В XXI веке J. Wolff отметил, что кость здорового человека или животного адаптируется к тем нагрузкам, которым подвергается. На уровне ткани в кости просматриваются слабопористые участки компактного вещества и сильнопористые – трабекулярного (губчатого). Известно, что в трабекулярной костной ткани механизм адаптации реализуется посредством выстраивания трабекул (костных балочек, образующих твердый матрикс) вдоль линии действия преобладающей нагрузки. При достижении трабекулярной тканью оптимальной структуры для существующего в локальной области нагружения кость переходит в состояние равновесия (гомеостаза).  В своих работах S. Cowin предложил описывать положение трабекул в каждый дискретный момент времени главными направлениями тензора структуры, отыскиваемыми из решения системы кинетических уравнений. На основе предложенных соотношений авторами решены многие задачи динамики трабекулярной костной ткани, результатом которых являются функции некоторой величины, зависящей от времени. Например, рассмотрено изменение пористости, компоненты девиатора тензора структуры. В данной работе кинетические уравнения используются с целью определения структуры, напряженного состояния или упругих свойств костного образца, находящегося в состоянии равновесия. Математическая постановка представлена задачей теории упругости анизотропного тела. Все численные расчеты выполнены с использованием программного продукта ANSYS Mechanical APDL на примере растяжения прямоугольной пластины. Проведено сравнение результатов задачи, полученных аналитическим методом и методом конечных элементов. Предполагается, что полученные соотношения могут быть полезны для определения реализуемого в кости известной структуры напряженно-деформированного состояния или, наоборот, для предсказания оптимальной структуры кости при заданных условиях нагружения.

Ключевые слова: трабекулярная (губчатая) костная ткань, тензор структуры, равновесие (гомеостаз), краевые задачи биомеханики.

Структура трабекулярной костной ткани в различных участках скелета неодинакова и стремится стать оптимальной для действующей на соответствующую кость нагрузки, перестраивая себя посредством механизмов костеобразования и резорбции. Одной из наиболее подверженных изменению структур кости является челюсть. Помимо нормальных изменений, связанных с заменой молочных зубов постоянными, часто приходится сталкиваться с патологическими изменениями во внутренней архитектуре кости, вызванными недогрузкой отдельных участков костной ткани вследствие потери зубов, травм челюсти, неправильного прикуса. Среди патологий зубочелюстной системы можно назвать, например, синдром Попова – Годона, выражающийся в аномальных зубных сдвигах, спровоцированных потерей зуба-антагониста или соседнего зуба, и сопровождающийся перестройкой окружающих костных тканей. Полагая, что механическая нагрузка является фактором, который приводит к адаптационным процессам в кости, в работе рассматривается численный алгоритм, моделирующий перестройку трабекулярной кости на мезоуровне посредством кинетических уравнений, включающих в себя девиатор тензора структуры. Результаты приведены для геометрии нижней челюсти, для упрощения полностью состоящей из трабекулярной костной ткани и нагруженной усилиями от жевательных мышц и реакцией височно-нижнечелюстного сустава. В качестве критической нагрузки выступает сосредоточенная сила, приложенная к моляру нижней челюсти. Целью численного анализа является получение картины распределения интенсивности напряжений и пористости в ветви нижней челюсти на каждом дискретном этапе эволюции под нагрузкой и сравнение результатов с ранее опубликованными данными других авторов [1, 7, 10].

Ключевые слова: трабекулярная (губчатая) костная ткань, тензор структуры, распределение пористости, усилия мышц, ветвь нижней челюсти.

Статья посвящена исследованию нестационарного течения и оседания запыленного воздуха (многофазной смеси газов и твердых частиц) в крупных нижних дыхательных путях в рамках разработки математической модели дыхательной системы человека. Исследуется содержание во вдыхаемом воздухе взвешенных частиц PM 10 (диаметр частиц менее 10 мкм) оксида алюминия на уровне норматива предельно допустимых среднесуточных концентраций. Несущая фаза описывается моделью вязкой жидкости; твердые частицы являются отдельными включениями различного размера, для которых записываются отдельные уравнения; полагается, что твердые частицы имеют сферическую форму. Расчеты параметров течения были выполнены с использованием программного продукта ANSYS CFX. Получены параметры течения газовой смеси с твердыми частицами, приведены поля скоростей и траектории движения твердых частиц различных размеров во время вдоха в различные моменты времени. Результаты, полученные с помощью подмодели движения воздуха в крупных нижних воздухоносных путях человека, являются входной информацией для моделирования движения газовзвеси в легких человека. Кроме того, полученные результаты могут быть использованы для решения задач по оценке риска здоровью человека от действия взвешенных частиц, осевших в нижних воздухоносных путях человека. Дальнейшее развитие модели предполагает совместное решение задач газодинамики в дыхательных путях человека и распространения воздуха в упругодеформируемой насыщенной пористой среде легких человека.

