Исследуются колебания стержня, сгорающего с одного конца. Объект исследования относится к широкому кругу колеблющихся одномерных объектов с движущимися границами и нагрузками. Для описания колебаний использована классическая математическая модель, учитывающая вязкоупругость на основе структурной модели Фойгта. Введение безразмерных переменных позволило сократить число параметров, от которых зависит процесс колебаний, до двух. Параметры характеризуют скорость движения границы и вязкоупругие свойства стержня. Для решения применён метод Канторовича–Галёркина. В качестве динамических мод взяты собственные функции краевой задачи с неподвижной границей. Решение в случае, когда скорость движения границы равна нулю, является точным. При увеличении скорости движения границы погрешность решения увеличивается. Пренебрежение малыми величинами позволило получить сравнительно простое выражение для амплитуды резонансных колебаний. Выражение, полученное для амплитуды колебаний, содержит интегралы, не имеющие аналитического решения, поэтому они находились численно. Решение имеет модовую структуру, что позволяет анализировать резонансные свойства стержня. С помощью полученного решения проанализированы явления установившегося резонанса и прохождения через резонанс. Для установившегося резонанса получено аналитическое выражение, описывающее увеличение амплитуды колебаний. Прохождение через резонанс проанализировано количественно. Представлены графики изменения амплитуды колебаний в резонансной области для первой динамической моды при различных значениях параметра, характеризующего вязкоупругость. Представлены также графики максимальной амплитуды колебаний при прохождении через резонанс на первой динамической моде в зависимости от параметров, характеризующих вязкоупругость и скорость движения границы

Ключевые слова: колебания объектов с движущимися границами, краевые задачи, математические модели, резонансные свойства.

Анисимов Валерий Николаевич – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: anisimov170159@mail.ru

1. Cамарин Ю.П., Анисимов В.Н. Вынужденные поперечные колебания гибкого звена при разгоне // Изв. вузов. Машиностроение. – 1986. – № 12. – С. 17–21.
2. Горошко О.А., Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. – Киев: Наукова думка, 1971. – 270 с.
3. Лежнева А.А. Изгибные колебания балки переменной длины // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1970. – № 1. – С. 159–161.
4. Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами. – М.: Физматлит, 2001. – 320 с.
5. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Исследование резонансных свойств механических объектов при помощи метода Канторовича–Галёркина // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2009. – № 1 (18). – С. 149–158.
6. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л., Корпен И.В. Об одном методе получения точного решения волнового уравнения, описывающего колебания систем с движущимися границами // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2012. – № 3 (28). – С. 145–151.
7. Ding Hu, Chen Li-Qun. Galerkin methods for natural frequencies of high-speed axially moving beams // J. Sound and Vibr. – 2010. – No. 17. – P. 3484–3494.
8. Kotera Tadashi Vibration of a string with time-varying length // Bulleten Japan Sosietyof Mechanical Engineers. – 1978. – Vol. 21. – No. 162. – P. 1677–1684.
9. Zhu W.D., Zheng N.A. Exact response of a translatingstring with arbitrarily varying length under general excitation // Trans. ASME. J. Appl. Mech. – 2008. – Vol. 75. – No. 3. – P. 519–525.
10. Zhu W.D., Chen Y. Theoretical and experimental investigation of elevator cable dynamicsand control // Trans. ASME. J. Vibr. And Acoust. – 2006. – No. 1. – P. 66–78.
11. Nonlinear vibration analysis of an axially moving drill string system with time dependent axial load and axial velocity in inclined well / S.M. Sahebkar, M.R. Ghazavi, S.E. Khadem, M.H. Ghayesh // Mech. and Mach. Theory. – 2011. – No. 5. – P. 743–760.
12. Boyle John. M. (Jr), Bhushan Bharat. Vibration modeling of magnetic tape with vibro-impact of tape-guide contact // J. Sound and Vibr. – 2006. – No. 3. – P. 632–655.
13. Zhang P., Zhu C.M., Zhang L.J. Analyses of longitudinal vibration and energetic on flexible hoisting systems with arbitrarily varying length // Journal of Shanghai Jiao-Tong University. – 2008. – No. 42 (3). – P. 481–488.
14. Nguyen Q.C., Hong K.S. Transverse vibration control of axially moving membranes by regulation of axial velocity // IEEE Transactions on Control Systems Technology. – 2012. – No. 20 (4). – P. 1124–1131.
15. Zhang Y.H. Longitudinal vibration modeling and control a flexible transporter system with arbitrarily varying cable lengths // Journal of Vibration and Control. – 2005. – No. 11. – P. 431–456.
16. Chen S.H., Huang J.L. On internal resonance of nonlinearvibration of axially moving beams // Acta Mechanica Sinica. – 2005. – Vol. 37. – No. 1. – P. 57–63.
17. Nguyen Q.C., Hong K.S. Transverse vibration control of axially moving membranes by regulation of axial velocity // IEEE Transactions on Control Systems Technology. – 2012. – No. 20 (4). – P. 1124–1131.
18. Тихонов В.С., Абрамов А.А. Поперечные колебания гибкой нити переменной длины в потоке // Вестн. МГУ. Сер. 1. – 1993. – № 5. – С. 45–48.
19. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л.Математические модели продольно-поперечных колебаний объектов с движущимися границами // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ-мат. науки. – 2015. – Т. 19, № 2. – С. 382–397.
20. Кечеджиян Л.О., Пинчук Н.А., Столяр A.М. Об одной задаче математической физики с подвижной границей // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. – 2008. – № 1. – C. 22–27.
21. Мышкис А.Д. Математика для технических вузов. – СПб.: Лань, 2002. – 640 с.
22. Янкин А.С. Влияние частот бигармонического (двухчастотного) нагружения на динамическое поведение полимерных композитов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 4. – С. 273–292.
23. Янкин С.В., Словиков С.В., Бульбович Р.В. Определение динамических механических свойств низкомодульных вязкоупругих композитов при бигармоническом законе нагружения // Механика композитных материалов и конструкций. – 2013. – Т. 19, № 1. – С. 141–151.
24. Lei X.-Y. Effects of abrupt changes in track foundation stiffness on track vibration under moving loads // Zhendong Gongcheng Xuebao=Journal of Vibration Engineering. – 2006. – Vol. 19. – No. 2. – P. 195–199.
25. Brake M.R., Wickert J.A. Frictional vibration transmission from a laterally moving surface to a traveling beam // J. Sound and Vibr. – 2008. – Vol. 310. – No. 3. – P. 663–675.
26. Рагульский К.И. Вопросы динамики прецизионных лентопротяжных механизмов // Динамика машин. – М.: Наука, 1971. – С. 169–177.
27. Ерофеев В.И., Лисенкова Е.Е. Возбуждение волн нагрузкой, движущейся по поврежденной гибкой одномерной направляющей, лежащей на упругом основании // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2016. – № 6. – С. 14–18.
28. Ерофеев В.И., Колесов Д.А., Лисенкова Е.Е. Генерация волн источником, движущимся по деформируемой направляющей, лежащей на упруго-инерционном основании // Машиностроение и инженерное образование. – 2014. – № 2 (39). – С. 37–40.
29. Ерофеев В.И., Колесов Д.А., Лисенкова Е.Е. Исследование волновых процессов в одномерной системе, лежащей на упруго-инерционном основании, с движущейся нагрузкой // Вестн. науч.-техн. развития. – 2013. – № 6 (70). – C. 18–29.
30. Анисимов В.Н. Продольные резонансные колебания вязкоупругого каната грузоподъёмной установки // Изв. Самар. науч. центра Российской академии наук. – 2016. – Т. 18, № 4–1. – С. 128–133.
31. Самарин Ю.П. Об одной нелинейной задаче для волнового уравнения в одномерном пространстве // Прикладная математика и механика. – 1964. – Т. 26. – Вып. 3. – С. 77–80.
32. Bergamaski S., Sinopoli A. On the flexural vibration of arms with variable length. On exact solution // Mech. Res. Commun. – 1983. – Vol. 10. – No. 6. – Р. 342–344.
33. Фирсанов В.В. Динамическое состояние системы балок с переменными параметрами при действии подвижной нагрузки // Вестн. Моск. авиац. ин-та. – 2009. – № 3. – Р. 138–144.
34. Николаи Е.Л. О поперечных колебаниях участка струны, длина которого равномерно изменяется: тр. по механике. – М.: Гостехиздат, 1955. – C. 328–331.
35. Литвинов В.Л. Поперечные колебания вязкоупругого каната, лежащего на упругом основании, с учетом влияния сил сопротивления среды // Вестн. науч.-техн. развития. 2015. – № 4 (92).

Насыпные слои из металлических шариков являются перспективным демпфирующим элементом, защищающим конструкции от импульсных воздействий. Для оценки их демпфирующих свойств необходимы знания деформационных и прочностных характеристик при статическом и динамическом сжатии. В деформировании насыпных пористых сред можно выделить три этапа: переукладка до плотной упаковки без заметной деформации частиц (ликвидация свободной пористости); деформирование до почти полной компоновки (отсутствие пор); деформирование как сплошного материала без пор. Для получения динамических характеристик слоя использовалась методика Кольского в системе разрезного стержня Гопкинсона. Приведены результаты исследований при различных скоростях деформации, определяемых начальной скоростью вылета бойка. В силу малого сопротивления пористого образца деформированию на стадиях переупаковки и начального этапа деформирования шариков большая часть сформированного при ударе бойка по нагружающему стержню импульса сжатия возвращается в первый мерный стержень. Это приводит к повторному циклическому нагружению образца со всё более убывающей амплитудой нагрузки. Помимо кривых активного нагружения методика позволяет получить кривые разгрузки в процессе одного эксперимента. Показано, что в результате деформирования образцов с ростом нагрузки наблюдается развитое пластическое течение и фрагментация шариков. Статическое сжатие насыпной среды производилось на испытательной машине Zwick. Проведенные испытания в широком диапазоне нагрузок показали большие отличия между статическими и динамическими кривыми деформирования, характерные для высокопористых сред. Полученные результаты могут быть использованы для предсказательного математического моделирования элементов конструкций, содержащих насыпные слои.

Ключевые слова: насыпной слой, пористая среда, эксперимент, разрезной стержень Гопкинсона, динамическая деформация, статическая деформация, сжатие, нелинейность, необратимость

Брагов Анатолий Михайлович – доктор технических наук, профессор, e-mail: bragov@mech.unn.ru

Константинов Александр Юрьевич – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: constantinov.al@yandex.ru

Кочетков Анатолий Васильевич – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: kochetkov@mech.unn.ru

Модин Иван Александрович – аспирант, e-mail: mianet@mail.ru

Савихин Андрей Олегович – младший научный сотрудник, e-mail: andrey-savikhin@yandex.ru

1. Гельфанд Б.Е., Сильников М.В. Фугасные эффекты взрывов. – СПб.: Полигон, 2002. – 272 с.

2. Гельфанд Б.Е., Губанов А.В., Тимофеев Е.И. Взаимодействие воздушных ударных волн с пористым экраном // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1983. – № 4. – С. 79–84.

3. Передача ударно-волновой нагрузки насыпными средами / Б.Е. Гельфанд, С.П. Медведев, А.Н. Поленов, С.М. Фролов // Прикладная механика и техническая физика. – 1988. – № 2. – С. 115–121.

4. Dynamics of stress wave propagation in a chain of photoelastic discs impacted by a planar shock wave / B. Glam, O. Igra, A. Britan, G. Ben-Dor // Part I. Experimental Investigation, Shock Waves. – August 2007. – Vol. 17. – Iss. 1. – P. 1–14.

5. Mechanism of compressive stress formation during weak shock waves impact with granular materials / G. Ben-Dor, A. Britan, T. Elperin, O. Igra, J.P. Jiang // Experiments in Fluids. – 1997. – Vol. 22. – P. 507–518.

6. Shock waves attenuation by granular filters / A. Britan, G. Ben-Dor, O. Igra, H. Shapiro // International Journal of Multiphase Flow. – 2001. – Vol. 27 (4). – P. 617–634.

7. Experimental investigation of the interaction between weak shock waves and granular layers / G. Ben-Dor, A. Britan, T. Elperin, O. Igra, J.P. Jiang // International Journal of Multiphase Flow. – 1997. – Vol. 22 (5). – P. 432–443.

8. Gas filtration during the impact of weak shock waves on granular layers / А. Britan, G. Ben-Dor, T. Elperin, O. Igra, J.P. Jiang // International Journal of Multiphase Flow. – 1997. – Vol. 23 (3). – P. 473–491.

9. Britan А., Ben-Dor G. Shock tube study of the dynamical behavior of granular materials // International Journal of Multiphase Flow. – 2006. – Vol. 32 (5). – P. 623–642.

10. Development of a general approach for predicting the pressure fields of unsteady gas flows through granular media / А. Britan, G.Ben-Dor, O. Igra, H. Shapiro // Journal of Applied Physics. – 2006. – Vol. 99.

11. Levy A., Ben-Dor G., Sorek S. Numerical investigation of the propagation of shock waves in rigid porous materials: development of the computer code and comparison with experimental result // J. Fluid Mech. –1996. – Vol. 324. – P. 163–179.

12. Head-on collision of a planar shock wave with a granular layer / А. Britan, T. Elperin, O. Igra, J.P. Jiang // Proceedings of the ISCCM Conference, Part. 2. Eds. W.A. Seattle, S.C. Schmidt, W.C. Tao. – USA, 2017. – P. 971–974.

13. Альтшулер Л.В., Кругликов Б.С. Затухание сильных ударных волн в двухфазных и гетерогенных средах // ПМТФ. – 1984. – № 5. – С. 24–29.

14. О механизме усиления давления при увеличении пористости сред, ударно сжимаемых в конических и цилиндрических мишенях / В.В. Милявский, В.Е. Фортов, А.А. Фролова, К.В. Хищенко, А.А. Чарахчьян, Л.В. Шуршалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2010. – Т. 50, № 12. – С. 2195–2207.

15. The Effect of Voids and Inclusions on Wave Propagation in Granular Materials / M.H. Sadd, A. Shukla, H. Mei, C.Y. Zhu // Micromechanics and Inhomogeneity. – 1989. – P. 367–383.

16. Shukla A., Damania C. Experimental investigation of wave velocity and dynamic contact stresses in an assembly of disks // Experimental Mechanics. – September 1987. – Vol. 27. – Iss. 3. – P. 268–281.

17. Губайдуллин А.А., Дудко Д.Н., Урманчеев С.Ф. Моделирование взаимодействие воздушной ударной волны с пористым экраном // Физика горения и взрыва. – 2000. – Т. 36, № 4. – C. 87–96.

18. Численное исследование передачи ударно-волновой нагрузки экранируемой плоской стенке через слой порошкообразной среды и разделяющий их воздушный зазор / О.Ю. Болдырева, А.А. Губайдуллин, Д.Н. Дудко, А.Г. Кутушев // Физика горения и взрыва. – 2007. – Т. 43, № 1. – С. 132–142.

19. Ruan H.H., Gao Z.Y., Yu T.X. Crushing of thin-walled spheres and sphere arrays // Int. J. Mech. Sci. – 2006. – No. 48. – P. 117–133.

20. Конечно-элементное решение нелинейных задач деформирования mhs-заполнителя при ударном нагружении / А.В. Демарева, А.И. Кибец, Ю.И. Кибец, И.А. Фролова, Д.В. Шошин, Ю.А. Шушкина // Проблемы прочности и пластичности. – 2016. – Т. 78, № 1. – С. 60–69.

21. Экспериментальное исследование деформационных характеристик пакетов плетеных металлических сеток при динамическом и квазистатическом нагружении / А.М. Брагов, Д.В. Жегалов, А.Ю. Константинов, А.В. Кочетков, И.А. Модин, А.О. Савихин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 3. – С. 252–262.
DOI: 10.15593/perm.mech/2016.3.17

22. Исследование деформационных свойств пакетов плетеных металлических сеток при квазистатическом сжатии и растяжении / А.Н. Горохов, Д.А. Казаков, А.В. Кочетков, И.А. Модин, В.И. Романов // Проблемы прочности и пластичности. – 2014. – Т. 73, № 3. – С. 251–256.

23. Экспериментальное исследование динамических и квазистатических деформационных свойств пакетов плетеных сеток / А.М. Брагов, А.Ю. Константинов, А.В. Кочетков, И.А. Модин // Проблемы прочности и пластичности. – 2016. – Т. 78, № 3 – С. 245–251.

24. Кочетков А.В., Леонтьев Н.В., Модин И.А. Экспериментально-численное исследование деформирования металлических плетеных сеток при квазистатическом нагружении // Проблемы прочности и пластичности. – 2017. – Т. 79, № 1. – С. 104–113.

25. Глазова Е. Г., Кочетков А. В. Численное моделирование взаимодействия деформируемых газопроницаемых пакетов сеток с ударными волнами // ПМТФ. – 2012. – № 3. – С. 11–19.

26. Взрывное нагружение деформируемых газопроницаемых осесимметричных элементов конструкций / Е.Г. Глазова, А.Ю. Константинов, А.В. Кочетков, С.В. Крылов // ПМТФ. – 2016. – № 5. – С. 119–126. DOI: 10.15372/PMTF20160513

27. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. – 288 с.

28. Ляхов Г.М. Основы динамики взрывных волн в грунтах и горных породах. – М.: Недра, 1974. – 191 с.

29. Bragov A.M., Lomunov A.K. Methodological aspects of studying dynamic material properties using the Kolsky method // Int. J. of Impact Engineering. – 1995. – No. 16(2). – P. 321–330.

30. Bragov A.M., Lomunov A.K., Medvedev A.A. A modified Kolsky method for the investigation of the strain-rate history dependence of mechanical properties of materials // J. Physique. – 1991. – Vol. 4. – No. 1. – P. 471–475.

31. Investigations on specimen design and mounting for Split Hopkinson Tension Bar (SHTB) experiments / N. Ledford, H. Paul, G. Ganzenmüller, M. May, M. Höfemann, M. Otto, N. Petrinic // DYMAT. – 2015. – 09.

32. Design and Computational Validation of a Split Hopkinson Pressure Bar for Dynamic Characterization of Materials Under High Strain Rate Tension Loading / A. Sasikumar, N. John, S. Pushpagiri, L. Koithara // International Journal of Engineering Research & Technology. – 2015. – June. – Vol. 4. – Iss. 6.

33. Nicholas O. Tensile testing of materials at high rates of strain // Exp. Mech. – 1981. – Vol. 21. – No. 5. – P. 177–195.

Исследована критическая динамика пространственно-временных флуктуаций напряжения пластического течения (эффект Портевена-Ле Шателье) алюминиевого сплава АМг6 в условиях осадки наклонных цилиндрических образцов со скоростью деформации 0,4–1,7·10^–1 с, такая форма образцов позволяет достичь больших деформаций (до 80 %) без разрушения. Показано, что пластическое течение исследованного сплава обнаруживает многомасштабные признаки локализации пластической деформации на всём протяжении кривой пластического течения. Установлено наличие двух значений «критических» деформаций, соответствующих диапазону стохастической динамики, характерной для поведения неравновесных критических систем – степенной расходимости времен следования флуктуаций в окрестности критических деформаций. Первая критическая точка определяется значением деформации, соответствующим формированию множественных областей локализованной пластичности с признаками автосолитонной динамики, обнаруживающих коррелированное поведение на макроскопическом размере образца. Переход через вторую критическую точку связан с качественным изменением типа коллективных мод в ансамблях дефектов: переходом от автосолитонных мод, инициирующих локализацию пластического течения, к коллективным модам «обострения», формирующим очаги макроскопического разрушения. Исследовано развитие локализации пластического течения методами структурного анализа морфологии поверхностного рельефа с использованием оптического интерферометра-профилометра NewView-5010 для последующего вычисления масштабного инварианта (показателя Хёрста)
и пространственного масштаба области, на которой наблюдается коррелированное поведение микросдвигов. Обосновано предположение, что развитие неустойчивости пластического течения и замкнутого турбулентного течения жидкостей между двумя вращающимися дисками в опыте Кармана при больших числах Рейнольдса соответствует механизмам переноса импульса в конденсированных средах, подчиняющихся одному «классу универсальности».

Ключевые слова: локализация пластической деформации, прерывистая текучесть, эффект Портевена-Ле Шателье, пространственно-временная динамика напряжений пластического течения, критические точки, пластичность, деформация.

