Рассматривается процесс двухстороннего прессования порошкообразного губчатого титана в пресс-форме с плавающей матрицей. В качестве материала для исследования выбран порошкообразный отсев губчатого титана марки ТГ-100 по ГОСТ 17746–96 фракцией –3+1 мм. Для реализации процесса двухстороннего прессования предложена новая конструкция пресс-формы. Одновременное движение верхнего и нижнего пуансонов относительно разъемной матрицы достигается путем размещения матрицы между двух полиуретановых пружин. Пресс-форма обеспечивает эффективное прессование за счет реализации синхронного без колебаний перемещения нижнего и верхнего пуансонов относительно разъёмной матрицы, а также равномерное разгружение прессовки со всех сторон, что исключает появление трещин расслоения. Численное моделирование процесса выполнено с использованием конечно-элементного анализа. При моделировании предполагали, что элементы пресс-формы обладают свойствами абсолютно жесткого тела. Материал порошкового материала рассматривается как сплошная сжимаемая упругопластическая среда с изначально изотропными свойствами. Условие пластического течения порошкообразного материала описано модифицированной моделью текучести Друкера–Прагера. Скорость пластической деформации пропорциональна напряжению в текущий момент, напряженное состояние определяет мгновенные приращения компонент пластической деформации. Выполняется закон ассоциированного пластического течения. В качестве модели материала (полиуретан СКУ-7Л) пружинных элементов использована модель гиперупругой среды Муни–Ривлина. В результате моделирования получено расчетное распределение плотности в сечении уплотняемой порошковой заготовки при разном давлении прессования. Построены графики зависимости средней относительной плотности порошковых заготовок от давления прессования. Для брикетов, полученных при различном давлении прессования (100 и 500 МПа), выполнили металлографическое исследование микроструктуры поверхности продольных сечений образцов. Исследовано изменение формы и размеров пор в нижней и верхней частях брикетов. Для оценки микромеханических свойств полученных заготовок осуществлено кинетическое микроиндентирование поверхности шлифов продольных осевых сечений, что позволило определить значения микротвердости, характеристику ползучести и приведенный модуль упругости. Показано, что предлагаемая конструкция пресс-формы позволяет получать заготовки, обладающие более равномерным распределением плотности в сравнении с изготовленными путем одностороннего прессования.

Ключевые слова: порошковый материал, двухстороннее прессование, полиуретановые пружины, модель Муни–Ривлина, условие текучести Друкера–Прагера, численное моделирование.

Березин Иван Михайлович – к.т.н., н.с., e-mail: berezin@imach.uran.ru, 0000-0002-8674-3352.

Залазинский Александр Георгиевич – д.т.н., г.н.с., e-mail: agz@imach.uran.ru, 0000-0001-8352-5475

Нестеренко Антон Владимирович – к.т.н., с.н.с., e-mail: nav@imach.uran.ru, 0000-0002-7010-6260

Быкова Татьяна Михайловна – к.т.н., н.с., e-mail: tatiana_8801@mail.ru, 0000-0002-8888-6410

В последние десятилетия повышенное внимание уделяется глубокому пониманию процессов, вызванных остаточными напряжениями в слоистых композитах, а именно искажению формы и возможному повреждению изделия еще на стадии его изготовления. Наличие остаточных напряжений в композиционных материалах вызывает появление таких дефектов, как деламинация, коробление, а также микротрещины в связующем, что в свою очередь оказывает существенное влияние на статическую и усталостную прочность созданного на их основе изделия.

В настоящей работе рассмотрено изменение распределения поля остаточных напряжений в образце из известного материала AS4/8552-1 с укладкой слоев [0°/90°]n в процессе отверждения, и проанализированы напряжения на свободном крае после разреза образца вдоль направления армирования. Модель отверждения численно реализована при помощи пакета конечно-элементного моделирования ABAQUS с использованием специально разработанных пользовательских подпрограмм. Для моделирования отверждения решалась связанная тепловая и прочностная задача в условиях плоской деформации. Показано существенное различие остаточных напряжений на свободном крае до и после механического среза. Рассчитанные остаточные напряжения далее использованы для анализа развития разрушения композита при одноосном растяжении. В результате моделирования нагружения композита до разрушения с учетом остаточных напряжений выявлено, что растяжение приводит к продольному растрескиванию матрицы в слоях, где ориентация армирования совпадает с направлением приложения нагрузки. В то же время при игнорировании остаточных напряжений появление таких дефектов не наблюдается. В исследовании показано, что остаточные напряжения влияют как на прочность материала, так и на тип разрушения.

Ключевые слова: остаточные напряжения, композит, свободный край, разрушение, математическое моделирование, ABAQUS.

Бондарчук Дарья Александровна – асп., e-mail: bondarchuk.da@gmail.com, 0000-0002-0238-455X.

Федулов Борис Никитович – д.ф.-м.н., в.н.с., e-mail: fedulov.b@mail.ru, 0000-0002-6797-2424

Федоренко Алексей Николаевич – к.т.н., с.н.с., e-mail: alexey.n.fedorenko@gmail.com, 0000-0002-3260-7531

Ломакин Евгений Викторович – д.ф.-м.н., зав.каф., e-mail: evlomakin@yandex.ru, 0000-0002-8716-536

1. C., Becker W. Free-edge effects in composite laminates // Applied Mechanics. – 2007. – Vol. 60. – No. 6. – P. 217–245. DOI:10.1115/1.2777169
2. Rasuo B., Dinulovic M. Delamination analysis at free edges of composite laminates // World Journal of Engineering. –
   2011. – Vol. 8.
3. Free edge effect on residual stress and debond of a composite fibre/matrix interface / Hu Shoufeng, Karpur Prasanna, Matikas Theodore E., Shaw Leon, Pagano Nicholas J. // Mechanics of Advanced Materials and Structures. – 1995. – Vol. 2. – No. 3. – P. 215–225. DOI: 10.1080/10759419508945841
4. Domb M.M., Hansen J.S. The effect of cooling rate on free-edge stress development in semi-crystalline thermoplastic laminates // Journal of Composite Materials. – 1998. – Vol. 32. – No. 4. – P. 361–386. DOI:10.1177/002199839803200403
5. Amrutharaj G.S., Lam K.Y, Cotterell B. Delaminations at the free edge of a composite laminate // Composites Part B: Engineering. – 1996. – Vol. 27. – No. 5. – P. 475–483. DOI: 10.1016/1359-8368(96)00015-7
6. Yin W.L. Simple Solutions of the free-edge stresses in composite laminates under thermal and mechanical loads // Journal of Composite Materials. – 1994. – Vol. 28. – No. 6. – P. 573–586. DOI: 10.1177/002199839402800605
7. Дударьков Ю.И., Левченко Е.А., Лимонин М.В. Влияние структуры пакета на краевые эффекты в слоистых композитах // Исследования наукограда. – 2014. – № 3. – С. 25–30.
8. Strength analysis and process simulation of subway contact rail support bracket of composite materials / B.N. Fedulov, A.A. Safonov, I.V. Sergeichev, A.E. Ushakov, Y.G. Klenin, I.V. Makarenko // Applied Composite Materials. – 2016. – Vol. 23. – No. 5. – P. 999–1013.
9. Design and optimization of a vacuum infusion technological process for hopper car fabrication using polymeric composite materials / A.E. Ushakov, A.A. Safonov, I.V. Sergeichev [et al.] // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. – 2015. – Vol. 44. – No. 3. – P. 276–282. DOI: 10.3103/S105261881503022X
10. A review on the mechanical modeling of composite manufacturing processes / I. Baran, K. Cinar, N. Ersoy [et al.] // Archives of Computational Methods in Engineering. – 2017. – Vol. 24. – No. 2. – P. 365–395. DOI:10.1007/s11831-016-9167-2
11. Johnston A. An integrated model of the development of process-induced deformation in autoclave processing of composite structures. – URL: https://www.researchgate.net/publication/ 253529873_ An_Integrated_Model_of_the_Development_of_ProcessInduced_
    De­formation_in_Autoclave_Processing_of_Composite_Struc­tures (accessed 10 March 2019).
12. White S.R., Hahn H.T. Process modelling of composite materials: residual stress development during cure. Part II. Experimental validation // Journal of Composite Materials. – 1992. – Vol. 26. – No. 16. – P. 2423–2453. DOI: 10.1177/002199839202601604
13. Johnston A., Vaziri R., Poursartip A. A plane strain model for process-induced deformation of laminated composite structures // Journal of Composite Materials. – 2001. – Vol. 35. – No. 16. – P. 1435–1469. DOI:10.1106/YXEA-5MH9-76J5-BACK
14. Three-dimensional characterization of pultruded fiberglass-epoxy composite materials / Y.R. Chachad, J.A. Roux, J.G. Vau­ghan, E. Arafat // Journal of Reinforced Plastics and Composites. – 1995. – Vol. 14. – No. 5. – P. 495–512. DOI: 10.1177/073168449501400506
15. Die and post-die temperature and cure in graphite/epoxy composites / M. Valliappan, J.A. Roux, J.G. Vaughan, E.S. Arafat // Composites Part B: Engineering. – 1996. – Vol. 27. – No. 7. – P. 1–9. DOI: 10.1016/1359-8368(95)00001-1
16. Hexply 8552, Epoxy Matrix Product Datasheet. – URL: http://www.hexcel.com/user_area/content_media/raw/HexPly_8552_eu_DataSheet.pdf (accessed 10 March 2019).
17. Van E.D., Poursartip A. HexPly 8552 material properties database for use with COMPRO CCA and RAVEN. Version 0.9. NCAMP. – 2009. – URL: http://www.niar.wichita.edu/coe/ ncamp.asp (accessed 10 March 2019).
18. Determination of the model complexity level required to predict the cure-induced deformations in thermoset-based composites / A. Paramentier, B. Wucher [et al.] // 16th European Conference on Composite Materials, ECCM 2014. – Seville, 2014.
19. Optimal process design for large-scale pultrusion structures / A. Safonov, D. Bondarchuk, A. Saratov, E. Ushakov, I. Akha­tov. – URL: http://www.iccm-central.org/Proceedings/ ICCM21proceedings/papers/3722.pdf (accessed 10 March 2019).
20. Bogetti T.A., Gillespie J.W. Process-induced stress and deformation in thick-section thermoset composite laminates // Journal of Composite Materials. – 1992. – Vol. 26. – No. 5. – P. 626–660.
21. A comparison of curing process-induced residual stresses and cure shrinkage in micro-scale composite structures with different constitutive laws / D. Li, X. Li, J. Dai, S. Xi // Journal of Reinforced Plastics and Composites. – 2017. DOI: 10.1177/0731684416629764
22. Multiscale characterization and representation of composite materials during processing / N. Zobeiry, A. Forghani, C. Li, K. Gordnian [et.al.] // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. – 2016. – Vol. 374. DOI: 374. 20150278. 10.1098/rsta.2015.0278
23. Wijskamp S., Akkerman R., Lamers E.A.D. Residual stresses in non-symmetrical carbon-epoxy laminates. – 2014. – URL: https://www.academia.edu/33715426/Residual_stresses_in_ non-symmetrical_carbon_epoxy_laminates (accessed 9 January 2019).
24. Бондарчук Д.А., Федулов Б.Н. Анализ напряжений в ПКМ с концентратором // Инженерные системы–2018: cб. ст. докл. участников международного форума. – Саров, 2018. – С. 7–20.
25. Nonlinear shear behavior and failure of composite materials under plane strain conditions / B. Fedulov, A. Fedorenko, A. Safonov, E. Lomakin // Acta Mechanica. – 2017. – Vol. 228. – No. 6. – P. 2033–2040.
26. Failure analysis of laminated composites based on degradation parameters / B.N. Fedulov, A.N. Fedorenko, M.M. Kantor, E.V. Lomakin // Meccanica. – 2018. – Vol. 53. – No. 1–2. – P. 359–372.
27. Tinô S.R.L., Aquino E.M.F. Fracture Characteristics and Anisotropy in Notched Glass Fiber Reinforced Plastics // Materials Research. – 2004. – No. 17. – P. 1610–1619. DOI: 10.1590/1516-1439.302314
28. Gyekenyesi A.L. Crack Development in Cross-Ply Laminates Under Uniaxial Tension. 1996. – URL: https://ntrs.nasa.gov/ archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19960015867.pdf (accessed 10 March 2019.
29. Mechanical performance of carbon-epoxy laminates. Part II: quasi-static and fatigue tensile properties / J.R. Tarpani, M.T. Milan, D. Spinelli, W.W. Bose // Materials Research. – 2006. – Vol. 9. – No. 2. – P. 121–130. DOI:10.1590/S1516-14392006000200003

30. Experimental investigation on damage evolution in cross-ply laminates subjected to quasi-static and fatigue loading / H. Shen, W. Yao, W. Qi, J. Zong // Composites Part B: Engine­ering. – 2017. DOI: 10.1016/j.compositesb.2017.02.033

Опыт эксплуатации разнообразных элементов конструкций показывает, что условия циклического нагружения и виды напряженного состояния зачастую отличаются от условий лабораторных испытаний, таких как одноосное растяжение-сжатие, изгиб или кручение. Как правило, в эксплуатации конструкционные элементы подвержены сложным (многоосным) напряженным состояниям, поэтому для оценки долговечности реальных элементов необходимо использовать многоосные усталостные критерии.

Современные многоосные критерии позволяют оценить количество циклов до разрушения образца или конструкционного элемента (усталостная долговечность) с учетом ориентации так называемой критической плоскости развития усталостных повреждений.

Получены аналитические решения для определения ориентации критической плоскости при циклическом нагружении с использованием современного усталостного критерия для многоосных напряженных состояний. Рассмотрено циклическое нагружение с произвольным сдвигом фаз для классического диапазона усталости (малоцикловая и многоцикловая усталость). Исследованы случаи трехосного циклического нагружения «растяжение-сжатие» и циклического нагружения, часто используемого при усталостных испытаниях, «кручение с изгибом». Показано, что при определенных значениях сдвига фаз усталостная долговечность может принимать очень низкие значения даже в тех случаях, когда синфазное нагружение вообще не приводит к усталостному разрушению. Проведено сравнение исследуемого критерия с экспериментальными данными и численными расчетами, выполненными с использованием иного критерия.

Рассмотрен диск компрессора низкого давления газотурбинного двигателя, подверженный циклическому воздействию центробежных нагрузок. Путем распределения напряжений, рассчитанного приближенным численно-аналитическим методом, а также распределения напряжений, рассчитанного методом конечных элементов, определены зоны наибольшей концентрации напряжений, ориентация критической плоскости в зонах концентрации и на этой основе оценена долговечность эксплуатации такого диска с использованием многоосного критерия усталостного разрушения.

Ключевые слова: циклическое нагружение, усталостное разрушение, критерий для многоосного напряженного состояния, критическая плоскость, малоцикловая усталость, многоцикловая усталость, долговечность элемента конструкции.

