В настоящее время разработка элементов для возобновляемого хранения и транспортировки водорода представляется необходимой и востребованной. Оптимальной формой хранения водорода с точки зрения эффективности и безопасности являются гидриды металлов. Среди перспективных материалов для реализации такого подхода особого внимания заслуживают магний и сплавы на его основе, которые способны обратимо поглощать водород в количестве до 7,6 вес.%, что удовлетворяет требованию DOE. Подготовка материалов для насыщения водородом сводится к измельчению его структуры путем интенсивной пластической деформации (ИПД), что позволяет значительно улучшить кинетику реакции за счет увеличения удельной доли поверхностей раздела в образце. Повышения сорбционных характеристик магниевых сплавов можно достичь, используя равноканальное угловое прессование (РКУП). В процессе реализации РКУП заготовка проходит через матрицу, состоящую из двух каналов, пересекающихся под некоторым углом (как правило, значение угла соответствует 90, 105 и 120 град и изменяется в зависимости от степени пластичности материала). В общем случае напряженное состояние материала зависит от угла пересечения каналов, величины приложенного давления, трения, наличия встречного давления, физико-механических характеристик образца и температуры. Так как размеры заготовки в поперечном сечении не изменяются, деформация может производиться многократно с целью достижения исключительно высоких ее степеней (порядка нескольких единиц). В ходе операции РКУП происходит изменение микроструктуры, которое сопровождается образованием ярко выраженной текстуры.

Анализ остаточных деформаций, полученных образцом после операции РКУП, проводится различными способами: инженерными оценками, численным моделированием, экспериментальными методами. В данной статье при изучении характера деформирования образца использовали метод численного моделирования. В пакете LS-Dyna в пространственной постановке исследовано напряженно-деформированное состояние образцов после многократных операций РКУП,
и выявлены рациональные условия деформации РКУП, магниевых сплавов для получения мелкозернистого материала с высоким уровнем внутренних напряжений. Результаты расчетов хорошо согласуются с опытными данными и позволяют использовать их для планирования эксперимента и промышленной реализации ИПД-обработки материала.

Ключевые слова: магниевые сплавы, равноканальное угловое прессование, микроструктура, численное моделирование, остаточная деформация.

Аптуков Валерий Нагимович – доктор технических наук, профессор, e-mail: aptukov@psu.ru

Романов Петр Владимирович – аспирант, e-mail: petr_rom@yahoo.com

Скрябина Наталия Евгеньевна – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: natskryabina@mail.ru

Фрушар Даниель – руководитель подразделения MCMF Института Нееля, e-mail: daniel.fruchart@neel.cnrs.fr

1. Patent: Method for preparing a material for storing hydrogen, including an extreme plastic deformation operation / D. Fruchart, S. Miraglia, P. De Rango, N. Skryabina, M. Jehan, J. Huot, J. Lang, S. Pedneault. Jan. 19, 2012: WO/2012/007657.

2. Improving hydrogen storage properties of magnesium based alloys by equal channel angular pressing / V.M. Skripnyuk, E. Rabkin, Y. Estrin, R. Lapovok // Int. J. Hydrog. Energy. – 2009. – Vol. 34 – P. 6320–6324.

3. Nanostructured MgH2 prepared by cold rolling and cold forging / D.R. Leiva, R. Floriano, J. Huot, A.M. Jorge, C. Bolfarini, C.S. Kiminami, T.T. Ishikawa, W.J. Botta // J. Alloy. Compd. – 2011. – Vol. 509 – P. S444–S448.

4. Hydrogen activation behavior of commercial magnesium processed by different severe plastic deformation routes / D.R. Leiva, J. Huot, T.T. Ishikawa, C. Bolfarini, C.S. Kiminami, A.M. Jorge, W.J. Botta // Mater. Sci. Forum. – 2011. – Vol. 667–669. – P. 1047–1051.

5. Huot J., Skryabina N., Fruchart D. Application of Severe Plastic Deformation Techniques to Magnesium for Enhanced Hydrogen Sorption Properties // Metals. – 2012. – Vol. 2 – P. 329–343.

6. The effect of ball milling and equal channel angular pressing on the hydrogen absorption/desorption properties of Mg-4.95 wt% Zn-0.71 wt% Zr (ZK60) alloy / V.M. Skripnyuk, E. Rabkin, Y. Estrin, R. Lapovok // Acta Mater. – 2004. – Vol. 52 – P. 405–414.

7. Nanoscale grain refinement and H-sorption properties of MgH₂ processed by high –pressure torsion and other mechanical routes / D.R. Leiva, A.M. Jorge, T.T. Ishikawa, J. Huot, D. Fruchart, S. Miraglia, C.S. Kiminami, W.J. Botta // Adv. Eng. Mater. – 2010. – Vol. 12 – P. 786–792.

8. Lang J., Huot J. A new approach to the processing of metal hydrides // J. Alloy Compd. – 2011. – Vol.509 – P. L18–L22.

9. The formation and decomposition of magnesium hydride / B. Vigeholm, J. Kjøller, B. Larsen, A.S. Pedersen // J. Less-Common Metals. – 1983. – Vol. 89 – P. 135–144.

10. Grain refining of magnesium alloy AZ31 by rolling / T.–C. Chang, J.–Y. Wang, C.–M. O, S. Lee // J. Mater. Proc. Tech. Mater. Sci. Eng. – 2003. – Vol. 140 – P. 588–591.

11. Microstructure refining and property improvement of ZK60 magnesium alloy by hot rolling / X. Wang, W. Chen, L. Hu, G. Wang, E. Wand // Trans. Nonferrous Met. Soc. China. – 2011. − Vol. 21 – P. 242−246.

12. Equal channel angular pressing of magnesium alloy AZ31 / K. Xia, J.T. Wang, X. Wu, G. Chen, M. Gurvan // Mater. Sci. Eng. – 2005. – Vol. 410 – P. 324–327.

13. Microstructure evolution of AZ31 Mg alloy during equal channel angular extrusion / L. Jin, D. Lin, D. Mao, X. Zeng, B. Chen, W. Ding // Mater. Sci. Eng. A. – 2006. – Vol. 423 – P. 247–252.

14. Ren G.C., Zhao G.Q., Xu S.B. Numerical simulation and experimental study of AZ31 magnesium alloy deformation behavior in ECAP // Advanced Materials Research. – 2011. – Vol. 148–149. – P. 227–231.

15. Влияние равноканального углового прессования на механические свойства и микроструктуру образцов магниевых сплавов / Н.Е. Скрябина, В.Н. Аптуков, П.В. Романов, Д. Фрушар // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 3. – С. 113–128.

16. Черняева Т.П., Грицина В.М. Характеристики ГПУ-металлов, определяющие их поведение при механическом, термическом и радиационном воздействии // Вопросы атомной науки и техники. – 2008. – № 2. – С. 15–27.

17. Determination of Active Slip / Twinning Modes in AZ31 Mg Alloy Near Room Temperature / H. Li, E. Hsu, J. Szpunar, R. Verma, J.T. Carter // J. Mater. Eng. Perfom. – 2007. – Vol. 16. – No. 3. – P. 321–326.

18. Валиев Р.З., Александров И.В. Объемные наноструктурные металлические материалы. – М.: Академкнига, 2007. – 398 с.

19. Применение метода сеток при изучении процессов равноканального углового прессования магниевых сплавов / Н.Е. Скрябина, В.Н. Аптуков, П.В. Романов, Д. Фрушар // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 3. – С. 133–145.

20. Деформационное измельчение структуры сплава AZ31 в процессе равноканального углового прессования / Н.Е. Скрябина, В.М. Пинюгжанин, Д. Фрушар, Г. Жирард, С. Мираглиа // Вестн. Перм. ун-та. Физика. – 2011. – № 1. – С. 82–87.

21. Сегал В.М., Резников В.И., Копылов В.И. Процессы структурообразования при пластической деформации металлов. – Минск: Наука и техника, 1994. – 232с.

22. Severe plastic deformation (SPD) processes for metals / A. Azushima, R. Kopp, A. Korhonen, D.Y. Yang, F. Micari, G.D. Lahoti, P. Groche, J. Yanagimoto, N. Tsuji, A. Rosochowski, A. Yanagida // CIRP Annals – Manufacturing Technology. – 2008. – Vol. 57 – P. 716–735.

23. Mocroforming and Nanomaterials / U. Engel, A. Rosochowski, S. Geiborfer, L. Olejnik // F. Chinesta, E. Cueto Advanced in Material Forming. – France, Paris: Springer-Velag, 2007. – P. 99–124.

24. Mg alloy for hydrogen storage processed by SPD / D.R. Leiva, D. Fruchart, M. Bacia, G. Girard, N. Skryabina, A.C.S. Villela, S. Miraglia, D.S. Santos, W.J. Botta // Int. J. Mat. Res. – 2009. – Vol. 100 – P. 1739–1446.

25. Инновационные технологии. Физические принципы формирования наноструктуры сплавов для обратимого хранения водорода / Н.Е. Скрябина, Д. Фрушар, Г. Жирард, С. Мираглиа, В.М. Пинюгжанин, Д. Лева // Вестн. Перм. ун-та. Физика. – 2010. – № 1. – С. 91–96.

26. Исследование физико-механических свойств ультрамелкозернистых магниевых сплавов после интенсивной пластической деформации / А.А. Козулин, В.А. Скрипняк, В.А. Красновейкин, В.В. Скрипняк, А.К. Каравацкий // Изв. вузов. Физика. – 2014. – № 9. – С. 98–104.

27. Effect of Microstructural Factors on Tensile Properties of an ECAE-Processed AZ31 Magnesium Alloy / Y. Yoshida, L. Cisar, S. Kamado, Y. Kojyma // Mater. Trans. – 2003. – Vol. 44. – No. 4 – P. 468–475.

28. Equal channel angular pressing of magnesium alloy AZ31 / K. Xia, J.T. Wang, X. Wu, G. Chen, M. Gurvan // Mater. Sci. Eng. – 2005. – Vol. 410. – P. 324–327.

29. De Groot S.R., Mazur P. Non-Equilibrium Thermodynamics. – Amsterdam: NorthHolland, 1969. – 510 p.

30. Hydrogen in metals III. Properties and applications / Ed. by H. Wipf. – Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag, 1997. – 350 p.

В работе исследуется устойчивость панелей стальных тороидальных тонкостенных оболочечных конструкций с различным углом отклонения от вертикальной оси. Математическая модель (модель Тимошенко–Рейснера) является геометрически нелинейной и представлена в виде функционала полной потенциальной энергии деформации. Для сведения вариационной задачи к решению системы алгебраических уравнений применялся метод Ритца, для которого использовались два различных базиса: тригонометрический и полиномиальный (основан на многочленах Лежандра). Процесс формирования аппроксимирующих функций рассмотрен подробно с учетом симметрии тороидальных панелей.

Полученная в итоге система алгебраических уравнений является нелинейной и решается методом Ньютона. Алгоритм реализован в среде аналитических вычислений Maple 2017.

Проведены расчеты сегментов тороидальных оболочек при действии внешней равномерно распределенной поперечной нагрузки, и получены значения нагрузок потери устойчивости.

При выборе вариантов конструкций фиксировался параметр большого радиуса для того, чтобы покрывная площадь рассматриваемого сегмента оболочки оставалась неизменной, а малый радиус зависел от угла отклонения от вертикальной оси.

В ряде случаев наблюдаются местные потери устойчивости. Проанализировано влияние угла отклонения от вертикальной оси на значения нагрузок потери устойчивости и максимальные значения прогибов. Приводятся результаты, полученные для двух видов аппроксимации.

Расчеты показали, что оба варианта аппроксимации дают достаточно близкие результаты при малых нагрузках, однако существенно различаются при больших.

Увеличение угла отклонения приводит к уменьшению значения критической нагрузки, что может быть вызвано увеличением площади поверхности самой оболочки. Однако при этом уменьшается величина максимального прогиба.

Ключевые слова: оболочки, устойчивость, математическая модель, тороидальные оболочки, панели, метод Ритца, многочлены Лежандра,критические нагрузки

Бакусов Павел Анатольевич – магистрант, e-mail: bakusovpavel@gmail.com

Семенов Алексей Александрович – кандидат технических наук, e-mail: sw.semenov@gmail.com