Ефремов Денис Викторович – аспирант, e-mail: efremov.d@icmm.ru

Оборин Владимир Александрович – ведущий инженер, e-mail: oborin@icmm.ru

Уваров Сергей Витальевич – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: usv@icmm.ru

Наймарк Олег Борисович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: naimark@icmm.ru

1. Зуев Л.Б. О волновом характере пластического течения. Макроскопические автоволны локализации деформации // Физическая мезомеханика. – 2006. – Т. 9, № 3. – С. 47–54.
2. Зуев Л.Б., Данилов В.И., Семухин Б.С. Пространственно-временное упорядочение при пластическом течении твёрдых тел // Успехи физики металлов. – 2002. – Т. 3. – С. 237–304.
3. Третьякова Т.В., Вильдеман В.Э. Закономерности и схематизация процессов локализации пластического течения при испытании плоских образцов алюминиево-магниевого сплава // Физическая мезомеханика. – 2017. – Т. 20, № 2. – С. 71–77.
4. Зуев Л.Б. Автоволновая модель пластического течения// Физическая мезомеханика. – 2011. – Т.14, № 3. – С. 85–94.
5. Трусов П.В., Чечулина Е.А. Прерывистая текучесть: физические механизмы, экспериментальные данные, макрофеноменологические модели// Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 3. – С. 186–232.
   DOI 10.15593/perm.mech/2017.1.09
6. Zaiser M. Scale invariance in plastic flow of crystalline solids// Advances in Physics. – 2006. – Vol. 55. – P. 185–245.
7. Spatio-temporal dynamics of the Portevin-Le Chatelier effect: experiment and modeling / M. Lebyodkin [et al.] // Acta Materialia. – 2000. – No. 48. – C. 2529–2541.
8. Spatial coupling in jerky flow using polycrystall plasticity / S. Kok [et al.] // Acta Materialia. – 2003. – No. 51. – C. 3651–3662.
9. Crossover from chaotic to self-organized critical dynamics in jerky flow of single crystals / G. Ananthakrishna [et al.] // Physical Review E. – 1999. – Vol. 60. – No. 5. – P. 5455–5462.
10. Kubin L.P., Ananthakrishna G., Fressengeans C. Comment on “Portevin-Le Chatelier effect” // Physical Review E. – 2002. – Vol. 65. – No. l. – P. 053501-1–053501-2.
11. Gianfranco D., Franco N. Critical Dynamics of Burst Instabilities in the Portevin-Le Châtelier Effect // Physical Review Letters. – 2000. – Vol. 85. – No. 19. – P. 4096–4099.
12. Ефремов Д.В., Уваров С.В., Наймарк О.Б. Закономерности критичности при многомасштабной динамике прерывистой текучести в сплаве АМг6 // Неравновесные процессы в сплошных средах: материалы междунар. симпозиума. – Пермь, 2017. – Т. 1. – С. 172–174.
13. Bramwell S., Holdsworth P., Pinton J.-F. Universality of rare fluctuations in turbulence and critical phenomena // Nature. – 1998. – No. 396. – P. 552–554.
14. Pinton J.-F., W. Holdsworth P.C., Labbe R. Power fluctuations in a closed shear flow// Physical Review E. – 1999. – Vol. 60. – No. 3. – P. 2452–2455.
15. Universal Fluctuations in Correlated Systems / S.T. Bramwell [at al.] // Physical Review Letters. – 2000. – P. 1–5.
16. Portelli B., Holdsworth P.C.W., Pinton J.-F. Intermittency and non-Gaussian fluctuations of the global energy transfer in fully developed turbulence // Physical Review Letters. – 2002. – Vol. 81. – No. 17. – P. 3744–3747.
17. Наймарк О.Б. О некоторых закономерностях скейлинга в пластичности, разрушении, турбулентности // Физическая мезомеханика, – 2015. – Т. 18, № 3. – С. 71–83.
18. Naimark O.B. Structural-scaling transitions in solids with defects and symmetry aspects of field theory // Physical Mesomechanics. – 2010. – Vol. 13. – No. 5–6. – P. 306–317.
19. Naimark O.B. Defect Induced Transitions as Mechanisms of Plasticity and Failure in Multifield Continua (Review Paper) // Advances in Multifield Theories of Continua with Substructure, Inc., eds G.Capriz, P.Mariano. – Birkhauser Boston, 2004. – P. 75–114.
20. L'vov V.S. Universality of turbulence // Nature. – 1998. – No. 396. – P. 519–524.
21. Labbe R., Pinton J.-F., Fauve S. Power Fluctuations in Tuebulent Swirling Flows // J. Physics. – 1996. – No. 6. – P. 1099–1110.
22. Lanthrop D.P., Finberg J., Swinney H.L. Transition to shear-driven tirbulence in Ciuette-Taylor flow // Physical Review A. – 1992. – Vol. 46. – No. 10. – P. 6390–6405.
23. Mordant N., Pinton J.-F., Chilla F. Characterization of Turbulence in a Closed Flow // J. Physics. – 1997. – No. 7. – P. 1729–1742.
24. Фрактальный анализ поверхности разрушения сплава АМг6 при усталостном и динамическом нагружении / В.А. Оборин, М.В. Банников, Ю.В. Баяндин, М.А. Соковиков, Д.А. Билалов, О.Б. Наймарк // Вестник Пермского национального исследовательского университета. Механика. – 2015. – № 2. – С. 116–126. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.2.07
25. Mechanical and microstructural aspects of localized plastic flow / M. Sokovikov [et al.] // Solid State Phenomena. – 2016. – Vol. 243. – P. 113–120.
26. Oborin V., Sokovikov M., Bilalov D., Naimark O. Multiscale study of morphology of the fracture surface aluminum- magnesium alloy with consecutive dynamic and gigacycle loading// Procedia Structural Integrity. – 2016. – Vol. 2. – P. 1063–1070. DOI: 10.1016/j.prostr.2016.06.136
27. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of natur. – N.Y.: Freeman, 1983. – 480 p.
28. Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 254 с.
29. Bouchaud E. Scaling properties of cracks // J. Phys. Condens. Matter. – 1997. – No. 9. – P. 4319– 4344.
30. Пантелеев И.А., Froustey С., Наймарк О.Б. Структурно-скейлинговые переходы и универсальность статистики флуктуаций при пластическом течении металлов// Вычислительная механика сплошных сред. – 2009. – Т. 2, № 3. – С. 70–81.

В работе рассмотрены два подхода к оценке прочности элементов конструкций из хрупкого материала с острыми концентраторами напряжений при трёхточечном изгибе: с использованием нелокальной теории прочности (в вершине острого надреза напряжения усредняются на некоторой базе) и линейной механики разрушения (определяются коэффициенты интенсивности напряжений и степени сингулярности). Широко использован метод конечных элементов (пакет ANSYS Workbench, 2D-постановка). Эти два подхода оказываются связанными анализом напряженного состояния у острых
v-образных надрезов с соответствующими аппроксимациями поля напряжений, позволившими на основе оптимизационных процедур найти корректные значения коэффициентов интенсивности напряжений и степеней сингулярности. Проведены экспериментальные исследования прочности призматических образцов из органического стекла (ПММА) с v-образными концентраторами (двугранные углы 25, 90 и 120°) различной глубины при статическом трехточечном изгибе. В конечно-элементных расчетах с использованием нелокального критерия прочности получено, что острый надрез с двугранным углом до 90° ведет к увеличению нагрузки разрушения лишь на 15–20 % по сравнению с трещиноподобным вырезом (угол 25°) и хорошо согласуется с экспериментальными данными. Увеличение двугранного угла острого надреза с 25 до 120° ведет к повышению нагрузок разрушения в 1,5–2 раза. Исследована морфология поверхности разрушения и показано, что неглубокие вырезы (до 1,5 мм) при изгибе имеют бороздчатую поверхность разрушения (высокая скорость и скачкообразная картина движения трещины), тогда как более глубокие вырезы (2,5–5 мм) характеризуются медленным распространением трещины и гладкой поверхностью разрушения. Информация о шаге бороздок оказалась необходимой при назначении размера зоны осреднения напряжений в нелокальном критерии прочности.

Ключевые слова: острый v-образный вырез, изгиб, хрупкое разрушение, полиметилметакрилат, коэффициент интенсивности напряжений, сингулярность, нелокальная теория прочности

Сапожников Сергей Борисович – доктор технических наук, профессор, e-mail: sapozhnikovsb@susu.ru

Иванов Михаил Александрович – кандидат технических наук, доцент, 76, e-mail: ivanovma@susu.ru

Ярославцев Сергей Иванович – кандидат технических наук, доцент, e-mail: iaroslavtcevsi@susu.ru

Щербаков Игорь Александрович – старший преподаватель, e-mail: shcherbakovia@susu.ru

1. Griffith A.A. The phenomena of rupture and flowing solids // Philosophical Transactions of Royal Society. – 1920. – A221. – P. 163–198.
2. Lazzarin P., Tovo R. A unified approach to the evaluation of linear elastic stress fields in the neighbourhood of crack and notches // International Journal of Fracture. – 1996. –Vol. 78. – P. 3–19.
3. Dunn M.L., Suwito W., Cunningham S.J. Fracture initiation at sharp notches: correlation using critical stress intensities // International Journal of Solid Structure. – 1997. – Vol. 34. – P. 3873–3883.
4. Seweryn A., Lukaszewicz A. Verification of brittle fracture criteria for elements with V-shaped notches // Engineering Fracture Mechanics. – 2002. – Vol. 69 – P. 1487–1510.
5. Novozhilov V. On a necessary and sufficient condition for brittle strength // Prikl. Mat. Mekh. – 1969. – № 33 (2). – P. 212–222.
6. Cornetti P., Sapora A., Carpinteri A. Short cracks and V-notches: Finite Fracture Mechanics vs. Cohesive Crack Model // Engineering Fracture Mechanics. – 2016. – Vol. 168. – P. 2–12.
7. Anderson T.L. Fracture Mechanics: Fundamentals and Applications. – 2nd ed. – Florida: CRC Press LLC, 1995. – 669 p.
8. An experimental and numerical study of the fracture strength of welded structural hollow section X-joints / T. Björk, G. Marquis, V. Pellikka, R. Ilvoner // ASTM Special Technical Publication. – 2007. – Vol. 1480. – P. 343–356.
9. An evaluation method for laser weld metal toughness by side-notched Charpy test / Hagihara Y., Tsukamoto S., Otani T., Arakane G., Matsuda K. // Welding in the World. – 2005. – Vol. 49. – No. 7–8. – P. 21–27.
10. Failure analysis of high density polyethylene butt weld joint / F. Tariq, N. Naz, M.A. Khan, R.A. Baloch // Journal of Failure Analysis and Prevention. – 2012. – Vol. 12. – No. 2. – P. 168–180.
11. Levine S. Structural failures: Testing lessons learned // Test Engineering and Management. – 2009. – Vol. 71. – No. 6. – P. 10–12.
12. Broek D. Elementary engineering fracture mechanics. – Springer Science & Business Media, 1982. – 469 p.
13. Berto F., Lazzarin P. A review of the volume-based strain energy density approach applied to V-notches and welded structures // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2009. – Vol. 52. – No. 3. – P. 183–194.
14. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – М.: Наука, 1974. – 640 с.
15. Gomez F.J., Elices M., Valiente A. Cracking in PMMA containing U-shaped notches // Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures. – 2000. – Vol. 23. – P. 795–803.
16. Taylor D. The theory of critical distances // Engineering Fracture Mechanics. – 2008. – Vol. 75. – No 7. – P. 1696–1705.
17. Berto F., Barati E. Fracture assessment of U-notches under three point bending by means of local energy density // Materials & Design. – 2011. – Vol. 32. – P. 822–830.
18. Torabi A.R., Hosseini B.M. Large plasticity induced crack initiation from U-notches in thin aluminum sheets under mixed mode loading // Engineering Solid Mechanics. – 2017. – P. 39–60.
19. Сапожников С.Б. Дефекты и прочность армированных пластиков / Челяб. гос. техн. ун-т. – Челябинск, 1994. – 164 с.
20. ANSYS® Release 17.0, © SAS IP, Inc.
21. Abaqus. ABAQUS/Standard user’s manual, version 6.1. Hibbitt, Karlsson and Sorensen, Inc. – 2000.
22. PTC Mathcad user’s manual, version 15.
23. Glinka G., Newport A. Universal features of elastic notch-tip stress fields // International Journal of Fatigue. – 1987. – Vol. 9. – P. 143–150.
24. Gomez F.J., Elices M. A fracture criterion for sharp V-notched samples // International Journal of Fracture. – 2003. – Vol. 123. – P. 163–175.
25. Dunn M.L., Suwito W., Cunningham, S.J. Fracture initiation at sharp notches: Correlation using critical stress intensities // International Journal of Solids and Structures. – 1997. – Vol. 34. – P. 3873–3883.
26. Filippi S., Lazzarin P., Tovo R. Developments of some explicit formulas useful to describe elastic stress fields ahead of notches in plates // International Journal of Solids and Structures. – 2002. – Vol. 39 – P. 4543–4565.
27. Gomez F.J., Guinea G.V., Elices M. Failure criteria for linear elastic materials with Unotches // International Journal of Fracture. – 2006. – Vol. 141 – P. 99–113.
28. Lazzarin P., Filippi S. A generalized stress intensity factor to be applied to rounded V-shaped notches // International Journal of Solids and Structures. – 2006. – Vol. 43. – P. 2461–2478.
29. Ayatollahi M.R., Dehghany M., Nejati M. Fracture analysis of V-notched components – Effects of first non-singular stress term // International Journal of Solids and Structures. –2011. – Vol. 48 – P. 1579–1589.
30. Melin S. The influence of the T-stress on the directional stability of cracks // International Journal of Fracture. – 2002. – Vol. 114 – P. 259–265.
31. Smith D.J., Ayatollahi M.R., Pavier M.J. The role of T-stress in brittle fracture for linear elastic materials under mixed-mode loading // Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures. – 2001. – Vol. 24. – P. 137–150.
32. Ayatollahi M.R., Pavier M.J., Smith D.J. Mode I cracks subjected to large T-stresses // International Journal of Fracture. – 2002. – Vol. 117. – P. 159–174.
33. Kim J.K., Cho S.B. Effect of second non-singular term of mode I near the tip of a v-notched crack // Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures. – 2009. – Vol. 32. – P. 346–356.
34. Ayatollahi M.R., Nejati M. Determination of NSIFs and coefficients of higher order terms for sharp notches using finite element method // International Journal of Mechanical Sciences. – 2011. – Vol. 53. – P. 164–177.
35. Leguillon D., Yosibash Z. Failure initiation at V-notch tips in quasi-brittle materials // International Journal of Solids and Structures. – 2017. – 29 May. – P. 1–13. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2017.05.036
36. Xiao S., Liu B. An Exploration Toward a Unified Failure Criterion // Journal of Applied Mechanics, Transactions ASME. – 2017. – Vol. 84 (3). – Р. №031004. DOI: 10.1115/1.4035366
37. Neuber H. Theory of Notch Stresses. – 2nd ed. // AEC-TR-4547. – 1958.
38. Bazant Z.P. Scaling theory for quasibrittle structural failure // Proc. Natl. Acad. Sci. – 2004. – Vol. 101 (37). – P. 13400–13407.
39. Степанова Л.В., Росляков П.С. Полное асимптотическое разложение М. Уильямса у вершин двух коллинеарных трещин конечной длины в бесконечной пластине // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 4 – C. 188–225.

Статья посвящена разработке, реализации и сравнительному анализу эффективности двух алгоритмов численного решения коэффициентной обратной задачи Стефана, возникающей при моделировании процесса формирования ледопородного ограждения вокруг проектируемого сечения вертикального шахтного ствола. Образование ледопородного ограждения происходит в результате искусственного замораживания грунтовых вод, содержащихся в породном массиве. Моделирование распределения температурного поля в породном массиве основывается на двумерной задаче Стефана в энтальпийной постановке. Целью работы является определение объемной теплоемкости слоя породного массива по данным изменения температуры от времени в нескольких термических скважинах. Задача определения неизвестных теплофизических параметров формулируется в виде коэффициентной обратной задачи Стефана, записанной в вариационной постановке.

В результате исследования было разработано два алгоритма численного решения коэффициентной обратной задачи Стефана. Первый алгоритм основан на итеративном методе оптимизации сопряженных градиентов, второй – на итеративном методе оптимизации наискорейшего спуска. В первом алгоритме расчет градиента функционала невязки и определение параметров метода оптимизации происходит путем решения задачи в приращениях температуры и сопряженной задачи. Во втором алгоритме для расчета градиента функционала и параметров метода наискорейшего спуска используются коэффициенты чувствительности. Решение прямой задачи, задачи в приращениях температуры и сопряженной задачи выполняется методом конечных элементов. Особенность методов оптимизации, используемых в предложенных алгоритмах, заключается в том, что они обладают регуляризующими свойствами.

Сравнение эффективности предложенных алгоритмов проводилось при решении обратной коэффициентной задачи Стефана, заключающейся либо в определении объемной теплоемкости для зоны льда или зоны охлаждения, либо в определении объемных теплоемкостей для обеих зон. Полученные результаты свидетельствуют о том, что оба алгоритма позволяют получить решения поставленной коэффициентной обратной задачи Стефана с достаточно хорошим уровнем точности. Однако скорость сходимости второго алгоритма выше, чем первого.

Представленный подход к моделированию процесса формирования ледопородного ограждения как коэффициентной обратной задачи Стефана и разработанные алгоритмы могут быть использованы для проектирования и уточнения исходных данных при строительстве вертикальных шахтных стволов с использованием технологии искусственного замораживания.

Ключевые слова: искусственное замораживание грунтов, обратная задача Стефана, метод сопряженных градиентов, метод наискорейшего спуска, итеративная регуляризация, численное моделирование.

Желнин Максим Сергеевич – магистр, e-mail: zhelninmax@gmail.com

Плехов Олег Анатольевич – доктор физико-математических наук, e-mail: poa@icmm.ru

Семин Михаил Александрович – кандидат технических наук, e-mail: mishkasemin@gmail.com

