elastic constants of cancellous bone / C.H. Turner, S.C. Cowen, J.Y. Rho, R.B. Ashman, J.C. Rice // J. Biomechanics. – 1990. – Vol. 23. – P. 549–561.
14. Zysset P.K., Curnier A. An alternative model for anisotropic elasticity based on fabric tensor // Mechanics of Materials. – 1995. – Vol. 21. – P. 243–250.
15. Diagnostic imaging of trabecular bone microstructure for oral implants: a literature review / N. Ibrahim, A. Parsa, B. Hassan, P. van der Stelt, D. Wismeijer // Dentomaxillofacial Radiology. – 2013. – Vol. 42. – P. 160–169.
16. Photoelastic analysis of bone deformation in the region of the mandibular condyle during mastication / C. Meyer, J. Kahn, P. Boutemi, A. Wilk // Journal of Cranio-Maxillofacial Surgery. – 2002. – Vol. 30. – P. 160–169.
17. Никитин В.Н. Реализация методики коррекции прикуса человека // Российский журнал биомеханики. – 2016. – Т. 20, № 1. – C. 48–57.

Посвящена алгоритму функциональной предобработки данных, который может быть использован для уменьшения результирующей ошибки при решении задач прогнозирования с помощью построения нейросетевых моделей. Описанный в статье алгоритм был разработан в рамках построения системы прогнозирования параметров вибрации нефтеперекачивающих агрегатов, применяемой для прогнозирования развития дефектов.

Автор анализирует существующие подходы к вибродиагностике и приходит к необходимости рассмотрения поставленной задачи как задачи долгосрочного прогнозирования, а не задачи классификации, как это принято при решении аналогичных задач. Причина данного решения заключается в отсутствии размеченных данных.

Основные идеи решения задачи долгосрочного прогнозирования следующие: нейросетевая модель принимает на вход и выдает на выход характеристики измеряемых величин в периоды времени, время разбивается на периоды, для каждого периода строится своя нейросетевая модель, причем период следующей шкалы в целое число раз больше периода предыдущей шкалы, шкалы с меньшим периодом используются для краткосрочного прогнозирования, а с большим – для долгосрочного.

Для повышения качества прогнозирования применяется функциональная предобработка данных. Она заключается в том, что построенная по алгоритму последовательность функций применяется к входу модели прогнозирования, чтобы повысить коэффициент корреляции между входом и выходом.

Поскольку наблюдаемые временные ряды нестационарны, возможны изменения распределений измеряемых величин и видов зависимостей между ними. Следовательно, исходный алгоритм предобработки был модифицирован: в него добавлены шаги, обеспечивающие устойчивость предобработки (минимизируется разница результатов ее работы на разных множествах).

Устойчивость обеспечивается с помощью двух вариантов предварительного отбора функций предобработки. Первый из них заключается в том, что его проходят функции, для которых разница коэффициентов корреляции между входом и выходом модели на двух непересекающихся подмножествах обучающего множества минимальна. Второй вариант отбора заключается в том, что его проходят функции, повышающие коэффициент корреляции на обоих подмножествах.

Проведенные на данных с двух агрегатов эксперименты показали, что применение функциональной предобработки данных в подавляющем большинстве случаев приводит к уменьшению ошибки прогнозирования. Более чем в половине случаев применение модификации алгоритма, обеспечивающей устойчивость, позволяет получить меньшую ошибку на тестирующем множестве, чем при использовании исходного алгоритма.

Ключевые слова: нейронные сети, прогнозирование, предобработка данных, вибрационная диагностика, математическое моделирование, машинное обучение, интеллектуальные системы, дефекты промышленного оборудования, многомерные временные ряды, построение устойчивых моделей.

Окунев Александр Анатольевич (Пермь, Россия) – аспирант, кафедры «Прикладная математика и информатика», Пермский государственный национальный исследовательский университет (614990, Пермь, ул. Букирева, 15, e-mail: info@psu.ru).

1. Lin C.C. Intelligent vibration signal diagnostic system using artificial neural network / ed. by K. Suzuki // Artificial Neural Networks – Industrial and Control Engineering Applications. – London: IntechOpen Limited, 2011. – P. 421–440.

2. Knapp G.M., Javadpour R., HsuPin Wang. An ARTMAP neural network based machine condition monitoring system // Journal of Quality in Maintenance Engineering. – 2000. – Vol. 6, no. 2. – P. 86–105.

3. Khoualdia T., Lakehal A., Chelli Z. Practical investigation on bearing fault diagnosis using massive vibration data and artificial neural network // Big Data and Networks Technologies. BDNT 2019. Lecture Notes in Networks and Systems. – 2019. – Vol 81. – P. 110–116.

4. Гусев А.Л., Еремин И.В., Окунев А.А. Долгосрочное прогнозирование параметров вибрации нефтеперекачивающих агрегатов при помощи нейронных сетей // Нейрокомпьютеры и их применение: материалы ХVI Всерос. науч. конф., г. Москва, 13 марта 2018 г. / ФГБОУ ВО МГППУ. – М., 2018. – С. 198–202.

5. Кацив С.Ш. Подход к прогнозированию развития дефектов гидроагрегата на основе использования искусственной нейронной сети // Научные труды Винницкого национального технического университета. – 2012. – № 1. – С. 1–6.

6. Longterm forecasting of solid waste generation by the artificial neural networks / A.M. Abdoli, M.F. Nezhad, R.S. Sede, S. Behboudian // Environmental Progress & Sustainable Energy. – 2012. – Vol. 31, no. 4. – P. 68–636.

7. Peter Zhang G., Qi Min. Neural network forecasting for seasonal and trend time series // European Journal of Operational Research. – 2005. – No. 160. – P. 501–514.

8. Solar radiation forecasting using ad-hoc time series preprocessing and neural networks / C. Paoli, C. Voyant, M. Muselli, M.L. Nivet // Emerging Intelligent Computing Technology and Applications. ICIC 2009. Lecture Notes in Computer Science. – 2009. – Vol. 5754. – P. 898–907.

9. The effects of pre-processing methods on forecasting improvement of artificial neural networks / A. Azadeh, M. Sheikhalishahi, M. Tabesh, A. Negahban // Australian Journal of Basic and Applied Sciences. – 2011. – Vol. 5, no. 6. – P. 570–580.

