В настоящее время гидроразрыв пласта (ГРП) является одним из самых распространенных методов увеличения нефтеотдачи, применяемым при промышленной разработке нефтегазовых месторождений. В то же время используемые модели развития трещины ГРП являются во многом упрощенными: геометрия трещины предполагается плоской
и заранее заданной, практически всегда отсутствует полноценный учет геомеханических эффектов, эволюция трещины зачастую описывается эмпирическими критериями. Несмотря на успешность применения таких моделей, их возможностей недостаточно для решения ряда важных задач разработки.

В работе представлена полностью трехмерная самосогласованная физико-матема­тическая модель развития крупномасштабной трещины гидроразрыва пласта. Модель включает в себя несколько групп уравнений, включая неизотермическую пороупругую модель Био для описания поведения вмещающей трещину среды, двумерные уравнения смазочного слоя, описывающие течение в трещине, соответствующие условия согласования на границе «трещина–среда». Геометрическая модель трещины предполагает, что она является произвольной гладкой поверхностью с краем. Эволюция поверхности трещины
в ходе ее роста описывается физически обоснованными критериями на основе векторной формы J-интеграла Райса-Черепанова. Модель пригодна как для анализа непосредственно процесса развития трещины ГРП, так и для анализа вызванных наличием трещины фильтрационных и геомеханических эффектов в ходе эксплуатации скважины с ГРП.

Основное назначение предложенной модели – согласованное описание процесса развития трещины ГРП в достаточно общей постановке с минимумом априорных допущений о характере протекания процесса и вместе с тем пригодное для использования на практике с применением современных вычислительных подходов. В связи с этим в работе дан краткий обзор вычислительных алгоритмов, пригодных для практической реализации модели.

Ключевые слова: геомеханика, пороупругая среда, трещина гидроразрыва пласта.

Савенков Евгений Борисович – кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: e.savenkov@googlemail.com

Борисов Виталий Евгеньевич – кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, e-mail: narelen@gmail.com

1. Гидравлический разрыв карбонатных пластов / В.Г. Салимов, Н.Г. Ибрагимов, А.В. Насыбуллин, О.В. Салимов. – М.: Нефтяное хозяйство, 2013. – 471 c.
2. Экономидес М., Олини Р., Валько П. Унифицированный дизайн гидроразрыва пласта. От теории к практике / Институт компьютерных исследований. – М., 2007. – 236 c.
3. Michael J. Economides, Kenneth G. Nolte (Eds.) Reservoir Stimulation. – Wiley, 2000. – 856 p.
4. Coussy O. Poromechanics, John Wiley and Sons, 2004.
5. Chipot M., Luskin M. The compressible Reynolds lubrication equation // IMA Preprint Series. – 1986. – No. 232.
6. Computer simulation of hydraulic fractures / J. Adachi, E. Siebrits, A. Peirce, J. Desroches // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. – 2007. – Vol. 44. – P. 739–757.
7. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. – М.: Наука, 1986. – 760 c.
8. Eskin D., Miller M.J. A model of non-Newtonian slurry flow in a fracture // Powder Technology. – 2008. – Vol. 182. – P. 313–322.
9. Clifton R.J., Wang J.-J. Multiple fluids, proppant transport, and thermal effects in threedimensional simulation of hydraulic fracturing // SPE Paper. – 1988. – 18198.
10. Clifton R.J., Brown U., Wang J.-J. Modeling of Poroelastic Effects in Hydraulic Fracturing // SPE Paper. – 1991. – 21871.
11. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – М.: Наука, 1974. – 640 с.
12. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. – М.: Наука, 1974. – 312 с.
13. Рамазанов М.М., Критский Б.В., Савенков Е.Б. Формулировка J-интеграла для модели пороупругой среды Био // ИФЖ. – 2018. – T. 91, № 6.
14. Линьков А.М. Уравнение скорости и его применение для решения некорректных задач о гидроразрыве // Докл. Акад. наук. – 2011. – Т. 439, № 4. – С. 473–475.
15. Detournay E., Peirce A. On the moving boundary conditions for a hydraulic fracture // International Journal of Engineering Science. – 2014. – Vol. 84. – P. 147–155.
16. Garagash D.I., Detournay E. The tip region of a fluid-driven fracture in an elastic medium // ASME J. Appl. Mech. – 2000. – Vol. 67. – No. 1. – P. 183–192.
17. Garagash D.I. Propagation of a plane-strain fluid-driven fracture with a fluid lag: early-time solution // Int J Solids Struct. – 2006. – Vol. 43. – P. 5811–5835.
18. Linkov A.M. Particle velocity, speed equation and universal asymptotics for efficient modelling of hydraulic fracturing // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. – 2015. – Vol. 79. – No. 1. – P. 54–63.
19. Lewis R.W., Schrefler B.A. The Finite Element Method in the Static and Dynamic Deformation and Consolidation in Porous Media. – J. Wiley, Chichester, 1998.
20. Kim J., Tchelepi H.A., Juanes R. Stability, Accuracy and Efficiency of Sequential Methods for Coupled Flow and Geomechanics // SPE Paper. – 2009. – 119084.
21. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Elements Methods. – Springer, 1991.
22. Ern A., Meunier S. A-posteriori error analysis of Euler-Galerkin approximations to coupled elliptic-parabolic problems // ESAIM: M2AN. – 2009. – Vol. 43. – No. 2. – P. 353–375.
23. Murad M.A., Thomee V., Loula A.F.D. Asymptotic Behavior of Semidiscrete Finite-Element Approximations of Biot’s Consolidation Problem // SIAM Journal on Numerical Analysis. – 1996. – Vol. 33. – No. 3. – P. 1065–1083.
24. Showalter R.E. Diffusion in Poro-Elastic Media // Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 2000. – Vol. 251. – No. 1. – P. 310–340.
25. White J.A., Borja R.I. Stabilized low-order finite elements for coupled solid-deformation/fluid-diffusion and their application to fault zone transients // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. – 2008. – Vol. 197. – No. 49–50. – P. 4353–4366.
26. Commend S., Truty A., Zimmermann Th. Stabilized finite elements applied to elastoplasticity: I. Mixed displacement–pressure formulation // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. – 2004. – Vol. 193. – P. 3559–3586.
27. Xia K., Masud A.A stabilized finite element formulation for finite deformation elastoplasticity in geomechanics // Computers and Geotechnics. – 2009. – Vol. 36. – P. 396–405.
28. Chappele D., Bathe K.J. The inf-  Test // Computers & Structures. – 1993. – Vol. 47. – No. 4–5. – P. 537–545.
29. Simo J.C., Rifai M.S. A class of mixed assumed strain methods and the method of incompatible modes // Int. J. Numer. Methods Engrg. – 1990. – Vol. 29. – P. 1595–1638.
30. Oliver J., Cervera M., Manzoli O. Strong discontinuities and continuum plasticity models: the strong discontinuity approach // Int. J. Plasticity. – 1999. – Vol. 15. – P. 319–351.
31. A PDE-based fast local level set method / D. Peng, B. Merriman, S. Osher, H. Zhao, M. Kang // Journal of Computational Physics. – 1999. – Vol. 155. – P. 410–438.
32. Chopp D.L. Computing minimal surfaces via level-set curvature flow // Journal of Computational Physics. – 1993. – Vol. 106. – P. 77–91.
33. Mourad H.M., Dolbow J., Harari I. A bubble-stabilized finite element method for Dirichlet constraints on embedded interfaces // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2007. – Vol. 69. – No. 4. – P. 772–793.
34. Dolbow J.E, Franca L.P. Residual-free bubbles for embedded Dirichlet problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2008. – Vol. 197. – P. 3751–3759.
35. Bechet E., Moës N., Wohlmuth B. A stable Lagrange multiplier space for stiff interface conditions within the extended finite element method // Int. J. Numer. Meth. Engng. – 2009. – Vol. 78. – P. 931–954.
36. Hautefeuille M., Annavarapu C., Dolbow, J.E. Robust imposition of Dirichlet boundary conditions on embedded surfaces // Int. J. Numer. Meth. Engng. – 2012. – Vol. 90. – P. 40–64.
37. Nitsche J. Uber ein Variationsprinzip zur Losung von Dirichlet-Problemen bei Verwendung von Teilrümen, die keinen Randbedingungen unterworafen sind // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. – 1971. – Vol. 36. – P. 9–15.
38. Dolbow J., Harari I. An efficient finite element method for embedded interface problems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2009. – Vol. 78. – No. 2. – P. 229–252.
39. Dziuk G., Elliott C.M. Surface finite elements for parabolic equations // J. Comput. Math. – 2007. – Vol. 25. – P. 385–407.
40. Variational problems and partial differential equations on implicit surfaces / M. Bertalmio, L.T. Cheng, S. Osher, G. Sapiro // J. Comput. Phys. – 2001. – Vol. 174. – P. 759–780.
41. Dziuk G., Elliott C.M. An Eulerian approach to transport and diffusion on evolving implicit surfaces // Comput Visual Sci. – 2010. – Vol. 13. – P. 17–28.
42. Ratz A., Voigt A. PDEs on Surfaces: A Diffuse Interface Approach // Comm. Math.Sci. – 2006. – Vol. 4. – No. 3. – P. 575–590.
43. Olshanskii M.A., Reusken A., Xu X. A Volume Mesh Finite Element Method for PDEs on Surfaces // European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2012), eds. J. Eberhardsteiner et.al. – Vienna, Austria, September 2012. – Р. 10-14.
44. Ruuth S.J., Merriman B. A simple embedding method for solving partial differential equations on surfaces // Journal of Computational Physics. – 2008. – Vol. 227. – P. 1943–1961.

Предложены феноменологические определяющие соотношения для кристаллизующейся полимерной среды, полученные в рамках нелинейной механики деформируемого твердого тела. Соотношения основаны на представлении среды в виде композиции расплавленного и полностью закристаллизованного материала с учетом истории непрерывного зарождения и деформирования новой фазы в интервале температур фазовых превращений. Выполнена общая постановка эволюционной краевой задачи нелинейной механики полимерных материалов в условиях протекания фазовых переходов с использованием предложенных определяющих соотношений. Рассмотрены алгоритмы численной реализации теплокинетической задачи и задачи определения напряженно-деформированного состояния затвердевающей системы для случая плоского деформированного состояния. Разработана процедура линеаризации, удобная с точки зрения построения численных алгоритмов решения поставленных эволюционных краевых задач, использующая предположение о близости каждой промежуточной конфигурации к текущей, что соответствует процедуре наложения на конечные деформации кристаллизующейся среды малых деформаций закристаллизовавшихся частиц. Процедура линеаризации исходной постановки задачи механики реализована с учетом температурных и структурных деформаций. Разработан и реализован численный алгоритм решения поставленной плоской краевой задачи с целью исследования особенностей эволюции напряженно-деформированного состояния в полимерной конструкции. Предложена и реализована методика построения дискретного аналога поставленных краевых задач, основанная на использовании процедуры метода Галеркина с выбором базисных функций с компактным носителем по методу конечных элементов. При этом в качестве узловых неизвестных приняты приращения функций перемещений на текущем временном шаге. Установлены закономерности формирования дефекта типа раковины в кристаллизующемся полимерном цилиндре.

Ключевые слова: кристаллизация, полимер, большие деформации, определяющие соотношения, термомеханика, численный алгоритм, линеаризация, метод конечных элементов.