Левин Лев Юрьевич – доктор технических наук, e-mail: aerolog_lev@mail.ru

1. Трупак Н.Г. Замораживание грунтов в подземном строительстве. – М.: Недра. – 1974. – 280 с.
2. Трупак Н.Г. Замораживание пород при сооружении вертикальных стволов шахт. – М.: Недра, 1983. – 170 с.
3. Andersland O.B., Ladanyi B. Frozen ground engineering. – John Wiley & Sons, 2004. – 352 p.
4. Вабищевич П.Н., Васильева М.В., Павлова Н.В. Численное моделирование термостабилизации фильтрующих грунтов // Математическое моделирование. – 2014. – Т. 26, № 9. – С. 111–125. DOI: 10.1134/S2070048215020106
5. Математическое моделирование искусственного замораживания грунтов / П.Н. Вабищевич [и др.] // Вычислительные технологии. – 2014. – Т. 19, № 4. – С. 19–31.
6. Амосов П.В., Лукичев С.В., Наговицын О.В. Влияние пористости породного массива и температуры хладоносителя на скорость создания сплошного ледопородного ограждения // Вестн. Кольск. науч. центра РАН. – 2016. – № 4 (27). – С. 43–50.
7. Левин Л.Ю., Зайцев А.В., Семин М.А. Контроль теплового режима породного массива на основе применения оптоволоконных технологий мониторинга температур в скважинах // Горное эхо. – 2016. – № 1. – С. 35–37.
8. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. – 2-е изд. – М: Либроком, 2009. – 782 с.
9. Lewis R.W., Ravindran K. Finite element simulation of metal casting //International journal for numerical methods in engineering. – 2000. – Vol. 47. – No. 1–3. – P. 29–59. DOI: 10.1002/(SICI)1097-0207(20000110/30)47:1/3<29::AID-NME760>3.0.CO;2-X
10. Voller V.R., Swaminathan C.R., Thomas B.G. Fixed grid techniques for phase change problems: a review // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 1990. – Vol. 30. – No. 4. – P. 875–898. DOI: 10.1002/nme.1620300419
11. Крылов Д.А., Сидняев Н.И., Федотов А.А. Математическое моделирование распределения температурных полей // Математическое моделирование. – 2013. – Т. 25, № 7. – С. 3–27.
12. Вакуленко И.С., Николаев П.В. Анализ и перспективы развития способа искусственного замораживания горных пород в подземном строительстве // Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). – 2015. – № 3. – С. 338–346.
13. Zabaras N., Ruan Y., Richmond O. Design of two-dimensional Stefan processes with desired freezing front motions // Numerical Heat Transfer, Part B Fundamentals. – 1992. – Vol. 21. – No. 3. – P. 307–325.
14. Hematiyan M.R., Karami G. A boundary elements pseudo heat source method formulation for inverse analysis of solidification problems // Computational mechanics. – 2003. – Vol. 31. – No. 3. – P. 262–271. DOI:10.1007/s00466-003-0429-0
15. Okamoto K., Li B.Q. A regularization method for the inverse design of solidification processes with natural convection // International journal of heat and mass transfer. – 2007. – Vol. 50. – No. 21. – P. 4409–4423. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2006.10.019
16. Voller V.R. Enthalpy method for inverse Stefan problems // Numerical Heat Transfer, Part B. Fundamentals. – 1992. – Vol. 21. – No. 1. – P. 41–55.
17. Xu R., Naterer G.F. Inverse method with heat and entropy transport in solidification processing of materials // Journal of Materials Processing Technology. – 2001. – Vol. 112. – No. 1. – P. 98–108. DOI: 10.1016/S0924-0136(01)00556-8
18. Khosravifard A., Hematiyan M.R., Wrobel L.C. Simultaneous control of solidus and liquidus lines in alloy solidification // Engineering Analysis with Boundary Elements. – 2013. – Vol. 37. – No. 2. – Р. 211–224. DOI: 10.1016/j.enganabound.2012.10.001
19. Zabaras N., Kang S. On the solution of an ill-posed design solidification problem using minimization techniques in finite-and infinite-dimensional function spaces // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 1993. – Vol. 36. – No. 23. – P. 3973–3990.
20. Kang S., Zabaras N. Control of the freezing interface motion in two-dimensional solidification processes using the adjoint method // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 1995. – Vol. 38. – No. 1. – P. 63–80. DOI: 10.1002/nme.1620380105
21. Hinze M., Ziegenbalg S. Optimal control of the free boundary in a two-phase Stefan problem // Journal of Computational Physics. – 2007. – Vol. 223. – No. 2. – P. 657–684. DOI: 10.1016/j.jcp.2006.09.030
22. Optimal operation of alloy material in solidification processes with inverse heat transfer / A.A. Nejad [et al.] // International Communications in Heat and Mass Transfer. – 2010. – Vol. 37. – No. 6. – P. 711–716. DOI: 10.1016/j.icheatmasstransfer.2010.03.002
23. Słota D. Identification of the cooling condition in 2-D and 3-D continuous casting processes // Numerical Heat Transfer. Part B: Fundamentals. – 2009. – Vol. 55. – No. 2. – P. 155–176.
    DOI: 10.1080/10407790802605232
24. Hetmaniok E., Słota D., Zielonka A. Experimental verification of immune recruitment mechanism and clonal selection algorithm applied for solving the inverse problems of pure metal solidification // International Communications in Heat and Mass Transfer. – 2013. – Vol. 47. – P. 7–14.
    DOI: 10.1016/j.icheatmasstransfer.2013.07.009
25. Hetmaniok E., Słota D., Zielonka A. Using the swarm intelligence algorithms in solution of the two-dimensional inverse Stefan problem // Computers & Mathematics with Applications. – 2015. – Vol. 69. – No. 4. – P. 347–361. DOI: 10.1016/j.camwa.2014.12.013
26. Application of meshfree methods for solving the inverse one-dimensional Stefan problem / K. Rashedi [et al.] // Engineering Analysis with Boundary Elements. – 2014. – Vol. 40. – P. 1–21. DOI: 10.1016/j.enganabound.2013.10.013
27. Johansson B.T., Lesnic D., Reeve T. A meshless method for an inverse two-phase one-dimensional linear Stefan problem // Inverse Problems in Science and Engineering. – 2013. – Vol. 21. – No. 1. – P. 17–33. DOI: 10.1016/j.matcom.2014.03.004
28. Johansson B.T., Lesnic D., Reeve T. A meshless regularization method for a two-dimensional two-phase linear inverse Stefan problem // Advances in Applied Mathematics and Mechanics. – 2013. – Vol. 5. – No. 06. – P. 825-845. DOI: 10.1017/S2070073300001259
29. Johansson B.T., Lesnic D., Reeve T. A meshless method for an inverse two-phase one-dimensional nonlinear Stefan problem // Mathematics and Computers in Simulation. – 2014. – Vol. 101. – P. 61–77. DOI: 10.1016/j.matcom.2014.03.004
30. Gol'dman N.L. Inverse Stefan Problems. – Springer Science & Business Media, 2012. – 250 p.
31. Гольдман Н.Л. Классы единственности решения двухфазных коэффициентных
    обратных задач Стефана // Доклады Академии наук. – 2013. – Т. 449, № 5. – С. 507–512.
    DOI: 10.7868/S0869565213110066
32. Hafid M., Lacroix M. An inverse heat transfer method for predicting the thermal characteristics of a molten material reactor // Applied Thermal Engineering. – 2016. – Vol. 108. – P. 140–149.
    DOI: 10.1016/j.applthermaleng.2016.07.087
33. Alifanov O.M. Inverse heat transfer problems. – Springer Science & Business Media, 2012. – 348 p.
34. Ozisik M.N. Inverse heat transfer: fundamentals and applications. – CRC Press, 2000. – 330 p.
35. Hasanov A., Pektaş B., Erdem A. Comparative analysis of inverse coefficient problems for parabolic equations. Part I: adjoint problem approach // Inverse Problems in Science and Engineering. – 2011. – Vol. 19. – No. 5. – P. 599–615. DOI: 10.1080/17415977.2011.579605
36. Самарский А.А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики: учеб. пособие. – 2-е изд. – М., 2007. – 478 с.
37. Колесник С.А. Метод идентификации нелинейных компонентов тензора теплопроводности анизотропных материалов // Математическое моделирование. – 2014. – Т. 26, № 2. – С. 119–132. DOI: 10.1134/S2070048214050044
38. Mohebbi F., Sellier M. Estimation of thermal conductivity, heat transfer coefficient, and heat flux using a three dimensional inverse analysis // International Journal of Thermal Sciences. – 2016. – Vol. 99. – P. 258–270. DOI: 10.1016/j.ijthermalsci.2015.09.002
39. Gilyazov S.F., Gol'dman N.L. Regularization of ill-posed problems by iteration methods. – Springer Science & Business Media, 2013. – 340 p.

Распространенным направлением в микромеханике структурно-неоднородных сред со случайной структурой являются методы стохастической механики. Неоднородность микроструктуры гетерогенного материала оказывает значительное влияние на распределение полей напряжений и деформаций при нагружении. Методы и инструменты статистического анализа позволяют учитывать взаимодействия внутри системы многих частиц, которой является случайная структура, и исследовать распределения полей с аналитической точки зрения, что используется при создании стохастических моделей, описывающих механическое поведение материала.

В данной работе представлен подход к анализу распределений полей напряжений и деформаций в представительных объемах неоднородных сред на основе восстановления их законов распределения. Описаны способы нахождения параметров законов распределения. В рамках стохастической модели для этого используются центральные моменты случайной величины, полученные для полей напряжений и деформаций в отдельных фазах материала. Предложен алгоритм расчета вероятности разрушения с использованием законов распределения полей напряжений и деформаций на основе вероятностного представления критериев разрушения. На основе анализа вероятности разрушения компонентов представительного объема предложена стохастическая модель прогрессирующего разрушения.

Приведены некоторые численные результаты для частного случая неоднородной структуры, проведено сравнение полученных с помощью стохастической модели оценок с результатами конечно-элементного моделирования. Проведено сравнение различных типов параметрических законов распределения, используемых для отражения реального распределения полей напряжений в представительном объеме, на основе полученных данных конечно-элементного анализа и расчета моментов в рамках стохастической модели. Для исследуемого частного случая реализована методика расчета вероятностей разрушения при статическом нагружении представительного объема.

Ключевые слова: стохастическая краевая задача; случайная структура; критерии разрушения; поля напряжений и деформаций; статистическое осреднение; конечно-элементная модель; вероятность разрушения

Ташкинов Михаил Анатольевич – кандидат физико-математических наук, заведующий научно-исследовательской лабораторией, e-mail: m.tashkinov@pstu.ru

1. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. – М.: Наука, 1970. – 139 p.

2. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. – Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 1978. – 208 p.

3. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. – М.: Наука, 1977.

4. Torquato S. Random Heterogeneous Materials // Applied Mechanics Reviews. – 2002. – Vol. 16. XXI. – 703 p.

5. 3-D microstructure reconstruction of polymer nano-composite using FIB-SEM and statistical correlation function / A. Sheidaei [et al.] // Compos. Sci. Technol. – 2013. – Vol. 80. – P. 47–54.

6. Yeong C., Torquato S. Reconstructing random media. II. Three-dimensional media from two-dimensional cuts // Phys. Rev. E. – 1998. – Vol. 58. – No. 1. – P. 224–233.

7. Three-dimensional reconstruction and homogenization of heterogeneous materials using statistical correlation functions and FEM / M. Baniassadi [et al.] // Comput. Mater. Sci. – 2012. – Vol. 51. – No. 1. – P. 372–379.

8. Jiao Y., Stillinger F.H., Torquato S. Modeling heterogeneous materials via two-point correlation functions. II. Algorithmic details and applications // Phys. Rev. E – Stat. Nonlinear, Soft Matter Phys. – 2008. – Vol. 77. – No. 3. – P. 1–15.

9. Liu K.C., Ghoshal A. Validity of random microstructures simulation in fiber-reinforced composite materials // Compos. Part B Eng. – 2014. – Vol. 57. – P. 56–70.

10.  Hyun S., Torquato S. Designing composite microstructures with targeted properties // J. Mater. Res. – 2001. – Vol. 16. – No. 1. – P. 280–285.

11.  Multi-site micromechanical modelling of thermo-elastic properties of heterogeneous materials / W. Kpobie [et al.] // Compos. Struct. – 2012. – Vol. 94. – No. 6. – P. 2068–2077.

12.  Aboudi J., Arnold S.M., Bednarcyk B.A. The Generalized Method of Cells Micromechanics // Micromechanics of Composite Materials. – 2013. – P. 227–350.

13.  Torquato S. Optimal Design of Heterogeneous Materials // Annu. Rev. Mater. Res. – 2010. – Vol. 40. – No. 1. – P. 101–129.

14.  Melro A.R., Camanho P.P., Pinho S.T. Influence of geometrical parameters on the elastic response of unidirectional composite materials // Compos. Struct. – 2012. – Vol. 94. – No. 11. – P. 3223–3231.

15.  Yu M., Zhu P., Ma Y. Effects of particle clustering on the tensile properties and failure mechanisms of hollow spheres filled syntactic foams: A numerical investigation by microstructure based modeling // Mater. Des. – 2013. – Vol. 47. – P. 80–89.

16.  Influence of waviness and curliness of fibres on mechanical properties of composites / A.Y. Matveeva [et al.] // Comput. Mater. Sci. – 2014. – Vol. 87. – P. 1–11.

17.  Rasool A., Böhm H.J. Effects of particle shape on the macroscopic and microscopic linear behaviors of particle reinforced composites // Int. J. Eng. Sci. – 2012. – Vol. 58. – P. 21–34.

18.  Böhm H.J., Rasool A. Effects of particle shape on the thermoelastoplastic behavior of particle reinforced composites // Int. J. Solids Struct. – 2016. – Vol. 87. – P. 90–101.

19.  A statistical descriptor based volume-integral micromechanics model of heterogeneous material with arbitrary inclusion shape / Z. Liu [et al.] // Comput. Mech. – 2015. – Vol. 55. – No. 5. – P. 963–981.

20.  Islam M., Tudryn G.J., Picu C.R. Microstructure modeling of random composites with cylindrical inclusions having high volume fraction and broad aspect ratio distribution // Comput. Mater. Sci. – 2016. – Vol. 125. – P. 309–318.

21.  Representative volume element for composites reinforced by spatially randomly distributed discontinuous fibers and its applications / W. Tian [et al.] // Compos. Struct. – 2015. – Vol. 131. – P. 366–373.

22.  Zhou J., Qi L., Gokhale A.M. Generation of Three-Dimensional Microstructure Model for Discontinuously Reinforced Composite by Modified Random Sequential Absorption Method // J. Eng. Mater. Technol. – 2016. – Vol. 138. – No. 2. – P. 21001.

23.  Internal geometric modelling of 3D woven composites: A comparison between different approaches / N. Isart [et al.] // Compos. Struct. – 2015. – Vol. 132. – P. 1219–1230.

24.  Tashkinov M. Statistical methods for mechanical characterization of randomly reinforced media // Mech. Adv. Mater. Mod. Process. – 2017. – Vol. 3. – No. 1. – P. 18.

25.  Buryachenko V.A. Micromehcanics of heterogenous materials // Micromechanics of Heterogeneous Materials. – Boston, MA: Springer US, 2007. – 1–686 p.

26.  Берестова С.А., Хананов Ш.М. О некоторых путях становления структурно-феноменоло­гических теорий в механике деформируемого твердого тела // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2010. – № 4. – С. 17–28.

27.  Multiscale methods for composites: A review / P. Kanouté [et al.] // Arch. Comput. Methods Eng. Springer Netherlands. – 2009. – Vol. 16. – No. 1. – P. 31–75.

28.  Microstructure sensitive design for performance optimization / D.T. Fullwood [et al.] // Prog. Mater. Sci. – 2010. – Vol. 55. – No. 6. – P. 477–562.

29.  Tashkinov M. Micro-scale modeling of phase-level elastic fields of SiC reinforced metal matrix multiphase composites using statistical approach // Comput. Mater. Sci. – 2016. – Vol. 116. – P. 113–121.

30.  Cam L. Le, Yang G. Lo. Asymptotics in Statistics: Some Basic Concepts // Springer Series in Statistics, 2000. – 285 p.

31.  Tashkinov M.A. Methods of Stochastic Mechanics for Characterization of Deformation in Randomly Reinforced Composite Materials BT – Mechanics of Advanced Materials: Analysis of Properties and Performance, eds. V.V. Silberschmidt, V.P. Matveenko. – Cham: Springer International Publishing, 2015. – P. 43–78.

32.  Xu X.F., Chen X., Shen L. A Green-function-based multiscale method for uncertainty quantification of finite body random heterogeneous materials // Comput. Struct. – 2009. – Vol. 87. – No. 21–22. – P. 1416–1426.

33.  Chen E.L., Ang W.T. Green’s functions and boundary element analysis for bimaterials with soft and stiff planar interfaces under plane elastostatic deformations // Eng. Anal. Bound. Elem. – 2014. – Vol. 40. – P. 50–61.

34.  Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. – М.: Наука, 1997.

35.  Tashkinov M. Statistical characteristics of structural stochastic stress and strain fields in polydisperse heterogeneous solid media // Comput. Mater. Sci. – 2014. – Vol. 94. – No. C. – P. 44–50.

36.  Tashkinov M., Spaskova E. Estimation of microstructural failure probability based on restoration of the field distributions laws in components of heterogenous media // Procedia Struct. Integr. – 2017. – Vol. 5. – P. 608–613.

37.  Durrett R.T. Percolation Theory for Mathematicians (Harry Kesten) // SIAM Review. – Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1984. – Vol. 26. – P. 446–448.

38.  Bredon G.E. Sheaf Theory. – New York: Springer New York, 1997. – Vol. 170.

Рассматривается задача о нормальном ударе и проникании жестких пространственных тел в полупространство, занимаемое упругопластической средой. Для среды проникания принимается модель линейно сжимаемой упругопластической среды при линейной зависимости предела текучести от давления (условие пластичности Мизеса–Шлейхера–Боткина). Решение задачи осуществляется численно в трехмерной постановке с применением пакета программ LS-Dyna. Упругопластическая среда проникания рассматривается на неподвижной эйлеровой сетке с выделением пустых ячеек, в которые материал перетекает в процессе деформирования. Ударники моделируются жестким недеформируемым телом в лагранжевой системе координат.

Для сравнения, параметры процесса проникания – силы сопротивления внедрению и глубины проникания ударников получены также в рамках модели локального взаимодействия на основе аналитического решения задачи о расширении сферической полости. Ранее на основе данных обращенных экспериментов и численных расчетов в осесимметричной постановке показана применимость модели локального взаимодействия к определению силовых и кинематических характеристик острых конических тел. Проверка применимости модели для описания движения пространственных тел в полной трехмерной постановке ранее не проводилась.

Исследуемые тела – круговой конус, трех- и четырехгранные пирамиды, тело с звездообразным поперечным сечением – обладают одинаковой площадью основания, нормаль к боковой поверхности тел составляет с направлением движения постоянный угол 60 градусов. Особенностью построения формы рассматриваемых пространственных тел является тот факт, что в рамках модели локального взаимодействия эти тела должны обладать одинаковым сопротивлением внедрению, совпадающим с сопротивлением внедрению кругового конуса. Все эти тела имеют высоту меньше высоты конуса.

Ключевые слова: проникание, упругопластическая грунтовая среда, конический ударник, пирамидальные тела, звездообразное тело, модель локального взаимодействия, задача о расширении сферической полости, трехмерное моделирование

Линник Елена Юрьевна – кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник, e-mail: ElenkaLinnik@gmail.com

Котов Василий Леонидович – доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: vkotov@inbox.ru

Константинов Александр Юрьевич – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: constantinov.al@yandex.ru

