Математическое моделирование многих задач естествознания приводит к необходимости исследования квазилинейных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с линейной частью, не являющейся разрешимой однозначно для всех правых частей. Специфика таких задач состоит в том, что соответствующий линейный оператор не является обратимым. В литературе такие краевые задачи принято называть резонансными. С 70-х гг. прошлого столетия началась разработка методов исследования резонансных краевых задач, рассматриваемых как одно операторное уравнение. Весьма важным с точки зрения приложений направлением исследований является применение общих утверждений для изучения периодических краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.

Рассматривается задача о существовании ω-периодического решения уравнения Льенара с отклоняющимся аргументом вида

Предполагается, что функция p(t) измерима и  С помощью подхода, основанного на применении теорем существования для квазилинейного операторного уравнения, в работе получены достаточные условия существования хотя бы одного ω-периодического решения рассматриваемого уравнения. Полученный результат уточняет некоторые известные результаты для уравнения Льенара. Особенность полученного результата состоит в том, что при выполнении условия

вид отклонения не влияет на существование решения.

Ключевые слова: уравнение Льенара, отклонение аргумента, периодическая задача, существование решения, резонансный случай, операторное уравнение, нетеров оператор, банахово пространство, вполне непрерывный оператор, норма оператора.

Абдуллаев Абдула Рамазанович (Пермь, Россия) – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая матема­тика», Пермский национальный исследовательский политехнический универ­ситет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: h.m@pstu.ru).

Савочкина Анна Александровна (Пермь, Россия) – старший препода­ватель кафедры «Высшая математика», Пермский национальный исследова­тельский политехнический университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: a.a.savochkina@pstu.ru).

1. Van der Pol B. On oscillation hysteresis in a triode generator with two degrees of freedom // The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. – 1922. – No. 43. – P. 700–719. DOI: http://dx.doi.org/10.1080/14786442208633932

2. Pernarowski M., Miura R.M., Kevorkian J. The Sherman-Rinzel-Keizer model for bursting electrical activity in the pancreatic β-cell // Differential Equations Models in Biology, Epidemiology and Ecology, Proceedings of a Conference held in Claremont California, January 13–16. – California, 1990. – P. 34–53.

3. Neto A.L., W. de Melo, Pugh C.C. On lienard equations // Proc. Symp. Geom. and Topol., Springer Lectures Notes in Mathematics. – 1977. – Vol. 597. – P. 335–357.

4. Caubergh M., Dumortier F. Hilbert’s 16th problem for classical Li´enard equations of even degree // Journal of Differential Equations. – 2008. – Vol. 244(6). – P. 1359–1394.

5. Чуйко С.М., Чуйко А.С., Несмелова О.В. Периодическая задача для уравнения Льенара, не разрешенного относительно производной в критическом случае // Труды Института проблем математики и механики. – 2015. – Т. 29. – С. 158–171.

6. Абдуллаев А.Р., Савочкина А.А. Периодические решения уравнения Ван дер Поля с отклоняющимся аргументом // Вестник ИжГТУ. – 2011. –
№ 3 (51). – С. 174–177.

7. Савочкина А.А. Периодическая задача для уравнения Льенара с отклоняющимся аргументом // Научно-технический вестник Поволжья. – 2011. – № 4. – С. 77–80.

8. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологически нетеровых операторов: учеб. пособие / Челяб. гос. ун-т. – Челябинск, 1994. – 93 с.

9. Абдуллаев А.Р., Скачкова Е.А. Периодическая краевая задача для дифференциального уравнения четвертого порядка // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2013. – № 13. – С. 3–10.

10. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений: монография. – М.: Мир, 1964. – 466 с.

В классе измеримых (в смысле Лебега) и ограниченных управляющих вектор-функций рассматривается одна негладкая задача оптимального управления системой Гурса – Дарбу с многоточечным функционалом качества, являющаяся обобщением терминального типа функционала. Применяя один модифицированный вариант метода приращений и предполагая что  правая часть уравнения и функционал качества по вектору состояния имеют производные по любому направлению, доказали необходимое условие оптимальности в терминах производной по направлению, носящее довольно общий характер. Рассмотрен случай квазидифференцируемого функционала качества. В частности, изучена задача минимакса. В предположении выпуклости области управления, с учетом свойств недифференцируемых функций, установлено необходимое условие оптимальности, являющееся аналогом линеаризованного интегрального принципа максимина, имеющее конструктивный характер и обобщающее поточечный линеаризованный (дифференциальный) принцип максимума.

Ключевые слова: негладкая задача оптимального управления системами Гурса – Дарбу, производная по направлению, квазидифференцируемый функционал, задача на минимакс, выпуклая область управления, линеаризованный интегральный принцип максимина, дифференциальный принцип максимума.

Рамазанова Говхар Шабан гызы (Баку, Азербайджанская Республика) – научный сотрудник и диссертант, Институт систем управления НАН Азербайджана (Az 1141, Баку, ул. Б. Вагабзаде, 68, e-mail: akja@rambler.ru).

1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. – М.: ЛИБРОКОМ, 2011. – 272 c.

2. Демьянов В.Ф., Никулина В.Н., Шаблинская И.Р. Задача оптимального управления негладкими дифференциальными связями // Дифференциальные уравнения. – 1985. – Т. 21, № 8. – С. 1324–1330.

3. Негладкие задачи теории оптимизации и управления / В.Ф. Демья­нов, Т.К. Виноградова, В.Н. Никулина [и др.]; под ред. В.Ф. Демьянова. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. – 322 с.

4. Виноградова Т.К., Демьянов В.Ф. К необходимым условиям в минимаксных задачах управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1974. – Т. 12, № 1. – С. 232–236.

5. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. – М.: Наука, 1990. – 432 с.

6. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемыми системами Гурса – Дарбу // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1972. – Т. 12, № 1. – С. 61–77.

7. Гасанов К.К., Гасанова Л.К. Теорема существования и единственности для нелинейных систем Гурса – Дарбу // Вестник Бакинского университета. Сер. физ.-мат. наук. – 2012. – № 4. – С. 37–44.

8. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. – М.: Наука, 1981. – 384 с.

9. Ахиев С.С., Ахмедов К.Т. Об интегральном представлении решений некоторых систем дифференциальных уравнений // Известия АН Азерб. ССР. Сер. физ.-техн. и матем. наук. – 1973. – № 2. – С. 116–120.

10. Демьянов В.Ф. Минимакс. Дифференцируемость по направлениям. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1974. – 185 с.