1. A survey of works on the theory of toroidal shells and curved tubes / R. Wenmin [et al.] // Acta Mechanica Sinica. – 1999. – Vol. 15. – No. 3. – P. 225–234. DOI: 10.1007/BF02486150
2. Jiammeepreecha W., Chucheepsakul S. Nonlinear static analysis of an underwater elastic semi-toroidal shell // Thin-Walled Structures. – 2017. – Vol. 116. – P. 12–18. DOI: 10.1016/j.tws.2017.03.001
3. Sun B. Closed-Form Solution of Axisymmetric Slender Elastic Toroidal Shells // Journal of Engineering Mechanics. – 2010. – Vol. 136. – No. 10. – P. 1281–1288. DOI: 10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0000175
4. Jiang W., Redekop D. Static and vibration analysis of orthotropic toroidal shells of variable thickness by differential quadrature // Thin-Walled Structures. – 2003. – Vol. 41. – No. 5. – P. 461–478. DOI: 10.1016/S0263-8231(02)00116-7
5. A unified accurate solution for vibration analysis of arbitrary functionally graded spherical shell segments with general end restraints / Z. Su [et al.] // Composite Structures. – 2014. – Vol. 111. – P. 271–284. DOI: 10.1016/j.compstruct.2014.01.006
6. Матвеев Е.П. Решение задачи о свободных колебаниях тороидальной оболочки с протекающей жидкостью при различных граничных условиях // Вестн. гражданских инженеров. – 2010. – № 1. – P. 64–67.
7. Tizzi S. A free vibration analysis of toroidal composite shells in free space // Journal of Sound and Vibration. – 2015. – Vol. 337. – P. 116–134. DOI: 10.1016/j.jsv.2014.10.015
8. Redekop D., Muhammad T. Analysis of Toroidal Shells Using the Differential Quadrature Method // International Journal of Structural Stability and Dynamics. – 2003. – Vol. 03. – No. 02. – P. 215–226. DOI: 10.1142/S0219455403000860
9. An efficient model reduction method for buckling analyses of thin shells based on IGA / K. Luo [et al.] // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2016. – Vol. 309. – P. 243–268. DOI: 10.1016/j.cma.2016.06.006
10. Hutchinson J.W. Initial post-buckling behavior of toroidal shell segments // International Journal of Solids and Structures. – 1967. – Vol. 3. – No. 1. – P. 97–115. DOI: 10.1016/0020-7683(67)90046-7
11. Truong Vu V. Minimum Weight Design for Toroidal Shells With Strengthening Component // Journal of Pressure Vessel Technology. – 2015. – Vol. 138. – No. 2. – P. 021202. DOI: 10.1115/1.4031445
12. Skoczeń B. Geometrically nonlinear elastic toroidal shells with open profiles—stability analysis and a design concept // Archive of Applied Mechanics. – 1992. – Vol. 62. – No. 1. – P. 1–14. DOI: 10.1007/BF00786677
13. Karpov V., Panin А., Kharlab V. Stability of elastic toroid-shape shells // Proceeding of 7th International Conference Contemporary Problem of Architecture and Construction. November 19th – 21st, 2015. – Italy. Florence, 2015. – С. 487–490.
14. Frikha A., Dammak F. Geometrically non-linear static analysis of functionally graded material shells with a discrete double directors shell element // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2017. – Vol. 315. – P. 1–24. DOI: 10.1016/j.cma.2016.10.017
15. Galletly G.D. Buckling of imperfect elastic elliptic toroidal shells subjected to uniform external pressure // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part E: Journal of Process Mechanical Engineering. – 1999. – Vol. 213. – No. 3. – P. 199–214. DOI: 10.1243/0954408991529933
16. Wang A., Zhang W. Asymptotic solution for buckling of toroidal shells // International Journal of Pressure Vessels and Piping. – 1991. – Vol. 45. – No. 1. – P. 61–72. DOI: 10.1016/0308-0161(91)90044-3
17. Błachut J., Jaiswal O. On buckling of toroidal shells under external pressure // Computers & Structures. – 2000. – Vol. 77. – No. 3. – P. 233–251. doi: 10.1016/S0045-7949(99)00226-6
18. Oyesanya M.O. Influence of extra terms on asymptotic analysis of imperfection sensitivity of toroidal shell segment with random imperfection // Mechanics Research Communications. – 2005. – Vol. 32. – No. 4. – P. 444–453. DOI: 10.1016/j.mechrescom.2005.02.006
19. Dung D.V., Vuong P.M. Nonlinear analysis on dynamic buckling of eccentrically stiffened functionally graded material toroidal shell segment surrounded by elastic foundations in thermal environment and under time-dependent torsional loads // Applied Mathematics and Mechanics. – 2016. – Vol. 37. – No. 7. – P. 835–860. DOI: 10.1007/s10483-016-2099-9
20. Bich D.H., Ninh D.G. Research on dynamical buckling of imperfect stiffened three-layered toroidal shell segments containing fluid under mechanical loads // Acta Mechanica. – 2017. – Vol. 228. – No. 2. – P. 711–730. DOI: 10.1007/s00707-016-1724-0
21. Thang P.-T., Nguyen-Thoi T. A new approach for nonlinear dynamic buckling of S-FGM toroidal shell segments with axial and circumferential stiffeners // Aerospace Science and Technology. – 2016. – Vol. 53. – P. 1–9. DOI: 10.1016/j.ast.2016.03.008
22. Dao B.H., Dinh N.G., Tran T.I. Buckling Analysis of Eccentrically Stiffened Functionally Graded Toroidal Shell Segments under Mechanical Load // Journal of Engineering Mechanics. – 2016. – Vol. 142. – No. 1. – P. 04015054. DOI: 10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0000964
23. Simplified theoretical solution of circular toroidal shell with ribs under uniform external pressure / Q. Du [et al.] // Thin-Walled Structures. – 2015. – Vol. 96. – P. 49–55. DOI: 10.1016/j.tws.2015.07.019
24. Chernyshenko I.S., Maksimyuk V.A. On the stress-strain state of toroidal shells of elliptical cross section formed from nonlinear elastic orthotropic materials // International Applied Mechanics. – 2000. – Vol. 36. – No. 1. – P. 90–97. DOI: 10.1007/BF02681963
25. Демидов А.И. Упругопластическое напряженно-деформированное состояние тонкой незамкнутой тороидальной оболочки // Современное промышленное и гражданское строительство. – 2006. – Т. 2, № 4. – P. 163–176.
26. Semenyuk N.P., Zhukova N.B. Stability of compound toroidal shells under external pressure // International Applied Mechanics. – 2011. – Vol. 47. – No. 5. – P. 545–553. DOI: 10.1007/s10778-011-0476-8
27. Тарасов В.Н., Андрюкова В.Ю. Об устойчивости тороидальной оболочки с односторонним подкреплением // Вестн. Сыктывкар. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. – 2012. – № 15. – P. 63–72.
28. Nonlinear static and dynamic analysis of hyper-elastic thin shells via the absolute nodal coordinate formulation / K. Luo [et al.] // Nonlinear Dynamics. – 2016. – Vol. 85. – No. 2. – P. 949–971.
    DOI: 10.1007/s11071-016-2735-z
29. Naboulsi S.K., Palazotto A.N., Greer J.M. Static-Dynamic Analyses of Toroidal Shells // Journal of Aerospace Engineering. – 2000. – Vol. 13. – No. 3. – P. 110–121. DOI: 10.1061/(ASCE)0893-1321(2000)13:3(110)
30. Parnell T.K. Numerical improvement of asymptotic solutions for shells of revolution with application to toroidal shell segments // Computers & Structures. – 1983. – Vol. 16. – No. 1–4. – P. 109–117. DOI: 10.1016/0045-7949(83)90152-9
31. Grigorenko Y.M., Avramenko Y.A. Refined Stress Analysis of Orthotropic Toroidal Shells // International Applied Mechanics. – 2013. – Vol. 49. – No. 4. – P. 461–474. DOI: 10.1007/s10778-013-0580-z
32. Vu V.T., Blachut J. Plastic Instability Pressure of Toroidal Shells // Journal of Pressure Vessel Technology. – 2009. – Vol. 131. – No. 5. – P. 051203. DOI: 10.1115/1.3148824
33. Asratyan M.G., Gevorgyan R.S. Mixed boundary-value problems of thermoelasticity for anisotropic-in-plan inhomogeneous toroidal shells // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. – 2010. – Vol. 74. – No. 3. – P. 306–312. DOI: 10.1016/j.jappmathmech.2010.07.006
34. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Наука, 1974. – 176 с.
35. Филимоненкова Н.В. Конспект лекций по функциональному анализу. – СПб.: Лань, 2015. – 176 с.
36. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. – M.: Стройиздат, 1986. – 168 с.
37. Баранова Д.А., Карпов В.В., Семенов А.А. Компьютерное моделирование местных и общих форм потери устойчивости тонкостенных оболочек // Вычислительная механика сплошных сред. – 2015. – Т. 8, № 3. – P. 229–244.

Cтатья посвящена решению неклассических вариационных задач механики, заключающихся в минимизации функционалов интегрального вида при ограничениях различного типа. В качестве ограничений рассматриваются различные условия, накладываемые на искомую функцию, доставляющую минимум оптимизируемому функционалу. Учитываемые ограничения включают различные зависимости искомой функции от пространственных координат. Предполагается, что минимизируемый функционал является интегральным и включает зависимость как от искомой функции и пространственных переменных, так и от ее частных производных по пространственным переменным. Предполагается, что включение определенных ограничений в виде неравенств, накладываемых на искомую функцию, отвечает контактным условиям, возникающим в задачах взаимодействия деформируемых тел и задачах контакта этих тел с жесткими препятствиями. Вид возникающих при этом условий характеризует рассматриваемую проблему минимизации функционала с локальными ограничениями, накладываемыми в отдельных точках области определения, как неклассическую задачу вариационного исчисления.

Для решения рассматриваемой неклассической задачи вариационного исчисления применяется новый подход, основанный на конечно-элементных аппроксимациях (аппроксимациях Галеркинского типа) и процедурах локального варьирования. При этом исходная область определения минимизируемого функционала
и искомой варьируемой функции декомпозируются на отдельные малые подобласти (ячейки области), заполняющие исходную область. Искомая функция задается в узлах разбиения и аппроксимируется в области с применением используемых функций формы. При этом предполагается, что базисные функции формы принадлежат пространству Соболева дифференцируемых с квадратом функций, а базисная система функций является полиномиальной и имеет малую область определения. Ограничения задачи трансформируются в рамках введенных конечно-элементных аппроксимаций. Аддитивный функционал задачи приближенно заменяется интегралами по ячейкам, полностью принадлежащим исходной области. Далее рассматриваемая задача формулируется как задача отыскания узловых значений, удовлетворяющих возникающим неклассическим двухсторонним ограничениям и доставляющих минимум оптимизируемому функционалу.

Решение вариационной задачи строится методом последовательных приближений. После выбора начального приближения, удовлетворяющего ограничениям, каждая из итераций выполняет последовательно локальное варьирование искомого решения для всех узлов и осуществляет минимизацию оптимизируемого функционала. При этом на каждом шаге не нарушаются геометрические (контактные) ограничения и осуществляется уменьшение интегральной суммы по ячейкам из окрестности варьируемой точки. После завершения процесса локального варьирования по всем ячейкам и построения обновленного варианта решения процесс повторяется до достижения полной сходимости, при этом постепенно происходит уменьшение шага варьирования и необходимое измельчение конечно-элементной сетки. Таким образом, осуществляется решение рассматриваемой задачи оптимизации.

В качестве примера приведено применение предложенного метода к задаче кручения упругопластического стержня. Решение данной вариационной задачи механики численно получено для различных поперечных сечений стержня при различных углах его закрутки на основе предлагаемого подхода. Приводятся полученные и согласующиеся с экспериментальными данными зоны распространения областей пластичности.

Ключевые слова: вариационные методы, конечные элементы, задачи с ограничениями, локальные вариации, кручение стержней, упругопластичность.

Баничук Николай Владимирович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail:banichuk@ipmnet.ru

Макеев Евгений Валентинович – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: makeevev@yandex.ru

1. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. – М.: Наука, 1970. – 512 с.
2. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. – М.: Наука, 1966. – 681 c.
3. Михлин С.Г., Смолицкий X.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. – М.: Наука, 1965. – 343 c.
4. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. – M.: Мир, 1985. – 590 c.
5. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. – М.: Мир, 1987. – 542 с.
6. Bisci G.M., Radulescu V.D., Servadei R. Variational Methods for Nonlocal Fractional Problems (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). – Cambridge: Cambridge University Press, 2016. – 400 p.
7. Cassel K.W. Variational Methods with Applications in Science and Engineering. – Cambridge: Cambridge University Press, 2013. – 432 p.
8. Haslinger J. Neittaanmaki P. Finite Element Approximation for Optimal Shape Design: Theory and Applications. – Chichester: John Wiley and Sons Ltd, 1988. – 334 p.
9. Glowinski R. Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems. – Berlin- Heidelberg-New York-Tokyo: Springer-Verlag, 1984. – 354 p.
10. Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций. – М.:Наука, 1986. – 304 c.
11. Kukudzhanov V.N. Numerical Continuum Mechanics. – Berlin, Boston: Walter de Gruyter, 2013. – 429 p.
12. Ciarler P.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. – Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1978. – 321 p.
13. Norrie D.H., G. de Vries. An introduction to finite element analysis. – New York: Academic Press, 1978. – 301 p.
14. Bathe K.J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. – New Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1982. – 727 p.
15. Bathe К.J, Wilson E.L. Numerical methods in finite element analysis. – New Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1976. – 528 p.
16. Sauer R.A. Local finite element enrichment strategies for 2D contact computations and a corresponding post-processing scheme // Computational Mechanics. – 2013. – Vol. 52 (2). – P. 301–319.
17. Sofonea M., Tiba D. The control variational method for elastic contact problems // Annals of the Academy of Romanian Scientists. Series on Mathematics and its Applications.–2010. – Vol. 2. – No. 1. – P. 99–122.
18. Wriggers P, Zavarise G. Computational contact mechanics. In E. Stein, R. de Borst and T.J.R. Hughes, editors, Encyclopedia of Computational Mechanics. – Chichester: John Wiley & Sons. – 2004. – Vol. 2. – P. 195–226.
19. Zavarise G., Wriggers P. (Eds.) Trends in Computational Contact Mechanics. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2011. – 354 p.
20. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Обзор контактных алгоритмов // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2005. – № 1. – C. 45–87.
21. Páczelt I., Mróz Z. On optimal contact shapes generated by wear. // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 2005. – Vol. 63(9). – P. 1250–1287.
22. Laursen T.A. Computational Contact and Impact Mechanics: Fundamentals of Modeling Interfacial Phenomena in Nonlinear Finite Element Analysis. – Berlin: Springer-Verlag, 2002. – 454 p.
23. Matei A. An evolutionary mixed variational problem arising from frictional contact mechanics // Mathematics and Mechanics of Solids. – 2014. – Vol. 19. – Iss. 3. – P. 225–241.
24. Черноусько Ф.Л. Метод локальных вариаций для численного решения вариационных
    задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1965. – T.5, №4. –
    C. 749–754.
25. Баничук Н.В., Петров В.М., Черноусько Ф.Л. Численное решение вариационных и краевых задач методом локальных вариаций // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1966. – T. 6, № 6. – C. 947–961.
26. Баничук Н.В., Петров В.М., Черноусько Ф.Л. Метод локальных вариаций для вариационных задач с неаддитивными функционалами // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1969. – T. 9, № 3. – C. 548–557.
27. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. – M: Haука, 1980. – 256 с.

Nadai A. Plastic torsion, an experimental 

Рассматривается математическое моделирование упругопластического деформирования материалов при пропорциональных (простых) и непропорциональных (сложных) циклических нагружениях. В частности, весьма простой вариант теории пластичности, являющейся частным вариантом теории неупругости. Вариант теории пластичности относится к классу одноповерхостных теорий течения при комбинированном упрочнении. Область применимости варианта теории пластичности ограничивается малыми деформациями начально изотропных металлов при температурах, когда нет фазовых превращений, и скоростях деформаций, когда динамическими и реологическими эффектами можно пренебречь. Рассматриваются материалы, обладающие эффектом дополнительного изотропного упрочнения при непропорциональном циклическом нагружении. Приводятся результаты расчетных и экспериментальных исследований упругопластического деформирования и усталостного разрушения материалов при разнообразных непропорциональных циклических нагружениях. На основе анализа результатов экспериментальных исследований деформирования материалов в условиях жесткого несимметричного циклического нагружения формулируется принцип симметрии циклических свойств. Приводятся следствия из принципа симметрии для мягких несимметричных циклических нагружений. Рассматриваются расчетные и экспериментальные результаты исследования процессов несимметричных циклических нагружений. Адекватное описание процессов сложного нагружения, эффектов дополнительного изотропного упрочнения и вышагивания (ratcheting), а также процессов разрушения в рамках одного, довольно простого варианта теории пластичности, является несомненным достоинством рассматриваемого математического моделирования. Причем число материальных функций (в данном случае 14 параметров и 1 функция) значительно меньше числа материальных функций и параметров, замыкающих современные теории. К тому же базовый эксперимент и метод идентификации материальных функций рассматриваемого варианта теории пластичности четко определены и являются достаточно простыми и легко реализуемыми. Сравнение результатов расчетов и экспериментов говорит об адекватности предложенного математического моделирования.

Ключевые слова: пластичность, циклическое нагружение, микронапряжения, дополнительное упрочнение, посадка петли, вышагивание петли, повреждение.