Бураго Николай Георгиевич – д.ф.-м.н., в.н.с., e-mail: burago@ipmnet.ru, 0000-0002-1806-9386

Никитин Илья Степанович – д.ф.-м.н., дир., e-mail: i_nikitin@list.ru, 0000-0003-3499-6910

Никитин Александр Дмитриевич – к.т.н., н.с., e-mail: nikitin_alex@bk.ru, 0000-0002-2916-758X

Стратула Борис Андреевич – м.н.с., e-mail: stratula@matway.net, 0000-0001-8916-5263

1. Meggiolaro M.A., Miranda A.C., de Castro J. Comparison among fatigue life prediction methods and stress-strain models under multiaxial loading // Proceedings of 19th Int. Congress of Mech. Eng. – Brasilia, DF, 2007.
2. Marmi A.K., Habraken A.M., Duchene L. Multiaxial fatigue damage modeling at macro scale of Ti6Al4V alloy // Int. J. of Fatigue. – 2009. – Vol. 31. – P. 2031–40.
3. Ying-Yu Wang, Wei-Xing Yao. Evaluation and comparison of several multiaxial fatigue criteria // Int. J. of Fatigue. – 2004. – Vol. 26. – P. 17–25.
4. Investigation of multiaxial fatigue in the prospect of turbine disc applications: Part II – Fatigue criteria analysis and formulation of a new combined one / V. Bonnand, J.L. Chaboche, H. Cherouali, P. Kanoute, E. Ostoja-Kuczynski, F. Vogel // Proceedings the 9-th Intern. Conf. of Multiaxial Fatigue and Fracture (ICMFF9). – Parma, Italy, 2010. – P. 691–698.
5. Kallmeyer A.R., Krgo A., Kurath P. Evaluation of multiaxial fatigue life prediction methodologies for Ti-6Al-4V // ASME J. Eng. Mater. Technol. – 2002. – Vol. 124. – P. 229–237.
6. Sines G. Behavior of metals under complex static and alternating stresses. – Metal fatigue. – McGraw-Hill, 1959. – P. 145–169.
7. Crossland B. Effect of large hydrostatic pressures on torsional fatigue strength of an alloy steel // Proc. Int. Conf. on Fatigue of Metals. – London, 1956. – P. 138–49.
8. Findley W. A theory for the effect of mean stress on fatigue of metals under combined torsion and axial load or bending // J. of Eng. for Indust. – 1959. – P. 301–306.
9. Papadopoulos I.V. Long life fatigue under multiaxial loa­ding // International Journal of Fatigue. – 2001. – Vol. 23. – P. 839–849.
10. Morel F. A critical plane approach for life prediction of high cycle fatigue under multiaxial variable amplitude loading // Int. J. of Fatigue. – 2000. – Vol. 22(2). – P. 101–119.
11. Expected position of the fatigue plane by using the weighted mean principal Euler angles / A. Carpinteri, A. Karo­lczuk, E. Macha, S. Vantadori // International Journal of Fatigue. – 2002. – Vol. 115. – P. 87–99.
12. Banvillet A., Palin-Luc T., Lasserre S. A volumetric energy based high cycle multiaxial fatigue criterion // International Journal of Fatigue. – 2003. – Vol. 25(8). – P. 755–769.
13. Matake T. An explanation on fatigue limit under combined stress // Bull JSME. – 1977. – Vol. 20 – P. 257–763.
14. McDiarmid D.L. A shear stress based critical-plane criterion of multiaxial fatigue failure for design and life prediction // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. – 1999. – Vol. 17. – P. 1475–1484.
15. Susmel L., Taylor D. A critical distance/plane method to estimate finite life of notched components under variable amplitude uniaxial/multiaxial fatigue loading // Int. J. of Fatigue. – 2012. – Vol. 38. – P. 7–24.
16. Carpinteri A., Spagnoli A., Vantadori S. Multiaxial assessment using a simplified critical plane-based criterion // Int. J. of Fatigue. – 2011. – Vol. 33. – P. 969–76.
17. Fatemi A., Socie D.F. A critical plane approach to multiaxial damage including out-of-phase loading // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. – 1988. – Vol. 11. – No. 3. – P. 149–166.
18. A comparative study of multiaxial high-cycle fatigue criteria for metals / I.V. Papadopoulos, P. Davoli, C. Gorla, M. Filip­pi­ni, A. Bernasconi // Int. J. of Fatigue. – 1997. – Vol. 19. – No. 3. – P. 219–235.
19. Collins J.A. Failure of Materials in Mechanical Design: Analysis, Prediction, Prevention. – NY: Wiley, 1993. – 654 p.
20. Шанявский А.А. Моделирование усталостных разрушений металлов. – Уфа: Монография, 2007. – 498 с.
21. Burago N.G., Zhuravlev A.B., Nikitin I.S. Models of multiaxial fatigue fracture and service life estimation of structural elements // Mechanics of Solids. – 2011. – Vol. 46(6). – P. 828–838.
22. Определение критической плоскости и оценка усталостной долговечности при различных режимах циклического нагружения / И.С. Никитин, Н.Г. Бураго, А.Д. Никитин, В.Л. Якушев // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2017. – № 4. – С. 238–252.
23. Nikitin A., Palin-Luc T., Shanyavskiy A. Fatigue crack initiation and growth on an extruded titanium alloy in gigacycle regime: comparison between tension and torsion loadings // 21st European Conference on Fracture, ECF21. – Catania, Italy, 2016.
24. Nishihara T., Kawamoto M. The strength of metals under combined alternation bending and torsion with phase difference // Memories of the College of Engineering. – Kyoto Imperial University, 1945. – Vol. 11. – P. 85–112.
25. Демьянушко И.В., Биргер И.А. Расчет на прочность вращающихся дисков. – М: Машиностроение, 1978. – 247 с.
26. Костюк А.Г. Динамика и прочность турбомашин. – М.: Изд. дом МЭИ, 2007. – 476 с.
27. Иноземцев А.А., Нихамкин М.А., Сандрацкий В.Л. Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок. – М.: Машиностроение, 2008. – 204 с.
28. Shlyannikov V.N., Yarullin R.R., Gizzatullin R.Z. Structural integrity prediction of turbine disk on a critical zone concept basis // Proceedings of 11^th International Conference on Engineering Structural Integrity Assessment. – Manchester, UK, 2011. – P. 1–10.
29. Residual life prediction of power steam turbine disk with fixed operating time / B.V. Ilchenko, R.R. Yarullin, A.P. Zakha­rov, R.Z. Gizzatullin // Proceeding of ECF-19 conference. – Kazan, Russia, 2012.
30. Burago N.G., Nikitin I.S., Yushkovskiy P.A. Lifetime of disks of variable thickness with anisotropy of fatigue properties taken into account // Mechanics of Solids. – 2015. – Vol. 50(5). – P. 546–558.

31. The life duration for compressor disc under torsional vibrations of the blades / I.S. Nikitin, N.G. Burago, A.D. Nikitin, P.A. Yushkovskiy // Solid State Phenomena. – 2017. – Vol. 258. – P. 145–148.

Представлены основные постановки и методы исследования коэффициентных обратных задач. Приведена классификация коэффициентных ОЗ в зависимости от реконструируемых объектов. Выделено три класса задач: конечномерные задачи, задачи об определении одномерных функций, задачи о восстановлении многомерных законов. Обсуждены основные подходы при исследовании ОЗ каждого типа.

Описаны схемы исследования конечномерных ОЗ, в том числе и метод Прони, позволяющий упростить схему решения нелинейной ОЗ. В качестве примера конечномерной ОЗ приведен способ определения линейных законов неоднородности полосы, состоящий в построении приближенной модели индентирования и использовании метода Прони на начальном этапе определения параметров модели.

Приведены основные схемы исследования коэффициентных ОЗ по определению одной или нескольких функций при анализе установившихся колебаний в различных постановках. В первой постановке в качестве дополнительной информации заданы компоненты физических полей внутри тела. В качестве примера приведена задача об определении переменного модуля Юнга балки при анализе изгибных колебаний, которая сводится к задаче для линейного операторного уравнения с компактным оператором. В качестве второго типичного примера коэффициентных ОЗ в первой постановке приведена задача об определении переменных коэффициентов Ляме при анализе колебаний прямоугольника, исследование которой сводится к решению задачи Коши для системы уравнений в частных производных первого порядка.

Во второй постановке задано поле смещений на границе тела в некотором частотном диапазоне, что значительно усложняет задачу, поскольку приводит к существенно нелинейной некорректной проблеме. На примере задачи об определении модуля Юнга, модуля сдвига и плотности для функционально-градиентного консольно закрепленного стержня постоянного сечения при анализе продольных, изгибных и крутильных колебаний построен итерационный процесс, приводящий к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода для нахождения поправок на каждом шаге. Обсуждены вопросы единственности восстановления искомых характеристик.

Ключевые слова: обратная задача, некорректность, метод Прони, итерационный процесс, регуляризация, интегральное уравнение Фредгольма, функционально-градиентный материал, установившиеся колебания, приближенная модель, контактная задача.

Ватульян Александр Ованесович – д.ф.-м.н., проф., зав. каф., e-mail: vatulyan@math.rsu.ru, 0000-0003-0444-4496.

Плотников Дмитрий Константиноич – асп., e-mail: dplotnikov@sfedu.ru, 0000-0002-2989-1949

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979. – 287 с.
2. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. – М.: Наука, 1984. – 261 с.
3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1988. – 288 с.
4. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. – Новосибирск: Наука, 1988. – 168 с.
5. Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач. – Новосибирск: Наука, 1988. – 184 с.
6. Численные методы решения некорректных задач / Тихонов А.Н. [и др.] – М.: Наука, 1990. – 230 с.
7. Яхно В.Г. Обратные коэффициентные задачи для дифференциальных уравнений упругости. – Новосибирск: Наука, 1990. – 304 с.
8. Bui H.D. Inverse Problems in the Mechanic of Materials: An Introduction. – CRC Press, Boca Raton, FL, 1994. – 224 p.
9. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. – М.: Изд-во МГУ, 1994. – 206 с.
10. Isakov V. Inverse problems for PDE. – Springer-Verlag, 2005. – 284 p.
11. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 480 с.
12. Bonnet M., Constantinescu A. Inverse problems in elasticity // Inverse Probl. – 2005. – No. 21. – P. 1–50.
13. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. – М.: Физматлит, 2007. – 223 с.
14.  Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. – Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009. – 458 с.
15. Bal G. Introduction to Inverse Problems. – New York: Columbia University, 2012. – 205 p.
16. Neto F.D.M., Neto A.J.S. An Introduction to Inverse Problems with Applications. – Berlin: Springer, 2013. – 255 p.
17. Ватульян А.О. Коэффициентные обратные задачи механики. – М.: Физматлит, 2019. – 272 с.
18. Данилаев П.Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения. – Казань: УНИПРЕСС, 1998. – 128 с.
19. Костин В.А., Торопов М.Ю., Снегуренко А.П. Обратные задачи прочности летательных аппаратов. – Казань: Изд-во КГТУ, 2002. – 247 с.
20. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. – М.: Физматлит, 2009. – 272 с.
21. Бочарова О.В., Ватульян А.О. О реконструкции плотности и модуля Юнга для неоднородного стержня // Акустический журнал. – 2009. – Т. 55, № 3. – С. 281–288.
22. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. – М.: Мир, 1972. – 319 с.
23. Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. – М.: Физматлит, 2006. – 320 с.
24. Ватульян А.О. Явруян О.В. Идентификация композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2007. – Т. 13, № 2. – С. 174–180.
25. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. – М.: Мир. 1968. – 184 с. (R. Bellman, R. Kalaba, Quasilinearization and Nonlinear Boundary Value Problems, Elsevier, New York, 1965).
26. Ватульян А.О., Сухов Д.Ю. Об одном методе определения параметров упругих потенциалов // Экологический вестник ЧЭС. – 2012. – №4. – С. 27-32.
27. Баранов И.В., Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Об одном генетическом алгоритме и его применении в обратных задачах идентификации упругих сред // Вычислительные технологии. – 2006. – № 3. – С.14-25.
28. Лу Л.-Ю., Жанг Б.-К. Нахождение слоя с малой скоростью сдвиговых волн релеевской волной с помощью генетических алгоритмов // Акуст. журн. – 2006. – Т. 52, № 6. – С. 811–824.
29. Шифрин Е.И. Идентификация эллипсоидального дефекта в упругом теле по результатам одного испытания на одноосное растяжение (сжатие) // Изв. РАН. МТТ. – 2010. – № 3. – С. 131−142.
30. Ильгамов М.А., Хакимов А.Г. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом // Дефектоскопия. – 2009. – № 6. – С. 83–89.
31. Ватульян А.О., Каштальян Д.О. Об определении зоны деструкции в упругой балке // Изв вузов. Северо-Кав­каз­ский регион. Сер. Естеств. науки. – 2015. – № 4. – С. 29–34.
32. Ватульян А.О., Плотников Д.К., Поддубный А.А. О некоторых моделях индентирования функционально-гра­диент­ных покрытий // Изв. Сарат. ун-та. Новая серия. Сер.: Математика. Механика. Информатика. – 2018. – Т. 18. – Вып. 4. – С. 421–432.
33. Гюнтер Н. М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1934. – 181 с.
34. Ватульян А.О., Гукасян Л.С., Недин Р.Д. О задаче Коши в теории коэффициентных обратных задач для упругих тел // Владикавказский математический журнал. – 2016. – Т. 18. – Вып. 2. – С. 31–40.

35. Ватульян А.О. Интегральные уравнения в обратных задачах определения коэффициентов дифференциальных операторов теории упругости // Докл. РАН. – 2005. – Т. 405,
№ 3. – С. 343–345.

На практике широко применяются композитные (однородные) оболочки, пластины и балки сложной формы. Расчеты методом конечных элементов трехмерных композитных тел с учетом их структуры и сложной формы сводятся к построению дискретных моделей высокой размерности. Для понижения размерности дискретных моделей эффективно применяются многосеточные конечные элементы (МнКЭ). При построении композитного
m-сеточного конечного элемента (mсКЭ) используется m вложенных сеток. Мелкая сетка порождена базовым разбиением mсКЭ, которое учитывает композитную структуру и форму mсКЭ. На m – 1 крупных сетках определяются функции перемещений, применяемые для понижения размерности базового разбиения, что позволяет проектировать mсКЭ малой размерности. Функции перемещений и напряженное состояние в МнКЭ, которое описывается уравнениями трехмерной задачи теории упругости, представляются в локальных декартовых системах координат. Особенность МнКЭ состоит в следующем. При построении МнКЭ (без увеличения их размерности) можно использовать сколь угодно мелкие базовые разбиения, которые сколь угодно точно учитывают сложную неоднородную структуру и форму МнКЭ, и в этом случае сколь угодно точно описывается трехмерное напряженно-деформированное состояние в МнКЭ. В данной работе предложен метод образующих конечных элементов (КЭ) для построения трехмерных композитных МнКЭ двух типов сложной формы. Суть предлагаемого метода состоит в следующем. Область МнКЭ
1-го типа получается путем поворота заданного плоского образующего односеточного КЭ (сложной формы) вокруг заданной оси на заданный угол, МнКЭ 2-го типа – путем параллельного перемещения образующего КЭ в заданном направлении на заданное расстояние. МнКЭ 1-го типа применяются для расчета композитных оболочек вращения, МнКЭ
2-го типа – для расчета композитных цилиндрических оболочек (с переменным радиусом кривизны срединной поверхности), пластин и балок сложной формы. Основные достоинства предлагаемых МнКЭ состоят в том, что они учитывают сложную неоднородную и микронеоднородную структуру и форму тел, образуют дискретные модели малой размерности и порождают приближенные решения c малой погрешностью.

Ключевые слова: упругость, композиты, многосеточные конечные элементы, образующие конечные элементы, оболочки вращения, цилиндрические оболочки, пластины и балки.