11. Егоров А.И. Об оптимальном управлении процессами в некоторых системах с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. –1964. – Т. 25, вып. 5. – C. 613–623.

12. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 2. Оптимальное управление / под ред. А.П. Меренкова. – Новосибирск: Наука: Сиб. отд-ние, 1990. – 148 с.

13. Альсевич В.В. Необходимые условия оптимальности для минимаксных задач оптимизации // Дифференциальные уравнения. –1976. – Т. 12, № 8. – С. 1384–1391.

Получена новая теорема и алгоритм приближенной идентификации параметров и неизмеряемых внешних воздействий для математических моделей реальных объектов. Эта задача идентификации имеет ключевое значение для построения математических моделей в реальных приложениях математики.

Ключевые слова: математическая модель, параметрическая идентификация, неизмеряемые внешние воздействия, реальные объекты.

Култышев Сергей Юрьевич (Пермь, Россия) – старший научный сотрудник научно-исследовательского центра функционально-дифференциаль­ных уравнений, Пермский национальный исследоватсльский политехнический университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: kultyshev.su@yandex.ru).

Култышева Людмила Михайловна (Пермь, Россия) – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Прикладная математика», Пермский национальный исследоватсльский политехнический университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: kultysheva.lm@yandex.ru).

1. Сейдж Э.П., Мелса Д.Л. Идентификация систем управления. – М.: Наука, 1974. – 248 с.

2. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. – М.: Мир, 1975. – 684 с.

3. Гроп Д. Методы идентификации систем. – М.: Мир, 1979. – 302 с.

4. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. – М.: Наука, 1991. – 432 с.

5. Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. – М.: Мир, 1974. – Кн. 1. – 406 с.; кн. 2. – 195 с.

6. Култышев С.Ю., Култышева Л.М. К вопросу об идентификации функционально-дифференциальных систем с последействием // Известия вузов. Математика. – 1998. – № 3. – С. 16–27.

7. Култышев С.Ю., Култышева Л.М. Об идентификации некоторых классов операторных моделей эволюционного типа // Известия вузов. Математика. – 2004. – № 6. – С. 30–40.

8. Култышев С.Ю., Култышева Л.М. Гарантированные оценки искомых параметров в задаче идентификации математических моделей реальных объектов // Наука и бизнес: пути развития. – 2014. – № 3 (33). – С. 47–52.

9. Култышев С.Ю., Култышева Л.М. Приближенная идентификация при измерениях с погрешностями // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Прикладная математика и механика. – 2010. – № 15. – С. 53–61.

10. Култышев С.Ю., Култышева Л.М. Идентификация математических моделей реальных объектов: теория и приложения. – Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2017. – 330 c.

11. Гельфандбейн Я.А., Колосов Л.В. Ретроспективная идентификация возмущений и помех. – М.: Сов. радио, 1972. – 232 с.

12. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1984. – 752 с.

13. Максимов В.П. О некоторых обобщениях дифференциальных уравнений, краевых задачах и их приложениях к задачам экономической динамики // Вестник Пермского государственного технического университета. – 1997. – № 4. – С. 103–120.

14. Симонов П.М. Экономико-математическое моделирование. Динамические модели экономики: учеб. пособие: в 2 ч. / Перм. гос. ун-т. – Пермь, 2009. – Ч. 2. – 273 с.

15. Култышев С.Ю., Култышева Л.М., Милюша М.В. Идентификация математической модели при наличии неизмеряемых внешних воздействий на моделируемый объект [Электронный ресурс] // Дифференциальные уравнения и процессы управления. – 2018. – № 3. – С. 124–142. – URL: https://diffjournal.spbu.ru/pdf/kultyshev.pdf (дата обращения: 22.07.2019).

16. Вычисление параметров мгновенного сердечного ритма в модели мультифрактальной динамики регуляризованным методом Ньютона / С.А. Михеев, В.М. Рыжиков, В.П. Цветков, И.В. Цветков // Математическое моделирование. – 2017. – Т. 29, № 12. – С. 147–156.

17. Аунг Чжо Со, Макаренков А.М., Мио Паинг Сат Идентификация случайных параметров математической модели электрогидравлического следящего привода // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 2. – С. 231–235.

18. Ломов А.А. Совместная идентифицируемость параметров линейных динамических уравнений объекта и помех // Идентификация систем и задачи управления: тр. Х Междунар. конф., г. Москва, 26–29 января 2015 г. / Ин-т проблем упр. им. В.А. Трапезникова РАН. – М., 2015. – C. 843–853.

19. Масляев С.И. Идентификация математической модели нелинейных составных объектов [Электронный ресурс] // Электроника и информационные технологии. – 2009. – Вып. 2 (7). – С. 5. – URL: http://fetmag. mrsu.ru/2009-3/pdf/identification_of_the_mathematical_model.pdf (дата обращения: 22.07.2019).

20. Иванов Д.В., Кацюба О.А. Рекуррентная параметрическая идентификация многомерных линейных динамических систем с автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физико-математические науки. – 2011. – № 4(25). – С. 102–109.

21. Никишев В.К. Методы построения и исследования моделей динамических объектов и систем на основе компьютерного моделирования. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2014. – 332 с.

22. Пучков В.Ф., Грацинская Г.В. Методология построения математических моделей и оценка параметров динамики экономических систем. – М.: Креативная экономика, 2011. – 240 с.

Излагаются математические модели механизмов умного управления, которые могут быть использованы в организационной системе управления промышленными предприятиями.

Для повышения эффективности управления предложены следующие механизмы: механизм распределения ресурсов (механизм прямых приоритетов, обратные приоритеты, конкурентный механизм, механизм открытого управления), механизм активного опыта (механизм усреднения мнений экспертов, механизмы, основанные на медианных схемах), механизм внутренних цен, ценообразование и механизмы налогообложения, механизм оптимизации цепочки поставок, механизм выбора ассортимента, механизмы стимулирования (стимулы для индивидуальных результатов, коллективные результаты и механизм оплаты бригады), интегрированных механизмов.

Ключевые слова: промышленные предприятия, умное управление, организационное управление, механизмы управления, разработка механизмов, механизм распределения ресурсов, механизм внутренних цен, механизм оптимизации цепочки поставок, механизм выбора ассортимента, механизмы стимулирования.

Бурков Владимир Николаевич (Москва, Россия) – доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, главный научный сотрудник лаборатории активных систем, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (117997, Москва, ул. Профсоюзная, 65, e-mail: dan@ipu.ru).