10. Time-series extreme event forecasting with neural networks at uber / N. Laptev, J. Yosinski, S. Smyl, Li. Li Erran // International Conference on Machine Learning, Sydney, Australia, 6–11 August 2017. – Sydney, Australia, 2017. – P. 1–5.

11. Nguyen H.H., Chan C.W. Multiple neural networks for a long term time series forecast // Neural Computing & Applications. – 2004. – Vol. 13, no. 1. – P. 90–98.

12. Ruta D., Gabrys B. Neural network ensembles for time series prediction // International Joint Conference on Neural Networks, Orlando, FL, USA, 12–17 August 2007. – Orlando, FL, USA, 2007. – P. 1204–1209.

13. Multi-stage algorithm based on neural network committee for prediction and search for precursors in multi-dimensional time series / S. Dolenko,
A. Guzhva, I. Persiantsev, J. Shugai // Artificial Neural Networks – ICANN 2009. Lecture Notes in Computer Science. – 2009. – Vol. 5769. – P. 295–304.

14. Гусев А.Л., Черепанов Ф.М., Ясницкий Л.Н. Функциональная пред­обработка входных сигналов нейронной сети // Нейрокомпьютеры. Разработка и применение, 2013. – Т. 5. – С. 19–21.

15. Гусев А.Л., Гильманов А.Р., Окунев А.А. Предобработка статистических данных для повышения качества прогноза нейронной сети // Современная наука: актуальные проблемы теории и практики. Серия Естественные и технические науки. – 2018. – № 03. – С. 49–51.

Сбережения домохозяйств являются важной составляющей финансовой системы. Увеличение доли домохозяйств, придерживающихся сберегательно-инвестиционной стратегии поведения, способствует экономическому росту. Финансовое поведение населения России в целом можно охарактеризовать как пассивное, не предполагающее наличия долгосрочной стратегии. Исходя из этого задача его активизации требует аккуратного государственного регулирования. Особую значимость она приобретает в среднем классе, который имеет достаточные доходы и стремится к рационализации во всех областях своей жизни. Исследуется задача управления сбережениями домохозяйств среднего класса с помощью методов оптимального управления, корреляционно-регрессионного анализа, математического и компьютерного моделирования. Представлена математическая модель задачи управления сбережениями с помощью регулирования доли несберегателей в виде задачи граничного управления распределенной системой с параболическим уравнением. Описана методология получения количественных оценок воздействия экономических факторов на структуру сбережений домохозяйств по их размеру. Приводится  пример определения оптимального снижения доли несберегателей в Пермском крае и установлена ее количественная взаимосвязь с объемом инвестиций. Предложенная методология и результаты проведенного расчета могут использоваться при разработке программ стимулирования сбережений и социально-экономического развития региона с целью повышения обоснованности принятия управленческих решений.

Ключевые слова: сбережения домохозяйств, управление сбережениями, стимулирование сбережений, несберегатели, структура сбережений, распределение домохозяйств по размеру сбережений, оптимальное управление, распределенная система, сберегательное поведение, средний класс.

Деревянкина Полина Олеговна (Пермь, Россия) – старший препо­даватель кафедры «Прикладная математика», Пермский национальный иссле­довательский политехнический университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: p.derevyankina@bk.ru).

1. Данилов Ю.А., Абрамов А.Е., Буклемишев О.В. Реформа финансовых рынков и небанковского финансового сектора [Электронный ресурс] / Центр стратегических разработок. – Июль, 2017. – URL: https://publications.hse.ru/ mirror/pubs/share/direct/208372568 (дата обращения: 10.04.2020).

2. Терентьева И.В. Современный этап реформирования пенсионной системы России: оценка результатов и перспективы // Государственное управление. Электронный вестник. – 2019. – Вып. 72. – URL:
http://e-journal.spa.msu.ru/vestnik/item/72_2019terentieva.htm (дата обращения: 01.05.2020).

3. Шмелева Н.А., Назарова И.Б. Преобразование пенсионной системы России: необходимость и риски // Горизонты экономики. – 2018. – № 5(45). – С. 130–138.

4. Авраамова Е.М., Малева Т.М. Эволюция российского среднего класса: миссии и методология // Общественные науки и современность. – 2014. – № 4. – С. 5–17.

5. Hüfner F., Koske I. Explaining Household Saving Rates in G7 Countries: Implications for Germany // OECD Economics Department Working Papers. – Paris: OECD Publishing. – 2010. – № 754. – P. 25. DOI: org/10.1787/5kmjv81n9phc-en

6. Hondroyiannis G. Private saving determinants in European countries:
a panel co-integration approach // Social Science. – 2006. – Vol. 43, iss. 4. – P. 553–569. DOI: 10.1016/j.soscij.2006.08.004

7. Does financial Reform raise or reduce saving? / O. Bandiera, G. Caprio,
P. Honohan, F. Schiantarelli // Review of Economics and Statistics. – 2000. –
Vol. 82, iss. 2. – P. 239–263. DOI: 10.1162/003465300558768

8. De Mello L., Kongsrud P., Price R. Saving behavior and the effectiveness of fiscal policy / OECD Economics Department Working Papers Paris, OECD Publishing. – 2004. – № 397. – URL: https://www.oecd.org/economy/public-finance/34081006.pdf (accessed 1 May 2020).

9. Horioka Ch.Y., Terada-Hagiwara A. The determinants and long-term projections of saving rates in developing Asia // Japan and the World Economy: Elsevier. – 2012. – № 24(2). – P. 128–137. DOI: 10.1016/j.japwor.2012.01.006

10. Kolasa A., Liberda V. Determinants of saving in Poland: are they different than in other OECD countries? // Eastern European Economics. – 2015. –
Vol. 53, iss. 2. – P. 124–148. DOI: 10.1080/00128775.2015.1033276

11. Козлова О.А., Тухтарова Е.Х. Факторный анализ взаимосвязи «потребление – сбережение» в Уральском федеральном округе // Экономика региона. – 2014. – № 3. – C. 248–257.