Матвеев Александр Данилович – к.ф.-м.н., доц., с.н.с., e-mail: mtv241@mail.ru

1. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The finite element method: its basis and fundamentals. – Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2013. – 715 p.
2. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. – М.: Мир, 1981. – С. 304.
3. Голованов А.И., Тюленева О.И., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. – М.: Физматлит, 2006. – С. 392.
4. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. – М.: Стройиздат, 1982. – 448 c.
5. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. – М.: Высшая школа, 1985. – 392 c.
6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 544 c.
7. Секулович М. Метод конечных элементов. – М.: Стройиздат, 1993. – 664 c.
8. Кабанов В.В., Железнов Л.П. К расчету цилиндрической оболочки методом конечных элементов // Прикладная механика. – 1985. – Т. XXI, № 9. – С. 35–40.
9. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Шубович А.А. Анализ напряженного деформированного состояния оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке при различных вариантах интерполяции перемещений. – Волгоград, 2013. – 152 c.
10. Киселев А.П. Расчет тонких оболочек на прочность в трехмерной постановке без упрощающих гипотез // Изв. вузов. Строительство. – 2008. – № 1. – C. 18–23.
11. Киселев А.П., Гуреева Н.А., Киселева Р.З. Расчет многослойных оболочек вращения и пластин с использованием объемных конечных элементов // Изв. вузов. Строительство. – 2010. – № 1. – С. 106–112.
12. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Решение трехмерных задач для толстых упругих оболочек на основе метода отсчетных поверхностей // Механика твердого тела. – 2014. – № 4. – С. 54–64.
13. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. On the use of a new concept of sampling surfaces in shell theory // Advanced Structured Materials. – 2011. – Vol. 15 – Р. 715–726.
14. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. – М.: Физматлит, 2008. – 432 c.
15. Noor A.K., Burton W.S. Assessment of computational models for multilayered composite shells // Applied Mechanics Reviews. – 1990. – Vol. 43. – Р. 67–97.
16. Carrera E. Theories and finite elements for multilayered, anisotropic, composite plates and shells // Archives of Computational Methods in Engineering. – 2002. – Vol. 9. – Р. 1–60.
17. A partial hybrid stress solid-shell element for the analysis of laminated composites / K. Rah, W. Van Paepegem, A.M. Ha­braken, J. Degrieck // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. – 2011. – Vol. 200. – No. 49–52. – Р. 3526–3539.
18. Cinefra M., Carrera E. Shell finite elements with different through-the-thickness kine- matics for the linear analysis of cylindrical multilayered structures // Int. J. Num. Meth. Eng. – 2013. – Vol. 93 – No. 2. – Р. 160–182.
19. Ahmed A., Kapuria S. A four-node facet shell element for laminated shells based on thethird order zigzag theory // Composite Structures. – 2016. – Vol. 158. – Р. 112–127.
20. Carrera E., Pagani A., Valvano S. Shell elements with through-the-thickness variablekinematics for the analysis of laminated composite and sandwich structure // Composites Part B: Engineering. –2017. – Vol. 111. – Р. 294–314.
21. Yasin M.Y., Kapuria S. An efficient layerwise finite element for shallow composite and sandwich shells // Composite Structures. – 2013. – Vol. 98. – Р. 202–214.
22. Сaliri M.F., Ferreira A.J.M., Tita V. A review on plate and shell theories for laminatedand sandwich structures highlighting the finite element method // Composite Structures. – 2016. – Vol. 156. – P. 63–77.
23. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высшая школа, 1982. – 264 c.
24. Матвеев А.Д. Смешанные дискретные модели в анализе упругих трехмерных неоднородных тел cложной формы // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. – № 1. – С. 182–195.
25. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Трехмерные композитные многосеточные конечные элементы оболочечного типа // Изв. АлтГУ. – 2017. – № 4. Сер.: Физ.-мат. науки. – С. 120–125. DOI: 10.14258/izvasu(2017)4-22
26. Matveev A.D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. – 2016. – Vol. 158. – No. 1. – Art. 012067. – P. 1–9.
27. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок // Вестник КрасГАУ. – 2016. – № 12. – С. 93–100.
28. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах трехмерных однородных и композитных тел // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. – 2016. – Т. 158, кн. 4. – С. 530–543.
29. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. – Ленинград: Судостроение, 1977. – 280 c.
30. Железнов Л.П., Кабанов В.В., Бойко Д.В. Нелинейное деформирование и устойчивость овальных цилиндрических оболочек при чистом изгибе с внутренним давлением // Прикладная механика и техническая физика. – 2006. – Т. 47, № 3. – С. 119–125.
31. Xia Y., Friswell M.L., Saavedra Flores E.I. Equivalend models of corrugated panels // Itern. J. Solids Structures. – 2012. – Vol. 49. – No. 14. – P. 1453–1462.
32. Andrianov I.V., Diskovsky A.A., Kholod E.I. Homogenization method in the theory of corrugated plates // Tech. Mech. – 1998. – Bd. 18. – P. 123–133.
33. An analytical homogenization model for finite element modelling of corrugated cardboard / N. Talbi, A. Batti, R. Ayad, Y.Q. Guo // Composite Structures. – 2009. – Vol. 88. – P. 280–289.
34. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин. Справочник. – М.: Машиностроение, 1993. – 639 c.

35. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. – Киев: Наукова думка, 1975. – 704 c.

В настоящей работе исследуется кинетика и устойчивость фронта химической реакции, происходящей между деформируемым и диффундирующим компонентами. В роли движущей силы выступает нормальная компонента тензора химического сродства. Напряженное состояние, при котором максимальное значение нормальной компоненты тензора сродства обращается в ноль, соответствует химическому равновесию. При этом происходит блокирование распространения фронта реакции. Устойчивость фронта реакции в окрестности состояния блокирования является предметом исследования в настоящей работе. Развиваемый подход к анализу устойчивости основан на решении линеаризованной задачи о движении возмущенного фронта реакции. Ранее этот подход был применен для исследования устойчивости межфазных границ в случае фазовых превращений. Его преимуществом является возможность исследовать, как происходит потеря устойчивости. Аналитическое решение возмущенных уравнений движения фронта реакции возможно только для некоторых простых конфигураций. В связи с этим развиты численные процедуры. В качестве примера с использованием численных процедур исследована задача о распространении фронта химической реакции в полом цилиндре. Для случая неустойчивого фронта реакции исследуется напряженно-деформированное состояние, порождаемое потерей устойчивости, и оценивается возможность разрушения.

Ключевые слова: тензор химического сродства, устойчивость границы раздела фаз, механохимия, блокирование реакции, кинетика химической реакции, численное моделирование.

Морозов Александр Владимирович – стажер-исследователь, e-mail: morozov@tu-berlin.de, 0000-0001-7334-4339.

Фрейдин Александр Борисович – д.ф.-м.н., с.н.с., e-mail: alexander.freidin@gmail.com, 0000-0003-2916-3375.

Вольфганг Мюллер – д.ест.н., профессор, зав. каф., e-mail: wolfgang.h.mueller@tu-berlin.de.

1. Sutardja P., Oldham W. Modeling of stress effects in silicon oxidation. IEEE Trans Electron Devices, vol. 36(11), pp. 2415-2421.
2. Krzeminski C., Han X.L., Larrieu G. Understanding of the retarder oxidation effects in silicon nanostructures. Appl. Phys. Lett. 2012, vol. 100:263111.
3. Fang X, Li Y., Yue M., Feng X. (2019) Chemo-mechanical coupling effect on high temperature oxidation: A review. Sci China Tech Sci, 2019, vol 62 (8), pp 1246-1254.
4. Cui Z., Gao F., Qu J. A finite deformation stress-dependent chemical potential and its applications to lithium ion batteries. Mechanics and Physics of Solids, 2012, vol. 60, pp. 1280-1295.
5. Cui Z., Gao F., Qu J. Interface-reaction controlled diffusion in binary solids with applications to lithiation of silicon in lithium-ion batteries. Mechanics and Physics of Solids, 2013, vol. 61, pp. 293-310.
6. Levitas V.I., Attariani H. Anisotropic compositional expansion in elastoplastic materials and corresponding chemical potential: Large-strain for simulation and application to amorphous lithiated silicon. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2014, vol. 69, pp. 84-111.
7. Bower A. F., Guduru P. R. A simple finite element model of diffusion, finite deformation, plasticity and fracture in lithium ion insertion electrode materials. Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering, 2012, vol. 20 (4): 045004.
8. Bower A. F., Guduru P. R., Chason E. Analytical solutions for composition and stress in spherical elastic-plastic lithium-ion electrode particles containing a propagating phase boundary. International Journal of Solids and Structures, 2015, vol. 69-70, pp. 328-342.
9. Wang J.W., He Y., Fan F.F., Liu X.H., Xia S.M., Liu Y., et al. Two-phase electrochemical lithiation in amorphous silicon. Nano Letters, 2013, vol. 13 (2), pp. 709-715.
10. Cheng Y.C., Wang Y.T., Hsu F.C., Lu F.C., Wu C.L., Lin M.T. Effect of loading stress on the growth of Cn/Sn intermetallic compounds at high temperatures. Journal of Electronic Materials, 2015, vol. 44, pp. 604–611.
11. Lee L.M., Mohamad A.A. Interfacial reaction of Sn-Ag-Cu lead-free solder alloy on Cu. A review. Advances in Materials Science and Engineering, 2013, vol. 2013, pp 123–697.
12. Chan Y.C., Yang D. Failure mechanisms of solder interconnects under current stressing in advanced electronic packages. Progress in Materials Science, 2010, vol. 55 (5), pp. 428-475.
13. Marcus R., Sheng T. The oxidation of shaped silicon surfaces. J Electrochem Soc, 1982, vol. 129(6), pp. 1278-1282.
14. Kao D.B., McVittie J.P., Nix W.D., Saraswat K.C. Two-dimensional thermal-oxidation of silicon. II. Modeling stress effects in wet oxides. IEEE Transactions on Electron Devices, 1988, vol. 35(1), pp. 25-37.
15. Mihalyi A., Jaccodine R.J., Delph T.J. Stress effects in the oxidation of planar silicon substrates. Applied Physics Letters, 1999, vol. 74(14), pp. 1981-1983.
16. Heidemeyer H., Single C., Zhou F., Prins F.E., Kern D., Plies E. Self-limiting and pattern dependent oxidation of silicon dots fabricated on silicon-on-insulator material. Journal of Applied Physics, 2000, vol. 87, pp. 4580-4585.
17. Buttner C., Zacharias M. Retarded oxidation of Si nanowires. Applied Phys. Lett. 2006, vol. 89: 263106.
18. van Havenbergh K., Turner S., Marx N., van Tende­loo G. The mechanical behavior during (de)lithiation of coated silicon nanoparticles as anode material for lithium-ion batteries studied by in situ transmission electron microscopy. Energy Technology, 2016, vol. 4(8), pp. 1005-1012.
19. Ortiz M., Repetto E., Si H. A continuum model of kinetic roughening and coarsening in thin films. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1999, vol. 47(4), pp. 697-730.
20. Barvosa-Carter W., Aziz M.J., Gray L.J., Kaplan T. Kinetically driven growth instability in stressed solids. Physical Review Letters, 1998, vol. 81(7), pp. 1445–1448.
21. Phan A.-V., Kaplan T., Gray L.J., Adalsteinsson D., Sethian J.A., Barvosa-Carter, W., Aziz M.J. On transient layers as new phase domains in composite materials. Modelling and simulation in materials science and engineering, 2001, vol. 9(1), pp. 309–325.
22. Barvosa-Carter W., Aziz M.J. Interfacial roughening during solid phase epitaxy: Interaction of dopant, stress, and anisotropy effects. Journal of Applied Physics, 2004, vol 96(10), pp. 5462–5468.
23. Zeeshan A., Venkatasubramanian V. Kinetically driven growth instability in stressed solids. Physical Review Letters, 2017, vol. 119(5): 056003.
24. Natsiavas P., Weinberg K., Rosato D., Ortiz M. Effect of prestress on the stability of electrode-electrolyte interfaces during charging in lithium batteries. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2016, vol. 95, pp. 92-111.
25. Hüter C., Fu S., Finsterbusch M., Figgemeier E., Wells L., Spatschek R. Electrode-electrolyte interface stability in solid state electrolyte systems: Influence of coating thickness under varying residual stresses. AIMS Materials Science, 2017, vol. (4), pp. 867–877.
26. Knyazeva A.G. Cross effects in solid media with diffusion. J Appl Mechanics and Technical Physics, 2003, vol. 44(3), pp. 373-384.
27. Loeffel K., Anand L. A chemo-thermo-mechanically coupled theory for elastic-viscoplastic deformation, diffusion, and volumetric swelling due to a chemical reaction. Int J Plasticity, 2011, vol. 27, pp. 1409-1431.
28. Haftbaradaran H., Song J., Curtin W., Gao H. Continuum and atomistic models of strongly coupled diffusion, stress, and solute concentration. Journal of Power Sources, 2011, vol. 196, pp. 361-370.
29. Brassart L., Suo Z. Reactive flow in solids. J Mech Phys Solids, 2013, vol. 61(1), pp. 61-77.
30. Dal H., Miehe C. Computational electro-chemo-mechanics of lithium-ion battery electrodes at Finite strains. Computational Mechanics, 2015, vol. 55(2), pp. 303-325.
31. Zhao K., Pharr M., Wan Q., Wang W., Kaxiras E., Vlassak J., Suo Z. Concurrent reaction and plasticity during initial lithiation of crystalline silicon in lithium-ion batteries. Journal of The Electrochemical Society, 2012, vol. 159, pp. A238-A243.
32. Jia Z., Li T. Stress-modulated driving force for lithiation reaction in hollow nano-anodes. Journal of Power Sources, 2015, vol. 275, pp. 866-876.
33. Prigogine I., Defay R. Chemical Thermodynamics. Longmans, Green, London, 1954.
34. Gibbs J. The Collected Works of J.W. Gibbs, Vol. 1: Thermodynamics. Yale University Press, 1948.
35. Bowen R.M. Toward a thermodynamics and mechanics of mixtures. Arch Rat Mech Anal, 1967, vol. 24, pp. 370-403.
36. Truesdell C. Rational Thermodynamics. McGraw-Hill, London, 1969.
37. Grinfeld M. On conditions of thermodynamic equilibrium of phases of a nonlinearly elastic material. Soviet Math Dokl, 1980, vol. 251, pp. 824-827.
38. James R. Finite deformations by mechanical twinning. Current Opinion in Solid State and Materials Science, 2001, vol. 5, pp. 301-309.
39. Rusanov A.I. Surface thermodynamics revisited. Surface Science Reports, 2005, vol. 58 (5-8), pp. 111-239
40. Rusanov A.I. Termodinamicheskie osnovy mehanohimii. [Thermodynamic foundations of mechanochemistry]. Nauka, St. Petersburg, 2006
41. Freidin A.B. Chemical affinity tensor and stress-assist chemical reactions front propagation in solids. ASME 2013 International Mechanical Engineering Congress and Exposition, November 13-21, 2013, San Diego, California, USA
42. Freidin A., Vilchevskaya E., Korolev I. Stress-assist chemical reactions front propagation in deformable solids. Int. J. Engineering Science, 2014, vol. 83, pp. 57-75
43. Freidin A.B. On a chemical affinity tensor for chemical reactions in deformable solids. Mechanics of Solids, 2015, vol. 50(3), pp. 260-285
44. Freidin A.B., Korolev I.K., Aleshchenko S.P., Vilchev­skaya E.N. Chemical affinity tensor and chemical reaction front propagation: Theory and FE-simulations. International journal of Fracture, 2016, vol. 202, pp. 245-259
45. Poluektov M., Freidin A.B., Figiel L. Modelling stress-affected chemical reactions in nonlinear viscoelastic solids with application to lithiation reaction in spherical Si particles. International Journal of Engineering Science, 2018, vol. 128, pp. 44-62
46. Freidin A.B., Sharipova L.L., Morozov N.F. On locking strains in mechanochemistry of chemical reactions fronts. Chebyshevskii Sbornik, 2017, vol. 18 (3), pp. 469-481
47. Freidin A.B., Sharipova L.L. Forbidden strains and stresses in mechanochemistry of chemical reaction fronts. In: Generalized Models and Non-classical Approaches in Complex Materials (Advanced Structured Materials Vol. 89, Springer), pp. 335-348
48. Grinfeld M. Metody mekhaniki sploshnykh sred v teorii fazovykh prevrashchenii [Methods of continuum mechanics in the theory of phase transformations]. Nauka, Moscow, 1990
49. Grinfeld M.: Thermodynamic Methods in the Theory of Heterogeneous Systems. Longman, New York, 1991
50. Gurtin M.E. Two-phase deformations of elastic solids. Arch. Ration. Mech. Analysis, 1983, vol. 84, pp. 1-29
51. Eremeyev V.A., Zubov L.M. On the stability of equilibrium of nonlinear elastic bodies with phase transformations. Izv. AN USSR Mekh. Tverdogo Tela, 1991, vol. 2, pp. 56-65
52. Fried E. Stability of a two-phase process in an elastic solid. Journal of Elasticity, 1993, vol. 31(3), pp. 163-187
53. Osmolovsky V. Variatsionnaia zadacha o fazovykh pere­kho­dakh v mekhanike sploshnykh sred [The variational problem of phase transitions in continuum mechanics]. Publ. of SPb university, St.Petersburg, Russia, 2000
54. Grabovsky Y., Truskinovsky L. Roughening instability of broken extremals. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 2011, vol. 200, pp. 183-202
55. Grabovsky Y., Truskinovsky L. Marginal material stability. Journal of Nonlinear Science, 2013, vol. 23, pp. 891–969
56. Yeremeyev V.A., Freidin A.B., Sharipova L.L. Non-uniqueness and stability in problems of equilibrium of elastic two-phase bodies. Doklady Physics, 2003, vol. 48, pp. 359-363
57. Yeremeyev V.A., Freidin A.B., Sharipova L.L. The stability of the equilibrium of two-phase elastic solids. J. of Appl. Math. and Mech., 2007, vol. 71, pp. 61-84
58. Glansdorff P., Prigogine I. Thermodynamic theory of stability and fluctuation. Wiley-Interscience, New York, 1971

59. Vilchevskaya E.N., Freidin A.B. On phase transitions in a domain of material inhomogeneity. I. Phase transitions of an inclusions in a homogeneous external field. Mechanics of Solids, 2007, vol. 42 (5), pp. 823-840

Как неоднократно показали исследования поверхностей излома реальных изделий авиационной промышленности, низкоамплитудные высокочастотные колебания могут приводить к «непрогнозируемому» выходу из строя элементов авиационных и иных конструкций. Причиной является высокочастотное нагружение, приводящее к наработке большого количества циклов, зачастую превышающего изученную область усталостного поведения материала. Этот новый режим усталостного разрушения (сверхмногоцикловая усталость) требует специального изучения экспериментальными методами и методами математического моделирования.

В данной статье рассматривается задача о численном определении коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) в образцах с краевой трещиной, нагруженных высокочастотными гармоническими смещениями малой амплитуды. Расчеты проведены для случая, когда частота нагружения близка к собственной частоте образца. Строится поправочная функция для КИН с учетом изменения модальных характеристик резонансной системы (образца с прямолинейной трещиной) при продвижении фронта. Полученное выражение используется для моделирования роста краевой усталостной трещины с криволинейным фронтом.