Логиновский Олег Витальевич (Челябинск, Россия) – доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, заведующий кафедрой «Информационно-аналитическое обеспечение управления в социальных и экономических системах», Южно-Уральский государственный университет (454080, Челябинск, просп. Ленина, 76, e-mail: loginovskiiov@susu.ru).

Дранко Олег Иванович (Москва, Россия) – доктор технических наук, доцент, профессор кафедры «Инновационный менеджмент», Московский физико-технический институт (141701, Московская обл., Долгопрудный, Институтский пер., 9, e-mail: olegdranko@gmail.com).

Голлай Александр Владимирович (Челябинск, Россия) – кандидат химических наук, доцент кафедры «Информационно-аналитическое обеспечение управления в социальных и экономических системах», Южно-Уральский государственный университет (454080, Челябинск, просп. Ленина, 76, e-mail: gollaiav@susu.ru).

1. Коренная К.А., Логиновский О.В., Максимов А.А. Интегрированные информационные системы промышленных предприятий: монография / под ред. А.Л. Шестакова; ЮУрГУ. – Челябинск, 2012. – 315 с.
2. Коренная К.А., Максимов А.А. Математические модели в управлении промышленными предприятиями: монография / под ред. А.Л. Шестакова; ЮУрГУ. – Челябинск, 2011. – 327 с.
3. Коренная К.А., Логиновский О.В., Максимов А.А. Управление промышленными предприятиями в условиях глобальной нестабильности: монография / под ред. А.Л. Шестакова; ЮУрГУ. – Челябинск, 2013. – 403 с.
4. Логиновский О.В., Максимов А.А. Корпоративное управление. – М.: Машиностроение, 2007. – Т. 2. – 624 с.
5. Логиновский О.В., Максимов А.А. Управление промышленным предприятием. – М.: Машиностроение, 2006. – Т. 1. – 603 с.
6. Бурков В.Н., Коргин Н.А., Новиков Д.А. Введение в теорию управления организационными системами / под ред. Д.А. Новикова. – М.: ЛИБРОКОМ, 2009. – 264 с.
7. Механизмы корпоративного управления / В.Н. Бурков, И.А. Агеев, Е.А. Баранчикова [и др.]; ИПУ РАН. – М., 2004. – 109 с.
8. Бурков В.Н., Буркова И.В., Губко М.В. Механизмы управления: Управление организацией: планирование, организация, стимулирование, контроль: учеб. пособие / под ред. Д.А. Новикова. – М.: Ленанд, 2013. – 216 с.
9. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. – М.: Высшая школа, 2008. – 208 с.
10. Smart management methods and mechanisms of industrial enterprises and organizations / V.N. Burkov, I.V. Burkova, Ya.D. Gelrud, O.V. Loginovskiy // Bulletin of SUSU. Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics. – 2016. – Vol. 16, no. 3. – P. 93–101.
11. Mas-Collel A., Whinston M.D., Green J.R. Microeconomic theory. – N.Y.: Oxford Univ. Press, 1995. – 981 p.
12. Copeland T.E., Weston J.F. Financial theory and corporate finance. – 4th ed. – Boston: Addison-Wesley, 2004. – 960 p.
13. Новиков Д.А. Теория управления организационными системами. – М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2012. – 604 с.
14. Shoham Y., Leyton-Brown K. Multiagent systems: algorithmic, game-theoretic, and logical foundations. – Cambridge: Cambridge University Press, 2008. – 504 p.
15. Nyhuis P., Wiendahl H-P. Fundamentals of production logistics: theory, tools and applications. – Berlin: Springer, 2009. – 336 p.
16. Christopher M. Logistics & supply chain management. – London: FT Publishing International, 2016. – 328 p.
17. Worley C.G., Williams T.D., Lawler E.E. The Agility Factor: Building Adaptable Organizations for Superior Performance. – US: FT Jossey-Bass, 2014. – 208 p.
18. Губко М.В. Математические модели оптимизации иерархических структур. – M.: Ленанд, 2006. – 264 p.
19. Baron R.A., Greenberg J. Behavior in organizations. – 9th ed. – New Jersey: Pearson Education Inc., 2008. – 720 p.
20. Turban E., Pollard C., Wood G. Information technology for management: advancing sustainable, profitable business growth. – John Wiley & Sons, 2015. – 386 p.

В первой части работы была описана модель непрерывного календарного планирования строительства группы скважин с использованием выделенных трудовых ресурсов и технических средств. Предложен многоэтапный комбинаторный алгоритм поиска эффективного календарного плана выполнения работ, основанный на методах динамического программирования и агрегирования. В настоящей части на простом числовом примере анализируется практическая эффективность комбинаторных алгоритмов поиска в зависимости от наличия информации о дебите новых скважин. Характерно, что календарные планы, полученные с помощью программно реализованных комбинаторных алгоритмов поиска, согласуются с общепонятными приемами составления «ручных» расписаний. Этот факт позволяет контролируемо снижать размерность задач комбинаторного анализа. Предложена мультипликативная формула расчета времени строительства скважины с учетом ее сложности и квалификации буровой бригады. Сформулированы количественные показатели эффективности, позволяющие проводить отбор альтернативных календарных планов. Описана процедура отсева «клоновых» решений с использованием матрицы расстояний Хэмминга.

Ключевые слова: нефтегазодобывающие предприятия, массовое строительство буровых скважин, непрерывное календарное планирование, комбинаторный поиск, динамическое программирование, агрегирование, многоальтернативные решения, расстояния Хэмминга, оптимизация распределения ресурсов, график движения буровых бригад.

Калянов Георгий Николаевич (Москва, Россия) – доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории 49 «Автоматизация проектирования и управления многоцелевыми объектами», Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (117997, Москва, ул. Профсоюзная, 65, e-mail: kalyanov@mail.ru).

Титов Николай Николаевич (Москва, Россия) – кандидат технических наук, исполнительный директор, ООО «НВП МОДЕМ» (121108, Москва, Можайское шоссе, 29, e-mail: nikoltit@yandex.ru).

Шибеко Виктор Николаевич (Гомель, Республика Беларусь) – старший преподаватель кафедры «Информатика», Гомельский государственный техни­чес­кий университет им. П.О. Сухого (246746, Гомель, пр. Октября, 48, e-mail: svn20070809@gmail.com).

1. Калянов Г.Н., Титов Н.Н., Шибеко В.Н. Поиск эффективных решений задач непрерывного календарного планирования // Информационные технологии и вычислительные системы. – 2018. – № 1. – С. 85–98.

2. Задачи распределения ресурсов в управлении проектами / С.А. Бар­ка­лов, И.В. Буркова, А.В. Глаголев, В.И. Колпачев; ИПУ РАН. – М., 2002. – 65 с.