12. Малкина М.Ю., Храмова И.Ю. Факторы сбережений населения: страновой и региональный анализ // Региональная экономика: теория и практика. – 2017. – Т. 15, № 10. – С. 1844–1867. DOI: org/10.24891/re.15.10.1844

13. Бурдяк А.Я. Денежные сбережения домашних хозяйств на разных этапах жизненного цикла // Финансовый журнал. – 2014. – № 1. – С. 129–140.

14. Чернавский Д.С., Попков Ю.С., Рахимов А.Х. Математические модели типологии семейных накоплений // Экономика и математические методы. – 1994. – Т. 30, вып. 2. – С. 98–106.

15. Динамика экономической структуры общества / Д.С. Чернавский, Г.Г. Пирогов [и др.] // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. – 1996. – Т. 4, № 3. – С. 67–75.

16. Ерофеенко В.Т., Козловская И.С. Уравнения с частными производными и математические модели в экономике: курс лекций. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 248 с.

17. Оруджев Э.Г., Гюльмамедова Г.А. О смешанных задачах на конечном пространстве накоплений // Актуальнi проблеми економики = Actual problems of economics. – 2011. – Т. 122, № 11. – С. 431–441.

18. Гюльмамедова Г.А. Сравнительный анализ моделей денежных и материальных накоплений // Актуальнi проблеми економики = Actual problems of economics. – 2012. – Т. 138, № 12. – С. 322–327.

19. Владимирова Д.Б., Деревянкина П.О. Оптимальное управление распределенными системами в задачах социально-экономического анализа // Глобальный научный потенциал. – 2016. – № 3 (60). – С. 40–43.

20. Первадчук В.П., Владимирова Д.Б., Деревянкина П.О. Математическое моделирование экономической структуры общества на примере статистических данных по Пермскому краю // Вестник Пермского университета. Серия «Экономика» = Perm University Herald. ECONOMY. – 2018. – Т. 13, № 3. – С. 390–401.

21. RLMS-HSE. The Russia Longitudinal Monitoring Survey. – URL: http://www.cpc.unc.edu/projects/rlms (accessed 1 November 2019).

22. Средний класс в современной России: 10 лет спустя: аналитический доклад / под ред. Н.Н. Никс; Ин-т социологии РАН. – М., 2014. – 222 с.

23. Пермьстат: офиц. сайт. – URL: https://permstat.gks.ru/ (дата обращения: 01.11.2019).

24. Результаты социологического исследования «Отношение населения Российской Федерации к наличным деньгам» за 2018 г. [Электронный ресурс]. – URL: https://cbr.ru/Content/Document/File/95170/results_2018.pdf (дата обращения: 01.12.2019).

25. Allianz global wealth report 2019. – URL: https://www.allianz.com/con­tent/dam/onemarketing/azcom/Allianz_com/economic-research/publications/spe­cials/en/2019/AGWR_2019.pdf (accessed 1 April 2020).

26. Пешина Э.В., Истомина Н.А., Анкудинова А.П. Необходимость и направления государственной политики стимулирования сбережений населения // Финансы и кредит. – 2013. – № 30 (558). – C. 1–9.

Предлагаются основные конструкции и соотношения, позволяющие строить и программно реализовывать управляющие воздействия, решающие задачу о достижении заданных значений целевых функционалов для непрерывно-дискретной динамической экономико-математической модели с дискретной памятью при наличии полиэдральных ограничений на управляющие воздействия. Форма целевых функционалов, определяющих цель управления, охватывает широко распространенные конкретные виды функционалов, такие как многоточечные, интегральные и их линейные комбинации. Особенностью системы управления является наличие в ней фазовых переменных, одна часть которых зависит от непрерывного времени, другая – от дискретного времени. Эффекты последействия рассматриваемой системы ограничиваются ее дискретной памятью, сосредоточенной на заданной совокупности моментов времени. Полученные результаты базируются на основных положениях общей теории систем с непрерывным и дискретным временем. В конструктивной части исследования основная идея заключается в редукции исходной задачи к обобщенной проблеме моментов с учетом поточечных полиэдральных ограничений. Это позволяет свести описание множества достижимых значений целевых показателей и построение соответствующих программных управлений к решению конечной последовательности задач линейного программирования. Решение каждой такой задачи дает значения компонент управляющего воздействия на частичном промежутке. Из этих значений конструируется программное управление на всем промежутке. Упомянутые процедуры существенно используют оператор Коши рассматриваемой гибридной системы. Свойства такого оператора исследованы в цитированных предыдущих работах.

Полученные результаты представляют инструментальную основу для эффективного исследования и решения актуальных прикладных задач управления при ограниченных ресурсах управления.

Ключевые слова: экономико-математические модели, задачи управления, гибридные системы с последействием, множества достижимости, программные управления, проблема моментов, задачи оптимизации, полиэдральные ограничения, модели с дискретной памятью, управление с ограниченными ресурсами.

Максимов Владимир Петрович (Пермь, Россия) – доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Информационные системы и математические методы в экономике», Пермский государственный на­циональный исследовательский университет (614990, Пермь, ул. Букирева, 15, e-mail: maksimov@econ.psu.ru).

1. Chadov A.L., Maksimov V.P. Linear boundary value problems and control problems for a class functional differential equations with continuous and discrete times // Functional Differential Equations. – 2012. – Vol. 19, no. 1–2. –
P. 49–62.

2. Maksimov V.P. On the l-attainability sets of continuous discrete functional differential systems // IFAC PapersOnLine. – 2018. – Vol. 51, no. 32. –
P. 310–313.

3. Maksimov V.P. The structure of the Cauchy operator to a linear continuous-discrete functional differential system with aftereffect and some properties of its components // Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye Nauki. – 2019. – Vol. 29, no. 1. – P. 40–51.

4. Максимов В.П. К вопросу о построении и оценках матрицы Коши для систем с последействием // Труды Института математики и механики УрО РАН. – 2019. – Т. 25, № 3. – С. 153–162.

5. Максимов В.П. Достижимые значения целевых функционалов в задачах экономической динамики // Прикладная математика и вопросы управления. – 2019. – № 4. – С. 124–135.