Описана принципиальная схема пьезоэлектрической усталостной установки и методика проведения испытаний на растяжение-сжатие титановых образцов, на рост краевой трещины в области сверхмногоцикловой усталости. Проводится анализ поверхностей излома с выявлением линий остановок фронта и математическое моделирование эволюции фронта трещины при высокочастотном нагружении.

Результаты математического моделирования сравниваются с экспериментальными данными, полученными в ходе высокочастотных усталостных испытаний на пьезоэлектрической установке. Численными расчетами показано, что данный подход позволяет качественно и количественно моделировать эволюцию усталостной трещины с криволинейным фронтом при сверхмногоцикловом (высокочастотном) режиме нагружения.

Ключевые слова: сверхмногоцикловая усталость, высокочастотное нагружение, пьезоэлектрическая испытательная установка, краевая усталостная трещина, метод конечных элементов, коэффициент интенсивности напряжений, математическое моделирование, трещиностойкость, разрушение, поверхность излома.

Никитин Илья Степанович – д.ф.-м.н., дир., e-mail: i_nikitin@list.ru, 0000-0003-3499-6910

Никитин Александр Дмитриевич – к.т.н., н.с., e-mail: nikitin_alex@bk.ru, 0000-0002-2916-758X

Стратула Борис Андреевич – м.н.с., e-mail: stratula@matway.net, 0000-0001-8916-5263

1. Бураго Н.Г., Журавлев А.Б., Никитин И.С. Сверхмногоцикловое усталостное разрушение титановых дисков компрессора // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. – № 1. – С. 52–67.
2. Nicholas T. Critical issues in high cycle fatigue // Int. J. Fatigue. – 1999. – Vol. 21. – Р. 221–231.
3. Bathias C., Paris C.P. Gigacycle fatigue in mechanical practice. – NY.: Dekker, 2004. – 328 p.
4. Stanzl-Tschegg S., Mayer H. Lifetime measurements for random loading in the very high cycle fatigue range // Int. J. Fatigue. – 1986. – Vol. 8. – P. 195–200.
5. Шанявский А.А., Потапенко Ю.А., Артамонов М.А. Сверх­многоцикловая усталость – новое понимание предельного состояния элементов конструкций с возрастающим сроком эксплуатации // Научный вестник МГТУ ГА. – 2007. – № 123. – С. 21–26.
6. Ultrasonic fatigue tests at high temperature on an austenitic steel / D. Wagner [et al.] // Propulsion and Power Research. – 2012. – Vol. 1. – P. 29–35.
7. Stanzl-Tschegg S.E., Mayer H.R., Tschegg E.K. High frequency method for torsion fatigue testing // Ultrasonics. – 1993. – Vol. 4. – P. 275–280.
8. Ultrasonic fatigue tests on bearing steel AISI-SAE 52100 at frequency of 20 and 30 kHz / I. Marines [et al.] // Int. J. Fatigue. – 2003. – Vol. 25. – P. 1037–1046.
9. Very high cycle fatigue of a high strength steel under sea water corrosion: A strong corrosion and mechanical damage coupling / R. Perez-Mora [et al.] // International Journal of Fatigue. – 2015. – Vol. 74. – P. 156–165.
10. Stanzl-Tschegg S., Schönbauer B. Near-threshold fatigue crack propagation and internal cracks in steel // Procedia Engineering. – 2010. – Vol. 2. – P. 1547–1555.
11. Mayer H. Fatigue crack growth and threshold measu­rements at very high frequencies.// International Journal of Fatigue. – 1999. – Vol. 44(1). – P. 1–36.
12. Tanaka K., Akiniwa Y. Fatigue crack propagation behaviour derived from S-N data in very high cycle regime // Fatigue Fract Eng Mater Struct. – 2002. – Vol. 25. – P. 775–784.
13. Crack growth behaviour of aluminium wrought alloys in the Very High Cycle Fatigue regime / F. Bulbul [et al.] // MATEC Web Conf. – 2018. – Vol. 165. – P. 1–7.
14. Stanzl-Tschegg S. Fracture mechanical characterization of the initiation and growth of interior fatigue cracks // Fatigue Fract Eng Mater Struct. – 2017. – Vol. 40. – P. 1741–1751.
15. The behavior of crack initiation and early growth in high-cycle and very-high-cycle fatigue regimes for a titanium alloy / X. Pan [et al.] // International Journal of Fatigue. – 2018. – Vol. 115. – P. 67–78.
16. Tada H., Paris P.C., Irwin G.R. The stress analysis of cracks handbook. – NY: Del Research Corporation, 2000. – 698 p.
17. Computation of and testing crack growth at 20 kHz load frequency / M. Sadek [et al.] // Procedia Structural Integrity. – 2016. – Vol. 2. – P. 1164–1172.
18. Bathias C. Piezoelectric fatigue testing machines and devises // International Journal of Fatigue. – 2006. – Vol. 26. – P. 1438–1445.
19. Shanyavskiy A.A. Very-High-Cycle-Fatigue of in-ser­vice air-engine blades, compressor and turbine // Science China Physics, Mechanics and Astronomy. – 2014. – Vol. 57. – P. 19‑29.
20. Nikitin A., Bathias C., Palin-Luc T. A new piezoelectric fatigue testing machine in pure torsion for ultrasonic gigacycle fatigue tests: application to forged and extruded titanium alloys // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. – 2015. – Vol. 38. – P. 1294–1304.
21. Fatigue properties of carburised alloy steel in very high cycle regime under torsion loading / H. Ishii, K. Tohgo, T. Fujii, T. Yagasaki, M. Harada, Y. Shimamura, K. Narita // International Journal of Fatigue. – 2014. – Vol. 60. – P. 57–62.
22. Sakai T. Review and prospects for current studies on very high cycle fatigue of metallic materials for machine structural use // Journal of Solid Mechanics and Materials Engineering. – 2009. – Vol. 3. – P. 425–439.
23. Jeddi D., Palin-Luc T. A review about the effects of structural and operational factors on the gigacycle fatigue of steels // Fatigue and Fracture of Engineering Material and Structures. – 2018. – Vol. 41 (5). – P. 969–990.
24. Murakami Y. The Mechanisms of Fatigue Failure in the Ultra long Life Regime. Metal Fatigue. – Oxford: Elsevier, 2002. UK.
25. Бураго Н.Г., Никитин И.С., Юшковский П.А. Долговечность дисков переменной толщины с учетом анизотропии усталостных свойств // Механика твердого тела. – 2015. – T. 5. – P. 78–93.
26. Mason W.P. Piezoelectric Crystals and their Application in Ultrasonics. – NY: Van Nostrand, 1950.
27. Nikitin A., Palin-Luc T., Shanyavskiy A. Crack ini­ti­ation in VHCF regime on forged titanium alloy under tensile and torsion loading modes // Int. J. of Fatigue. – 2016. – Vol. 93. – P. 318–325.
28. Comparison of crack paths in a forged and extruded aeronautical titanium alloy loaded in torsion in the gigacycle fatigue regime / A. Nikitin, C. Bathias, T. Palin-Luc, A. Sha­nyav­skiy // Engineering Fracture Mechanics. – 2016. – Vol. 167. – P. 259–272.
29. Сиратори М., Миеси Т., Мацусита Х. Вычислительная механика разрушения. – М.: Мир, 1986. – 334 с.

30. Prediction of short crack growth of Ti-6Al-4V / K. Wang, F. Wang, W. Cui, T. Yayat, B. Ahmad // Fatigue and Fracture of Engi­neering Materials and Structures. – 2014. – Vol. 37. – P. 1075–1086.

Рассматриваются ферромагнитные сплавы с эффектом памяти формы (сплавы Гейслера), испытывающие фазовый переход из высокотемпературной кубической фазы (аустенит) в низкотемпературную тетрагональную фазу (мартенсит) в ферромагнитном состоянии. В этих сплавах в процессе прямого температурного фазового перехода из аустенитного состояния в мартенситное возможны генерации значительных макроскопических деформаций за счет приложения механических напряжений. Поскольку критические температуры процесса зависят от магнитного поля и полей напряжений, в таких сплавах возможно управление процессом фазового перехода аустенит–мартенсит с помощью магнитного поля.

Представлена модель, позволяющая в рамках конечных деформаций описывать процесс управления прямым (аустенит−мартенсит) и обратным (мартенсит−аустенит) фазовыми переходами с помощью магнитного поля в ферромагнитных поликристаллических материалах с памятью формы при действии внешних силовых, тепловых и магнитных полей. Поскольку магнитное поле влияет на деформацию материала, которая, в свою очередь, изменяет магнитное поле, поставлена связанная краевая задача и рассмотрен пример об азимутальном кручении длинного полого цилиндра (плоская деформация) из сплава Гейслера. Задача реализована численно методом конечных элементов с использованием процедуры пошагового нагружения. Накопление фазовых деформаций происходило в процессе прямого фазового перехода в цилиндре, внешняя поверхность которого была предварительно в аустенитном состоянии закручена в азимутальном направлении относительно фиксированной внутренней. При этом величина накопленных фазовых деформаций зависела от того, какие граничные условия (силовые или кинематические), производящие закручивание, заданы на внешней поверхности цилиндра. Полное снятие накопленных деформаций и раскручивание внешней поверхности цилиндра обратно происходило как при нагревании образца в интервале температур обратного фазового перехода в отсутствие магнитного поля, так и при постоянной температуре, превышающей этот интервал, при снятии магнитного поля, приложенного предварительно в мартенситном состоянии.

Ключевые слова: сплавы с памятью формы, сплавы Гейслера, фазовый переход, аустенит, мартенсит, магнитное поле, конечные деформации, фазовые деформации, краевая задача, вариационная постановка, метод конечных элементов.

 Роговой Анатолий Алексеевич – д.ф.-м.н., проф., г.н.с., e-mail: rogovoy@icmm.ru, 0000-0003-1723-0067

Столбова Ольга Серафимовна – к.ф.-м.н., н.с., e-mail: sos@icmm.ru, 0000-0002-2190-4311

1. Ферромагнетики с памятью формы / А.Н. Васильев [и др.] // Успехи физических наук. – 2003. – Т. 173, № 6. – С. 577–608. DOI: 10.3367/UFNr.0173.200306a.0577
2. Магнитные сплавы с памятью формы: фазовые переходы и функциональные свойства / В.Д. Бучельников [и др.] // Успехи физических наук. – 2006. – Т. 176, № 8. – С. 900–906. DOI: 10.3367/UFNr.0176.200608j.0900
3. Roubicek T., Stefanell U. Magnetic shape-memory alloys: thermomechanical modelling and analysis // Continuum Mechanics and Thermodynamics. – 2014. – Vol. 26. – No. 6. – P. 783–810. DOI: 10.1007/s00161-014-0339-8
4. Lagoudas D.C. Shape Memory Alloys. Modeling and Engineering Applications. – New York: Springer Science+Business Media, 2008. – 455 p. DOI: 10.1007/978-0-387-47685-8
5. Haldar K., Lagoudas D.C., Karaman I. Magnetic field-induced martensitic phase transformation in magnetic shape memory alloys: Mo­de­ling and experiments // Journal of the Mechanics and Physics of So­lids. – 2014. – Vol. 69. – P. 33–66. DOI: 10.1016/j.jmps.2014.04.011
6. Kiefer B., Lagoudas D.C. Modeling the coupled strain and magnetization response of magnetic shape memory alloys under magnetomechanical loading // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. – 2009. – Vol. 20. – P. 143–170. DOI: 10.1177/1045389X07086688
7. A three-dimensional model of magneto-mechanical behaviors of martensite reorientation in ferromagnetic shape memory alloys / X. Chen, Z. Moumni, Y. He, W. Zhang // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. – 2014. – Vol. 64. – P. 249–286. DOI: 10.1016/j.jmps.2013.11.005
8. Thermal effects on high-frequency magnetic-field-induced martensite reorientation in ferromagnetic shape memory alloys: An experimental and theoretical investigation / S. Zhang, X. Chen, Z. Moumni, Y. He // International Journal of Plasticity. – 2018. – Vol. 108. – P. 1–20. DOI: 10.1016/j.ijplas.2018.04.008
9. Peng Q., He Y.J., Moumni Z. A phase-field model on the hysteretic magneto-mechanical behaviors of ferromagnetic shape memory alloy // Acta Materialia. – 2015. – Vol. 88. – P. 13–24. DOI: 10.1016/j.actamat.2015.01.044
10. Shape memory effect due to magnetic field induced ther­mo­elastic martensitic transformation in polycrystalline Ni-Mn-Fe-Ga alloy / A.A. Cherechukin [et al.] // Physics Letters A. – 2001. – Vol. 291. – No. 2–3. – P. 175–183. DOI: 10.1016/S0375-9601(01)00688-0
11. Training of the Ni-Mn-Fe-Ga ferromagnetic shape-memory alloys due cycling in high magnetic field / A.A. Chere­chu­kin [et al.] // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. – 2003. – Vol. 258–259. – P. 523–525. DOI: 10.1016/S0304-8853(02)010
12. Наблюдение одностороннего эффекта памяти формы, обусловленного магнитоиндуцированным мартенситным фазовым переходом в сплаве Ni-Mn-Fe-Ga [Электронный ресурс] / В.Г. Шавров [и др.] // Журнал радиоэлектроники. – 2001. – № 4. – URL: http://jre.cplire.ru/jre/may01/1/text_r.html (дата обращения: 25.03.2019).
13. Малыгин Г.А. Теория эффектов магнитной памяти формы и псевдоупругой деформации в сплавах Ni−Mn−Ga // Физика твердого тела. – 2009. – Т. 51, № 8. – С. 1599–1603.
14. Малыгин Г.А. Моделирование эффекта магнитной памяти формы в пленках сплава Ni₂MnGa // Журнал технической физики. – 2007. – Т. 77, № 2. – С. 136–139.
15. Bustamante R., Dorfman A., Ogden R.W. Universal relations in isotropic nonlinear magnetoelasticity // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. – 2006. – Vol. 59. – No. 3. – P. 435–450. DOI: 10.1093/qjmam/hbl010
16. Bustamante R., Dorfman A., Ogden R.W. A nonlinear mag­ne­toelastic tube under extension and inflation in an axial magnetic field: numerical solution // Journal of Engineering Mathematics. – 2007. – Vol. 59. – No. 1. – P. 139–153. DOI: 10.1007/s10665-006-9088-4
17. Bustamante R., Dorfman A., Ogden R.W. Numerical solution of finite geometry boundary-value problems in nonlinear magneto­elasticity // International Journal of Solids and Structures. – 2011. – Vol. 48. – No. 6. – P. 874–883. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2010.11.021
18. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – М.: Наука, 1980. – 512 с.
19. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. – М.: Мир, 1975. – 585 с.
20. Rogovoy A.A. Formalized approach to construction of the state equations for complex media under finite deformations // Continuum Mechanics and Thermodynamics. – 2012. –Vol. 24. – No. 2. – P. 81–114. DOI: 10.1007/s00161-011-0220-y
21. Роговой А.А. Дифференцирование скалярных и тензорных функций тензорного аргумента // Вестн. Перм. техн. ун-та. Динамика и прочность машин. – 2001. – № 2. – С. 83–90.
22. Rogovoy A.A. Differentiation of scalar and tensor functions of tensor argument // IOSR Journal of Mathematics. – 2019. – Vol. 15. – No. 2. – P. 1–20. DOI: 10.9790/5728-1502010120
23. A thermodynamically-consistent 3D constitutive model for shape memory polymers / M. Baghani, R. Naghdabadi, J. Ar­gha­vani, S. Sohrabpour // International Journal of Plasticity. – 2012. – Vol. 35. – P. 13–30. DOI: 10.1016/j.ijplas.2012.01.007
24. Baghani M., Naghdabadi R., Arghavani J. A large deformation framework for shape memory polymers: Constitutive modeling and finite element implementation // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. – 2013. – Vol. 24. – No. 1. – P. 21–32. DOI: 10.1177/1045389X12455728
25. Thermomechanics of shape memory polymers: uniaxial experiments and constitutive modeling / Y. Liu [et al.] // International Journal of Plasticity. – 2006. – Vol. 22. – P. 279–313. DOI: 10.1016/j.ijplas.2005.03.004
26. Rogovoy A., Stolbova O. Modeling the magnetic field control of phase transition in ferromagnetic shape memory alloys // International Journal of Plasticity. – 2016. – Vol. 85. – P. 130–155. DOI: 10.1016/j.ijplas.2016.07.006
27. Theoretical and numerical modeling of shape memory alloys accounting for multiple phase transformations and martensite reorientation / F. Auricchio [et al.] // International Journal of Plasticity. – 2014. – Vol. 59. – P. 30–54. DOI: 10.1016/j.ijplas.2014.03.008
28. Cisse C., Zaki W., Zineb T.B. A review of constitutive models and modeling techniques for shape memory alloys // International Journal of Plasticity. – 2016. – Vol. 76. – P. 244–284. DOI: 10.1016/j.ijplas.2015.08.006
29. Analytical model for the torsional response of superelastic shape memory alloy circular sections subjected to a loading-unloading cycle / N.V. Viet [et al.] // International Journal of Solids and Structures. – 2019. – Vol. 156–157. – P. 49–60. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2018.08.001
30. Мовчан А.А., Чжо Ту Я. Решение начально-краевых задач о прямом и обратном превращении в рамках нели­ней­ной теории деформирования сплавов с памятью формы // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2007. – Т. 13, № 4. – С. 452–468.
31. Мовчан А.А., Шелымагин П.В., Казарина С.А. Опре­деляющие уравнения для двухэтапных термоупругих фазовых превращений // ПМТФ. – 2001. – Т. 42, № 5. – С. 152–160.
32. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. Аналитическое реше­ние связной задачи об устойчивости пластины из сплава с памятью формы при обратном мартенситном превраще­нии // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2004. – № 5. – С. 164–178.
33. Мовчан А.А., Чжо Ту Я. Решение связанной термо­электромеханической задачи для стержня из сплава с памятью формы в рамках теории нелинейного деформирования этих материалов // Механика композиционных материалов и кон­струкций. – 2008. –Т. 14, № 3. – С. 443–460.
34. Роговой А.А., Столбова О.С. Конечные деформации в сплавах и полимерах с памятью формы // Учён. зап. КнАГТУ. – 2018. – Т. 1, № 3 (35). – С. 6–17.
35. Бозорт Р. Ферромагнетизм. – М.: Изд-во иностр. лит., 1956. – 784 с.
36. Лурье А.И. Теория упругости. – М.: Наука, 1970. – 940 с.
37. Kachanov M., Shafiro B., Tsukrov I. Handbook of Elasticity Solutions. – Dordrecht, Springer Science+Business Media, 2003. – 324 p. DOI: 10.1007/978-94-017-0169-3