3. Лазарев А.А., Гафаров Е.Р. Теория расписаний. Задачи и алгоритмы. – М.: Изд-во МГУ, 2011. – 222 с.

4. Титов Н.Н. Разработка системы поддержки непрерывного календарного планирования: Экономико-математическое обеспечение крупной буровой компании. – Саарбрюкен: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2017. – 80 с.

5. Кнут Д.Э. Искусство программирования. Т. 4А. Комбинаторные алгоритмы. – М.: Вильямс, 2013. – Ч. 1. – 955 с.

6. Калянов Г.Н., Титов Н.Н., Шибеко В.Н. Информационная система поддержки принятия управляющих решений по данным станции контроля параметров бурения // Автоматизация в промышленности. – 2014. – № 4. – С. 61–64.

7. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Гилязов И.М. Методы агрегирования в управлении проектами / ИПУ РАН. – М., 1999. – 55 с.

8. Аничкин А.С., Семенов В.А. Объектно-ориентированный каркас для программной реализации приложений теории расписаний // Труды ИСП РАН. – 2017. – Т. 29, вып. 3. – С. 247–296. DOI: 10.15514/ISPRAS-2017-29(3)-14

9. Головкин Б.А. Расчет характеристик и планирование параллельных вычислительных процессов. – М.: Радио и связь, 1983. – 272 с.

10. Гончар Д.Р., Фуругян М.Г. Эффективные алгоритмы планирования вычислений в многопроцессорных системах реального времени // Управление большими системами. – 2014. – Вып. 49. – С. 269–296.

На примере системы поддержки принятия управленческого решения в области утверждения бюджета доходов и расходов предприятия применяется метод анализа иерархий. Описывается процесс решения поставленной задачи вышеизложенным методом. Рассматриваются сильные и слабые стороны данного метода, на основе наиболее важных проблем проводятся следующие исследования: изучается зависимость согласованности матрицы и рассматривается чувствительность приоритетов от общего числа критериев. Формулируются выводы, полученные в результате проведенных исследований, приводятся рекомендации по применению метода.

Ключевые слова: теория принятия решений, управленческие решения, метод анализа иерархий, согласованность матрицы, система поддержки принятия решений.

Ананьев Кирилл Андреевич (Липецк, Россия) – аспирант кафедры «Прикладная математика», Липецкий государственный технический университет (398055, Россия, Липецк, ул. Московская, 30, e-mail: ananevka@mail.ru).

1. Щиборщ К.В. Бюджетирование деятельности промышленных предприятий России. – М.: Дело и Сервис, 2001. – 544 с.

2. Хемди А. Таха. Теория игр и принятия решений. – М.: Вильямс, 2007. – 549 с.

3. Друри К. Управленческий и производственный учет. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2016. – 735 с.

4. Блюмин С.Л., Шуйкова И.А. Модели и методы принятия решений в условиях неопределенности / ЛЭГИ. – Липецк, 2001. – 138 с.

5. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – 5-е изд., испр. – М.: Добросвет, 1998. – 320 с.

6. Бобков С.П., Бобкова В.А. Информатика. Ч. 3. Основы вычислительной математики: метод. указания и контр. раб. для студ. заоч. обучения /
ИвГУ. – Иваново, 2003. – 32 с.

7. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. – М.: Радио и связь, 1993. – 278 с.

8. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование: Теория принятия решений. – М.: КНОРУС, 2010. – 568 с.

9. Тутыгин А.Г., Коробов В.Б. Преимущества и недостатки метода анализа иерархий // Известия Рос. гос. пед. ун-та им. А.И. Герцена. – 2010. – № 122. – С. 108–115.

10. May K.Q. Intransitivity, utility, and the aggregation of preference patterns // Econometrica. – 1954. – Vol. 22, no. 1. – P. 1–3.

11. Karthikeyan R., Venkatesan K.G.S., Chandrasekar A. A Comparison of strengths and weaknesses for analytical hierarchy process // J. of Chem. and Pharmac. Scie. – 2016. – Vol. 9, iss. 3. – P. S12–S15.

12. Senay O. Why fuzzy analytic hierarchy process approach for transport problems? // 51st Congress of Europ. Reg. Sci. Assoc. – ERSA, 2011. – Р. 19. – URL: http://www-sre.wu.ac.at/ersa/ersaconfs/ersa11/e110830aFinal00438.pdf
(accessed 18 December 2019).

13. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.

14. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.: Дрофа, 2003. – 704 с.

Описывается модель сложной организационной системы управления, в рамках которой одновременно реализуется несколько подходов: функциональный, процессный и проектный. Обосновывается актуальность применения механизмов комплексного оценивания к задачам управления в организационных системах, в частности к решению задач согласованного принятия решений. Описываются причины несогласованности интересов в процессе принятия решений. Приводятся примеры задач управления в организационных системах. Детально рассматривается пример решения задачи отбора проектов в портфель с помощью механизма комплексного оценивания. Приводится совокупность критериев оценки и описываются матрицы свертки, которые получаются в результате парных сравнений показателей. Предлагается дальнейший план развития механизма оценки проекта по трем уровням, включая оценку рисков, с учетом ранга эксперта.

Ключевые слова: организационная система, матричная структура, согласование интересов, бизнес-процессы, проекты, задача многокритериального выбора, критерии отбора проекта, дерево критериев, матричные свертки, механизм комплексного оценивания.

Катаева Татьяна Александровна (Пермь, Россия) – начальник бюро управления проектами, ПАО «Пермская научно-производственная приборостроительная компания»; аспирант кафедры «Строительный инжиниринг и материаловедение», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: tatyana.kataeva2014@yandex.ru).

1. Катаева Т.А. Содержательная постановка задачи согласования интересов агентов в организационной иерархии // XIII Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2019), г. Москва, 17–20 июня 2019 г. /
Ин-т пробл. упр-я им. В.А. Трапезникова РАН, Москва, 17-20 июня 2019 г. – М.: ИПУ РАН. – С. 2304–2309.

2. Henriksen A.D., Traynor A.J. A practical R&D project-selection scoring tool // IEEE Transactions on Engineering Management. – 1999. – Vol. 46, iss.2. – P. 158–170. DOI:  10.1109/17.759144

3. Meade L.M., Presley A. R&D project selection using the analytic network process // IEEE Transactions on Engineering Management. – 2002. – Vol. 49, iss. 1. – P. 59–66. DOI: 10.1109/17.985748

4. Lee J.W., Kim S.H. Using analytic network process and goal programming for interdependent information system project selection // Computers & Operations Research. – 2000. – Vol. 27, iss. 4. – P. 367–382. DOI: 10.1016/S0305-0548(99)00057-X

5. Lee J.W., Kim S.H. An integrated approach for interdependent information system project selection // International Journal of Project Management. – 2001. – Vol. 19, iss. 2. – P. 111–118. DOI: 10.1016/S0263-7863(99)00053-8

6. Подиновский В.В., Подиновская О.В. О некорректности метода анализа иерархий // Проблемы управления. – 2011. – № 1. – С. 8–13.