Куликов Роман Георгиевич – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: kulrtg@mail.ru

Куликова Татьяна Георгиевна – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: kulrtg2@mail.ru

Сметанников Олег Юрьевич – доктор технических наук, доцент, e-mail: sou2009@mail.ru

1. Production stresses during the solidification of cylindrical articles formed from polymer composite materials / V.N. Korotkov, R.A. Turusov, E.A. Dzhavadyan, B.A. Rozenberg // Mechanics of Composite Materials. – 1986. – Vol. 22. – No. 1. – P. 99–103.
2. Shaffer B.W., Lewitsky M. Termoelastic Constitutive Equation for Chemically Hardering Materials // Journal of Appl. Mech. – 1974. – Vol. 41. – No. – P. 652–657.
3. Lewitsky M., Shaffer B.W. Residual Thermal Stresses in a Solid Sphere Cast From a Termosetting Material // Journal of Appl. Mech. – 1975. – Vol. 42. – No. 9. – P. 651–655.
4. Golotina L.A., Matveenko V.P., Shardakov I.N. Analysis of deformation process characteristics in amorphous-crystalline polymers // Mechanics of Solids. – 2012. – Vol. 47. – P. 634–640. DOI: 10.3103/S0025654412060040
5. Boyce M.C., Socrate S., Llana P.G. Constitutive Model for the Finite Deformation Stress-Strain Behavior of Poly(Ethylene Terephthalate) above the Glass Transition // Polymer . – 2000. – Vol. 41. – No. 6. – P. 2183–2201.
6. Rebecca B. Dupaix, Mary C. Boyce. Constitutive modeling of the finite strain behavior of amorphous polymers in and above the glass transition // Mechanics of Materials. – 2007. – No. 39. – P. 39–52.
7. Modeling and Validation of the Large Deformation Inelastic Response of Amorphous Polymers over a Wide Range of Temperatures and Strain-Rates / J. Richeton, S. Ahzi, K.S. Vecchio [et al.] // Int. J. Solids Struct. – 2007. – No. 44. – P. 7938–7954.
8. A Thermo-Mechanically Coupled Theory for Large Deformations of Amorphous Polymers. Part I: Formulation / L. Anand, N.M. Ames, V. Srivastava, S.A. Chester // Int. J. Plast. – 2009. – Vol. 25. – No 8. – P. 1474–1494.
9. A thermo-mechanically-coupled large-deformation theory for amorphous polymers in a temperature range which spans their glass transition / V. Srivastava, S.A. Chester, N.M. Ames, L. Anand // International Journal of Plasticity. – 2010. – No. 26. – P. 1138–1182.
10. Varghese A.G., Batra R.C., Constitutive Equations for Thermomechanical Deformations of Glassy Polymers // Int. J. Solids Struct. – 2009. – Vol. 46. – No. 22. – P. 4079–4094.
11. Finite Deformation Thermo-Mechanical Behavior of Thermally Shape Memory Polymers / H.J. Qi, T.D. Nguyen,
    F. Castroa et al. // J. Mech. Phys. Solids. – 2008. – Vol. 56. –
    No. 5. – P. 1730–1751.
12. Liu C., Qin H., Mather P.T. Review of progress in shape-memory polymers // J. Mater. Chem. - 2007. - Vol. 17. - P. 1543–1558.
13. Thermomechanics of shape memory polymers: uniaxial experiments and constitutive modeling / Y.P. Liu, K. Gall,
    M.L. Dunn, A.R. Greenberg, J. Diani // Int. J. Plast. - 2006. -
    Vol. 22. – P. 279–313.
14. Dietsch B., Tong T. A review: features and benefits of shape memory polymers (SMPs) // J. Adv. Mater. - 2007. - Vol. 39. - P. 3–12.
15. Gunes I.S., Jana S.C. Shape memory polymers and their nanocomposites: a review of science and technology of new multifunctional materials // J. Nanosci. Nanotechnol. - 2008. - Vol. 8. - P. 1616–1637.
16. Simulation of Thermomechanical Processen in Crystallising Polymer / I.N. Shardakov, V.P. Matveyenko, N.V. Pistsov, V.P. Beghishev // Polym. Eng. and Sci. – 1997. – Vol. 37. –
    No. 8. – P. 1270–1279.
17. Degree of crystalline structure of polymer obtained from melt at various cooling rates / A.Ya. Malkin, S.A. Bolgov, V.P. Begishev, O.S. Mazalov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. – 1991. – Vol. 61. – No. 3. – P. 1092–1095.
18. Новокшанов Р.С., Роговой А.А. Эволюционные определяющие соотношения для конечных вязкоупругих деформаций // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2005. –
    № 4. – С. 122–140.
19. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – М.: Наука, 1970. – 940 с.
20. Методы прикладной вязкоупругости / А.А. Адамов, В.П. Матвеенко, Н.А. Труфанов, И.Н. Шардаков / УрО РАН. – Екатеринбург, 2003. – 411 с.
21. 21. Роговой А.А. Определяющие соотношения для конечных упруго-неупругих деформаций // Прикладная механика и техническая физика. – 2005. – № 5. – С. 138–149.
22. Куликов Р.Г., Куликова Т.Г. К вопросу определения деформированного состояния кристаллизующейся полимерной среды с учетом больших деформаций // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – Пермь, 2012. – № 1. – С. 62–72.
23. Vikas Srivastava, Shawn A. Chester, Lallit Anand. Thermally actuated shape-memory polymers: Experiments, theory and numerical simulations // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. – 2010. – No. 58. – P. 1100–1124.
24. Адамов А.А. Исследование и моделирование нестационарного термомеханического поведения вязкоупругих резиноподобных материалов и элементов конструкций
    при конечных деформациях: дис. … д-ра физ.-мат. наук. – Пермь, 2004.
25. Rogovoy A.A. Formalized approach to construction of the state equations for complex media under finite deformations // Continuum Mechanics and Thermodynamics. – 2012. – No. 24. – P. 81–114.
26. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 541с.
27. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. – 630 с.
28. Теплофизические и реологические характеристики полимеров: справ. / под ред. Ю.С. Липатова – Киев: Наук. думка, 1977. – 244 с.
29. Пивень А.Н., Гречанная Н.А., Чернобыльский Н.И. Теплофизические свойства полимерных материалов. – Киев: Вища школа, 1976. – 180 с.
30. Нильсен Л. Механические свойства полимеров и полимерных композиций. – М.: Химия, 1978. – 312 с.

Рассматриваются основные положения и уравнения теории пластичности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, т.е. материалов, которые имеют различные кривые пластического деформирования при одноосном растяжении, сжатии, кручении (сдвиге). Таким образом, для таких материалов не существует единой кривой пластического деформирования при лучевых (простых) процессах нагружения. Рассматриваемая теория пластичности относится к теориям пластического течения при комбинированном упрочнении, в которой радиус поверхности нагружения принимается зависящим от первого инварианта тензора напряжений и параметра вида активного напряженного состояния, а определяющие функции эволюционного уравнения для смещения поверхности нагружения – от параметра вида добавочного напряженного состояния (состояния микронапряжений). Параметр вида определяется отношением третьего инварианта ко второму инварианту в степени 3/2 соответствующих девиаторов и равен при сжатии –1, при растяжении +1, а при сдвиге 0. В рамках этой теории рассматривается пластическое изменение объема (разрыхление) в случае зависимости радиуса поверхности нагружения от первого инварианта тензора напряжений. Для описания процессов накопления повреждений приводится кинетическое уравнение, базирующееся на работе микронапряжений на поле пластических деформаций. В этом уравнении энергия разрушения принимается зависящей от первого инварианта тензора напряжений и параметра вида состояния микронапряжений. Приводятся материальные функции, замыкающие теорию, и метод их определения. Анализируются результаты теоретических и экспериментальных исследований упругопластического деформирования образцов из алюминиевого сплава Д16Т по двухзвенным траекториям деформаций в виде «веера», а также образцов из стали 30XГСА при нагружении по двухзвенным ортогональным траекториям напряжений. Получено удовлетворительное соответствие расчетных и экспериментальных результатов. Рассмотрен эффект «расщепления деформаций», приводящий к тому, что лучевым траекториям деформаций (напряжений) могут отвечать нелучевые траектории напряжений (деформаций), а плоским траекториям – неплоские.

Ключевые слова: пластическое деформирование, чувствительность к виду напряженного состояния, микронапряжение, неупругое изменение объема, накопление повреждений, материальные функции.

Бондарь Валентин Степанович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: tm@mami.ru

Абашев Дмитрий Рустамович – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: tm@mami.ru

1. Коровин И.М. Экспериментальное определение зависимости напряжение-деформация при сложном нагружении по траекториям с одной точкой излома // Инж. журн. МТТ. – 1964. – № 3. – С. 592–600.

2. Ohashi Y. Effect of Complicated deformation history on inelastic deformation behavior of metals // Memoirs of Faculty of Engineering Nagoya University. – 1982. – Vol. 34. – No. 1. – P. 1–76.

3. Вавакин А.С., Мохель А.Н., Степанов Л.П. Исследование характера пластического деформирования стали 30ХГСА в точках резкого излома траектории нагружении (P – M-опыты) / Деп. ВИНИТИ № 2895-83. – М., 1983. – 102 c.

4. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. – М.: Изд-во АН СССР, 1963. – 271 с.

5. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения // ПММ. – 1958. – Т. 22. – Вып. 1. – С. 78–89.

6. Новожилов В.В. О пластическом разрыхлении // ПММ. – 1965. – Т. 29. – Вып. 4. – С. 681–689.

7. Кадашевич Ю.И. Теория пластичности, учитывающая эффект Баушингера и влияние среднего нормального напряжения на границу текучести // Тр. Ленигр. технол. ин-та целлюлозно-бум. пром-ти. – 1965. – Вып. 18. – С. 234–235.

8. Коротких Ю.Г. Описание процессов накопления повреждений материала при неизотермическом вязкопластическом деформировании // Проблемы прочности. – 1985. –
№ 1. – С. 18–23.

9. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. – М.: Физматлит, 2008. – 424 с.

10. Ломакин Е.В. Зависимость предельного состояния композитных и полимерных материалов от вида напряженного состояния // Механика композитных материалов. – 1988. – № 1. – С. 3-9.

11. Ломакин Е.В., Федулов Б.Н. Пластическое деформирование полос из материала с зависящими от вида напряженного состояния свойствами // Вестн. СамГУ. Естественно-научная сер. – 2007. – № 4(54). – С. 263–279.

12. Ломакин Е.В. Пластическое течение дилатирующей среды в условиях плоской деформации // Изв. РАН. МТТ. – 2000. – № 6. – С. 58–68.

13. Lomakin E.V. Topical Problems in Solid Mechanics. Eds. N.K. Gupta, A.V. Manzhirov. – New Delhi: IIt Delhi. – 2008. – P. 122–132.

14. Ломакин Е.В., Федулов Б.Н. Теория пластичности и предельного равновесия тел, чувствительных к виду напряженного состояния // Вестн. Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – № 4(4). – С. 1585-1587.

15. Федулов Б.Н. Предельное пластическое состояние полосы с отверстием из дилатирующего материала // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. – 2007. – № 6. – С. 40–44.

16. Ломакин Е.В., Федулов Б.Н. Растяжение полосы, ослабленный вырезами с круговым основанием, в условиях плоской деформации из материала с зависящими от вида напряженного состояния свойствами // Механика твердого тела. – 2013. – № 4. – С. 80-87.

17. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: справ. / под общ. ред. В.И. Мяченкова. – М.: Машиностроение, 1989. – 520 с.

18. Бондарь В.С., Фролов А.Н. Математическое моделирование процессов неупругого поведения и накопления повреждений материала при сложном нагружении // Изв. АН СССР. МТТ. – 1990. – № 6. – C. 99–107.