6. Kurzhanski A.B., Varaiya P. On ellipsoidal techniques for reachability analysis // Optimization Methods and Software. – 2002. – Vol. 17. –
P. 177–203.

7. Gurman V.I., Trushkova E.A. Estimates for attainability sets of control systems // Differential Equations. – 2009. – Vol. 45, no. 11. – P. 1636–1644.

8. Rodina L.I. Estimation of statistical characteristics of attainability sets of controllable systems // Russian Mathematics. (Izvestiya VUZ. Mathematika). – 2013. – Vol. 57, no. 11. – P. 17–27.

9. Костоусова Е.К. О полиэдральных оценках множеств достижимости дифференциальных систем с билинейной неопределенностью // Труды Института математики и механики УрО РАН. – 2012. – Т. 18, № 4. –
С. 195–210.

10. Никольский М.С. Оценивание множества достижимости сверху по включению для некоторых нелинейных систем управления // Труды Института математики и механики УрО РАН. – 2019. – Т. 25, № 3. – С. 163– 170.

11. Гусев М.С., Осипов И.О. Асимптотическое поведение множеств достижимости на малых временных промежутках // Труды Института математики и механики УрО РАН. – 2019. – Т. 25, № 3. – С. 86–99.

12. Baier R., Gerdts M., Xansa I. Approximation of reachable sets using optimal control algorithms // Numerical Algebra, Control & Optimization. – 2013. – Vol. 3, no. 3. – P. 519–548.

13. The approximation of reachable sets of control problems with integral constraints on controls / K.G. Guseinov, O. Ozer, E. Akyar, V.N. Ushakov // Nonlinear Differential Equations and Applications. – 2007. – Vol. 14. – P. 57–73.

14. Nikolskii M.S., Aboubacar M. An estimation from within of reachable set of nonlinear R. Brocket integrator with small nonlinearity // Yugoslav Journal of Operations Research. – 2013. – Vol. 23, no. 3. – P. 355–365.

15. Симонов П.М. Об одном методе исследования динамических моделей макроэкономики // Вестник Пермского университета. Серия «Экономика» = Perm University Herald. ECONOMY. – 2014. – № 1. – С. 14–27.

Мотивацией для настоящего исследования послужил полученный ранее авторами результат в области разработки отраслевых моделей прогнозирования банкротства, обладающих высокой прогностической способностью. Исследуется достоверность прогнозирования финансового состояния предприятий в случае введения дополнительной категории финансового состояния, отражающей положение между финансовой состоятельностью и несостоятельностью (банкротством). Выдвигается гипотеза о снижении достоверности моделей в случае роста требований к их точности, обусловленного введением дополнительной категории финансового состояния.

Проверка гипотезы осуществляется с помощью негэнтропийного подхода, призванного снизить меру неопределенности в части нехарактерности некоторых выявленных финансовых признаков относительно исходных категорий финансового состояния. При этом под признаками финансового состояния понимаются диапазоны удельного веса статей бухгалтерского баланса, обладающие положительной или отрицательной информационной важностью. Информационная важность определяется с помощью методов системно-когнитивного анализа, реализуемого автоматически в системе «ЭЙДОС Х++», а также посредством воспроизведения информационных моделей с помощью инструментов MS Excel.

Нормализация значений информационной значимости признаков и их интерполяция позволила получить функции, аналогичные функциям принадлежности в теории нечетких множеств. При построении функций принадлежности относительно диапазонов значимых статей баланса («Основные средства», «Запасы», «Дебиторская задолженность», «Краткосрочные финансовые вложения», «Нераспределенная прибыль (непокрытый убыток)», «Кредиторская задолженность») выявлены диапазоны с нулевыми или незначительными значениями характеристических функций, соответствующих исходным категориям финансового состояния, что фактически означало высокий уровень неопределенности при прогнозировании. Для снижения неопределенности предлагается ввести дополнительные лингвистические переменные и соответствующие им нечеткие множества, носителями которых являются относительные шкалы приведенных выше статей баланса. Всего выявлено пять таких нечетких множеств, где в качестве терма, являющегося элементом лингвистических переменных, используется принятое исследователями понятие «серая зона», которое фактически использовалось как новая категория финансового состояния. Все расчеты показаны на примере основных средств.

Прогностическая способность моделей, построенных на оптимизированной выборке, где категория состояния предприятий, обладающих хотя бы тремя из пяти признаков «серой зоны», была заменена, как и предполагалось, снижается, но незначительно. А в случае воспроизведения алгоритмов системно-когнитивного анализа с помощью инструментов MS Excel наблюдается даже рост прогностической способности одной из модели. Фактически выдвинутая гипотеза о снижении достоверности моделей в случае роста требований к их точности не подтвердилась. Теоретическая значимость полученного результата с экономической точки зрения заключается в том, что с помощью негэнтропийного подхода удалось показать необходимость введения новой категории финансового состояния, как бы она ни называлась в будущем; с математической точки зрения получены функции принадлежности для лингвистических переменных на основе реальных данных о финансовом состоянии почти двух сотен российских компаний, эти функции приведения в будущем могут использовать специалисты в области теории нечетких множеств.

Полученные результаты применимы для предприятий строительной отрасли, но также могут быть воспроизведены относительно прочих отраслей экономики при формировании соответствующих выборок.

Ключевые слова: негэнтропийный подход, теория нечетких множеств, функции принадлежности, лингвистический подход, системно-когнитивный анализ, информационная значимость, аппроксимация, прогнозирование банкротства, достоверность прогнозирования, «серая зона».

Носкова Александра Романовна (Пермь, Россия) – аспирант кафедры «Строительный инжиниринг и материаловедение», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: noskovaaleksandra95@gmail.com).

Алексеев Александр Олегович (Пермь, Россия) – кандидат экономических наук, доцент кафедры «Строительный инжиниринг и материаловедение», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: alekseev@cems.pstu.ru).