38. Rogovoy A.A., Stolbova O.S. Numerical simulation of the phase transition control in a cylindrical sample made of ferromagnetic shape memory alloy // Computation. – 2019. – Vol. 7. – No. 3. – P. 38.1–38.15. DOI: 10.3390/computation7030038

Полимерные материалы на основе эпоксидных смол широко применяются при создании различных устройств и конструкций. В настоящей работе экспериментально исследована электропроводность эпоксидных матриц, модифицированных углеродными нанотрубками, при непрерывном протекании тока в процессе их полимеризации при постоянном напряжении. Актуальность проведенного исследования связана с необходимостью построения адекватной теоретической модели ориентационного упорядочивания углеродных нанотрубок в жидкой полимерной матрице в электрическом поле. Приводится описание экспериментальной установки и методики измерений. Представлены результаты измерения вольт-амперных характеристик образцов композитных материалов с различными массовыми концентрациями углеродных нанотрубок, из которых следует, что проводимость имеет омический характер. Определены времена установления тока, протекающего через образцы, после начала полимеризации при постоянном напряжении. По установившимся значениям тока показано, что проводимость образцов эпоксидных матриц, через которые протекал ток при полимеризации, больше проводимости образцов, через которые ток не протекал. При этом с увеличением концентрации нанотрубок наблюдается увеличение разности проводимостей образцов. Проведено исследование зависимости проводимости образцов от температуры через сутки после начала полимеризации композитного материала. Установлено, что при нагревании до 90 °С проводимость образца, через который пропускался ток при полимеризации, уменьшается до значений проводимости образца без тока. Проведенное в работе исследование связано с изучением возможных технологий ускорения отверждения композитных материалов при изготовлении крупногабаритных конструкций на их основе в условиях космоса. Полученные результаты также могут быть использованы для разработки перспективных технологий изготовления композитных материалов с заданными электрофизическими и механическими свойствами путем воздействия на материалы электрических полей соответствующей конфигурации в процессе их полимеризации.

Ключевые слова: композитные материалы, эпоксидная матрица, углеродные нанотрубки, электропроводность, температурная зависимость.

Семенов Виталий Анатольевич – д.ф.-м.н., доц., e-mail: semenov@psu.ru, 0000-0003-4643-6187.

Русаков Сергей Владимирович – д.ф.-м.н., проф., зав. каф., e-mail: rusakov@psu.ru, 0000-0001-6862-1100

Гилев Валерий Григорьевич – к.ф.-м.н., доц., доцент, e-mail: gvg@psu.ru, 0000-0001-8067-1522

1. Елецкий А.В. Углеродные нанотрубки // Успехи физи­ческих наук. – 1997. – Т. 167, № 9. – С. 945–972.
2. Investigation on Sensitivity of a Polymer/сarbon Nanotube Composite Strain Sensor / N. Hu, Y. Karube, Arai [et al.] // Carbon. – 2010. – No. 48. – P. 680–687. DOI: 10.1016/j.carbon.2009.10.012
3. Electrical Percolation Behavior in Silver Nanowire – Polystyrene Composites: Simulation and Experiment / S.I. White, R.M. Mutiso, D. Jahnke, S. Hsu, J. Li, J.E. Fischer, K.I. Winey // Advanced Functional Materials. – 2010. – No. 20. – P. 2709–2716. DOI: 10.1002/adfm.2010.00.451
4. Абдрахимов Р.Р., Сапожников С.Б., Синицын В.В. Сен­соры давления и температуры на основе суспензии эпоксидной смолы и углеродных нанотрубок // Вестник ЮУрГУ. Сер. Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. – 2013. – Т. 13, № 4. – С. 16–23.
5. Mechanical and electrical property improvement in CNT/Nylon composites through drawing and stretching / X. Wang, P.D. Bradford, W. Liu [et al.] // Composites Science and Technology. – 2011. – Vol. 71. – No. 14. – P. 1677–1683. DOI: 10.1016/j.compscitech.2011.07.023.
6. Electrical conductivity of individual carbon nanotubes / T.W. Ebbesen, H.J. Lezec, H. Hiura [et al.] // Nature. – 1996. – No. 382. – P. 54–56.
7. Percolation-dominated conductivity in a conjugated-polymer-carbon-nanotube composite / J.N. Coleman, S. Curran, A.B. Dalton [et al.] // Physical Review B. – 1998. – Vol. 58. – No. 12. – P. 7492–7495. DOI: 10.1103/PhysRevB.58.R7492
8. Wang L., Dang Z.-M. Carbon nanotube composites with high dielectric constant at low percolation threshold [Электронный документ] // Applied Physics Letters. – 2005. – Vol. 87. – P. 042903. DOI: 10.1063/1.1996842
9. Electrical and thermophysical behaviour of PVC-MWCNT nanocomposites / Ye. Mamunya, A. Boudenne, N. Lebovka [et al.] // Composites Science and Technology. – 2008. – Vol. 68. –
   No. 9. – P. 1981–1988. DOI: 10.1016/j.compscitech.2007.11.014
10. Электропроводность механической смеси углеродных нанотрубок и терморасширенного графита при различных концентрациях и степени сжатия / М.М. Нищенко [и др.] // Наносистеми, наноматерiали, нанотехнологii. – 2009. – Т. 7, № 3. – С. 717–726.
11. Electric field-induced aligned multi-wall carbon nanotube networks in epoxy composites / C.A. Martin, JK.W. Sandler, A.H. Windle [et al.] // Polymer. – 2005. – Vol. 46. – No. 3. – P. 877–886. DOI: 10.1016/j.polymer.2004.11.081
12. Блохин А.Н. Влияние углеродных нанотрубок на электропроводность эпоксидной матрицы // Вопросы современной науки и практики. – 2012. – № 3(41). – С. 384–386.
13. Электропроводность полипропиленовых волокон с дисперсными углеродными наполнителями / О.А. Москалюк [и др.] // Физика твердого тела. – 2012. – Т. 54, № 10. – С. 1993–1998.
14. Мищенко С.В., Ткачев А.Г. Углеродные наноматериалы. Производство, свойства, применение. – М.: Машиностроение, 2008. – 320 с.
15. Bauhofer W., Kovacs J. A review and analysis of electrical percolation in carbon nanotube polymer composites // Composites Science and Technology. – 2009. – Vol. 69. – No. 10. – P. 1486–1498. DOI: 10.1016/j.compscitech.2008.06.018
16. Carbon nanotube–polymer composites: chemistry, processing, mechanical and electrical properties / Z. Spitalsky, D. Tasis, K. Papagelis [et al.] // Progress in Polymer Science. – 2010. – Vol. 35. – No. 3. – P. 357–401. DOI: 10.1016/j.progpolymsci.2009.09.003
17. Xie X.-L., Mai Y.-W., Zhou X.-P. Dispersion and alignment of carbon nanotubes in polymer matrix: a review // Materials Science and Engineering: R: Reports. – 2005. – Vol. 49. – No. 4. – P. 89–112. DOI: 10.1016/j.mser.2005.04.002
18. Wang M.-W., Hsu T.-C., Weng C.-H. Alignment of MWCNTs in polymer composites by dielectrophoresis // The European Physical Journal Applied Physics. – 2008. – Vol. 42. – No. 3. – P. 241–246. DOI: 10.1051/epjap:2008069
19. Shao-Jie M., Guo W.-L. Mechanism of carbon nanotubes aligning along applied electric field // Chinese Physics Letters. – 2008. – Vol. 25. – No. 1. – P. 270–273.
20. Electrical/dielectric properties and conduction mechanism in melt processed polyamide/multi-walled carbon nanotubes composites / E. Logakis, Ch. Pandis, V. Peoglos [et al.] // Polymer. – 2009. – Vol. 50. – No. 21. – P. 5103–5111. DOI: 10.1016/j.polymer.2009.08.038
21. Battisti A., Skordos A.A., Partridge I.K. Percolation threshold of carbon nanotubes filled unsaturated polyesters // Composites Science and Technology. – 2010. – Vol. 70. – No. 4. – P. 633–637. DOI: 10.1016/j.compscitech.2009.12.017
22. Preparation, characterization, and modeling of carbon nanofiber/epoxy nanocomposites / L.-H. Sun, Z. Ounaies, X.-L. Gao [et al.] // Journal of Nanomaterials. – Vol. 2011. – Article ID 307589. DOI: 10.1155/2011/307589
23. Analysis of DC electrical conductivity models of carbon nanotube-polymer composites with potential application to nanometric electronic devices / R. Vargas-Bernal, G. Herrera-Pérez, M.E. Calixto-Olalde [et al.] // Journal of Electrical and Computer Engineering. – 2013. – No. 1. DOI: 10.1155/2013/179538
24. Dielectrophoretic modeling of the dynamic carbon nanotube network formation in viscous media under alternating current electric fields / A.I. Oliva-Aviles, F. Aviles, V. Sosa [et al.] //
    Carbon. – 2014. – Vol. 69. – P. 342–354. DOI: 10.1016/j.carbon.2013.12.035.
25. Электрические характеристики полимерных композитов, содержащих углеродные нанотрубки / А.В. Елецкий, А.А. Книжник, Б.В. Потапкин, Х.М. Кенни // Успехи физических наук. – 2015. – Т. 185, № 3. – С. 225–270. DOI: 10.3367/UFNr.0185.201503a.0225
26. Электропроводящие гибридные полимерные композиционные материалы на основе нековалентно функционализированных углеродных нанотрубок / С.В. Кондрашов
    [и др.] // Труды ВИАМ. – 2016. – № 2. – С. 81–93. DOI: 10.18577/2307-6046-2016-0-2-10-10
27. Исследование влияния функцианализированных многостенных углеродных нанотрубок на электропроводность и механические характеристики эпоксидных композитов / Е.А. Яковлев [и др.] // Вестн. Том. гос. ун-та. Химия. – 2016. – № 3. – С. 15–23. DOI: 10.17223/24135542/5/2
28. Диэлектрические свойства композиционных материалов с ориентированными углеродными нанотрубками / Е.С. Яковенко [и др.] // Неорганические материалы. – 2016. – Т. 52, № 11. – С. 1271–1276.
29. Бочаров Г.С., Елецкий А.В., Книжник А.А. Нелинейное сопротивление полимерных нанокомпозитов с присадкой углеродных нанотрубок в условиях перколяции // Журнал технической физики. – 2016. – Т. 86, № 10. – С. 64–68.

30. Electrical, thermal and mechanical properties of epoxy/CNT/calcium carbonate nanocomposites / E.H. Backes, T.S. Sene, F.R. Passador [et al.] // Materials Research. – 2018. – Vol. 21. – No. 1. DOI: 10.1590/1980-5373-mr-2017-0801

Широкое применение углерода в различных отраслях машино- и приборостроения обусловило большое количество исследований, связанных с его наноразмерными аллотропными формами – графеном, нанотрубками, фуллереном и фуллеритом. В данной статье исследовался процесс взаимодействия фуллерита C₆₀ с подложкой твердого тела с целью установления условий, при которых сам фуллерит или образующие его фуллерены осаждаются на поверхности подложки. Практическим следствием проводимых изысканий может стать создание новых износостойких покрытий.

Исследование процесса взаимодействия фуллерита C₆₀ с подложкой твердого тела проводилось при различных параметрах системы. В исследовании варьировались: температура системы – 300, 700, 1150 K; скорость движения фуллерита – 0,005, 0,01, 0,02 Å/фс; ориентация фуллерита относительно подложки. Вектор скорости фуллерита C₆₀ направлялся по нормали к верхней поверхности подложки. Ориентация фуллерита определяла, какой частью он будет взаимодействовать с подложкой – гранью, ребром или вершиной.
В качестве подложки моделировался кристалл железа Fe(100). Для проведения компьютерного моделирования применялся программный комплекс LAMMPS, использующий методы молекулярной динамики.

Результатами проведенных исследований являются выявленные закономерности поведения фуллерита C₆₀ в целом и фуллеренов, входящих в его состав, в частности при контакте с подложкой. Так, например, установлено, что с увеличением скорости фуллерита C₆₀ количество фуллеренов, осаждающихся на подложке, уменьшается. Кроме того, ориентация фуллерита C₆₀ относительно подложки оказывает значительное влияние как на процесс их взаимодействия, так и на поведение осевших фуллеренов.

Ключевые слова: фуллерен, фуллерит, твердое тело, подложка, кристалл, молекулярная динамика, температура, скорость, ребро, грань, вершина.

Суворов Степан Валентинович – к.ф.-м.н., с.н.с., e-mail: ssv.82@mail.ru, 0000-0003-3051-7732.

Северюхин Александр Валерьевич – к.ф.-м.н., с.н.с., e-mail: severfam@mail.ru, 0000-0002-9319-5681.

Вахрушев Александр Васильевич – д.ф.-м.н., проф., e-mail vakhrushev-a@yandex.ru, 0000-0001-7901-8745.