1. Young C.W. Depth prediction for earth-penetrating projectiles // ASCE Journal of Soil Mechanics and Foundation Engineering. – 1969. – Vol. 95(SM3). – P. 803–817.
2. Young C.W. Penetration Equations // Contractor Report. SAND 97-2426. – Sandia National Laboratories, Albuquerque, N.Mexico, October 1997. – 37 p.
3. Григорян С.С. О приближенном решении некоторых задач динамики грунтов // ПММ. – 1962. – Т. 26. – Вып. 5. – С. 944–946.
4. Сагомонян А.Я. Проникание. – М.: Изд-во МГУ, 1974. – 299 с.
5. Kumano A., Goldsmith W. Projectile impact on soft, porous rock // Rock Mechanics. – 1982. – Vol. 15/3. – P. 113–132.
6. Колесников В.А. Об изменении траектории метеорита при входе в грунт // Изв. АН СССР. МТТ. – 1981. – № 4. – С. 99–104.
7. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Алексеев H.A. Вопросы динамики грунтов. – М.: Изд-во МГУ, 1964. – 237 с.
8. Forrestal M.J., Longcope D.B., Norwood F.R. А mоdel tо estimate forces on coniсаl pеnеtrаtions into pоrоus rock // Trans. АSМЕ. Ser. E. Journal of Applied Mechanics. – 1981. – Vol. 48. – No. 3. – P. 25–29.
9. Любин Л.Я., Повицкий А.С. Косой удар твердого тела о грунт // ПМТФ. – 1966. – № 1. – С. 83–92.
10. Сагомонян А.Я., Филимонов В.А. К проблеме наклонного проникания осесимметричного тела в грунт // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. – 1984. – № 6. – С. 90–93.
11. Звягин А.В., Сагомонян А.Я. Косой удар по пластине из идеально пластического материала // МТТ. – 1985. – № 1. – С. 159–163.
12. Бабаков В.А., Шабунин Е.В Об одном методе расчета пневмопpобойника в дефоpмиpуемой среде // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. – 1987. – № 1. – С. 105–110.
13. Деменьшин Д.А., Крылов С.В. Численное моделирование процессов нормального проникания жестких тел в пористые грунты // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических процессов: межвуз. сб. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 1991. – С. 103–106.
14. Forrestal M.J., Longcope D.B., Norwood F.R. Penetration into targets described by locked hydrostats and shear strength // International Journal of Solids and Structures. – 1981. – Vol. 17. – No. 9. – P. 915–924.
15. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Ballistic Impact: Recent Advances in Analytical Modeling of Plate Penetration Dynamics–A Review // Applied Mechanics Reviews. – 2005. – Vol. 58. – P. 355–371. DOI: 10.1115/1.2048626
16. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Shape optimization of high-speed penetrators: a review // Central European Journal Engineering. – 2012. – Vol. 2. – No 4. – P. 473–482. DOI: 10.2478/s13531-012-0022-4
17. Omidvar M., Iskander M., Bless S. Response of granular media to rapid penetration // International Journal of Impact Engineering. – 2014. – Vol. 66. – P. 60–82. DOI: org/10.1016/j.ijimpeng.2013.12.004
18. Forrestal M.J, Luk V.K. Dynamic spherical cavity-expansion in a compressible elastic-plastic solid // ASME Journal of Applied Mechanics. – 1988. – Vol. 55. – P. 275–279.
19. Аптуков В.Н. Pасшиpение сфеpической полости в упpугопластической сжимаемой сpеде. Сообщ. 2. Влияние инеpционныx сил. Темпеpатуpные эффекты // Проблемы прочности. – 1991. – № 12. – С. 11–14.
20. Аптуков В.Н., Хасанов А.Р. Расширение цилиндрической полости в сжимаемой упругопластической среде // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2017. – № 1. – С. 5–23. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.1.01
21. Durban D., Masri R. Dynamic spherical cavity expansion in a pressure sensitive elastoplastic medium // International Journal of Solids and Structures. – 2004. – Vol. 41. – P. 5697–5716. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2004.03.009
22. Решение задачи о расширении сферической полости в грунтовой среде в предположении несжимаемости за фронтом ударной волны / Е.Ю. Линник [и др.] // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. – Н. Новгород, 2012. – Вып. 74. – С. 49–57.
23. Анализ моделей расчета движения тел вращения минимального сопротивления в грунтовых средах / В.Г. Баженов [и др.] // ПММ. – 2014. – Т. 78. – Вып. 1. – С. 98–115. DOI: org/10.1016/j.jappmathmech.2014.05.008
24. Forrestal M.J., Luk V.K. Penetration into soil targets // International Journal of Impact Engineering. – 1992. – Vol. 12. – No. 3. – P. 427–444.
25. Forrestal M.J. Tzou D.Y. A spherical cavity-expansion penetration model for concrete targets // International Journal of Solids and Structures. – 1997. – Vol. 34 (31–32). – P. 4127–4146.
    DOI: org/10.1016/S0020-7683(97)00017-6
26. Chen X.W., Li Q.M. Deep penetration of a non-deformable projectile with different geometrical characteristics // International Journal of Impact Engineering. – 2002. – Vol. 27. – No. 6. – P. 619–637.
27. Rosenberg Z., Dekel E. A numerical study of the cavity expansion process and its application to long-rod penetration mechanics // International Journal of Impact Engineering. – 2008. – Vol. 35. – No. 3. – P. 147–154.
28. Forrestal M.J., Warren T.L. Penetration equations for ogive-nose rods into aluminum targets // International Journal of Impact Engineering. – 2008. – Vol. 35. – No. 8. – P. 727–730.
29. Forrestal M.J., Warren T.L. Perforation equations for conical and ogival nose rigid projectiles into aluminum target plates // International Journal of Impact Engineering. – 2009. – Vol. 36. – No. 2. – P. 220–225.
30. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. High-Speed Penetration Dynamics: engineering models and methods // World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2013. – 680 p.
31. Ben-Dor, G., Dubinsky, A., Elperin T. Engineering models of high speed penetration into geological shields // Central European Journal of Engineering. – 2014. – Vol. 4. – No. 1. – P. 1–19. DOI: 10.2478/s13531-013-0135-4
32. A model of depth calculation for projectile penetration into dry sand and comparison with experiments / Cuncheng Shi, Mingyang Wang, Jie Li, Mengshen Li // International Journal of Impact Engineering. – 2014. – Vol. 73. – P. 112–122. DOI: org/10.1016/j.ijimpeng.2014.06.010
33. Осипенко К.Ю. Проникание тела вращения в упругопластическую среду // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2009. – № 1. – С. 169–180. DOI: 10.3103/S0025654409020174
34. Расчет проникания недеформируемых ударников в малопрочные преграды с использованием данных пьезоакселерометрии / В.А. Велданов [и др.] // Журнал технической физики. – 2011. –Т. 81, № 7. – С. 94–104. DOI: 10.1134/S1063784211070231
35. Осипенко К.Ю. Об устойчивости пространственного движения тела вращения в упругопластической среде // Изв. РАН. МТТ. – 2012. – № 2. – С. 68–77. DOI: 10.3103/S0025654412020082
36. Якунина Г.Е. Динамика пирамидальных тел в рамках модели локального взаимодействия // Прикладная математика и механика. – 2003. – Т. 67, № 1. – С. 11–23.
37. Якунина Г.Е. Особенности высокоскоростного движения тел в плотных средах // Прикладная математика и механика. – 2012. – Т. 76, № 3. –С. 429–449.
38. Баничук Н.В., Иванова С.Ю. Оптимизация формы жесткого тела, внедряющегося в сплошную среду // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2007. – Вып. 69. – С. 47–57.
39. Баничук Н.В., Иванова С.Ю., Макеев Е.В. О проникании неосесимметричных тел в твердую деформируемую среду и оптимизации формы // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2008. – Т. 4. – С. 178–183.
40. Баженов В.Г., Котов В.Л., Линник Е.Ю. О моделях расчета форм осесимметричных тел минимального сопротивления при движении в грунтовых средах // Докл. Акад. наук. – 2013. – Т. 449, № 2. – С. 156–159. DOI: 10.1134/S102833581303004X
41. Баженов В.Г., Котов В.Л., Линник Е.Ю. Методика численного расчета оптимальных форм тел вращения при движении в грунтовой среде // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 2. – С. 5–20. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.2.01
42. Котов В.Л., Линник Е.Ю., Тарасова А.А. Исследование оптимальных форм осесимметричных тел, проникающих в грунтовые среды // Прикладная механика и техническая физика. – 2016. – Т. 57, № 5. – С. 66–75. DOI: 10.15372/PMTF20160508
43. Применение модели локального взаимодействия для определения силы сопротивления внедрению ударников в песчаный грунт / В.Л. Котов [и др.] // Прикладная механика и техническая физика. – 2013. – Т. 54, № 4. – С. 114–125. DOI: 10.1134/S0021894413040123
44. Котов В.Л., Константинов А.Ю. Численное моделирование плоскопараллельного движения конических ударников в грунтовой среде на основе модели локального взаимодействия // Вычислительная механика сплошных сред. – 2014. – Т. 7, № 3. – С. 225–233. DOI: 10.7242/1999-6691/2014.7.2.15
45. Сравнительный анализ методов моделирования проникания и плоскопараллельного движения конических ударников в грунтовой среде / В.Г. Баженов [и др.] // Прикладная механика и техническая физика. – 2015. – Т. 56, № 3. – С. 44–54. DOI: 10.15372/PMTF20150306
46. Бивин Ю.К. Сравнительная оценка проникания звездообразных и конических тел // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1999. – № 4. – 113 с.
47. Бивин Ю.К., Симонов И.В. Механика динамического проникания в грунтовую среду // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2010. – № 6. – С. 157–191. DOI: 10.3103/S0025654410060130
48. Линник Е.Ю., Котов В.Л., Константинов А.Ю. Сравнительный анализ сил сопротивления внедрению конических и пирамидальных тел в упругопластическую среду // Проблемы прочности и пластичности. – 2017. – Т. 79, № 3. – С. 245–255.
49. Пакет программ «Динамика-2» для решения плоских и осесимметричных нелинейных задач нестационарного взаимодействия конструкций со сжимаемыми средами / В.Г. Баженов [и др.] // Мат. моделирование. – 2000. – Т. 12, № 6. – С. 67–72.

На основании линейной термоупругости рассматриваются тонкостенные геометрически нерегулярные объекты в виде ортотропных прямоугольных пластин, которые подкреплены симметричными относительно срединной плоскости ребрами жесткости и стандартным образом отнесены к декартовым координатам. Подкрепляющие ребра параллельны двум противоположным сторонам пластинки, расположенным в направлении набегающего газового потока. За основу взята континуальная модель термоупругой системы «пластинка–ребра». Сингулярные дифференциальные уравнения термоупругости системы «пластинка–ребра» содержат тангенциальные усилия и поперечную нагрузку. Тангенциальные усилия возникают при нагреве пластинки. Поперечная нагрузка, вызванная малым прогибом пластинки, определяется стандартным образом по «поршневой» теории. Тангенциальные усилия предварительно определяются путем решения сингулярных дифференциальных уравнений безмоментной термоупругости геометрически нерегулярной пластинки с учетом краевых условий.

Решение сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости пластинки
в сверхзвуковом потоке газа в квазистатической и динамической постановках задач разыскивается в виде сумм двойных тригонометрических рядов соответственно, с постоянными и переменными по временной координате коэффициентами. Коэффициенты, аппроксимирующие функцию прогиба рядов, определяются методом Галеркина, как решения однородных алгебраических систем или однородных систем дифференциальных уравнений второго порядка в случае динамической постановки задачи с последующим сведением к одному дифференциальному уравнению четвертого порядка
и обращению к критерию Гурвица. Решения приводятся во втором приближении, что соответствует двум полуволнам в направлении потока и одной полуволне в перпендикулярном направлении. На основании стандартных методов анализа статической и динамической устойчивости тонкостенных конструкций определяются критические значения скорости газового потока.

Количественные результаты представлены в виде таблиц, иллюстрирующих влияние геометрических параметров термоупругой системы «пластинка–ребра»: относительной высоты ребер, числа ребер, величины отношения длин сторон пластинки, температуры, анизотропии материала на устойчивость геометрически нерегулярной пластинки в сверхзвуковом потоке газа

Ключевые слова: квазистатика, динамика, обобщенные функции, сингулярный, ортотропный, сверхзвук, пластинка, ребра жесткости, безмоментное состояние, температура, устойчивость. 

Мыльцина Ольга Анатольевна – кандидат физико-математических наук, ассистент, e-mail: omyltcina@yandex.ru

Белосточный Григорий Николаевич – доктор технических наук, профессор, e-mail: belostochny@mail.ru

1. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. – М.: Наука, 1979. – 320 с.
2. Амбарцумян С.А. Багдасарян Ж.Е. Об устойчивости ортотропных пластинок, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа // Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение. – 1961. – № 4. – С. 91–96.
3. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Выпучивание и установившийся флайтер термически сжатых панелей, находящихся в сверхзвуковом потоке // Инж. журн. – 1961. – № 2. – С. 82–96.
4. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе // Прикладная математика и механика. – 1956. – № 2. – С. 211–222.
5. Дун Мин дэ. Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании // ДАН СССР. – 1958. – № 4. – С. 726–729.
6. Огибалов П.М., Грибанов В.Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. – М.: Изд-во МГУ, 1968. – 520 с.
7. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. – М.: Изд-во МГУ, 1963. – 417 с.
8. Болотин В.В. Температурное выпучивание пластин и пологих оболочек в сверхзвуковом потоке газа // Расчеты на прочность. – М.: Машгиз, 1960. – Вып. 6. – С. 190–216.
9. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. – 1970. – Вып. 4. – С. 150–166.
10. Белосточный Г.Н., Ульянова О.И. Континуальная модель композиции из оболочек вращения с термочувствительной толщиной // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2011. – № 2. – С. 32–40.
11. Белосточный Г.Н., Рассудов В.М. Континуальная модель термочувствительной ортотропной системы «оболочка–ребра» с учетом влияния больших прогибов // Механика деформируемых сред: сб. ст. – Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та. – 1983. – Вып. 8. – С. 10–22.
12. Белосточный Г.Н., Рассудов В.М. Континуальный подход к термоустойчивости упругих систем «пластинка–ребра» // Прикладная теория упругости: сб. ст. – Саратов: Изд-во Сарат. политехн. ин-та, 1980. – С. 94–99.
13. Белосточный Г.Н., Рассудов В.М. Секвенциальный подход к построению моделей термоупругих систем в виде пологих оболочек переменной толщины и оболочек, подкрепленных ребрами жесткости сложного очертания / Сарат. политехн. ин-т. – Саратов, 1982. – 23 с. Деп. В ВИНИТИ 28.12.82. № 6449-82.
14. Жилин П.А. Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами // Изв. АН СССР. МТТ. – 1966. – № 5. – С. 139–142.
15. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек. Прочность гидротурбин // Тр. ЦКТИ. Вып. 8. – Л., 1968. – С. 46–70.
16. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Вариационный метод вывода нелинейных уравнений движения пологих ребристых оболочек // Вестн. гражд. инженеров. – 2008. – № 4 (17). – С. 121–124.
17. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемешениях. – Л.: Стройиздат. Ленингр. отделение, 1986. – 168 с.
18. Белосточный Г.Н., Мыльцина О.А. Уравнения термоупругости композиций из оболочек вращения // Вестн. Сарат. техн. ун-та. – 2011. – Т. № 4, № 1. – С. 56–64.
19. Онанов Г.Г. Уравнения с сингулярными коэффициентами типа дельта-функции и ее производных // Докл. Акад. наук СССР. – 1970. – Т. 191, № 5. – С. 997–1000.
20. Белосточный Г.Н., Гущин Б.А. Секвенциальный подход к интегрированию линейного дифференциального уравнения // Прикладная теория упругости: межвуз. науч. сб. – Саратов: Изд-во Сарат. политехн. ин-та. – 1989. – С. 92–99.
21. Белосточный Г.Н. Аналитические методы определения замкнутых интегралов сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости геометрически нерегулярных оболочек // Докл. Акад. воен. наук. – 1999. – № 1. – С. 14–26.
22. Ильюшин А.А. Закон плоских сечений в аэродинамики больших сверхзвуковых скоростей // ПММ. – 1956. – № 6. – С. 733–755.
23. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. – М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. – 888 с.
24. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций (Секвенциальный подход). – М.: Мир, 1976. – 311 с.
25. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, гл. ред.я физ.-мат. лит., 1976. – 280 с.
26. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. – М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. – 470 с.
27. Канторович Л.В., Крылов В.И. приближенные методы высшего анализа. – Л., М.: Гос. изд-во техн. теор. лит., 1949. – 695 с.
28. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике. – Л., М.: Гос. изд-во техн. теор. лит., 1948. – 400 с.
29. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. – М.: Мир, 1985. – 589 с.
30. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. – М.: Наука, 1967. – 984 с.
31. Белосточный Г.Н., Рассудов В.М. Термоупругие системы типа «пластинка–ребра» в сверхзвуковом потоке газа // Прикл. теория упругости: межвуз. науч. сб. – Саратов: Изд-во Сарат. политехн. ин-та, 1983. – С. 114–121.
32. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Энергия, 1967. – 648 с.

Арамидные ткани широко применяются в защитных бронеструктурах (бронежилеты, каски и др.). Наиболее важной задачей при разработке таких структур является уменьшение доли кинетической энергии пули, передаваемой объекту, расположенному за бронепанелью, и выражающейся в снижении величины динамического прогиба тыльной стороны бронепанели. Литературные источники связывают значительную часть энергии, поглощаемой бронепанелью, с работой сил трения вытягиваемых нитей. В данной работе представлен технологичный способ управления процессом сухого трения между нитями – поверхностная обработка различными составами (суспензия ПВА, канифоль, силиконовая смазка) с незначительным утяжелением ткани.

В экспериментальной части статьи представлены результаты квазистатических испытаний на вытягивание нити из арамидной ткани полотняного переплетения P110 с разными типами поверхностной обработки, получены зависимости «нагрузка – перемещение». Для примера поверхностная обработка тканей ПВА с утяжелением до 6% позволяет увеличить фрикционное взаимодействие между нитями в четыре раза. Упругие и прочностные характеристики арамидных нитей были определены при квазистатическом нагружении. Коэффициент трения между нитями в сухой ткани был определен экспериментально.

В расчетной части статьи была разработана малопараметрическая численная модель вытягивания нити из ткани Р110 в пакете программ LS-DYNA, реализующем метод конечных элементов в явной постановке. Показано, что поверхностную обработку ткани (и повышение/понижение усилий вытягивания) в численной модели можно адекватно описать изменением коэффициента сухого трения. Были получены расчетные зависимости нагрузки от перемещения при вытягивании нити из ткани с поверхностными обработками и без нее, которые лежат в соответствующих полосах разброса экспериментальных данных.

Ключевые слова: арамидная ткань, вытягивание нити из ткани, поверхностная обработка, механические свойства, предел прочности, коэффициент трения, эксперимент, конечно-элементный анализ, LS-DYNA, суперкомпьютерное моделирование.

Игнатова Анастасия Валерьевна – инженер, e-mail: ignatovaav@susu.ru

Долганина Наталья Юрьевна – кандидат технических наук, доцент, e-mail: dolganinani@susu.ru

Сапожников Сергей Борисович – доктор технических наук, профессор, 76, e-mail: ssb@susu.ru