1. Носкова А.Р., Алексеев А.О., Луценко Е.В. Применение системно-когнитивного анализа в отраслевом прогнозировании финансового положения предприятий (на примере строительной отрасли) // Прикладная математика и вопросы управления. – 2019. – № 1. – С. 87–99.
2. Луценко Е.В. Автоматизированный системно-когнитивный анализ // Экономика знаний: стратегические проблемы и системно-когнитивные решения. – 2016. – С. 26–37.
3. Луценко Е.В. Теоретические основы, технология и инструментарий автоматизированного системно-когнитивного анализа [Электронный ресурс]. – URL: http://lc.kubagro.ru/aidos/index.htm (дата обращения: 11.11.2019).
4. Носкова А.Р., Алексеев А.О. Достоверное прогнозирование вероятности банкротства предприятий строительной отрасли с помощью метода системно-когнитивного анализа // Управление финансовыми рисками. – 2018. – № 3. – С. 218–224.
5. Носкова А.Р. Решение задачи прогнозирования банкротства строительных предприятий с помощью применения технологии искусственного интеллекта // Искусственный интеллект в решении актуальных социальных и экономических проблем ХХI века: материалы 3-й Всерос. науч.-практ. конф., проводимой в рамках Пермского естественно-научного форума «Математика и глобальные вызовы XXI века», г. Пермь, 14–18 мая 2018 г. / Перм. гос. нац. исслед. ун-т. – Пермь, 2018. – С. 23–27.
6. Николаев А.В., Садыков Р.И. Основы информатики, программирования и вычислительной математики: учеб. пособие. Ч. 1. Основы информатики. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 86 с.
7. Altman E.I. Financial ratios, discriminant analysis, and the prediction of corporate bankruptcy // The Journal of Finance. – 1968. – No. 4. – Р. 589–609.
8. Beaver W.H. Financial ratios as predictors of failure // Empirical Research in Accounting: Selected Studies. – 1966. – No. 4. – P. 71–111.
9. Conan J., Holder М. Explicative variables of performance and management control: doctoral thesis / CERG, Universite Paris Dauphine. – Paris, 1979. – 448 p.
10. Давыдова Г.В., Беликов А.Ю. Методика количественной оценки риска банкротства предприятий // Управление риском. – 1999. – № 3. – С. 13–20.
11. Савицкая Г.В. Анализ хозяйственной деятельности предприятий АПК: учебник. – М.: ИНФРА-М, 2014. – 519 с.
12. Терещенко О.А. Дискриминантная модель интегральной оценки финансового состояния предприятия // Экономика Украины. – 2003. – № 8. – С. 38–45.
13. Лотоцкий В.Л. Энтропия и негэнтропия // Перспективы науки и образования. – 2017. – № 1 (25). – С. 20–23.
14. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и ее приложений. – М.: Диалог-МГУ, 1998. – 81 c.
15. Открытая персональная интеллектуальная технология разработки и применения адаптивных методик оценки инвестиционной привлекательности и кредитоспособности предприятий / Е.В. Луценко, А.В. Коваленко, Е.К. Печурина, М.А.Х. Уртенов // Вестник Пермского университета. Серия «Экономика» = Perm University Herald. ECONOMY. – 2019. – Т. 14, № 1. – С. 20–50. DOI: 10.17072/1994-9960-2019-1-20-50
16. Математические методы и инструментальные средства отраслевой идентификации предприятий и организаций по видам экономической деятельности / А.О. Алексеев, И.Е. Алексеева, А.Р. Носкова, В.В. Кылосова, А.И. Князева // Известия Саратовского университета. Новая серия. Экономика. Управление. Право. – 2019. – № 2. – С. 172–180.
17. Борисова Л.В., Димитров В.П. Практикум по дисциплине «Теория нечетких множеств». – Ростов-н/Д., 2017. – 88 с.

Приводится анализ уровня развития цифровой экономики в Российской Федерации на основании индекса I-DESI и выделяется наиболее значимая отрасль для осуществления цифровой трансформации – отрасль разработки программного обеспечения. Данная значимость обуславливается динамикой развития рынка ИТ и структурой продукции ИТ-рынка России. В соответствии с особенностями данной отрасли проводится анализ возможности и направления применения процесса работы, ориентированного на данные и их анализ. На основании проведенного анализа делается вывод о возможности цифровой трансформации в области производства программного обеспечения и предлагается обобщенная модель управления человеческими ресурсами и проектами в организациях, специализирующихся на разработке программного обеспечения. Управление человеческими ресурсами и проектами, как правило, в рассматриваемой области осуществляется вручную и довольно часто неэффективно. Исходя из этого предлагаемая концептуальная модель включает в себя интеллектуальную систему поддержки принятия решений как ключевой элемент процесса работы управленческого персонала, при этом предполагает сохранение рабочих инструментов сотрудников. Применение предлагаемой модели способно повысить эффективность организаций, занимающихся разработкой программного обеспечения, а также стандартизацию данного процесса, взяв за его основу накопление и применение данных.

Ключевые слова: интеллектуальная система поддержки принятия решений, цифровая трансформация предприятия, управление предприятием, управление человеческими ресурсами, управление ИТ-проектами, разработка программного обеспечения, повышение производительности труда, цифровая экономика, система планирования производства, ERP-системы.

Чугунов Александр Петрович (Пермь, Россия) – кандидат технических наук, доцент кафедры «Вычислительная математика, механика и биомеханика», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: ap.chugunov@ gmail.com), ведущий менеджер проектов, ООО «Институт управления проектами» группы компаний «ИВС» (614007, Пермь, ул. Тимирязева, 24А,
e-mail: ap.chugunov@gmail.com).