7. Подиновский В.В., Подиновская О.В. Еще раз о некорректности метода анализа иерархий // Проблемы управления. – 2012. – № 4. – С. 75–78.

8. Подиновская О.В., Подиновский В.В. Анализ иерархических многокритериальных задач принятия решений методами теории важности критериев // Проблемы управления. – 2014. – № 6. – С. 2–8.

9. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять проектами: науч.-практ. изд. – М.: Синтег-ГЕО, 1997. – 190 с.

10. Курочка П.Н. Моделирование задач организационно-технологи­ческого проектирования / ВГАСУ. – Воронеж, 2004. – 204 с.

11. Харитонов В.А., Винокур И.Р., Белых А.А. Функциональные возможности механизмов комплексного оценивания с топологической интерпретацией матриц свертки // Управление большими системами: сб. тр. – 2007. – Вып. 18. – С.129–140.

12. Харитонов В.А., Винокур И.Р., Белых А.А. Современные технологии комплексного оценивания научно-технических проектов // Космический вызов XXI века. Новые материалы и технологии для ракетно-комической техники: мат. междунар. шк.-конф. (SPACE-2006), г. Сева­сто­поль, 23–30 сентября 2006 г. / Ин-т хим. физ. им. Н.Н. Семенова РАН. – М., 2007. – Т. 3. – С. 429–433.

13. Алексеев А.О. Классификация механизмов комплексного оценивания сложных объектов // Информационные и математические методы в науке и управлении. – 2018. – № 2 (10). – С. 114–120.

14. Алексеев А.О. Комплексное оценивание сложных объектов в условиях неопределенности // Прикладная математика и вопросы управления. – 2019. – № 2. – С. 103–131.

15. Алексеев А.О. Исследование устойчивости механизмов комплексного оценивания к стратегическому поведению агентов (на примере согласования политики организации в области риск-менеджмента) // Прикладная математика и вопросы управления. – 2019. – № 4. – С. 136–154.

16. Alekseev A., Salamatina A., Kataeva T. Rating and control mechanisms design in the program “Research of Dynamic Systems” // 21st IEEE Conference on Business Informatics, Moscow, 15-17 July 2019: Proceedings: in 2 vol. Vol. 2. Research-in-Progress Papers and Workshop Papers / Inst. of Electrical and Electronics Eng. (IEEE). – Los Alamitos, California; Washington; Tokyo: IEEE Computer Soc. Conf. Publ. Services (CPS), 2019. – P. 96–105. DOI 10.1109/CBI.2019.10103

Рассматривается задача управления объектом, который имеет несколько значимых для лица, принимающего решения, критериев, каждый из которых характеризует объект управления с точки зрения частного результата деятельности или показателя эффективности. Для оценивания эффективности функционирования управляемого объекта в целом используется матричный механизм комплексного оценивания, учитывающий все критерии в комплексе. Задача оптимального управления формулируется как поиск значений сворачиваемых критериев, обеспечивающих заданное значение комплексного показателя при минимальных затратах на обеспечение значений частных критериев. Благодаря полученному аналитическому уравнению линии уровня агрегированного в результате свертки двух критериев показателя, обобщенную затратную функцию удалось свести к уравнению с одной переменной. Уравнение линии найдено для произвольной бинарной матрицы свертки, в том числе элементы которой заданы непрерывными значениями. Показано, что целевая функция сводится к полиному четвертого порядка, который может быть аналитически решен с помощью метода Феррари или Декарта – Эйлера.

Показано, что задача поиска значений двух частных критериев, описывающих состояние объекта управления, при которых комплексный показатель, вычисляемый с помощью аддитивно-мультипликативного подхода к комплексному оцениванию, равен заданному значению и при этом затраты на их обеспечение минимальны, имеет решение в общем виде для произвольной неубывающей матрицы свертки двух критериев.

Найдены частные решения задачи управления при использовании затратных функций, являющихся обратным случаем производственной функции Кобба – Дугласа. При этом показано, что затратная функция агрегированного показателя имеет дополнительные слагаемые и описывается уже алгебраическим уравнением с ненулевыми коэффициентами при переменных и дополнительной константой. На основании чего был сделан вывод, что затратные функции, являющиеся обратным случаем производственной функции Кобба – Дугласа, могут применяться к объектам управления, имеющим только два критерия.

Рассмотрена аналогичная постановка задачи управления для произвольной неубывающей матрицы свертки двух критериев при использовании аддитивно-мультипликативного подхода к комплексному оцениванию и при использовании затратных функций, описываемых алгебраическим уравнением второго порядка в общем виде. В результате исследования показано, что вид затратной функции для агрегированного показателя сохраняется. Таким образом, при использовании затратных функций в виде уравнений второго порядка задача управления имеет решение в общем виде для любого числа критериев.

Ключевые слова: механизмы управления, механизмы контроля, дизайн механизмов, комплексное оценивание, аддитивно-мультипликативный подход, управление, оптимальное управление, затратные функции, производственная функция Кобба – Дугласа, полиномы высших степеней, метод Феррари.

Алексеев Александр Олегович (Пермь, Россия) – кандидат эко­номических наук, доцент кафедры «Строительный инжиниринг и мате­риаловедение», Пермский национальный исследовательский политехни­ческий университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail:
alekseev@cems.pstu.ru).