1. Ruoff R.S., Ruoff A.L. Is C₆₀ stiffer than diamond // Nature. – 1991. – Vol. 350 – Р. 663–664.
2. Ultrahard and superhard phases of fullerite C₆₀: comparison with diamond on hardness and wear / V. Blank, M. Popov, G. Pivovarov, N. Lvova, K. Gogolinsky, V. Reshetov // Diamond and Related Materials. – 1998. – Vol. 7. – No. 2–5. – P. 427–431. DOI: 10.1016/S0925-9635(97)00232-X
3. Кравчук А.С., Трубиенко О.О. Модели и численное решение некоторых динамических контактных задач наномеханики // Вестн. Перм. гос. техн. ун-та. Математическое моделирование систем и процессов. – 2010. – № 1. – С. 72–79.
4. Лурье С.А., Соляев Ю.О. Модифицированный метод Эшелби в задаче определения эффективных свойств со сферическими микро- и нановключениями // Вестн. Перм. гос. техн. ун-та. Математическое моделирование систем и процессов. – 2010. – № 1. – С. 80–90.
5. Coarse-grained potential models for phenyl-based molecules: II. Application to fullerenes / C. Chiu, R. DeVane, M.L. Klein, W. Shinoda, P.B. Moore, S.O. Nielsen // J. Phys. Chem. B. – 2010. – Vol. 114. – No. 2. – P. 6394–6400.
6. Баран Л.В. Эволюция структуры фуллеритовых пленок, конденсированных на различные подложки // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. – 2010. – № 9. – С. 84–88.
7. Смирнов С.В., Смирнова Е.О., Голубкова И.А. Определение диаграмм деформационного упрочнения поверхностных слоев металлических материалов с использованием инструментария наномеханических испытательных комплексов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2011. – № 2. – С. 84–91.
8. Деформационная стабильность фуллерит/фуллеренов C_60/70 / Р.М. Никонова [и др.] // Химическая физика и мезоскопия. – 2011. – Т. 13, № 3. – С. 406–410.
9. Гаришин О.К., Лебедев С.Н. Оценка механических свойств матрицы вокруг частиц наполнителя в полимерных нанокомпозитах с помощью атомно-силовой микроскопии // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2011. – № 3. – С. 15–25.
10. Композит на основе диоксида циркония, модифицированного углеродными нанотрубками: структура и механические свойства / Е.А. Ляпунова, М.В. Григорьев, А.П. Скачков, О.Б. Най­марк, С.Н. Кульков // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 4. – С. 308–316. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.4.18
11. Об учете масштабных эффектов при моделировании механических и трибологических свойств двухфазных микро- и наномодифицированных полимерных покрытий / В.М. Бузник, С.А. Лурье, Д.Б. Волков-Богородский, А.Г. Князева, Ю.О. Соляев, Е.И. Попова // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 4. – С. 36–54. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.4.03
12. Mahmoud Nasrollahzadeh, S. Mohammand Sajadi Chapter 1 – an introduction to nanotechnology // Interface science and Technology. – 2019. – Vol. 28. – Р. 1–27.
13. M. Mohan Gokhale, R. Ravindra Somani Fullerenes: chemistry and its applications // Mini Rev Org Chem. – 2015. – Vol.12. – P. 355–366.
14. Depth profiling by cluster projectiles as seen by computer simulations / Z. Postawa, L. Rzeznik, R. Paruch, M.F. Russo, N. Winogradb, B.J. Garrison // Surf. Interface Anal. – 2011. – Vol. 43. – No. 12. – P. 12–15. DOI: 10.1002/sia.3417
15. Вахрушев А.В., Суворов С.В. Моделирование процесса внедрения фуллерена C₆₀ в поверхность твердого тела // Химическая физика и мезоскопия. – 2011. – Т. 13, № 4. – С. 478–482.
16. Вахрушев А.В., Суворов С.В., Северюхин А.В. Моделирование поведения фуллеренового кластера на поверхности твердого тела // Химическая физика и мезоскопия. –
    2013. – Т. 15, № 4. – С. 515–522.
17. Елецкий А.В., Смирнов Б.М. Фуллерены и структуры углерода // Успехи физических наук. – 1995. – Т. 165, № 9. – С. 977–1009.
18. Rysaeva L.Kh. Mechanical properties of fullerite of various composition // IOP Conf. Series: Journal of physics: Conf, Series. – 2017. – Vol. 938. – P. 1–7.
19. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. – М.: Наука, 1978. – 789 с.
20. Шайтан К.В., Терешкина К.Б. Молекулярная динамика белков и пептидов. – М.: Ойкос, 2004. – 103 с.
21. Разработка и исследование аэрозольных нанотехнологий / В.Н. Аликин [и др.]. – М.: Машиностроение, 2010. – 196 с.
22. Кантор Ч., Шиммел П. Биофизическая химия: в 3 т.: пер. с англ. – М.: Мир, 1984. – Т. 1 – 336 с.
23. Anderson H.S. Molecular dynamics simulation at constant pressure and/or temperature // J. Chem. Phys. – 1980. – Vol. 72 – Р. 2384–2396.
24. Frenkel D., Smit B., Understanding molecular simulation: from algorithms to applications – San Diego: Academic Press, 2002. – 638 p.
25. Haile M.J. Molecular Dynamics Simulation – Elementary Methods – N.Y.: Wiley‑Interscience, 1992. – 386 p.
26. Bozdaganyan Marine E., Orekhov Philipp S., Shaytan Alexey K. Cimparative computation study of interaction of C₆₀ fullerene and tris-malonyl-C₆₀-fullerene isomers with lipid bilayer: relation to their antioxidant effect // J. Plus One. – Vol. 9. –
    Iss. 7. – P. 1–8.
27. ChunI Wang, Chi C. Hua, Show A. Chen dynamic solvation shell and solubility of C₆₀ in organic solvents // J. Phys. Chem. B. – 2014. – Vol. 118. – P. 9964–9973.
28. Nose S. A molecular dynamics methods for simulation in the canonical ensemble // Mol. Phys. – 1984. – Vol. 52. – P. 255–278.
29. Plimpton S. Fast Parallel Algorithms for Short-Range Molecular Dynamics // J. Comp. Phys. – 1995. – Vol. 117. – P. 1–19.
30. Parallel reactive molecular dynamics: Numerical methods and algorithmic techniques / H.M. Aktulga, J.C. Fogarty, S.A. Pandit, A.Y. Grama // Parallel Computing. – 2012. – Vol. 38. – No. 4. – P. 245–259. DOI: 10.1016/j.parco.2011.08.005
31. Large-Scale, Long-Term Nonadiabatic Electron Molecular Dynamics for Describing Material Properties and Phenomena in Extreme Environments / A. Jaramillo-Botero, J. Su, A. Qi, W.A. Goddard III // J. Comp. Chem. – 2012. – Vol. 32. – No. 3. – P. 497–512. DOI: 10.1002/jcc.21637
32. Mesoscale Hydrodynamics via Stochastic Rotation Dynamics: Comparison with Lennard-Jones Fluid / M.K. Petersen, J.B.Lechman, S.J. Plimpton, G.S. Grest, P.J. in't Veld, P.R. Schunk // J. Chem. Phys. – 2010. – Vol. 132. – No. 17. – P. 174106. DOI: 10.1063/1.3419070
33. An enhanced entangled polymer model for dissipative particle dynamics / T. Sirk, Y. Sliozberg, J. Brennan, M. Lisal, J. Andzelm // J. Phys. Chem. – 2012. – Vol. 136. – No. 13. – P. 134903. DOI: 10.1063/1.3698476
34. Sirk T.W., Moore S., Brown E.F. Characteristics of thermal conductivity in classical water models // J. Phys. Chem. – 2013. – Vol. 138. – No. 6. – P. 064505. DOI: 10.1063/1.4789961
35. Plimpton S.J., Thompson A.P. Computational Aspects of Many-body Potentials // MRS Bulletin. – 2012. – Vol. 37. –
    No. 5. – P. 513–521. DOI: 10.1557/mrs.2012.96
36. Kong L.T. Phonon dispersion measured directly from molecular dynamics simulations // Comp. Phys. Comm. – 2011. – Vol. 182. – P. 2201–2207.
37. Brooks B.R., Bruccoleri R.E., Olafson B.D. CHARMM: A program for macromolecular energy, minmimization, and dynamics calculations // J. Comp. Chem. – 1983. – Vol. 4. –
    P. 187–217.

38. Исследование свойств пленок фуллеренов, осажденных с высокой кинетической энергией, на различных поверхностях / М.А. Ходорковский, С.В. Мурашов, А.Л. Шахмин, Т.О. Артамонова, Л.П. Ракчеева, А.С. Мельников // Журнал технической физики. – 2006. – Т. 76, № 7. – С. 140–142.

Экспериментальные исследования деформирования слоистых композиционных материалов часто показывают сложную зависимость жесткостных и прочностных характеристик от типа нагружения. Наиболее наглядными примерами являются различие упругих модулей при растяжении и сжатии, нелинейная сдвиговая диаграмма. Учесть подобные эффекты в прикладных расчетах возможно лишь с использованием моделей нелинейной упругости. Такие модели не должны противоречить фундаментальным физическим принципам и, помимо того, не требовать постановки слишком сложных экспериментов для валидации. В данной работе рассмотрена и численно реализована модель нелинейной упругости, основанная на использовании параметра трехосности для описания вида напряженного состояния материала. Для численной реализации использованы возможности расчетного комплекса для конечно-элементного моделирования Abaqus с использованием пользовательских подпрограмм. В качестве демонстрационного примера рассмотрена прикладная задача о сжатии тонкостенной композитной цилиндрической оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. В процессе нагружения оболочка проявляет неустойчивое поведение, и напряженное состояние в ее различных областях может радикально изменяться. Например, переходить из преобладающего растяжения в сжатие и наоборот. При этом повреждения материала оболочки не наблюдается вплоть до общего разрушения конструкции вследствие потери устойчивости ребер жесткости, что для данной задачи позволяет обойтись упругой моделью. Применение линейной теории упругости для моделирования такого закритического поведения конструкции приводит к неточным результатам даже на начальном этапе нагружения, в то время как предложенная модель показывает хорошую согласованность диаграммы нагружения, а также форму и величину прогибов оболочки с экспериментом.

Ключевые слова: слоистые композиты, нелинейная упругость, тонкостенные конструкции, устойчивость, напряженное состояние, модель материала, деформационные характеристики, разрушение, конечно-элементное моделирование, диаграмма нагружения.

Федоренко Алексей Николаевич – к.т.н., с.н.с., e-mail: alexey.n.fedorenko@gmail.com, 0000-0002-3260-7531

Федулов Борис Никитович – д.ф.-м.н., в.н.с., e-mail: fedulov.b@mail.ru, 0000-0002-6797-2424

Ломакин Евгений Викторович – д.ф.-м.н.,, зав. каф., e-mail: evlomakin@yandex.ru, 0000-0002-8716-5363

1. COCOMAT–improved material exploitation of composite airframe structures by accurate simulation of postbuckling and collapse / R. Degenhardt [et al.] // Composite Structures. – 2006. – Vol. 73. – No. 2. – P. 175–178.
2. Babaei H., Kiani Y., Eslami M.R. Geometrically nonlinear analysis of shear deformable FGM shallow pinned arches on nonlinear elastic foundation under mechanical and thermal loads // Acta Mechanica. – 2018. – Vol. 229. – P. 3123–3141.
3. Effect of material nonlinearity on buckling and postbuckling of fiber composite laminated plates and cylindrical shells / S.S. Wang [et al.] // Composite Structures. – 1995. – Vol. 33. – No. 1. – С. 7–15.
4. Zhang L., Gao Q., Zhang H.W. An efficient algorithm for mechanical analysis of bimodular truss and tensegrity structures // International Journal of Mechanical Sciences. – 2013. – Vol. 70. – С. 57–68.
5. Bruno D., Lato S., Zinno R. Nonlinear analysis of doubly curved composite shells of bimodular material // Composites Engineering. – 1993. – Vol. 3. – No. 5. – P. 419–435.
6. Li Z.M., Liu T., Yang D.Q. Postbuckling behavior of shear deformable anisotropic laminated cylindrical shell under combined external pressure and axial compression // Composite Structures. – 2018. – Vol. 198. – С. 84–108.
7. Patel B.P., Khan K., Nath Y. A new constitutive model for bimodular laminated structures: Application to free vibrations of conical/cylindrical panels //Composite Structures. – 2014. – Vol. 110. – P. 183–191.
8. Khan K., Patel B.P., Nath Y. Dynamic characteristics of bimodular laminated panels using an efficient layerwise theory // Composite Structures. – 2015. – Vol. 132. – P. 759–771.
9. Khan K., Patel B.P., Nath Y. Free and forced vibration characteristics of bimodular composite laminated circular cylindrical shells // Composite Structures. – 2015. – Vol. 126. – P. 386–397.
10. Yao W., Zhang C., Jiang X. Nonlinear mechanical behavior of combined members with different moduli // International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation. – 2006. – Vol. 7. – No. 2. – P. 233–238.
11. Fraternali F., Spadea S., Ascione L. Buckling behavior of curved composite beams with different elastic response in tension and compression // Composite Structures. – 2013. – Vol. 100. – P. 280–289.
12. Jones R.M. Stress-strain relations for materials with different moduli in tension and compression // AIAA Journal. – 1977. – Vol. 15. – No. 1. – P. 16–23.
13. Lomakin E.V., Rabotnov Yu. N. A theory of elasticity for an isotropic body with different moduli in tension and compression // Mechanics of Solids. – 1978. – Vol. 13. – No. 6. – P. 25–30.
14. Medri G. A nonlinear elastic model for isotropic materials with different behavior in tension and compression // Journal of Engineering Materials and Technology. – 1982. – Vol. 104. – No. 1. – С. 26–28.
15. Ambartsumyan S.A., Khachatryan A.A. Theory of weak-moment shells made from varying-modulus material // International Applied Mechanics. – 1969. – Vol. 5. – No. 5. – С. 447–454.
16. A new computational framework for materials with different mechanical responses in tension and compression and its applications / Z. Du [et al.] // International Journal of Solids and Structures. – 2016. – Vol. 100. – P. 54–73.
17. Vijayakumar K., Ashoka J.G. A bilinear constitutive model for isotropic bimodulus materials // Journal of Engineering Materials and Technology. – 1990. – Vol. 112. – No. 3. –
    P. 372–379.
18. A review on the research of mechanical problems with different moduli in tension and compression / J. Sun [et al.] // Journal of Mechanical Science and Technology. – 2010. – Vol. 24. – No. 9. – P. 1845–1854.
19. Convergence analysis of a finite element method based on different moduli in tension and compression / X. He [et al.] // International Journal of Solids and Structures. – 2009. – Vol. 46. – No. 20. – P. 3734–3740.
20. An efficient finite element formulation for nonlinear analysis of clustered tensegrity / L. Zhang [et al.] // Engineering Computations. – 2016. – Vol. 33. – No. 1. – P. 252–273.
21. Hahn H.T., Tsai S.W. Nonlinear elastic behavior of unidirectional composite laminae // Journal of Composite Materials. – 1973. – Vol. 7. – No. 1. – P. 102–118.
22. Sabik A. Direct shear stress vs strain relation for fiber reinforced composites //Composites Part B: Engineering. – 2018. – Vol. 139. – P. 24–30.
23. Van Paepegem W., De Baere I., Degrieck J. Modelling the nonlinear shear stress–strain response of glass fibre-reinforced composites. Part II: Model development and finite element simulations // Composites Science and Technology. – 2006. – Vol. 66. – No. 10. – P. 1465–1478.
24. Mechanisms of shear deformation in fiber-reinforced polymers: experiments and simulations / E. Totry [et al.] // International journal of fracture. – 2009. – Vol. 158. – No. 2. –
    P. 197–209.
25. Lomakin E.V., Fedulov B.N. Nonlinear anisotropic elasticity for laminate composites // Meccanica. – 2015. – Vol. 50. – No. 6. – С. 1527–1535.
26. Lomakin E.V., Fedulov B.N., Melnikov A.M. Constitutive models for anisotropic materials susceptible to loading conditions // Mechanics and Model-Based Control of Advanced Engineering Systems. – Vienna: Springer, 2014. – P. 209–216.
27. Lomakin E.V. Constitutive models of mechanical behavior of media with stress state dependent material properties // Mechanics of Generalized Continua. – Berlin: Heidelberg, Springer, 2011. – P. 339–350.
28. Failure analysis of laminated composites based on degradation parameters / B.N. Fedulov [et al.] // Mechanica. – 2018. – Vol. 53. – No. 1–2. – P. 359–372.
29. Nonlinear shear behavior and failure of composite materials under plane stress conditions / B. Fedulov [et al.] // Acta Mechanica. – 2017. – Vol. 228. – No. 6. – P. 2033–2040.

30. Bisagni C., Cordisco P. Post-buckling and collapse experiments of stiffened composite cylindrical shells subjected to axial loading and torque // Composite Structures. – 2006. – Vol. 73. – No. 2. – P. 138–149.

Рассматривается проблема решения связанных задач механики применительно к моделированию остаточных напряжений при нестационарных тепловых воздействиях. Объектом исследования является технология электромеханической обработки в приложении к титановым псевдо-α-сплавам, которые при локальном тепловом воздействии на поверхностный слой изменяют свой фазовый состав в связи с мартенситным фазовым переходом.

Приведена математическая постановка, рассмотрены особенности и методы решения связанной термосиловой контактной задачи с учетом фазовых превращений, протекающих при высокоскоростном охлаждении. Показаны основные этапы построения необходимых определяющих соотношений. Приведены соответствующие соотношения теории пластического течения в скоростной форме в рамках изотропно-трансляционной модели упрочнения, рассмотрены вопросы интегрирования данных соотношений. Показана методика определения нестационарной зоны контакта абсолютно жесткого штампа и деформируемого полупространства. Отдельно рассмотрены основные этапы линеаризации используемого вариационного уравнения.

В рамках разработанного алгоритма проведена серия вычислительных экспериментов, моделирующих температурно-силовое воздействие на титановый псевдо-α-сплав Ti₆Al₂V применительно к технологии импульсного термосилового поверхностного упрочнения. Установлено, что электромеханическая обработка поверхности титановых сплавов приводит к формированию в поверхностном слое дискретно структурированных областей остаточных напряжений, что связано, с одной стороны, с импульсным воздействием источника тепла (синусоида), а с другой стороны, с дискретностью формирующейся мартенситной структуры. Показана значительная роль деформационной составляющей воздействия на материал при формировании остаточных напряжений, в частности, установлено, что при увеличении усилия на инструменте с 10 до 250 Н величина растягивающих остаточных напряжений уменьшается в 3 раза.