Ключевые слова: математическое моделирование, газодинамика, дыхательная система, взвешенные частицы, респираторный тракт человека.

Целью исследования является создание методики построения расчетной конечно-элементной модели по данным томографии. Для оценки модели проводились расчеты бедренной кости. Актуальность данного исследования продиктована необходимостью считывать в расчетах распределение механических свойств костного органа по объему, что позволяет  индивидуализировать подход к моделированию. Численные исследования выполнены с помощью метода конечных элементов в пакете Ansys, обработка данных компьютерной томографии проводилась в пакете Avizo. В работе рассматривалась задача линейного негомогенного упругого тела. Для определения модуля Юнга и предельного напряжения использовались степенные функции от оптической плотности, в свою очередь оптическая плотность определялась по линейным соотношениям в зависимости от чисел Хаунсфилда. Для конечно-элементной дискретизации производилось распределение механических свойств материала по каждому элементу согласно данным томографии. После решения задачи напряженно-деформированного состояния в каждом узле определялся коэффициент запаса с учетом свойств материала по данным томографии. В работе для рассматриваемого образца были проведены расчеты трех модельных задач в приведенной постановке и для осредненных значений механических параметров. Численные результаты в данных  задачах наглядно иллюстрируют значимые различия в результатах напряженно-деформированного состояния органа и позволяют судить о локальной прочности костной ткани.

Ключевые слова: математическое моделирование, негомогенные среды, компьютерная томография.

Данная статья посвящена изучению потери симметрии потока крови в сливающихся сосудах с аневризмой. Возникновение аневризмы возможно в сосудах, локализованных в различных частях кровеносной системы, с различным типом течения (сходящееся и расходящееся). Различают аневризмы аорты, периферических сосудов, сердца, головного мозга. Вне зависимости от места локализации, заболевание может приводитьк тяжелым последствиям и требует хирургического вмешательства. В настоящей работе представлено математическое моделирование течения крови в сосудах небольшого диаметра, которое характеризуется малыми значениями числа Рейнольдса и ригидностью.Такое представление, в частности, соответствует сосудам головного мозга.Моделирование течения крови реализовано с помощью реологической модели упруговязкой жидкости FENE-P. Эта модель предсказывает свойства потока крови, соответствующие течению реальной биологической жидкости,а именно: аномалию вязкости, переменную продольную вязкость и конечное время релаксации напряжений. Определяющими параметрами течений таких жидкостей являются число Вайсенберга (We), характеризующее отношение упругих свойствбиологической жидкости к вязким, число Рейнольдса (Re), характеризующее отношение инерционных свойств к вязким, способность макромолекул белков, входящих в состав крови, менять свою ориентацию в потоке,степень распутывания макромолекул белка L2 и коэффициент ретардацииβ, характеризующий концентрацию макромолекул в крови. В данной статье обсуждается возможность потери симметрии потока крови в местах слияния кровеносной системы при определенных значениях параметров математической модели для сходящегося течения, а также влияние формы аневризмы на возникающую картину течения крови. Приводится сравнение результатов, полученных как для скругленной, так и для квадратной форм аневризмы.

Ключевыеслова: течение крови, Т-образный канал с каверной, потеря симметрии потока крови, реологическое конститутивное соотношение FENE-P, метод контрольного объема.

Одним из ключевых факторов успеха дентальной имплантации является остеоинтеграция – срастание имплантата с костью. Чрезмерная микроподвижность на поверхности имплантат – кость при нагружении нарушает остеоинтеграцию. Возникает естественный вопрос: нельзя ли минимизировать микроподвижность за счет управления конструкционными характеристиками имплантата, в частности резьбы? В работе изучается влияние характеристик резьбы (профиля, глубины и шага) на стабильность дентальных имплантатов при немедленном нагружении (первичную стабильность), когда остеоинтеграция еще не произошла и на интерфейсе имплантат – кость нет полного сцепления. Изменение профиля резьбы моделировалось вариацией угла наклона сторон профиля с последовательным переходом от треугольной через трапециевидную и квадратную резьбу к шиповой. Минимумы максимальных перемещений на интерфейсе имплантат ‒ кость получены для квадратного и шипового профилей. Их величины составляют микроны, что соответствует данным других работ. влияние глубины и шага резьбы изучалось на квадратном профиле. Установлено, что увеличение глубины резьбы с 0,1 до 0,4 мм (как и уменьшение шага резьбы от 2,0 до 0,4 мм) приводит к уменьшению осадки имплантата (глобальной подвижности) на 3‒6% и к значимому (кратному) монотонному падению перемещений на интерфейсе. Таким образом, профиль резьбы оказывает существенное влияние на микроподвижность на поверхности имплантат – кость при нагружении: при одинаковых значениях окклюзионной нагрузки и наблюдаемой макроподвижности зуба он может менять микроподвижность в разы. Минимумы микроподвижности получены для квадратного и шипового профилей. Максимумы локальных перемещений возникают на апексном витке резьбы.