Бондарь Валентин Степанович – доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, e-mail: v.s.bondar@mospolytech.ru

Абашев Дмитрий Рустамович – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: tm@mospolytech.ru

Петров Владимир Кириллович – кандидат технических наук, доцент, e-mail: tm@mospolytech.ru

1. Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Об эффекте непропорциональности при сложном циклическом нагружении // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических систем: межвуз. сб. – М.: Товарищ. науч. изд. КМК. – 1995. – C. 171–175.
2. Lamba H.S., Sidebottom O.M. Cyclic plasticity for nonproportional paths: Parti and 2-comparison with predictions off three incremental plasticity models // ASME Journal of Engineering Materials and Technology. – 1978. – Vol. 100. – P. 96–111.
3. McDowell D. L. An Experimental Study of the Structure of Constitutive Equations for Nonproportional Cyclic Plasticity // ASME Journal of Engineering Materials and Technology. – 1985. – Vol. 4. – P. 307–315.
4. Ohashi Y., Kawai M., Kaito T. Inelastic Behavior of Type 316 Stainless Steel Under Miiltiaxial Nопргорогtional Cyclic Stressings at Elevated Temperature // ASME Journal of Engineering Materials and Technology. – 1985. – Vol. 2. – P. 6–15.
5. Benallal A., Calloch S., Laborderie C., Marquis D. Hardening of metals under cyclic nonproportional loadings in tension-torsionand triaxial tension // International seminar on Multiaxial plasticity. 1-4 Septebmer 1992. Cachan France. – Cachan, 1992. – P. 1–7.
6. Nonproportional Loadings in Plasticity and Viscoplasticity: Experimentation and Modelling / A. Benallal, J. Lemaitre, D. Marquis, M. Ronsset // Proceedings the International Conference on Non Linear Mechanics. – China, Shanghai, 1985.
7. Benallal A., Marquis D. Constitutive Equations for Nonproportional Cyclic Elasto-Viscoplasticity // Journal of Engineering Materials and Technology. – 1987. – Vol. 109. – P. 326–337.
8. Benallal A., Marquis D. An Experimental Investigation of Cyclic Hardening of 316 SS Under Complex Multiaxial Loadings // Proc. Of the 9^th SMIRT Conf., paper L 10/3. Lausanne, 17-21 August 1987. – Lausanne, 1987.
9. Benallal A., Le Gallo P., Marquis D. An experimental investigation of cyclic hardening of 316 stainless steel and of 2024 aluminum alloy under multiaxial loading // Nucl. Eng. Des. – 1989. –
   Vol. 114. – P. 345–353.
10. Delobelle P., Robinet P., Bocher L. Experimental study and phenomenological modelization of ratcheting under uniaxial and biaxial loading on an austenitic stainless steel // Int. J. Plasticity. – 1995. – Vol. 11. – P. 295–330.
11. Haupt P., Kamlah M. Representation of cyclic hardening and softening properties using continuous variables // Int. J. Plasticity. – 1995. – Vol. 11. – P. 267–291.
12. An experimental study on uniaxial and multiaxial strain cyclic characteristics and ratchetting of 316L stainless steel / G.Z. Kang, Q. Gao, X.J. Yang, Y.F. Sun // J. Mater. Sci. Technol. – 2001. – Vol. 17. – P. 219–223.
13. Kanazawa K., Miller K.J., Brown M.W. Cyclic Deformation of 1% Cr. Mo. V. Steel Under Out-of-Phase Loads // Fat. Of Eng. Mat. and Struc. – 1979. – Vol. 2. – P. 217.
14. Kremple E., Lu H. The Hardening and Rate Dependent Behavior of Fully Annealed AISI Type 304 Stainless Steel Under Biaxial in Phase and Out-of-Phase Strain Cycling at Room Temperature // ASME Journal of Engineering Materials and Technology. – 1984. – Vol. 106. – P. 376–382.
15. Krieg R.D. A Practical Two Surface Plasticity Theory // Journal of Applied Mechanics. – 1975. – Vol. 42. – P. 641–646.
16. McDowell D.L., Socie D.F. Transient and Stable Deformation Behavior Under Cyclic Nonproportional Loadings. ASTM – STP 853 // Proceedings of the International Symposium on Biaxial-Multiaxial I atigue. – San Francisco, 1982. – P. 64–87.
17. Olschewski J., Pilvin P. Phenomenological vs. micromechanical approaches for multiaxial loading // Preprints of MECAMAT’92. International Seminar on Multiaxial Plstisity. 1-4 September 1992. Cachan France. – Cachan, 1992.
18. Tasnim H., Stelios K. Ratcheting of Cyclically hardening and softening materials: II Multiaxial behavior // Inter. J. of Plasticity. – 1994. – Vol. 10. – No. 2. – P. 185–212.
19. Tanaka E., Murakami S., Ooka M. Effects of Plastic Strain Amplitudes on Non-proportional Cyclic Plasticity // Acta Mech. – 1985. – Vol. 57. – P. 167–182.
20. Tanaka E., Murakami S., Ooka M. Effects of strain path shapes on nonproportional cyclic plasticity // J. Mech. Phys. Solids. – 1985. – Vol. 33. – No. 6. – P. 559–575.
21. Tanaka E. A non-proportionality parameter and a cyclic viscoplastic constitutive model taking into account amplitude dependences and memory effects of isotropic hardening // Eur. J. Mech. A/Solids. – 1994. – Vol. 13. – P. 155–173.
22. Ziebs J., Meersmanu J., Kuhn H.-J. Effects of proportional and nonproportional staining sequences on hardening/softening behaviour of IN 738 LC at elevated temperatures // Preprints of MECAMAT’92. International Seminar on Multiaxial Plstisity. Cachan France, 1-4 September 1992. – Cachan, 1992.
23. Hassan T., Taleb L., Krishna S. Influence of non-proportional loading on ratcheting responses and simulations by two recent cyclic plasticity models // Int. J. of Plasticity. – 2008. – Vol. 24. – P. 1863–1889. DOI:10.1016/j.ijplas.2008.04.008
24. Zhang J., Jiang Y. Constitutive modeling of cyclic plasticity deformation of a pure polycrystalline copper // Int. J. of Plasticity. – 2008. – Vol. 24. – P. 1890–1915. DOI:10.1016/j.ijplas.2008.02.008
25. Кадашевич Ю.И., Мосолов А.Б. О соотношениях эндохронной теории пластичности с «новой» мерой внутреннего времени при сложном циклическом нагружении // Технология легких сплавов. – 1990. – № 3. – C. 32–36.
26. Коротких Ю.Г., Маковкин Г.А. О моделировании процессов непропорционального упругопластического деформирования на базе уравнений пластичности с комбинированным упрочнением // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических процессов: межвуз. сб. – М.: Товарищ. науч. изд. КМК. – 1997. – C. 5–10.
27. Маковкин Г.А. Сравнительный анализ параметров непропорциональности сложного упругопластического деформирования. // Вестн. Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. Сер. Механика. – 1999. – Вып. 1. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ. – C. 30–36.
28. Бондарь В.С., Титарев И.А. Вариант теории пластичности для пропорциональных и непропорциональных циклических нагружений // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. – Вып. 63. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2001. – C. 5–17.
29. Бондарь В.С. Неупругость. Варианты теории. - М.: Физматлит, 2004. - 144 с.
30. Бондарь В.С., Даншин В.В. Пластичность. Пропорциональные и непропорциональные нагружения. - М.: Физматлит, 2008. -176 с.
31. Bondar V.S. Inelasticity. Variants of the theory. - New York: Begell House, 2013. - 194 p.
32. Bari S., Hassan T. An advancement in cyclic plasticity modeling for multiaxial ratcheting simulation // Int. J. of Plasticity.- 2002. - Vol. 18. - P. 873–894.
33. Uniaxial ratcheting and fatigue failure of tempered 42CrMo steel: Damage evolution and damage-coupled viscoplastic constitutive model / G. Kang, Y. Liu, J. Ding, Q. Gao // Int. J. of Plasticity. – 2009. – Vol. 25. – P. 838–860.
34. Kan Q., Kang G. Constitutive model for uniaxial transformation ratcheting of super-elastic NiTi shape memory alloy at room temperature // Int. J. of Plasticity. - 2009. - Vol. 26 (3). - P. 441–465. DOI:10.1016/j.ijplas.2009.08.005
35. Chaboche J.-L. A review of some plasticity and viscoplasticity constitutive theories // Int. J. of Plasticity. - 2008. – Vol. 24. - P. 1642–1692.
36. Rahman S.M., Hassan T., Corona E. Evaluation of cyclic plasticity models in ratcheting simulation of straight pipes under cyclic bending and steady internal pressure // Int. J. of Plasticity. - 2008. – Vol. 24. - P. 1756–1791.
37. Abdel-Karim M. Modified kinematic hardening rules for simulations of ratchetting // Int. J. of Plasticity. - 2009. – Vol. 25. - P. 1560–1587.
38. Abdel-Karim M. An evaluation for several kinematic hardening rules on prediction of multiaxial stress-controlled ratchetting // Int. J. of Plasticity. - 2010. – Vol. 26. - P. 711–730.
39. Dafalias Y.F., Feigenbaum H.P. Biaxial ratchetting with novel variations of kinematic hardening // Int. J. of Plasticity. - 2011. – Vol.27. - P. 479–491.
40. Chaboche J.-L., Kanouté P., Azzouz F. Cyclic inelastic constitutive equations and their impact on the fatigue life predictions // Int. J. of Plasticity. - 2012. – Vol.35. - P. 44–66.
41. Multiaxial ratcheting with advanced kinematic and directional distortional hardening rules / H.P. Feigenbaum, J. Dugdale, Y.F. Dafalias, K.I. Kourousis, J. Plesek // Int. J. of Solids and Structures. - 2012. – Vol. 49 (22). – P. 3063–3076.
42. Hassan T., Taleb L., Krishna S. Influence of non-proportional loading on ratcheting responses and simulations by two recent cyclic plasticity models // Int. J. Plasticity. - 2008. – Vol. 24 – P. 1863–1889.
43. Effect of dynamic strain aging on isotropic hardening in low cycle fatigue for carbon manganese steel / Z.Y. Huang, J.L. Chaboche, Q.Y. Wang, D. Wagner, C. Bathias // Materials Science and Engineering. – 2014. - A589. – P. 34–40.
44. Jiang Y., Zhang J. Benchmark experiments and characteristic cyclic plasticity Deformation // Int. J. of Plasticity. - 2008. – Vol. 24. – P. 1481–1515.
45. Kang G., Kan Q. Contitutive modeling for uniaxial time-dependent ratcheting of SS304 stainless steel // Mech. Mater. - 2007. – Vol. 39. – P. 488–499.
46. Uniaxial ratchetting and fatigue failure of tempered 42CrMo steel:damage evolution and damage-coupled viscoplastic contitutive model / G. Kang, Y. Liu, J. Ding, Q. Gao // Int. J. Plasticity. - 2009. – Vol. 25. – P. 838–860.
47. Multi-mechanism modeling of proportional and non- proportional ratchetting of stainless steel 304 / K. Saï, L. Taleb, F. Guesmi, G. Cailletaud // Acta Mech. - 2014. – Vol. 225 (11). – P. 3265–3283.
48. Taleb L., Cailletaud G. Cyclic accumulation of the inelastic strain in the 304L SS under stress control at room temperature: Ratcheting or creep // Int. J. Plasticity. – 2011. - Vol. 27 (12). – P. 1936–1958.
49. Taleb L. About the cyclic accumulation of the inelastic strain observed in metals subjected to cyclic stress control // Int. J. Plasticity. - 2013. – Vol. 43. – P. 1–19.
50. Taleb L., Cailletaud G., Saï K. Experimental and numerical analysis about the cyclic behavior of the 304L and 316L stainless steels at 350 °C // Int. J. Plasticity. - 2014. – Vol. 61. – P. 32–48.
51. Бондарь В.С., Даншин В.В., Макаров Д.А. Математическое моделирование процессов деформирования и накопления повреждений при циклических нагружениях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2014. - № 2. - С. 125–152.
52. Бондарь В.С., Даншин В.В., Алхимов Д.А. Анализ циклического деформирования и мало-, многоцикловой усталости в условиях одноосного напряженного состояния // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 4. – С. 52–71. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.4.04
53. Socie D. Multiaxial Fatigud Damage Models // ASME Journal of Engineering Materials and Technology. – 1988. – Vol. 3. – P. 9–21.
54. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. – М.: Изд-во АН СССР, 1963. – 271 с.
55. Зубчанинов В.Г., Охлопков Н.Л., Гараников В.В. Экспериментальная пластичность: моногр. Кн. 1. Процессы сложного деформирования.– Тверь: Изд-во ТГТУ, 2003. – 172 с.
56. Зубчанинов В.Г., Гультяев В.И., Зубчанинов Д.В. Экспериментальное исследование сложного деформирования стали 45 по траекториям типа «плоский винт» // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Строительные материалы, конструкции и сооружения. – Тула: Изд-во Тул. гос. ун-та,
    2006. – № 1.
57. Jiang Y., Sehitoglu H. Cyclic ratchetting of 1070 steel under multiaxial stress states // Int. J. Plasticity. – 1994. – Vol. 10. – No 5. – P. 579–608.
58. Jiang Y., Sehitoglu H. Modeling of cyclic rathetting plasticity. Part 2.: comparison of model simulations with experiments // ASME J. APPL. Mech. – 1996. – Vol. 63. – P. 726–733. 

Развита численная модель динамического механического поведения хрупких материалов, основанная на идеях кинетической теории прочности. Предложенная динамическая модель хрупких материалов представляет собой обобщение формализма классической «квазистатической» модели пластичности Николаевского (неассоциированного закона пластического течения с критерием пластичности
в форме Мизеса–Шлейхера) и модели разрушения Друкера–Прагера на область скоростей деформации, соответствующую динамическому нагружению. При этом
в отличие от традиционного подхода к построению динамических моделей, для которого характерно введение зависимостей параметров модели от скорости деформации, в предложенной модели ключевыми параметрами являются характерные времена зарождения несплошностей соответствующего масштаба.

Представленная модель описывает изменение прочностных и реологических свойств хрупких материалов с ростом скорости нагружения. При этом обеспечивается корректный переход от квазистатического режима деформирования к динамическому в диапазоне скоростей деформации 10^–3< <10³ с^–1.

В рамках предложенной динамической модели предполагается наличие экспериментальных данных о зависимостях прочностных и реологических характеристик материала от характерных времен зарождения несплошностей различного масштаба. Однако ввиду сложности и трудоемкости получения данной информации в работе предложен способ получения оценок требуемых зависимостей путем преобразования зависимостей механических характеристик материала от скорости деформации, которые могут быть получены с помощью стандартных испытаний.

Развитая в работе динамическая модель может быть реализована в рамках различных лагранжевых численных методов, использующих явную схему интегрирования (включая методы конечных и дискретных элементов), и является актуальной для решения нового класса прикладных задач, связанных с природными
и техногенными динамическими воздействиями на элементы конструкций из искусственных строительных материалов, в том числе бетонов и керамик, а также из природных каменных материалов.

Ключевые слова: кинетическая теория прочности, хрупкие материалы, неупругое поведение, разрушение, математическая модель, лагранжевы численные методы, время разрушения, время релаксации, скорость деформации, динамическое нагружение, метод подвижных клеточных автоматов.