Ключевые слова: численное исследование, метод конечных элементов, фазовые превращения, остаточные напряжения, пластичность, микронапряжения, контактная задача, кинематическое упрочнение

Багмутов Вячеслав Петрович – д.т..н, проф., e-mail: sopromat@vstu.ru, 0000-0003-3648-8450

Денисевич Денис Сергеевич – асс., e-mail: adven148@ya.ru, 0000-0003-2278-251X

Захаров Игорь Николаевич – д.т.н, зав. каф., e-mail: sopromat@vstu.ru, 0000-0001-7177-7245

Романенко Михаил Дмитриевич – асп., e-mail: sopromat@vstu.ru, 0000-0003-0212-1925

Фастов Сергей Александрович – лаб., e-mail: weld@vstu.ru, 0000-0002-3371-0434

1. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения: теория и приложения. – М.: Наука, 1982.

2. Горынин И.В., Чечулин Б.Б. Титан в машиностроении. – М.: Машиностроение, 1990. – 400 с.

3. Федирко В.Н., Лукьяненко А.Г., Труш В.С. Твердорастворное упрочнение поверхностного слоя титановых сплавов. Ч. 1. Влияние на механические свойства // Металловедение и термическая обработка металлов. – 2014. – № 7. – C. 27–33.

4. Куркин А.С., Макаров Э.Л. Программный комплекс «Сварка» – инструмент для решения практических задач сварочного производства // Сварка и диагностика. – 2010. –
№ 1. – С. 16–24.

5. De A., DebRoy T. A perspective on residual stresses in welding // Science and Technology of Welding and Joining. – 2011. – Vol. 6. – No 3. – Р. 204–208.

6. Numerical simulation of multilayered multiple metal cast rolls in compound casting process / S. Lu, F. Xiao, Z. Guo, L. Wang, H. Li, B. Liao // Applied Thermal Engineering. – 2016. – Vol. 93. – Р. 518–528.

7. Modelling residual stresses in sand-cast superduplex stainless steel / G. Palumbo, A.Piccininni, V. Piglionico, P. Guglielmi, D. Sorgente, L. Tricarico // Journal of Materials Processing Technology. – 2015. – Vol. 217. – Р. 253–261.

8. Simulation of multi-frequency-induction-hardening including phase transitions and mechanical effects / D. Hömberg, Q. Liu, J. Montalvo-Urquizo, D. Nadolski, T. Petzold, A. Schmidt, A. Schulz // Finite Elements in Analysis and Design. – 2016. – Vol. 121. – Р. 86–100.

9. Багмутов В.П., Захаров И.Н., Денисевич Д.С. Особенности решения технологических задач механики неоднородных металлических тел со структурой, трансформирующейся в ходе термосилового нагружения // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 1. – С. 5–25.

10. Phase-field simulation of stress-induced martensitic phase transformations at large strains / V.A. Levin, V.I. Levitas, K.M. Zingerman, E.I. Freiman // International Journal of Solids and Structures. – 2013. – Vol. 50 – P. 2914–2928.

11. Three-dimensional phase-field modeling of martensitic microstructure evolution in steels / H.K. Yeddu, A. Malik, J. Agren, G. Amberg, A. Borgenstam // Acta Materialia. – 2012. – Vol. 43. – P. 1538–1547.

12. Yeddu H.K., Lookman T., Saxena A. Strain-induced martensitic transformation in stainless steels: A three-dimensional phase-field study // Acta Materialia. – 2013. – Vol. 61. – P. 6972–6982.

13. Краевые задачи механики для сплавов с памятью формы / А.А. Мовчан, С.А. Казарина, А.Е. Машихин, И.В. Ми­шустин, Е.Б. Саганов, П.А. Сафронов // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2015. – Т. 157, кн. 3. – С. 97–110.

14. Гринфельд М.А. Фазовые переходы первого рода в нелинейно-упругих материалах // МТТ. – 1982. – № 1. – С. 99–109.

15. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. – 312 с.

16. Исупова И.Л., Трусов П.В. Обзор математических моделей для описания фазовых превращений в сталях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. – № 3. – С. 157–191.

17. Покровский А.М. Расчет НДС в цельнокованых и биметаллических прокатных валках при термической обработке // Изв. вузов. Машиностроение. – 2012. – № 4. – C. 35–41.

18. Об учете нелинейных и связанных эффектов тепловой задачи и фазовых переходов при моделировании технологии контактного термосилового поверхностного упрочнения металлических сплавов / В.П. Багмутов, Д.С. Денисевич, И.Н. За­харов, А.Ю. Иванников // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2017. – № 1. – С. 233–250.

19. Трусов П.В., Келлер И.Э. Теория определяющих соотношений: курс лекций. Ч. I. Общая теория / Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 1997. – 98 c.

20. Johnson G.R., Cook W.H. A constitutive model. and data for metals subjected to large strains, high strain. rates and high temperatures // Proceedings of the 7th. International Symposium on Ballistic. – Hague, Nether-lands, 1983. – P. 541–547.

21. De Souza Neto E.A., Peric D., Owen D.R.J. Computational Methods for Plasticity: Theory and Applications. – John Wiley & Sons Ltd, 2008. – 816 p.

22. Султанов Л.У. Исследование конечных упругопластических деформаций: алгоритм решения, численные примеры // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2017. – T. 154, № 4. – С. 509–517.

23. Kim N-H. Introduction to Nonlinear Finite Element Ana­lysis. – New York: Springer, 2015. – 430 p.

24. Konyukhov A., Schweizerhof K. Contact formulation via a velocity description allowing efficiency improvements in frictionless contact analysis // Computational Mechanics. – 2004. – No. 33. – Р. 165–173.

25. Wriggers P. Computational Contact Mechanics. – Berlin: Springer, 2006. – 519 p.

26. Numerical and experimental analysis of 3D spot induction hardening of AISI 1045 steel / K. Gao, X. Qin, Z. Wang, H. Chen, Sh. Zhu, Y. Liu, Y. Song // Journal of Materials Processing Technology. – 2014. – Vol. 214. – P. 2425–2433.

27. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Термодинамический подход к построению математических моделей термомеханики // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. – 2008. – № 3. – С. 70–74.

28. Han W., Reddy B.D. Plasticity. Mathematical theory and numerical analysis. – New York: Springer-Verlag, 2013. – 2nd Ed. – 424 p.

29. Zerilli F.J., Armstrong R.W. Dislocationmechanics-based constitutive relation for material dynamics calculations // Journal of Applied Physics. – 1987. – P. 1816–1825.

30. Şimşir C., Gür C.H. Mathematical framework for simulation of thermal processing of materials: application to steel quenching // Turkish J. Eng. Env. Sci. – 2008. – No. 32. – P. 85–100.

31. Mahnken R., Wolff M., Cheng C. A multi-mechanism model for cutting simulations combining visco-plastic asymmetry and phase transformation // International Journal of Solids and Structures. – 2017. – Vol. 166. – P. 193–201.

32. Кукуджанов В.Н., Левитин А.Л. Численное моделирование процессов резания упрговязкопластических материалов в трехмерной постановке // Изв. РАН. МТТ. – 2008. – № 3. – С. 208–216.

33. Simulation of coupled temperature, microstructure and internal stresses evolutions during quenching of a β-metastable titanium alloy / J. Teixeira, B. Denand, E. Aeby-Gautier, S. De­nis // Materials Science & Engineering A. – 2016. – Vol. 651. – P. 615–625.

34. Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 244 с.

35. Y. Zhu, L.H. Poh. A finite deformation elasto-plastic cyclic constitutive model for ratcheting of metallic materials // International Journal of Mechanical Sciences. – 2016. – Vol. 117. – P. 265–274

В настоящем обзоре под традиционными задачами высокоскоростного проникания понимаются задачи, направленные на описание движения проникателей в монолитных средах и определение интегральных характеристик, таких как глубина проникания в полубесконечную преграду либо баллистический предел при проникании в преграду конечной толщины. Таким задачам посвящено большинство работ, в которых используются экспериментальные и численные методы, многие работы, основанные на использовании аналитических методов. Задачи, не подпадающие под эту категорию, будем относить к нетрадиционным; им и посвящен настоящий обзор, причем основной упор делается на задачи, для исследования которых характерно имевшее место привлечение аналитических методов или потенциальная возможность и целесообразность использования таковых.

Это задачи проникания в немонотонные преграды (многослойные с примыкающими друг к другу слоями или с воздушными зазорами между ними), задачи оптимизации формы ударников, задачи моделирования и оптимизации «активного» проникания, когда осуществляется управление движением проникателя (использование реактивных ускорителей и замедлителей для увеличения глубины проникания с сохранением целостности проникателя при взятии проб грунта с поверхности планет либо при доставке взрывчатого вещества к объекту воздействия; применение артиллерийских орудий для забивки свай); анализ эффективности сегментированных ударников (ударников с разнесенными элементами) и др. Важной особенностью обзора является стремление осветить характерные методологические особенности реализованных подходов, которые часто скрываются за перечислением результатов исследований.

Представленный в обзоре материал охватывает перспективные направления исследований и призван помочь быстро сориентироваться в соответствующей тематике; в частности, выбрать актуальную тему диссертационной работы, представляющую как теоретический, так и практический интерес.

Ключевые слова: проникание, пробивание, преграда, барьер, высокоскоростное, свая, многослойная, снаряд, ударник, пуля, глубина проникания, баллистический предел, оптимизация, сегментированный, реактивный ускоритель.

Дубинский Анатолий Валентинович – к.ф.-м.н., н.с., e-mail: dubin@bgu.ac.il, 0000-0001-5156-8366

Дан анализ зависимости характеристик межфазных областей наполнителей от структурных показателей металлополимерного нанокомпозита, полученной путем сшивания двух полимеров (эпоксидной смолы ЭД-20 и бутадиен-стирольного каучука – БСК) с наполнителем – наночастицы меди. Для расчета объемной доли межфазной области, φ_мф, в работе использованы установленные нами ранее выражения для фрактальной размерности поверхности частиц наполнителя, dH, и диаметра агрегатов частиц наполнителя, Dag.

Исследуемый полимер рассмотрен как естественный нанокомпозит; для описания особенностей структуры его аморфного состояния использовалась кластерная модель. Согласно этой модели, сетчатый полимер состоит из двух компонентов – рыхлоупакованной матрицы и нанокластеров, причем последние играют роль нанонаполнителя, а рыхлоупакованная матрица – роль матрицы естественного нанокомпозита. На основании фрактальных оценок поверхности нанокластеров найдена зависимость объемной доли рыхлоупакованной матрицы от температуры композита.

Показано, что размерный эффект нанокластеров идентичен соответствующему эффекту дисперсного нанонаполнителя в искусственных полимерных нанокомпозитах, а именно: уменьшение числа статистических сегментов в одном кластере и радиуса кластеров повышает степень усиления (модуля упругости) естественного нанокомпозита.

Кроме того, для рассматриваемого сетчатого полимера нет межфазных областей, структурно отличающихся от рыхлоупакованной матрицы, поскольку проведенные расчеты относительных объемных долей межфазных областей и рыхлоупакованной матрицы показывают их хорошее совпадение в пределах заданной погрешности исходных данных.

Ключевые слова: межфазная область, аморфное состояние, металлополимер, естественные и искусственные нанокомпозиты, кластерная модель, нанокластеры, фрактальная размерность агрегата частиц, фрактальная размерность поверхности, статистическая гибкость полимерной цели, сетчатый полимер, температуры стеклования и плавления, химическая сшивка полимеров, функциональность нанокластера.

Дышин Олег Александрович – к.ф.-м.н., доц., e-mail: h.ibo@mail.ru, 0000-0003-0493-8277.

Габибов Ибрагим Абульфас оглы – д.т.н., проф., зав. каф., e-mail: h.ibo@mail.ru, 0000-0003-3393-7812.

Шамилов Валех Мамед оглы – к.т.н., e-mail: valeh.shamilov@socar.az, 0000-0002-7305-7994.

Рустамова Конул Бадир кызы – асп, e-mail: h.ibo@mail.ru, 0000-0002-4114-6757

Рассматривается и критически анализируется модель гипервязкоупругости Бергстрёма–Бойс, основанная на соображениях микроструктуры резиноподобных материалов и использующая мультипликативное разложение градиента полной деформации. Особое внимание уделяется вопросу выбора условия однозначности, определяющего поворот промежуточной (разгрузочной) конфигурации и обеспечивающего единственность мультипликативного разложения градиента полной деформации на градиент упругих деформаций и градиент вязких деформаций. Чтобы убедиться в правомерности утверждения, что указанный выбор не является существенным, получено решение тестовой задачи простого сдвига по модели Бергстрёма–Бойс для трех наиболее часто используемых условий однозначности. Результаты численных расчетов показали значительное расхождение для динамических напряжений и менее значительное расхождение для полных напряжений. Для отделения допустимых условий однозначности от физически неприемлемых условий однозначности предложено использовать принцип объективности поведения материалов. С этой целью подробно исследован вопрос о преобразовании градиента упругих деформаций и градиента вязких деформаций при замене системы отсчета, по которому в научной литературе отсутствует единая точка зрения. Для наиболее часто предлагаемых и используемых условий однозначности показано, какие из них не зависят от выбора системы отсчета. Поскольку список подобного рода допустимых соотношений можно многократно расширить, вопрос, какое именно условие однозначности следует использовать, должен решаться так же, как это делается, например, для упругих потенциалов: надлежащей постановкой и проведением экспериментальных исследований либо теоретическим исследованием микроструктуры материала.

Предложена феноменологическая модель гипервязкоупругости, основанная на одномерной реологической модели Кельвина–Пойнтинга и ограниченная случаем, когда главные оси напряжений и деформаций (полных, упругих и вязких) совпадают и не изменяют своей ориентации относительно материальных линий (волокон). Благодаря этому обеспечивается единственность соответствующего мультипликативного разложения. Чтобы расширить диапазон скоростей деформации при описании экспериментальных данных, учтена зависимость коэффициента вязкости от второго инварианта правой меры вязких деформаций Коши–Грина в степенном законе кажущейся вязкости модели Рейнера–Ривлина, что обобщает соответствующую зависимость модели Бергстрёма–Бойс. Разработанная математическая модель гипервязкоупругости резиноподобных материалов предназначена для расчета напряженно-деформированного состояния высокоэластичных оболочек вращения при симметричном нагружении.

Ключевые слова: гипервязкоупругость, эластомеры, модель Бергстрёма–Бойс, градиент деформации, мультипликативное разложение, единственность, независимость от выбора системы отсчета, феноменологическая модель.

Корнеев Владимир Сергеевич – к.т.н., доц., e-mail: 79045840307@ya.ru, 0000-0003-1694-1190.

Корнеев Сергей Александрович – д.т.н., проф., e-mail: korneyev@omgtu.ru, 0000-0002-0554-5451.