1. International Digital Economy and Society Index 2018 / Официальный сайт Европейской комиссии. – URL: https://ec.europa.eu/newsroom/dae/docu­ment.cfm?doc_id=54991 (accessed 26 April 2020).
2. Амиров Р.А., Егоров Е.В. Цифровая экономика и актуальные задачи ее кадрового обеспечения в России // Управленческое консультирование. – 2018. – № 9. – С. 42–50.
3. Семернина С.А., Сомина И.В. Цифровая трансформация бизнеса. Зарубежный опыт // Вестник Самарского университета. Экономика и управление. – 2018. – Т. 9, № 2. – С. 25–31.
4. Кондратьев К.А., Колесников А.М. Тенденции и проблемы развития мирового ИТ-рынка // Известия Тульского государственного университета. Экономические и юридические науки. – 2013. – Т. 4–1. – С. 135–140.
5. ИТ-рынок России / Портал TAdviser. – URL: http://www.tadviser.ru/ index.php/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F:%D0%98% D0%A2-%D1%80%D1%8B%D0%BD%D0%BE%D0%BA_%D0%A0%D0%BE %D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B8 (accessed 26 April 2020).
6. Головенчик Г. Теоретические подходы к определению понятия «цифровая экономика» // Наука и инновации. – 2019. – № 2 (195). – С. 40–45.
7. Воскресенская Ю.В. Требования инновационной экономики к современным компаниям // Вестник Института экономики Российской академии наук. – 2015. – № 3. – С. 177–182.
8. Барбарская М.Н. Сущность процесса управления персоналом организации на современном этапе // Основы экономики, управления и права. – 2016. – № 4 (16). – С. 118–122.
9. Николаенко В.С. Разработка принципов управления ИТ-проектом // Вестник Томского государственного университета. – 2015. – № 390. – С. 155–160.
10. Тебекин А.В. Эволюция методов управления проектами: мировой опыт и перспективы развития // Российское предпринимательство. – 2017. – Т. 18, № 24. – С. 3969–3993.
11. Пучков И.И. Управление IT-проектами // Молодой ученый. – 2017. – № 49 (183). – С. 78–81.
12. Титов А.И. Управление рисками ИТ-проектов на основе компонентной структуры разрабатываемого программного обеспечения // Интеллектуальные технологии на транспорте. – 2017. – № 4. – С. 12–17.
13. Беляева М.А., Буреш О.В., Шаталова Т.Н. Разработка интегрированной системы поддержки принятия решений по управлению проектами в условиях неопределенности // Вестник Оренбургского государственного университета. – 2011. – № 13 (132). – С. 43–48.
14. Черняховская Л.Р., Малахова А.И. Интеллектуальная поддержка принятия решений в организационном управлении разработкой программных проектов // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. – 2013. – Т. 17, № 5 (58). – С. 195–199.
15. Полещук Ж.А., Гелета И.В. Использование информационных технологий в системе управления персоналом // Проблемы современной науки и образования. – 2017. – № 23 (105). – С. 28–31.
16. Тимофеев А.Г., Лебединская О.Г. Бизнес-аналитика в условиях цифровой трансформации государственного и корпоративного управления // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. – 2017. – № 9 (103). – URL: http://uecs.ru/uecs-103-1032017/item/4532-2017-09-19-11-54-48 (accessed 26 April 2020).
17. Мещеряков Н.А., Зарубицкий М.В. Управление созданием учетной информационной системы на базе системы отслеживания ошибок JIRA // Juvenis Scientia. – 2017. – № 5. – С. 5–7.
18. Тиханычев О.В., Макарцев Л.В., Гахов В.Р. Рациональная организация процесса разработки прикладного программного обеспечения как предпосылка успешной автоматизации поддержки принятия решений // Программные продукты и системы. – 2017. – Т. 30, № 4. – С. 706–710.
19. Варламов С.В., Скородумов П.В. Система управления проектами организации: анализ подходов и существующих программных решений // Вопросы территориального развития. – 2015. – Вып. 5 (25). – С. 1–10.

Для повышения конкурентоспособности отечественных вузов в России реализуется проект «5-100», в котором с 2013 по 2020 г. принял участие 21 университет, прошедший отбор по результатам дорожных карт, в которых обязательно должно (было) быть отражено международное сотрудничество, а также планы по развитию образовательных программ. В этом году запланировано подведение итогов программы. Интерпретация результатов может быть неоднородной, так как при оценке сложных многопараметрических объектов трудно выбрать параметры для сравнения. Метод кластеризации позволяет сгруппировать сходные объекты, задача исследователя при этом – интерпретация результатов. Сравнивать близкие по параметрам объекты всегда проще. В итоге получены две группы – «лидеры» и «отстающие» – для качественного анализа и составления рекомендаций по увеличению конкурентоспособности. Анализируется проблема оценки эффективности вузов по разным параметрам и по их совокупности. Кластеризация проведена методом иерархии в программе R. Исследовано 11 университетов из списка «5-100», информация о деятельности которых наиболее полно представлена в сети Интернет. Построено по данным, приведенным в отчетах о самообследовании университетов. Анализ проводился как по каждому из разделов отдельно, чтобы определить наиболее значимые параметры для вуза (образовательная, научно-исследовательская, международная, финансово-экономическая деятельность, инфраструктура и обучение инвалидов и лиц с ограниченными возможностями здоровья), так и по совокупности признаков.

Ключевые слова: иерархическая кластеризация, самообследование университетов, оценка деятельности вузов, проект «5-100», образовательная деятельность, научно-исследовательская деятельность, международная деятельность, финансово-экономическая деятельность, инфраструктура, обучение инвалидов и лиц с ограниченными возможностями здоровья.

Кузнецова Ольга Александровна (Самара, Россия) – кандидат экономических наук, доцент кафедры «Математические методы в экономике», Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева (443086, Самара, Московское шоссе, 34а, e-mail: olga_5@list.ru).

Клевина Мария Васильевна (Самара, Россия) – магистрант, направление подготовки «Международная экономика», Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева (443086, Самара, Московское шоссе, 34а, e-mail: mariya.klevina@mail.ru).

1. Юшкова Л.А., Неборская В.В. Международное сотрудничество в области высшего образования (на примере российских и немецких университетов) // Мир науки: интернет-журнал. – 2016. – Т. 4, № 4. – С. 34. – URL: http://mir-nauki.com/PDF/33PDMN416.pdf (дата обращения:  25.01.2020).

2. Статистическая информация в сфере научных исследований и разработок и в сфере высшего образования [Электронный ресурс] / Мин-во науки и высшего образ. Рос. Федерации. – URL: https://minobrnauki.gov.ru/ru/activity/ stat/highed/ (дата обращения: 18.01.2020).

3. Национальный рейтинг университетов [Электронный ресурс] – URL: https://academia.interfax.ru/ru/ratings/?rating=1&year=2019&page=1 (дата обращения: 25.01.2020).