19. Бондарь В.С. Неупругое поведение и разрушение материалов и конструкций при сложном неизотермическом нагружении: дис. … д-ра физ.-мат. наук. – М.: Изд-во МАМИ, 1990. – 314 с.

20. Бондарь В.С. Неупругость. Варианты теории. – М.: Физматлит, 2004. – 144 с.

21. Бондарь В.С., Даншин В.В. Пластичность. Пропорциональные и непропорциональные нагружения. – М.: Физматлит, 2008. – 174 с.

22. Bondar V.S. Inelasticity. Variants of the theory. – New York: Begell House, 2013. - 194 p.

23. Aravas N. On the Numerical Integration of a Class of Pressure-Dependent Plasticity Models // Int. J. Numer. Methods in Enging. – 1987. – Vol. 24. – No. 7. – P. 1395–1416.

24. Bardet J. Lode dependences for isotropic pressure-sensitive elastoplastic materials // Journal of Applied Mechanics. – Transactions ASME. – 1990. – Vol. 57 (3). – P. 498–506.

25. Barlat F., Lege D.J., Brem J.C. A six-component yield function for anisotropic materials // International Journal of Plasticity. – 1991. – Vol. 7 (7). – P. 693–712.

26. Yielding description for solution strengthened aluminum alloys / F. Barlat, R.C. Becker, Y. Hayashida, Y. Maeda, M. Yanagawa, K. Chung, J.C. Brem, D.J. Lege, K. Matsui, S.J. Murtha, S. Hattori // International Journal of Plasticity. – 1997. – Vol. 13 (4). – P. 385–401.

27. Menetrey P., Willam K. Triaxial failure criterion for concrete and its generalization // ACI Structural Journal. – 1995. – Vol. 92. – P. 311–318.

28. Bigoni D., Piccolroza A. A new yield function for geomaterials. Constitutive Modeling and Analysis of Boundary Value Problems in Geotechnical Engineering. Ed. C. Viggiani. – Napoli, 2003. – P. 266–281.

29. Linear transformation-based anisotropic yield functions / F. Barlat, H. Aretz, J. Yoon, M. Karabin, J. Brem, R. Dick // International Journal of Plasticity. – 2005. – Vol. 21(5). –
P. 1009–1039.

30. Fossum A., Brannon R. On a viscoplastic model for rocks with mechanism-dependent characteristic times // Acta Geotechnica. – 2006. – Vol. 1. – P. 89–106.

31. Bai Y., Wierzbicki T. A new model of metal plasticity and fracture with pressure and Lode dependence // Int. J. Plasticity. – 2008. – Vol. 24. – P. 1071–1096.

32. Мовчан А.А. Феноменологическое описание дислокационного механизма образования дефектов при пластическом деформировании // Проблемы прочности. – 1987. – № 1. – С. 147–155.

33. Зубчанинов В.Г. Механика сплошных деформируемых сред. – Тверь: Изд-во ТГТУ, 2000. – 703 с.

Структура ориентированного мартенсита, определяющая макроскопическую деформацию в сплавах с памятью формы (СПФ), может быть сформирована двумя способами: непосредственно из аустенитной фазы в результате прямого фазового превращения под нагрузкой, а также из хаотического мартенсита при его структурном превращении в процессе изотермического нагружения. Деформация, приобретенная первым способом, называется фазовой, вторым – структурной, однако различие в названиях отражает лишь разность механизмов их формирования, тогда как конечный продукт – ориентированный мартенсит – одинаков для обоих типов деформации. В связи с этим некоторые феноменологические модели для СПФ учитывают единообразие этих двух составляющих деформации, определяя их взаимосвязь через диаграммы прямого превращения F₁ (для фазовой деформации) и мартенситной неупругости F₂ (для структурной деформации). Лежащее в основе этих моделей теоретическое представление содержит гипотезу о независимости процесса дальнейшего деформирования ориентированного мартенсита от способа его формирования и включает три материальные функции: F₁, F₂, а также связывающую их функцию f. В настоящей работе проведено экспериментальное исследование на проволочных образцах из никелида титана, целью которого являлось подтверждение гипотезы и установление материальных функций, используемых данным теоретическим представлением. Предложен новый способ определения функции f, который может использоваться в качестве проверочного эксперимента. Определены пределы выполнимости гипотезы как для дальнейшего изотермического деформирования образцов с начальными фазовой и структурной деформациями, так и для процессов, связанных с их последующим нагревом. Экспериментально показано совпадение диаграмм доориентации

Ключевые слова: сплавы с памятью формы, феноменологическая модель, фазовая и структурная деформации, диаграмма прямого превращения, диаграмма мартенситной неупругости, эффект перекрестного упрочнения, термомеханический эксперимент, никелид титана.

Тихомирова Ксения Алексеевна – аспирант, инженер-исследователь, e-mail: tikhomirova.k@icmm.ru

1. Материалы с эффектом памяти формы: справ. / С.П. Беляев, А.Е. Волков, В.А. Ермолаев, З.П. Каменцева, С.Л. Кузьмин, В.А. Лихачев, В.Ф. Мозгунов, А.И. Разов, Р.Ю. Хайров; под ред. В.А. Лихачева. – Т. 2. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. – 374 с.
2. Малыгин Г.А. Размытые мартенситные переходы и пластичность кристаллов с эффектом памяти формы // Успехи физических наук. – 2001. – Т. 171, № 2. – С. 187–212. DOI: 10.3367/UFNr.0171.200102c.0187
3. Мовчан А.А., Казарина С.А. Материалы с памятью формы как объект механики деформируемого твердого тела: экспериментальные исследования, определяющие соотношения, решение краевых задач // Физическая мезомеханика. – 2012. – Т. 15, № 1. – С. 105–116.
4. Rogovoy A.A., Stolbova O.S. Modeling the magnetic field control of phase transition in ferromagnetic shape memory alloys // International Journal of Plasticity. – 2016. – Vol. 85. – P. 130–155. DOI: org/10.1016/J.IJPLAS.2016.07.006
5. Мовчан А.А., Казарина С.А., Тант Зин Аунг. Аналог теории пластичности для описания деформирования сплавов с памятью формы при фазовых и структурных превращениях // Деформация и разрушение материалов. – 2009. – № 9. – С. 2–6.
6. Казарина С.А., Мовчан А.А., Сильченко А.Л. Экспериментальное исследование взаимодействия фазовых и структурных деформаций в сплавах с памятью формы// Механика композиционных материалов и конструкций. – 2016. – Т. 22, № 1. – С. 85–98.
7. Мовчан А.А., Сильченко А.Л., Казарина С.А. Экспериментальное исследование и теоретическое моделирование эффекта перекрестного упрочнения сплавов с памятью формы // Деформация и разрушение материалов. – 2017. – № 3. – С. 20–27.
8. Материалы с эффектом памяти формы: справ. / С.П. Беляев, А.Е. Волков, В.А. Ермолаев, З.П. Каменцева, С.Л. Кузьмин, В.А. Лихачев, В.Ф. Мозгунов, А.И. Разов, Р.Ю. Хайров; под ред. В.А. Лихачева. – Т. 4. – СПб.: Изд-во НИИХ СПбГУ, 1998. – 268 с.
9. Lobo P.S., Almeida J., Guerreiro L. Shape memory alloys behaviour: a review // Procedia Engineering. – 2015. – Vol. 114. – P. 776–783. DOI: 10.1016/j.proeng.2015.08.025
10. Cisse C., Zaki W., Zineb T.B. A review of constitutive models and modeling techniques for shape memory alloys // International Journal of Plasticity. – 2016. – Vol. 76. – P. 244–284. DOI: org/10.1016/J.IJPLAS.2015.08.006
11. An improved, fully symmetric, finite-strain phenomenological constitutive model for shape memory alloys / J. Arghavani, F. Auricchio, R. Naghdabadi, A. Reali // Finite Elements in Analysis and Design. – 2011. – Vol. 47. – P. 166–174. DOI: org/10.1016/j.finel.2010.09.001
12. Constitutive model for the numerical analysis of phase transformation in polycrystalline shape memory alloys / D. Lagoudas, D. Hartl, Y. Chemisky, L. Machado, P. Popov // International Journal of Plasticity. – 2012. – Vol. 32–33. – P. 155–183. DOI: org/10.1016/j.ijplas.2011.10.009
13. Anisotropic behavior of superelastic NiTi shape memory alloys; an experimental investigation and constitutive modeling / R. Mehrabi, M.T. Andani, M. Elahinia, M. Kadkhodaei // Mechanics of Materials. – 2014. – Vol. 77. – P. 110–124. DOI: 10.1016/j.mechmat.2014.07.006
14. Müller C., Bruhns O.T. A thermodynamic finite-strain model for pseudoelastic shape memory alloys // International Journal of Plasticity. – 2006. – Vol. 22. – No. 9. – P. 1658–1682. DOI: 10.1016/J.IJPLAS.2006.02.010
15. Zaki W. An efficient implementation for a model of martensite reorientation in martensitic shape memory alloys under multiaxial nonproportional loading // International Journal of Plasticity. – 2012. – Vol. 37. – P. 72–94. DOI: org/10.1016/j.ijplas.2012.04.002
16. Мишустин И.В., Мовчан А.А. Аналог теории пластического течения для описания деформации мартенситной неупругости в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. – 2015. – № 2. – С. 78–95.
17. Fabrizio M., Pecoraro M., Tibullo V. A shape memory alloy model by a second order phase transition // Mechanics Research Communications. – 2016. – Vol. 74. – P. 20–26. DOI: org/10.1016/j.mechrescom.2016.03.005
18. Yu C., Kang G., Kan Q. An equivalent local constitutive model for grain size dependent deformation of NiTi polycrystalline shape memory alloys // International Journal of Mechanical Sciences. – 2018. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2018.02.001
19. Theoretical and numerical modeling of shape memory alloys accounting for multiple phase transformations and martensite reorientation / F. Auricchio, E. Bonetti, G. Scalet, F. Ubertini // International Journal of Plasticity. – 2014. – Vol. 59. – P. 30–54. DOI: ORG/10.1016/J.IJPLAS.2014.03.008
20. Constitutive model for shape memory alloys including phase transformation, martensitic reorientation and twins accommodation / Y. Chemisky, A. Duval, E. Patoor, T. Ben Zineb // Mechanics of Materials. – 2011. – Vol. 43. – No. 7. – P. 361–376. DOI: 10.1016/j.mechmat.2011.04.003
21. Panico M., Brinson L.C. A three-dimensional phenomenological model for martensite reorientation in shape memory alloys // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. – 2007. – Vol. 55. – No. 11. – P. 2491–2511. DOI: 10.1016/j.jmps.2007.03.010
22. Мишустин И.В., Мовчан А.А. Моделирование фазовых и структурных превращений в сплавах с памятью формы, происходящих под действием немонотонно меняющихся напряжений // Изв. РАН. МТТ. – 2014. – № 1. – С. 37–53.
23. Мовчан А.А., Мовчан И.А. Модель нелинейного деформирования сплавов с памятью формы в активных процессах прямого превращения и структурного перехода // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2008. – Т. 14, № 1. – С. 75–87.
24. Мовчан А.А., Мовчан И.А., Сильченко Л.Г. Микромеханическая модель нелинейного деформирования сплавов с памятью формы при фазовых и структурных превращениях // Изв. РАН.
    МТТ. – 2010. – № 3. – С. 118–130. DOI: 10.3103/S0025654410030118
25. Тихомирова К.А. Разработка и численная реализация одномерной феноменологической модели фазовой деформации в сплавах с памятью формы // Вычисл. мех. сплош. сред. – 2016. – Т. 9, № 2. – С. 192–206. DOI.org/10.7242/1999-6691/2016.9.2.17
26. Тихомирова К.А. Изотермическое деформирование сплава с памятью формы в разных температурных интервалах. Случай одноосного растяжения // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2017. – Т. 23, № 2. – С. 263–282.
27. Малеткина Т.Ю. Влияние деформации на мартенситные превращения и эффект памяти формы в сплавах на основе никелида титана: дис. … канд. физ.-мат. наук: 01.02.04. – Томск, 1999. – 176 с.
28. Wu X.D., Sun G.J., Wu J.S. The nonlinear relationship between transformation strain and applied stress for nitinol // Materials Letters. –
    2003. – Vol. 57. – P. 1334–1338. DOI: org/10.1016/S0167-577x(02)00983-7
29. Определяющие соотношения для сплавов с памятью формы – микромеханика, феноменология, термодинамика / А.А. Мовчан, Л.Г. Сильченко, С.А. Казарина, Тант Зин Аунг // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физико-математические науки. – 2010. – Т. 152, № 4. – С. 180–193.
30. Melton K.N. Ni-Ti based shape memory alloys // Engineering aspects of shape memory alloys. Ed. T.W. Duering. – London, UK: Butterworth-Heinemann Ltd, 1990. – P. 21–25.
31. Some aspects of the properties of NiTi shape memory alloy / Y. Liu, J. Van Humbeeck, R. Stalmans, L. Delaey // J. Alloys Compn. – 1997. – Vol. 247. – No. 1–2. – P. 115–121. DOI: org/10.1016/s0925-8388(96)02572-8
32. Волков А.Е. Микроструктурное моделирование деформации сплавов при повторяющихся мартенситных превращениях // Изв. Акад. наук. Сер. Физическая. – 2002. – Т. 66, № 9. – С. 1290–1297.
33. Мовчан А.А., Климов К.Ю. Моделирование реономных свойств сплавов с памятью формы // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2011. – Т. 17, № 2. –
    С. 255–267.
34. Андронов И.Н., Богданов Н.П., Северова Н.А., Тарсин А.В. Метод количественного описания зависимости модуля Юнга никелида титана от температуры // Изв. Коми научного центра УрО РАН. – 2013. – №3. – C. 87–90.
35. Дилатометрические аномалии и эффект памяти формы в сплаве титан–никель, подвергнутом низкотемпературной термомеханической обработке / С.Д. Прокошкин, Л.М. Капуткина, Т.В. Морозова, И.Ю. Хмелевская // Физика металлов и металловедение. – 1995. – Т. 80, № 3. – С. 70–77.
36. Мовчан А.А., Чжо Т.Я. Решение начально-краевых задач о прямом и обратном превращении в рамках нелинейной теории деформирования сплавов с памятью формы// Механика композиционных материалов и конструкций. – 2007. – Т. 13, № 4. – С. 452–468.
37. Лихачев В.А., Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. – 216 с.