Шаблей Александра Андреевна – программист, e-mail: shableiaa@susu.ru

1. Lightweight ballistic composites / ed. A. Bhatnagar. – Cambridge: Woodhead publishing limited, 2006. – 429 p.
2. Материалы и защитные структуры для локального и индивидуального бронирования / В.А. Григорян, И.Ф. Кобылкин, В.М. Маринин, Е.Н. Чистяков. – М.: РадиоСофт, 2008. – 406 с.
3. Харченко Е.Ф., Ермоленко А.Ф. Композитные, текстильные и комбинированные бронематериалы / ОАО «ЦНИИСМ». – М., 2013. – 294 с.
4. Кобылкин И.Ф., Селиванов В.В. Материалы и структуры легкой бронезащиты: учебник. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. – 191 с.
5. Харченко Е.Ф. Закономерности и парадоксы разрушения текстильных бронематериалов при осколочном воздействии // Вопросы оборонной техники. Сер. 15. – 2008. – Вып. 1(148)–2(149). – С. 3–6.
6. Experimental study and modeling of single yarn pull-out behavior of Kevlar®49 fabric / D. Zhu, C. Soranakom, B. Mobasher, S.D. Rajan // Composites: Part A. – 2011. – Vol. 42. – P. 868–879. DOI: 10.1016/j.compositesa.2011.03.017
7. Experimental investigation of the role of frictional yarn pull-out and windowing on the probabilistic impact response of Kevlar fabrics / G. Nilakantan, R.L. Merrill, M. Keefe, J.W. Gillespie Jr., E.D. Wetzel // Composites: Part B. – 2015. – Vol. 68. – P. 215–229. DOI: 10.1016/j.compositesb.2014.08.033
8. Determination of inter-yarn friction and its effect on ballistic response of para-aramid woven fabric under low velocity impact / S. Das, S. Jagan, A. Shaw, A. Pal // Composite Structures. – 2015. – Vol. 120. – P. 129–140. DOI: 10.1016/j.compstruct.2014.09.063
9. Пат. 2100748 Российская Федерация, МПК⁶ F 41 H 1/02, B 32 B 27/04. Композиционный пулезащитный материал / Сапожников С.Б., Понькин А.В., Шульженко С.И.; заявитель и патентообладатель С.Б. Сапожников, А.В. Понькин, С.И. Шульженко. – № 93042738/02; заявл. 26.08.93, опубл. 27.12.97. Бюл. № 36. – 6 с.
10. Долганина Н.Ю. Деформирование и разрушение слоистых тканевых пластин при локальном ударе: дис. ... канд. техн. наук : 01.02.06. – Челябинск, 2010. – 128 с.
11. Пат. 2175035 Российская Федерация, МПК⁷ D 03 D 15/00, F 41 H 1/02. Ткань для баллистической защиты и баллистический защитный тканевой пакет на ее основе / Бова В.Г., Федоров В.А., Тихонов И.В., Бащенко А.П., Слугин И.В., Ситуха В.Н., Лебедева Н.А., Львов В.В., Анилионис Г.П., Васильев Ю.Л., Карусевич А.С.; заявитель и патентообладатель НПП «Термостойкий текстиль». – № 99127977; заяв. 30.12.1999; опубл. 20.10.2001. Бюл. № 29. – 8 с.
12. Effect of fabric stitching on ballistic impact resistance of natural rubber coated fabric systems / M.R. Ahmad, W.Y.W. Ahmad, J. Salleh, A. Samsuri // Materials and Design. – 2008. – Vol. 29. – P. 1353–1358. DOI: 10.1016/j.matdes.2007.06.007
13. Karahan M., Kus A., Eren R. An investigation into ballistic performance and energy absorption capabilities of woven aramid fabrics // International Journal of Impact Engineering. – 2008. – Vol. 35. – P. 499–510. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2007.04.003
14. Kang T.J., Lee S.H. Effect of stitching on the mechanical and impact properties of woven laminate composite // Journal of Composite Materials. – 1994. – Vol. 28. – No. 16. – P. 1574–1587. DOI: 10.1177/002199839402801604
15. Ballistic performance of p-aramid fabrics impregnated with shear thickening fluid; Part I – Effect of laminating sequence / J.L. Park, B. II Yoon, J.G. Paik, T.J. Kang // Textile Research Journal. – 2012. – Vol. 82. – No. 6. – P. 527–541. DOI: 10.1177/0040517511420753
16. Blunt trauma performance of fabric systems utilizing natural rubber coated high strength fabrics / M.R. Ahmad, W.Y.W. Ahmad, A. Samsuri, J. Salleh, M.H. Abidin // Proceeding of the International Conference on Advancement of Materials and Nanotechnology (ICAMN 2007, 29 May – 1 June 2007). – Langkawi, 2010. – Vol. 1217. – No. 1. – P. 328–334. DOI: 10.1063/1.3377838
17. Gawandi A., Thostenson E.T., Gilllespie J.W. Jr. Tow pullout behavior of polymer-coated Kevlar fabric // Journal of Materials Science. – 2011. – Vol. 46. – No. 1. – P. 77–89. DOI: 10.1007/s10853-010-4819-3
18. Majumdar A., Butola B.S., Srivastava A. Development of soft composite materials with improved impact resistance using Kevlar fabric and nano-silica based shear thickening fluid // Materials and Design. – 2014. – Vol. 54. – P. 295–300. DOI: 10.1016/j.matdes.2013.07.086
19. Моссаковский П.А., Колотников М.Е., Антонов Ф.К. Исследование процесса пробивания многослойной преграды из тканевого композита с нанокомпозитной пропиткой // Авиационно-космическая техника и технология. – 2009. – Т. 10, № 67. – С. 151–155.
20. Lee B.-W., Kim I.-J., Kim Ch.-G. The Influence of the Particle Size of Silica on the Ballistic Performance of Fabrics Impregnated with Silica Colloidal Suspension // Journal of Composite Materials. – 2009. – Vol. 43. – No. 23. – P. 2679–2698. DOI: 10.1177/0021998309345292
21. Lee B.-W., Kim C.-G. Computational analysis of shear thickening fluid impregnated fabrics subjected to ballistic impacts // Advanced Composite Materials. – 2012. – Vol. 21. – No. 2. – P. 177–192. DOI: 10.1080/09243046.2012.690298
22. Hassan T.A., Rangari V.K., Jeelani S. Synthesis, processing and characterization of shear thickening fluid (STF) impregnated fabric composites // Materials Science and Engineering A. – 2010. – Vol. 527. – P. 2892–2899. DOI: 10.1016/j.msea.2010.01.018
23. Stab and puncture characterization of thermoplastic-impregnated aramid fabrics / J.B. Mayo Jr., E.D. Wetzel, M.V. Hosur, S. Jeelani // International Journal of Impact Engineering – 2009. – Vol. 36. – P. 1095–1105. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2009.03.006
24. Харченко Е.Ф., Заикин С.В. Материалы на основе арамидных волокон для защиты от холодного оружия // Вопросы оборонной техники. Сер. 15. – 2000. – № 1(122). – С. 28–29.
25. Соловьева Е.А., Курмашова И.А. Исследование механизма взаимодействия колющего оружия с защитными структурами на основе высокопрочных волокон // Вопросы оборонной техники. Сер. 15. Композиционные неметаллические материалы в машиностроении. – 2015. – Вып. 4(179). – С. 60–65.
26. Пат. 2206858 Российская Федерация, МПК⁷ F 41 H 1/02, 5/04. Защитная одежда от колющего удара и пули / Фельс А., Беттгер К., Поллигкайт В., Ной Ш., Клингспор К.; заявитель и патентообладатель «Тварон ПРОДАКТС ГМБХ». – № 2000122093/02; заявл. 18.01.1999; опубл. 20.06.2003, Бюл. № 17. – 13 с.
27. Баженов С.Л., Гончарук Г.П. Исследование трения нитей в арамидных тканях // Высокомолекулярные соединения. Сер. А. – 2012. – Т. 54, № 10. – С. 1532–1538.
28. A method for inter-yarn friction coefficient calculation for plain wave of aramid fibers / H. Lopez-Galvez, M. Rodriguez-Millan, N. Feito, H. Miguelez // Mechanics Research Communications. – 2016. – Vol. 74. – P. 52–56. DOI: 10.1016/j.mechrescom.2016.04.004
29. Tapie E., Guo Y.B., Shim V.P.W. Yarn mobility in woven fabrics – a computational and experimental study // International Journal of Solids and Structures. – 2016. – Vol. 80. – P. 212–226. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2015.11.005
30. Finite element simulation of a yarn pullout test for plain woven fabrics / M. Valizadeh, S. Lomov, S.A.H. Ravandi, M. Salimi, S. Z. Rad // Textile Research Journal. – 2010. – Vol. 80. – No. 10. – P. 892–903. DOI: 10.1177/0040517509346436
31. Dong Z., Sun C.T. Testing and modeling of yarn pull-out in plain woven Kevlar fabrics // Composites: Part A. – 2009. – Vol. 40. – P. 1863–1869. DOI: 10.1016/j.compositesa.2009.04.019
32. Lim C.T., Shim V.P.W., Ng Y.H. Finite-element modeling of the ballistic impact of fabric armor // International Journal of Impact Engineering. – 2003. – Vol. 28. – P. 13–31. DOI: 10.1016/S0734-743X(02)00031-3
33. Tan V.B.C., Ching T.W. Computational simulation of fabric armour subjected to ballistic impacts // International Journal of Impact Engineering. – 2006. – Vol. 32. – No. 11. – P. 1737–1751. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2005.05.006
34. Barauskasa R., Abraitiene A. Computational analysis of impact of a bullet against the multilayer fabrics in LS-DYNA // International Journal of Impact Engineering. – 2007. – Vol. 34. – P. 1286–1305. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2006.06.002
35. Numerical analysis of a ballistic impact on textile fabric / C. Ha-Minh, A. Imad, T. Kanit, F. Boussu // International Journal of Mechanical Sciences. – 2013. – Vol. 69. – P. 32–39. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2013.01.014
36. Sapozhnikov S.B., Forental M.V., Dolganina N.Yu. Improved methodology for ballistic limit and blunt trauma estimation for use with hybrid metal/textile body armor // Proceeding of conference “Finite element modelling of textiles and textile composites” – St-Petersburg, 2007. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM).
37. Meso modelling for composite preform shaping – Simulation of the loss of cohesion of the woven fibre network / S. Gatouillat, A. Bareggi, E. Vidal-Sallé, P. Boisse // Composites: Part A. – 2013. – Vol. 54. – P. 135–144. DOI: 10.1016/j.compositesa.2013.07.010
38. Игнатова А.В., Сапожников С.Б. Обработка поверхности арамидной ткани для управления поглощением энергии удара в слоистых композитах // Композиты и наностуктуры. – 2015. – Т. 7, № 4. – С. 231–240.
39. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: в 2 т. – М.: Наука, 1979. – Т. 1. – 272 с.
40. Nikonova E.A., Pakshver A.B. The friction properties of textile yarns // Fibre Chemistry. – 1973. – Vol. 4. – No. 6. – P. 657–660.
41. LS-DYNA R7.0 Keyword user's manual / LSTC, 2013. – URL: http://www.lstc.com
42. Nilakantan G., Nutt, S. Effects of clamping design on the ballistic impact response of soft body armor // Composite Structures. – 2014. – Vol. 108. – P. 137–150. DOI: 10.1016/j.compstruct.2013.09.017
43. Finite element analysis of projectile size and shape effects on the probabilistic penetration response of high strength fabrics / G. Nilakantan, E.D. Wetzel, T. Bogetti, J.W. Gillespie // Composite Structures. – 2012. – Vol. 94. – No. 5. – P. 1846–1854. DOI: 10.1016/j.compstruct.2011.12.028
44. Effect of statistical yarn tensile strength on the probabilistic impact response of woven fabrics / G. Nilakantan, M. Keefe, E.D. Wetzel, T.A. Bogetti, J.W. Gillespie // Composites Science and Technology. – 2012. – Vol. 72. – No. 2. – P. 320–329. DOI: 10.1016/j.compscitech.2011.11.021
45. Костенецкий П.С., Сафонов А.Ю. Суперкомпьютерный комплекс ЮУрГУ // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ’2016): сб. ст. 10-й Междунар. науч. конф. (28 марта – 1 апреля 2016 г.). – Архангельск, 2016. – С. 561–573.

Настоящая работа посвящена решению задачи о возмущении напряженно-деформированного состояния упругого изотропного полупространства шаровой неоднородностью упругих свойств для случая действия на полупространство только силы тяжести и случая дополнительно наложенного сдвига в горизонтальной плоскости. Получено аналитическое решение для компонент вектора перемещений и объемной деформации, выраженное через потенциалы и квазипотенциалы шара, для случая действия на полупространство только сил тяжести и случая суперпозиции сил тяжести и сдвига в горизонтальной плоскости. На примере конкретного сейсмического события показано, что вклад гравитационных сил в возмущение напряженно-деформированного состояния полупространства шаровой неоднородностью упругих свойств (распределение относительно объемной деформации) не является малым. С использованием полученного аналитического решения для случая действия только сил тяжести показано, что распределение объемной деформации является осесимметричным относительно оси z. Вокруг шаровой неоднородности упругих свойств в изотропном упругом полупространстве формируются зона относительного сжатия, расположенная по простиранию неоднородности, и зоны относительного растяжения, расположенные над и под неоднородностью. Отличительной особенностью зон относительного растяжения является их предельный размер, тогда как размер зоны относительного сжатия растет при уменьшении величины объемной деформации.

При добавлении в решение слагаемого, связанного со сдвигом в в горизонтальной плоскости, симметрия не нарушается, но нарушается равенство по модулю объемных деформаций в соседних октантах. Размеры и геометрия изоповерхностей объемной деформации при учете сил тяжести в задачи сдвига в горизонтальной плоскости существенно меняется. В зависимости от направления оси максимального растяжения полупространства с неоднородностью происходит увеличение размеров зон относительного сжатия и соответствующее уменьшение размеров зон относительного растяжения с изменением формы обеих.

Ключевые слова: неоднородность упругих свойств, объемные потенциалы и квазипотенциалы, подготовка землетрясения, задача Эшелби, чистый сдвиг.

Пантелеев Иван Алексеевич – кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, e-mail: pia@icmm.ru

Полтавцева Евгения Викторовна – научный сотрудник, e-mail: jenya@kscnet.ru

Мубассарова Виргиния Анатольевна – младший научный сотрудник, e-mail: helmik69@gmail.com

Гаврилов Валерий Александрович – кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: vgavr@kscnet.ru

1. Eshelby J.D. The Determination of the Elastic Field of an Ellipsoidal Inclusion, and Related Problems // Proc. R. Soc. London. – 1957. – A241. – P. 376–396.
2. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. – М.: Иностр. лит., 1963. – 248 с.
3. Tsuchida E., Mura T. The Stress Field in an Elastic Half Space Having a Spheroidal Inhomogeneity Under All-Around Tension Parallel to the Plane Boundary // J. Appl. Mech. – 1983. – Vol. 50. – No. 4a. – P. 807–816.
4. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Устинов К.Б. Влияние поверхностных остаточных напряжений и поверхностной упругости на деформирование шарообразных включений нанометровых размеров в упругой матрице // Физическая мезомеханика. – 2010. – Т. 13, № 5. – С. 127–138.
5. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Интегральные уравнения задачи об упругом включении. Полное аналитическое решение задачи об эллиптическом включении // Изв. Рос. акад. наук. Механика твердого тела. – 2004. – № 1. – С. 50–76.
6. Chang-Hung Kuo. Stress disturbances caused by the inhomogeneity in an elastic half-space subjected to contact loading // International Journal of Solids and Structures. – 2007. – Vol. 44 – No. 3–4. – P. 860–873.
7. Eshelby problem of an arbitrary polygonal inclusion in anisotropic piezoelectric media with quadratic eigenstrains / Y. M. Yue, K. Y. Xu, Q. D. Chen, E. Pan // Acta Mechanica. – 2015. – Vol. 226. – No. 7. – P. 2365–2378.
8. Withers P.J. The Deformation of the Elastic Field of an Ellipsoidal Inclusion in Transversely Isotropic Medium, and Its Relevance to Composite Materials // Philosophical Magazine. – 1989. – A59. – P. 759–781.
9. Jiang Dazhi. Viscous inclusions in anisotropic materials: Theoretical development and perspective applications // Tectonophysics. – 2016. – Vol. 693. – P. 116–142.
10. Семенова Д.В., Устинов К.Б. Некоторые асимптотические разложения компонент тензора Эшелби в случае кубической и гексагональной анизотропии // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2010. – № 4. – С. 80–100.
11. Березкин В.А. О построении тензора Эшелби для слабоанизотропной упругой среды // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, Механика. – 2011. – № 1. – С. 73–76.
12. Song Zhi-ping, Yin Xiang-chu, Mei Shi-rong. Theoretical analysis of the spatio-temporal evolution of the bulk-strain field based on a rheologic inclusion model // Acta Seismologica Sinica. – 2000. – Vol. 13. – No. 5. – P. 525–535.
13. Song Zhi-ping, Yin Xiang-chu, Mei Shi-rong. 3-D rheologic model of earthquake preparation (I) – Displacement field // Acta Seismologica Sinica. – 2003. – Vol. 16. – No. 6. – P. 588–597.
14. Song Zhi-ping, Yin Xiang-chu, Mei Shi-rong. 3-D rheologic model of earthquake preparation (II): Strain field and its applications // Acta Seismologica Sinica. – 2004. – Vol. 17. – No. 2. – P. 131–143.
15. Song Zhi-ping, Yin Xiang-chu, Mei Shi-rong. 3-D rheologic model of earthquake preparation (III): Precursor field // Acta Seismologica Sinica. – 2006. – Vol. 19. – No. 1. – P. 20–29.
16. The Displacement and Strain Field of Three-dimensional Rheologic Model of Earthquake Preparation / Zhiping Song, Xiangchu Yin, Shirong Mei, Yucang Wang, Can Yin, Huihui Zhang, Langping Zhang // Pure and Applied geophysics. – 2006. – Vol. 163. – No. 9. – P. 1991–2009.
17. Цвелодуб И.Ю. О тензоре Эшелби // Прикладная математика и механика. – 2010. – Т. 74, № 2. – C. 346–351.
18. Добровольский И.П. Распределение деформаций и напряжений при подготовке тектонического землетрясения // Физика Земли. – 2003. – № 10. – С. 37–40.
19. Добровольский И.П. Гидродинамические явления // Физика Земли. – 2005. – № 1. – С. 89–96.
20. Добровольский И.П. Математическая теория подготовки и прогноза тектонического землетрясения. – М.: Физматлит, 2009. – 240 с.
21. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. – Минск.: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 1978. – 208 с.
22. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Лещенко П.В. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных композитных материалов. – Киев: Наук. думка, 1989. – 208 с.
23. Шеpмеpгоp Т.Д. Теоpия упpугости микpонеодноpодных сpед. – М.: Наука, 1976. – 399 с.
24. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. – М.: Наука, 1970. – 139 с.
25. Лурье А.И. Теория упругости. – М.: Наука, 1970. – 940 с.
26. Новацкий В. Теория упругости. – М.: Мир, 1975. – 872 с.
27. Panteleev I.A., Gavrilov V.A. Implications of electrokinetic processes for the intensity of geoacoustic emission in the time vicinity of a tectonic earthquake: a theoretical study // Russian Journal of Earth Sciences. – 2015. – Vol. 15. – No. 4. – С. 1a–14.
28. Пантелеев И.А., Полтавцева Е.В., Гаврилов В.А. Изменение НДС в районе измерительной скважины Г-1 на Камчатском геодинамическом полигоне при подготовке близких сильных землетрясений по данным скважинных измерений: численное моделирование // Проблемы геодинамики и геоэкологии внутриконтинентальных орогенов: тез. докл. VII Междунар. симпозиума. К 80-летию со дня рождения выдающегося ученого, основателя и первого директора НС РАН Ю.А. Трапезникова (18.10.1936 – 13.04.1999). – Бишкек, 2017. – С. 257.
29. Ризниченко Ю.В. Размеры очага корового землетрясения и сейсмический момент // Исследования по физике очага землетрясения. – М.: Наука, 1976. – С. 9–18.
30. Алексеев А.С., Белоносов А.С., Петренко В.Е. О концепции многодисциплинарного прогноза землетрясений с использованием интегрального предвестника // Проблемы динамики литосферы и сейсмичности: сб. науч. тр. ГЕОС. Вычислительная сейсмология. – 2001. – Вып. 32. – С. 81–97.
31. Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. – М.-Л.: ОГИЗ-Гостехиздат, 1946. – 318 с.
32. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. – М.: Гостехиздат, 1953. – 406 с.
33. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. – М.: Физматлит, 1963. – 472 с. 

Аддитивные технологии позволяют изготавливать изделия за счет послойного синтеза и таким образом получать изделия сложной формы. Задача численного моделирования физического процесса изготовления деталей с помощью аддитивных технологий является комплексной и должна учитывать различные термомеханические процессы, что неразрывно связано с широким использованием конечно-элементного компьютерного моделирования средствами специализированных программных комплексов, реализующих математические модели процессов. В работе рассматривается разработанный и реализованный в пакете ANSYS алгоритм расчета нестационарных температурных полей и напряженно-деформированного состояния конструкции в процессе ее создания 3D-наплавкой проволочных материалов. Проводится верификация разработанного численного алгоритма решения трехмерной задачи производства металлических изделий с использованием дуговой наплавки проволочных материалов с результатами эксперимента. Задача разделена на краевую задачу нестационарной теплопроводности и краевую задачу термомеханики о напряженно-деформированном состоянии, которые являются несвязанными. Для их решения применяется технология «умерщвления» и последующего «возрождения» части материала (данная технология реализуется в пакете ANSYS). Непрерывное наращивание материала производится дискретно, на каждом шаге расчета, соответствующем «возрождению» очередной подобласти из «мертвых» элементов, решается краевая задача теплопроводности и термомеханики, причем результат решения предыдущего шага служит начальными условием для последующего. Для описания вязкоупругопластического поведения исследуемого сплава использована модель «Ананд». Идентификация модели «Ананд» для исследуемого материала проводилась по данным эксперимента на растяжение с заданной скоростью при различных температурах. Данные, полученные из расчетов по разработанной численной модели, хорошо согласуются с экспериментом.

Ключевые слова: аддитивное производство, аддитивные технологии, наплавка, плавление проволоки, численный анализ, конечно-элементное моделирование, определяющие соотношения, механические свойства, термомеханические характеристики.

Сметанников Олег Юрьевич – доктор технических наук, доцент, e-mail: sou2009@mail.ru

Трушников Дмитрий Николаевич – доктор технических наук, профессор, e-mail: trdimitr@yandex.ru

Максимов Пётр Викторович – кандидат технических наук, доцент, e-mail: pvmperm@mail.ru

Бартоломей Мария Леонидовна – кандидат технических наук, доцент, e-mail: mbartolomey@mail.ru