4. RAEX: рейтинг вузов России [Электронный ресурс]. – URL: https://raex-rr.com/education/universities/rating_of_universities_of_russia (дата обращения: 25.01.2020).

5. The Times Higher Education World University Rankings. – URL: https://www.timeshighereducation.com/world-university-rankings (accessed 25 January 2020).

6. QS World University Rankings. – URL: https://www.topuniversities.com/ (accessed 25 January 2020).

7. Послание Президента Федеральному собранию // Офиц. сайт Президента России. – URL: http://www.kremlin.ru/ events/president/news/59863 (дата обращения: 18.01.2020).

8. Проект «5-100» [Электронный ресурс]. – URL: https://www.5top100.ru/ about/more-about/ (дата обращения: 18.01.2020).

9. Valadkhani A., Worthington A.C. Ranking and Clustering Australian University Research Performance. – 1998–2002. – URL: https://ro.uow.edu.au/ commpapers/203 (дата обращения: 18.01.2020).

10. Rad A., Naderi B., Soltani M. Clustering and ranking university majors using data mining and AHP algorithms: A case study in Iran // Expert Systems with Applications. – 2011. – Vol. 38, iss. 1. – P. 775–763. DOI: 10.1016/j.eswa.2010.07.029

11. Ключарев Г.А., Неверов А.В. Проект «5-100»: некоторые промежуточные итоги // Вестник РУДН. Социология. – 2018. – Т. 18, № 1. –
С. 100–116. DOI: 10.22363/2313-2272-2018-18-1-100-116

12. Кажрахимова А.А., Волкова А.И., Волковицкая З.С. Программа
«5-100»: перспективное будущее или пустая трата денег? // Вопросы студенческой науки. – 2018. – № 4. – С. 105–111.

13. Публикационная активность вузов: эффект проекта «5-100» [Электронный ресурс] / О.В. Польдин, Н.Н. Матвеева, И.А. Стерлигов, М.М. Юдкевич // Вопросы образования.– 2017. – № 2. – С. 10–37. – URL: https://vo.hse.ru/data/2017/06/28/1171136379/VO%202%202017%20web.pdf (дата обращения: 11.03.2020).

14. Шибанова Е.Ю., Платонова Д.П., Лисюткин М.А. Проект «5-100»: динамика и паттерны развития университетов // Университетское управление: практика и анализ. – 2018. – Т.22, № 3. – С. 32–48. DOI: 10.15826/итра.2018.03.025

15. Валько Д.В. Идентификация наукометрического паттерна университетов в проекте «5-100» на основе кластерного анализа [Электронный ресурс] // Управление в современных системах. – 2018. – № 1. – С. 44–48. URL: http://journal.inueco.ru/17_2018_7/ (дата обращения: 12.03.2020).

Настоящая статья продолжает исследования в рамках научного направления по эконофизике на кафедре информационных систем и математических методов в экономике экономического факультета ПГНИУ.

Моделирование и прогнозирование финансовых временных рядов является довольно перспективным направлением исследований, так как позволяет участникам финансовых процессов снижать риски и принимать эффективные решения. Например, исследовать процессы, происходящие на финансовых рынках, можно с помощью фрактального анализа. Изучен и детально проработан один из методов фрактального анализа финансовых временных рядов – метод клеточного покрытия для оценивания фрактальной размерности. Данный метод часто используется в исследованиях, проводимых отечественными авторами, однако авторы не углубляются в особенности и проблемы применения клеточного метода при анализе временных рядов, а значит, ответы на интересующие вопросы еще не даны. Основная проблема состоит в том, что, как правило, анализируемым объектом в задачах применения клеточного метода к временным рядам является компьютерное изображение графика ряда. Предложена методика адаптации клеточного метода для оценки фрактальной размерности временных рядов, не требующая формирования компьютерного изображения графика. Рассмотрены возникающие при такой адаптации трудности, среди которых: 1) высокая чувствительность получаемой оценки размерности к входным параметрам метода (соотношение сторон плоскости с графиком, покрываемой клетками; используемый диапазон длин стороны клетки; количество разбиений плоскости на клетки); 2) неочевидность выбора оптимальных значений этих параметров. Проанализированы подходы к выбору этих параметров, предложенные другими авторами, определены наиболее подходящие из них для адаптированного метода клеточного покрытия. Разработаны оригинальные способы определения соотношения сторон плоскости с графиком. Написана компьютерная программа, реализующая разработанную методику, произведена ее апробация на сгенерированных данных.

В ходе исследования получены следующие результаты. Подтвержден факт чувствительности адаптированного метода клеточного покрытия к входным параметрам, что говорит о высокой важности правильного выбора этих параметров. Выявлена несостоятельность предложенных способов автоматического определения соотношения сторон плоскости применительно к искусственным временным рядам. Наиболее точные (в статистическом смысле) оценки фрактальной размерности, найденные с помощью адаптированного клеточного метода, получены при фиксированном соотношении сторон 1:1. При сравнении адаптированного клеточного метода и
R/S-анализа наиболее точные оценки фрактальной размерности получены вторым методом.

Сформулированы возможные направления дальнейших исследований: 1) сравнение точности различных методов оценивания фрактальной размерности на рядах разной длины;
2) сравнение методов фрактального анализа и p-адического анализа при моделировании и прогнозировании финансовых временных рядов; 3) определение условий применимости различных методов; 4) апробация разработанных способов определения соотношения сторон плоскости с графиком на реальных экономических данных.

Ключевые слова: метод клеточного покрытия, фрактальная размерность, показатель Херста, финансовые временные ряды, R/S-анализ, фрактальный анализ, эконофизика, фрактальное броуновское движение, процессы с длинной памятью, вычислительная геометрия, программная реализация, Python, R.

Гарафутдинов Роберт Викторович (Пермь, Россия) – аспирант кафедры «Информационные системы и математические методы в экономике», Пермский государственный национальный исследовательский университет (614990, Пермь, ул. Букирева, 15; e-mail: rvgarafutdinov@gmail.com).

Ахуньянова Софья Алексеевна (Пермь, Россия) – аспирант кафедры «Информационные системы и математические методы в экономике», Пермский государственный национальный исследовательский университет (614990, Пермь, ул. Букирева, 15; e-mail: sofi_perm@mail.ru).