Григорьев Александр Сергеевич – младший научный сотрудник, e-mail: grigoriev@ispms.tsc.ru

Шилько Евгений Викторович – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: shilko@ispms.tsc.ru

Скрипняк Владимир Альбертович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: skrp2006@yandex.ru

Чернявский Александр Григорьевич – советник ген. директора РКК «Энергия», e-mail: alexander.cherniavsky@rsce.ru

Псахье Сергей Григорьевич – член-корреспондент РАН, директор Института физики прочности и материаловедения СО РАН, e-mail: sp@ispms.tsc.ru

1. A review of mechanisms and models for dynamic failure, strength, and fragmentation /
   K.T. Ramesh, J.D. Hogan, J. Kimberley, A. Stickle // Planet. Space Sci. – 2015. – Vol. 107. – P. 10–23.
2. Brischoff P.H., Perry S.H. Compressive behavior of concrete at high strain rates // Mater. Struct. – 1991. – Vol. 24. – P. 425–450.
3. Malvar L.J., Crawford J.E. Dynamic increase factors for concrete // Proceedings of 28th DDESB seminar. – Orlando, FL, 1998. – P. 1–17.
4. Xu H., Wen H.M. Semi-empirical equations for the dynamic strength enhancement of concrete-like materials // Int. J. Impact. Eng. – 2013. – Vol. 60. – P. 76–81.
5. Мохначев М.П., Присташ В.В. Динамическая прочность горных пород / под ред. Л.Ф. Данковой. – М.: Наука, 1982. – 140 с.
6. Динамическое деформирование и разрушение хрупких структурно-неоднородных сред / А.М. Брагов [и др.] // Проблемы прочности и пластичности. – 2012. – № 74. – С. 59–67.
7. Исследование механических свойств мелкозернистого бетона при динамическом нагружении / А.М. Брагов [и др.] // Приволжский научный журнал. – 2014. – № 4. – С. 8–17.
8. Response of high-strength concrete to dynamic compressive loading / Y.B. Guo, G.F. Gao, L. Jing, V.P.W. Shim // International Journal of Impact Engineering. – 2017. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2017.04.015
9. Радченко А.В., Радченко П.А. Ударно-волновые процессы и разрушение в анизотропных материалах и конструкциях. – Томск: Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2015. – 204 с.
10. Oden J. T. An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements. – Wiley, New York, 1976. – 429 p.
11. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 539 с.
12. Yuh-Shiou Tai. Chia-Chih Tang Numerical simulation: The dynamic behavior of reinforced concrete plates under normal impact // Theor. Appl. Fract. Mec. – 2006. – Vol. 45. – No. 2. – P. 117–127.
13. Panteki E., Máca P., Häussler-Combe U. Finite element analysis of dynamic concrete-to-rebar bond experiments in the push-in configuration // Int. J. Impact. Eng. – 2017. – Vol. 106. – P. 155–170.
14. Potyondy D.O., Cundall P.A. A bonded-particle model for rock. Int J Rock Mech Min Sci. – 2004. – Vol. 41. – P. 1329–1364.
15. Jing L, Stephansson O. Fundamentals of discrete element method for rock engineering: theory and applications. – Elsevier, 2007. – 562 p.
16. Dmitriev A.I., Österle W. Modelling the sliding behaviour of tribofilms forming during automotive braking: Impact of loading parameters and property range of constituents // Tribology Letters. – 2014. – Vol. 53. – No. 1. – P. 337–351.
17. Kuznetsov, V.P., Tarasov, S.Yu., Dmitriev, A.I. Nanostructuring burnishing and subsurface shear instability // Journal of Materials Processing Technology. – 2015. – Vol. 217. – P. 327–335.
18. Астафуров С.В., Шилько Е.В., Псахье С.Г. О возможностях и ограничениях усредненного описания неупругого поведения хрупких пористых материалов в стесненных условиях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2017. – № 1. – С. 208–232. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.1.12
19. Munjiza A. The combined finite-discrete element method. – Chichester, Wiley, 2004. – 333 p.
20. Y-Geo: New combined finite-discrete element numerical code for geomechanical applications / O.K. Mahabadi, A. Lisjak, A. Munjiza, G. Grasselli // International Journal of Geomechanics. – 2012. – Vol. 12. – P. 676–688.
21. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Модель хрупкого разрушения пористых материалов при сжатии // Вестник Пермского государственного технического университета. Механика. – 2009. – №17. – С. 47–57.
22. Wong T.-f., David C., Zhu W. The transition from brittle faulting to cataclastic flow in porous sandstones // J. Geophys. Res. – 1997. – Vol. 102. – P. 3009–3025.
23. Wong T.-f., Baud P. The brittle-ductile transition in porous rock: A review // J. Struct. Geol. – 2012. – Vol. 44. – P. 25–53.
24. Стефанов Ю.П. Моделирование поведения консолидированных и высокопористых геологических сред в условиях сжатия // Вестник Пермского государственного технического университета. Механика. – 2007. – №15. – С. 156–169.
25. Paterson M.S., Wong T.-f. Experimental rock deformation – the brittle field. – Springer-Verlag, New York, 2005. – 347 p.
26. Jaeger C. Rock Mechanics and Engineering. – Cambridge University Press, 2009. – 523 p.
27. Николаевский В.Н. Собрание трудов. Геомеханика. Т. 3. Землетрясения и эволюция коры. Скважины и деформации пласта. Газоконденсат / НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований. – М.; Ижевск, 2012. – 644 с.
28. Post-yield strength and dilatancy evolution across the brittle-ductile transition in indiana limestone / G. Walton, A. Hedayat, E. Kim [et al.] // Rock Mech Rock Eng. – 2017. – Vol. 50. – P. 1–20. DOI:10.1007/s00603-017-1195-1
29. Cheng J., Qian X., Zhao T. Rheological viscoplastic models of asphalt concrete and rate-dependent numerical implement // International Journal of Plasticity. – 2016. – Vol. 81. – P. 209–230.
30. Taylor L.M., Chen E.-P., Kuszmaul J.S. Microcrack-induced damage accumulation in brittle rock under dynamic loading // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 1986. – Vol. 55. – No. 3. – P. 301–320.
31. Shahzamanian M.M. Implementation of a rate dependent tensile failure model for brittle materials in ABAQUS // International Journal of Impact Engineering. – 2016. – Vol. 97. – P. 127–147.
32. Holmquist T.J., Johnson G.R., Cook W.H. A computational constitutive model for concrete subjected to large strains, high strain rates and high pressures / M. Murphy, J. Backofen (Eds.) // Proceedings of the 14th international symposium on Ballistics. – Canada, Quebec, 1993. – P. 591–600.
33. Murray Y.D., Abu-Odeh A., Bligh R. Users manual for LS-DYNA concrete material model 159. – U.S. Department Transportation Federal Highway Administration, FHWA-HRT-05-062, 2007. – P. 53–78.
34. A plasticity concrete material model for DYNA3D / L.J. Malvar, J.E. Crawford, J.W. Wesevich,
    D. Simons // Int J Impact Eng. – 1997. – Vol. 19. – No. 9–10. – P. 847–873.
35. Penetration of Reinforced Concrete by BETA-B-500, Numerical Analysis using a New Macroscopic Concrete Model for Hydrocodes / W. Riedel, K. Thoma, S. Hiermaier, E. Schmolinske // SKA (Ed.), Proceedings of the 9th international symposium on interaction of the effects of munitions with structures. – Germany, Berlin Strausberg, 1999. – P. 315–322
36. A nonlinear dynamic uniaxial strength criterion that considers the ultimate dynamic strength of concrete / D. Lu, G. Wang, X. Du, Y. Wang // International Journal of Impact Engineering. – 2017. – Vol. 103. – P. 124–137.
37. Dynamic spherical cavity expansion analysis of rate-dependent concrete material with scale effect / J. Feng, W. Li, X. Wang, M. Song, H. Ren, W. Lia // Int J Impact Eng. – 2015. – Vol. 84. – P. 24–37.
38. Micromechanical model for comminution and granular flow of brittle material under high strain rate application to penetration of ceramic targets / D. Curran, L. Seaman, T. Cooper, D. Shockey // Int J Impact Eng. – 1993. – Vol. 13. – No. 1. – P. 53–83.
39. Bažant Z.P. Size effect // Int J Solids Struct. – 2000. – Vol. 37. – No. 1. – P. 69–80.
40. Marti P. Size effect in double-punch tests on concrete cylinders // ACI Mater J. – 1989. – Vol. 86. – No. 6. – P. 597–601.
41. Holmquist T.J., Johnson G.R. A computational constitutive model for glass subjected to large strains, high strain rates and high pressures // ASCE J Appl Mech. – 2011. – Vol. 78. – No. 5. – P. 051003.
42. A concrete constitutive model considering coupled effects of high temperature and high strain rate / Xiao Yu, Li Chen, Qin Fang, Zheng Ruan, Jian Hong, Hengbo Xiang // Int J Impact Eng. – 2017. – Vol. 101. – P. 66–77.
43. Park S.W., Xia Q., Zhou M. Dynamic behavior of concrete at high strain rates and pressures: II. numerical simulation // International Journal of Impact Engineering. – 2001. – Vol. 25. – No. 9. – P. 887–910.
44. Numerical modeling of ice behavior under high velocity impacts / J. Pernas-Sánchez, D.A. Pedroche, D. Varas, J. López-Puente, R. Zaera // International Journal of Solids and Structures. – 2012. – Vol. 49. – No. 14. – P. 1919–1927.
45. Радченко А.В., Радченко П.А. Поведение хрупких анизотропных материалов с различной ориентацией механических свойств на пределе пробития // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2012. – №1. – С. 122–131.
46. Zhurkov S.N. Kinetic concept of the strength of solids // International Journal of Fracture. – 1984. – Vol. 26. – No. 4. – P. 295–307.
47. Regel V.R. Present state of solid bodies strength physics // Rheologica Acta. – 1975. – Vol. 14. – P. 19–26.
48. Братов В.А., Петров Ю.В. Применение критерия инкубационного времени для описания распространения динамических трещин // Докл. РАН. – 2007. – Т. 416, № 5. – С. 624–626.
49. Morozov N. F., Petrov Yu. V. Incubation time based testing of materials // European Journal of Mechanics A/Solids. – 2006. – Vol.25. – No. 4. – P. 670–676.
50. Petrov Yu.V., Gruzdkov A.A., Bratov V.A. Structural-temporal theory of fracture as a multiscale process // Physical Mesomechanics. – 2012. – Vol. 15. – P. 232–237.
51. Multi-scale dynamic fracture model for quasi-brittle materials / Y.V. Petrov, B.L. Karihaloo, V.V. Bratov, A.M. Bragov // International Journal of Engineering Science. – 2012. – Vol. 61. – P. 3–9.
52. Selyutina N., Petrov Y. The dynamic strength of concrete and macroscopic temporal parameter characterized in fracture process // Procedia Structural Integrity. – 2016. – Vol. 2. – P. 438–445.
53. Морозов Н. Ф., Петров Ю. В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997. –129 c.
54. A mathematical model of particle–particle interaction for discrete element based modeling of deformation and fracture of heterogeneous elastic–plastic materials / S.G. Psakhie, E.V. Shilko, A.S. Grigoriev, S.V. Astafurov, A.V. Dimaki, A.Yu. Smolin // Eng. Fract. Mech. – 2014. – Vol. 130. – P. 96–115.
55. Stefanov Yu.P. Deformation localization and fracture in geomaterials. Numerical simulation // Phys Mesomech. – 2002. – Vol. 5–6. – P. 67–77.
56. Effect of dynamic stress state perturbation of irreversible strain accumulation at interfaces in block-structured media / A.S. Grigoriev [et al.] // Physical Mesomechanics. – 2016. – Vol. 19. – No. 2. – P. 136–148.
57. Влияние фильтрации флюида на прочность пористых флюидонасыщенных хрупких материалов / А.В. Димаки, Е.В. Шилько, С.В. Астафуров, С.Г. Псахье // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 4. – С. 220–247. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.4.13
58. Wilkins M.L. Computer simulation of dynamic phenomena. – Springer-Verlag, 1999. – 246 p.
59. Development of a formalism of movable cellular automaton method for numerical modeling of fracture of heterogeneous elastic-plastic materials / S. Psakhie [et al.] // Fracture and Structural Integrity. – 2013. – Vol. 24. – P. 26–59.
60. Petrov Yu.V. On the “quantum” nature of dynamic fracture in brittle solids // Sov. Phys. Dokl. – 1991. – Vol. 36. – P. 802–804.
61. Approach to simulation of deformation and fracture of hierarchically organized heterogeneous media, including contrast media / S.G. Psakhie, E.V. Shilko, A.Yu. Smolin, A.V. Dimaki, A.I. Dmitriev, I.S. Konovalenko, S.V. Astafurov, S. Zavsek // Phys. Mesomechanics. – 2011. – Vol. 14. – P. 224–248.
62. Overcoming the limitations of distinct element method for multiscale modeling of materials with multimodal internal structure / E.V. Shilko, S.G. Psakhie, S. Schmauder, V.L. Popov, S.V. Astafurov, A.Yu. Smolin // Comp. Mater. Sci. – 2015. – Vol. 102. – P. 267–285.
63. Mikhailov A.S. Foundations of synergetics I. Distributed active systems. – Berlin: Springer, 1994. – 187 p.
64. Wiener N., Rosenblueth A. The mathematical formulation of the problem of conduction of impulses in a network of connected excitable elements, specially in cardiac muscle // Arch Inst Cardiol Mex. – 1946. – Vol. 16. – No. 3–4. – P. 205–65.
65. Su Haoyang, Xu Jinyu. Weibo Ren Mechanical properties of geopolymer concrete exposed to dynamic compression under elevated temperatures // Ceramics International. – 2016. – Vol. 42. – P. 3888–3898.

Рассматривается статический линейный изгиб трубопровода на переходах через реки и овраги под действием собственного веса трубы и транспортируемой жидкости. Предполагается, что части трубопровода по обе стороны от провисающего участка заделаны в грунт с одинаковыми свойствами. Применяется простейшая модель упругости грунта, состоящая в его замене распределенной системой пружин с определенными жесткостями в продольном и поперечном направлениях трубопровода. Скорость движения транспортируемой жидкости не учитывается. Внутренний перепад давления оказывает неуравновешенное боковое усилие, направленное в сторону выпуклости искривленной осевой линии. Учитывается также влияние на изгиб осевого растяжения трубы, возникающего в результате ее осесимметричной деформации. Прямая задача состоит в определении прогиба при заданных размерных, жесткостных и силовых характеристиках трубопровода и грунта. Для упрощения задачи рассматривается случай высокого внутреннего давления и неглубокого залегания трубопровода в грунте. Определяется зависимость прогиба от отношения жесткостей грунта и трубопровода, а также от внутреннего давления. С увеличением давления возрастает прогиб. В частности, определяется критическое значение внутреннего давления, когда в линейной задаче прогиб возрастает неограниченно. Обратная задача состоит в определении относительной жесткости грунта при приборном определении прогиба трубопровода или деформации его крайних волокон. Для этого применяется способ догружения трубопровода известной сосредоточенной силой и соответствующего приборного определения прогиба или деформации. В частности, догружение и соответствующие замеры осуществляются в средней точке пролета трубопровода. Определяется критическое значение относительной жесткости грунта, ниже которого прогибы возрастают неограниченно.

Ключевые слова: трубопровод, транспортируемая среда, внутреннее давление, грунт, критические значения давления и упругости грунта.