Предложен и реализован способ вычисления неоднородных полей деформаций в зернах поликристаллических материалов. Вычисления основаны на разработанном ранее методе решения краевой задачи механики неоднородных поликристаллических тел с помощью оригинального варианта теории возмущений, основанного на аналогиях c квантовой теорией поля. Краевая задача для неоднородных полей деформирования в дифференциальной форме преобразуется в интегральное уравнение для тензора деформаций. Решение интегрального уравнения строится в виде ряда по интенсивности взаимодействия деформаций. Это позволяет интерпретировать неоднородную деформацию в какой-либо точке зерна как суперпозицию макродеформации, обусловленной граничными условиями, и двух составляющих, обусловленных внутризеренным и межзеренным взаимодействием. Показано, что в нетекстурированных поликристаллах, несмотря на дальнодействующий характер упругого взаимодействия, при оценке влияния межзеренного взаимодействия на неоднородность деформаций в выделенном зерне можно ограничиться учетом взаимодействия только с ближайшими и вторыми по удалению зернами-соседями. Вклады от взаимодействия с более далекими зернами взаимно компенсируют друг друга.

Неоднородное в пределах одного зерна поле деформаций аппроксимируется кусочно-постоянной функцией. Для этого каждое зерно разбивается на большое число малых субзерен, в пределах которых поля деформаций принимаются однородными. Такая аппроксимация сводит интегральные уравнения для локальных деформаций к линейным алгебраическим, которые решаются численно. Применение метода к классической задаче вычисления деформаций в сферическом включении, погруженном в неограниченную матрицу, дает решение Эшелби.

На модельных поликристаллах цинка выполнена численная оценка неоднородных деформаций. Вблизи границ сферического зерна экстремальные значения деформаций, обусловленные межзеренным взаимодействием, на 30 % превосходят средние. В материалах с более низкой упругой симметрией зерен концентрация деформаций существенно выше.

Ключевые слова: неоднородные деформации, поликристаллы, интегральные уравнения.

Ташкинов Анатолий Александрович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: tash@pstu.ru

Шавшуков Вячеслав Евгеньевич – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: shavshukov@pstu.ru

1. Antolovich S.D., Armstrong R.W. Plastic strain localization in metals: origins and consequences // Progress in Materials Science. – 2014. – Vol. 59. – P. 1–160. DOI: org/10.1016/j.pmatsci.2013.06.001
2. Pineau A., Benzerga A.A., Pardoen T. Failure of metals I: Brittle and ductile fracture // Acta Materialia. – 2016. – Vol. 107. – P. 424–483. DOI: org/10.1016/j.actamat.2015.12.034
3. Failure of metals II: Fatigue / A. Pineau, D.L. McDowell, E.P. Busso, S.D. Antolovich // Acta Materialia. – 2016. – Vol. 107. – P. 484–507. DOI: org/10.1016/j.actamat.2015.05.050
4. Pineau A., Benzerga A.A., Pardoen T. Failure of metals III. Fracture and fatigue of nanostructured metallic materials // Acta Materialia. – 2016. – Vol. 107. – P. 508–544. DOI: org/10.1016/j.actamat.2015.07.049
5. Voight W. Lerbuch der Kristallphysuk. – Leipzig und Berlin:Teubner, 1928. – 978 p.
6. Reuss A., Berechnunug der Fliebgrenze von Mischkris­tallen auf Grund der plastizitatsbending fur einkristalle // Z. Angew. Math. und Mech. – 1929. – Vol. 9. – No. 1. – P. 49–56.
7. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. – М.: Наука, 1977. – 400 с.
8. Штремель М.А. Прочность сплавов. Ч. II. Деформация. – М: Изд-во МИСИС, 1997.–527 с.
9. Multiscale Modeling and Simulation of Composite Materials and Structures. Eds Y.W. Kwon, D.H. Allen, R. Talreija – Springer Science+Business Media, LLC, 2008. – 630 p.
10. Overview of constitutive laws, kinematics, homogenization and multiscale methods in crystal plasticity finite-element modeling: Theory, experiments, applications / F. Roters, P. Eisenlohr, L. Hant­cherli, D.D. Tjahjanto, T.R. Bieler, D. Raabe // Acta Materialia. – 2010. – Vol. 58. – P. 1152–1211. DOI: 10.1016/j.actamat.2009.10.058
11. Geers M.G.D., Kouznetsova V.G., Brekelmans W.A.M. Multi-scale computational homogenization: Trends and challenges // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2010. – Vol. 234. – P. 2175–2182. DOI: 10.1016/j.cam.2009.08.077
12. Multiscale modelling of plasticity and fracture by means of dislocation mechanics. Eds Pippan R., Gumbsch P. – Springer Wien New York, 2010. – 394 p.
13. Трусов П.В., Швейкин А.И.. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, № 4. – С. 17–28.
14. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, № 5. – С. 5–30.
15. Raabe D. Computational materials science. – WILEY-VCH Verlag Gmbh, 1998. – 382 p.
16. Computational Methods for Microstructure-Property Rela­tionships. Eds. Ghosh S., Dimiduk D. – Springer Science+ Business Media, LLC, 2011. – 658 p. DOI: 10.1007/978-1-4419-0643-4
17. Hill R. Elastic properties of reinforced solids – some theoretical principles // Journal of Mechanics and Physics of Solids. – 1963. – Vol. 11. – No. 5. – P. 357–372.
18. Moussaddy H., Therriault D., Levesque M. Assessment of existing and introduction of a new and robust efficient definition of the representative volume element // International Journal of Solids and Structures. – 2013. – Vol. 16. – P. 3817–3828. DOI: org/10.1016/j.ijsolstr.2013.07.016
19. Determination of the size of the representative volume element for random quasi-brittle composites / Pelissou, Baccou, Monerie, F. Perales // International Journal of Solids and Structures. – 2009. – Vol. 46. – P. 2842–2855. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2009.03.015
20. Shavshukov V., Tashkinov A. Quantum Field Theory Approach to Mechanics of Polycrystals // Solid State Phenomena. – 2016. –
    Vol. 243. – P. 131–138. DOI: 10.4028/www.scientific.net/SSP.243.131
21. Ташкинов А.А., Шавшуков В.Е. Решение задач механики деформирования поликристаллических материалов на основе теории возмущений // Вычислительная механика сплошных сред. – 2016. – Т. 9, № 4. – С. 486–497. DOI: 10.7242/1999-6691/2016.9.4.41
22. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. К теории упругих свойств поликристаллов // Журн. эксперимент. теор. физ. – 1946. – Т. 16, № 11. – С. 967–980.
23. Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems // Proc. R. Soc. A 241. – 1957. – P. 376–396. DOI: 10.1098/rspa.1957.0133
24. Кривоглаз М.А., Черевко А.С. Об упругих модулях твердой смеси // Физика металлов и металловедение. – 1959. – Т. 8, № 2. – С. 164–164.
25. Christensen R. Mechanics of Composite Materials. – New York: John Wiley & Sons, 1979. – 336 p.
26. Кунин И.А., Соснина Э.Г. Эллипсоидальная неоднородность в упругой среде // Докл. Акад. наук СССР. – 1971. – Т. 9, № 3. – С. 571–574.
27. Mura T. Micromechanics of Defects in Solids. – Dordrecht. – Martinus Nijhoff Publishers, 1987. – 587 p.
28. Шавшуков В.Е. Распределение полей напряжений в поликристаллических материалах // Физическая мезомеханика. – 2012. – Т. 15, № 6. – С. 85–91.
29. Шавшуков В.Е. Упругое взаимодействие зерен в поликристаллических материалах // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 4. – С. 197–220. DOI: 10.15593/perm.mech/2014.4.08
30. Богачев И.Н., Вайнштейн А.А., Волков С.Д. Статистическое металловедение. – М.: Металлургия, 1984. – 176 с.
31. Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Бакута С.А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов. – Киев: Наукова думка, 1982. – 286 с
32. Tadao Watanabe. An approach to grain boundary design for strong and ductile polycrystals // Res Mechanica. – 1984. – Vol. 11. – No. 1. – P. 47–84.
33. Randle V. Grain boundary engineering: an overview after 25 years // Materials Science and Technology. – 2010. – Vol. 26. – No. 3. – P. 253–261.
34. Watanabe T. Grain boundary engineering: historical perspective and future prospects // Journal of Materials Science. – 2011. – Vol. 46. – P. 4095–4115. DOI: 10.1007/s10853-011-5393-z

Разработана математическая модель локации неоднородностей давления по длине оптоволоконного пьезоэлектролюминесцентного датчика с использованием локационного сканирующего электрического видеоимпульса с пошаговым изменением его величины. Разработан алгоритм нахождения функции распределения давления по локальному участку и по всей длине датчика по результатам замеряемой на торцевом сечении датчика интенсивности исходящего из оптоволокна света для случая нелинейной «функции свечения» – зависимости интенсивности света от действующего на электролюминесцентный элемент электрического напряжения; задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с разностным ядром, зависящим от управляющего и информативного передаточных коэффициентов датчика и заданной функции свечения электролюминесцентного элемента. Получены аналитические решения для функций распределения давления по длине датчика для частных случаев, когда ядро или сама функция плотности распределения выражаются через дельта-функцию и интегральное уравнение Фредгольма сводится к алгебраическим. Определены области допустимых значений управляющего напряжения датчика для различных режимов диагностики распределения давления. Представлены результаты численных решений прямой и обратной задач для неоднородного распределения давления посредством «точечного» сканирования этого давления предельно узким импульсом управляющего электрического напряжения. В прямой задаче найдены функции свечения на выходе из оптоволокна для различных моментов времени и значений величины импульса управляющего электрического напряжения с учетом заданной функции свечения электролюминесцентного элемента; в обратной задаче найдено распределение давления по значениям функции интенсивности свечения в различные моменты времени.

