Толстостенные кольца из стеклопластика нашли широкое применение в высоконагруженных малоподвижных узлах трения рабочих органов дорожных машин в качестве втулок подшипников скольжения. Они должны выдерживать высокие радиальные нагрузки и работать в условиях ограниченной маслоподачи, используя смазочный материал содержащейся в открытых порах втулки. В крупногабаритных конструкциях подшипников скольжения (опорные устройства дорожных машин) толщина втулки может достигать десятков миллиметров. Практика показала, что для снижения динамической составляющей нагрузки при работе дорожных машин необходимо использовать втулки с достаточно большой толщиной стенки. Но увеличение толщины втулки приводит зачастую к расслоению из-за высоких технологических трансверсальных (межслойных), растягивающих напряжений, возникающих в процессе изготовления (при охлаждении изделия до комнатной температуры после намотки и отверждении полимерного связующего). Эти напряжения могут вызывать также заметное коробление толстостенных втулок при механической обработке.

В данной работе показано, что силовая намотка предварительно пропитанной стеклоткани на жесткую оправку приводит к неоднородному обжатию слоев по толщине втулки и искажению исходной геометрии переплетения нитей основы и утка. Нити внутренних слоев искривлены сильнее нитей наружных слоев. Это приводит к тому, что коэффициенты теплового расширения внутренних слоев оказываются больше соответствующих величин наружных слоев, что вызывает возникновение остаточных растягивающих напряжений в трансверсальном (радиальном) направлении.

В работе представлены результаты дилатометрических исследований распределения коэффициентов линейного теплового расширения по толщине в окружном и аксиальном направлении. Объемные доли стекловолокон и матрицы в нитях определены методом выжигания, на основе чего вычислены теплофизические свойства нити как однонаправленного микропластика. Анализ геометрии реального переплетения нитей позволил получить данные для моделирования трехмерной структуры ткани и расчетного определения теплофизических свойств композитных тканевых слоев на мезоуровне в пакете ANSYS Workbench, которые были использованы далее для нахождения остаточных межслойных температурных напряжений во втулке подшипника скольжения из стеклопластика на макроуровне.

Ключевые слова: стеклопластик, намотка, трансверсальные напряжения, многоуровневое моделирование, конечно-элементный анализ, подшипник скольжения.

Безмельницын Александр Викторович – инженер, e-mail: Alexandr00786@gmail.com

Сапожников Сергей Борисович – доктор технических наук, профессор, e-mail: ssb@susu.ac.ru

1. Чернавский С.А. Подшипники скольжения. – М.: Машгиз, 1963. – 244 с.

2. Зиновьев Е.В., Левин A.Л., Бородулин М.М. Полимеры в узлах трения машин и приборов: справ. – М.: Машиностроение, 1980. – 203 с.

3. Neale M.J. The Tribology handbook" (2nd ed.). – Butterworth-Heinemann, Oxford, 2001 – 582 p.

4. Shokrieh M.M. Residual Stresses in Composite Materials, (1st edition). – Woodhead Publishing Ltd., 2013. – 408 p.

5. Mechanisms generating residual stresses and distortion during manufacture of polymer–matrix composite structures / M.R. Wisnom, M. Gigliotti, N. Ersoy, M. Campbell, K.D. Potter // Composites Part A: Applied Science and Manufacturing. – 2006. – Vol. 37. – No. 4. – P. 522–529. DOI: 10.1016/J.COMPOSITESA.2005.05.019

6. Assessment of cure-residual strains through the thickness of carbon–epoxy laminates using FBGs. Part II: Technological specimen / M. Mullea, F. Collombeta, P. Oliviera, R. Zitounea, C. Huchetteb, F. Laurinb, Y.H. Grunevaldc // Composites Part A: Applied Science and Manufacturing. – 2009. – Vol. 40. – No. 10. – P. 1534–1544. DOI: 10.1016/J.COMPOSITESA.2008.10.008

7. Влияние натяжения и искривления армирующих волокон на прочность и деформативность стеклопластиков / под ред. Ю. М. Тарнопольского и В. В. Перова. – М.: ВИАМ, 1966. – 54 c.

8. Влияние технологических условий намотки на свойства полимерных композиционных материалов / Захарычев С.П. [и др.] // Вестник ТОГУ. Технические науки. – 2010. – № 1(16). – С. 55–64.

9. Analysis and control of the compaction force in the composite prepreg tape winding process for rocket motor nozzles / X. He, Y. Shi, C. Kang, T. Yu // Chinese Journal of Aeronautics. – 2016. – № 7. – C. 1–10. – DOI: dx.doi.org/10.1016/j.cja.2016.07.004

10.  Jacob A. Micromechanics of Composite Materials A Generalized Multiscale Analysis Approach (1st Edition). – Elsevier Inc, 2012. – 1032 p.

11.  Chen Z., Yang F., Meguid S.A. Multi-level modeling of woven glass/epoxy composite for multilayer printed circuit board applications // International Journal of Solids and Structures. – 2014. – Vol. 51. – No. 21–22. – P. 3679–3688. DOI:10.1016/J.IJSOLSTR.2014.06.030

12.  McWilliams B., Dibelka J., Yen C.F. Multi scale modeling and characterization of in elastic deformation mechanisms in continuous fiber and 2D woven fabric reinforced metal matrix composites // Materials Science & Engineering A. – 2014. – Vol. 618. – P. 142–152. DOI:10.1016/J.MSEA.2014.08.063

13.  Meso- and micro-scale modeling of damage in plain weave composites / B.A. Bednarcyk, B. Stier, J-W. Simon, S. Reese, E.J. Pineda // Composite Structures. – 2015. – Vol. 121. – P. 258–270. DOI: 10.1016/J.COMPSTRUCT.2014.11.013

14.  Computational geometrical and mechanical modeling of woven ceramic composites at the mesoscale / Fagiano C., Genet M., Baranger E., Ladevèze P. // Composite Structures. – 2014. – Vol. 112. – P. 146–156. DOI:10.1016/J.COMPSTRUCT.2014.01.045

15.  Ivanov D.S., Ivanov S.G., Lomov S.V., Verpoest I. Unit cell modelling of textile laminates with arbitrary inter-ply shifts // Composites Science and Technology. – 2011. – Vol. 72. – P. 14–20. DOI:10.1016/J.COMPSCITECH.2011.08.003

16.  Hallal A., Younes R., Fardoun F. Review and comparative study of analytical modeling for the elastic properties of textile composites // Composites Part B: Engineering. – 2013. – Vol. 50. – P. 22–31. DOI:10.1016/j.compositesb.2013.01.024

17.  Комков М.А., Тарасов В.А. Технология намотки композитных конструкций ракет и средств поражения. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. – 431 c.

18.  Исследование влияния микроструктуры полимерных композиционных материалов на эксплуатационные свойства подшипников скольжения импульсных тепловых машин / А.И. Богомолов [и др.] // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2014. – № 4 (32). – С. 158–176.

19.  Аношкин А.Н. Теория и технология намотки конструкций из полимерных композиционных материалов. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2003. – 118 с.

20.  Зиновьев Р.С., Сапожников С.Б., Безмельницын А.В. Оценка прочности и жесткости вкладышей подшипников скольжения из стеклопластика// Композиты и наноструктуры. – 2012. – № 3. – С. 10–18.

21.  ASTM D2584-11 Standard test method for ignition loss of cured reinforced resin ASTM International (2011).

22. Любин Дж. Cправочник по композитным материалам: в 2 кн. Кн. 1. – М.: Машиностроение, 1988. – 447 с.

23.  Васильев В.В., Тарнопольский Ю.М. Композиционные материалы: справочник. – М.: Машиностроение, 1990. – 512 с.

24.  Hiel C.C., Sumich M., Chappell D.P. A Curved Beam Test for Determination of Interlaminar Tensile Strength of a Laminated Composite // J. Composite Materials. – 1991. – Vol. 25. – P. 854–868.

25.  Barbero E.J. Finite Element Analysis of Composite Materials. – CRC Press, Taylor & Francis Group, 2008. – 331 p.

26.  Тарнопольский Ю.М., Кинцис Т.Я. Методы статических испытаний армированных пластиков. – М.: Химия, 1981. – 272 с.

27.  Thermal Residual Stresses in Single-sided Bonded Composite Patching / Z. Wang, J. Xiao, D. Jiang, J. Zeng, F. Yang // Journal of Reinforced Plastics and Composites. – 2009 – Vol. 28. – No. 5. – P. 587–599. DOI: 10.1177/0731684407085416

28.  Остаточные напряжения в полимерных композиционных материалах: учеб. пособие / В.П. Матвеенко [и др.]. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2016. – 250 с.

29.  Yu H., Heider D., Advani S. Prediction of effective through-thickness thermal coductiity of woven fabric reinforced composites with embedded particles // Composite Structures. – Vol. 127. – P. 132–140. DOI: dx.doi.org/10.1016/j.compstruct.2015.03.015

30.  Чернин И.З., Смехов Ф.М., Жердев Ю.В. Эпоксидные полимеры и композиции. – М.: Химия, 1982. – 231 с.

На основе результатов экспериментальных исследований образцов из нержавеющих сталей SS304, 12X18H9 и 12X18H10T при жестком (контролируемые
деформации) и мягком (контролируемые напряжения) циклических нагружениях
в условиях одноосного растяжения-сжатия и нормальной температуры проводится сравнительный анализ адекватности наиболее применяемых в настоящее время
в практических расчетах вариантов теорий пластичности, относящихся к классу теорий течения при комбинированном упрочнении. Рассматриваются нагружения, включающие в себя последовательности циклических и монотонных нагружений,
а также явления посадки и вышагивания (ratcheting) петли пластического гистерезиса. Нагружения проводятся вплоть до разрушения – появления макротрещин длиной 1 мм. В качестве анализируемых вариантов теорий рассматриваются модели Коротких, Бондаря и Шабоша. Для каждой модели приводится набор материальных функций, на основе которых проводятся расчеты кинетики напряженно-деформированного состояния исследуемых процессов циклических нагружений. На основе сравнения результатов расчетов и экспериментов показано, что описание процессов посадки и вышагивания (ratcheting) циклической петли возможно только в рамках моделей Бондаря и Шабоша при определенном преимуществе модифицированной модели Бондаря, заключающемся в возможности адекватно описывать нестационарные процессы циклического нагружения и нелинейные процессы накопления повреждений. Показано, что модифицированная модель Бондаря, включающая микронапряжения третьего типа (Оно-Ванга) и кинетические уравнения накопления повреждений, наиболее адекватно по сравнению с другими моделями описывает кинетику напряженно-деформированного состояния и разрушения
в условиях нестационарных несимметричных циклических процессов нагружения
и может быть рекомендована для практических расчетов кинетики напряженно-деформированного состояния и ресурса конструкций в условиях произвольного воздействия нагрузок.

Ключевые слова: пластичность, циклическое нагружение, микронапряжения, посадка петли, вышагивание петли, повреждение.

Бондарь Валентин Степанович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: v.s.bondar@mospolytech.ru

Абашев Дмитрий Рустамович – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: tm@mospolytech.ru

Петров Владимир Кириллович – кандидат технических наук, доцент, e-mail: tm@mospolytech.ru

1. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. - Л.: Машиностроение, 1990. - 224 с.
2. Бондарь В.С. Неупругое поведение и разрушение материалов и конструкции при сложном неизотермическом нагружении: дис. … д-ра физ.-мат. наук. - М.: Изд-во МАМИ, 1990. - 314 с.
3. Бондарь В.С. Неупругость. Варианты теории. - М.: Физматлит, 2004. - 144 с.
4. Бондарь В.С., Даншин В.В. Пластичность. Пропорциональные и непропорциональные нагружения. - М.: Физматлит, 2008. - 176 с.
5. Bondar V.S. Inelasticity. Variants of the theory. - New York: Begell House, 2013. - 194 p.
6. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. - М.: Физматлит, 2008. - 424 с.
7. Прикладная теория пластичности / Митенков Ф.М. [и др.]. – М.: Физматлит, 2015. – 284 с.
8. Прикладная теория вязкопластичности: моногр. / Волков И.А. [и др.]. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2015. – 318 с.
9. Нелинейная механика материалов / Бессон Ж. [и др.]. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. - 397 с.
10. Bari S., Hassan T. An advancement in cyclic plasticity modeling for multiaxial ratcheting simulation // Int. J. of Plasticity.- 2002. - Vol. 18. - P. 873–894.
11. Uniaxial ratcheting and fatigue failure of tempered 42CrMo steel: Damage evolution and damage-coupled viscoplastic constitutive model / G. Kang, Y. Liu, J. Ding, Q. Gao // Int. J. of Plasticity. − 2009. − Vol. 25. − P. 838–860.
12. Kan Q., Kang G. Constitutive model for uniaxial transformation ratcheting of super-elastic NiTi shape memory alloy at room temperature // Int. J. of Plasticity. - 2009. - Vol. 26 (3). - P. 441–465. DOI: 10.1016/j.ijplas.2009.08.005
13. Chaboche J.-L. A review of some plasticity and viscoplasticity constitutive theories // Int. J. of Plasticity. - 2008. − Vol. 24. - P. 1642–1692.
14. Rahman S.M., Hassan T., Corona E. Evaluation of cyclic plasticity models in ratcheting simulation of straight pipes under cyclic bending and steady internal pressure // Int. J. of Plasticity. - 2008. − Vol. 24. - P. 1756–1791.
15. Abdel-Karim M. Modified kinematic hardening rules for simulations of ratchetting // Int. J. of Plasticity. - 2009. − Vol.25. - P. 1560–1587.
16. Abdel-Karim M. An evaluation for several kinematic hardening rules on prediction of multiaxial stress-controlled ratchetting // Int. J. of Plasticity. - 2010. − Vol. 26. - P. 711–730.
17. Dafalias Y.F., Feigenbaum H.P. Biaxial ratchetting with novel variations of kinematic hardening // Int. J. of Plasticity. - 2011. − Vol. 27. - P. 479–491.
18. Chaboche J.-L., Kanouté P., Azzouz F. Cyclic inelastic constitutive equations and their impact on the fatigue life predictions // Int. J. of Plasticity. - 2012. − Vol. 35. - P. 44–66.
19. Multiaxial ratcheting with advanced kinematic and directional distortional hardening rules / H.P. Feigenbaum, J. Dugdale, Y.F. Dafalias, K.I. Kourousis, J. Plesek // Int. J. of Solids and Structures. - 2012. − Vol. 49 (22). − P. 3063–3076.
20. Hassan T., Taleb L., Krishna S. Influence of non-proportional loading on ratcheting responses and simulations by two recent cyclic plasticity models // Int. J. Plasticity. - 2008. − Vol. 24 − P. 1863–1889.
21. Effect of dynamic strain aging on isotropic hardening in low cycle fatigue for carbon manganese steel / Z.Y. Huang, J.L. Chaboche, Q.Y. Wang, D. Wagner, C. Bathias // Materials Science and Engineering. − 2014. - A589. − P. 34–40.
22. Jiang Y., Zhang J. Benchmark experiments and characteristic cyclic plasticity Deformation // Int. J. of Plasticity. - 2008. − Vol. 24. − P. 1481–1515.
23. Kang G., Kan Q. Contitutive modeling for uniaxial time-dependent ratcheting of SS304 stainless steel // Mech. Mater. - 2007. − Vol. 39. − P. 488–499.
24. Uniaxial ratchetting and fatigue failure of tempered 42CrMo steel:damage evolution and damage-coupled viscoplastic contitutive model / G. Kang, Y. Liu, J. Ding, Q. Gao // Int. J. Plasticity. - 2009. − Vol. 25. − P. 838–860.
25. Multi-mechanism modeling of proportional and non- proportional ratchetting of stainless steel 304 / K. Saï, L. Taleb, F. Guesmi, G. Cailletaud // Acta Mechanica. - 2014. − Vol. 225 (11). − P. 3265–3283.
26. Taleb L., Cailletaud G. Cyclic accumulation of the inelastic strain in the 304L SS under stress control at room temperature: Ratcheting or creep // Int. J. Plasticity. − 2011. - Vol. 27 (12). − P. 1936–1958.
27. Taleb L. About the cyclic accumulation of the inelastic strain observed in metals subjected to cyclic stress control // Int. J. Plasticity. - 2013. − Vol. 43. − P. 1–19.
28. Taleb L., Cailletaud G., Saï K. Experimental and numerical analysis about the cyclic behavior of the 304L and 316L stainless steels at 350 °C // Int. J. Plasticity. - 2014. − Vol. 61. − P. 32–48.
29. Бондарь В.С., Даншин В.В., Макаров Д.А. Математическое моделирование процессов деформирования и накопления повреждений при циклических нагружениях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2014. - № 2. - С. 125–152.
30. Бондарь В.С., Даншин В.В., Кондратенко А.А. Вариант теории термопластичности // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 2. – С. 21–35. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.2.02
31. Бондарь В.С., Даншин В.В., Кондратенко А.А. Вариант теории термовязкопластичности // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 1. – С. 39–56. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.1.03
32. Абашев Д.Р., Горохов В.Б., Крохин И.А. Моделирование циклического деформирования материалов с учетом его особенностей // Космонавтика и ракетостроение. − 2013. − № 2. – С. 42–47.
33. Абашев Д.Р., Горохов В.Б., Крохин И.А. Моделирование процессов симметризации петли упругопластического гистерезиса при циклических нагружениях // Космонавтика и ракетостроение. - 2015. − № 3. – С. 5–11.
34. Armstrong P.J., Frederick C.O. A mathematical representation of the multiaxial Bauscinger effect // CEGB Report No. RD/B/N/ 731. - 1966.
35. Кадашевич Ю.И. О различных тензорно-линейных соотношениях в теории пластичности // Исследования по упругости и пластичности. - Л.: Изд-во ЛГУ. − 1967. - Вып.6. - С. 39-45.
36. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. мат. журн. - 1954. − Т. 6, вып. 3. - С. 314-324.
37. Prager W. The theory of plasticity: A Survey of Recent Achievements // Proc. Inst. Mech. Engrs. − London, 1955. – Vol. 169. – Р. 41.
38. Guozheng Kang, Qing Gao, Lixun Cai, Yafang Sun. Experimental study on uniaxial and nonproportionally multiaxial ratcheting of SS304 stainless steel at room and high temperatures // Nuclear Engineering and Design. - 2002. - Vol. 216. - P. 13-26.
39. Guozheng Kang, Qing Gao, Xianjie Yang. Uniaxial cyclic ratcheting and plastic flow properties of SS304 stainless steel at room and elevated temperatures // Mechanics of Materials. - 2002. - Vol. 34. - P. 145-159.
40. Бондарь В.С., Бурчаков С.В., Даншин В.В. Математическое моделирование процессов упругопластического деформирования и разрушения материалов при циклических нагружениях // Проблемы прочности и пластичности: межвуз. сб. - Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та. − 2010. − Вып. 72. - С. 18-27.
41. Ohno N., Wang J.-D. Kinematic hardening rules with critical state of dynamic recovery, part 1: formulations and basic features for ratcheting behavior // International Journal of Plasticity. - 1993. − Vol. 9. − P. 375–390.
42. Бондарь В.С., Даншин В.В., Алхимов Д.А. Анализ циклического деформирования и маломногоцикловой усталости в условиях одноосного напряженного состояния // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. –
    № 4. – С. 52–71. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.4.04
43. Бондарь В.С. Некоторые новые результаты исследования пластичности материалов при сложном нагружении // Упругость и неупругость. - М.: ЛЕНАНД, 2006. - С. 94–109.

Рассматривается докритическое упругопластическое деформирование трехслойного композита и процесс разделения слоев, сопровождающийся разрушением адгезионного слоя. Путем осреднения компонент напряжений в адгезионном слое по его толщине задача сводится к системе двух вариационных условий равновесности относительно полей скоростей склеиваемых слоев. При решении упругопластической задачи докритического деформирования выделяется δ-область, в которой достигнут критерий разрушения. С помощью повторного решения задачи докритического деформирования с известным законом движения границы δ-области находится распределение нагрузки (узловых сил), действующей со стороны δ-области на тело. На следующем шаге рассматривается изменение напряженно-деформированного состояния (НДС) тела в процессе разрушения δ-области. Решается упругопластическая задача при простой разгрузке δ-поверхности тела и сохранении внешней нагрузки, соответствующей началу процесса разрушения. В процессе δ-разгрузки возможно образование новых пластических областей, частичная разгрузка и достижение критерия разрушения. В результате НДС тела в момент начала локальной разгрузки отличается от его состояния при окончании δ-разгрузки. Это является принципиальным отличием от известной процедуры «убийства элементов», когда жесткость элемента после достижения критерия разрушения полагается близкой к нулевой. При этом состояние тела вне удаленного элемента считается неизменным, и возможность появления зон разгрузок и догрузок после исключения элемента не учитывается. В случае линейной упругости решение задачи с удаленной областью при фиксированной внешней нагрузке совпадает с решением, получаемым в результате
δ-разгрузки в силу единственности решения и принципа суперпозиции. Однако решение упругопластической задачи при простом нагружении тела с удаленной областью не будет совпадать с решением методом δ-разгрузки. В статье приведены решения задач расслоения композита, иллюстрирующие метод простой δ-разгрузки как в линейно-упругой, так и в упругопластической постановках.

Ключевые слова: композит, подход Нейбера – Новожилова, характерный размер, процесс разрушения, простой процесс, упругопластическое деформирование, вариационное уравнение, метод конечных элементов.

Глаголев Вадим Вадимович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: vadim@tsu.tula.ru

Маркин Алексей Александрович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: markin-nikram@yandex.ru

Фурсаев Артем Александрович – аспирант, e-mail: artemkajs@mail.ru

1. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – М.: Наука, 1974. – 640 с.

2. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. – М.: Наука, 1985. – 502 с.

3. Barenblatt G.I. The Mathematical Theory of Equilibrium Cracks in Brittle Fracture // Advances in Applied Mechanics. – 1962. – Vol. 7. – P. 55–129. – URL: http://dx.doi.org/10.1016/S0065-2156(08)70121-2

4. Макклинток Ф. Пластические аспекты разрушения // Разрушение. – М.: Мир, 1975. –
Т. 3. – С. 67–262.

5. Glagolev V.V., Glagolev L.V., Markin A.A. Stress-Strain State of Elastoplastic Bodies with Crack // Acta Mechanica Solida Sinica. – 2015. – Vol. 28. – No. 4. – P. 375–383. DOI: 10.1016/S0894-9166(15)30023-9

6. Астапов Н.С., Корнев В.М., Кургузов В.Д. Модель расслоения разномодульного биматериала с трещиной // Физическая мезомеханика. – 2016. – Т. 19, № 4. – С. 49–57.

7. He X. A review of finite element analysis of adhesively bonded joints // Int. J. Adhes. Adhes. – 2011. – Vol. 31. – No. 4. – P. 248–264. DOI:10.1016/j.ijadhadh.2011.01.006

8. Глаголев В.В., Маркин А.А., Фурсаев А.А. Моделирование процесса разделения композита с адгезионным слоем // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 2. – С. 34–44. DOI: 10.15593/perm.mech/ 2016.2.03

9. Васильев В.В., Лурье С.А. Новое решение плоской задачи о равновесной трещине // Изв. РАН. МТТ. – 2016. – Т. 51, № 5. – С. 61–67.

10. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Разрушение и формирование структуры // ДАН СССР – Т. 240, № 4. – 1978. – С. 111–126.

11. Нейбер Г. Концентрация напряжений. – М.; Л.: ОГИЗ: Гостехиздат, 1947. – 204 с.

12. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. – 1969. – Т. 33, № 2. – С. 212–222.

13. Назаров С.А., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. – 93 с.

14. Петров Ю.В. Квантовая аналогия в механике разрушения // Физика твердого тела. –
1996. – Т. 38, № 11. – С. 3385–3393.

15. Petrov Y.V., Morozov N.F., Smirnov V.I. Structural Macromechanics Approach in Dynamics
of Fracture // Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct. – 2003. – Vol. 26. – No. 4. – P. 363–372.
DOI: 10.1046/j.1460-2695.2003.00602.x

16. Xiangting Su, Zhenjun Yang, Guohua Liu. Finite element modelling of complex 3D static and dynamic crack propagation by embedding cohesive elements in Abaqus // Acta Mechanica Solida Sinica. – 2010. – Vol. 23. – No. 3. – P. 271–282. DOI: 10.1016/S0894-9166(10)60030-4

17. Sua X.T, Yang Z.J., Liu G.H. Monte Carlo simulation of complex cohesive fracture in random heterogeneous quasi-brittle materials: A 3D study // International Journal of Solids and Structures. – 2010. – Vol. 47. – No. 17. – P. 2336–2345. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2010.04.031

18. Zhenjun Yang, X. Frank Xu. A heterogeneous cohesive model for quasi-brittle materials considering spatially varying random fracture properties // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2008. – Vol. 197. – No. 45–48. – P. 4027–4039.

19. Panettieri E, Fanteria D, Firrincieli A. Damage initialization techniques for nonsequential FE propagation analysis of delaminations in composite aerospace structures // Meccanica. – 2015. –
Vol. 50. – No. 10. – P. 2569–2585. DOI: 10.1007/s11012-015-0214-0

20. Dassault Systemes Simulia Corp., Abaqus 6.11, User’s Manual, 2011.

21. ANSYS. User's Guide, Release 11.0. – Pennsylvania, USA: ANSYS Inc., 2006.

22. Dávila C.G., Camanho P.P., Turon A. Effective Simulation of delamination in aeronautical structures using shells and cohesive elements // Journal of Aircraft. – 2008. – Vol. 42. – No. 2. – P. 663–672. DOI: 10.2514/1.32832

23. De Moura MFSF., Gonçalves JPM. Cohesive zone model for high-cycle fatigue of adhesively bonded joints under mode I loading // International Journal of Solids and Structures. – 2014. – No. 5. –
P. 1123–1131. – URL: http://dx.doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2013.12.0

24. Finite element simulation of single carbon nanotube pull-outs from a cementitious nanocomposite material using an elastic-plastic-damage and cohesive surface models / Rashid K. Abu Al-Rub, Sun-Myung Kim, Khaldoon A. Bani-Hani, Nasser Al-Nuaimi, Ahmed Senouci // Int. J. Theoretical and Applied Multiscale Mechanics. – 2014. – Vol. 3. – No. 1. – P. 31–57. DOI: 10.1504/IJTAMM.2014.069448

25. Panettieri E., Fanteria D., Danzi F. Delaminations growth in compression after impact test simulations: Influence of cohesive elements parameters on numerical results // Composite Structures. – 2016. – Vol. 137. – P. 140–147. – URL: http://dx.doi.org/10.1016/j.compstruct.2015.11.018

26. Рыжак Е.И. К вопросу об осуществимости однородного закритического деформирования при испытаниях в жесткой трехосной машине // Изв. АН СССР. МТТ. – 1991. – № 1. – С. 111–127.

27. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г. Феноменологические основы оценки трещиностойкости материалов по параметрам спадающих участков диаграмм деформаций // Проблемы прочности. – 1983. - №2. - С. 6–10.

28. Стружанов В.В. Об одном подходе к изучению механизма зарождения трещин // ПМТФ. - 1986. - № 6. - С. 118–123.

29. Kattan P.I., Voyiadjis G.Z. Damage Mechanics with Finite Elements: Practical Applications with Computer Tools. – Springer, 2012. – 113 p.

30. Efendiev Y., Hou T.Y. Multiscale Finite Element Methods. Theory and Applications. – Springer, 2009. – 242 p.

31. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. – М.: Физматлит, 2013. – 320 с.

32. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. – М.: Изд-во МГУ, 2004. – 376 с.

Следует отметить, что до настоящего времени точных решений несимметричной задачи теории упругости в цилиндрической системе координат с учетом температурного поля не существовало. Это объясняется сложностью системы разрешающих уравнений – высокий порядок, переменные коэффициенты. Авторам статьи удалось построить интегрируемые комбинации решаемых уравнений вначале без учета, в настоящей работе – с учетом температурных членов. Для этого в систему разрешающих уравнений вместо соотношения, связывающего объемную деформацию с перемещениями точек цилиндра, было введено дополнительное уравнение относительно объемной деформации. С учетом уравнения теплопроводности удалось свести его к уравнению, полученному ранее без учета температурных членов. В результате задача свелась к последовательному решению каждого уравнения в отдельности. Поскольку дополнительное уравнение было получено дифференцированием остальных уравнений, порядок системы разрешающих уравнений увеличился, что привело к появлению в решении «лишних» постоянных интегрирования. Авторами доказано, что использование в качестве дополнительного условия замененного соотношения между объемной деформацией и перемещениями устраняет этот недостаток.

Строится точное решение несимметричной краевой задачи теории упругости для цилиндрического резервуара с жидкостью, находящегося в температурном поле. Термоупругая задача несвязанная, то есть вначале решается уравнение теплопроводности, затем линейная задача теории упругости для кругового цилиндра в перемещениях.

Построено точное решение краевой задачи для цилиндрического резервуара
с жидкостью при условии линейной зависимости температуры и перемещений цилиндра вдоль его оси. Рассмотрен числовой пример, в котором температура внешней боковой поверхности цилиндра меняется только в окружном направлении.

Ключевые слова: температура, теория упругости, несвязанная задача, перемещения.

Гурьянов Николай Георгиевич – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: gng.ggb@mail.ru

Тюленева Ольга Николаевна – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: tdv.ton@mail.ru

1. Лурье А.И. Теория упругости. – М.: Наука, 1970. – 939 с.

2. Ляв А.Э.Х. Математическая теория упругости. – М.-Л.: ОНТИ, 1935. – 676 с.

3. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости – М.: Физматлит, 1978 – 462 с.

4. Коваленко А.Д. Избранные труды. – Киев: Наукова думка, 1976. – 762 с.

5. Новацкий В. Теория упругости. – М.: Мир, 1975. – 872 с.

6. Новацкий В. Вопросы термоупругости – М.: Изд-во АН СССР, 1962. – 364 с.

7. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. – 695 с.

8. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. – М.: Наука,
1981. – 688 с.

9. Рекач В.Г. Руководство к решению задач по теории упругости. – М.: Высшая школа,
2010. – 227 с.

10. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. – М.: Физматлит, 1961. – 219 с.

11. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1975. – 575 с.

12. Хан Х. Теория упругости. – М.: Мир, 1988. – 343 с.

13. Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплоотдачи / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно, В.И. Громовык, В.Л. Лизбень. – Киев: Наукова думка, 1977. – 158 с.

14. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Краевые задачи теории упругости для шара и цилиндра. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2008. – 207 с.

15. Тюленева О.Н., Гурьянов Н.Г. Краевые задачи термоупругости для шара. – Saarbucken : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. – 160 с.

16. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Пространственная задача термоупругости для сферического купола // Теория и практика современной науки: сб. ст. XV Междунар. науч.-практ. конф. – М., 2014. – С. 10–17.

17. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Задача термоупругости для шара // Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики: сб. тез. докл. X Всерос. съезда. – Н. Новгород,
2011. – № 4 (4). – С. 1466–1467.

18. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Двоякопериодическое решение задачи термоупругости для полого шара // Современные проблемы механики: сб. ст. междунар. науч.-техн. конф. – Ташкент, 2009. – Т. 1. – С. 283–288.

19. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Точное решение несимметричной задачи теории упругости для цилиндра в температурном поле // Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики: тез. докл. XI Всерос. съезда. – Казань, 2015. – С. 1106–1108.

20. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Сферический купол в температурном поле // Известия вузов. Авиационная техника. – 2013. – Т. 1. – С. 8–12.

21. Попов Г.Я., Белкасем К. Точное решение смешанной неосесимметричной краевой задачи теории упругости для кругового цилиндра конечной длины // Доклады Академии наук. – 2010. – Т. 433, № 1. – С. 48–54.

22. Попов Г.Я. Осесимметричные краевые задачи теории упругости для цилиндров и конусов конечной длины // Доклады Академии наук. – 2011. – Т. 439, № 2. – С. 192–197.

23. Карташов Э.М., Кудинов В.А. Аналитическая теория теплопроводности и прикладной термоупругости. – М.: ЛИБРОКОМ, 2012. – 656 с.

24. Фастовская Т.Б. Существование глобальных решений нелинейной задачи термоупругости // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. – Харьков, 2014. – Т. 2, № 4. – С. 125–127.

25. Chanyu Shang Global attractor for the Ginzburg-Landay thermoviscoelastic system with hinger boundary conditions // Math. Anal. Appl. – 2008. – Vol. 343. – P. 1–21.

26. Саталкина Л.В. Несвязанная задача нелинейной термоупругости для тела с сингулярной границей // Вестник ТулГУ. Актуальные вопросы механики. – Тула, 2009. – Вып 5. – С. 157–160.

27. Родионов А.Ю. Точные решения уравнений термоупругости // Институт прикладной механики Владикавказского научного центра РАН. – 2009. – Т. 11, № 1. – С. 54–62.

28. Шевченко А.В. Применение вариационного метода при расчете замкнутых цилиндрических оболочек с учетом температурных деформаций // Вестн. Белгород. гос. техн. ун-та им. В.Г.Шухова. – 2005. – № 10. – С. 492–494.

29. Байден О.В., Шаповалов С.М., Шевченко А.В. Учет температурных деформаций при расчете замкнутых цилиндрических оболочек вариационным методом // Строительная механика и расчет сооружений. – 2009. – № 5. – С. 6–9.

30. Волков А.Е., Кухарева А.С. Расчет напряженно-деформированного состояния в цилиндре из TiNi при охлаждении под нагрузкой и разгрузке // Изв. РАН. Серия физическая. – М.: Наука, 2008. – Т. 72, № 9. – С. 1337–1340.

31. Иванов А.С., Ковалев В.И., Цаповская О.А. Температурные напряжения в сплошном длинном цилиндрес переменным объемным тепловыделением // Проблемы машиностроения и автоматизации. – М., 2008. – № 1. – С. 111–114.

32. Амосов А.А., Жаворонок С.И., Леонтьев К.А. О решении некоторых задач о напряженно-деформированном состоянии анизотропных толстостенных оболочек вращения в трехмерной постановке. // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2004. – Т. 10, № 3. – С. 301–310.

Одно из важных направлений в механике деформируемого тела представлено работами, которые посвящены исследованию напряженного состояния подкрепленных тонких оболочек.

Упрощенные методы расчета подкрепленных оболочек, базирующиеся на моделях, использующих концепцию «размазывания», далеко не всегда дают удовлетворительные результаты. Поэтому развитие и углубление методов расчета таких оболочек является актуальным и идет по пути учета дискретности расположения подкрепляющего набора с выявлением порождаемых им особенностей напряженно-деформированного состоянии.

Учет дискретности расположения набора при полноценно работающей обшивке основывается на процедуре «склейки» решений для оболочки и набора по участкам, а также на основе вариационных и конечно-элементных методов.

В последние годы появился ряд работ, в которых дискретность подкрепляющего набора предлагается учитывать, записывая переменную жесткость системы
с помощью дельта-функции Дирака. Задача сводится к уравнениям с сингулярными коэффициентами.

Коническая оболочка, подкрепленная дискретным набором, представляет собой дискретно-континуальную систему, сочетающую континуальный элемент – собственно оболочку и дискретные элементы – шпангоуты. Указанная система рассматривается с помощью аппарата обобщенных функций как «единая» оболочка из некоторого неоднородно-ортотропного моментного материала, т.е. как оболочка переменной жесткости.

В работе представлена математическая модель деформирования подкрепленной конической оболочки. Приведен вывод нелинейных уравнений равновесия оболочки, подкрепленной дискретным набором шпангоутов с помощью аппарата векторного анализа. Рассмотрена геометрическая сторона задачи. При рассмотрении физической стороны приведены соотношения упругости для оболочки и дан вывод соотношений упругости шпангоута.

Ключевые слова: коническая оболочка, дискретный набор шпангоутов, дельта-функция, неоднородно-ортотропный моментный материал, геометрическая и физическая сторона задачи, нелинейные уравнения равновесия.

Дудченко Александр Александрович – доктор технических наук, профессор, e-mail: a_dudchenko@mail.ru

Сергеев Валерий Николаевич – кандидат технических наук, доцент, e-mai: k603sergeev@mai.ru

1. Андрианов И. В., Данишевский В. В. Упрощенные уравнения нелинейной динамики круговых цилиндрических оболочек // Вестн. С.-Петерб. ун-та. – 2011. – № 1. – С. 17–21.

2. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. – М.: Машиностроение, 1977. – 488 с.

3. Булатов, С.Н. К проблеме расчёта подкреплённых конических оболочек сложной геометрии // Актуальные проблемы механики оболочек: тр. междунар. конф. – Казань, 1998. – С. 19–23.

4. Ванько В. И Цилиндрическая оболочка под внешним давлением: неклассическое решение задачи о больших перемещениях // Вестн. Нижегород. ун-та им. Лобачевского. – 2011. – № 4. – Ч. 4. – С. 1413–1414.

5. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, 1979. – 320 с.

6. Власов В.З. Избранные труды. Общая теория оболочек (Т. 1). – М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1962. – 528 с.

7. Волчков Ю.М., Дергилева Л.А. Решение контактных задач на основе уточненной теории пластин и оболочек // ПМТФ. – 2008. – Т.49, № 5. – С. 169–176.

8. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – М.: Наука, 1972. – 432 с.

9. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. – М.: Наука, 1989. – 376 с.

10. Галимов К.З., Паймушин В.Н., Терегулов И.Г. Основания нелинейной теории оболочек. – Казань.: Изд-во Акад. наук Татарстана «Фэн», 1996. – 215 с.

11. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. – М.: Физматгиз, 1959. – 470 с.

12. Гольденвейзер А.Л. Теории тонких упругих оболочек. – М.: Наука, 1976. – 512 с.

13. Даревский В.М. Нелинейные уравнения теории оболочек и их линеаризация в задачах устойчивости // Тр. VI Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. – М., 1966. – С. 355–368.

14. Дудченко А.А. Прочность и проектирование авиационных конструкций из композицонного материала. – М.: Изд-во МАИ, 2007, – 199 с.

15. Дудченко А.А., Елпатъевский А.Н. Прочность композитных подкрепленных панелей, нагруженных в своей плоскости // Меха­ника композитных материалов. – 1993. – Т. 29, № 1. – С. 84–92.

16. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. – 1970. –
№ 4. – С. 150–162.

17. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек // Прочность гидротурбин: тр. ЦКТИ. – 1968. – Вып. 88. – С. 46–70.

18. Жилин П.А. К анализу краевых задач для ребристых оболочек // Прочность гидротурбин: тр. ЦКТИ. – 1966. – № 72. – С. 26–40.

19. Карпов В.В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения. Ч. 1. Модели и алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения. – М.: Физматгиз, 2010. – 288 с.

20. Карпов В.В., Семенов А.А. Математическая модель деформирования подкрепленных ортотропных оболочек вращения // Инженерно-строительный журнал. – 2013. – № 5. – С. 100–106.

21. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчету строительных конструкций. – СПб., 2009. – 74 с.

22. Карпов В.В. Метод вариационных предельных преобразований в теории оболочек, имеющих нерегулярности // Вестн. гражданских инженеров. – 2005. – № 4(5). – С. 37–42.

23. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике / под ред. Б.Е. Победри. – М.: Мир, 1978. – 518 с.

24. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в задачах механики. – Киев: Наук. думка, 1974. – 192 с.

25. Климанов В.И, Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек / УНЦ АН СССР. – Свердловск, 1985. – 291 с.

26. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. – Л.: Изд-во ЛГУ,
1980. – 196 с.

27. Муштари Х.М., Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. – Казань, 1975. – 326 с.

28. Новицкий В.В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике // Расчет пространственных конструкций. – 1962. – Вып. 8. – С. 207–245.

29. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. – JL: Судпромиздат, 1962. – 431 с.

30. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. – М.: Машиностроение, 1973. – 660 с.

31. Овчаров А.А., Брылев И.С. Математическая модель деформирования нелинейно упругих подкрепленных конических оболочек при динамическом нагружении // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 3. – C. 63–71.