Ильгамов Марат Аксанович – доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, е-mail: ilgamov@anrb.ru

Юлмухаметов Артур Ахмарович – аспирант, е-mail: artyr_yulmuhametov@mail.ru

1. Виноградов С.В. Расчет подземных трубопроводов на внешние нагрузки. – М.: Стройиздат, 1980. – 135 с.
2. Айнбиндер А.Б., Камерштейн А.Г. Расчет магистральных трубопроводов на прочность и устойчивость. – М.: Недра, 1982. – 341 с.
3. Александров М.М. Взаимодействие колонны труб со стенками скважины. – М.: Недра, 1982. – 144 с.
4. Бородавкин П.П., Синюков А.М. Прочность магистральных трубопроводов. – М.: Недра, 1984. – 226 с.
5. Васильев Н.П. Балластировка и закрепление трубопроводов. – М.: Недра, 1984. – 166 с.
6. Морозов В.Н. Магистральные трубопроводы в сложных инженерно-геологических условиях. – Л.: Недра, 1987. – 121 с.
7. Перун И.В. Магистральные трубопроводы в горных условиях. – М.: Недра, 1987. – 175 с.
8. Зарипов Р.М., Коробков Г.Е., Чичелов В.А. Универсальный метод расчета на прочность магистральных газопроводов // Газовая промышленность. – 1998. – № 4. – С. 44–55.
9. Харионовский В.В. Надежность и ресурс конструкции газопроводов. – М.: Недра,
   2000. – 486 с.
10. Султанов М.Х. Основные положения расчета допустимого рабочего давления при эксплуатации магистральных нефтепродуктопроводов // Транспорт и хранение нефтепродуктов. – 2002. – № 12. – С. 8–12.
11. Ильгамов М.А. Статические задачи гидроупругости / ИММ РАН. – Казань, 1994. – 208 с.
12. Tang D.M., Ilgamov M.A., Dowell E.H. Buckling and post-buckling behaviour of a pipe subjected to internal pressure // Journal of Applied Mechanics: Transactions ASME. – 1995. – Vol. 62. – No. 3. – P. 595–600. DOI: 10.1115/1.2895987
13. Ilgamov, M.A., Ratrout, R.A. Large deflection of superconducting cable // Int. J. Nonlinear Mech. – 1999. – Vol. 34. – No. 5. – P. 869–880. DOI: 10.1016/S0020-7462(98)00059-6
14. Ильгамов М.А., Якупов Р.Г. Сильный изгиб трубопровода // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2003. – № 6. – С. 109–116.
15. Елисеев В.В., Зиновьева Т.В. Нелинейно-упругая деформация подводного трубопровода в процессе укладки // Вычисл. мех. сплош. сред. – 2012. – № 1. – С. 70–78. DOI: 10.7242/1999-6691/2012.5.1.9
16. Ахатов И.Ш., Ахтямов А.М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. – 2001. – № 2. – С. 290–298.
17. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. – М.: Физматлит, 2009. – 272 с.
18. Глазков А.С., Климов В.П., Гумеров К.М. Продольно-поперечный изгиб трубопровода на участках грунтовых изменений // Проблемы сбора, подготовки и транспорта нефти и нефтепродуктов. – 2012. – № 1. – С. 63–70.
19. Чужиков С.Н., Новиков П.А., Ларионов Ю.В. Анализ прочности трубопровода на участках просадки грунта // Проблемы сбора, подготовки и транспорта нефти и нефтепродуктов. – 2012. – № 4. – С. 92–100.
20. Гимазетдинов И.Р., Климов В.П., Гумеров А.К. Некоторые особенности напряженного состояния трубопроводов на переходах через реки и овраги // Проблемы сбора, подготовки и транспорта нефти и нефтепродуктов. – 2014. – № 3. – С. 55–65.
21. Dynamics of a pipe conveying fluid flexibly restrained at the ends / M. Kheiri, M.P. Paidoussis, G.C.Del. Pozo, M. Amabili // Journal of Fluids and Structures. – 2014. – Vol. 49. – P. 360–385. DOI: 10.1016/j.jfluidstructs.2013.11.023
22. Evolution of the double-jumping in pipes conveying fluid flowing at the supercritical speed / L.Q. Chen, Y.L. Zhang, G.C. Zhang, H. Ding // International Journal of Non-Linear Mechanics. –
    2014. – Vol. 58. – P. 11–21. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2013.08.012
23. Saadelin R., Hu Y., Henni A. Numerical analysis of buried pipes under field geo-environmental conditions // International Journal of Geo-Engineering. – 2015. – Vol. 2. – P. 1–22. DOI:10.1186/s40703-015-0005-4
24. Li S., Karney B.W., Liu G. FSI research in pipeline systems – A review of the literature // Journal of Fluids and Structures. – 2015. – Vol. 57. – P. 277–297. DOI: 10.1016/j.jfluidstructs.2015.06.020
25. Texier B.D., Dorbolo S. Deformations of an elastic pipe submitted to gravity and internal fluid flow // Journal of Fluids and Structures. – 2015. – Vol. 55. – P. 364–371. DOI: 10.1016/j.jfluidstructs.2015.03.010
26. Wang S., Karmakar D., Soares C.G. Hydroelastic impact of a horizontal floating plate
    with forward speed // Journal of Fluids and Structures. – 2016. – Vol. 60. – P. 97–113. DOI: 10.1016/j.jfluidstructs.2015.11.005
27. Ганиев Р.Ф., Ильгамов М.А. Упругая реакция трубопровода на внутреннее ударное давление // ДАН. – 2016. – Т. 470, № 2. – С. 162–165. DOI: 10.7868/S0869565216260078

Приводятся решения связанных краевых задач для толстостенных цилиндра и сферы из сплава с памятью формы (СПФ), материл которых претерпевает прямое термоупругое мартенситное фазовое превращение при охлаждении под действием постоянного внутреннего давления. Рассматриваются медленные процессы охлаждения, при которых распределение температуры по материалу в каждый момент времени можно считать равномерным. Результаты сравниваются с аналитическими решениями таких же задач, ранее полученными в предположении о равномерном распределении по материалу величины объемной доли мартенситной фазы. Моделируется квазистатическое движение по материалу фронтов начала и завершения фазового перехода и связанные с этими движениями перераспределения напряжений и деформаций по сечению. Установлено, что прямое фазовое превращение начинается на внутренней поверхности оболочек. Зона фазового перехода достаточно быстро (по сравнению с ростом параметра фазового состава
в точках внутренней поверхности) распространяется вдоль радиальной координаты, выходя на внешнюю поверхность. После этого фазовый переход развивается по всей толщине, причем величина объемной доли мартенситной фазы q является слабо убывающей функцией радиальной координаты (разница значений q на внутренней и внешней поверхностях составляет малую долю максимального значения q, равного 1). Завершение фазового перехода впервые наблюдается на внутренней поверхности, после чего граница завершения фазового перехода быстро перемещается по толщине от внутренней поверхности к внешней. Интенсивность напряжений и кольцевое напряжение в процессе фазового перехода меняются немонотонно и разнонаправленно для внутренней и внешней поверхностей. На внутренней поверхности эти напряжения имеют максимальные значения в точках начала и окончания фазового перехода и минимальные значения в некоторой промежуточной точке. Для внешней поверхности, наоборот, минимальные значения наблюдаются в начале и конце фазового перехода, а максимальное – в промежуточной точке процесса.

Ключевые слова: cплавы с памятью формы, прямое превращение, краевые задачи, толстостенный цилиндр, толстостенная сфера, фронт фазового перехода.

Машихин Антон Евгеньевич – аспирант, e-mail: a--nton@mail.ru

Мовчан Андрей Александрович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: movchan47@mail.ru

1. Мовчан А.А. Исследование эффектов связности в задачах изгиба балок из сплава с памятью формы // Прикладная механика и техническая физика. – 1998. – Т. 39, № 1. – С. 87–97.

2. Gordaninejad F., Wu W. A two – dimensional shape memory alloy/elastomer actuator // International Journal of Solids and Structure. – 2001. – Vol. 38. – P. 3393–3409.

3. Мишустин И.В., Мовчан А.А. Моделирование фазовых и структурных превращений в сплавах с памятью формы, происходящих под действием немонотонно меняющихся напряжений // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2014. – № 1. – С. 37–53.

4. Yang S., Xu M. Finite element analysis of 2D SMA beam bending // Acta Mechanica Sinica. – 2011. – Vol. 27. – No. 5. – P. 738–748.

5. Сафронов П.А. Учет разносопротивляемости сплавов с памятью формы при решении задач о мартенситной неупругости и прямом превращении в балке, находящейся под действием изгибающего момента // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2016. – Т. 22, № 1. – С. 114–127.

6. Сафронов П.А. Решение задач о мартенситной неупругости и прямом фазовом превращении в балке из сплава с памятью формы с учетом упругих деформаций и разносопротивляемости этих сплавов // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2017. – Т. 23, № 1. – С. 69–89.

7. Mirzaeifar R., Desroches R., Yavari A. Exact solutions for pure torsion of shape memory alloy circular bars // Mechanics of Materials. – 2010. – Vol. 42. – No. 8. – P. 797–806.

8. Саганов Е.Б. Решение задачи о прямом мартенситном переходе в стержне из сплава с памятью формы, находящемся под действием постоянного крутящего момента // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2014. – Т. 20, № 3. – С. 454–468.

9. Саганов Е.Б. Решение задачи об обратном мартенситном переходе в стержне из сплава с памятью формы, находящемся под действием постоянного крутящего момента // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2014. – Т. 20, № 4. – С. 663–674.

10. Саганов Е.Б. Решение дважды связанной задачи кручения тонкостенных трубок из сплава с памятью формы в режиме сверхупругости // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2015. – Т. 21, № 4. – С. 548–562.

11. Coupled thermo-mechanical analysis of shape memory alloy circular bars in pure torsion / R. Mirzaeifar, R. DesRoches, A. Yavari, K. Gall // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2012. – Vol. 47. – P. 118–128.

12. Мовчан А.А. Кручение призматических стержней из сплавов с памятью формы // Известия РАН. Механика твердого тела. – 2000. – № 6. – С. 143–154.

13. Mirzaeifar, R., Desroches, R., Yavari, A. A combined analytical, numerical, and experimental study of shape-memory-alloy helical springs // International Journal of Solids and Structures. – 2011. – Vol. 48. – No. 3–4. – P. 611–624.

14. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. – СПб.: Наука, 1993. – 471 c.

15. Лихачев В.А., Малинин В.Г., Шляхов С.А. Расчет напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы, изготовленной из материала с памятью формы и испытывающей действие переменой температуры и давления // Материалы с новыми функциональными свойствами: материалы семинара. – Новгород, Боровичи, 1990. – С. 161–163.

16. Лихачев В.А., Малинин В.Г., Шляхов С.А. Численное моделирование эволюции напряженного состояния толстостенного цилиндра из материала, испытывающего мартенситные превращения при силовом воздействии // Актуальные проблемы прочности: материалы XXV Всесоюз. семинара. – Н. Новгород, 1991. – Т. 1. – С. 135–139.

17. Волков А.Е., Лихачев В.А., Ю.Ф. Слуцкер. Расчет термомеханического соединения методами структурно-аналитической теории. Функционально-механические свойства сплавов с мартенситным каналом неупругости // Актуальные проблемы прочности: материалы XXVII Межреспубл. семинара. – Ухта, 1992. – C. 31–36.

18. Likhachev V.A., I. Razov A., E. Volkov A. Finite difference simulation of a thermomechanical coupling // Proceedings of the Second International Conference on Shape Memory and Superelastic Technologies SMST-97, Asilomar Conference Center, Pacific Grove. – USA, California, 1997. – P. 335–340.

19. Какулия Ю.Б., Шарыгин А.М. Численное моделирование напряжений и деформаций в толстостенной трубе из материала с памятью формы // Журнал функциональных материалов. – 2007. – № 8. – С. 303–313.

20. Кузнецов А.В. Численное решение связной осесимметричной задачи о прямом превращении для сплавов с памятью формы // Механика композиционных материалов и конструкций. – 1996. – Т. 3–4. – С. 71–77.

21. Волков А.Е., Сахаров В.Ю. Термомеханическая макромодель сплавов с эффектом памяти формы // Изв. РАН. Серия физическая. – 2003. – Т. 67. – № 6. – С. 845–851.

22. Волков А.Е., Кухарева А.С. Моделирование термомеханических соединений труб тонкостенными и толстостенными муфтами из никелида титана // Актуальные проблемы прочности: материалы XLVII Междунар. конф., 1 – 5 июля 2008 г., Н. Новгород. Ч. 1. – Н. Новгород. – 2008. – C. 54–56.

23. Волков А.Е., Кухарева А.С. Расчет напряженно-деформированного состояния в бесконечном цилиндре из сплава с памятью формы при охлаждении и нагреве с различными скоростями // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2009. – Т. 15, № 1. – С. 128–136.

24. Волков А.Е., Кухарева А.С. Расчет напряженно-деформированного состояния в цилиндре из TiNi при охлаждении под нагрузкой и разгрузке // Изд. РАН. Серия физическая. – 2008. – Т. 72, № 9. – С. 1337–1340.

25. A semi-analytic analysis of shape memory alloy thick-walled cylinders under internal pressure / R. Mirzaeifar, M. Shakeri, R. DesRoches, A. Yavari // Archive of Applied Mechanics, 2011. – Vol. 81. – No. 8. – P. 1093–1116.

26. Шкутин Л.И. Анализ осесимметричных фазовых деформаций в пластинах и оболочках // Прикладная механика и техническая физика. – 2007. – Т. 48, № 2. – С. 163–171.

27. Шкутин Л.И. Анализ осесимметричных деформаций пластин и оболочек в термоцикле фазовых превращений // Прикладная механика и техническая физика. – 2008. – Т. 49, № 2. – С. 204–210.

28. Шкутин Л.И. Нелинейные деформации и катастрофы тонких тел. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2014. – 138 с.

29. Mirzaeifar R., Shakeri M., Sadighi M. Nonlinear finite element formulation for analyzing shape memory alloy cylindrical panels // Smart Materials and Structures. – 2009. – Vol. 18. – No. 3. – 035002.

30. Amini M.R., Nemat-Nasser S. Dynamic bucling and recovery of thin cylindrical shells // SPIE Proceedings. Vol. 5761. Smart structure and materials. Active materials: Behavior and mechanics / ed. by W.D. Armstrong. – 2005. – P. 450–453.

31 Tang Z., Li D. Quasi-static axial bucling behavior of TiNi thin-walled cylindrical shells // Thin-Walled structures. – 2012. – Vol. 51. – P. 130–138.

32. Buckling and Recovery of NiTi Tubes Under Axial Compression / D. Jiang, N. Bechle, C.M. Landis, S. Kyriakides // International Journal of Solids and Structures. – 2016. – Vol. 80. –
P. 52–63.

33. Мишустин И.В., Мовчан А.А. Аналог теории пластического течения для описания деформации мартенситной неупругости в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2015. – № 2. – С. 78–95.

34. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г., Сильченко Т.Л. Учет явления мартенситной неупругости при обратном фазовом превращении в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2011. – № 2. – С. 44–56.

35. Мовчан А.А., Левин А.С. Задача о прямом мартенситном превращении в толстостенной сфере из сплава с памятью формы, находящейся под действием постоянного давления // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2015. – Т. 21, № 2. – С. 221–236.

36. Машихин А.Е., Мовчан А.А. Задача о прямом мартенситном превращении в толстостенном цилиндре из сплава с памятью формы // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2016. – № 3. – С. 100–114.

37. Курдюмов Г.В., Хандрос Л.Г. О термоупругом равновесии при мартенситном превращении // ДАН СССР. – 1949. – Т. 66. – Вып. 2. – С. 211–215.

Рассмотрена проблема определения напряженно-деформированного состояния и проектирования гибридных деревянных брусьев. В общем случае брус представляет собой стержень, состоящий из нескольких слоев. Количество слоев принципиально не ограничено. Каждый слой может быть выполнен из различных материалов. Геометрия поперечного сечения слоя изменяется в широких пределах. Поперечное сечение стержня может быть как постоянным, так и переменным по длине. Стержень испытывает прямой поперечный изгиб с растяжением-сжатием. Учитывается физическая нелинейность, а также разная сопротивляемость материала растяжению и сжатию.

Деформации и перемещения стержня считаются малыми величинами, что позволяет записывать уравнения равновесия для недеформированного состояния. Принимается справедливой теория плоских сечений Бернулли и упрощенное выражение кривизны плоской кривой.

Определение напряженно-деформированного состояния стержня сводится
к решению системы из двух нелинейных алгебраических уравнений третьей степени. Для ее решения нагрузка разбивается на ряд шагов в соответствии с историей нагружения, что позволяет провести линеаризацию системы разрешающих уравнений.

Большое внимание уделено проектированию гибридных брусьев. Рассматривается как параметрическое, так и функциональное проектирование. Выполненные примеры расчета позволили показать, что использование критерия равнопрочности в совокупности с принципами гибридного проектирования (когда конструкция создается путем рационального сочетания материалов с различными механическими свойствами) позволяет значительно снизить вес конструкции и стоимость затраченного материала. Также показано сильное влияние разной сопротивляемости материала на получаемые при проектировании поперечные размеры брусьев. Продемонстрирована возможность возникновения скрытых механизмов разрушения, когда предельное состояние достигается во внутренних слоях бруса.

Ключевые слова: слоистые конструкции, физическая нелинейность, гибридное проектирование.