Ключевые слова: пьезоэлектроупругость, механолюминесцентный эффект, оптоволокно, датчик давления, импульсное сканирование, численное моделирование.

Паньков Андрей Анатольевич – доктор физико-математических наук, доцент, e-mail: a_a_pankov@mail.ru

1. Козлов В.Л. Оптоэлектронные датчики. – Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 2005. – 116 с.
2. Окоси Т. Волоконно-оптические датчики. – Л.: Энергоатомиздат, 1990. – 256 с.
3. Guemes A., Fernandez-Lopez A., Soller B. Optical fiber distributed sensing – physical principles and applications // Structural Health Monitoring. – 2010. – Vol. 9. – No. 3. – P. 233–245.
4. Suresh R., Tjin S.C., Hao J. Fiber Bragg Grating // Smart Materials in Structural Health Monitoring, Control and Biomechanics. – Berlin: Springer, Heidelberg, 2012. – P. 413–439.
5. Prabhugoud M., Peters K. Efficient simulation of Bragg grating sensors for implementation to damage identification in composites // Smart Materials & Structures. – 2003. – Vol. 12. – No. 6. – P. 914–924.
6. Методы исследования свойств материалов при интенсивных динамических нагрузках / под общ. ред. д-ра физ.-мат. наук
   М.В. Жерноклетова; ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ. – Саров, 2003. – 403 с.
7. Татмышевский К.В. Механолюминесцентный чувствительный элемент: математическая модель и динамические свойства // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. – 2005. – № 4. – С. 35–39.
8. Матвеенко В.П., Федорова В.А., Шардаков И.Н. Теоретическое обоснование возможности построения волоконно-оптической системы мониторинга деформаций земной поверхности // Изв. РАН. МТТ. – 2013. – № 5. – С. 46–52.
9. Шардаков И.Н., Созонов Н.С., Цветков Р.В. Экспериментально-теоретические основы автоматизированных систем деформационного мониторинга с использованием волоконно-оптических элементов // Вестн. Перм. науч. центра. – 2016. – Окт.-дек. – С. 91–95.
10. К вопросу об интеграции оптоволокна в ПКМ и измерении деформации материала с помощью волоконных брэгговских решеток / М.А. Зуев, В.В. Махсидов, М.Ю. Федотов, А.М. Шиенок // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2014. – Т. 20, № 4. – С. 568–574.
11. Применение оптического волокна в качестве датчиков деформации в полимерных композиционных материалах / Е.Н. Каблов, Д.В. Сиваков, И.Н. Гуляев, К.В. Сорокин, М.Ю. Федотов, Е.М. Дианов, С.А. Васильев, О.И. Медведков // Все материалы. Энцикл. справ. – 2010. – № 3. – С. 10–15.
12. Наймушин И.Г., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Численный анализ деформационных процессов в оптоволоконном датчике // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2012. – № 1. – С. 104–116.
13. Измерение неоднородных полей деформаций встроенными в полимерный композиционный материал волоконно-оптическими датчиками / А.Н. Аношкин, А.А. Воронков, Н.А. Коше­лева, В.П. Матвеенко, Г.С. Сероваев, Е.М. Спаскова, И.Н. Шардаков, Г.С. Шипунов // Изв. РАН. МТТ. – 2016. – № 5. – С. 42–51.
14. Матвеенко В.П., Шардаков И.Н., Кошелева Н.А. Оценка технологических деформаций в полимерных композиционных образцах на основе использования внедренных волоконно-оптических датчиков деформаций // XХ Зимняя школа по механике сплошных сред: тез. докл. / РИО УрО РАН. – Пермь, 13–16 февраля 2017 г. – Екатеринбург: 2017. – С. 219.
15. Patent US 20060254366 A1. Sensor and sensor array for monitoring a structure / Caroline Williamson, Lisa Fixter (nee Humberstone), Andrew Clarke; published on November 16, 2006.
16. Patent US 7458266 B2. Method and apparatus for detecting a load change upon a structure and analyzing characteristics of resulting damage / Shawn J. Beard, Xinlin Qing, Hian Leng Chan, Chang Zhang, Fuo-Kuo Chang; published on December 2, 2008.
17. Patent US 6399939 B1. Sensor array system / Mannur J. Sundaresan, Anindya Ghoshal, Mark J. Schulz; published on June 4, 2002.
18. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. – Киев: Наукова думка, 1989. – 280 с.
19. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. – М.: Наука, 1988. – 472 с.
20. Дианов Д.Б., Кузьменко А.Г. Расчет цилиндрического пьезокерамического преобразователя, совершающего радиально-симметричные колебания // Акуст. журн. – 1970. – Т. 16, № 1. – С. 42–48.
21. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для анизотропного пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра // Изв. РАН. МТТ. – 2009. – № 1. – С. 73–81.
22. Finite Element Analysis of Functionally Graded Piezoelectric Spheres / A. Ghorbanpour Arani, R. Kolahchi, A.A. Mosalaei Barzoki, A. Loghman, F. Ebrahimi // Finite Element Analysis – Applications in Mechanical Engineering. Ed. Farzad Ebrahimi. – InTech, 2012. – 380 p.
23. Numerical determination of effective properties of voided piezoelectric materials using BNM / H. Wang, G. Tan, S. Cen, Z. Yao // Engineering Analysis with Boundary Elements. – 2005. – Vol. 29. – P. 636–646.
24. Li Z.H., Wang C., Chen C.Y. Effective electromechanical properties of transversely isotropic piezoelectric ceramics with microvoids // Comput. Mater. Sci. – 2003. – Vol. 27. – No. 3. – P. 381–392.
25. Bishay P.L., Dong L., Atluri S.N. Multi-physics computational grains (MPCGs) for direct numerical simulation (DNS) of piezoelectric composite/porous materials and structures // Computational Mechanics. – 2014. – Vol. 54. – No. 5. – P. 1129–1139.
26. Kondaiah P., Shankar K., Ganesan N. Pyroeffects on multiphase magneto-electro-elastic sensor patch bonded on mild steel plate // International Journal on Smart Sensing and Intelligent Systems. – 2014 September. – Vol. 7. – No. 3. – P. 1134–1155.
27. Пат. РФ № 2630537. Волоконно-оптический датчик давления / Паньков А.А., опубл. 11.09.2017 г.; заявка RU № 2016136058 от 06.09.2016 г.
28. Паньков А.А. Математическое моделирование пьезоэлектролюминесцентного эффекта и диагностика распределения давления по длине оптоволоконного датчика // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 4. – С. 259–272.
29. Pan’kov A.A. Piezoelectroluminescent optical fiber sensor for diagnostics of the stress state and defectoscopy of composites // Mechanics of Composite Materials. – 2017. – Vol. 53. – No. 2. – P. 229–242.
30. Пат. РФ № 2643692. Волоконно-оптический датчик объемного напряженного состояния / Паньков А.А., опубл. 05.02.2018 г.; заявка № 2017111405 от 04.04.2017 г.
31. Михлин С.Г., Смолицкий X.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. – М.: Наука, 1965. – 384 с.
32. Верлань А.Ф. Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. – Киев: Наук. думка, 1986. – 543 с.
33. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. – М.: Физматлит, 2002. – 360 с.
34. Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. – М.: Физматлит, 2003. – 608 с.
35. Латыпов А.Ф. Численные методы решения линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1-го рода // Обратные и некорректные задачи математической физики: материалы междунар. конф., посвященной 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г. – Новосибирск, 2007.

Разрабатываемые теоретические основы моделей кристаллизующихся тел применяются в настоящий момент для моделирования технологического процесса селективного лазерного сплавления в части описания взаимодействия расплав–твердое тело и определения коробления тела вследствие появления остаточных напряжений в остывающей заготовке. При этом одной из актуальных задач области исследования является построение определяющих соотношений, позволяющих описывать взаимодействие расплав–твердое тело. В данной работе рассмотрено применение известных определяющих соотношений вязкоупругого растущего тела для затвердевающего металлического сплава. При этом процесс кристаллизации протекает в широком температурном диапазоне и сопровождается структурными изменениями. Под процессом кристаллизации понимается переход металлического материала из жидкого состояния в твердое. В рамках исследования рассмотрена общая постановка краевой задачи механики кристаллизующегося тела. Реализация определяющих соотношений, описывающих процесс кристаллизации, выполнена на двух задачах: задаче о неравномерном управляемом остывании стержня и задаче об остывании пластины, начиная с температуры выше точки плавления исследуемого материала. Таким образом, для одномерной и плоской постановок получены численные модели кристаллизации изотропных тел с учетом фазовых переходов на основе метода конечных элементов. Результаты применения метода конечных элементов на основе полученных новых определяющих соотношений не противоречат физике процесса кристаллизации и могут быть применены при моделировании процесса селективного лазерного сплавления металлических материалов с учетом смены фаз. Для каждой модельной задачи получены картины напряженно-деформированного состояния конструкции в целом: поля распределения перемещений, деформаций и напряжений. Также в рамках исследования выполнен анализ сходимости численного решения, проанализировано выполнение естественных граничных условий, получены поля температур и степени кристаллизации.

Ключевые слова: кристаллизация, фазовые переходы, определяющие соотношения, численное решение, метод конечных элементов, расплав, механика кристаллизующегося тела, степень кристаллизации.