32. Онанов Г.Г. Уравнения с сингулярными коэффициентами типа дельта-функции и ее производных // ДАН СССР. – 1970. – Т. 1, № 5. – С. 997–1000.

33. Рейсснер Э.Э. Линейная и нелинейная теория оболочек. Тонкостенные оболочечные конструкции. – М.: Машиностроение, 1980. – С. 55–69.

34. Семенов А.А., Овчаров А.А. Математическая модель деформирования ортотропных конических оболочек // Инженерный вестник Дона. – 2014. – Т. 29. – Вып. 2. – С. 74–77.

35. Семенов А.А. Алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных ортотропных оболочек // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2014. –
№ 1. – С. 49–63.

36. Общая нелинейная теория упругих оболочек / Черных К.Ф. [и др.]. – СПб.: Изд-во
С.-Петерб. ун-та, 2002. – 388 с.

37. Chrobot B. Mathematical models of ribbed Shells // Studia Geotechnica et Nechanica. – 1982. – Vol. IV. – No. 3–4. – P. 55–68.

38. Reissner E. Linear and Nonlinear Theory of Shells // Thin-shell structures: theory, experimenyand Design, Prentice – Hall inc., 1974. – P. 29–44.

39. Swaddiwudhipohg S., Tian J., Wang C.M. Elastic buckling analysis of ring-stiffened cylindrical shell under general pressure loading via ritz method // Thin walled structures. – 1999. – Vol. 35. – P. 1–24.

40. Yang. B., Zhou J. Analysis of ring-stiffened cylindrical shells // Journal of Applied Mechanics. – 1995. – Vol. 62. – Р. 1005–1014.

При воздействии электромагнитным полем на проводник происходит концентрация поля на дефектах структуры материала. В частности, это инициирует протекание электрических, термических и механических процессов в окрестности микродефектов (пор, трещин, включений и т.п.).

Исследуются процессы трансформации и взаимодействия дефектов типа плоских межзеренных микротрещин с линейными размерами порядка 10 мкм, протекающие в материале при обработке металлических образцов импульсным высокоэнергетическим электромагнитным полем, вызывающим в материале короткий импульс электрического тока высокой плотности.

Исследование осуществляется численно на основе связанной модели воздействия интенсивным импульсным электромагнитным полем на предварительно поврежденный термоупругопластический материал с дефектами, которая учитывает плавление и испарение металла, а также зависимость всех его физико-механических свойств от температуры. Решение получающейся системы уравнений ищется методом конечных элементов на подвижных сетках с использованием смешанного эйлер-лагранжева метода.

Моделирование показало, что одновременное уменьшение длины, выброса расплавленного металла внутрь трещины и смыкание берегов приводит к тому, что берега трещины начинают контактировать со струей расплавленного материала, и в результате этих процессов струя оказывается полностью зажатой берегами трещины. Таким образом, под действием импульсов тока происходит сварка трещины и залечивание микродефектов. При этом объем микродефектов уменьшается во времени.

В настоящей работе для макроскопического описания процессов залечивания вводятся параметры залеченности и поврежденности материала. Параметр залеченности определяется как отношение изменения объема микротрещины к начальному объему микротрещины в конкретный момент времени при воздействии на материал электромагнитным полем. Под поврежденностью (пористостью) понимается отношение объема микротрещины в конкретный момент времени к объему представительного элемента. Залечивание микротрещин приводит к увеличению залеченности материала и уменьшению его поврежденности.

Исследуются процессы изменения залеченности и поврежденности материала от времени при воздействии на материал током. Рассматриваются вопросы о выборе предпочтительных областей интегрирования при моделировании рассматриваемых процессов. Изучается влияние расстояния между микротрещинами и их взаимного расположения друг относительно друга на изменения залеченности
и поврежденности материала во времени.

Моделирование рассматриваемых процессов во всем исследуемом диапазоне расстояний между дефектами (или, равносильно, при любой начальной поврежденности) показало, что зависимости залеченности и поврежденности от времени не будут различаться от того, вычисляем мы их в областях интегрирования, состоящих из одного или же нескольких представительных элементов.

Расположение микротрещин друг относительно друга и расстояние между ними не влияет на изменения залеченности и поврежденности материала во времени при воздействии на материал током. На эти изменения влияет лишь величина начальной поврежденности материала. Изменения залеченности и поврежденности материала во времени будет происходить практически одинаково для любых различающихся взаимных расположений микротрещин при условии, что для этих случаев расположения дефектов начальные поврежденности равны.

На основе результатов моделирования получены приближенные кусочно-линейные зависимости изменения залеченности и поврежденности от времени
и начальной поврежденности материала. Из данных зависимостей следует, что до определенного момента времени все микротрещины в материале (независимо от того, какой была начальная поврежденность материала) не залечиваются и поврежденность материала не меняется под действием тока. После этого момента времени стартует процесс залечивания микротрещин. При этом под действием тока со временем поврежденность материала уменьшается во времени с постоянной скоростью (которая не зависит от начальной поврежденности), в то время как залеченность растет со скоростью, которая обратно пропорциональна начальной поврежденности материала.

Ключевые слова: залечивание, микротрещины, торможение трещин, взаимодействие, микродефекты, электропластичность, высокоэнергетическое электромагнитное поле, импульс тока, локализация, фазовые переходы, плавление, испарение.

Кукуджанов Константин Владимирович – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: kconstantin@mail.ru

1. Качанов Л.М. О времени до разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. ОТН. – 1958. – № 8. – С. 26–31.
2. Работнов Ю.И. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 1966. – 752 с.
3. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. – М.: Наука, 1974. – 312 с.
4. Гарсон А.Л. Континуальная теория вязкого разрушения, обусловленного образованием и ростом пор // Теоретические основы инж. расчетов: тр. амер. о-ва инж.-мех. – 1977. – Т. 1,
   № 1. – С. 182–201.
5. Tvergaard V. Influence of voids on shear band instabilities under plane strain condition // Int. J. Fract. – 1981. – Vol. 17. – P. 389–407.
6. Tvergaard V., Needleman A. Analysis of the cup-cone fracture in a round tensile bar // Acta Metall. – Vol. 32. – P. 157–169.
7. Tvergaard V., Needleman A. Elastic-Viscoplastic Analysis of Ductile Fracture. In Finite Inelastic Deformations: Theory of Applications. Eds. D.Besdo, E.Stain. – Springer-Verlag, 1991. – P. 3–14.
8. Кукуджанов В.Н. Вычислительная механика сплошных сред. – М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2008. – 320 с.
9. Kukudzhanov V.N. Numerical Continuum Mechanics. – De Gruyter, 2012. – 425 p.
10. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированной среды. – М.: Изд-во МФТИ, 2002. – 336 с.
11. Коцаньда С. Усталостное растрескивание металлов / под ред. С.Я. Яремы. – M.: Металлургия, 1990. – 623 с.
12. Radaev Y.N. Thermodynamical model of anisotropic damage growth. Part I. Canonical dynamic state variables of continuum damage mechanics and thermodynamical functions three-dimensional anisotropic damage state // J. Non-Equlib. Termodyn. – 1996. – Vol. 21. – No. 2 – P. 129–152.
13. Radaev Y.N. Thermodynamical model of anisotropic damage growth. Part II. Canonical damage growth rate equations and theory damage invariants // J. Non-Equlib. Termodyn. – 1996. – Vol. 21. – No. 3 – P. 197–222.
14. Шанявский А.А., Артамонов М.А. Предел усталости и выносливости как характреристики материала или элемента конструкции с позиций синергетики // Физическая мезомеханика. – 2004. – № 7. – Вып. 2. – С. 25–32.
15. Jang C. Microstructure and residual stress on fatigue crack growth stainless steel narrow gap welds // Materials and Design. – 2010. – No. 34. – P. 1863–1870.
16.  Grabulov A., Petrov R., Zandbergen H.W. EBSD investigation of the cracks initiation and TEM/FIB analyses of the microstuctural changes around cracks formed under rolling contact fatigue (RCF) // Int. J. Fatigue. – 2010. – No. 32. – P. 576–582.
17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. – 1-е изд. – М.: Гл. изд. физ.-мат. лит., 1959. – 532 с
18. Финкель В.М., Головин Ю.И., Слетков А.А. О возможности торможения быстрых трещин импульсами тока // Докл. АН СССР. – 1976. – Т. 227, № 4. – С. 848–851.
19. Финкель В.М., Головин Ю.И., Слетков А.А. Разрушение вершины трещины силовым электромагнитным полем // Докл. АН СССР. – 1977. – Т. 237, № 2. – С. 325–327.
20. Finkel' V.M., Ivanov V.M., Golovin Yu.I. Crack healing in metals by crossed electric and magnetic fields // Strength of Materials. – 1983. – Vol. 15. – No. 4. – P. 501–506. DOI: 10.1007/BF01522429
21. Беклемишев Н.Н., Корягин Н.И., Шапиро Г.С. Влияние локально-неоднородного электромагнитного поля на пластичность и прочность проводящих материалов // Изв. АН СССР. Мелаллы. – 1984. – № 4. – С. 184–187.
22. Пластичность и прочность металлических материалов с учетом импульсного воздействия высокоэнергетического электромагнитного поля / Н.Н. Беклемишев, В.Н. Кукуджанов,
    В.А. Порохов [и др.]. Препринт № 372. ИПМ АН СССР. – М., 1989. – 56 с.
23. Беклемишев Н.Н. Пластичность и прочность металлических материалов с учетом импульсного воздействия высокоэнергетического электромагнитного поля: дис. … д-ра физ.-мат. наук. – М.: 1986. – 305 с.
24. Клюшников В.Д., Овчинников И.В. Плоская задача о воздействии мгновенного точечного источника тепла // Изв. АН СССР. МТТ. – 1988. – № 4. – С. 118–122.
25. Овчинников И.В. Влияние воздействия электротока на пластичность металлов: дис. … канд. физ.-мат. наук. – М., 1989. – 123 с.
26. Кукуджанов К.В. Моделирование воздействия высокоэнергетического импульсного электромагнитного поля на микротрещины в поликристаллическом металле // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 4. – С. 138–158. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.4.09
27. Кукуджанов К.В., Левитин А.Л. Процессы трансформации и взаимодействия микротрещин в металле под воздействием высокоэнергетического импульсного электромагнитного поля // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 2. – С. 89–110. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.2.07
28. Овчинников И.В. Определение ресурса пластичности при воздействии тока // Проблемы прочности. – 1993. – №6. – С. 54−59.
29. Кукуджанов В.Н., Коломиец-Романенко А.В. Исследование влияния динамического воздействия электрического тока на механические свойства материалов с упорядоченной структурой дефектов // Изв. РАН. МТТ. – 2010. – № 3. – С. 188–199. DOI: 10.3103/S0025654410030167
30. Кукуджанов В.Н., Коломиец-Романенко А.В. Модель термоэлектропластичности изменения механических свойств металлов на основе реорганизации структуры дефектов под воздействием импульсного электрического тока // Изв. РАН. МТТ. – 2011. – № 6. – С. 6–21.
    DOI: 10.3103/S0025654411060021
31. Коломиец А.В., Кукуджанов В.Н., Кукуджанов К.В. О переходе неоднородных упругопластических материалов с дефектами в макроразрушенное состояние. Препринт № 1053, ФГБУ науки Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН. – М., 2013. – 42 с.
32. Моделирование неупругого разрушения неоднородных материалов при электродинамическом и термомеханическом воздействиях / А.В. Коломиец, В.Н. Кукуджанов, К.В. Кукуджанов, А.Л. Левитин. Препринт № 1054, ФГБУ науки Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН. – М., 2013. – 35 с.
33. Кукуджанов К.В., Левитин А.Л. Процессы деформирования упругопластического материала с дефектами при электродинамическом нагружении // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 1. – С. 106–120.
    DOI: 10.15593/perm.mech/2015.1.07
34. Song Hui, Wang Zhong-jin, Gao Tie-jun. Effect of high density electropulsing treatment on formability of TC4 titanium alloy sheet // Trans. Nonferrous Soc. China. – 2007. – Vol. 17. – P. 87–92.
35. Физические основы и технологии обработки современных материалов (теория, технология, структура и свойства). Т. 1 / О.А. Троицкий, Ю.В. Баранов, Ю.С. Аврамов, А.Д. Шляпин // Институт компьютерных исследований. – М.–Ижевск, 2004. – 590 с.
36. Conrad H. A study into the mechanism(s) for the electroplastic effect in metals and its application to metalworking, processing and fatigue. Final Report ARO Proposal Number 23090-MS, ARO Funding Document DAAL03-86-K-0015, U. S. Army Research Office, North Carolina State University, Raleigh, NC 27695. March 10, 1989, 52 p.
37. Ultrasonic monitoring of the accumulation of aging damage and recovery of the useful lifetime of industrial parts / L.B. Zuev, V.Ya. Tsellermaer, V.E. Gromov, V.V. Murav'ev // Tech. Phys. – 1997. – Vol. 49. – No. 2. – P. 1094–1096. DOI: 10.1134/1.1258774
38. Acoustic evaluation of the endurance of steel specimens and recovery of their serviceability / L.B. Zuev, O.V. Sosnin, D.Z. Chirakadze, V.E. Gromov, V.V. Murav'ev // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. – 1998. – Vol. 39. – No. 4. – P. 639–641.
39. Акустический контроль долговечности стальных образцов и восстановление их ресурса / Л.Б. Зуев, О.В. Соснин, Д.З. Чиракадзе [и др.] // Изв. РАН. Серия физическая. – 1997. – № 5. – С. 1019–1023.
40. Синергетика электростимулированного усталостного разрушения / В.А. Петрунин [и др.] // Изв. вузов. Черная металлургия. – 1997. – № 6. – С. 46–48.
41. Электростимулированнное восстановление ресурса выносливости сварных соединений / В.Е. Громов, Д.З. Чиракадзе, Е.В. Семакин [и др.] // Изв. РАН. Серия физическая. – 1997. –
    No. 5. – С. 1019–1023.
42. Electrostimulated recovery of steels hardness in fatigue test / Gromov V.E. [et al.] // Adv. Materials and Processes – 1997. – No. 12. – P. 38.
43. Салганик Р.Л. Термоупругое равновесие тела с трещинами при разогреве, вызванном пропусканием тока перпендикулярно трещинам // Изв. АН СССР. МТТ. – 1978. – № 5. – С. 141–152.
44. Салганик Р.Л. Разогрев материала с эллипсоидальной неоднородностью вследствие электрических потерь // Изв. АН СССР. МТТ. – 1980. – № 6. – С. 98–109.
45. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Рубинский Б.Д. Электромагнитное и температурное поле в пластине с разрезом конечной длины // Изв. АН СССР. МТТ. – 1982. – № 1. – С. 110–118.
46. Партон В.З., Кудрявцев Б.А., Рубинский Б.Д. Распространение трещины под действием сильного электрического поля // Докл. АН СССР. – 1981. – Т. 250, № 5. – С. 1096–1100.
47. Liu T.J.C. Effects of temperature-dependent material properties on stress and temperature in cracked metal plate under electric current load // International Journal of Mechanical, Aerospace, Industrial, Mechatronic and Manufacturing Engineering. – 2010. – Vol. 4. – No. 5. – P. 387–392.
48. Numerical Calculation and Experimental Research on Crack Arrest by Detour Effect and Joule Heating of High Pulsed Current in Remanufacturing / J. Yu, H. Zhang, D. Deng, S. Hao, A. Iqbal //
    Chinese journal of mechanical engineering. – 2014. – Vol. 27. – No. 4. – P. 745–753.
    DOI: 10.3901/CJME.2014.0414.075
49. Min-Sung Kim, Nguyen Thai Vinh, Hyeong-Ho Yu, Sung-Tae Hong, Hyun-Woo Lee, Moon-Jo Kim, Heung Nam Han, John T. Roth. Effect of Electric Current Density on the Mechanical Property of Advanced High Strength Steels under Quasi-Static Tensile Loads // International Journal of Precision Engineering and Manufacturing. – 2014. – Vol. 15. – No. 6. – P. 1207–1213. DOI: 10.1007/s12541-014-0458-y
50. Atsushi Hosoi, Tomoya Kishi, Yang Ju. Healing of Fatigue Crack Treated with Surface-Activated Pre-Coating Method by Controlling High-Density Electric Current // 13th International Conference on Fracture June 16–21, 2013, Beijing. – China, 2013. – P. 233–245.
51. Кукуджанов К.В. Левитин А.Л. О воздействии высокоэнергетического импульсного электромагнитного поля на микротрещины в упругопластическом проводящем материале // Проблемы прочности и пластичности. – 2015. – № 77. – С. 217–226.
52. Кукуджанов К.В. Процессы залечивания микротрещин в металле под действием импульсов тока высокой плотности // Проблемы прочности и пластичности. – 2016. – Т. 78, № 3. – С. 300–310.
53. Kukudzhanov K.V., Levitin A.L. Modeling the Healing of Microcracks in Metal Stimulated by a Pulsed High-Energy Electromagnetic Field. Part I // Nanomechanics Science and Technology: An International Journal. – 2015. – Vol. 6. – Iss. 3. – P. 233–250. DOI: 10.1615/NanomechanicsSciTechnolIntJ.v6.i3.60
54. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals (6ed.). – Elsevier, 2005.
55. Wriggers P. Nonlinear finite element methods. – Springer, 2008.
56. Гаврилин И.В. Плавление и кристаллизация металлов и сплавов. – Владимир: Изд-во Владим. гос. ун-та, 2000. – 260 с.
57. Пикунов М.В. Металлургия расплавов: курс лекций. – М.: Изд-во МИСиС, 2005. – 286 с.
58. Пикунов М.В. Плавка металлов. Кристаллизация сплавов. Затвердевание отливок. – М.: Изд-во МИСиС, 1997. – 374 с.