Немировский Юрий Владимирович – доктор физико-математических наук, профессор, е-mail: nemirov@itam.nsc.ru

Болтаев Артем Иванович – acnирант, e-mail: boltaev_artem@mail.ru

1. Конструкции из дерева и пластмасс / Д.К. Арленинов [и др.]. – М.: АСВ, 2002. – 280 с.
2. Шмидт А.Б., Дмитриев П.А. Атлас строительных конструкций из клееной древесины и водостойкой фанеры. – М.: АСВ, 2002. – 292 с.
3. Porteous J., Kermani A. Structural timber design to Eurocode 5. – John Wiley & Sons, 2013. – 640 p.
4. Pischl R., Schickhofer G. The Mur River wooden bridge, Austria // Structural Engineering International. – 1993. – Vol. 3. – No. 4. – P. 217–219.
5. Poirier E. Design and construction of a 53-meter-tall timber building at the university of British Columbia // Proceedings of WCTE. – 2016.
6. de la Rosa García P., Escamilla A. C., García M. N. G. Bending reinforcement of timber beams with composite carbon fiber and basalt fiber materials // Composites Part B: Engineering. – 2013. – Vol. 55 – P. 528–536.
7. Raftery G.M., Whelan C. Low-grade glued laminated timber beams reinforced using improved arrangements of bonded-in GFRP rods // Construction and Building Materials. – 2014. – Vol. 52 – P. 209–220.
8. Рощина С.И., Сергеев М.С., Лукина А.В. Армирование деревянных конструкций // Изв. вузов. Лесной журнал. – 2013. – № 4. – С. 80–85.
9. Исследование прочности и деформативности древесины: сб. ст. / под ред. д-ра техн. наук проф. Г.Г. Карлсена. – М.: Госстройиздат, 1956. – 172 с.
10. Быков В.В. Экспериментальные исследования прочности и деформативности древесины сибирской лиственницы при сжатии и растяжении вдоль волокон с учетом длительного действия нагрузки // Изв. вузов. Строительство. – 1967. – № 8. – С. 3–8.
11. Квасников Е.Н. Вопросы длительного сопротивления древесины. – Л.: Стройиздат,
    1972. – 96 с.
12. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. – М.: Наука, 1978. – 616 с.
13. Немировский Ю.В. Метод расчета композитных стержневых систем из разномодульных материалов // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: материалы
    V Всерос. науч. конф. – Томск, 2006. – С. 288–290.
14. Немировский Ю.В., Болтаев А.И. Особенности деформирования и разрушения деревянных клееных многопролетных балок. Сообщение 1 // Изв. вузов. Строительство. – 2016. – № 6. – С. 116–126.
15. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1968. – 720 c.
16. Немировский Ю.В., Мищенко А.В., Вохмянин И.Т. Рациональное и оптимальное проектирование слоистых стержневых систем. – Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 2004. – 488 с.
17. Боровиков А.М., Уголев Б.Н. Справочник по древесине. – М.: Лесная промышленность, 1989. – 296 с.
18. Немировский Ю.В., Болтаев А.И. Метод расчета деревянных стропильных покрытий зданий. Сообщение 1: Моделирование и общие закономерности // Изв. вузов. Строительство. – 2014. – № 3. – С. 5–13.
19. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. – М.: Физматгиз, 1962. – 640 с.
20. Гениев Г.А. Некоторые задачи расчета стержней при общей нелинейной зависимости напряжений от деформаций // Исследования по вопросам строительной механики и теории пластичности: сб. ст. / под ред. А.Р. Ржаницына. – М., 1956. – С. 188–222.
21. Ржаницын А.Р. Изгиб и сложное сопротивление прямоугольного сечения стержня при произвольной диаграмме работы материала // Расчет тонкостенных пространственных конструкций: сб. ст. / под ред. А.Р. Ржаницына. – М., 1964. – С. 7–22.
22. Строительная механика в СССР. 1917-1967: сб. ст. / под ред. И.М. Рабиновича. – М.: Стройиздат, 1969. – 423 с.
23. Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем. – М.: Стройиздат, 1974. – 208 с.
24. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. – М.: Стройиздат, 1978. – 204 с.
25. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. – М.: Наука, 1988. – 232 с.
26. Рудых О.Л., Соколов Г.П., Пахомов В.Л. Введение в нелинейную строительную механику. – М.: АСВ, 1998. – 103 с.
27. Лукашевич А.А. Современные численные методы строительной механики. – Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 2003. – 135 с.
28. Нелинейные методы расчета в современном проектировании / Шапиро Д.М. [и др.] // Научный журнал строительства и архитектуры. – 2009. – № 3. – С. 85–94.
29. Owen D.R., Hinton E. Finite elements in plasticity: Theory and Practice. – Swansea,
    U.K.: John Wiley & Sons, 2013. – 640 p.
30. McGuire W., Gallagher R.H., Ziemian R.D. Matrix structural analysis, 2014. – 460 p.
31. Петров В.В. Нелинейная инкрементальная строительная механика. – М.: Инфра-Инженерия, 2014. – 480 с.

Разработана численная трехмерная модель пьезоэлектролюминесцентного оптоволоконного датчика для диагностирования объемного напряженно-деформированного состояния в композитных конструкциях в программной системе конечно-элементного анализа ANSYS. Модель в целом представляет собой параллелепипед, на центральной оси которого расположен фрагмент датчика в виде секторно-составного слоистого цилиндра из центрального оптоволокна с электролюминесцентным, пьезоэлектрическим слоями и внешним однородным упругим буферным слоем. Электролюминесцентный и пьезоэлектрический слои датчика разделены общими для обоих слоев радиально-продольными границами на геометрически равные шесть «измерительных элементов»
в виде цилиндрических двухслойных секторов; в различных секторах направления пространственных поляризаций пьезоэлектрических фаз и частоты светоотдач электролюминесцентных фаз различны. Пьезоэлектрические фазы всех шести секторов представляют собой один и тот же трансверсально-изотропный полимерный пьезоэлектрик PVDF, но с различными некомпланарными направлениями пространственных поляризаций. Светопрозрачный «внутренний» тонкий цилиндрический управляющий электрод расположен между оптоволокном и электролюминесцентным слоем, а «внешний» управляющий электрод – между пьезоэлектрическим и буферным слоями датчика. Свойства параллелепипеда приравнены к трансверсально-изотропным свойствам однонаправленного волокнистого стеклопластика; различные простые одноосные или сдвиговые деформации для параллелепипеда задавались через соответствующие перемещения точек его граней. Реализовано численное моделирование неоднородных связанных электроупругих полей в элементах фрагмента датчика, внедренного в деформированный композитный объем волокнистого стеклопластика, с учетом действия управляющего напряжения на электродах датчика. Рассчитаны численные значения информативных
и управляющих коэффициентов датчика, необходимых для диагностирования компонент тензоров деформаций на макро- и микроуровнях композита.

Ключевые слова: пьезоэлектроупругость, механолюминесцентный эффект, оптоволокно, датчик объемного напряженного состояния, композит, численное моделирование.

Паньков Андрей Анатольевич – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: a_a_pankov@mail.ru

Писарев Павел Викторович – кандидат технических наук, доцент, e-mail: pisarev@pstu.ru

1. Окоси Т. Волоконно-оптические датчики. – Л.: Энергоатомиздат, 1990. – 256 с.
2. Guemes A., Fernandez-Lopez A., Soller B. Optical fiber distributed sensing – physical principles and applications // Structural Health Monitoring. – 2010. – Vol. 9. – No. 3. – P. 233–245.
3. Suresh R., Tjin S.C., Hao J. Fiber Bragg Grating // Smart Materials in Structural Health Monitoring, Control and Biomechanics. – Berlin; Heidelberg, Springer, 2012. – P. 413–439.
4. Prabhugoud M., Peters K. Efficient simulation of Bragg grating sensors for implementation to damage identification in composites // Smart Materials & Structures. – 2003. – Vol. 12. – No. 6. – P. 914–924.
5. Методы исследования свойств материалов при интенсивных динамических нагрузках / под общ. ред. д-ра физ.-мат. наук М.В. Жерноклетова / ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ. – Саров, 2003. – 403 с.
6. Татмышевский К.В. Механолюминесцентный чувствительный элемент: математическая модель и динамические свойства // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. – 2005. – № 4. – С. 35–39.
7. Матвеенко В.П., Федорова В.А., Шардаков И.Н. Теоретическое обоснование возможности построения волоконно-оптической системы мониторинга деформаций земной поверхности // Изв. РАН. МТТ. – 2013. – № 5. – С. 46–52.
8. Шардаков И.Н., Созонов Н.С., Цветков Р.В. Экспериментально-теоретические основы автоматизированных систем деформационного мониторинга с использованием волоконно-оптических элементов // Вестн. Перм. науч. центра. – 2016, октябрь-декабрь. – С. 91–95.
9. К вопросу об интеграции оптоволокна в ПКМ и измерении деформации материала с помощью волоконных брэгговских решеток / М.А. Зуев, В.В. Махсидов, М.Ю. Федотов, А.М. Шиенок // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2014. – Т. 20, № 4. – С. 568–574.
10. Применение оптического волокна в качестве датчиков деформации в полимерных композиционных материалах / Е.Н. Каблов, Д.В. Сиваков, И.Н. Гуляев, К.В. Сорокин, М.Ю. Федотов, Е.М. Дианов, С.А. Васильев, О.И. Медведков // Все материалы: энцикл. справ. – 2010. – № 3. – С. 10–15.
11. Наймушин И.Г., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Численный анализ деформационных процессов в оптоволоконном датчике // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2012. – № 1. – С. 104–116.
12. Измерение неоднородных полей деформаций встроенными в полимерный композиционный материал волоконно-оптическими датчиками / А.Н. Аношкин, А.А. Воронков, Н.А. Кошелева, В.П. Матвеенко, Г.С. Сероваев, Е.М. Спаскова, И.Н. Шардаков, Г.С. Шипунов // Изв. РАН. МТТ. – 2016. – № 5. – С. 42–51.
13. Матвеенко В.П., Шардаков И.Н., Кошелева Н.А. Оценка технологических деформаций в полимерных композиционных образцах на основе использования внедренных волоконно-оптических датчиков деформаций / XХ Зимняя школа по механике сплошных сред; тез. докл. – Пермь, 13–16 февраля 2017 г.– Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2017. – С. 219.
14. Patent US 20060254366 A1. Sensor and sensor array for monitoring a structure / Caroline Williamson, Lisa Fixter (nee Humberstone), Andrew Clarke; published on November 16, 2006.
15. Patent US 7458266 B2. Method and apparatus for detecting a load change upon a structure and analyzing characteristics of resulting damage / Shawn J. Beard, Xinlin Qing, Hian Leng Chan, Chang Zhang, Fuo-Kuo Chang; published on December 2, 2008.
16. Patent US 6399939 B1. Sensor array system / Mannur J. Sundaresan, Anindya Ghoshal, Mark J. Schulz; published on June 4, 2002.
17. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. – Киев: Наукова думка, 1989. – 280 с. (Механика связанных полей в элементах конструкций: в 5 т. Т. 5).
18. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. – М.: Наука, 1988. – 472 с.
19. Дианов Д.Б., Кузьменко А.Г. Расчет цилиндрического пьезокерамического преобразователя, совершающего радиально-симметричные колебания // Акуст. журн. – 1970. – Т. 16, № 1. – С. 42–48.
20. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для анизотропного пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра // Изв. РАН. МТТ. – 2009. – № 1. – С. 73–81.
21. Finite Element Analysis of Functionally Graded Piezoelectric Spheres / A. Ghorbanpour Arani, R. Kolahchi, A.A. Mosalaei Barzoki, A. Loghman, F. Ebrahimi // Finite Element Analysis – Applications in Mechanical Engineering. Ed. by Farzad Ebrahimi. – InTech, 2012. – 380 p.
22. Numerical determination of effective properties of voided piezoelectric materials using BNM / H. Wang, G. Tan, S. Cen, Z. Yao // Engineering Analysis with Boundary Elements. – 2005. – Vol. 29. – P. 636–646.
23. Li Z.H., Wang C., Chen C.Y. Effective electromechanical properties of transversely isotropic piezoelectric ceramics with microvoids // Comput. Mater. Sci. – 2003. – Vol. 27. – No. 3. – P. 381–392.
24. Bishay P.L., Dong L., Atluri S.N. Multi-physics computational grains (MPCGs) for direct numerical simulation (DNS) of piezoelectric composite/porous materials and structures // Computational Mechanics. – 2014. – Vol. 54. – No. 5. – P. 1129–1139.
25. Kondaiah P., Shankar K., Ganesan N. Pyroeffects on multiphase magneto-electro-elastic sensor patch bonded on mild steel plate // International Journal on Smart Sensing and Intelligent Systems. – 2014. – Vol. 7. – No. 3. – P. 1134–1155.
26. Пат. Рос. Федерация Волоконно-оптический датчик давления / Паньков А.А.; заявка № 2016136058 от 06.09.2016 г.
27. Паньков А.А. Математическое моделирование пьезоэлектролюминесцентного эффекта и диагностика распределения давления по длине оптоволоконного датчика // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 4. – С. 259–272.
28. Pan’kov A.A. Piezoelectroluminescent optical fiber sensor for diagnostics of the stress state and defectoscopy of composites // Mechanics of Composite Materials. – 2017. – Vol. 53. – No. 2. – P. 229–242.
29. Пат. Рос. Федерация Волоконно-оптический датчик объемного напряженного состояния / Паньков А.А.; заявка № 2017111405 от 04.04.2017 г.
30. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. – Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 1978. – 208 с.
31. Babu I. Piezoelectric composites. Design, fabrication and performance analysis / Eindhoven University of Technology. – Eindhoven, 2013. – 123 p.
32. Characterization, performance and optimization of PVDF as a piezoelectric film for advanced space mirror concepts / Tim R. Dargaville, Mathias C. Celina, Julie M. Elliott, Pavel M. Chaplya, Gary D. Jones, Daniel M. Mowery, Roger A. Assink, Roger L. Clough, Jeffrey W. Martin // Sandia report, SAND2005-6846, Unlimited Release, November 2005. – Issued by Sandia National Laboratories, 2005. – 49 p.
33. Sessler G.M. Piezoelectricity in polyvinylidenefluoride // J. Acoust. Soc. Amer. – 1981. – Vol. 70. – No. 6. – P. 1596–1608.
34. Turik A.V., Radchenko G.S. [Giant piezoelectric effect in layered composites a ferroelectric material polymer] // Fizika tverdogo tela. – 2003. – Vol. 45. – No. 9. – P. 1676–1679.

Разработан общий метод расчета динамического поведения жесткопластических гибридных слоистых композитных пластин с произвольным кусочно-гладким свободным внешним контуром и с круглым внутренним отверстием, шарнирно опертым или защемленным. На пластины действует равномерно распределенная по поверхности кратковременная динамическая нагрузка высокой интенсивности взрывного типа. Пластины являются гибридными слоисто-волокнистыми с распределением слоев симметрично относительно срединной поверхности. В каждом слое находятся армирующие волокна, расположенные по радиальным, окружным
и угловым направлениям. Используется структурная модель армированного слоя
с одномерным напряженным состоянием в волокнах. Рассмотрены разные схемы деформирования пластин. При нагрузках, незначительно превышающих предельные значения, пластины деформируются в форме линейчатых поверхностей, вращаясь вокруг опорного контура. При больших амплитудах нагрузки во внутренней области пластин может образовываться пластический шарнир в форме окружности. На основе принципа виртуальной мощности в сочетании с принципом Даламбера для каждого из механизмов движения получены уравнения, описывающие динамическое деформирование пластин, и определены условия их реализации. Получены аналитические выражения для оценки предельных нагрузок, времени деформирования и остаточных прогибов пластин. Приведены примеры численных решений для квадратной пластины с круглым закрепленным отверстием и для кольцевой пластины. Показано, что изменение параметров армирования существенно влияет как на несущую способность пластин, так и на остаточные прогибы. Предложенные решения могут быть использованы при проектировании армированных металлокомпозитных криволинейных плоских элементов конструкций с закрепленным круглым отверстием.