Суходоева Татьяна Сергеевна – магистрант, e-mail: vmm@pstu.ru

Каменских Анна Александровна – кандидат технических наук, доцент, e-mail: anna_kamenskih@mail.ru

Максимов Пётр Викторович – кандидат технических наук, доцент, e-mail: pvmperm@mail.ru

1. Термомеханика полимерных материалов в условиях релаксационного перехода / В.П. Матвеенко, О.Ю. Сметанников, Н.А. Труфанов, И.Н. Шардаков // Физическая мезомеханика. – 1999. – Т. 2, № 4. – С. 23–29.
2. Мишустин И.В., Мовчан А.А. Моделирование фазовых и структурных превращений в сплавах с памятью формы, происходящих под действием немонотонно меняющихся напряжений // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2014. – № 1. – С. 37–53.
3. Sedlaka J., Rican D. Study of Materials Produced by Powder Metallurgy Using Classical and Modern Additive Laser Technology // Procedia Engineering. – 2015. – No. 100. – P. 1232–1241.
4. Оптимизация технологических параметров и определение режимов селективного лазерного сплавления порошка на основе стали 316L / Б.К. Барахтин, В.В. Бобырь, А.В. Вознюк, А.А. Деев, А.С. Жуков, П.А. Кузнецов // Вопросы материаловедения. – 2017. – Т. 90, № 2. – С. 146–152.
5. Назаркин Р.М., Петрушин Н.В., Рогалев А.М. Структурно-фазовые характеристики сплава жс32-ви, полученного методами направленной кристаллизации, гранульной металлургии и селективного лазерного сплавления // Тр. ВИАМ. – 2017. – № 2 (50). – С. 2.
6. Структура и механические свойства аустенитной стали 316L, полученной методом селективного лазерного сплавления / П.А. Кузнецов, А.А. Зисман, С.Н. Петров, И.С. Гончаров // Деформация и разрушение материалов. – 2016. – № 4. – C. 9–13.
7. Формирование сложнопрофильных деталей космических аппаратов методом селективного лазерного сплавления / А.И. Ананьев, Ю.П. Борщев, М.Ю. Квардаков, С.Э. Куркин, А.А. Курков, А.С. Севастьянов, М.В. Шибалов // Вестн. НПО им. С.А. Лавочкина. – 2017. – № 1 (35). – С. 87–92.
8. Тихомирова К.А. Изотермическое деформирование сплава с памятью формы в разных температурных интервалах. Случай одноосного растяжения // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2017. – Т. 23, № 2. – С. 263–282.
9. Термомеханика полимерных материалов в условиях релаксационного перехода / В.П. Матвеенко, О.Ю. Сметанников, Н.А. Труфанов, И.Н. Шардаков. – М.: Физматлит,
   2009. – 176 с.
10. Труфанов Н.А., Шаяхметова Л.Р. Численно-экспери­ментальный анализ процесса кристаллизации слитка // Научно-технический вестник Поволжья. – 2015. – № 5. – С. 291–294.
11. Kulikov R.G., Kulikova T.G., Trufanov N.A. Numerical method for solving the problem of thermomechanics of polymeric environment in conditions of phase transition // Solid State Phenomena. – 2016. – Т. 243. – С. 139–145.
12. Максимов П.В. Определение оптимальной скорости заливки стали для рационализации существующего технологического режима // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 1-1. – С. 3.
13. Об учете нелинейных и связанных эффектов тепловой задачи и фазовых переходов при моделировании технологии контактного термосилового поверхностного упрочнения металлических сплавов / В.П. Багмутов, Д.С. Денисевич, И.Н. Захаров, А.Ю. Иванников // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2017. – № 1. – С. 233–250.
14. Багмутов В.П., Захаров И.Н., Денисевич Д.С. Особенности решения технологических задач механики неоднородных металлических тел со структурой, трансформирующейся в ходе термосилового нагружения // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 1. – С. 5–25.
15. Литье методом направленной кристаллизации с управляемым градиентом температуры на фронте кристаллизации / Е.В. Колядов, В.В. Герасимов, Е.М. Висик, Ю.А. Межин // Литейное производство. – 2016. – № 8. – С. 24–26.
16. Клюев А.В., Столбов В.Ю., Шарыбин С.И. Визуализация сложных зёренных структур металлов и сплавов при идентификации их параметров // Научная визуализация. – 2016. – Т. 8, № 3. – С. 95–101.
17. Каменева А.Л. Роль структуры и фазового состава в формировании физико-механических и трибологических свойств пленок на основе TiN // Вопросы материаловедения. – 2012. – № 1(69). – С. 58–67.
18. Исследование процесса механотермической обработки арматуры из высокоуглеродистых сталей / М.П. Барышников, Д.К. Долгий, К.Ю. Куранов, М.В. Зайцева // Сталь. – 2012. – № 2. – С. 89–97.
19. Functional Materials: Preparation, Processing and
    Applications. Eds. S. Banerjee, A.K. Tyagi. – Elsevier, 2011. – 730 p.
20. Малахов В.В. Проблемы диагностики функциональных материалов (обзор) // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. – 2011. – Т. 77, № 2. – С. 310–318.
21. Materials become insensitive to flaws at nanoscale: Lessons from nature / H. Gao, B. Ji, I.L. Jäger [et al.] // Proceedings of the National Academy of Sciences. – 2003. – Vol. 100. – No. 10. – P. 5597–5600.
22. Stolbov V.Y., Gitman M.B., Sharybin S.I. Application of intelligent technology in functional materials quality control // Materials Science Forum. – 2016. – Vol. 870. – P. 717–724.
23. Шадрин О.А. Остаточные напряжения в затвердевающих полимерных изделиях: дис. ... канд. техн. наук. – Пермь, 1986.
24. Моделирование термомеханики кристаллизующихся полимеров / И.Н. Шардаков, Н.А. Труфанов, Л.А. Голотина, В.А. Богоявленская // Изв. Тул. гос. ун-та. Естественные науки. – 2008. – № 2. – С. 117–123.
25. Влияние пористости и температуры термообработки на релаксационные и механические свойства полимерных и углеродных композиционных материалов / И.Д. Симонов-Емельянов, В.А. Ломовской, Н.Л. Шембель, Н.А. Тупицын, З.И. Фомкина // Конструкции из композиционных материалов. – 2009. – № 1. – С. 33–39.
26. Завьялова Т.Г., Труфанов Н.А. Определяющие соотношения для вязкоупругого тела в условиях кристаллизации // Прикладная механика и техническая физика. – 2005. – Т. 46, № 4 (272). – С. 78–87.
27. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. – М.: Наука, 1970.
28. А.А. Каменских, Т.С. Суходоева Численное моделирование процесса кристаллизации при неравномерном охлаждении в одномерной постановке // Математическое моделирование в естественных науках: сб. ст. XXVI Всерос. школы-конф. молодых ученых и студентов. – 2017. – Т. 1. – С. 26–30.
29. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 541 с.
30. Suhodoeva T.A., Kamenskikh A.A., Bartolomey M.L. Numerical investigation of isotropic beam crystallization process under nonuniform cooling // Actual Issues of Mechanical Engineering (AIME 2017) proceedings of the Intern. Conf., Tomsk, 27-29 July, 2017 / Tomsk Polytechnic University. – Paris, Amsterdam, Hong Kong: Atlantis Press, 2017. – P. 298–304.

Рассматривается экспериментально-расчетный метод оценки жесткостных свойств цилиндрической оболочечной конструкции из композиционного материала с полимерной матрицей на начальном этапе ее отверждения. Оценка жесткостных параметров композиции на этом этапе полимеризации вследствие различного физического состояния армирующих элементов и связующего методами механики композитных материалов приводит к плохо обусловленным матрицам жесткости, непригодным для достоверного описания механического поведения конструкции. Актуальность проводимого исследования связана с изучением технологии изготовления крупногабаритных пневматических конструкций на основе композиций, подвергаемых отверждению в условиях космоса. В предлагаемом методе экспериментально определяется давление развертывания цилиндра (давление, при котором диаметр цилиндра принимает номинальное значение), соответствующее текущей степени полимеризации связующего. Степень полимеризации характеризуется измеряемыми визкозиметром вязкостью и динамическим модулем полимера. Приводится описание установки, используемой в экспериментах, приборов, осуществляющих фиксацию измеряемых параметров состояния, и порядок проведения опытов. Расчетным путем на основе геометрически нелинейной упругой модели методом последовательных приближений определяется эффективный модуль упругости материала цилиндра, соответствующий его жесткостным характеристикам в течение нагружения внутренним давлением до давления развертывания. Время развертывания мало по сравнению с временем полной полимеризации связующего. Посредством сопоставления экспериментальных и расчетных данных устанавливается зависимость эффективного модуля упругости от параметров отверждения связующего. Выявлена практически линейная зависимость давления развертывания цилиндра от эффективного модуля упругости, что позволяет экстраполировать результаты исследования на значения параметров связующего, не подкрепленные опытом. Приведенные результаты позволяют проводить оценку внутреннего давления, необходимого для развертывания цилиндрических оболочек из композитов с частично отвержденным связующим, путем решения задач механики деформируемого твердого тела.

Ключевые слова: экспериментально-расчетный метод, эффективный модуль упругости, отверждение полимера, цилиндрическая оболочка, композитные материалы.

Гилев Валерий Григорьевич – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: gvg@psu.ru

Русаков Сергей Владимирович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: Rusakov@psu.ru

Пестренин Валерий Михайлович – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: Pestreninvm@mail.ru

Пестренина Ирина Владимировна – кандидат технических наук, доцент, e-mail: IPestrenina@gmail.com

1. Кривошапко С.Н. Пневматические конструкции и сооружения //Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. – 2015. – № 3. – С. 45–53.

2. Quinn G., Gengnagel C. A review of elastic grid shells, their erection methods and the potential use of pneumatic formwork //Mob. Rapidly Assem. Struct. IV. – 2014. – Vol. 136. – P. 129–143. DOI: 10.2495/MAR140111

3. Бельков А.В. Моделирование крупногабаритных пневматических конструкций// Перспективы развития фундаментальных наук: сб. науч. тр. XIII Междунар. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. – Томск: Изд-во Нац. исслед. Том. политехн. ун-та, 2016. – Т3. – С. 21–23.

4. Рефлекторы антенн космических аппаратов на базе гибкой формообразующей структуры / И.С. Морозков, С.В. Ромащенко, Е.А. Шевцов, А.К. Шатров // Актуальные проблемы авиации и космонавтики. – 2010. – Т. 1, № 6. – С. 100–101.

5 Зимин В. Н.Экспериментальное определение динамических характеристик крупногабаритных трансформируемых космических конструкций // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. – 2011. – № 1. – С. 47–56.

6. Зимин В.Н., Колосков И. М., Мешковский В. Е. Динамические испытания раскрывающейся зеркальной космической антенны // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2000. – № 2. – С. 120–124.

7. Design evaluation of a large aperture deployable antenna / S.P. Chodimella, J.D. Moore, J. Otto, Fang. Houfei // In 47th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference and Exhibit, Newport, Rhode Island, 1-4 May 2006. AIAA.– 2006. – P. 1603.

8. Леонов В.В., Жаренов И.С. Анализ особенностей конструкции крупногабаритных надувных концентраторов солнечного излучения // Наука и образование: науч. изд. МГТУ им. НЭ Баумана. – 2013. – № 10. – С. 177–192. DOI:10.7463/1013.0618788

9. Леонов В.В., Жаренов И.С. Особенности проектирования крупногабаритных космических зеркальных концентраторов солнечного излучения // Сб. тр. VI Рос. нац. конф. по теплообмену.– 2014. – С. 1233–1236.

10. Creation of biological module for self-regulating ecological system by the way of polymerization of composite materials in free space / A. Kondyurin, B. Lauke, I. Kondyurina, E. Orba // Advances in Space Research. – 2004. – No. 34. – P. 1585–1591.

11. Polymerisation of composite materials in space environment for development of a Moon base / I. Kondyurina,
A. Kondyurin, B. Lauke, Ł. Figiel, R. Vogel, U. Reuter // Advances in Space Research. – 2006. – Vol. 37. – P. 109–115.

12. Pestrenin V.M., Pestrenina I.V., Rusakov S.V., Kondyurin A.V. Deployment of large-size shell constructions by internal pressure // Mechanics of Composite Materials. – 2015. – Vol. 51. – No. 5. – P. 629–636.

13. Упаковка и развертывание внутренним давлением крупногабаритных оболочечных конструкций / В.М. Пестренин, И.В. Пестренина, С.В. Русаков, А.В. Кондюрин, А.В. Корепанова // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 4. – С. 273–286. DOI 10.15593/perm.mech/2016.4.18

14. Мальцев М.С., Свистков А.Л., Евлампиева С.Е. Исследование возможности использования горячего отверждения для изготовления надувной конструкции на околоземной орбите // XХ Зимняя школа по механике сплошных сред: тез. докл. – Пермь, 2017. – С. 209.