1. Novikov D. Theory of сontrol in оrganizations. – New York: Nova Science Publishers, 2013. – 341 p.
2. Mechanisms of organizational behavior control: a survey / V.N. Burkov, M.V. Goubko, N.A. Korgin, D.A. Novikov // Advances in Systems Science and Application. – 2013. – Vol. 13, no. 1. – P. 1–20.
3. Новиков Д.А. Теория управления организационными системами. – М.: Изд-во Моск. психол.-соц. ин-та, 2005. – 581 с.
4. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять проектами. – М.: СИНТЕГ – ГЕО, 1997. – 188 с.
5. Бурков В.Н., Буркова И.В., Попок М.В. Метод дихотомического программирования // Управление большими системами. – 2004. – Вып. 9. – С. 57–75.
6. Бурков В.Н., Новиков Д.А., Щепкин А.В. Механизмы управления эколого-экономическими системами / под ред. акад. С.Н. Васильева – М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2008. – 244 с.
7. Анохин А.М., Гусев В.Б., Павельев В.В. Комплексное оценивание и оптимизация на моделях многомерных объектов / ИПУ РАН. – М., 2003. – 79 с.
8. Гусев В.Б., Павельев В.В. Использование непрерывных шкал при оценивании и принятии решений в сложных проблемных ситуациях / ИПУ РАН. – М., 2013. – 118 с.
9. Алексеев А.О. Классификация механизмов комплексного оценивания сложных объектов // Информационные и математические технологии в науке и управлении. – 2018. – № 2(10). – С. 106–120.
10. Алексеев А.О. Комплексное оценивание сложных объектов в условиях неопределенности // Прикладная математика и вопросы управления. – 2019. – № 2. – С. 103–131.
11. Алексеев А.О., Алексеева И.Е. Постановка задачи управления многопараметрическими объектами, состояние которых описывается методом нечеткого комплексного оценивания // Прикладная математика и вопросы управления. – 2015. – № 3. – С. 43–54.
12. Алексеев А.О. Матричные механизмы комплексного оценивания, элементы матриц свертки которых определены в нечетком виде // Управление большими системами (УБС-2017): материалы XIV Всерос. шк.-конф. молодых ученых, г. Пермь, 4–8 сент. 2017 г. / Ин-т проблем упр. им. В.А. Трапезникова РАН, Перм. нац. исслед. политехн. ун-т. – М.: [б. и.], 2017. – С. 219–233.
13. Алексеев А.О., Коргин Н.А. О применении обобщенных медианных схем для матричной активной экспертизы // Прикладная математика, механика и процессы управления: материалы всерос. науч.-техн. интернет-конф. студентов и молодых ученых, г. Пермь, 30 нояб.–5 дек. 2015 г. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2016. – С. 170–177.
14. Алексеев А.О., Коргин Н.А. Матричный анонимный обобщенный медианный механизм с правом делегирования сообщений // Прикладная математика и вопросы управления. – 2016. – № 4. – С. 137–156.
15. Алексеев А.О., Алексеева И.Е. Процедуры нечеткого комплексного оценивания // XII Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2014): сб. тр., г. Москва, 16–19 июня 2014 г. / Ин-т проблем упр. им. В.А. Трапезникова РАН, ИПУ РАН. – М., 2014. – С. 7983–7993.
16. Губко М.В. Модели и методы оптимизации структуры иерархических систем обработки информации: дис. … д-ра физ.-мат. наук: 05.13.01 / Ин-т проблем упр. им. В.А. Трапезникова, ИПУ РАН. – М., 2014. – 372 с.
17. Cobb C.W., Douglas P.H. A Theory of production // The American Economic Review. – 1928. – Vol. 18, no. 1. – P. 139–165.
18. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 2003. – 832 с.
19. Табачников С.Л., Фукс Д.Б. Математический дивертисмент. 30 лекций по классической математике: пер. с англ. / под ред. С.М. Львовского; МЦНМО. – М., 2011. – 512 с.

Представлен анализ динамики развития функции интеллектуализации субъектов управления, зависящей от этапов становления и смены технологических укладов в современном обществе. Показано, что последовательная интеллектуализация факторов производства связывается с развитием способностей субъектов управления в области решения сложных задач выбора, конвергенции наук в техно-гуманитарном пространстве, а также проективного мышления – отображения ментальных переменных на множестве технических свойств и характеристик материальных объектов в социально-экономических системах. Приведено, что главными личностными факторами, на развитие которых необходимо направить внимание социума, являются способности человека, его образованность и ум (мышление). Обосновывается, что для их развития необходимы специальные средства поддержки принятия решений, которые обеспечат прозрачность, документируемость и закрепление ответственности за возможные последствия и попытки манипулирования результатами выбора. Требуется также стремление и готовность субъекта управления к внутреннему и внешнему междисциплинарному взаимодействию между различными научными направлениями. Разрабатываются основы технологии проективного управления, обратной связью которых является коррекция технических параметров объектов в соответствии с результатами проективного мышления. Вводится ряд классификаторов на множество гуманитарных идей, представленный антропными принципами, противоречивыми установками и различными эвристиками, которые поддаются строгому описанию средствами исчисления предикатов. Осуществлено формирование алгебраических систем на основе модифицированных субъектно-ориентированных операций суперпозиции и композиции, а также отображений порядковых шкал на шкалы отношений для коррекции параметров искусственного интеллекта, моделирующего решение задачи выбора на множестве альтернатив производственного процесса. Приводится модельный пример.

Ключевые слова: интеллектуализация производства, антропный принцип, проективное мышление, проективное управление, техно-гуманитарное пространство, задача выбора, искусственный интеллект, отображение, суперпозиция, композиция, шкалы.

Харитонов Валерий Алексеевич (Пермь, Россия) – доктор техни­ческих наук, профессор, заслуженный работник высшей школы Российской Федерации, профессор кафедры «Строительный инжиниринг и материаловедение», Пермский национальный исследовательский политехни­чес­кий университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: cems@pstu.ru).

Кривогина Дарья Николаевна (Пермь, Россия) – кандидат техни­ческих наук, старший преподаватель кафедры «Строительный инжиниринг и материаловедение», Пермский национальный исследовательский политех­нический университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: krivogina@cems.pstu.ru).

Спирина Варвара Сергеевна (Пермь, Россия) – кандидат экономи­ческих наук, доцент кафедры «Строительный инжиниринг и материало­ведение», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: spirina@cems.pstu.ru).

Саламатина Анна Сергеевна (Пермь, Россия) – аспирант кафедры «Строительный инжиниринг и материаловедение», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: salamatina@cems.pstu.ru).