Ключевые слова: биомеханика, моделирование, микроподвижность, дентальные имплантаты, геометрия резьбы, первичная стабильность.

Построена модель изменения внутриклеточной проводимости миокарда при его деформации на основе анализа микроструктурной модели        P.E. Hand, B.E. Griffith, C.S. Peski (Bull. Math. Boil (2009)). Сердечная ткань рассматривалась как периодическая решетка, где клетки являются прямоугольными призмами, заполненными изотропным электролитом, а проводимость щелевых соединений учитывалась через граничные условия на сторонах этих призм и считалась постоянной. С помощью метода гомогенизации  в виде, предложенном в работе G. Richardson and  S.J. Chapman (SIAM Journal Appl. Math (2011)), значения проводимости аналитически выражены через размеры клетки, параметры периодичности решетки, электрические свойства миоплазмы и щелевых соединений. На основе этих соотношений построены зависимости проводимости ткани от ее деформации (в текущей конфигурации). Было проведено сравнение с моделью, предложенной в книге F.B. Sachse. Computational Cardiology (Springer (2004)). Показано, что обе модели могут быть хорошо согласованы для удлинений в интервале от 0,8 до 1,2. Разработаны численный алгоритм, основанный на методе расщепления, и его программная реализация на базе конечно-элементной библиотеки FEniCS. Сравниваются проводимости, вычисленные при различных зависимостях от деформации. Рассмотрены профили волны возбуждения в прямоугольной двумерной области, рассчитанные при их использовании. Влияние деформации оказывается сильно «разбавлено» внеклеточной проводимостью. Рассмотрено также возникновение областей деполяризации и гиперполяризации (виртуальных электродов) при подведении к миокарду электрического тока в малой области. В этом случае влияние деформации  оказывается более значительным.

Ключевые слова: миоплазма, щелевые соединения, внутриклеточная проводимость, микроструктурная модель. 

Разрывы передней крестообразной связки являются самым распространенным повреждением среди изолированных травм связочных структур коленного сустава, которое требует раннего оперативного вмешательства, особенно у молодых трудоспособных пациентов. Существует большое количество способов восстановления передней крестообразной связки, при которых формируют каналы в бедренной и большеберцовой костях, а трансплантат фиксируют при помощи канюлированных интерферентных винтов. Особый интерес представляют операции, когда в качестве трансплантата используются синтетические протезы на основе полиэтилентетрафталата. Задачей данного исследования явилось изучение жёсткости фиксации имплантата передней крестообразной связки при различных видах его фиксации интерферентными винтами. На примерах экспериментальной модели «имплантат – кость» было показано, что применение искусственных протезов передней крестообразной связки на основе полиэтилентетрафталата позволяет достичь изначальной жёсткости фиксации, которая даст возможность ранней полной нагрузки на коленный сустав. Наибольшей прочностью обладает система, когда имплантат фиксирован четырьмя интерферентными винтами. При фиксации имплантата двумя интерферентными винтами происходит его проскальзывание в большеберцовом канале, что несёт потенциальную опасность для больного в случае начала ранней реабилитации.

Ключевые слова: коленный сустав, артроскопия, пластика передней крестообразной связки, синтетические имплантаты.

Целью данного исследования является выявление степени искривления поясничного отдела позвоночника у беременных женщин в разные триместры беременности. Помимо этого выявляются уровни болей в пояснице на различных стадиях беременности и проявления дисбаланса по некоторым кинематическим переменным в цикле ходьбы. Для достижения цели исследования был применен описательный подход к 24 здоровым пациенткам. Исследователи использовали две линейки для измерения степени искривления поясничного отдела позвоночника и анкетирование для количественной оценки уровня боли в пояснице и нарушения дисбаланса. Использовались две камеры для съемки пациентов во время ходьбы по беговой дорожке: одну камеру поставили сбоку (60 кадров в секунду), а другую – спереди (50 кадров в секунду). Кроме того, результаты исследования показали, что степень искривления поясничного отдела позвоночника, боли в пояснице и дисбаланс увеличиваются при переходе к следующему триместру беременности. Результаты также продемонстрировали уменьшение длины и скорости шага при ходьбе, увеличение времени двойного и индивидуального армирования.

Ключевые слова: беременность, кинематика, искривление поясничного отдела позвоночника, боли в пояснице, цикл ходьбы.