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Ин-т комп. исслед. – М., 2002. – 656 с.
2. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: применение теории хаоса в инвестициях и экономике. – М.: Интернет-трейдинг, 2004. – 304 с.
3. Симонов П.М., Гарафутдинов Р.В. Моделирование и прогнозирование динамики курсов финансовых инструментов с применением эконометрических моделей и фрактального анализа // Вестник Пермского университета. Серия «Экономика» = Perm University Herald. ECONOMY. – 2019. – Т. 14, № 2. – С. 268–288. DOI: 10.17072/1994-9960-2019-2-268-288
4. Старченко Н.В. Индекс фрактальности и локальный анализ хаотических временных рядов: дис. … канд. физ.-мат. наук: 05.13.18, 01.01.03. – М., 2005. – 122 с.
5. Антонова И.В., Чикина Н.А. Применение методов фрактального анализа к исследованию временных рядов // Вестник Национального технического университета «Харьковский политехнический институт». Информатика и моделирование. – 2015. – № 32 (1141). – С. 4–10.
6. Балагула Ю.М. Фрактальные характеристики длинной памяти в ценах на электроэнергию // Финансы и бизнес. – 2017. – № 1. – С. 104–113.
7. Gneiting T., Ševčíková H., Percival D.B. Estimators of fractal dimension: assessing the roughness of time series and spatial data // Statistical Science. – 2012. – Vol. 27, no. 2. – P. 247–277. DOI: 10.1214/11-STS370
8. Водолазский А.А. Начала эконофизики и количественная определенность первых экономических законов. – Новочеркасск: НОК, 2013. – 227 с.
9. Андрианов Д.Л., Симонов П.М. Обзор методов экономико-математического моделирования, основанных на принципах эконофизики. Часть I // Прикладная математика и вопросы управления. – 2020. – № 1. – С. 161–181. DOI: 10.15593/2499-9873/2020.1.10
10. Garafutdinov R., Gurova E. The formation of investment portfolios based on forecasted income with the use of fractal models // Mathematical Modeling. – 2019. – Vol. 3, iss. 3. – P. 86–88.
11. Гарафутдинов Р.В. К задаче классификации участков финансовых временных рядов различной фрактальной размерности // Татищевские чтения: актуальные проблемы науки и практики: материалы XVII Междунар. науч.-практ. конф., г. Тольятти, 24–25 апреля 2020 г.: в 3 т. Т. 1. Гуманитарные и социальные науки, образование. Актуальные проблемы социально-экономического развития / Волж. ун-т им. В.Н. Татищева. – Тольятти: Изд-во ВУиТ, 2020. – С. 226–230.
12. Симонов П.М., Филимонова С.А. P-адическое моделирование динамики индекса РТС в зависимости от таймфреймов // Вестник Пермского университета. Серия «Экономика» = Perm University Herald. ECONOMY. – 2016. – № 4(31). – С. 74–85. DOI: 10.17072/1994-9960-2016-4-74-85
13. Симонов П.М., Ахуньянова С.А. Сравнительный анализ методик AR-GARCH и p-адического прогнозирования волатильности финансового рынка // Вестник Пермского университета. Серия «Экономика» = Perm University Herald. ECONOMY. – 2019. – Т. 14, № 1. – С. 69–92. DOI: 10.17072/1994-9960-2019-1-69-92
14. Кривоносова Е.К., Первадчук В.П. Использование фрактального подхода для анализа стабильности многоуровневых структур // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Машиностроение, материаловедение. – 2013. – Т. 15, № 1. – С. 63−69.
15. Балагула Ю.М., Абакумова Ю.А. Длинная память на рынке нефти: спектральный подход. – СПб.: Изд-во ЕУСПб., 2011. – 40 с. (Препринт Ес-01/11.)
16. Кривоносова Е.К. Разработка методов прогнозирования и анализа кредитных и инвестиционных рисков с применением фрактальных и мультифрактальных характеристик: дис. … канд. экон. наук: 08.00.13. – Пермь, 2015. – 167 с.
17. Гарафутдинов Р.В. Обзор методов оценивания фрактальных характеристик финансовых временных рядов // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем: материалы XIII Междунар. науч.-техн. конф., г. Пенза, 4–6 декабря 2018 г. / Пенз. гос. ун-т. – Пенза: Изд-во ПГУ, 2018. – С. 97–103.
18. Аптуков В.Н., Митин В.Ю. Фрактальный анализ метеорологических рядов с помощью метода минимального покрытия // Географический вестник. – 2019. – № 2 (49). – С. 67–79. DOI: 10.17072/2079-7877-2019-2-67-79
19. Белолипцев И.И., Фархиева С.А. Предсказание финансовых временных рядов на основе индекса фрактальности [Электронный ресурс] // Мир Науки. – 2014. – Вып. 3. – URL: https://mir-nauki.com/PDF/01EMN314.pdf (дата обращения: 10.05.2020).
20. Сизов А.А. Модели, способы и программные средства поддержки принятия решений на основе прогнозирования временных рядов с переменной структурой: дис. … канд. техн. наук: 05.13.17. – Смоленск, 2014. – 139 с.
21. Pilgrim I., Taylor R. Fractal analysis of time-series data sets: methods and challenges. Fractal analysis. – UK: InTech, 2018. – Chapter 2. – 26 p. DOI:10.5772/intechopen.81958
22. Kenkel N.C. Sample size requirements for fractal dimension estimation // Community Ecology. – 2013. – Vol. 14. – P. 144–152. DOI: 10.1556/ComEc.14.2013.2.4
23. Rosenberg E. Minimal box size for fractal dimension estimation // Community Ecology. – 2016. – Vol. 17. – P. 24–27. DOI: 10.1556/168.2016.17.1.4
24. Андреева Е.В., Егоров Ю.Е. Вычислительная геометрия на плоскости // Информатика. – 2002. – № 40. – С. 28–31.
25. Чичаев И.А., Попов В.Ю. Об одном подходе к вычислению индекса Херста финансовых временных рядов и их аппроксимации фрактальным броуновским движением [Электронный ресурс] // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 2. – URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=8698 (дата обращения: 10.05.2020).