Ковязин Алексей Вадимович – магистр

1. Elliott J.A. Novel Approaches to Multiscale Modelling in Materials Science // International Materials Reviews. – 2011. – Vol. 56. – P. 207–225.
2. Petrick I., Simpson T. 3D Printing Disrupts Manufacturing // Research-Technology Management. – November-December. – 2013. – P. 15–16.
3. Environmental Aspects of Laser-Based and Conventional Tool and Die Manufacturing / W.R. Morrow, H. Qi, L. Kim, J. Mazumder, S.J. Skerlos // J. Clean Prod. – 2007. – Vol. 15. – P. 932–943.
4. Wray P. Additive Manufacturing: Turning Manufacturing Inside Out // Amer. Ceram. Soc. Bull. – 2014. – Vol. 93. – No. 3. – P. 17–23.
5. Freedman D.H. Layer by Layer // MIT Tech. Rev. – 2012. – Vol. 115. – No.1. – P. 50–53.
6. Direct metal part forming of 316L stainless steel powder by electron beam selective melting / H.B. Qi, Y.N. Yan, F. Lin, W. He, R.J. Zhang // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part B: Journal of Engineering Manufacture. – 2006. – Vol. 220. – No. 11. – P. 1845–1853. DOI: 10.1243/09544054JEM438
7. Metal fabrication by additive manufacturing using laser and electron beam melting technologies / L.E. Murr, S. Gaytan, D.A. Ramirez, E. Martinez, J. Hernandez, K.N. Amato, P.W. Shindo, F. Medina, R.B. Wicker // Journal of Materials Science & Technology. – 2012. – Vol. 28. – No. 1. – P. 1–14. DOI: 10.1016/S1005-0302(12)60016-4
8. Frazier W.E. Metal Additive Manufacturing: A Review // J. Mater. Eng. Performance. – 2014. – Vol. 23. – No. 6. – P. 1917–1928.
9. Louvis E., Fox P., Sutcliffe C.J. Selective laser melting of aluminium components // Journal of Materials Processing Technology. – 2011. – Vol. 211. – P. 275–284. DOI: 10.1016/j.jmatprotec.2010.09.019
10. Capabilities and Performances of the Selective Laser Melting Process / S.L. Campanelli, N. Contuzzi, A. Angelastro, A.D. Ludovico // Polytechnic of Bari, Department of Management and Mechanical Engineering, Viale Japigia, 182 Italy. – URL: http:// cdn.intechopen.com/pdfs/12285/InTech-Capabilities_and_performances_of_the_selective_laser_melting_ process.pdf (accessed 14 September 2017).
11. Анализ структуры образцов, полученных DMLS- и SLM-методами быстрого прототипирования / Ю.А. Безобразов [и др.] // Инновационные технологии в металлургии и машиностроении: материалы 6-й Междунар. молод. науч.-практ. конф. – Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2012. – С. 154–157.
12. On the role of melt flow into the surface structure and porosity development during selective laser melting / C. Qiu, C. Panwisawas, M. Ward, H.C. Basoalto, J.W. Brooks, M.M. Attallah // Acta Materialia. – 2015. – Vol. 96. – No. 1. – P. 72–79. DOI: 10.1016/j.actamat.2015.06.004
13. Electron Beam Additive Manufacturing (EBAM) – Advantages of Wire AM vs. Powder AM // Sciaky Inc. – URL: http://additivemanufacturing.com/2015/10/14/electron-beam-additive-manufacturing-ebam-advantages-of-wire-am-vs-powder-am (accessed 14 September 2017).
14. Jhavar S., Jain N.K., Paul С.P. Development of micro-plasma transferred arc (p-PTA) wire deposition process for additive layer manufacturing applications // Journal of Materials Processing Technology. – 2014. – Vol. 214. – No. 5. – P. 1102–1110.
15. Hybrid Layered Manufacturing using Tungsten Inert Gas Cladding / Sajan Kapil, Fisseha Legesse, Pravin Milind Kulkarni, Joshi Prathmesh, Desai Ankit, K.P. Karunakaran // Progress in Additive Manufacturing. – 2016. – Vol. 1. – No.1. – P. 79–91. DOI: 10.1007/s40964-016-0005-8
16. Overview of modelling and simulation of metal powder bed fusion process at Lawrence Livermore National Laboratory / W. King, A. Anderson, R. Ferencz, N. Hodge, C. Kamath, S. Khairallah // Material Science and Technology. – 2015. – Vol. 31. – No. 8. – P. 957–968.
17. Three-dimensional finite element analysis of temperatures and stresses in wide-band laser surface melting processing / C. Li, Y. Wang, H. Zhan, T. Han, B. Han, W. Zhao // Materials & Design. – 2010. – Vol. 31. – No. 7. – P. – 3366–3373. DOI: 10.1016/j.matdes.2010.01.054
18. Ma L., Bin H. Temperature and stress analysis and simulation in fractal scanning-based laser sintering // International Journal of Advanced Manufacturing Technology. – 2007. – Vol. 34. – No. 9. – P. 898–903.
19. Experimental and Numerical Analysis of Residual Stresses in Additive Layer Manufacturing by Laser Melting of Metal Powders / Ibiye A. Roberts [et al.] // Key Engineering Materials. – 2011. – Vol. 450. – P. 461–465. – URL: http://www.scientific.net/KEM.450.461 (accessed 14 September 2017). DOI: 10.4028/www.scientific.net/KEM.450.461
20. Investigation of Residual Stresses in Selective Laser Melting / L. Parry, I. Ashcroft, D. Bracket, R.D. Wildman // Key Engineering Materials. – 2015. – Vol. 627. – P. 129–132.
21. An experimental investigation into additive manufacturing-induced residual stresses in 316L stainless steel / A. Wu, D. Brown, M. Kumar, G. Gallegos, W. King // Metall. Mater. Trans. – 2014. – Vol. 45A. – P. 1–11.
22. Baufeld B., Van der Biest O., Gault R. Additive manufacturing of Ti–6Al–4V components by shaped metal deposition: Microstructure and mechanical properties // Materials & Design. – 2010. – Vol. 31. – P. 106–111.
23. Macroscopic modelling of the selective beam melting process / D. Riedlbauer, J. Mergheim, A. McBride, P. Steinmann // Proc. Appl. Math. Mech. – 2012. – Vol. 12. – No. 1. – P. 381–382.
24. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения: теория и приложения. – М.: Наука, 1982. – 112 с.
25. New Trajectories in Electron Beam Melting Manufacturing to Reduce Curling Effect / N. Beraud, F. Vignat, F. Villeneuve, R. Dendievel // Procedia C1RP. – 2014. – Vol. 17. – P. 738–743. DOI: 10.1016/j.procir.2014.02.038
26. Simulation of the Laser Beam Melting Process – Approaches for an Efficient Modelling of the Beam-material Interaction / C. Seidel, M.F. Zaeh, M. Wunderer, J. Weirather, T.A. Krol, M. Ott // Procedia C1RP. – 2014. – Vol. 25. – P. 146–153. DOI: 10.1016/j.procir.2014.10.023
27. Simulation of Laser Beam Melting of Steel Powders using the Three-Dimensional Volume of Fluid Method / F.-J. Giirtler, M. Karg, K.-H. Leitz, M. Schmidt // Physics Procedia. – 2013. – Vol. 41. – P. 881–886. DOI: 10.1016/j.phpro.2013.03.162
28. Electron Beam Absorption Algorithms for Electron Beam Melting Processes Simulated by a Three-Dimensional Thermal Free Surface Lattice Boltzmann Method in a Distributed and Parallel Environment / M. Markl, R. Ammer, U. Ljungblad, U. Riide, C. Korner // Procedia Computer Science. – 2013. – Vol. 18. – P. 2127–2136. DOI: 10.1016/j.procs.2013.05.383
29. Mohanty S., Hattel J.H. Numerical Model based Reliability Estimation of Selective Laser Melting Proces // Physics Procedia. – 2014. – Vol. 56. – P. 379–389. DOI: 10.1016/j.phpro.2014.08.135
30. Computer Aided Optimisation of the Thermal Management During Laser Beam Melting Process / A. Ilin, R. Logvinov, A. Kulikov, A. Prihodovsky, H. Xu, V. Ploshikhin, B. Gunther, F. Bechmann // Physics Procedia – 2014. – Vol. 56. – P. 390–399. DOI: 10.1016/j.phpro.2014.08.142
31. Numerical Computation of Component Shape Distortion Manufactured by Selective Laser Melting / L. Papadakis, A. Loizou, J. Risse, J. Schrage // Procedia CIRP. – 2014. – Vol. 18. – P. 90–95. DOI: 10.1016/j.procir.2014.06.l 13
32. Shishkovsky I.V., Volyansky I. Experimental and numerical modelling of function-graded porous filter elements, synthesized by the SLS method // High Value Manufacturing: Advanced Research in Virtual and Rapid Prototyping: Proceedings of the 6th International Conference on Advanced Research in Virtual and Rapid Prototyping. – Leiria, Portugal, 1–5 October 2013. – P. 55.
33. Shaped Metal Deposition Processes / C. Agelet de Saracibar, A. Lundbäck, M. Chiumenti, M. Cervera // Encyclopedia of Thermal Stresses. – Springer Dordrecht, 2014. – P. 4346–4355. DOI: 10.1007/978-94-007-2739-7_808
34. Lundbäck A. Modelling of metal deposition // Finite Elements in Analysis and Design. – 2011. – Vol. 47. – P. 1169–1177.
35. Finite element modeling of multi-pass welding and shaped metal deposition processes / M. Chiumenti, M. Cervera, A. Salmi, C. Agelet de Saracibar, N. Dialami, K. Matsui // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2010. – Vol. 199. – P. 2343–2359.
36. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1982. – 327 с.
37. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. – 336 с.
38. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. – М.: Изд-во МГУ, 1981. – 343 с.
39. Porosity in cast equiaxed alloy 718 Superalloys 718, 625, 706 and Various Derivatives / R.A. Overfelt, V. Sahai, Y.K. Ko, J.T. Berry // Proceedings of the International Symposium on Superalloys 718, 625, 706 and Various Derivatives. – Pennsylvania, Pittsburg, 1994. – P. 189–200.
40. Mechanical properties of hot deformed Inconel 718 and X750 / A. Nowotnik, P. Pędrak, J. Sieniawski, M. Góral // Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering. – 2012. – Vol. 50. – Iss. 2. – P. 74–80.
41. Brown S.B., Kim K.H., Anand L. An internal variable constitutive model for hot working of metals // International Journal of Plasticity. – 1989. – Vol. 5. – P. 95–130.

Волоконно-оптические датчики (ВОД) – стремительно развивающаяся отрасль измерительной техники. Благодаря высоким эксплуатационным свойствам они постоянно расширяют сферу своего применения в различных областях техники. Во всем мире проводится большое количество исследовательских работ в данной области. Большинство опубликованных статей посвящены практическому применению ВОД и принципам их работы с точки зрения оптики и электроники. В данной статье волоконно-оптический датчик рассматривается как механическая система.

Процесс формирования показаний датчика происходит при его взаимодействии с окружающей средой, являющейся носителем измеряемой величины. В этом процессе можно выделить три различных аспекта, определяющих результат измерения: физические (оптические) законы, лежащие в основе передаточной функции датчика, характер взаимодействия датчика с окружающей средой и взаимодействие структурных элементов датчика (даже в самом простом варианте ВОД можно выделить несколько элементов c различными физико-механическими параметрами). Все это играет определяющую роль в формировании показаний и должно учитываться разработчиками датчиков.

В данной работе приведена методика корректировки передаточной функции ВОД, учитывающая все обозначенные аспекты формирования показаний. В качестве примера был рассмотрен волоконно-оптический датчик деформации на основе решетки Брэгга. С помощью математического моделирования определено влияние его конструкции на показания. Оценен вклад отдельных конструктивных элементов (таких как клей, оптическое волокно, подложка с технологическим отверстием и т.д.) в эту величину. Путем обобщения полученных результатов сформулирован общий алгоритм определения влияния конструктивных элементов датчика на его показания. Алгоритм опробован на существующей модели ВОД деформации. Эффективность рассмотренного метода доказана серией лабораторных экспериментов.

Ключевые слова: волоконно-оптический датчик (ВОД) деформации, волоконная брэгговская решетка (ВБР), математическое моделирование, лабораторные испытания.

Созонов Николай Сергеевич – аспирант, e-mail: sozonov.nik@bk.ru

Шардаков Игорь Николаевич – доктор физико-математических наук, профессор, е-mail: shardakov@icmm.ru

1. Возможности, задачи и перспективы волоконно-оптических измерительных систем в современном приборостроении / Гармаш В.Б. [и др.] // Фотон-экспресс. – 2005. – №. 6. – С. 128–140.
2. Буймистрюк Г.Я. Волоконно-оптические датчики для экстремальных условий // Control engineering Россия. – 2013. – №. 3. – С. 34–40.
3. Performance assessment of FBG temperature sensors for laser ablation of tumors / W. Chen [et al.] // Medical Measurements and Applications (MeMeA), IEEE International Symposium on. – IEEE, 2015. – P. 324–328. DOI: 10.1109/MeMeA.2015.7145221
4. Fiber Bragg Grating-based high temperature sensor and its low cost interrogation system with enhanced resolution / V.R. Mamidi [et al.] // Optica Applicata. – 2014. – Vol. 44. – No. 2. – P. 299–308. DOI: 10.5277/oa140210
5. Разработка чувствительного элемента волоконно-оптического тензометрического датчика на основе решеток Брэгга / А.С. Мунько [и др.] // Изв. вузов. Приборостроение. – 2017. – Т. 60, № 4. – С. 340–346. DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-4-340-346
6. Жлуктова И.В. Разработка волоконно-оптического датчика деформации для технической диагностики высоковольтного коммутационного оборудования // Научная перспектива. – 2016. – № 2. – С. 55–57.
7. Design and experimental study on FBG hoop-strain sensor in pipeline monitoring / L. Ren [et al.] // Optical fiber technology. – 2014. – Vol. 20. – No. 1. – P. 15–23. DOI: 10.1016/j.yofte.2013.11.004
8. Design of an enhanced sensitivity FBG strain sensor and application in highway bridge engineering / L. Li [et al.] // Photonic Sensors. – 2014. – Vol. 4. – No. 2. – P. 162–167. DOI: 10.1007/s13320-014-0172-5
9. Процедура решения задач калибровки совмещенных датчиков давления и температуры / А.Ж. Сахабутдинов [и др.] // Нелинейный мир. – 2015. – Т. 13, № 8. – С. 32–38.
10. A high sensitive FBG pressure sensor using thin metal diaphragm / Pachava V.R. [et al.] // Journal of Optics. – 2014. – Vol. 43. – No. 2. – P. 117–121. DOI: 10.1007/s12596-014-0186-9
11. A diaphragm-type fiber Bragg grating pressure sensor with temperature compensation / J. Huang [et al.] // Measurement. – 2013. – Vol. 46. – No. 3. – P. 1041–1046. DOI: 10.1016/j.measurement.2012.10.010
12. Caucheteur C., Guo T., Albert J. Review of plasmonic fiber optic biochemical sensors: improving the limit of detection // Analytical and bioanalytical chemistry. – 2015. – Vol. 407. – No. 14. – P. 3883–3897. DOI: 10.1007/s00216-014-8411-6
13. From conventional sensors to fibre optic sensors for strain and force measurements in biomechanics applications: A review / P. Roriz [et al.] // Journal of biomechanics. – 2014. – Vol. 47. – No. 6. – P. 1251–1261. DOI: 10.1016/j.jbiomech.2014.01.054
14. Петухов С.В., Явелов И.С., Рочагов А.В. Вопросы кардиопульсографии в биомеханике сердечно-сосудистой системы // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2013. – № 6. – С. 79–84.
15. Плешков Д.И., Турбин А.И. Детектор метана как элемент системы мониторинга протяженных объектов (СМПО-М) компании «ПетроЛайт» // Русский инженер. – 2015. – № 1. – С. 38–44.
16. Wang X., Wolfbeis O.S. Fiber-optic chemical sensors and biosensors (2013–2015) // Analytical chemistry. – 2015. – Vol. 88. – No. 1. – P. 203–227. DOI: 10.1021/acs.analchem.5b04298
17. Zhao Y., Deng Z., Wang Q. Fiber optic SPR sensor for liquid concentration measurement // Sensors and Actuators B: Chemical. – 2014. – Vol. 192. – P. 229–233. DOI: 10.1016/j.snb.2013.10.108
18. Overview of fiber optic sensor technologies for strain/temperature sensing applications in composite materials / M. Ramakrishnan [et al.] // Sensors. – 2016. – Vol. 16. – No. 1. – P. 99. DOI: 10.3390/s16010099
19. Измерение неоднородных полей деформаций встроенными в полимерный композиционный материал волоконно-оптическими датчиками / А.Н. Аношкин [и др.] // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2016. – № 5. – С. 42–51.
20. Исследование микроструктурных влажностных деформаций в эпоксидном стеклопластике при тепловлажностной коррозии с помощью волоконно-оптических датчиков деформаций / А.А. Далинкевич [и др.] // Коррозия: материалы, защита. – 2017. – № 3. – С. 42–46.
21. Fiber Bragg grating sensors toward structural health monitoring in composite materials: Challenges and solutions / D. Kinet [et al.] // Sensors. – 2014. – Vol. 14. – No. 4. – P. 7394–7419. DOI: 10.3390/s140407394
22. Zhu Q., Xu C., Yang G. Experimental research on damage detecting in composite materials with FBG sensors under low frequency cycling // International Journal of Fatigue. – 2017. – Vol. 101 – P. 61–66. DOI: 10.1016/j.ijfatigue.2017.03.034
23. Woschitz H., Klug F., Lienhart W. Design and calibration of a fiber-optic monitoring system for the determination of segment joint movements inside a hydro power dam // Journal of Lightwave Technology. – 2015. – Vol. 33. – No. 12. – P. 2652–2657. DOI: 10.1109/JLT.2014.2370102
24. Review: optical fiber sensors for civil engineering applications / C.K.Y. Leung [et al.] // Materials and Structures. – 2015. – Vol. 48. – No. 4. – P. 871–906. DOI: 10.1617/s11527-013-0201-7
25. Barrias A., Casas J.R., Villalba S. A review of distributed optical fiber sensors for civil engineering applications // Sensors. – 2016. – Vol. 16. – No. 5 – P. 748. DOI: 10.3390/s16050748
26. Определение продольных механических напряжений в трубопроводе на основании данных волоконно-оптических датчиков деформации / Р.Р. Исламов [и др.] // Оборудование и технологии для нефтегазового комплекса. – 2016. – № 5. – С. 45–50.
27. Исследование долговременной работоспособности импульсного волоконно-оптического датчика «ДИВО/40С» на реакторе БАРС-4 / А.В. Васильев [и др.] // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Физика радиационного воздействия на радиоэлектронную аппаратуру. – 2016. – № 4. – С. 53–58.
28. Разработка волоконно-оптических систем для учета, мониторинга и прогнозирования работы высоковольтного оборудования в СУБД с web-интерфейсом / М.А. Ураксеев [и др.] // Электротехнические и информационные комплексы и системы. – 2015. – Т. 11, № 1.
29. Dziuda L. Fiber-optic sensors for monitoring patient physiological parameters: A review of applicable technologies and relevance to use during magnetic resonance imaging procedures // Journal of biomedical optics. – 2015. – Vol. 20. – No. 1. – P. 010901-010901. DOI: 10.1117/1.JBO.20.1.010901
30. Massaroni C., Saccomandi P., Schena E. Medical smart textiles based on fiber optic technology: an overview // Journal of functional biomaterials. – 2015. – Vol. 6. – No. 2. – P. 204–221. DOI: 10.3390/jfb6020204
31. Способ измерения параметров жидкостных потоков / Т.И. Мурашкина [и др.] // Новые информационные технологии в медицине, биологии, фармакологии и экологии, 2015. – С. 183–190.
32. Her S.C., Huang C.Y. Effect of coating on the strain transfer of optical fiber sensors // Sensors. – 2011. – Vol. 11. – No. 7. – P. 6926–6941. DOI: 10.3390/s110706926
33. Наймушин И.Г., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Численный анализ деформационных процессов в оптоволоконном датчике // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2012. – № 1. – С. 104–116.
34. Design of a pressure sensor based on optical fiber Bragg grating lateral deformation / F. Urban [et al.] // Sensors. – 2010. – Vol. 10. – No. 12. – P. 11212–11225. DOI: 10.3390/s101211212
35. Бялик А.Д., Гридчин В.А., Чебанов М.А. Особенности проектирования волоконно-оптических датчиков давления рефлектометрического типа // Омский научный вестник. – 2013. – № 3 (123). – С. 268–273.
36. Tonks M.J. Modeling and testing of fast response, fiber-optic temperature sensors: PhD dissertation. – Blacksburg: Virginia Polytechnic Institute and State University, 2006.
37. Волоконные решетки показателя преломления и их применение / С.А. Васильев [и др.] // Квантовая электроника. – 2005. – № 12. – С. 1085–1103.
38. Hill K. O., Meltz G. Fiber Bragg grating technology fundamentals and overview // Journal of lightwave technology. – 1997. – Vol. 15. – No. 8. – P. 1263–1276. DOI: 10.1109/50.618320
39. Варжель С.В. Волоконные брэгговские решетки / Университет ИТМО. – СПб., 2015. – 65 с.
40. Фрайден Дж. Современные датчики: справ. – М.: Техносфера, 2006 – 592 с.

Работа посвящена оценке направления роста трещины в условиях смешанного нагружения (нормальный отрыв и поперечный сдвиг) в изотропном линейно-упругом материале с использованием двух подходов: с помощью обобщенных критериев классической континуальной механики разрушения и атомистического моделирования, выполненного с помощью метода молекулярной динамики в пакете LAMMPS (Large-scale Molecular Massively Parallel Simulator). В рамках континуальной классической линейной механики разрушения использовались два критерия: 1) критерий максимального тангенциального напряжения; 2) критерий минимума плотности упругой энергии деформации на примере пластины с одной центральной трещиной. В каждом критерии разрушения использовалось многопараметрическое представление поля напряжений у вершины трещины – полное асимптотическое разложение М. Уильямса, в котором удерживались высшие приближения. Получены углы направления роста трещины для параметра смешанности нагружения, задающего вид нагружения в полном диапазоне смешанных форм деформирования. Выполнено компьютерное атомистическое моделирование процесса роста трещины в пакете LAMMPS для различных видов смешанного нагружения. Получены углы направления распространения трещины на примере пластины с центральной трещиной для различных значений параметра смешанности нагружения в широком диапазоне температур. Проведено сравнение углов распространения трещины, полученных с помощью двух подходов: подхода континуальной механики разрушения и атомистического моделирования, базирующегося на методе молекулярной динамики. Углы, найденные с помощью многопараметрического асимптотического описания поля напряжений у вершины трещины, находятся в хорошем соответствии с результатами атомистического моделирования, особенно в том случае, когда в асимптотическом разложении М. Уильямса удерживаются высшие приближения (слагаемые высоких порядков).

Ключевые слова: направление роста трещины, смешанное нагружение, критерий максимального тангенциального напряжения, критерий минимума плотности энергии упругой деформации, атомистическое моделирование, метод молекулярной динамики.