15. Кондюрин А.В., Нечитайло Г.С. Композиционный материал для надувных конструкций, фотоотверждающийся в условиях орбитального космического полета // Космонавтика и ракетостроение. – 2009. – № 3 (56). – С. 182–190.

16. Кондюрин А.В., Комар Л.А., Свистков А.Л. Моделирование отверждения композиционного материала в условиях открытого космоса // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2009. – Т. 15, № 4. – С. 512–526.

17. Власов А.Ю., Пасечник К.А., Мартынов В.А. Разработка технологии частичного отверждения тонкостенных оболочек при создании конструкций из полимерных композиционных материалов // Вестн. Сиб. гос. аэрокосм. ун-та им. акад. М.Ф. Решетнева. – 2015. – Т. 16. – № 4. – С. 918–923.

18. Чернин И.З., Смехов Ф.М., Жердев Ю.В. Эпоксидные полимеры и композиции.– М.: Химия, 1982. – 232 с.

19. Mitzel E., Koenig J. Epoxy resins and composites. – Berlin, 1986. – Vol. 2. – 73 р.

20. Dmitriev O.S., Zhyvenkova A.A., Dmitriev A.O.Thermo-chamical analysis of the cure process of thick polymer composite structures for industrial applications // Advanced Materials and Technologies. – 2016. – No. 2. – С. 53–60.

21. Кинетика отверждения эпоксидных связующих и микроструктура полимерных матриц в углепластиках на их основе / В.Б. Литвинов [и др.] // Материаловедение.–2011. – № 7. – С. 15–20.

22. Тараненко Е.В, Кандырин Л.Б. Реологические свойства и реокинетика отверждения модифицированных термореактивных олигомеров // Вестн. Моск. гос. ун-та тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова. – 2008. – Т. 3, № 1. – С. 79–85.

23. Исследование начальных стадий отверждения ДИФА вискозиметрическим методом. / С.Г. Куличихин, А.С. Реутов, M.С. Сурова, Е.В. Осипова, А.Я. Малкин // Пластмассы.– 1988.– № 5.– С. 43–44.

24. Тарасов В.А., Беляков Е.В. Математическое моделирование процесса неизотермического отверждения полимерных композитных конструкций // Вестн. Моск. гос. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана. Сер: Машиностроение. – 2011. – № 1. – С. 113–120.

25. Антюфеева Н.В., Алексашин В.М., Столянков Ю.В. Определение степени отверждения ПКМ методами термического анализа // Авиационные материалы и технологии. – 2015. – № 3 (36). – С. 79–83.

26. Исследование возможности использования углепластиков в условиях арктического климата / Антюфеева Н.В., Алексашин В.М., Павлов М.Р., Столянков Ю.В. // Авиационные материалы и технологии. – 2016. – № 4 (45). – С. 86–94.

27. Испарение молекул отвердителя в реакции полимеризации эпоксидной смолы / М.С. Мальцев, А.Л. Свистков, В.Н. Терпугов, Л.А. Комар // Математика и междисциплинарные исследования: сб. докл. всерос. науч.-практ. конф. молодых ученых с междунар. участием/гл. ред. Ю.А. Шарапов / Перм. гос. нац. исслед. ун-т. – Пермь, 2016. – С. 88–91.

28. Русаков С.В. Влияние уноса вещества на процесс отверждения эпоксидной смолы в условиях открытого космоса // Материалы Х Междунар. конф. по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ’2014). – Алушта; М.: Изд-во МАИ, 2014. – С. 567–569.

29. Kondyurin A. Direct Curing of Polymer Construction Material in Simulated Earth's Moon Surface Environment // Journal of spacecraft and rockets. – 2011. – Vol. 48 (2). – P. 378–384.

30. Kondyurin A., Lauke B., Vogel R. Photopolymerisation of composite material in simulated free space environment at low Earth orbital flight // European polymer journal.– 2006. – Vol. 42 (10). – P. 2703–2714. DOI: 10.1016/j.eurpolymj.2006.04.018

31. Гилев В.Г., Русаков С.В. Экспериментальное исследование давления развертывания цилиндрической оболочки композитного материала в процессе полимеризации // Механика композитных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред: сб. тр. всерос. науч.-конф. – Москва 21–23 ноября 2017 г. / ИПРИМ РАН. – М., 2017. – С. 63–66.

Построена модель адгезионного расслоения композиционного материала. Расслоение рассматривается как термомеханический процесс, в котором напряженное состояние одной из границ адгезионного слоя изменяется до нуля при нарушении связей с соединяемым телом. В результате расслоения прекращается взаимодействие между частью композита, включающей адгезивный слой, и остальным телом. Получена система двух вариационных условий равновесности в скоростях, описывающая докритическое деформирование и процесс расслоения. Осреднение напряженно-деформированного состояния (НДС) адгезионного слоя позволяет избежать сингулярности в тупиковой точке образуемого математического разреза, и продвижение по границам слоя поверхности разрыва не приводит к ее образованию. При решении задачи докритического деформирования выделяется малая δ-поверхность на границе адгезива, где достигнут критерий отслоения. Распределение нагрузки (узловых сил) на δ-поверхности определяется путем повторного решения задачи докритического деформирования с известным из первоначального решения законом движения границы адгезивного слоя. Решается задача при простой разгрузке δ-поверхности тела и сохранении внешней нагрузки, соответствующей началу процесса расслоения. В результате НДС тела в момент начала локальной разгрузки отличается от его состояния по окончании δ-разгрузки. Для линейно-упругого материала проведено сравнение решений задачи в рамках данной модели и предложенной ранее модели когезионного расслоения, в которой предполагается полное разрушение связующего слоя. Установлено существенное различие граничных перемещений основных слоев композита в процессе его разрушения при увеличении поверхности разрыва контакта адгезионного слоя и основного материала.

Ключевые слова: композит, характерный размер, процесс разрушения, простой процесс, вариационное уравнение, метод конечных элементов.

Глаголев Вадим Вадимович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: vadim@tsu.tula.ru.

Маркин Алексей Александрович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: markin-nikram@yandex.ru.

Фурсаев Артем Александрович – аспирант, e-mail: artemkajs@mail.ru.

1. Morais A.B. de Cohesive zone beam modelling of mixed-mode I–II delamination // Composites Part A: Applied Science and Manufacturing. – 2014. – Vol. 64 – P. 124–131. DOI: org/10.1016/j.compositesa.2014.05.004

2. Determination of cohesive parameters for a mixed-mode cohesive zone model / M.J. Lee, T.M. Cho, W.S. Kim, B.C. Lee, J.J. Lee // Int. J. Adhes. Adhes. – 2010. – Vol. 30. – No 5. – P. 322–328. DOI: org/10.1016/j.ijadhadh.2009.10.005

3. Morais A.B. de Simplified cohesive zone analysis of mixed-mode I–II delamination in composite beams // Polymer Composites. – 2013. – Vol. 34. – No 11. – P. 1901–1911. DOI: 10.1002/pc.22597

4. Hildebrand M. Non-linear analysis and optimization of adhesively bonded single lap joints between fibre-reinforced plastics and metals // Int. J. Adhes. Adhes. – 1994. – Vol. 14. – No 4. – P. 261–267. DOI: 10.1016/0143-7496(94)90039-6

5. He X. A review of finite element analysis of adhesively bonded joints // Int. J. Adhes. Adhes. – 2011. – Vol. 31. – No 4. – P. 248–264. DOI: 10.1016/j.ijadhadh.2011.01.006

6. Enhanced XFEM for crack deflection in multi-material joints / N. Stein, S. Dölling, K. Chalkiadaki, W. Becker, P. Weißgraeberet // Int. J. Fract. – 2017. – Vol. 207. – No 2. – P. 193–210. DOI: org/10.1007/s10704-017-0228-9

7. Effect of adhesive type and thickness on the lap shear strength / L.F.M. Silva da, T.N.S.S. Rodrigues, M.A.V. Figueiredo, M.F.S.F. Moura de, J.A.G. Chousal // J. Adhes. – 2006. – Vol. 82. – No 11. – P. 1091–1115. DOI: 10.1080/00218460600948511

8. Modelling adhesive joints with cohesive zone models: effect of the cohesive law shape of the adhesive layer / R.D.S.G. Campilho, M.D. Banea, J.A.B.P. Neto, L.F.M. da Silva // Int. J. Adhes. Adhes. – 2013. – Vol. 44. – P. 48–56. DOI: org/10.1016/j.ijadhadh.2013.02.006

9. Bianchi F., Zhang X. A cohesive zone model for predicting delamination suppression in z-pinned laminates // Composites Science and Technique. – 2011. – Vol. 71. – No. 16. – P. 1898–1907. DOI: org/10.1016/j.compscitech.2011.09.004

10. Camanho P., Dávila C.G. Mixed-Mode Decohesion Finite Elements for the Simulation of Delamination in Composite Materials. – NASA/TM, 2002. – 211737.

11. Remmers J.J.C., Borst R. de Delamination buckling
of fibre–metal laminates // Composites Science and Technology – 2001. – Vol. 61. – No 15. – P. 2207–2213. DOI: org/10.1016/S0266-3538(01)00114-2

12. A non-local fracture model for composite laminates and numerical simulations by using the FFT method / J. Li, S. Meng, X. Tian, F. Song, C. Jiang // Composites: Part B: Engineering. – 2012. – Vol. 43. – No. 3. – P. 961–971. DOI: org/10.1016/ j.compositesb.2011.08.055

13. A continuum damage model for composite laminates: Part I – Constitutive model / P. Maimí, P.P. Camanho, J.A. Mayugo,
C.G. Dávila // Mechanics of Materials. – 2007. – Vol. 39. – No. 10. – P. 897–908. DOI: org/10.1016/j.mechmat.2007.03.005

14. A continuum damage model for composite laminates: Part II – Computational implementation and validation / P. Maimí,
P.P. Camanho, J.A. Mayugo, C.G. Dávila // Mechanics of Materials. – 2007. – Vol. 39. – No 10. – P. 909–919. DOI: org/10.1016/j.mechmat.2007.03.006

15. Park M., Frey K., Simon L. Modeling and analysis of composite bonded joints // American Journal of Mechanical and Industrial Engineering. – 2017. – Vol. 2. – No. 1. – P. 1–7. DOI: 10.11648/j.ajmie.20170201.11

16. A cohesive zone model and scaling analysis for mixed-mode interfacial fracture / S. Jain, S.R. Na, K.M. Liechti, R.T. Bonnecaze // International Journal of Solids and Structures. –2017. – Vol. 129. – P. 167–176. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2017.09.002

17. Sheinman I., Kardomateas G. Energy release rate and stress intensity factors for delaminated composite laminates // International Journal of Solids and Structures. – 1997. – Vol. 34. – No 4. – P. 451–459. DOI: 10.1016/S0020-7683(96)00018-2

18. Felger J., Stein N., Becker W. Mixed-mode fracture in open-hole composite plates of finite-width: An asymptotic coupled stress and energy approach // International Journal of Solids and Structures. – 2017. – Vol. 122–123. – P. 14–24. DOI: org/10.1016/j.ijsolstr.2017.05.039

19. Глаголев В.В., Маркин А.А., Фурсаев А.А. Моделирование процесса разделения композита с адгезионным слоем // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 2. – С. 34–44. DOI: 10.15593/perm.mech/ 2016.2.03

20. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Обобщенная модель Тимошенко-Рейсснера для многослойной пластины // Изв. РАН. МТТ. – 2016. – № 5. – С. 22–35.

21. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. Изгиб двуслойной балки с нежестким контактом между слоями // Прикладная математика и механика. – 2011. – Т. 75, № 1. – С. 112–121.

22. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. – М.: Машиностроение, 1980. – 375 с.