Рассматривается задача расчета зависимости коэффициента интенсивности напряжений от времени для полосы, находящейся в состоянии плоской деформации и ослабленной неподвижной центральной трещиной нормального разрыва.
К основаниям полосы мгновенно прикладывается равномерно распределенная нагрузка, остающаяся далее неизменной. Используется модель трещины с силами сцепления, распределение которых подчиняется постулатам Баренблатта. При этом коэффициент интенсивности напряжений находится в результате вычисления интенсивности высвобожденной энергии, определяемой через силы сцепления. Решение задачи находится новым численным методом, представляющим собой адаптацию метода прямых к решению задач динамической механики разрушения. Для интегрирования по времени используется неявная конечно-разностная схема Кранка–Николсон. Краевые задачи, возникающие на каждом шаге интегрирования по времени, решаются методом конечных элементов. Для того чтобы решение задачи удовлетворяло постулатам Баренблатта, используются специальные когезионные конечные элементы, ранее уже применявшиеся для решения квазистатических задач нелинейной механики разрушения. За счет введения дополнительных степеней свободы в узлах, лежащих на линии трещины, удается обеспечить плавное смыкание кромок трещины в ее кончике, что эквивалентно отсутствию сингулярности полей напряжений и деформаций в ее кончике. При этом силы сцепления вычисляются как реакции связей. Область их действия (зона сцепления) локализована в пределах конечного элемента, прилегающего к кончику трещины. Таким образом, чем мельче сетка конечных элементов, тем точнее удовлетворяется требование теории Баренблатта о малости длины зоны сцепления по сравнению
с длиной трещины.

Поставленная задача, называемая задачей Чена, решалась ранее разными исследователями, применявшими различные методы. Близость полученных при этом результатов дает основание считать задачу Чена тестовой. Ее решение, полученное разработанным методом, удовлетворительно согласуется с данными других исследователей.

Ключевые слова: трещина, коэффициент интенсивности напряжений, динамическая механика разрушения, когезионные конечные элементы, силы сцепления, метод прямых, схема Кранка-Николсон, задача Чена, метод конечных элементов.

Малик Александр Васильевич – аспирант, e-mail: runer10@mail.ru

Рязанцева Инна Эдуардовна – магистрант, e-mail: Inna.ori.ru@mail.ru

Лавит Игорь Михайлович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: IgorLavit@yandex.ru

1. Партон В.З., Борисковский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. – М.: Машиностроение, 1988. – 240 с.
2. Freund L.B. Dynamic fracture mechanics. – New York: Cambridge university press, 1998. – 563 p.
3. Ravi-Chandar K. Dynamic fracture. – Amsterdam: Elsevier, 2004. – 254 p.
4. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. у-та, 1997. – 129 с.
5. Zhao Y.-P. Suggestion of a new criterion of dynamic fracture // Int. J. Fract. – 1995. – Vol. 71. – P. R77–R78.
6. Liu C., Knauss W.G., Rosakis A.J. On the modeling of fracture of brittle solids // Int. J. Fract. – 1998. – Vol. 90. – P. 103–118.
7. Song J.-H., Wang H., Belytschko T. A comparative study on finite element methods for dynamic fracture // Comput. Mech. – 2008. – Vol. 42. – P. 239–250.
8. Братов В.А. Численные модели динамики разрушения // Вычислительная механика сплошных сред. – 2009. – Т. 2, № 3. – С. 5–16.
9. Rabczuk T. Computational methods for fracture in brittle and quasi-brittle solids: state-of-the-art review and future perspectives // ISRN Applied Mathematics. – 2013. – Vol. 2013. – Art. ID849231. – 38 p. – URL: http://dx.doi.org/10.1155/2013/849231.
10. Fineberg J., Bouchbinder E. Recent developments in dynamic fracture: some perspectives // Int. J. Fract. – 2015. – Vol. 196. – P. 33–57.
11. The cohesive zone model: advantages, limitations and challenges / M. Elices, G.V. Guinea, J. Gomez, J. Planas // Eng. Fract. Mech. – 2002. – Vol. 69. – P. 137–163.
12. Xu X.-P., Needleman A. Numerical simulations of fast crack growth in brittle solids // J. Mech. Phys. Solids. – 1994. – Vol. 42. – P. 1397–1434.
13. De Borst R., Remmers J.J.C., Needleman A. Mesh-independent discrete numerical representations of cohesive-zone models // Eng. Fract. Mech. – 2006. – Vol. 73. – P. 160–177.
14. Bardenhagen S.G., Nairn J.A., Lu H. Simulation of dynamic fracture with the material point method using a mixed J-integral and cohesive law approach // Int. J. Fract. – 2011. – Vol. 170. – P. 49–66.
15. Agwai A., Guven I., Madenci E. Predicting crack propagation with peridynamics: a comparative study // Int. J. Fract. – 2011. – Vol. 171. – P. 65–78.
16. Javidrad F., Mashayekhy M. A cohesive zone model for crack growth simulation in AISI 304 steel // J. Solid Mechanics. – 2014. – Vol. 6. – P. 378–388.
17. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // Журн. прикл. механики и техн. физики. – 1961. – № 4. – С. 3–56.
18. Willis J.R. A comparison of the fracture criteria of Griffith and Barenblatt // J. Mech. Phys. Solids. – 1967. – Vol. 15. – P. 151–162.
19. Moes N., Belytschko T. Extended finite element method for cohesive crack growth // Eng. Fract. Mech. – 2002. – Vol. 69. – P. 813–833.
20. Лавит И.М. Об устойчивом росте трещины в упругопластическом материале // Проблемы прочности. – 1988. – № 7. – С. 18–23.
21. Малик А.В., Белая Л.А., Лавит И.М. О динамическом нагружении тела с трещиной в условиях плоской деформации // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. – 2016. – № 1 (315). – С. 3–10.
22. Михлин С.Г. Прямые методы в математической физике. – М.: ГИТТЛ, 1950. – 428 с.
23. Лисковец О.А. Метод прямых // Дифференциальные уравнения. – 1965. – Т. 1, № 12. – С. 1662–1678.
24. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973. – 408 с.
25. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 541 с.
26. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. Т. 1 / под ред. Ю. Мураками. – М.: Мир, 1990. – 448 с.
27. Chen Y.M. Numerical computation of dynamic stress intensity factors by a lagrangian finite-difference method (the HEMP code) // Eng. Fract. Mech. – 1975. – Vol. 7. – P. 653–660.
28. Brickstad B. A FEM analysis of crack arrest experiments // Int. J. Fract. – 1983. – Vol. 21. – P. 177–194.
29. Israil A.S.M., Dargush G.F. Dynamic fracture mechanics studies by time-domain BEM // Eng. Fract. Mech. – 1991. – Vol. 39. – P. 315–328.
30. Lin X., Ballmann J. Re-consideration of Chen’s problem by finite difference method // Eng. Fract. Mech. – 1993. – Vol. 44. – P. 735–739.
31. Wen P.H., Aliabadi M.H., Rooke D.P. Application of the weight function method to two-dimensional elastodynamics fracture mechanics // Int. J. Fract. – 1996. – Vol. 76. – P. 193–206.
32. Wen P.H., Aliabadi M.H., Rooke D.P. A contour integral method for dynamic stress intensity factors // Theor. and Appl. Fract. Mechanics. – 1997. – Vol. 27. – P. 29–41.
33. Phan A.-V. A non-singular boundary integral formula for frequency domain analysis of the dynamic T-stress // Int. J. Fract. – 2012. – Vol. 173. – P. 37–48.

Изучается линейная термоупругость плоской регулярной фермы, составленной из четырех семейств прямых однородных стержней. Стержни двух из них взаимно ортогональны и формируют прямоугольные ячейки, повторяющиеся в двух перпендикулярных направлениях. В другие два семейства объединены по-разному ориентированные диагональные стержни ячеек. Все стержни работают только на растяжение-сжатие, а их упругие линии принадлежат одной плоскости. Смежные стержни жестко связаны между собой в узлах фермы – точках пересечения упругих линий взаимно ортогональных стержней. Регулярность фермы предполагает неизменность термоупругих и геометрических параметров стержней в пределах одного семейства. Внешние воздействия на ферму принадлежат ее плоскости и в общем случае включают узловые силы, погонные осевые силы стержней и их неравномерный нагрев.

Строгая линейная термоупругость фермы построена с помощью метода склейки. Согласно этому методу ферма расчленялась на стержни и узлы – элементы фермы. К изолированным элементам прикладывались заданные внешние воздействия и силы взаимодействия их с соседями. Затем проводился аналитический термоупругий анализ стержней с учетом геометрических условий сопряжения смежных элементов и анализ равновесия узлов.

Построенная термоупругость сформулирована в терминах узловых перемещений, полных удлинений и начальных внутренних усилий стержней. Все эти переменные – функции двух целочисленных аргументов, использованных для нумерации элементов фермы. Полная замкнутая система уравнений термоупругости фермы представлена геометрическими и физическими соотношениями, уравнениями равновесия узлов и уравнениями совместности полных удлинений стержней. С их помощью даны альтернативные постановки дискретных краевых задач.