1. Кулиев В.Д., Морозов Е.М. Градиентный деформационный критерий хрупкого разруше-
ния // Живучесть и конструкционное материаловедение (ЖИВКОМ-2016): тр. конф. / Институт
машиноведения им. А.А. Благонравова. – М., 2016. – С. 24–27.
2. Матвиенко Ю.Г. Моделирование кинетики развития трещин в поверхностных слоях мате-
риала // Заводская лаборатория. – 2017. – Т. 83, № 1. – С. 65–71.
3. Berto F., Ayatollahi M.R. A review of the local strain energy density approach to V-nothces //
Physical mesomechanics. – 2017. – Vol. 20. – No. 2. – P. 14–27.
4. Matvienko Y.G., Morozov E.M. Two basic approaches in a search of the crack propagation angle //
Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures, 2017. DOI: 10.1111/ffe.12583
5. Rashidi Moghaddam M., Ayatollahi M., Berto F. The application of strain energy density
criterion to fatigue crack growth behavior of cracked components// Theoretical and Applied Fracture
Mechanics. – 2017. – No. 1. – С. 33–56.
6. Rashidi Moghaddam M., Ayatollahi M., Berto F. Mixed mode fracture analysis using
generalized averaged strain energy density criterion for linear elastic materials// International Journal of
Solids and Structures. – 2017. – Vol. 120. – P. 137–145.
7. Razavi M.J., Aliha M.R.M., Berto F. Application of an average strain energy density criterion to
obtain the mixed mode fracture load of granite rock tested with the cracked asymmetric four-point bend
specimen // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2017. – No. 33. – P. 25–33.
8. Malikova L., Vesely V. Estimation of the crack propagation direction in a mixed-mode geometry
via multi-parameter fracture criteria // Frattura ed Integrita Strutturalle. – 2015. – No. 33. – P. 25–32.
9. Malikova L. Multi-parameter fracture criteria for the estimation of crack propagation direction
applied to a mixed-mode geometry // Engineering fracture mechanics. – 2015. – No. 143. – P. 32–46.
10. Malikova L., Vesely V. Influence of the elastic mismatch on crack propagation in a silicatebased
composite // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2017. – Vol. 91. – P. 25–30.
11. Crack propagation in non-homogenous materials: Evaluation of mixed-mode SIFs, T-stress and
kinking angle using a variant of EFG Method / N. Muthu, S.K. Maiti, B.G. Falzon, W. Yan //
Engineering Analysis With Boundary Elements. – 2016. – Vol. 72. – P. 11–26.
12. Berto F., Lazzarin P. Recent developments in brittle and quasi-brittle failure assessment of
engineering materials by means of local approaches // Materials Science and Engineering. – 2014. –
R. 75. – P. 1–48.
13. Sih G.C. Application of Strain – Energy – Density Theory to Fundamental Fracture Problem. –
Institute of Fracture and Solid Mechanical Technical Report, Lehigh University, AFOSR-RT-73-1, 1973.
14. Sih G.C. Strain-energy factor applied to mixed mode crack problems// Int. J. Fracture. –
1974. – Vol. 10. – P. 305–321.
15. Li Q.M. Strain energy density failure criterion // International Journal of Solids and Structures. –
2001. – Vol. 38. – P. 6997–7013.
16. Mirsayar M.M., Razmi A., Berto F. Tangential strain-based criteria for mixed-mode I/II
fracture toughness of cement concrete // Fatigue Fracture Engineering Material and Structures. – 2017. –
P. 1–9. DOI: 10.1111.ffe.12665

17. Wulfinghoff S., Fassin M., Reese S. A damage growth criterion for anisotropic damage models
motivated from micromechanics // International Journal of Solids and Structures. – 2017. – Vol. 121. –
P. 21–32.
18. Ayatollahi M.R., Rashidi Moghaddam M., Berto F. A generalized strain energy density
criterion for mixed mode fracture analysis in brittle and quasi-brittle materials // Theoretical and Applied
Fracture Mechanics. – 2015. – Vol. 79. – P. 70–76.
19. Local strain energy density to predict size-dependent brittle fracture of cracked specimens
under mixed mode loading / F. Berto, M.R. Ayatollahi, T. Borsato, P. Ferro // Theoretical and Applied
Fracture Mechanics. – 2016. – Vol. 86. – P. 217–224.
20. Mirsayar M.M. Mixed mode fracture analysis using extended maximum tangential strain
criterion // Materials and Design. – 2015. – Vol. 86. – P. 941–947.
21. Seitl S., Malikova L. Williams expansion-based approximation of the stress field in an Al 2024
body with a crack from optical measurements // Frattura ed Integrita Strutturalle. – 2017. – No. 41. –
P. 323–331.
22. Stepanova L.V., Roslyakov P.S., Multi-parameter description of the crack-tip stress field:
analytic determination of coefficients of crack-tip stress expansions in the vicinity of the crack tips of
two finite cracks in an infinite plane medium // International Journal of Solids and Structures. – 2016. –
Vol. 100–101. – P. 11–28.
23. Stepanova L., Roslyakov P. Complete Williams asymptotic expansion of the stress field near
the crack tip: Analytical solutions, interference–optic methods and numerical experiments // AIP
Conference Proceedings. – 2016. – Vol. 1785. – 030029.
24. Степанова Л.В., Росляков П.С. Полное асимптотическое разложение М. Уильямса у вер-
шин двух коллинеарных трещин конечной длины в бесконечной пластине // Вестник Пермского
национального исследовательского политехнического универистета. Механика. – 2015. – № 4. –
P. 188–225.
25. Hello G., Tahar M.B., Roelandt J.-M. Analytical determination of coefficients in crack-tip
stress expansions for a finite crack in an infinite plane medium // International Journal of Solids and
Structures. – 2012. – Vol. 49. – P. 556–566.
26. Stepanova L.V., Igonin S.A. Asymptotics of the near-crack-tip stress field of a growing fatigue
crack in damaged materials: Numerical experiment and analytical solution // Numerical Analysis and
Applications. – 2015. – Vol. 8. – No. 2. – P. 168–181.
27. Stepanova L.V., Adylina E.M. Stress-strain state in the vicinity of a crack tip under mixed
loading // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. – 2014. – Vol. 55(5). – P. 885–895.
28. Krepl O., Klusak J. The influence of non-singular terms on the precision of stress description near
a sharp material inclusion tip // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2017. – Vol. 90. – P. 85–99.
29. Stepanova L.V. Eigenspectra and orders of stress singularity at a mode I crack tip for a powerlaw
medium // Comptes Rendus – Mecanique. – 2008. – Vol. 336. – No. 1-2. – P. 232–237.
30. Stepanova L.V. Eigenvalue of the antiplane shear crack problem for a power-law material//
Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. – 2008. – Vol. 49. – No. 1. – P. 142–147.
31. Ayatollahi M.R., Moazzami M. Digital image correlation method for calculating coefficients of
Williams expansion in compact tension specimen // Optics and Lasers in Engineering. – 2017. – Vol. 90. –
P. 26–33.
32. Stepanova L.V., Fedina M.Ye. Self-similar solution of a tensile crack problem in a coupled
formulation // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. – 2008. – Vol. 72. – No. 3. – P. 360–368.
33. Stepanova L.V. Eigenvalue analysis for a crack in power-law material // Computational
Mathematics and Mathematical Physics. – 2009. – Vol. 49. – No. 8. – P. 1332–1347.
34. Malikova L., Klusak J., Kersner Z. Assessment of Crack Stability in a Quasi-brittle Particle
Composite // Procedia Engineering. – 2017. – Vol. 190. – P. 49–53.
35. Stepanova L.V., Yakovleva E.M. Mixed-mode loading of the cracked plate under
plane stress conditions // PNRPU Mechanics Bulletin. – 2014. – No. 3. – P. 129–162. DOI:
10.15593/perm.mech/2014.3.08

Ag, Au, Ni, Pd, Pt, and their alloys // Physical Review B. – 1986. – Vol. 33. – P. 7983–7991.
37. Cui C.B., Beom H.G. Molecular dynamics simulation of edge cracks in copper and aluminium
single crystals // Materials Science and Engineering A. – 2014. – Vol. 609. – P. 102–109. DOI:
10.1016/j.msea.2014.04.101
38. Tsai J.-L., Tzeng S.-H., Tzou Y.-J. Characterizing the fracture parameters of a graphene sheet
using atomistic simulation and continuum mechanics // International Journal of Solids and Structures. –
2010. – Vol. 47. – P. 503–509.
39. Atomistic modeling for mechanism of crack cleavage extension on nano-scale / Y.-J. Gao,
Q.-Q. Deng, L.Ye. Huang, Z.C. Wen, Zhi-R. Luo // Computational Materials Science. – 2017. –
Vol. 130. – P. 64–75.
40. Cui C.B., Lee G.H., Beom H.G. Mixed-mode fracture toughness evaluation of a copper single
crystal using atomistic simulations // Computational Materials Science. – 2017. – Vol. 136. – P. 216–222.
41. Andric P., Curtin W.A. New theory for Mode I crack-tip dislocation emission // Journal of
Mechanics and Physics of Solids. – 2017. – Vol. 106. – P. 315–337.
42. Hardy R.J. Formulas for determining local properties in molecular-dynamics simulations:
shock waves // Journal Chemical Physics. – 1982. – Vol. 76. – P. 622–628.
43. Calculation of stress in atomistic simulation. Calculation of stress in atomistic simulation /
J.A. Zimmerman, E.B. Webb III, J.J. Hoyt, R.E. Jones, P.A. Klein, D.J. Bammann // Modelling and
Simulation in Materials Science and Engineering. – 2004. – Vol. 12. – Iss. 4. – P. S319–S332.
44. Tadmor E.B., Miller R.E. Modeling Materials. Continuum, Atomistic and Multiscaling
Techniques. – Cambridge: Cambridge University Press, 2011. – 789 p.
45. Structural stability and lattice defects in copper: Ab initio, tight-binding, and embedded-atom
calculations / Y. Mishin, M.J. Mehl, D.A. Papaconstantopoulos, A.F. Voter, J.D. Kress // Physical
Review B. – 2001. – Vol. 63. – 224106-1–224106-16.
46. Mishin Y., Farkas D., Mehl M.J., Papaconstantopoulos D.A. Interatomic potentials for
monoatomic metals from experimental data and ab initio calculations // Physical Review B. – 1999. –
Vol. 59. – No. 5. – P. 3393–3407.
47. Molecular Dynamics Simulation of Crack Propagation in Single-Crystal Aluminum Plate with
Central Cracks / J. Ding, L.-S. Wang, K. Song, B. Liu, X. Huang // Journal of Nanomaterials. – 2017. –
5181206. DOI: 10.1155/2017/5181206
48. Molecular dynamics simulation of crack growth behavior in Al in the presence of vacancies /
S. Chandra, N.N. Kumar, M.K. Samal, V.M. Chavan, R.J. Patel // Computational Materials Science. –
2016. – Vol. 117. – P. 518–526.
49. Curtin W.A. What can atomistic modeling contribute to the understanding of fracture // 14th
International Conference on Fracture (ICF 14), June 18–23, 2017. – Rhodes, Greece, 2017.
50. Daw M.S., Baskes M.I. Semiempirical, quantum mechanical calculation of hydrogen
embrittlement in metals // Physical Review. Letters. – 1983. – Vol. 50. – P. 1285–1288.
51. Hoover W.G., Holian B.L. Kinetic moments method for the canonical ensemble distribution //
Physics Letters A. – 1996. – Vol. 211. – No. 5. – P. 253–257. DOI: 10.1016/0375-9601(95)00973-6
52. Stukowski A. Visualization and analysis of atomistic simulation data with OVITO –
the Open Visualization Tool // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. – 2009. –
Vol. 18 (1). – 015012.
53. Stukowski A. Visualisation and Analysis Strategies for Atomic Simulations // Introduction to
Atomistic Simulation Methods. Eds. C.R. Weinberger, G.J. Tucker– Berlin: Springer, 2016. – P. 317–336.
54. Mesh refinement schemes for the concurrent atomistic-continuum method / S. Xu, L. Xiong,
Q. Deng, D.L. McDowell // International Journal of Solids and Structure. – 2016. – Vol. 90. – P. 144–152.
55. Li S., Urat S. An atomistic-to-continuum molecular dynamics: Theory, algorithm, and
applications // Computational Methods of Applied Mechanical Engineering. – 2016. – Vol. 306. –
P. 452–478.
Степанова Л.В., Бронников С.А., Белова О.Н. / Вестник ПНИПУ. Механика 4 (2017) 189–213
211
56. Liew K.M., Yan J.-W., Zhang L.-W. Atomistic Finite Element Method and Coupling With
Atomistic-Continuum Method // Mechanical Behaviors of Carbon Nanotubes. Theoretical and Numerical
Approaches. Elsevier. – 2017. – P. 249–259.
57. Volegov P.S., Gribov D.S., Trusov P.V. Damage and fracture: Review of Experimental Studies //
Physical Mesomechanics Journal. – 2016. – No. 3. – P. 319–331.
58. Volegov P.S., Gribov D.S., Trusov P.V. Damage and Fracture: Classical continuum Theories //
Physical Mesomechanics Journal. – 2017. – No. 2. – P. 157–173.
59. Volegov P.S., Gribov D.S., Trusov P.V. Damage and Fracture: Crystal Plasticity Models //
Physical Mesomechanics Journal. – 2017. – No. 2. – P. 174–184.

Статья является первой частью обзора современных подходов к построению потенциалов межатомного взаимодействия на базе метода погруженного атома (embedded atom method, EAM) для различных однокомпонентных материалов. Приведены основные положения и соотношения метода молекулярной (атомарной) динамики, отмечены недостатки подхода к моделированию атомных систем с использованием классических парных потенциалов взаимодействия. Приведены основные положения и соотношения метода погруженного атома, а также различные модификации метода. Рассмотрен алгоритм использования EAM-потенциалов в расчетах молекулярно-динамических систем, а также способы повышения эффективности вычислительных алгоритмов, в том числе, связанные с введением радиуса обрезания и обоснованием его выбора для тех или иных материалов. В рамках обзора особое внимание уделено способам построения и видам функции погружения для различных материалов, а также физико-механическим свойствам материалов, которые хорошо описываются тем или иным видом потенциала. Приведен краткий обзор способов получения параметров потенциалов: из квантово-механических расчетов (часто в иностранной литературе называемых «из первых принципов», «ab initio») либо с использованием экспериментально определяемых свойств (дифракционными, рентгеновскими методами или при помощи электронной микроскопии), а также перечень физико-механических свойств, которые возможно определять для материала с использованием методов молекулярной динамики с применением современных EAM-потенциалов. Сделана попытка подробно рассмотреть работы, в которых предложены потенциалы,
в настоящий момент наиболее точно описывающие свойства таких сложных (для прямого моделирования) материалов, как бериллий, железо, вольфрам, ниобий, титан, уран, и некоторые другие. Актуальность исследований структуры и свойств именно этих материалов обусловлена во многом перспективностью их применения в деталях
и конструкциях для атомной энергетики, аэрокосмической промышленности, в биомедицине. Отдельно рассмотрены работы, посвященные построению EAM-потенциалов, позволяющих описывать структуру и свойства ряда металлов (лития, никеля, меди, алюминия и других) как в состоянии расплава, так и после кристаллизации.

Ключевые слова: молекулярная динамика, потенциал взаимодействия, метод погруженного атома, EAM, MEAM.

Волегов Павел Сергеевич – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: crocinc@mail.ru