1. Глазьев С. Мировой экономический кризис как процесс смены технологических укладов [Электронный ресурс] // Вопросы экономики. – 2009. – № 3. – С. 26–38. – URL: https://doi.org/10.32609/0042-8736-2009-3-26-38 (дата обращения: 18.02.2020).
2. Myers D.G. Intuition: Its powers and perils. – Connecticut: Yale University Press, 2004. – 322 p.
3. Mellers B., Hertwig R., Kahneman D. Do frequency representations eliminate conjuction effects? An exercise in adversarial collaboration // Psychological Science. – 2001. – Vol. 12, no. 4. – C. 269–275.
4. Epstein M. PreDictionary: experiments in verbal creativity. – USA: Lulu.com, 2011. – 131 p.
5. Харитонов В.А., Алексеев А.О. Концепция субъектно-ориенти­рованного управления в социальных и экономических системах [Электронный ресурс] // Политематический сет. электрон. науч. журн. Кубан. гос. аграр. ун-та. – 2015. – № 109 (5). – С. 690–706. – URL: http://ej.kubagro.ru/2015/05/pdf/43.pdf (дата обращения: 18.02.2020).
6. Харитонов В.А., Алексеев А.О., Кривогина Д.Н. Парадигма инженерной поддержки технологий субъектно-ориентированного управления [Электронный ресурс] // Политематический сет. электрон. науч. журн. Кубан. гос. аграр. ун-та. – 2015. – № 112. – С. 208–229. – URL: http://ej.kubagro.ru/2015/08/pdf/15.pdf (дата обращения: 18.02.2020).
7. Новиков Д.А. Теория управления организационными системами. – М.: Изд-во Моск. психол.-соц. ин-та, 2005. – 581 с.
8. Новиков Д.А., Русяева Е.Ю. Философия управления // Вопросы философии. – 2013. – № 5. – С. 19–26.
9. Малинецкий Г.Г. От прошлого – к будущему. Российский контекст междисциплинарности // Знание – сила. – 2013. – № 6. – С. 40–49.
10. Крысин Л.П. Учебный словарь иностранных слов. Более 12 000 слов и терминов. – М.: Эксмо, 2009. – 704 с.
11. Манилий М. Астрономика (Наука о гороскопах) / пер., вступ. и комм. Е.М. Штаерман. – М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1993. – 140 с.
12. Инструментальные средства соединения креативности и технологичности в задачах субъектно-ориентированного управления / В.А. Харитонов, А.В. Вычегжанин, Д.Н. Кривогина, А.М. Гревцев, Н.И. Сафонов [Электронный ресурс] // Управ­ление экономическими системами: электрон. науч. журн. – 2017. – № 7(101). – С. 11. – URL: http://uecs.ru/uecs-101-1012017/item/4474-2017-06-27-08-20-00. (дата обращения: 18.02.2020).
13. Bergtora S.K. The humanitarian cyberspace: shrinking space or an expanding frontier? // Third World Quarterly. – 2016. – Vol. 37. – Р. 17–32. DOI: https://doi.org/10.1080/01436597.2015.1043992. 2020.02.18
14. Rapaport D. Projective techniques and the theory of thinking // J. of Projective Techniques – 2010. – Vol. 16. – Р. 269–275. DOI: 10.1080/08853126.1952.10380430. 2020.02.10
15. Stephen A.R. Scrivener, Zheng Su. Projective artistic design making and thinking: the artification of design research [Электронный ресурс] // Contemporary Aesthetics (Journal). – 2016. – Special Volume. – Р. 1–18. – URL: https://digitalcommons. risd.edu/liberalarts_contempaesthetics/vol0/iss4/11 (accessed 10 February 2020).
16. Jun J., Mincheva K., Rowen L. Projective systemic module // J. of Pure and Applied Algebra. – 2020. – Vol. 224. – Р. 4–27. DOI: 10.1016/j.jpaa.2019.106243. 2020.02.10
17. Чернышов Е.М. Концепция, проблематика и структура современной системы управления качеством в производстве строительных материалов и изделий // Известия КГАСУ. – 2005. – № 2 (4). – С. 11–14.
18. Вернадский В.И. Биосфера и ноосфера. – М.: Айрис-пресс, 2012. – 576 с.

Дается обзор теоретических и прикладных результатов, полученных в рамках научного направления по эконофизике на кафедре информационных систем и математических методов в экономике.

В первой части дается понятие финансового пузыря и методы его поиска. В начале статьи описывается развитие эконофизики. Ввиду этого эконофизика, используя как образец исследования физиков, должна начинать свои исследования не с верхних этажей экономического здания (в виде финансовых рынков, распределения доходности финансовых активов и т.п.), а с ее фундаментальных оснований или, говоря словами физиков, с элементарных экономических объектов и форм их движения (труда, его производительности и т.д). Только таким образом эконофизика может обрести свой предмет исследования и стать «новой формой экономической теории». Дальше рассмотрены основные предпосылки моделей финансовых пузырей на рынке: принцип отсутствия арбитражных возможностей, существование рациональных агентов, модели, управляемой риском, и модели, управляемой ценой. Была предложена известная нелинейная LPPL-модель (Log Periodic power Law Model). В работах В.О. Арбузова было предложено использовать процедуры выбора моделей, а именно были введены: основная селекция, фильтрация «стационарности», спектральный анализ. Результаты модели были представлены в работах Д. Сорнетт и его учеников.

Во второй части дается понятие перколяции и ее возможности применения в экономике. Будет рассмотрена математическая модель, предложенная J.P. Bouchaud, D. Stauffer и D. Sornette, воссоздающая поведение агента на рынке, и ее взаимодействие, геометрически описывающее фазовый переход второго рода. В данной модели цена актива за один временной интервал изменяется пропорционально разнице между спросом и предложением на этом рынке. Ключевой ситуацией для изучения является момент образования бесконечного кластера на перколяционной решетке, так как это означает крах рынка, когда подавляющая для данного рынка часть агентов имеет схожее мнение насчет своих действий по покупке или продаже актива. Основными характеристиками процесса являются пороговая вероятность наступления краха рынка, а также эмпирическая функция распределения изменения цены на данном рынке.

Ключевые слова: эконофизика, финансовые рынки, финансовые пузыри, логопериодические структуры, фильтрация, спектральный анализ, процесс Орнштейна – Уленбека, закон одной цены, ограниченная рациональность, гипотеза эффективного рынка.

Андрианов Дмитрий Леонидович (Пермь, Россия) – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры «Информационные системы и математические методы в экономике», Пермский государственный национальный исследовательский университет (614990, Пермь, ул. Букирева, 15; e-mail: andrianov@econ.psu.ru).

Симонов Петр Михайлович (Пермь, Россия) – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры «Информационные системы и математические методы в экономике», Пермский государственный национальный исследовательский университет (614990, Пермь, ул. Букирева, 15; e-mail: simonov@econ.psu.ru, simpm@mail.ru).