23. ANSYS. User's Guide, Release 11.0. – Pennsylvania, USA: ANSYS Inc, 2006.

24. De Moura MFSF., Gonçalves JPM. Cohesive zone model for high-cycle fatigue of adhesively bonded joints under mode I loading. // International Journal of Solids and Structures. – 2014. – Vol. 51. – No. 5. – P. 1123–1131. DOI: org/10.1016/j.ijsolstr.2013.12.009

25. Finite element simulation of single carbon nanotube pull-outs from a cementitious nanocomposite material using an elastic-plastic-damage and cohesive surface models / Rashid K. Abu Al-Rub, Sun-Myung Kim, Khaldoon A. Bani-Hani, Nasser Al-Nuaimi, Ahmed Senouci // Int. J. Theoretical and Applied Multiscale Mechanics. – 2014. – Vol. 3. – No 1. – P. 31–57. DOI: 10.1504/IJTAMM.2014.069448

26. Zhang J., Xu W., Yao X.F. Load detection of functionally graded material based on coherent gradient sensing method // Journal of Mechanics. – 2016. – P. 1–12. DOI: org/10.1017/jmech.2016.114

27. Mackerle J. Finite element analysis and simulation of adhesive bonding, soldering and brazing—an addendum: a bibliography (1996–2002) // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. – 2002. – Vol. 10. – No. 6. – P. 637–671. DOI: org/10.1088/0965-0393/10/6/304

28. Baldan A. Adhesively-bonded joints and repairs in metallic alloys, polymers and composite materials: Adhesives, adhesion theories and surface pretreatment // Journal of Materials Science. – 2004. – Vol. 39. – No. 1. – P. 1–49. DOI: org/10.1023/B:JMSC.0000007726.58758.e4

29. Baldan A. Adhesively-bonded joints in metallic alloys, polymers and composite materials: Mechanical and environmental durability performance // Journal of Materials Science. – 2004. – Vol. 39. – No. 15. – P. 4729–4797. DOI: org/10.1023/B:JMSC.0000035317.87118.ab

30.   An updated review of adhesively bonded joints in composite materials / S. Budhe, M.D. Banea, S. Barros, L.F.M. Silva // International Journal of Adhesion and Adhesives. – 2017. – Vol. 72 – P. 30–42. DOI: org/10.1016/j.ijadhadh.2016.10.010

31. Астапов Н.С., Корнев В.М., Кургузов В.Д. Модель расслоения разномодульного биматериала с трещиной // Физическая мезомеханика. – 2016. – Т. 19, № 4. – С. 49–57.

32. Sun C. T., Jih C. J. On strain energy release rates for interfacial cracks in bi-material media // Engineering Fracture Mechanics. – 1987. – Vol. 28. – No 1. – P. 13–20. https://doi.org/10.1016/0013-7944(87)90115-9

33. Глаголев В.В., Маркин А.А., Фурсаев А.А. Моделирование образования новых материальных поверхностей в процессах когезионного разрушения композита с адгезионным слоем // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2017. – № 2. – С. 45–59. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.2.03

34. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. – М.: Физматлит, 2013. – 320 с.

35. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. – 1969. – Т. 33, № 2. – С. 212–222.

Сложность явлений, происходящих при измельчении и разрушении твердых тел, затрудняет теоретическое описание этого процесса. В связи с этим представляется актуальным установление взаимосвязей между параметрами, определяющими показатели процесса измельчения, выявление степени их влияния друг на друга, создание и анализ модели процесса измельчения с учетом определяющих его параметров измельчителя
и физико-механических свойств материала и на этой основе совершенствование формализованных методов расчета и обоснования рациональных параметров измельчителей, обеспечивающих эффективность их применения при эксплуатации.

На основе анализа состояния реального материала большой группой ученых был создан ряд теорий, объясняющих условия и механизмы разрушения в твердых материалах. Однако практическое применение существующих теорий для расчета процессов измельчения довольно затруднительно.

Поэтому до сих пор существует необходимость разработки новой простой и удобной для практического применения теории. Авторами предлагается новый способ теоретического описания процесса разрушения материалов. На основе упрощенной энергетической гипотезы и прикладной технической теории распространения волн в упругой сплошной среде было получено новое уточненное решение фундаментальной динамической задачи механики упругодеформируемого твердого тела о продольном соударении бруса постоянного произвольного поперечного сечения, моделирующего частицу материала, с абсолютно жесткой поверхностью, моделирующей рабочий орган измельчителя, учитывающее параметр времени и линейный размер движущегося стержневого элемента (частицы). Разработанная уточненная механико-математическая модель, доведенная до практически применимых расчетных аналитических зависимостей и проиллюстрированная характерными численными примерами, позволяет количественно оценивать прочность частицы твердого вещества в процессе ее разрушения и измельчения, дает возможность осуществить комплексный подход к описанию динамического процесса разрушения частиц материала путем регулирования и подбора оптимальных физико-геометрических характеристик, обеспечивающих требуемое качество измельчения, а также прогнозировать протекание разрушения частицы в зависимости от параметров этого процесса.

Ключевые слова: помол, удар, разрушение, частица, измельчение, напряжение, силовой импульс, измельчитель, прочность, модель разрушения, материал, энергия деформации.

Гурьянов Георгий Александрович – кандидат технических наук, доцент, е-mail: gguryanov@mail.ru

Абдеев Борис Масгутович – кандидат технических наук, доцент, е-mail: m.abdeeva@mail.ru

Клименко Евгений Александрович – старший преподаватель, е-mail: klm221@mail.ru

1. Екобори Т. Физика и механика разрушения и прочности твердых тел. – М.: Металлургия, 1971. – 263 с.

2. Баловнев В.И. Определение сопротивлений и энергии при измельчении материала // Строительные и дорожные машины. – 1988. – № 1. – С. 24–25.

3. Партон В.З. Механика упругопластического разрушения. – М.: Наука, 1974. – 288 с.

4. Бонд Ф.С. Законы дробления // Труды Европейского совещания по измельчению – М.: Стройиздат, 1966. – С. 195–205.

5. Румпф Г. Об основных физических проблемах при измельчении // Труды Европейского совещания по измельчению. – М.: Стройиздат, 1966. – С. 7–40.

6. Ребиндер П.А. Поверхностные явления в дисперсных системах // Коллоидная химия: избр. тр. – М.: Наука, 1978. – 368 с.

7. Ходаков Г.С. Физика измельчения. – М.: Наука, 1972. – 307 с.

8. Ходаков Г.С. Тонкое измельчение строительных материалов. – М.: Стройиздат, 1972. – 240 с.

9. Баловнев В.И. Определение сопротивлений и энергии при измельчении материалов // Строительные и дорожные машины. – 1988. – № 1. – С. 24–25.

10. Баловнев В.И. Моделирование процессов взаимодействия со средой рабочих органов дорожно-строительных машин. – М.: Высш. шк., 1981. – 335 с.

11. Партон В.З. Механика разрушения. От теории к практике. – М.: Наука, 1990. – 240 с.

12. Макклинтон Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов / пер. с англ.; под ред. Е.М. Морозова. – М.: Мир, 2000. – 443 с.

13. Лескин А.Д. Основные закономерности измельчения материалов // Современное измельчительное оборудование: обзор инф. – Вып. 3. – Сер. 7. Промышленность нерудных и неметаллорудных материалов. – М.: ВНИИОСМ, 2008. – С. 2–14.

14. Веригин Ю.А. Основные проблемы и направления приоритетных исследований в области приготовления и активации дисперсных сред. // Международная НТК «Интерстроймех-98»: сб. докл. / Гос. арх.-строит. акад. – Воронеж, 1998. – С. 85–91.

15. Веригин Ю.А. Разработка и создание аппаратов для приготовления стройматериалов на основе анализов процессов активации дисперсных сред: дис. … д-ра техн. наук: 05.05.04. – М.: Изд-во МИСИ, 1990. – 322 с.

16. Анферов В.А. Определение основных параметров роторно-шаровой мельницы: дис. … канд. техн. наук: 05.05.04 / МАДИ. – М., 1990. – 187 с.

17. Радостев Ю.Н. Определение основных параметров машин с пружинным рабочим органом для измельчения дорожно-строительных материалов: дис. … канд. техн. наук: 05.05.04. – М.: Изд-во МАДИ, 1988. – 183 с.

18. Сартаков А.В. Моделирование и интенсификация рабочих процессов вибрационных измельчителей: дис. … канд. техн. наук: 05.05.04. – Барнаул, 2004. – 177 с.

19. Потемкина С.П. Исследование и расчет оптимальных условий тонкого измельчения в аппаратах ударно-истирающего типа: дис. ... канд. техн. наук: 05.05.04. – Иркутск, 1997. – 109 с.

20. Дугин Ю.А. Моделирование вальцового измельчительного аппарата для определения основных параметров // Изв. Нижневолжского агроуниверситетского комплекса. – 2006. – № 3. – С. 55–58.

21. Сергеев К.Ф. Хрупкое разрушение твердых тел. – Владивосток, 1989. – 241 с.

22. Ружинский С.И. Внешние механические воздействия в технологии бетонов. – СПб., 2005. – 120 с.

23. Еремин Н.Ф. Процессы и аппараты в технологии строительных материалов. – М.: Высш. шк., 1986. – 286 с.

24. Андреев С.Е., Перов В.А., Зверевич В.В. Дробление, измельчение и грохочение полезных ископаемых. – М.: Недра, 1980. – 416 с.

25. Лесин А.Д. Вибрационное измельчение материалов. Элементы теории и методика расчета основных параметров вибромельниц. – М.: Промстройиздат, 1957.

26. Гурьянов Г.А., Клименко Е.А. Об одном подходе к интенсификации процесса помола. // Вестн. Вост.-Казах. гос. техн. ун-та им. Д. Серикбаева. – 2013. – № 1 (59). – С. 27–35.

27. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций: избр. работы / под. ред. Э.И. Григолюка. – М.: Наука, 1975. – 704 с.

28. Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний: учеб. пособие для студ. втузов. – М.: Высш. шк., 1975. – 248 с.

29. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости / пер. с англ. М.И. Рейтмана; под ред. Г.С. Шапиро. – М.: Наука, 1975. – 576 с.

30. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики: учеб. пособие для мех.-мат. фак-тов ун-тов. – М.: Высш. шк.,
1970. – 712 с.

31. Кильчевский Н.А. Теория соударения твердых тел. – Киев: Наукова думка, 1969. – 248 с.

32. Татур Г.К. Общий курс сопротивления материалов. – Минск: Вышэйшая школа, 1974. – 464 с.

33. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1965. – 856 с.

34. Yong Th. A course of lectures on natural philosophy and the mechanical arts // London, printed for J. Johnson. – 1807. – Vol. 1. – XXIV. – Р. 144.

35. Воронков И.М. Курс теоретической механики. – М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. – 596 с.

36. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1974. – 560 с.

37. Инженерные методы исследования ударных процессов / Г.С. Батуев, Ю.В. Голубков, А.К. Ефремов, А.А. Федосов. – М.: Машиностроение, 1969. – 251 с.

38. Писаренко Г.С., Яковлев А.Г., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. – Киев: Наукова думка, 1975.–704 с.

39. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике (для инженеров и студентов вузов). – М.: Наука, 1979. – 944 с.

40. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: пер. с нем. С.В. Фомина. – М.: Наука, 1976. – 576 с.

41. New vibroscreen with additional feed elements / A. Kim, M. Doudkin, A. Vavilov, G. Guryanov // Archives of Civil and Mechanical Engineering / Scientific Magazine. – 2017. – No. 17. – P. 786–794.