Герасимов Роман Михайлович – студент, e-mail: romagrizly@gmail.com

Давлятшин Роман Позолович – студент, e-mail: romadavly@gmail.com

1. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 509 с.
2. Кривцов А.М. Теоретическая механика. Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов: учеб. пособие. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. – 126 c.
3. Кривцов А.М., Кривцова Н.В. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела // Дальневосточный математический журнал. – 2002. – Т. 3, № 2. – С. 254–276.
4. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред: учеб. – М.: Мир, 1974. – 319 с.
5. Хартри Д. Расчеты атомных структур. – М.: Изд-во Иностранной литературы, 1960. – 272 с.
6. An embedded atom method potential of beryllium / A. Agrawal, R. Mishra, L. Ward, K.M. Flores, W. Windl // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. – 2013. – Vol. 21. – No 8. DOI: 10.1088/0965-0393/21/8/085001
7. Alder B.J., Waingwright T.E. Phase Transition for a Hard Sphere System // J. Chem. Phys. – 1957. – Vol. 27. – No. 5. – P. 1208–1209.
8. Allen M.P., Tildesley A.K. Computer Simulation of Liquids. – Oxford: Clarendon Press, 1987. – 385 p.
9. An analytic MEAM model for all BCC transition metals / Z. Bangwei, O. Yifang, L. Shuzhi, J. Zhanpeng // Physica B: Condensed Matter. – 1999. – Vol. 262. – No. 3-4. – P. 218–225. DOI: 10.1016/S0921-4526(98)01156-9
10. Baskes M.I. Application of the Embedded-Atom Method to Covalent Materials: A Semiempirical Potential for Silicon // Physical Review Letters. – 1987. – Vol. 59. – No. 23. – P. 2666–2669. DOI: 10.1103/PhysRevLett.59.2666
11. Baskes M.I. Determination of modified embedded atom method parameters for nickel // Materials Chemistry and Physics. – 1997. – Vol. 50. – No. 2. – P. 152–158. DOI: 10.1016/S0254-0584(97)80252-0
12. Baskes M.I. Modified embedded-atom potentials for cubic materials and impurities // Physical Review B. – 1992. – Vol. 46. – No. 5. – P. 2727–2742. DOI: 10.1103/PhysRevB.46.2727
13. Baskes M.I., Johnson R.A. Modified embedded atom potentials for HCP metals // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. – 1994. – Vol. 2. – No. 1. – P. 147–163. DOI: 10.1088/0965-0393/2/1/011
14. Trapping of hydrogen to lattice defects in nickel / Baskes M.I., Sha X., Angelo J.E., Moody N.R. // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. – 1995. – Vol. 5. – No. 6. – P. 651–652. DOI: 10.1088/0965-0393/3/3/001
15. Belashchenko D.K. Embedded Atom Method Potentials for Liquid Copper and Silver // Inorganic Materials. – 2012. – Vol. 48. – No. 9. – P. 940–947. DOI: 10.1134/S002016851209004X
16. Belashchenko D.K., Smirnova D.E., Ostrovski O.I. Molecular-Dynamic Simulation of the Thermophysical Properties of Liquid Uranium // High Temperature. – 2010. – Vol. 48. – No. 3. – P. 363–375. DOI: 10.1134/S0018151X10030107
17. Belashchenko D.K., Zhuravlev Yu.V. Application of the embedded-atom method to liquid copper // Inorganic Materials. – 2008. – Vol. 44. – No. 9. – P. 939–945. DOI: 10.1134/S0020168508090082
18. Belashchenko D.K., Ostrovskii O.I. Application of the embedded atom model to liquid metals: Liquid lithium // High Temperature. – 2009. – Vol. 47. – No. 2. – P. 231–237. DOI: 10.1134/S0018151X09020102
19. Brommer P., Gahler F. Effective potentials for quasicrystals from ab-initio data // Philosophical Magazine. – 2006. – Vol. 86. – No. 6-8. – P. 753–758. DOI: 10.1080/14786430500333349
20. Cai J., Ye. Y.Y. Simple analytical embedded-atom- potential model including a long-range force for fcc metals and their alloys // Physical Review B. – 1996. – Vol. 54. – No. 12. – P. 8398–8410. DOI: 10.1103/PhysRevB.54.8398
21. Embedded-atom potential for Fe and its application to self-diffusion on Fe(100) / H. Chamati, N.I. Papanicolaou, Y. Mishin, D.A. Papaconstantopoulos // Surface Science. – 2006. – Vol. 600. – No. 9. – P. 1793–1803. DOI: 10.1016/j.susc.2006.02.010
22. Chandler D. Introduction to Modern Statistical Mechanics. – New York, Oxford University Press, 1987. – 274 p.
23. Chantasiriwan S., Milstein F. Embedded-atom models of 12 cubic metals incorporating second- and third-order elastic-moduli data // Physical Review B. – 1998. – Vol. 58. – No. 10. – P. 5996–6005. DOI: 10.1103/PhysRevB.58.5996
24. Cherne F.J., Baskes M.I., Deymier P.A. Properties of liquid nickel: A critical comparison of EAM and MEAM calculations // Physical Review B. – 2002. – Vol. 65. – No. 2. – 024209. DOI:10.1103/PhysRevB.65.024209
25. Clementi E., Roetti C. Roothaan-Hartree-Fock atomic wavefunctions: Basis functions and their coefficients for ground and certain excited states of neutral and ionized atoms, Z≤54 // Atomic Data and Nuclear Data Tables. – 1974. – Vol. 13. – No. 3-4. – P. 177–478. DOI: 10.1016/S0092-640X(74)80016-1
26. Copper A.S. Precise Lattice Constants of Germanium, Aluminum, Gallium Arsenide, Uranium, Sulphur, Quartz and Sapphire // Acta Crystallographica. – 1962. – Vol. 15. – P. 578–582. DOI: 10.1107/S0365110X62001474
27. Dalgic S. The EAM based effective pair potentials for the dynamic properties of liquid Cu // Materials Chemistry and Physics. – 2007. – Vol. 39. – No. 16. – P. 183–189. DOI: 10.1016/j.matchemphys.2007.02.013
28. Dalgic S., Colakorullari M. Self-Diffusion Coefficients in Liquid Ag Using the Embedded Atom Model Based Effective Pair Potentials // Turkish Journal of Physics. – 2006. – Vol. 30. – No. 4. – P. 303–310.
29. Daw M.S., Baskes M.I. Embedded-atom method: Derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals // Physical Review B. – 1984. – Vol. 29. – No. 12. – P. 6443–6453.
30. Daw M.S., Baskes M.I. Semiempirical, Quantum Mechanical Calculation of Hydrogen Embrittlement in Metals // Physical Review Letters. – 1983. – Vol. 50. – No. 17. – P. 1285–1288. DOI: 10.1103/PhysRevLett.50.1285
31. Application of the Born-Mayer potential with a Hard-Sphere scattering kernel to rarefied hyperthermal gas flow modeling / W.L. Dimpfl, I.J. Wysong, S.F. Gimelshein, M. Braunstein, L.S. Bernstein // AIP Conference Proceedings. – 2009. – Vol. 1084. – P. 323–328. DOI: 10.1063/1.3076494
32. Doyama M., Kagure Y. Embedded atom potential in fcc and bcc metals // Computational Materials Science. – 1999. – Vol. 14. – No. 1–4. – P. 80–83. DOI: 10.1016/S0927-0256(98)00076-7
33. Calculation of the structure factors of harmonic and anharmonic Fibonacci chains with molecular dynamics simulations / M. Engel, S. Sonntag, H. Lipp, H.-R. Trebin // Physical Review B. – 2007. – Vol. 75. – No. 15. – 144203 p. DOI: 10.1103/PhysRevB.75.144203
34. Ercolessi F., Adams J.B. Interatomic Potentials from First-Principles Calculations: The Force-Matching Method // Europhysics Letters. – 1994. – Vol. 26. – No. 8. – P. 583–588.
35. Fellinger M.R., Park H., Wilkins J.W. Force-matched embedded-atom method potential for niobium // Physical Review B. – 2010. – Vol. 81. – No. 14. DOI: 10.1103/PhysRevB.81.144119
36. Finnis M.W., Sinclair J.E. A simple empirical N-body potential for transition metals // Philosophical Magazine A. – 1984. – Vol. 50. – No. 1. – P. 44–55. DOI: 10.1080/01418618408244210
37. Foiles S.M. Application of the embedded-atom method to liquid transition metals // Physical Review B. – 1985. – V. 32, No. 6. – pp. 3409-3415. doi: 10.1103/PhysRevB.32.3409
38. Foiles S.M., Baskes M.I., Daw M.S. Embedded-atom-method functions for the fcc metals Cu, Ag, Au, Ni, Pd, Pt, and their alloys // Physical Review B. – 1986. – Vol. 33. – No. 12. – P. 7983–7991. DOI: 10.1103/PhysRevB.33.7983
39. Energetics of Surface Multilayer Relaxation on W(QQ1): Evidence for Short-Range Screening / Fu C.L., Ohnishi S., Wimmer E., Freeman A.J. // Physical Review B. – 1984. – Vol. 53. – No. 7. – P. 675–678. DOI: 10.1103/PhysRevLett.53.675
40. Gelatt C.D., Ehrenreich H., Weiss J.A. Transition-metal hydrides: Electronic structure and the heats of formation // Physical Review B. – 1978. – Vol. 17. – No. 4. – P. 1940–1957. DOI: 10.1103/PhysRevB.17.1940
41. Dynamics of Radiation Damage / J.B. Gibson, A.N. Goland, M. Milgram, G.H. Vineyard // Phys. Rev. – 1960. – Vol. 120. – No. 4. – P. 1229–1253. DOI: 10.1103/PhysRev.120.1229
42. Gonzalez L.E., Gonzalez D.J., Canales M. Atomic dynamics in liquid lithium // Zeitschrift für Physik B Condensed Matter. – 1996. – Vol. 100. – No. 4. – P. 601–611. DOI: doi.org/10.1007/s002570050167
43. Gordon P.A., Neeraj T., Mendelev M.I. Screw dislocation mobility in BCC metals: a refined potential description for Fe // Philosophical Magazine. – 2011. – Vol. 91. – No. 30. – P. 3931–3945. DOI: 10.1080/14786435.2011.597947
44. Numerical tools for atomistic simulations / P.M. Gullett, G.J. Wagner, A. Slepoy, M.F. Horstemeyer, H. Fang, M. Li, M.I. Baskes. – Livermore, SANDIA National Laboratories, 2003. – 68 p.
45. Johnson R.A. Alloy metals with the embedded-atom method // Physical Review B. – 1989. – Vol. 39. – No. 17. – P. 12554–12559. DOI: 10.1103/PhysRevB.39.12554
46. Johnson R.A. Analytic nearest-neighbor model for fcc metals // Physical Review B. – 1988. – Vol. 37. – No. 8. – P. 3924–3931. DOI: 10.1103/PhysRevB.37.3924
47. Jones J.E. On the Determination of Molecular Fields. II. From the Equation of State of a Gas // Proc. R. Soc. Lond. A. – 1924. – Vol. 106. – No. 738. – P. 463–477. DOI: 10.1098/rspa.1924.0082
48. Application of the Embedded Atom Method to Pb and Be / M. Karimi, Z. Yang, P. Tibbits, D. Ila, I. Dalins, G. Vidali // MRS Online Proceedings Library. – 1990. – Vol. 193. – No. 1. – P. 83–88. DOI: 10.1557/PROC-193-83
49. Kresse G., Joubert D. From ultrasoft pseudopotentials to the projector augmented-wave method // Physical Review B. – 1999. – Vol. 59. – No. 3. – P. 1758–1775. DOI: 10.1103/PhysRevB.59.1758
50. Law K., Stuart A., Zygalakis K. Data assimilation: A mathematical introduction. – Springer International Publishing, 2015. – 242 p.
51. Second nearest-neighbor modified embedded atom method potentials for bcc transition metals / B.-J. Lee, M.I. Baskes, H. Kim, Y.K. Cho // Physical Review B. – 2001. – Vol. 64. – No. 18. – 184102 p. DOI: 10.1103/PhysRevB.64.184102
52. Interatomic potentials for modelling radiation defects and dislocations in tungsten /
    M.-C. Marinica, L. Ventelon, M.R. Gilbert, L. Proville, S.L. Dudarev, J. Marian, G. Bencteux,
    F. Willaime // J. Phys.: Condens. Matter. – 2013. – Vol. 25. – No. 39. – 395502 p. DOI: 10.1088/0953-8984/25/39/395502
53. McClean A.D., McClean R.S. Roothaan-Hartree-Fock atomic wave functions Slater basis-set expansions for Z = 55–92 // Atomic Data and Nuclear Data Tables. – 1981. – Vol. 26. – No. 3-4. – P. 197–381. DOI: 10.1016/0092-640X(81)90012-7
54. Development of new interatomic potentials appropriate for crystalline and liquid iron /
    M.I. Mendelev, D.J. Srolovitz, G.J. Ackland, D.Y. Sun, M. Asta // Philosophical Magazine. – 2003. – Vol. 83. – No. 35. – P. 3977–3994. DOI: 10.1080/14786430310001613264
55. Mendelev M.I., Underwood T.L., Ackland G.J. Development of an interatomic potential for the simulation of defects, plasticity, and phase transformations in titanium // The Journal of Chemical Physics. – 2016. – Vol. 146. – No. 15. – 154102 p. DOI: 10.1063/1.4964654
56. The interaction of atomic hydrogen with Ni, Pd, and Pt clusters / R.P. Messmer, D.R. Salahub, K.H. Johnson, C.Y. Yang // Chemical Physics Letters. – 1977. – Vol. 51. – No. 1. – P. 84–89. DOI: 10.1016/0009-2614(77)85360-8
57. Farkas D., Mehl M.J., Papaconstantopoulos D.A. Interatomic potentials for monoatomic metals from experimental data and ab initio calculations // Physical Review B. – 1999. – Vol. 59. – No. 5. – P. 3393–3407. DOI: 10.1103/PhysRevB.59.3393
58. Structural stability and lattice defects in copper: Ab initio, tight-binding and embedded atom method calculations / Y. Mishin, M.J. Mehl, D.A. Papaconstantopoulos, A.F. Voter, J.D. Kress // Physical Review B. – 2001. – Vol. 63. – No. 22. – 224106 p. DOI: 10.1103/PhysRevB.63.224106
59. Moitra A., Kim S.-G., Horstemeyer M.F. Structural and thermal properties of calcium using an MEAM potential // Calphad. – 2001. – Vol. 35. – No. 2. – P. 262–268. DOI: 10.1016/j.calphad.2011.01.002
60. Morse P.M. Diatomic Molecules According to the Wave Mechanics. II. Vibrational Levels // Physical Review. – 1929. – Vol. 34. – No. 1 – P. 57–64. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRev.34.57
61. Niklasson A.M.N., Cawkwell M.J. Fast method for quantum mechanical molecular dynamics // Physical Review B. – 2012. – Vol. 86. – No. 17. – 174308 p. DOI: 10.1103/PhysRevB.86.174308
62. Norskov J.K., Lang N.D. Effective-medium theory of chemical binding: Application to chemisorption // Physical Review Letters. – 1980. – Vol. 21. – No. 6. – P. 2131–2136. DOI: 10.1103/PhysRevB.21.2131
63. Rapaport D.C. The Art of Molecular Dynamics Simulation. – Cambridge University Press, 2004. – 549 p.
64. Universal features of the equation of state of metals / J.H. Rose, J.R. Smith, F. Guinea, J. Ferrante // Physical Review B. – 1984. – Vol. 29. – No. 6. – P. 2963–2969. DOI: 10.1103/PhysRevB.29.2963
65. Schommers W. Pair potentials in disordered many-particle systems. A study for liquid gallium // Physical Review A. – 1983. – Vol. 28. – No. 6. – P. 3599–3605. DOI: 10.1103/PhysRevA.28.3599
66. Slater J.C. Quantum Theory of Matter, 2nd edition. – New York, McGraw-Hill, 1968. – 321 p.
67. Smirnova D.E., Starikov S.V., Stegailov V.V. Interatomic potential for uranium in a wide range of pressures and temperatures // J. Phys.: Condens. Matter. – 2012. – Vol. 24. – No. 14. – 015702. DOI: 10.1088/0953-8984/24/14/149501
68. Stockmayer W.H. Second Virial Coefficients of Polar Gases // J. Chem. Phys. – 1941. –
    Vol. 9. – No. 5. – P. 398–402. DOI: 10.1063/1.1750922
69. Stott M.J., Zaremba E. Quasiatoms: An approach to atoms in nonuniform electronic systems // Physical Review B. – 1980. – Vol. 22. – No. 4. – P. 1564–1583. DOI: 10.1103/PhysRevB.22.1564
70. Thomas J.F. Third-Order Elastic Constants of Aluminum // Physical Review. – 1968. – Vol. 175. – No. 3. – P. 955–962. DOI: 10.1103/PhysRev.175.955
71. Vicente J., Lanchares J., Hermida R. Placement by thermodynamic simulated annealing // Physics Letters A – 2003. – Vol. 317. – No. 5-6. – P. 415–423. DOI: 10.1016/j.physleta.2003.08.070
72. Warshel A, Levitt M.J. Theoretical studies of enzymic reactions: Dielectric, electrostatic and steric stabilization of the carbonium ion in the reaction of lysozyme // Journal of Molecular Biology. – 1976. – Vol. 103. – No. 2. – P. 227–249. DOI: 10.1016/0022-2836(76)90311-9
73. Winey J.M., Kubota A., Gupta Y.M. A thermodynamic approach to determine accurate potentials for molecular dynamics simulations: thermoelastic response of aluminum // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. – 2010. – Vol. 18. – No. 5. – 029801. DOI: 10.1088/0965-0393/17/5/055004

Получены аналитические решения для определения ориентации критической плоскости развития усталостных повреждений при циклическом нагружении для многоосного напряженного состояния. Рассмотрены случаи синфазного и противофазного циклического нагружения для классического диапазона усталости (малоцикловая и многоцикловая усталость).

Предложены обобщения критерия усталостного разрушения Финдли с учетом ориентации критической плоскости для режима сверхмногоцикловой усталости при синфазной и противофазной циклической многоосной нагрузке. Эти обобщения основаны на подобии левой и правой ветвей бимодальной усталостной кривой. Описана процедура определения параметров обобщенного критерия по данным двух одноосных усталостных испытаний на растяжение-сжатие при различных коэффициентах асимметрии цикла.

Напряженное состояние компрессорного диска газотурбинного двигателя рассчитано методом конечных элементов для малоцикловой усталости (полетные циклы нагружения) и для сверхмногоцикловой усталости (вибрации лопаток). Для малоцикловой усталости учитывается влияние аэродинамических, центробежных и контактных нагрузок для контактной системы диска и лопаток. Для сверхмногоцикловой усталости рассчитаны дополнительные напряжения, вызванные высокочастотными крутильными колебаниями лопаток. В обоих случаях определена зона концентрации напряжений в окрестности контакта диска и лопаток, в которой происходит зарождение усталостной поврежденности.

Полученные распределения напряжений и предложенные обобщения критериев усталостного разрушения использовались для получения оценок долговечности диска для малоцикловой и сверхмногоцикловой усталости. Численный анализ показал, что расчетные долговечности в реальном времени с учетом характерного периода цикла для рассмотренных режимов усталости могут быть достаточно близкими. Поэтому в прогнозах безопасного срока эксплуатации необходимо учитывать оба механизма усталости.

Ключевые слова: циклическое нагружение, усталостное разрушение, критерий для многоосного напряженного состояния, критическая плоскость, малоцикловая усталость, сверхмногоцикловая усталость, долговечность элемента конструкции.

Никитин Илья Степанович – доктор физико-математических наук, e-mail: i_nikitin@list.ru

Бураго Николай Георгиевич – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: burago@ipmnet.ru

Никитин Александр Дмитриевич – кандидат технических наук, научный сотрудник, e-mail: nikitin_alex@bk.ru

Якушев Владимир Лаврентьевич – доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, e-mail: yakushev@icad.org.ru

1. Meggiolaro M.A., Miranda A.C., de Castro J. Comparison among fatigue life prediction methods and stress-strain models under multiaxial loading // Proceedings of 19^th Int. Congress of Mech. Eng. – Brasilia, DF, 2007.

2. Marmi A.K., Habraken A.M., Duchene L. Multiaxial fatigue damage modeling at macro scale of Ti6Al4V alloy // Int. J. of Fatigue. – 2009. – Vol. 31. – P. 2031–2040.

3. Ying-Yu Wang, Wei-Xing Yao. Evaluation and comparison of several multiaxial fatigue criteria // Int. J. of Fatigue. – 2004. – Vol. 26. – P. 17–25.

4. Investigation of multiaxial fatigue in the prospect of turbine disc applications: Part II – Fatigue criteria analysis and formulation of a new combined one / V. Bonnand, J.L. Chaboche, H. Cherouali, P. Kanoute, E. Ostoja-Kuczynski, F. Vogel // Proceedings the 9-th Intern. Conf. of Multiaxial Fatigue and Fracture (ICMFF9) – Italy, Parma, 2010. – P. 691–698.

5. Kallmeyer A.R., Krgo A., Kurath P. Evaluation of multiaxial fatigue life prediction methodologies for Ti-6Al-4V // ASME J. Eng. Mater. Technol. – 2002. – Vol. 124. – P. 229–237.

6. Matake T. An explanation on fatigue limit under combined stress // Bull JSME. – 1977. –
Vol. 20. – P. 257 – 263.

7. McDiarmid D.L. A shear stress based critical-plane criterion of multiaxial fatigue failure for design and life prediction // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. – 1999. – Vol. 17. – P. 1475–1484.

8. Morel F. A critical plane approach for life prediction of high cycle fatigue under multiaxial variable amplitude loading // Int. J. of Fatigue. – 2000. – Vol. 22. – No 2. – P. 101–119.

9. A comparative study of multiaxial high-cycle fatigue criteria for metals / I.V. Papadopoulos, P. Davoli, C. Gorla, M. Filippini, A. Bernasconi // Int. J. of Fatigue. – 1997. – Vol. 19. – No. 3. – P. 219–235.

10. Papadopoulos I.V. Long life fatigue under multiaxial loading // Int. J. of Fatigue. – 2001. – Vol. 23. – P. 839–849.

11. Susmel L., Taylor D. A critical distance/plane method to estimate finite life of notched components under variable amplitude uniaxial/multiaxial fatigue loading // Int. J. of Fatigue. – 2012. – Vol. 38. – P. 7–24.

12. Expected position of the fatigue fracture plane by using the weighted mean principal Euler angles / A. Carpinteri, A. Karolczuk, E. Macha, S. Vantadori // Int. J. of Fatigue. – 2002. – Vol. 115. – P. 87–99.

13. Carpinteri A., Spagnoli A., Vantadori S. Multiaxial assessment using a simplified critical plane-based criterion // Int. J. of Fatigue. – 2011. – Vol. 33. – P. 969–976.

14. Fatemi A., Socie D.F. A critical plane approach to multiaxial damage including out-of-phase loading // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. – 1988. – Vol. 11. – No 3. – P. 149–166.

15. Findley W. A theory for the effect of mean stress on fatigue of metals under combined torsion and axial load or bending // J. of Eng. for Indust. – 1959. – P. 301–306.

16. Collins J.A. Failure of Materials in Mechanical Design: Analysis, Prediction, Prevention. – New York, John Wiley, 1993. – 654 p.

17. Шанявский А.А. Моделирование усталостных разрушений металлов. – Уфа: Монография, 2007. – 498 с.

18. Bourago N.G., Zhuravlev A.B., Nikitin I.S. Models of multiaxial fatigue fracture and service life estimation of structural elements // Mechanics of Solids. – 2011. – Vol. 46. – No. 6. – P. 828–838.

19. Sines G. Behavior of metals under complex static and alternating stresses. – Metal fatigue.­ – McGraw-Hill, 1959. – P. 145-169.

20. Crossland B. Effect of large hydrostatic pressures on torsional fatigue strength of an alloy steel // Proc. Int. Conf. on Fatigue of Metals. – London, 1956. – P. 138–149.

21. Bathias C., Paris P.C. Gigacycle Fatigue in Mechanical Practice. – New York, Dekker, 2005.

22. Marines I., Bin X., Bathias C. An understanding of very high cycle fatigue of metals // Int. J. of Fatigue. – 2003. – Vol. 25 – P. 1101−1107.

23. Mughrabi H. Specific features and mechanisms of fatigue in the ultrahigh-cycle regime // Int. J. of Fatigue. – 2006. – Vol. 28. – P. 1501−1508.

24. Bathias C. Piezoelectric fatigue testing machines and devises // Int. J. of Fatigue. – 2006. – Vol. 26. – P. 1438−1445.

25. Nikitin A., Palin-Luc T.,Shanyavskiy A., Bathias C. Fatigue behavior of titanium alloy Ti-6Al-4Mo in biffurcation area at 20 kHz // Proceeding of ECF-19 conference. – Russia: Kazan, 2012.

26. Никитин А.Д., Никитин И.С. Экспериментальное исследование сверхмногоцикловой усталости титановых сплавов // Наукоемкие технологии. – 2015. – № 7. – С. 51–58.

27. Nikitin A., Palin-Luc T., Shanyavskiy A. Crack initiation in VHCF regime on forged titanium alloy under tensile and torsion loading modes // Int. J. of Fatigue. – 2016. – Vol. 93. – P. 318–325.

28. Fatigue properties of carburised alloy steel in very high cycle regime under torsion loading / H. Ishii, K. Tohgo, T. Fujii, T. Yagasaki, M. Harada, Y. Shimamura, K. Narita // Int.J. of Fatigue. – 2014. – Vol. 60. – P. 57−62.

29. Nikitin A., Bathias C., Palin-Luc T. A new piezoelectric fatigue testing machine in pure torsion for ultrasonic gigacycle fatigue tests: application to forged and extruded titanium alloys // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. – 2015. – Vol. 38. – P. 1294–1304.

30. Stanzl-Tschegg S.E., Mayer H.R., Tschegg E.K. High frequency method for torsion fatigue testing // Ultrasonics. – 1993. – Vol. 31. – No. 4. – P. 275–280.

31. Демьянушко И.В., Биргер И.А. Расчет на прочность вращающихся дисков. – М: Машиностроение, 1978. – 247 с.

32. Костюк А.Г. Динамика и прочность турбомашин. – М.: Изд. дом МЭИ, 2007. – 476 с.

33. Иноземцев А.А., Нихамкин М.А., Сандрацкий В.Л. Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок. – М.: Машиностроение, 2008. – 204 с.

34. Shlyannikov V.N., Yarullin R.R., Gizzatullin R.Z. Structural integrity prediction of turbine disk on a critical zone concept basis// Proceedings of 11^th International Conference on Engineering Structural Integrity Assessment. – UK. Manchester, 2011. – P. 1–10.

35. Residual life prediction of power steam turbine disk with fixed operating time / B.V. Ilchenko, R.R. Yarullin, A.P. Zakharov, R.Z. Gizzatullin // Proceeding of ECF-19 conference. – Russia: Kazan, 2012.

36. Bourago N.G., Kukudzhanov V.N. A review of contact algorithms // Mechanics of Solids. – 2005. – Vol. 40. – No. 1. – P. 35–71.

37. Кукуджанов В.Н. Вычислительная механика сплошных сред. – М.: Физматлит, 2006. – 320 с.