1. Водолазский А.А. Начала эконофизики и количественная определенность первых экономических законов. – Новочеркасск: НОК, 2013. – 227 с.
2. Дубовиков М.М., Старченко Н.В. Эконофизика и анализ временных рядов // ЭКОНОФИЗИКА. Современная физика в поисках экономической теории / под ред. В.В. Харитонова и А.А. Ежова; МИФИ. – М., 2007. – С. 243–293.
3. Досиков В.С., Бигдай О.Б., Волошин Д.А. Нелинейная динамика в приложении к военной экономике и финансовым рынкам: обзор некоторых парадигм и методов // Вестник СевКавГТИ. – 2015. – Вып. 2 (21). – С. 34–40.
4. Романовский М.Ю., Романовский Ю.М. Введение в эконофизику: статистические и динамические модели / Ин-т комп. исслед. – 2-е изд., испр. и доп. – М.; Ижевск, 2012. – 340 с.
5. Mantegna R.N., Stanley H.E. An introduction to econophysics. Correlations and complexity in finance. – Cambridge: Cambridge University Press, 2000. – 147 p.
6. Россер Дж. Настоящее и будущее эконофизики // Вопросы экономики. – 2009. – № 11. – С. 76-81.
7. Леонидов А.В. Путь к экономическому равновесию и эффективность финансовых рынков: взгляд физика // Вопросы экономики. – 2009. – № 11. – С. 82-89.
8. Панченков А.Н. Эконофизика / ООО «Типография Поволжье». – Н. Новгород, 2007. – 528 с.
9. Кип С., Ормерод П. От экономики к эконофизике – к подлинной экономической науке? // ЭКОНОФИЗИКА. Современная физика в поисках экономической теории / под ред. В.В. Харитонова и А.А. Ежова; МИФИ. – М., 2007. – С. 425–470.
10. Ахуньянова С.А., Симонов П.М. Моделирование и прогнозирование на финансовых рынках с помощью эконометрики и эконофизики [Электронный ресурс]: монография / Перм. гос. нац. исслед. ун-т. – Пермь, 2017. – 5 Мб. – URL: https://elis.psu.ru/node/486405 (дата обращения: 23.08.2019).
11. Арбузова В.О. Имитационное моделирование микроструктуры фондового рынка на основе высокочастотной и трансакционной информации: дис. … канд. экон. наук: 08.00.13 / Перм. гос. нац. исслед. ун-т. – Пермь, 2016. – 223 с.
12. Арбузов В.О., Ладейщикова О.В. Применение модели Изинга в модели, управляемой риском // Актуальные вопросы современной экономической науки: cб. докл. междунар. науч. заоч. конф., г. Липецк, 20 февраля 2010 г.: в 2 т. / отв. ред. А.В. Горбенок; Изд. центр «Де-факто». – Липецк, 2010. – Т. 2. – С. 185–186.
13. Арбузов В.О., Ладейщикова О.В. Основные подходы к эмпирическому обоснованию паттернов технического анализа // Актуальные вопросы современной экономической науки: cб. докл. междунар. науч. заоч. конф., г. Липецк, 20 февраля 2010 г.: в 2 т. / отв. ред. А.В. Горбенок; Изд. центр «Де-факто». – Липецк, 2010. – Т. 2. – С. 187.
14. Sornette D. Why stock markets crash: critical events in complex financial systems. – Princeton: Princeton University Press. 2003. – 441 p.
15. Арбузов В.О., Ладейщикова О.В. Проблемы построения многофакторных моделей прогнозирования фондового рынка // Импульс-2009: материалы VI Всерос. науч.-практ. конф. – Томск: Изд-во Том. политехн. ун-та, 2009. – С. 44–46.
16.  Арбузов В.О. Эмпирическая проверка информационной ценности методов технического анализа на основе критерия Колмогорова – Смирнова // Математические модели и системный анализ в экономике: сб. науч. тр. молодых ученых. – Пермь, 2010. – C. 17–22.
17.  Sornette D., Woodard R. Financial bubbles, real Estate bubbles, derivative bubbles, and the financial and economic crisis // Econophysics Approaches to Large-Scale Business Data and Financial Crisis / eds. by M. Takayasu, T. Watanabe, H. Takayasu. – Tokyo: Springer, 2010. – P. 101–148. DOI: 10.1007/978-4-431-53853-0_6
18. Sornette D., Zhou W.-X. Importance of positive feedbacks and over-confidence in a self-fulfilling ising model of financial markets // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. – 2006. – Vol. 370. – P. 704–726. DOI: 10.1016/j.physa.2006.02.022
19. Filimonov V., Sornette D. A stable and robust calibration scheme of the log-periodic power law model // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. – 2013. – Vol. 392 (17). – P. 3698–3707. DOI: 10.1016/j.physa.2013.04.012
20. Filimonov V., Sornette D. Power law scaling and “dragon-Kings” in distributions of intraday financial drawdowns // Chaos, Solitons & Fractals. – 2015. – Vol. 74. – P. 27–45. DOI: 10.1016/j.chaos.2015.04.007
21. Арбузов В.О. Моделирование краха индекса РТС в 2008 г. на основе модели LPPL // Математические модели и системный анализ в экономике: cб. науч. тр. молодых ученых. – Пермь, 2010. – С. 5–11.
22. Арбузов В.О. Диагностика финансовых пузырей // Фьючерсы и опционы. – 2012. – № 6. – С. 74–79.
23. Jacobsson E. How to predict crashes in financial markets with the Log-Periodic Power Law: master diss. / Stockholm University. – Stockholm, 2009. – 50 p.
24.  Roehner B.M., Sornette D. The sharp peak-flat trough pattern and critical speculation // European Physical Journal B – Condensed Matter and Complex Systems. – 1998. – Vol. 4. – P. 387–399. DOI: 10.1007/s100510050394
25. Bubble diagnosis and prediction of the 2005–2007 and 2008–2009 Chinese stock market bubbles / J. Zhi-Qiang, W.-X. Zhou, D. Sornette, R. Woodard, K. Bastiaensen, P. Cauwels // Journal of Economic Behavior and Organization. – 2010. – Vol. 74. – P. 149–162. DOI:10.1016/j.jebo.2010.02.007
26. Lomb N.R. Least-squares frequency analysis of unequally spaced data // Astrophysics and Space Science. – 1976. – Vol. 39. – P. 447–462. DOI: 10.1007/BF00648343
27. Scargle J.D. Studies in astronomical time series analysis. II. Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data // The Astrophysical Journal. – 1982. – Vol. 263. – P. 836–853. DOI: 10.1086/160554
28. Витязев В.В. Анализ неравномерных временных рядов: учеб. пособие. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. – 68 с.
29. Sornette D., Johansen A. Significance of log-periodic precursors to financial crashes // Quantitative Finance. – 2001. – Vol. 1. – P. 452–471.