Применение теории проиллюстрировано точным аналитическим решением задачи о термоупругом деформировании фермы без внутренних узлов.

Ключевые слова: линейная термоупругость, метод склейки, плоская регулярная ферма ортогональной структуры.

Рыбаков Леонид Сергеевич – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: rybakov.38@mail.ru

1.  Образцов И.Ф., Рыбаков Л.С., Мишустин И.В. О методах анализа деформирования стержневых упругих систем регулярной структуры. // Механика композиционных материалов и конструкций. – 1996. – Т. 2, № 2. – С. 3–14.

2.  Sun, C. T.,Yang, T. Y. Continuum Approach Toward Dynamics of Gridworks // Transactions of the ASME // Journal of Applied Mechanics. – 1973. – Vol. 40. – No 1. – P. 186–192.

3.  Gutkowski W. On the analysis of plane lattice structures // J. Struc. Mech. – 1973. – Vol. 2. – No. 2. – P. 159–176.

4.  Пшеничнов Г. И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок. – М.: Наука, 1982. – 352 с.

5.  Noor A. K. Continuum modeling for repetitive lattice structures // Appl. Mech. Rev. – 1988. –Vol. 41. – No 7. – P. 285–296. DOI:10.1115/1.3151907

6.  Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. – М.: Машиностроение, 1988. – 272 с.

7.  Шклярчук Ф. Н. Упругодинамические континуальные модели длинных ферм регулярной структуры // Изв. РАН. МТТ. – 1994. – № 1. – С. 156–163.

8.  Tollenaere, H., Caillerie D. Continuous Modeling of Lattice Structures by Homogenization // Advances in Engineering Software. – 1998. – Vol. 29. – Iss. 7–9. – P. 699–705. – URL: http://dx.doi.org/10.1016/ S0965-9978(98)00034-9 (accessed: 14 March 2017).

9.  Boutin C., Hans S. Homogenisation of periodic discrete medium: application to dynamics of framed structures // Computers and Geotechnics. – 2003. – Vol. 30. – No 4. – P. 303–320. – URL: http://dx.doi.org/10.1016/S0266-352X(03)00005-3 (accessed: 14 March 2017).

10.  Messner M. C. Optimal lattice-structured materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. – 2016. – Vol. 96. – P. 162–183. – URL: http://dx.doi.org/10.1016/j.jmps.2016. 07.010 (accessed: 13 March 2017).

11.  Блейх Ф., Мелан Е. Уравнения в конечных разностях статики сооружений. – Харьков: Гос. науч.-техн. изд-во Украины, 1936. – 383 с.

12.  Джанелидзе Г.Ю., Пановко Я.Г. Статика упругих тонкостенных стержней. – М.–Л.: ГИТТЛ, 1948. – 208 с.

13.  Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. – М.: Физматлит, 1959. – 544 с.

14.  Рабинович И.М. Основы строительной механики стержневых систем. – М.: Госстройиздат, 1960. – 519 с.

15.  Игнатьев В.А. Расчет регулярных стержневых систем. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1973. – 434 с.

16.  Розин Л. А. Вариационная постановка задач для упругих систем. – Л.: Изд-во ЛГУ,
1978. – 223 с.

17.  Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела: сопротивление материалов с элементами теории сплошных сред и строительной механики. Т. II. – М.: Наука, 1978. – 616 с.

18.  Алгоритмы построения разрешающих уравнений механики стержневых систем /
А.П. Филин, О.Д. Тананайко, И.М. Чернева, М.А. Шварц. – Л.: Стройиздат, 1983. – 232 с.

19.  Ржаницын А.Р. Строительная механика. – М.: Высш. шк., 1982. – 400 с.

20.  Шулькин Ю.П. Теория упругих стержневых конструкций. – М.: Наука, 1984. – 272 с.

21.  Renton J.D. The Beam-Like Behavior of Space Trusses // AIAA Journal. – 1984. – Vol. 22. – No. 2. – P. 273–280. DOI: 10.2514/3.8379.

22.  Розин Л.А. Теоремы и методы статики деформируемых систем. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. – 276 с.

23.  Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластины. – М.: Стройиздат, 1986. – 316 с.

24.  Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. – М.: Машиностроение, 1988. – 392 с.

25.  Биргер И.А. Стержни, пластины и оболочки. – М.: Физматлит, 1992. – 392 с.

26.  Леонтьев Н.Н., Соболев Д.Н., Амосов А.А. Основы строительной механики стержневых систем. – М.: ACB, 1996. – 541 с.

27.  Розин Л. А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. – СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. – 428 с.

28.  Елисеев В.В. Механика упругих тел. – СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. – 341 с.

29.  Hutchinson R.G., Fleck N.A. The structural performance of the periodic truss // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. – 2006. – Vol. 54. – Iss. 4. – P. 756–782. – URL: http://dx.doi.org/10.1016/j.jmps.2005.10.008) (accessed: 14 March 2017).

30.  Галишникова В.В., Игнатьев В.А. Регулярные стержневые системы. Теория и методы расчета / Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. – Волгоград, 2006. – 552 с.

31.  Светлицкий В.А. Строительная механика машин. Механика стержней: в 2 т. Т. 1. Статика. – М.: Физматлит, 2009. – 383 с.

32.  Sun H., Wang Y., Zhao W. Comparison of theories for stability of truss structures. Part 1: Computation of critical load // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. – 2009. – Vol. 14. – Iss. 4. – P. 1700–1710. – URL: http://dx.doi.org/10.1016/j.cnsns. 2008.03.009 (accessed: 14 March 2017).

33.  Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. – СПб.: Лань, 2010. – 656 с.

34.  Tran H.C., Lee J. Force methods for trusses with elastic boundary conditions. // International Journal of Mechanical Sciences. – 2013. – Vol. 66. – P. 202–213. – URL: http://dx.doi.org/10. 1016/j.ijmecsci.2012.11.009 (accessed: 14 March 2017).

35.  Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем: сб. ст. / пер. с англ. под ред. А.П. Филина. – Л.: Судпромгиз, 1961. – 876 с.

36.  Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. – М.: Стройиздат, 1968. – 241 с.

37.  Martin H.C. Introduction to Matrix Methods of Structural Analysis. – New York: McGraw-Hill Book Co., 1966. – 331 p.

38.  Meek J.L. Matrix structural analyses. – New York [et al.]: McGraw-Hill Book Co., 1971. – 628 p.

39.  Ливсли Р. Матричные методы строительной механики. – М.: Стройиздат, 1980. – 224 с.

40.  Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. – Л.: Судостроение, 1974. – 344 с.

41.  Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1975. – 237 с.

42.  Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. – М.: Высшая школа, 1985. – 392 с.

43.  Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals / 7th Edition. – Elsevier, Butterworth-Heinemann, 2013. – 756 p.

44.  Рыбаков Л.С. О теории одной плоской регулярной упругой структуры ферменного типа // Изв. РАН. МТТ. – 1995. – № 5. – С. 171–179.

45.  Рыбаков Л.С. Упругий анализ одной плоской регулярной стержневой структуры // Изв. РАН. МТТ, – 1996. – № 1. – С. 198–207.

46.  Рыбаков Л.С. Линейная теория плоской ортогональной решетки // Изв. РАН. МТТ. – 1999. – № 4. – С. 174–189.

47.  Rybakov L.S. Linear theory of an elastic prismatic framework // Mechanics of Solids. – 2001. – Vol. 36. – No 4. – P. 83–93.

48.  Рыбаков Л.С. Линейный упругий анализ пространственной ортогональной решётки // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2016. – Т. 22, № 4. – С. 567–584.

49.  Jordan C. Calculus of finite differences. – New York: Chelsea Publishing Company, 1950. – 652 p.

50.  Математические основы теории автоматического регулирования. Т.2. / под ред. Б. К. Чемоданова. – М.: Высшая школа, 1977. – 453 с.

51.  Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. – М.: Наука, 1983. – 384 с.

Рассматривается задача об одноосном растяжении цилиндрического тела из монокристаллического материала, обладающего кубической симметрией. Одним из характерных внешних проявлений анизотропии механических свойств материала является потеря начальной круговой формы поперечного сечения цилиндрического образца при растяжении или сжатии в условиях несоосности оси образца
с осями анизотропии материала.

Задача решается в упругой, упругопластической и упруговязкопластической постановках. При решении краевых задач используются как аналитические, так и численные (трехмерное конечно-элементное моделирование) методы. Для оценки изменения формы сечения вводится безразмерный параметр овальности как отношение разности наибольшего и наименьшего диаметров к наименьшему. Производится сравнение результатов расчета с данными эксперимента на высокотемпературную ползучесть жаропрочного монокристаллического сплава на никелевой основе ВЖМ4. Исследуется влияние отклонения ориентации оси образца от осей анизотропии на форму поперечного сечения под нагрузкой и после ее удаления. При решении неупругих задач используются как микромеханические (кристаллографические) модели, так и феноменологические модели и производится сравнение полученных результатов. Решение задачи в упругопластической постановке с учетом геометрической нелинейности позволяет описать эволюцию процесса образования шейки, которая для анизотропных материалов может быть неосесимметричной.

Полученные результаты указывают на необходимость модификации методов измерений при выполнении механических испытаний анизотропных материалов на одноосное растяжение, связанных с регистрацией изменения размера поперечного сечения в целях определения осевой деформации. При идентификации параметров материала овальность может быть использована для оценки осевой деформации, а также для компенсации недостающей информации о кристаллографической ориентации образца.

Ключевые слова: монокристаллические сплавы на никелевой основе, механические свойства, анизотропия, кубическая симметрия, упругость, пластичность, ползучесть, одноосное растяжение, овальность сечения, конечно-элементное моделирование.

Семенов Артем Семенович – кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: semenov.artem@googlemail.com