Ключевые слова: жесткопластическая модель, слоисто-волокнистая структура, криволинейный контур, закрепленное отверстие, динамическая нагрузка, предельная нагрузка, остаточный прогиб.

Романова Татьяна Павловна – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: lab4nemir@gmail.com

1. Review of advanced composite structures for naval ships and submarines / A.P. Mouritz, E. Gellert, P. Burchill, K. Challis // Composite Structures. – 2001. – Vol. 53. – No. 1. – P. 21–42. DOI: 10.1016/S0263-8223(00)00175-6
2. Bannister M. Challenger for composites into the next millennium – a reinforcement perspective // Composites, Part A. – 2001. – Vol. 32. – No. 7. – P. 901–910. DOI: 10.1016/S1359-835X(01)00008-2
3. Панин В.Ф., Гладков Ю.А. Конструкции с заполнителем. – М.: Машиностроение, 1991. – 272 с.
4. A new nonlinear model for studying a sandwich panel with thin composite faces and elastic-plastic core / M. Rezaeifard, S.J. Salami, M.B. Dehkordi, M. Sadighi // Thin-Walled Structures. – 2016. – Vol. 107. – P. 119–137. DOI: 10.1016/j.tws.2016.06.012
5. Kazancı Z. Dynamic response of composite sandwich plates subjected to time-dependent pressure pulses // Int. J. of Non-Linear Mechanics. – 2011. – Vol. 46. – P. 807–817. DOI:10.1016/j.ijnonlinmec.2011.03.011
6. Finite element analysis of indentation of aluminium foam and sandwich panels with aluminium foam cor / A. Xu, T. Vodenitcharova, K. Kabir, E.A. Flores-Johnson, M. Hoffman // Materials Science and Engineering: A. – 2014. – Vol. 599. – No. 2. – P. 125–133. DOI: 10.1016/j.msea.2014.01.080
7. Янковский А. П. Вязкопластическая динамика металлокомпозитных оболочек слоисто-волокнистой структуры при действии нагрузок взрывного типа I. Постановка задачи и метод решения // Математичні методи та фізико-механічні поля. – 2012. – Т. 55, № 2. – С. 119–130. DOI: 10.1007/s10958-013-1421-7
8. Янковский А. П. Применение явного по времени метода центральных разностей для численного моделирования динамического поведения упругопластических гибких армированных пластин // Вычислительная механика сплошных сред. – 2016. – Т. 9, № 3. – С. 279–297.
   DOI: 10.7242/1999-6691/2016.9.3.24
9. Янковский А.П. Вязкопластическое деформирование цилиндрических армированных оболочек переменной толщины при динамическом осесимметричном нагружении взрывного типа. Ч. 1. Постановка задачи и метод решения // Конструкции из композиционных материалов. – 2013. – № 1 (129). – С. 12–21.
10. Состояние вопроса по расчету неоднородных элементов конструкций за пределом упругости / О.Н. Попов, А.П. Малиновский, М.О. Моисеенко, Т.А. Трепутнева // Вестник ТГАСУ. – 2013. – № 4. – С. 127–142.
11. Абросимов Н. А., Елесин А. В., Новосельцева Н. А. Численный анализ влияния структуры армирования на динамическое поведение и предельную деформируемость композитных оболочек вращения // Механика композитных материалов. – 2014. – Т. 50, № 2. – С. 313–326. DOI: 10.1007/s11029-014-9409-z
12. Qatu M. S, Sullivan R.W., Wang W. Recent research advances on the dynamic analysis of composite shells: 2000–2009 // Composite Structures. – 2010 – Vol. 93. – P. 14–31. DOI: 10.1016/j.compstruct.2010.05.014
13. A review of optimization techniques used in the design of fibre composite structures for civil engineering applications / Z.K. Awad, T. Aravinthan, Y. Zhuge, F. Gonzalez // Materials and Design. – 2012. – Vol. 33. – P. 534–544. DOI: 10.1016/j.matdes.2011.04.061
14. Caliri M. F. Jr., Ferreira A. J. M., Tita. V. A review on plate and shell theories for laminated and sandwich structures highlighting the finite element method // Composite Structures. – 2016. – Vol. 156. – P. 63–77. DOI: 10.1016/j.compstruct.2016.02.036
15. Balkan D., Mecitoglu Z. Nonlinear dynamic behavior of viscoelastic sandwich composite plates under non-uniform blast load: theory and experiment // International journal of impact engineering. – 2014. – Vol. 72. – P. 85–104. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2014.05.003
16. Zhang Y.X., Yang C.H. Recent developments in finite element analysis for laminated composite plates // Composite Structures. – 2009. – Vol. 88. – P. 147–157. DOI: 10.1016/j.compstruct.2008.02.014
17. Arora H., P. Del Linz, Dear J.P. Damage and deformation in composite sandwich panels exposed to multiple and single explosive blasts // International Journal of Impact Engineering. – 2017. – Vol. 104. – P. 95–106. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2017.01.017
18. Немировский Ю.В., Романова Т.П. Динамическое сопротивление плоских пластических преград. – Новосибирск: ГЕО, 2009. – 311 с.
19. Немировский Ю. В. Об условии пластичности (прочности) для армированного слоя // Прикл. механика и техн. физика. – 1969. – № 5. – С. 81–88. DOI: 10.1007/BF00907434.
20. Nemirovsky Ju.V., Resnikoff B.S. On limit equilibrium of reinforced slabs and effectiveness of their reinforcement // Archiwum Inzynierii Ladowej. – 1975. – Vol. XXI. – No. 1. – P. 57–67.
21. Абросимов Н.А., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2002. – 391 с.
22. Кострик В. К., Лизгунов О. Л. Мазалов В. Н. Динамическое поведение защемленной по внутреннему контуру жесткопластической пластинки // Динамика сплошной среды. Упругопластические модели и задачи: сб. ст. / Ин-т гидродинамики. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1982. – Вып. 55. – С. 133–142.
23. Немировский Ю. В., Романова Т. П. Моделирование динамического поведения двусвязной жесткопластической криволинейной пластины, закрепленной по внутреннему контуру // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. Пятой Всерос. конф. с междунар. участием. Ч. 1. Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций (г. Самара, 29-30 мая 2008 г.). – Самара: Изд-во СамГТУ, 2008. – C. 197–207.
24. Немировский Ю. В., Романова Т. П. Динамика жесткопластической произвольной пластины с круглым внутренним закрепленным отверстием // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: тр. 6-й Всерос. науч. конф. (Томск, 30 сент. – 2 окт. 2008 г.) / НИИ ПММ ТГУ. – Томск, 2008. – С. 263–265.
25. Немировский Ю. В, Янковский А. П. О некоторых особенностях уравнений оболочек, армированных волокнами постоянного поперечного сечения // Механика композиционных материалов и конструкций. – 1997. – Т. 3, № 2. – С. 20–40.
26. Ерхов М. И. Теория идеально пластических тел и конструкций. – М.: Наука, 1978. – 352 с.
27. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ – М.: Наука, 1984. – 752 с.
28. Вохмянин И.Т., Немировский Ю.В. Особенности продольно-поперечного изгиба трехслойных кольцевых пластинок с несимметричными структурами армирования // Краевые задачи и математическое моделирование: сб. тр. 8-й Всерос. науч. конф. (Новокузнецк 1–3 декабря 2006 г.). T. 1 / НФИ КемГУ; под общ. ред. В.О. Каледина. – Новокузнецк, 2006. – C. 25–31.
29. Hopkins H. G. Some remarks concerning of the solution of plastic plate problems upon the yield criterion // Proc. 9^th Inter. Cong. Appl. Mech. – 1957. – Vol. 6. – P. 448–457.
30. Романова Т.П. Несущая способность и оптимизация трехслойных железобетонных
    кольцевых пластин, опертых по внутреннему контуру // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 3. – С. 114–132. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.3.09
31. Шамиев Ф.Г. Об одной задаче оптимизации пластинок из композитного материала // Механика композитных материалов. – 1981. – № 2. – С. 244–248.

Рассматривается численный метод расчета полей деформаций и напряжений трехмерных упругих тел, дискретной моделью которых служит ориентированный граф как идеализация гипотетических приборов, необходимых для измерения деформированного состояния тела. В соответствии с предлагаемым методом упругая среда разделяется на отдельные элементы плоскостями, параллельными координатным. Для каждого элемента, полученного при декомпозиции, строим элементарную ячейку (подграф), являющуюся его моделью. Она представляет собой комплект измерителей, установленных на элемент для определения его деформированного состояния. Уравнение элементарной ячейки получаем, пользуясь инвариантом, сохраняющимся при преобразовании элемента в ячейку. В качестве инварианта используем энергию деформации. Граф тела конструируем с помощью операции объединения элементарных ячеек. Он отражает характер декомпозиции и является дискретной моделью анализируемого сплошного тела. Структурные свойства графа задаются рядом специальных матриц, наиболее важными из которых являются матрицы инцидентности, контуров, хорд, путей.

Уравнения состояния исходного тела получаем с помощью преобразования обобщенных координат элементов тела, полученного в результате декомпозиции, к системе координат, описывающих тело в целом. Преобразования осуществляются несингулярными взаимно обратными матрицами. Специфическая особенность графов, используемых в качестве дискретных моделей сплошного тела, заключается в том, что они позволяют конструировать несингулярные матрицы и исключить их обращение. Квадратные взаимно обратные матрицы преобразования созданы путем сочленения прямоугольных матриц, представляющих собой разнообразные элементы графа.

Вывод определяющей системы уравнений основан на использовании вершинного и контурного законов Кирхгофа для графов, а также свойств построенных квадратных матриц преобразования. Возможности графового метода проиллюстрированы решением тестового примера.

Ключевые слова: математическое моделирование, теория упругости, ориентированный граф, напряжения, деформация, матрица инцидентности, матрица контуров.

Тырымов Александр Александрович – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail:tyrymov2010@yandex.ru

1. Применение теории графов связей в технике / под ред. Кэрнопа Д., Розенберга Р. – М.: Мир, 1974. – 96 с.
2. Ильинский Н.Ф., Цаценкин В.К. Приложение теории графов к задачам электромеханики. – М.: Энергия, 1968. – 200 с.
3. Кениг Г., Блекуэлл В. Теория электромеханических систем.– М.: Энергия, 1965. – 424 с.
4. Цветкович Д., Дуб М., Захс Х. Спектры графов. Теория и применение. – Киев: Наукова думка, 1984. – 384 с.
5. Басакер P., Саати Т. Конечные графы и сети. – М.: Наука, 1974. – 368 с.
6. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. – М.: Мир, 1984. – 454 с.
7. Крон Г. Исследование сложных систем по частям – диакоптика. – М.: Наука, 1972. – 542 с.
8. Крон Г. Тензорный анализ сетей. – М.: Советское радио, 1978. – 720 с.
9. Kron G. Equivalent circuits of the elastic field // J. Appl. Mech. – 1944. – Sept. – Vol. 11. – P. A149-A161.
10. Kron G. Tensorial analysis and equivalent circuity of elastic structures // J. Franklin Inst. – 1944. – Vol. 238. – No. 6. – P. 399–442.
11. Hetenyi M. Handbook of Experimental Stress Analysis. – Wiley, New York, 1950. – P. 789–807.
12. Кузовков Е.Г. Применение метода элементарных ячеек для численного решения задач теории упругости. Сообщ. 1. Общие положения метода элементарных ячеек // Пробл. прочн. – 1982. – № 12. – С. 104–107. DOI:10.1007/BF00768663
13. Кузовков Е.Г. Применение метода элементарных ячеек для численного решения задач теории упругости. Сообщ. 2. Сетевая модель упругого тела // Пробл. прочн. – 1983. – № 2. – С. 37–43. DOI:10.1007/BF01523469
14. Кузовков Е.Г. Сетевая модель упругого тела с источниками граничных нагрузок. Сообщ. 3 // Пробл. прочн. – 1983. – № 10. – С. 63–68. DOI:10.1007/BF01523322
15. Кузовков Е.Г. Конфигурация и параметры графовой модели упругого тела // Пробл. прочн. – 1986. – № 4. – С. 98–103. DOI:10.1007/BF01524081
16. Кузовков Е.Г. Уравнения состояния графовой модели упругого тела // Пробл. прочн. – 1986. – № 5. – С. 112–117. DOI:10.1007/BF01522789
17. Kuzovkov E.G. Axisymmetric Graph Model of an Elastic Solid // Пробл. прочн. – 1996. – № 6. – С. 83–103. DOI:10.1007/BF02209319
18. Кузовков Е.Г. Графовая модель упругой среды в декартовой системе координат // Пробл. прочн. – 1993. – № 12. – С. 60–70. DOI:10.1007/BF00774638
19. Кузовков Е.Г. Графовая модель упругого тела в смешанных переменных // Пробл. прочн. – 1986. – № 6. – С. 88–92. DOI:10.1007/BF001523964
20. Кузовков Е.Г., Тырымов А.А. Графовые модели в плоской и осесимметричной задачах теории упругости. – Волгоград: Изд-во ВолгГТУ, 2010. – 128 с.
21. Тырымов А.А. Сингулярный элемент графовой модели упругой среды в декартовой системе координат // Вычислительная механика сплошных сред. – 2011. – Т. 4, № 4. – C. 125–136. DOI:org/10.7242/1999-6691/2011.4.4.47
22. Тырымов А.А. Осесимметричная графовая модель упругого тела с переменным модулем упругости // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Физико-математические науки. – 2012. – № 2. – C. 103–114. DOI:10.14498/vsgtu914
23. Тырымов А.А. Численное моделирование и анализ напряжённо-деформированного состояния анизотропного массива горных пород на основе графового метода // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. – 2012. – № 5. – C. 52–66. DOI:10.1134/s1062739148050061
24. Тырымов А.А. Графовая модель упругой среды в полярной системе координат // Изв. вузов. Машиностроение. – 1999. – № 1. – С. 3–15.
25. Тырымов А.А. Графовая модель трехмерных упругих тел в декартовой системе координат // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 3. – С. 282–303. DOI:10.15593/perm.mech/2016.3.19
26. Евстигнеев В.А., Касьянов В.Н. Толковый словарь по теории графов в информатике и программировании. – Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1999. – 291 с.
27. Татт У. Теория графов. – М.: Мир, 1988. – 424 с.
28. Зыков А.А. Основы теории графов.– М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 384 с.
29. Бенерджи П., Батерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. – М: Мир, 1984. – 494 с.
30. Тюкалов Ю.Я. Решение объемных задач теории упругости методом конечных элементов в напряжениях // Изв. вузов. Строительство. – 2006. – № 2. – С. 19–26.

Рассматривается математическое моделирование процессов упругопластического деформирования материала сталь 45 в векторном пространстве А.А. Ильюшина по многозвенным неаналитическим траекториям вида плоских многозвенных ломаных траекторий, состоящем из четырех прямолинейных кусочно-ломаных участков при его одновременном растяжении либо сжатии с кручением. При моделировании использовалась математическая модель теории процессов для плоских траекторий с уточненными аппроксимациями функционалов процесса, содержащая все необходимые параметры сложного нагружения для плоских траекторий. Основные уравнения математической модели приведены к задаче Коши, для численного решения которых и получения расчетных результатов использовался метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности.

Приведена методика определения материальных параметров аппроксимаций в выражениях функционалов на основе обработки экспериментальных данных по базовым траекториям типа «смещенного веера» двузвенных траекторий. Экспериментальные исследования проведены на автоматизированном испытательном комплексе СН-ЭВМ в лаборатории механических испытаний Тверского государственного технического университета. В качестве образцов для экспериментальных исследований были использованы тонкостенные цилиндрические оболочки из стали 45 в состоянии поставки.