1. Акопян Р.А. Пневматическое подрессоривание авто­транс­портных средств (вопросы теории и практики). – Львов: Выща школа, 1979. – Ч. 1. – 218 с.
2. Певзнер Я.М., Горелик А.М. Пневматические и гидро­пневматические подвески. – М.: ГНТИМЛ, 1963. – 319 с.
3. Равкин Г.О. Пневматическая подвеска автомобиля. – М.: ГНТИМЛ, 1962. – 288 с.
4. Системы виброзащиты с использованием инерцион­нос­ти и диссипации реологических сред / Б.А. Гордеев
   [и др.]. – М.: Физматлит, 2004. – 176 с.
5. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машино­строительных расчетах. – Л.: Машиностроение, 1986. – 336 с.
6. Общая нелинейная теория упругих оболочек / С.А. Каб­риц [и др.] / под ред. К.Ф. Черныха, С.А. Кабрица. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. – 388 с.
7. Бидерман В.Л. Расчеты резиновых и резинокордных деталей // Расчеты на прочность в машиностроении / С.Д. По­номарев [и др.] / под ред. С.Д. Пономарева. – М.: Машгиз, 1958. – Т. 2. – С. 487–591.
8. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструк­ций. – М.: Машиностроение, 1977. – 488 с.
9. Расчетно-экспериментальные методы проектирования сложных резинокордных конструкций / И.А. Трибельский [и др.]. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2011. – 240 с.
10. Ильюшин А.А. Труды. Т. 3. Теория термовязко­упру­гости. – М.: Физматлит, 2007. – 288 с.
11. Ильюшин А.А., Победря Б.Б. Основы математи­чес­кой теории термовязкоупругости. – М.: Наука, 1970. – 281 с.
12. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. – М.: Мир, 1974. – 340 с.
13. Пальмов В.А. Колебания упругопластических тел. – М.: Наука, 1976. – 328 с.
14. Рейнер М. Феноменологическая макрореология // Реоло­гия: теория и приложения / под ред. Ф. Ейриха. – М.: ИЛ, 1962. – С. 22–85.
15. Рейнер М. Реология. – М.: Наука, 1965. – 224 с.
16. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. – М.: Изд-во иностр. лит., 1963. – 536 с.
17. Banks H.T., Hu Sh., Kenz Z.R. A brief review of elas­ticity and viscoelasticity for solids // Adv. Appl. Math. Mech. – 2011. – Vol. 3. – No. 1. – P. 1–51. DOI: 10.4208/aamm.10-m1030
18. Dynamic Response Analysis of Thermoplastic Poly­ure­thane / V. Fontanari, M. Avalle, C. Migliaresi, L. Peroni, B.D. Mo­nelli // Advanced Structured Materials. – 2012. – Vol. 16. – P. 337–354. DOI: 10.1007/978-3-642-22700-4
19. Bergström J., Boyce M. Constitutive modeling of the large strain time-dependent behavior of elastomers // J. Mech. Phys. Solids. – 1998. – Vol. 46. – P. 931–954. DOI: 10.1016/S0022-5096(97)00075-6
20. Bergström J., Boyce M. Large strain time-dependent behaviour of filled elastomers // Mech. Mater. – 2000. – Vol. 32. – P. 627–644. DOI: 10.1016/S0167-6636(00)00028-4
21. Белкин А.Е., Даштиев И.З., Лонкин Б.В. Моделиро­вание вязкоупругости полиуретана при умеренно высоких скоростях деформирования // Математическое моделирование и численные методы. – 2014. – № 3. – С. 39–54.
22. Белкин А.Е., Даштиев И.З., Семенов В.К. Математи­ческая модель вязкоупругого поведения полиуретана при сжатии с умеренно высокими скоростями деформирования // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. – 2014. – № 6. – С. 44–58.
23. Bergström J.S., Hilbert L.B. A constitutive model for predicting the large deformation thermomechanical behavior of fluoropolymers // Mechanics of Materials. – 2005. – Vol. 37. – P. 899–913.
24. Bergström J., Bischoff M. An Advanced Thermo­me­chanical Constitutive Model for UHMWPE // Int. J. of Structural Changes in Solids. Mechanics and Applications. – 2010. – Vol. 2. – No. 1. – P. 31–39.
25. Qi H.J., Boyce M.C. Stress-strain behavior of thermo­plastic polyurethane // Mechanics of Materials. – 2005. – Vol. 37. – P. 817–839.
26. Quintavalla S.J., Johnson S.H. Extension of the Bergström-Boyce model to high strain rates // Rubber Chem. Technol. – 2004. – Vol. 77. – P. 972−981.
27. Guo Q., Zaïri F., Guo X. A thermo-viscoelastic-damage constitutive model for cyclically loaded rubbers. Part I: Model formu­lation and numerical examples // International Journal of Plasticity. – 2018. – Vol. 101. – P. 106–124. DOI: doi:10.1016/j.ijplas.2017.10.01
28. Guo Q., Zaïri F., Guo X. A thermo-viscoelastic-damage constitutive model for cyclically loaded rubbers. Part II: Experimental studies and parameter identification // International Journal of Plasticity. – 2018. – Vol. 101. – P. 58–73. DOI: 10.1016/j.ijplas.2017.10.009
29. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей мате­ма­тической теории. – М.: Изд-во АН СССР, 1963. – 271 с.
30. Arruda E.M., Boyce M.C. A three-dimensional constitutive model for the large stretch behavior of rubber elastic materials // Journal of Mechanic Physics Solids. – 1993. – Vol. 41. – No. 2. – pp. 389−412.
31. Трелоар Л. Физика упругости каучука. – М.: ИЛ, 1953. – 241 с.
32. Hariharaputhiran H., Saravanan U. A new set of biaxial and uniaxial experiments on vulcanized rubber and attempts at modeling it using classical hyperelastic models // Mechanics of Materials. – 2016. – Vol. 92. – P. 211–222. DOI: 10.1016/j.mechmat.2015.09.003
33. Boyce M.C., Weber G.G., Parks D.M. On the kinematics of finite strain plasticity // J. Mech. Phys. Solids. – 1989. – Vol. 37. – No. 5. – P. 647–665.
34. Lee E.H. Elastic plastic deformation at finite strain // ASME Journal of Applied Mechanics. – 1969. – Vol. 36. – Р. 1–6.
35. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, прило­жения. – М.: Наука, 1986. – 232 с.
36. Bruhns O.T. The Multiplicative Decomposition of the Deformation Gradient in Plasticity – Origin and Limitations // Advanced Structured Materials. – 2015. – Vol. 64. – P. 37–66. DOI: 10.1007/978-3-319-19440-0
37. Boyce M.C., Parks D.M., Argon A.S. Large inelastic deformation of glassy polymers. part 1: rate dependent constitutive model // Mechanics of Materials. – 1988. – Vol. 7. – P. 15–33.
38. Gurtin M.E., Anand L. The decomposition F=F^eF^p, material symmetry, and plastic irrotationality for solids that are isotropic-viscoplastic or amorphous // International Journal of Plasticity. – 2005. – Vol. 21. – P. 1686–1719.
39. Dashne P.A. Invariance Considerations in Large Strain Elasto-PIasticity // Journal of Applied Mechanics. –1986. – Vol. 53. – P. 55–60.
40. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. – М.: Мир, 1975. – 592 с.
41. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – М.: Наука, 1980. – 512 с.
42. Truesdell C., Noll W. The Non-Linear Field Theories of Mechanics. – Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2004. – 602 p.
43. Медведев Б.В. Начала теоретической физики. – М.: Наука, 1977. – 496 с.
44. Корнеев С.А. Принцип объективности и техника его применения при построении определяющих соотношений с точностью до скалярных коэффициентов // Мат. моделиро­вание систем и процессов: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2007. – № 15. – С. 97–122.
45. Reina C., Schlömerkemper A., Conti S. Derivation of F=F^eF^p as the continuum limit of crystalline slip // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. – 2016. – Vol. 89. –
    Р. 231–254.
46. Бондарь В.С., Абашев Д.Р., Петров В.К. Пластич­ность материалов при пропорциональных и непропорцио­нальных циклических нагружениях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического универ­си­тета. Механика. – 2017. – № 3. – С. 53–74. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.3.04
47. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидроме­ханики неньютоновских жидкостей. – М.: Мир, 1978. – 309 с.
48. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкос­ти. – М.: Наука, 1982. – 376 с.
49. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. – М.: ИЛ, 1963. – 256 с.
50. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. – М.: Наука, 1969. – 420 с.
51. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая тео­рия пластичности. – М.: Физматлит, 2001. – 704 с.
52. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапря­жения в конструкционных материалах. – Л.: Машино­строе­ние, 1990. – 223 с.
53. Качанов Л.М. Теория ползучести. – М.: ГИФМЛ, 1960. – 455 с.

54. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. – М.: Машиностроение, 1975. – 400 с.

Исследованию напряженного состояния клеевых соединений уделяется значительное внимание, ибо несущая способность конструкции, как правило, определяется прочностью соединений, где напряженное состояние нерегулярно. Большинство существующих математических моделей соединений являются одномерными, т.е. подразумевают равномерное распределение напряжений по ширине соединения. Однако существуют конструкции, для которых классические модели неприменимы. Для расчета напряженного состояния таких соединений необходимо учитывать неравномерность напряжений не только по длине, но и по ширине соединения. Для решения таких задач предложена упрощенная двумерная модель нахлесточного клеевого соединения прямоугольных пластинок. Упрощение состоит в том, что рассматриваются перемещения слоев только вдоль одной из осей координат. Модель является двумерным обобщением классической модели соединения Фолькерсена. Напряжения полагаются распределенными равномерно по толщине слоев, а клеевой слой работает только на сдвиг. Данные упрощения позволили получить аналитическое решение задачи. Решена задача о напряженном состоянии клеевого соединения двух прямоугольных пластин, одна из которых жестко закреплена вдоль одной из сторон, а вторая пластина нагружена неравномерной сдвиговой нагрузкой на противоположной стороне. Задача сведена к системе дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных относительно продольных перемещений двух несущих (внешних) слоев. Решение строится при помощи метода разделения переменных и представляет собой функциональный ряд, состоящий из собственных функций. Краевые условия на ненагруженных торцах удовлетворяются точно. Удовлетворение краевых условий на боковых сторонах приводит к системе линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов функционального ряда. Доказана сходимость полученного решения. Решена модельная задача, и проведено сравнение численных результатов с результатами расчетов, выполненных при помощи метода конечных элементов. Показано, что предложенный подход обладает точностью, достаточной для задач проектирования.

Ключевые слова: клеевое соединение, двумерная модель, аналитическое решение, разделение переменных, прямоугольная пластина.

Куреннов Сергей Сергеевич – д.т.н., доц., e-mail: kurennov.ss@gmail.com, 0000-0002-3835-3288.

Барахов Константин Петрович – ст. преп., e-mail: kpbarakhov@gmail.com, 0000-0003-1714-7917.

1. Analytical models of adhesively bonded joints. Part I: Li­terature survey / L.F.M. da Silva, P.J.C. das Neves, R.D. Adams, J.K. Spelt // Int. J. Adhes. Adhesiv. – 2009. – Vol. 29. – P. 319–330. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2008.06.005
2. Семин М.И. Расчеты соединений элементов конструкций из полимерных материалов на прочность и долговечность: монография. – М.: Изд-во МАДИ, 2016. – 62 с.
3. Wang J., Zhang C. Three-parameter elastic foundation model for analysis of adhesively bonded joints // Int. J. Adhes. & Adhes. – 2009. – Vol. 29. – Р. 495–502. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2008.10.002
4. Amidi S., Wang J. Three-parameter viscoelastic foundation model of adhesively bonded single-lap joints with functionally graded adherends // Engineering Structures. – 2018. – Vol. 170. – Р. 118–134. DOI: 10.1016/j.engstruct.2018.05.076
5. Артюхин Ю.П. Напряжения в клеевых соединениях // Исслед. по теор. пластин и оболочек. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1973. – № 10. – С. 3–27.
6. Tsai M.Y., Morton J. An Investigation into the Stresses in Double-Lap Adhesive Joints with Laminated Composite Adhe­rends // Int. J. Solids Struct. – 2010. – Vol. 47. – Р. 3317–3325. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2010.08.011
7. Gustafson P.A., Bizard A., Waas A.M. Dimensionless Parameters in Symmetric Double Lap Joints: An Orthotropic Solution for Thermomechanical Loading // Int. J. Solids Struct. – 2007. – Vol. 44. – Р. 5774–5795. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2007.01.025
8. Исследование напряженного состояния в составной пластинке вблизи края линии соединения в зависимости от толщины и материальных параметров соединяющей прослойки / В.М. Пестренин, И.В. Пестренина, Л.В. Ландик, Е.А. Полянина // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 1. – C. 153–166.
9. Васильев В.В., Боков Ю.В. Исследования напряженного состояния клеевого соединения композиционного материала с металлическим листом // Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. – М.: Изд-во ЦАГИ, 1979. – Вып. 7. – С. 4–10.
10. Liu J., Sawa T. Stress analysis and strength evaluation of single-lap band adhesive joints subjected to external bending moments // J. Adhesion Science. – 1999. – Vol. 13. – No. 6. – P. 729–749. DOI: 10.1163/156856199X00965
11. Короткова С.Е. Механика клеевых соединений. – Алчевск, 1998. – 187 с.
12. Кутьинов В.Ф. Расчет клеевых соединений // Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. – М.: Изд-во ЦАГИ, 1979. – Вып. 7. –
    С. 14–30.
13. Kurennov S.S. Koshevoi A.G., Polyakov A.G. Through-Thickness Stress Distribution in the Adhesive Joint for the Multilayer Composite Material // Russian Aeronautics (Iz. VUZ) – 2015. – Vol. 58. – No. 2. – P. 145–151. DOI: 10.3103/S1068799815020026
14. Рябенков Н.Г., Артюхин Ю.П. Определение напряжений клея в соединении двух полубесконечных пластин // Исслед. по теор. пластин и оболочек. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1981. – № 16. – C. 82–90.
15. Andruet R.H., Dillard D.A., Holzer S.M. Two- and three-dimensional geometrical nonlinear finite elements for analysis of adhesive joints // International Journal of Adhesion & Adhesives. – 2001. – Vol. 21. – Р. 17–34. DOI:
    10.1016/S0143-7496(00)00024-5
16. Rapp P. Mechanics of adhesive joints as a plane problem of the theory of elasticity. Part II: Displacement formulation for orthotropic adherends // Archives of Civil and Mechanical Engineering. – 2015. – Vol. 15. – Iss. 2. – P. 603–619. DOI: 10.1016/j.acme.2014.06.004
17. Analysis method for bonded patch repair of a skin with a cutout / Barut A., Hanauska J., Madenci E., Ambur D.R. // Composite Structures. – 2002. – Vol. 55. – Iss. 88. – P. 277–294. DOI: 10.1016/S0263-8223(01)00158-1.
18. Федотов А.А., Ципенко А.В., Лебедев А.И. Численное моделирование клеевого ремонтного соединения // Научный вестник МГТУ ГА. – 2018. – Т. 21(3). – С. 125–138. DOI: 10.26467/2079-0619-2018-21-3-125-138
19. Гришин В.И., Дзюба А.С., Дударьков Ю.И. Прочность и устойчивость элементов и соединений авиационных конструкций из композитов. – М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2013. – 272 с.
20. Design, analysis and performance of adhesively bonded composite patch repair of cracked aluminum aircraft panels / Chukwujekwu Okafor, N. Singh, U.E. Enemuoh, S.V. Rao // Composite Structures. – 2005. – Vol. 71. – P. 258–270. DOI: 10.1016/j.compstruct.2005.02.023
21. Adams R.D., Peppiat N.A. Effect of Poisson’s ratio strains in adherends on stresses of an idealized lap joint // The Journal of Strain Analysis for Engineering Design. – 1973. – Vol. 8. – No. 2. – P. 134–139.
22. Mathias J.D., Grédiac M., Balandraud X. On the bidirectional stress distribution in rectangular bonded composite patches // Int. J. of Solids and Structures. – 2006. – Vol. 43. – P. 6921–6947. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2006.02.016
23. Transient hygro-thermo-mechanical stresses analysis in multi-layers bonded structure with coupled bidirectional model / R. Kessentini, O. Klinkova, I. Tawfiq, M. Haddar // International Journal of Mechanical Sciences. – 2019. – Vol. 150. – P. 188–201. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2018.10.004
24. Kurennov S.S. An Approximate Two-Dimensional Model of Adhesive Joints. Analytical Solution // Mechanics of Composite Materials. – 2014. – Vol. 50 – No. 1. – P. 105–114. DOI: 10.1007/s11029-014-9397-z
25. Kurennov S.S. A Simplified Two-Dimensional Model of Adhesive Joints. Nonuniform Load // Mechanics of Composite Materials. September. – 2015. – Vol. 51. – Iss. 4. – P. 479–488. DOI: 10.1007/s11029-015-9519-2
26. Васильев В.В., Лурье С.А. О сингулярности решения в плоской задаче теории упругости для консольной полосы // Изв. РАН. МТТ. – 2013. – № 4. – С. 40–49.
27. Куреннов С.С., Танчик Е.В. Расчет напряженного состояния клеевого соединения прямоугольных пластинок разной ширины // Вестн. Моск. авиац. ин-та. – 2014. – Т. 22,
    № 2. – С. 162–169.
28. Kim H., Kedward K. Stress analysis of in-plane shear loaded adhesively bonded composite joints and assemblies // Office of Aviation Research. – Washington, DC, Report No. DOT/FAA/AR017; 2001.
29. Kim H., Kedward K.T. Stress analysis of adhesively-bonded joints under in-plane shear loading // The Journal
    of Adhesion. – 2001. – Vol. 76(1). – P. 1–36. DOI: 10.1080/00218460108029615
30. Карпов Я.С. Проектирование деталей и агрегатов из композитов: учебник. – Харьков: Изд-во Нац. аэрокосм. ун-та «Харьковский авиационный ин-т», 2010. – 768 с.

31. Uslu Uysal M., Güven U. A bonded plate having orthotropic inclusion in the adhesive layer under in-plane shear loading // The Journal of Adhesion. – 2015. – Vol. 92(3). – P. 214–235. DOI: 10.1080/00218464.2015.1019064