Беляев Михаил Олегович – студент, e-mail: belyaev-m-o@yandex.ru

Грищенко Алексей Иванович – аспирант, e-mail: gai-gr@yandex.ru

1. Каблов Е.Н., Петрушин Н.В., Елютин Е.С. Монокристаллические жаропрочные сплавы для газотурбинных двигателей // Вестн. Моск. гос. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана. Серия «Машиностроение». – 2011. – № SP2. – С. 38–52.
2. Монокристаллы никелевых жаропрочных сплавов / Р.Е. Шалин, И.Л. Светлов, Е.Б. Качанов, В.Н. Толораия, О.С. Гаврилин. – М.: Машиностроение, 1997. – 333 с.
3. Каблов Е.Н., Голубовский Е.Р. Жаропрочность никелевых сплавов. – М: Машиностроение, 1998. – 464 c.
4. Reed R.C. Superalloys: fundamentals and applications. – Cambridge: Cambridge University Press. 2006. – 372 p.
5. Голубовский Е.Р., Светлов И.Л., Хвацкий К.К. Закономерности изменения аксиальной и азимутальной анизотропии прочностных характеристик монокристаллов жаропрочных никелевых сплавов для лопаток ГТД // Авиационно-космическая техника и технология. – 2005. – № 10. – С. 50–54.
6. Голубовский E.H., Cветлов И.Л., Xвацкий К.К. Влияние аксиальной и азимутальной кристаллографической ориентации на прочностные характеристики жаропрочных никелевых сплавов для монокристаллических лопаток ГТД // Конверсия в машиностроении. – 2005. – № 4–5. – С. 113–115.
7. Сопротивление термической усталости монокристаллического сплава / Л.Б Гецов [и др.] // Проблемы прочности. – 2008. – № 5. – С. 54–71.
8. Гецов Л.Б., Семенов А.С. Критерии разрушения поликристаллических и монокристаллических материалов при термоциклическом нагружении // Труды ЦКТИ. – 2009. – Вып. 296. – С. 83–91.
9. Гецов Л.Б., Семенов А.С., Рыбников А.И. Сопротивление термической усталости жаропрочных сплавов // Теплоэнергетика. – 2009. – № 5. – С. 51–58.
10. Семенов А.С., Гецов Л.Б. Критерии термоусталостного разрушения монокристаллических жаропрочных сплавов и методы определения их параметров // Проблемы прочности. – 2014. – № 1. – С. 50–62.
11. Сопротивление деформированию и разрушению монокристаллических жаропрочных сплавов при статическом и циклическом нагружении / А.С. Семенов [и др.] // Вестн. Самар. гос. аэрокос. ун-та им. С.П. Королёва. – 2014. – № 5–3 (47). – С. 66–75.
12. Thermocyclic- and static-failure criteria for single-crystal superalloys of gas-turbine blades / L.B. Getsov, A.S. Semenov, E.A. Tikhomirova, A.I. Rybnikov // Materials and Technology. – 2014. – Vol. 48. – P. 255–260.
13. Расчетное определение ресурса рабочих и направляющих лопаток ГТУ. Ч. 2. Монокристаллические материалы / Л.Б Гецов [и др.] // Газотурбинные технологии. – 2011. – № 8. – С. 18–25.
14. Методика определения длительной прочности охлаждаемых лопаток из монокристаллических жаропрочных сплавов / Л.Б Гецов [и др.] // Теплоэнергетика. – 2017. – № 4. – С. 1–9.
15. Primary creep in nickel-base superalloys / D.M. Shah, S. Vega, S. Woodard, A.D. Cetel // Superalloys. – 2004. – P. 197–206.
16. К вопросу о повышении ресурсных возможностей сопловых лопаток газотурбинных двигателей на основе использования нового монокристаллического сплава / С.Г. Семенов [и др.] // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2016. – № 4. – С. 30–38.
17. Особенности ползучести и длительной прочности жаропрочных монокристаллических сплавов на никелевой основе / С.Г. Семенов [и др.] // Металловедение и термическая обработка металлов. – 2015. – № 12 (726). – С. 29–37.
18. Arthington M.R., Siviour C.R., Petrinic N., Elliott B.C.F. Cross-section reconstruction during uniaxial loading // Meas. Sci. Technol. – 2009. – Vol. 20. – 075701.
19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости. – 4-е изд. – М.: Наука; Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. – 248 с.
20. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik. – Teubner: Leipzig, Berlin, 1928. – 944 p.
21. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. – 417 с.
22. Ansys 15.0 Documentation. SAS IP, Inc. 2014.
23. Семенов А.С. PANTOCRATOR – конечно-элементный программный комплекс, ориентированный на решение нелинейных задач механики // Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности констр. и методы их решения: тр. V Междунар. конф. – СПб: Изд-во СПбГПУ, 2003. – С. 466–480.
24. Никелевые литейные жаропрочные сплавы нового поколения / Е.Н. Каблов [и др.] // Труды ВИАМ, – 2012, – С. 36–52.
25. Hill R. A theory of the yielding and plastic flow of anisotropic metals // Proc. R. Soc. Lond. A. – 1948. – Vol. 193. – No. 1033. – P. 281–297.
26. Нелинейная механика материалов; пер. с франц. А.С. Кравчука / Ж. Бессон, Ж. Каето, Ж.Л. Шабош, С. Форест. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. – 397 с.
27. Desmorat R., Marull R. Non-quadratic Kelvin modes based plasticity criteria for anisotropic materials // International Journal of Plasticity. – 2011. – Vol. 27. – P. 328–351.
28. Smith G.F., Kiral E. Integrity bases for N symmetric second-order tensors, the crystal classes // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, – 1969, – Serie 18 (1). – P. 5–22.
29. Семенов А.С. Идентификация параметров анизотропии феноменологического критерия пластичности для монокристаллов на основе микромеханической модели // Науч.-техн. ведомости С.-Петерб. гос. политехн. ун-та. Физ.-мат. науки. – 2014. – № 2 (194). – С. 15–29.
30. Nekliudova E.A., Semenov A.S., Melnikov B.E., Semenov S.G. Experimental research and finite element analysis of elastic and strength properties of fiberglass composite material // Инженерно-строительный журнал. – 2014. – № 3 (47). – С. 25–39.
31. Мельников Б.Е., Семенов А.С., Семенов С.Г. Многомодельный анализ упругопластического деформирования материалов и конструкций. Современное состояние // Тр. ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова. – 2010. – № 53. – С. 85–92.
32. Melnikov B.E., Semenov A.S. Creation and application of hierarchical sequence of material models for numerical analysis of elasto-plastic structures // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. – 1996. – Vol. 76. – No. S. 2. – P. 615–616.
33. Asaro R.J. Crystal plasticity // J. Appl. Mech. – 1983. – Vol. 50. – No. 4b. – P. 921–934.
34. Asaro R.J. Micromechanics of crystals and polycrystals // Advances in Applied Mechanics. – 1983. – Vol. 23. – P. 1–115.
35. Линь Т.Г. Физическая теория пластичности // Проблемы теории пластичности. Сер. Новое в зарубежной механике. Вып.7. – М.: Мир, 1976. – С. 7–68.
36. Cailletaud G.A. Micromechanical approach to inelastic behaviour of metals // Int. J. Plast. – 1991. – Vol. 8. – P. 55–73
37. Трусов П.В., Волегов П.С. Определяющие соотношения с внутренними переменными и их применение для описания упрочнения в монокристаллах // Физическая мезомеханика. – 2009. – Т. 12, № 5. – С. 65–72.
38. Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности. – Пермь, 2013. – 244 с.
39. Kocks U.F., Brown T.J. Latent hardening in aluminium // Acta Metall. – 1966. – Vol. 14. – P. 87–98.
40. Семенов А.С. Вычислительные методы в теории пластичности. – СПб: Изд-во СПбГПУ. 2008. – 211 с.
41. Катанаха Н.А., Семенов А.С., Гецов Л.Б. Долговечность гибов высокотемпературных паропроводов в условиях длительной эксплуатации // Теплоэнергетика. – 2015. – № 4. – С. 32–42.
42. Grishchenko A.I., Semenov A.S. Effective methods of parameter identification for creep models with account of III stage // MATEC Web of Conferences. – 2016. – Vol. 53. – P. 01043.1–7.
43. Локощенко А.М. Моделирование процесса ползучести и длительной прочности металлов. – М.: Изд-во МГИУ, 2007. – 263 с.

Рассмотрены вопросы изучения распределения рассеиваемой (диссипируемой) механической энергии, передаваемой на покрытие дорожной одежды при движении по ней автомобильного транспорта. Для численного моделирования процесса передачи энергии была усовершенствована аналитическая модель динамического напряженно-деформированного состояния многослойного полупространства путем введения подвижной системы координат. Изучение распределения энергии осуществлялось для трех разнопрочных дорожных конструкций, для каждой из которых были получены амплитудно-временные характеристики напряжений и деформаций на поверхности слоев покрытия, основания и грунта земляного полотна, на основе которых были построены динамические петли гистерезиса. Был осуществлен анализ площадей динамических петель гистерезиса на поверхности слоев покрытия, основания и грунта земляного полотна, что позволило выявить качественные и количественные зависимости распределения плотности рассеиваемой энергии в слоях дорожной одежды. Установлено, что с увеличением капитальности дорожной конструкции уменьшается плотность энергии, рассеиваемой на ее поверхности, при этом темпы затухания энергии волновых полей в дорожной конструкции, генерируемой воздействием расчетной нагрузки, в значительной степени отличаются в зависимости от капитальности дорожной одежды и от различных типов конструктивных слоев, из которых она состоит. Наибольшее различие при этом определяется свойствами материала, применяемого в качестве слоя основания (укрепленное, неукрепленное). На основе проведенных исследований предложен новый подход к оценке проектного ресурса нежестких дорожных конструкций с позиций энергии, передаваемой на ее поверхность в течение всего срока службы.

Ключевые слова: дорожная конструкция, динамический гистерезис, модуль упругости, декремент затухания, диссипация энергии, расчетная нагрузка, энергетический подход, многослойное полупространство, аналитическая модель, подвижная система координат.

Тиратурян Артем Николаевич – кандидат технических наук, старший преподаватель, e-mail: Tiraturjan@list.ru

Углова Евгения Владимировна – доктор технических наук, профессор, e-mail: Uglova.ev@yandex.ru

Ляпин Александр Александрович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: lyapin.rnd@yandex.ru

1.Ворович И.И., Селезнев М.Г., Бабешко В.А. Вибрация штампа на двуслойном основании // ПММ. – 1977. – Т. 41. – Вып. 1. – С. 166–173.

2.Белоконь А.В. К теории динамических задач с подвижными возмущениями для неоднородной упругой полосы // Докл. АН СССР. – 1981. – Т. 261, № 5. – С. 1079–1082.

3.Белоконь А.В. Колебания упругой неоднородной полосы, вызванные движущимися нагрузками // Прикл. математика и механика. – 1982. – Т. 46, № 2. – С. 296–302.

4.Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.В. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. – М.: Наука, 1989. – 344 с.

5.Боев С.И., Румянцев А.Н., Селезнев М.Г. Решение задачи о возбуждении волн в упругом двухслойном полупространстве // Методы расширения частотного диапазона вибросейсмических колебаний / Ин-т геол. и геофиз. Сиб. отд-ия АН СССР. – Новосибирск, 1987. – 314 с.

6.Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. – М.: Наука, 1974. – 322 с.

1. Гринченко, В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. – Киев: Наукова думка, 1978. – 264 c.

8.Приварников А.К., Мерзликин А.Е. Об использовании адаптивных программ интегрирования при решении прикладных задач теории многослойных оснований. Новое в проектировании конструкций дорожных одежд // Тр. СоюздорНИИ. – М., 1988. – С. 22–36.

9.Пряхина О.Д. Нестационарные колебания упругой балки на вязкоупругом основании // Изв. АН СССР. МТТ. – 1992. – № 1. – С. 164–169.

1. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. – Л.: Судостроение, 1972. – 132 с.
2. Глушков Е.В. Расчет сооружений, заглубленных в грунт. – М.: Стройиздат, 1977. – 265 c.
3. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. – Киев: Наукова думка, 1979. – 261 c.

13.Илиополов С.К., Селезнев М.Г., Углова Е.В. Необходимо разработать новые критерии расчета и конструирования дорожных одежд // Наука и техника в дорожной отрасли. – 2000. – № 3. – С. 13.

1. Илиополов С.К., Селезнев М.Г., Углова Е.В. Динамика дорожных конструкций: моногр. – Ростов н/Д: Изд-во Рост. гос. строит. ун-та, 2002. – 258 с.
2. Исследование динамических характеристик дорожных конструкций / С.К. Илиополов, М.Г. Селезнев, А.Б. Суворов, Е.В. Углова // Наука и техника в дорожной отрасли. – 2002. – № 1. – С. 9.
3. Илиополов С.К., Селезнев М.Г. Разработка математических моделей и исследование на их основе энергетических характеристик воздействия автотранспорта на дорожную конструкцию и распределение колебаний в элементах системы «дорожная конструкция–грунт» // Дороги России XXI века. – 2003. – № 8. – С. 49.
4. Medvedeva T.A., Seleznev M.G., Sobisevich A.L. Analysis of wave fields induced in a layered half-space by a moving load // Doklady Physics. – 1999. – Vol. 44. – No. 7. – С. 450–453.
5. Боев С.И., Селезнев М.Г. Об одном подходе в нестационарных задачах теории упругости // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Серия: Общественные науки. – 1989. – № 2. – С. 76.
6. Селезнев М.Г., Корабельников Г.Я. Некоторые особенности динамического взаимодействия геологической среды с поверхностными объектами // Изв. Рост. гос. строит. ун-та. – 2004. – № 8. – С. 202.
7. Маринченко Е.В., Селезнев М.Г. Влияние дефектов на количественные и качественные характеристики колебаний элементов строительных конструкций // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. – 2005. – № S1. – С. 17–21.
8. Селезнев М.Г. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. – 2004. – № 4. – С. 97.

22.Углова Е.В., Илиополов С.К., Селезнев М.Г. Усталостная долговечность эксплуатируемых асфальтобетонных покрытий. – Ростов-н/Д: , 2009. – 244 c.

1. Углова Е.В. Моделирование деформирования нежестких дорожных конструкций при воздействии движущегося транспорта / Изв. вузов. Строительство. – 2009. – № 3–4. – С. 87–94.
2. Тиратурян А.Н. Анализ программ для «обратного» расчета модулей упругости конструктивных элементов нежестких дорожных одежд на стадии эксплуатации // Строительство и реконструкция. – 2012. – № 4. – С. 72–78.

26. Смирнов A.B. Теоретические и экспериментальные исследования работоспособности нежёстких дорожных одежд: автореф. дис. … д-ра техн. наук. – М.: Изд-во МАДИ, 1991. – 38 с.

27. Смирнов А.В., Илиополов С.К., Александров А.С. Динамическая устойчивость и расчет дорожных конструкций. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2003. – 188 с.

28. Смирнов A.B. Прикладная механика дорожных и аэродромных конструкций: учеб. пособие. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 1993. – 360 с.

29. Hurtgen H. Forschung Strassenbau und Strassenverkehrstechnik // Zum viskoelastischen und viskoplastischem Verhalten von Asphalt, 2010. – 210 р.

30. Beckedahl H. Forschung strassenbau und strassenverkehrstechnik. Bundesmin. fur Verkehr, Bau- u. Wohnungswesen. Abt. Strassenbau, Strassenverkehr, 1995, 250 p.

В настоящее время для расчета сложных ортотропных тонкостенных конструкций, в том числе тонкостенных ортотропных оболочек, часто используется метод конечных элементов (МКЭ). Обычно при расчете этим методом применяется один из двух подходов: в первом подходе используется упрощающая гипотеза (например, гипотеза Тимошенко), в которой пренебрегают распределением напряжений вдоль толщины тонкостенной конструкции, что снижает размерность задачи; во втором подходе используются соотношения трехмерной теории упругости без использования упрощающих гипотез. В представляемом методе, который очень похож на МКЭ, при расчете также используются соотношения трехмерной теории упругости без упрощающих гипотез.

В более ранней работе авторов был представлен вариационный метод определения напряженно-деформированного состояния трехмерных упругих конструкций, основанный на использовании аппроксимирующих функций с конечными носителями произвольной степени аппроксимации. В данной работе предложенные трехмерные аппроксимирующие функции используются для расчета ортотропных конструкций. Аналогичные аппроксимирующие функции для расчета оболочек использовались в работах, в которых разрешающие уравнения получались на основании упрощающей гипотезы.

В общем виде метод основывается на использовании криволинейной системы координат, что делает его достаточно универсальным. Показано, что одни и те же аппроксимации могут быть использованы как для расчета трехмерных ортотропных конструкций, так и ортотропных оболочек. Отмечается, что расчет можно эффективно производить не за счет сгущения сетки, а за счет повышения порядка аппроксимирующих функций.

Достоверность предложенного метода подтверждается представленными численными результатами, которые хорошо согласуются с известными решениями.

Ключевые слова: трехмерные конструкции, вариационный метод, напряженное состояние, аппроксимация, расчет ортотропных конструкций.