Численные теоретические расчеты сравниваются с экспериментальными данными для оценки достоверности математической модели теории процессов при сложном нагружении для данного класса траекторий деформирования. Предлагаемая математическая модель теории процессов дала результаты, хорошо соответствующие данным эксперимента, как по скалярным, так и векторным свойствам материала. Это подтверждает достаточную для практических задач достоверность расчетных данных и точность построенных аппроксимаций функционалов процессов используемой математической модели теории процессов.

Ключевые слова: пластичность, упругость, функционалы пластичности, испытательный комплекс СН-ЭВМ, моделирование процессов деформирования, векторные и скалярные свойства материалов.

Зубчанинов Владимир Георгиевич – доктор технических наук, профессор, e-mail: vgz@rambler.ru

Алексеев Андрей Алексеевич – кандидат технических наук, доцент, e-mail: alexeew@bk.ru

Гультяев Вадим Иванович – доктор технических наук, доцент, e-mail: vig0@mail.ru

1. Ильюшин А.А. Пластичность. Упругопластические деформации. – М.: Гостехиздат, 1948. – 376 с.

2. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. – М.: Изд-во МГУ, 1971. – 310 с.

3. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. – М.: Изд-во АН СССР, 1963. – 273 с.

4. Ильюшин А.А. Труды (1946–1966). Т. 2. Пластичность. – М.: Физматлит, 2004. – 480 с.

5. Зубчанинов В.Г. Механика процессов пластических сред. – М.: Физматлит, 2010. – 352 с.

6. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Т.2. Пластичность. – М.: Физматлит, 2008. – 336 с.

7. Ленский В.С. Гипотеза локальной определенности в теории пластичности // Изв. АН СССР, ОТН. – 1962. – № 5. – С. 154–158.

8. Дао Зуй Бик. О гипотезе локальной определенности в теории пластичности // Вестн. МГУ. Сер. «Математика, механика». – 1965. – № 2. – С. 67–75.

9. Васин Р.А, Ильюшин А.А. Об одном представлении законов упругости и пластичности в плоских задачах // Изв. АН СССР. МТТ. – 1983. – № 4. – С. 114–118.

10. Зубчанинов В.Г., Алексеев А.А., Гультяев В.И. Численное моделирование процессов сложного упругопластического деформирования стали по двузвенным ломаным траекториям // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2014. – Вып. 76. – Ч. 1. – С. 18–25.

11. Зубчанинов В.Г. Постулат изотропии и закон сложной разгрузки сплошных сред // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2011. – № 1. – С. 27–37. DOI: 10.3103/S0025654411010043

12. Ленский B.C. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упругопластических деформаций // Вопросы теории пластичности. – М.: Изд-во АН СССР, 1961. – С. 58–82.

13. Васин Р.A. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении // Упругость и неупругость. Вып. 1. – М.: Изд-во МГУ, 1971. – С. 59–126.

14. Некоторые экспериментальные данные об общем законе пластичности Ильюшина / И. Охаши, М. Токуда, И. Курита, Т. Сузуки // Изв. АН СССР. МТТ. – 1981. – № 6. – С. 53–64.

15. Ленский В.С., Ленский Э.В. Трехчленное соотношение общей теории пластичности // Изв. АН СССР. МТТ. – 1985. – № 4. – С. 111–115.

16. Ленский В.С., Машков И.Д. Проверка законов в трехмерном пространстве девиатора деформаций // Упругость и неупругость. – М.: Изд-во МГУ, 1971. – № 2. – С. 158–166.

17. Васин Р.А. Идеи Ильюшина А.А., обогатившие теорию пластичности // Упругость и неупругость: материалы междунар. науч. симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 105-летию со дня рождения А.А.Ильюшина. – М.: Изд-во МГУ, 2016. – С. 66–69.

18. Васин Р.А. Теория упругопластических процессов и исследование структурно-механических свойств материалов // Изв. РАН. МТТ. – 2011. – № 1. – С. 19–26.

19. Васин Р.А. О «памяти» материала в теории упругопластических процессов // Изв. Тул. гос. ун-та. Естественные науки. – 2013. – № 2–2. – С. 59–70.

20. Муравлев А.В. Экспериментальное построение функционалов пластичности для траекторий деформаций типа двухзвенных ломаных в опытах на сплошных цилиндрических областях // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. – 1996. – № 5. – С. 74–80.

21. Муравлев А.В. Обобщение постулата изотропии теории упругопластических процессов А.А. Ильюшина на конечные деформации // Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела: материалы VIII Междунар. науч. симпозиума. – Тверь: Изд-во Твер. гос. техн. ун-та, 2015. – С. 25–29.

22. Муравлёв А.В., Девятов А.С. Развитие теории упругопластических процессов А.А. Ильюшина и экспериментально-теоретических методов исследования вязкопластических свойств материалов при конечных деформациях // Проблемы машиностроения и автоматизации. – 2016. – № 1. – С. 84–90.

23. Жуков А.М. Некоторые особенности поведения металлов при упругопластическом деформировании // Вопросы теории пластичности. – М.: Изд-во АН СССР, 1961. – C. 30–57.

24. Жуков А.М. О свойствах запаздывания в общей теории пластичности // Изв. АН. МТТ. – 1992. – № 5. – С. 110–119.

25. Трусов П.В., Швейкин А.И., Янц А.Ю. Основные положения теории упругопластических процессов А.А. Ильюшина: анализ с позиций многоуровневого моделирования для случая больших градиентов перемещений // Упругость и неупругость: материалы междунар. науч. симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 105-летию со дня рождения А.А.Ильюшина. – М.: Изд-во МГУ, 2016. – С. 119–126.

26. Дегтярев В.П. Пластичность и ползучесть в машиностроительных конструкциях. – М.: Машиностроение, 1967. – 130 с.

27. Шевченко Ю.Н., Бабешко М.Е., Терехов Р.Г. Термовязкоупругопластические процессы сложного деформирования элементов конструкций. – Киев: Наук. думка, 1992. – 328 с.

28. Молодцов И.Н., Бабаева Д.О. Некоторые вопросы верификации теории упругопластических процессов при сложном нагружении // Проблемы машиностроения и автоматизации. – 2016. – № 3. – С. 98–105.

29. Зубчанинов В.Г., Алексеев А.А., Алексеева Е.Г.. Математическое моделирование процессов пластического деформирования материалов по сложным плоским траекториям // Materials Physics and Mechanics (MPM). – 2015. – Т. 24, № 2. – С. 107–118.

30. Зубчанинов В.Г., Алексеев А.А., Алексеева Е.Г. Проверка постулата изотропии и численное моделирование процессов деформирования материалов на сложных гладких траекториях // Materials Physics and Mechanics. – 2016. – Т. 29, № 2. – С. 150–157.

Рассмотрена валидация конечно-элементных (КЭ) моделей. Дано её понятие как последовательность действий над реальной конструкцией и её КЭ-моделью
с целью получения модели, которая максимально точно представляет статическое напряжённо-деформированное состояние и/или динамические характеристики моделируемой реальной конструкции. Валидация представлена на примере
КЭ-модели антенны, имеющей сложную разветвлённую структуру. В качестве выходных переменных (откликов) КЭ-модели были выбраны собственные формы её колебаний. Для определения потенциально оптимального местоположения датчиков, фиксирующих значения откликов с реальной конструкции, проводится анализ специальных матриц, построенных на основе КЭ-модели. Этот анализ показывает доминантные формы колебаний, по которым деформируется значительная масса конструкции, установку датчиков в узлах КЭ-модели по максимальным значениям долей кинетической энергии при колебаниях, а также точки возбуждения всех требуемых собственных форм колебаний конструкции с помощью динамической нагрузки. Таким образом, на основе проведённого анализа определяются точки на конструкции для оптимальной установки датчиков (например, акселерометров),
а также точки возбуждения колебаний. Математически выбор местоположения датчиков сопровождается редуцированием глобальных матриц КЭ-модели к узлам (степеням свободы), куда потенциально будут установлены датчики. Также в работе приведено подтверждение того, что выбранное положение датчиков оптимально. Для этого вычисляются специальные коррелирующие матрицы, используемые для сравнения собственных векторов в выбранных узлах исходной и редуцированной КЭ-моделей. Подтверждением оптимальности положения датчиков является получение определенных значений коррелирующих матриц.

Далее на основе предшествующего анализа проводится натурное испытание конструкции. После его проведения вновь вычисляются коррелирующие матрицы, необходимые для сравнения собственных векторов в выбранных ранее узлах (точках), полученных в результате натурного испытания и на редуцированной
КЭ-модели. В случае высокой степени корреляции сравниваемых результатов исходная КЭ-модель считается валидированной, при низкой степени корреляции необходимо уточнение КЭ-модели.

Ключевые слова: валидация, анализ корреляции, коррелирующая матрица, редуцирование конечно-элементной модели, уточнение параметров конечно-элементной модели, конечно-элементная модель, натурное испытание конструкции, планирование натурного испытания, конфигурация датчиков, антенна.

Забелин Антон Вячеславович – аспирант, e-mail: zav1692@mail.ru

Пыхалов Анатолий Александрович – доктор технических наук, профессор, e-mail: pikhalov_aa@irgups.ru

1. Chen G. FE model validation for structural dynamics // A thesis submitted to the University of London for the degree of Doctor of Philosophy. – 2001. – 209 p.
2. Леденёв В.В., Ярцев В.П. Обследование и мониторинг строительных конструкций зданий и сооружений. – Изд-во ТГТУ, 2017. – 252 с.
3. Мещихин И.А., Гаврюшин С.С., Зайцев Е.А. Мониторинг технических конструкций на основе редуцированных конечно-элементных моделей // Изв. высших учебных заведений. Машиностроение. – 2015. – № 9 [666]. – С. 10–18.
4. Savov K., Mordini A., Wenzel H. The finite element model updating: a powerful tool for structural health monitoring // Structural engineering international. – 2007. – Vol. 17. – No. 4. – P. 352– 358. DOI: 10.2749/101686607782359010
5. Zong Z., Lin X., Niu J. Finite element model validation of bridge based on structural health monitoring. Part I: Response surface–based finite element model updating // Journal of Traffic and Transportation Engineering. – 2015. – Vol 2. – No. 4. – P. 258–278. DOI:10.1016/j.jtte.2015.06.001
6. Zong Z., Lin X., Niu J. Finite element model validation of bridge based on structural health monitoring. Part II: Uncertainty propagation and model validation // Journal of Traffic and Transportation Engineering. – 2015. – Vol 2. – No. 4. – P. 279–289. DOI: 10.1016/j.jtte.2015.06.002
7. Харченко М.А. Корреляционный анализ. – Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 2008. – 31 с.
8. MSC.ProCOR 2005 r3. MSC.Software Corporation. – 2006. – 224 p.
9. Lung S.-F., Pak C.-G. Updating the finite element model of the aerostructures test wing using ground vibration test data // 50th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference. – California, 2009. – AIAA 2009-2528. – 17 p.
10. Modal identification, model updating and nonlinear analysis of a reinforced concrete bridge /
    S. El-Borgi, M. Neifar, F. Cherif, S. Choura, S. Hichem // Journal of Vibration and Control. – 2008. – Vol. 14. – No. 4. – P. 511–530. DOI: 10.1177/1077546307079788
11. Rose T.L. Using superelements to identify the dynamic properties of a structure // MSC World Users’ Conference Proceedings. – 1988. – URL: http://web.mscsoftware.com/support/library/conf/wuc88/ p04188.pdf) (accessed 27 September 2017).
12. Ching Y.T. Model reduction and model correlation using MSC/NASTRAN // MSC World Users’ Conf. Proc. – 1995. – Paper no. 8.
13. Guyan R.J. Reduction of stiffness and mass matrices // AIAA J. – 1965. – Vol. 3. – No. 2. – 380 p. DOI: 10.2514/3.2874
14. Qu Z-Q. Model Order Reduction Techniques. – London, Springer-Verlag, 2004. – 378 p.
    DOI: 10.1007/978-1-4471-3827-3_1.
15. Allemang A.J. The modal assurance criterion (MAC): twenty years of use and abuse // Journal of Sound and Vibration. – 2003. – Vol.37. – No. 8. – P. 14–21.
16. Ewins D. Modal testing: theory and practice. – Research studies press, Letchworth, Hertfordshire, England, 1984. – 313 p.
17. Mottershead J.E., Friswell M.I. Model updating in structural dynamics: a survey // Journal of Sound and Vibration. – 1993. – Vol. 167. – No. 2. – P. 347–375. DOI: 10.1006/jsvi.1993.1340
18. Berman A, Nagy E.J. Improvement of a large analytical model using test data // AIAA Journal. – 1983. – Vol. 21. – No. 8. – P. 1168–1173. DOI:10.2514/3.60140
19. Link M., Weiland M., Barragan J. Direct physical matrix identification as compared to phase resonance testing: an assessment based on practical application // International Modal Analysis Conference, 5th, London, England Proceedings. – 1987. – Vol. 1. – P. 804–811.
20. Minas C., Inman D. Correcting finite element models with measured modal results using eigenstructure assignment methods // International Modal Analysis Conference, 6th, Kissimmee, FL. – 1988. – P. 583–587.
21. Методика уточнения конечно-элементной модели механической системы с помощью анализа чувствительности [Электронный ресурс] / С.М. Николаев, И.А. Киселёв, В.А. Жулёв, П.С. Воронов // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. – 2014. – №1. – С.128–136. – URL: http://old.technomag.edu.ru/doc/751548.html (accessed 15 August 17). DOI: 10.7463/1214.0751548
22. Mottershead J.E., Link M., Friswell M.I. The sensitivity method in finite element model updating: A tutorial // Mechanical Systems and Signal Processing. – 2011. – Vol. 25. – No. 7. – P. 2275–2296. DOI:10.1016/j.ymssp.2017.03.009
23. Collins J.D., Hart G.C., Hasselman T.K., Kennedy B. Statistical identification of structures // AIAA Journal. – 1974. – Vol. 12. – No. 2. – P. 185–190. DOI:10.2514/3.49190
24. Beck J.L., Katafugiotis L.S. Updating models and their uncertainties I: Bayesian statistical framework // Journal of Engineering Mechanics. – 1998. – P. 455–461. DOI:10.1061/(ASCE)0733-9399(1998)124:4(455)
25. Uncertainty identification by the maximum likelihood method / J.R. Fonseca, M.I. Friswell, J.E. Mottershead, A.W. Lees // Journal of Sound and Vibration. – 2005. – Vol. 288. – No. 3. – P. 587–599. DOI:10.1016/j.jsv.2005.07.006
26. Khodaparast H.H., Mottershead J.E., Badcock K.J. Interval model updating with irreducible uncertainty using the Kriging predictor // Mechanical Systems and Signal Processing. – 2011. – Vol. 25. – No. 4. – P. 1204–1226. DOI: 10.1016/j.ymssp.2010.10.009
27. Ren W., Chen H. Finite element model updating in structural dynamics by using the response surface method // Engineering Structures. – 2010. – Vol. 32. – No. 8. – P. 2455–2465. DOI:10.1016/j.engstruct.2010.04.019
28. On the use of statistics in design and the implications for determenistic computer experiments / T.W. Simpsons, J.D. Peplinski, P.N. Patrick, J.K. Allen // ASME Design Engineering Technical Conferences. – 1997. – 14 p.
29. Zhou L., Yan G., Ou J. Response surface method based on radial basis functions for modeling large–scale structures in model updating // Computer–Aided Civil and Infrastructure Engineering. – 2013. – Vol. 28. – No. 3. – P. 210–226. DOI: 10.1111/j.1467-8667.2012.00803.x
30. Marwala T. Finite element model updating using response surface method // AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics and Materials Conference 7. – 2007. – 9 p. DOI:10.2514/6.2004-2005