Хайруллин Фарид Сагитович – доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: x_farid@mail.ru

Сахбиев Олег Миргасимович – учебный мастер, e-mail: somirg@yandex.ru

1. Хайруллин Ф.С., Сахбиев О.М. О методе расчета трехмерных конструкций сложной формы // Вестн. Казан. техн. ун-та. – 2014. – Т. 17, № 23. – С. 328–330.
2. Хайруллин Ф.С. Вариационные методы расчета тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций произвольного порядка с конечными носителями: дис. …
   д-ра физ.-мат. наук. – Казань: Изд-во Казан. гос. ун-та. – 2007. – 267 c.
3. Хайруллин Ф.С. Моделирование напряженно-деформированного состояния тонких оболочек с вырождающейся областью // Изв. вузов. Авиационная техника. – Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та им. А.Н. Туполева, 2009. – № 4. – С. 68–70.
4. Голованов А.П., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций – М.: Физматлит. 2006. – 392 с.
5. Якупов Н.М., Галявиев Ш.Ш., Хисамов Р.З. Метод исследования напряженно-деформированного состояния конструкций сложной геометрии // Вестн. Рос. ун-та дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. – 2002. – № 1. – С. 27–31.
6. Бережной Д.В., Сагдатуллин М.К. Трехмерный конечный элемент для расчета оболочек средней толщины // Вестн. Казан. техн. ун-та. – 2013. – Т. 16, № 9. – C. 256–261.
7. Джабраилов А.Ш., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Конечно-элементный расчет оболочек вращения с ветвящимся меридианом // Изв. вузов. Авиационная техника. – 2009. – № 1. –
   C. 15–19.
8. Giamperi A., Perego U. An interface finite element for the simulation of localized membrane-bending deformation in shells // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. – 2011. – Vol. 200. – № 29–32. – P. 2378–2396.
9. Серпик И.Н. Эффективный конечно-элементный анализ плит Тимошенко с исключением заклинивания изгибных деформаций // Изв. вузов. Строительство. – 2010. – № 10. – C. 8–17.
10. Мануйлов Г.А., Косицын С.Б., Бегичев М.М. Исследование устойчивости упругих пластин и оболочек при помощи конечно-элементного моделирования // Строит. мех. инж. конструкций и сооруж. – 2011. – № 1. – C. 58–65.
11. Николаев А.П., Бандурин Н.Г. К расчету оболочек методом конечного элемента // Строительная механика и расчет сооружений. – 1980. – Т. 5. – C. 21–25.
12. Определение напряжений в зонах сочленения пластин с использованием конечных элементов различных конфигураций / А.П. Киселев, Н.А. Гуреева, Р.З. Киселева, В.В. Леонтьева // Инженерные системы – 2015: тр. VIII Междунар. науч.-практ. конф. / Рос. ун-т дружбы народов ; под общ. ред. Н.К. Пономарева. – М., 2015. – C. 84–88.
13. Гуреева Н.А. Анализ линейного и нелинейного деформирования тел в криволинейных координатах на основе смешанного метода конечных элементов: дис. … д-ра физ.-мат. наук. – Волгоград, 2016. – C. 381.
14. Шайдуров В.В., Шуть С.В. Применение эрмитового биквадратного конечного элемента // Вестн. Сиб. гос. аэрокос. ун-та им. академика М.Ф. Решетнева. – 2014. – № 2 (54). – C. 80–85.
15. Шлычков С.В. Методика расчета корпусных элементов музыкальных инструментов: дис. ... канд. техн. наук – Йошкар-Ола, 2004. – 170 c.
16. Филиппович А.П. Расчет пологих оболочек при наличии концентраторов напряжений с помощью метода конечных элементов // Материалы Восьмой Всесоюз. конф. по современным проблемам дифференциальной геометрии. 20–21 сент. 1984 г. – Одесса, 1984. – С. 161.
17. Hall K.J., Potirnche G.P. A tree-dimensional edge-crack finite – element for fracture mechanics applications // Int. J. Solids and Struct. – 2012. – Vol. 49. – No. 2. – P. 328–337.
18. Composite delimitation modeling using a multi-layered solid element / I. Tawk, P. Navarro,
    J.-F. Ferrero, J.-J. Barrau, E. Abdullah // Compos. Sci. and Technol. Англ. – 2010. – Vol. 70. – No. 2. – P. 207–214.
19. Trach Y., Burdekin F.M. A tree dimensional analysis of fracture mechanics test pieces of different geometries. Pt 1. Stress-state ahead of the crack tip // Int. J. Pressure Vessels and Pip. – 2012. – No. 93–94. – P. 42–50.
20. Семенов А.А. Геометрически нелинейная математическая модель расчета прочности и устойчивости ортотропных оболочечных конструкций: дис. … канд. техн. наук. – СПБ., 2014.
21. Каменев И.В., Семенов А.А. Обоснование использования метода конструктивной анизотропии при расчете пологих оболочек двоякой кривизны, ослабленных вырезами // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. – № 2. – С. 54–68.
22. Виноградов Ю.И. Мультипликативный метод решения краевых задач теории оболочек // Прикладная математика и механика. – 2013. – Т. 77, № 4. – С. 620–628.
23. Емельянов И.Г., Кузнецов А.В. Применение виртуальных элементов при определении напряженного состояния оболочек вращения // Вычислительная механика сплошных сред. – 2014. – Т. 7, № 3. – С. 245–252.
24. Григоренко А.Я., Яремченко Н.П., Яремченко С.Н. Расчет напряжeнно-деформированного состояния слоистых прямоугольных в плане пологих ортотропных оболочек в уточнeнной постановке // Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine. – 2012. – № 2.
25. Нерубайло Б.В., Ольшанский В.П. Асимптотический метод расчета конической оболочки на действие локальной нагрузки // МТТ. – 2007. – № 3. – С. 115–124.
26. Григоренко Я.М. Решение краевых задач о напряженном состоянии упругих тел сложной геометрии и структуры с применением дискретных рядов Фурье // Прикладная механика. – 2009. – Т. 45, № 5. – С. 3–52.
27. Рикардс Р.Б., Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. – Рига: Зинатне, 1988. – 284 с.
28. Новожилов В.В. Теория упругости. – Л.: Судпромгиз, 1958. – 371 с.
29. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. – М.: Машиностроение, 1984. – 264 с.
30. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. – М.: Наука, 1978. – 288 с.

В настоящее время высоконаполненные полимерные композиты широко используются в ответственных конструкциях аэрокосмической техники и других отраслях. Данные конструкции в процессе эксплуатации испытывают сложные гармонические нагрузки. В связи с этим актуально развитие методов экспериментального исследования и определения деформационных свойств высоконаполненных полимерных композитов, а также методов расчета конструкций, работающих в экстремальных условиях. Рассмотрены линейные и нелинейные интегральные операторы для описания механического поведения вязкоупругих материалов. На основе общей формы записи физически нелинейных операторов вязкоупругих сред (интегральный ряд Вольтерра–Фреше) представлена нелинейная математическая модель на основе комплексных параметров, описывающая поведение вязкоупругого материала в условиях действия разнообразных стационарных одночастотных и двухчастотных нагрузок (при любом соотношении частот и амплитуд). Проведены анализ представленной математической модели, а также ее сопоставление с предложенной ранее моделью с допущениями о линейной зависимости вязкоупругих параметров от амплитуд деформации, отсутствии искажений петли гистерезиса (искажений гармоник) при деформировании. Предложено использовать полиномиальные зависимости для описания зависимостей вязкоупругих параметров от различных условий нагружения (с использованием температурно-временной аналогии). Для определения полиномиальных зависимостей были проведены двухчастотные экспериментальные исследования. После обработки экспериментальных данных были выявлены зависимости вязкоупругих параметров от частот нагружения и температуры. Полученные результаты позволяют разработать оптимальный план экспериментальных исследований, идентифицировать предложенную параметрическую модель, оценить влияние различных вязкоупругих параметров на точность описания поведения материала при сложных гармонических воздействиях.

Ключевые слова: высоконаполненные полимерные композиты (эластомеры), двухчастотное нагружение, комплексный динамический модуль, угол потерь, динамические механические свойства (анализ), интегральный ряд Вольтерра–Фреше.

Янкин Андрей Сергеевич – научный сотрудник, e-mail: yas.cem@yandex.ru

Бульбович Роман Васильевич – доктор технических наук, профессор, e-mail: dekan_akf@pstu.ru

Словиков Станислав Васильевич – кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: sslovikov@ya.ru

1. Косточко А.В., Казбан Б.М. Пороха, ракетные твердые топлива и их свойства: учеб. пособие. – М.: Инфра-М, 2014. – 400 с.
2. Ерохин Б.Т. Теория и проектирование ракетных двигателей: учебник. – СПб: Лань, 2015. – 608 с.
3. Yavor Y., Gany A., Beckstead M. Modeling of the agglomeration phenomena in combustion of aluminized composite solid propellant // Propellants, Explosives, Pyrotechnics. – 2014. – Vol. 39. – Iss. 1. – P. 108–116.
4. Фахрутдинов И.Х., Котельников А.В. Конструкция и проектирование ракетных двигателей твердого топлива: учебник для машиностроительных вузов. – М.: Машиностроение, 1987. – 328 с.
5. Внутренняя баллистика РДТТ / А.В. Алиев [и др.]. – М: Машиностроение, 2007. – 504 с.
6. Методы прикладной вязкоупругости / А.А. Адамов, В.П. Матвеенко, Н.А. Труфанов, И.Н. Шардаков. – Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2003. – 411 с.
7. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. – М.: Мир, 1974. – 338 с.
8. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. – М.: Наука, 1977. – 384 с.
9. Euler L. Introductio in analysin infinitorum. – Lausanne, 1748. – 320 p.
10. Unique nonlinear behavior of nano-filled elastomers: From the onset of strain softening to large amplitude shear deformations / A. Papon, S. Merabia, L. Guy, F. Lequeux, H. Montes, P. Sotta, D.R. Long // Macromolecules. – 2012. – Vol. 45. – Iss. 6. – P. 2891–2904.
11. Dorfmann A., Pancheri F.Q. A constitutive model for the Mullins effect with changes in material symmetry // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2012. – Vol. 47. – Iss. 8. – P. 874–887.
12. Морозов И.А., Свистков А.Л. Структурно-феноменологическая модель механического поведения резины // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2008. – Т. 14,
    № 4. – С. 583–596.
13. Semkiv M, Long D, Hütter M. Concurrent two-scale model for the viscoelastic behavior of elastomers filled with hard nanoparticles // Continuum Mechanics and Thermodynamics. – 2016. – Vol. 28. – Iss. 6. – P. 1711–1739. DOI 10.1007/s00161-016-0504-3
14. Loaded rubber-like materials subjected to small-amplitude vibrations / T. Beda, J.B. Casimir, K.E. Atcholi, Y. Chevalier // Chinese Journal of Polymer Science (English Edition). – 2014. – Vol. 32. – Iss. 5. – P. 620–632.
15. Influence of orthogonal prestrain on the viscoelastic behavior of highly filled elastomers / A. Azoug, A. Thorin, R. Neviere, R.M. Pradeilles-Duval, A. Constantinescu // Polymer Testing. – 2013. – Vol. 32. – Iss. 2. – P. 375–384.
16. Jalocha D., Constantinescu A., Neviere R. Prestrained biaxial dma investigation of viscoelastic nonlinearities in highly filled elastomers // Polymer Testing. – 2015. – Vol. 42. – P. 37–44.
17. Lakes R. Viscoelastic Materials. – Cambridge University Press, 2009. – 461 p.
18. Brinson H.F., Brinson L.C. Polymer Engineering Science and Viscoelasticity. – Springer Science + Business Media, 2008. – 446 p.
19. Особенности поведения низкомодульных вязкоупругих полимерных композитов при варьировании амплитуды деформации низкочастотной составляющей бигармонической нагрузки / А.С. Янкин, Р.В. Бульбович, С.В. Словиков, В.Э. Вильдеман // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 3. – С. 231–248.
20. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. – М.: Высш. шк., 1976. – 277 с.
21. Williams M.L., Landel R.F., Ferry J.D. The temperature dependence of relaxation mechanisms in amorphous polymers and other glass-forming liquids // Journal of the American Chemical Society. – 1955. – Vol. 77. – Iss. 14. – P. 3701–3707.
22. Menard K.P. Dynamic Mechanical Analysis: A Practical Introduction. Second Edition. – CRC Press, 2008. – 240 p.
23. Challenges in Mechanics of Time Dependent Materials, Vol. 2: Proceedings of the 2016 Annual Conference on Experimental and Applied Mechanics / B. Antoun, A. Arzoumanidis, H.J. Qi, M. Silberstein, A. Amirkhizi, J. Furmanski, H. Lu. – Springer, Technology & Engineering. – 2016. – 217 p.
24. Cho K.S. Viscoelasticity of Polymers: Theory and Numerical Algorithms. – Springer, Technology & Engineering. – 2016. – 612 p.
25. Янкин А.С., Словиков С.В., Бульбович Р.В. Определение динамических механических свойств низкомодульных вязкоупругих композитов при бигармоническом законе нагружения // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2013. – Т. 19, № 1. – С. 141–151.
26. Вязкоупругие характеристики высоконаполненных полимерных композитов при двухчастотных воздействиях / А.С. Янкин, Р.В. Бульбович, С.В. Словиков, В.Э. Вильдеман, В.В. Павлоградский // Механика композитных материалов. – 2016. – Т. 52. – № 1. – С. 115–128.
27. Янкин А.С. Влияние частот бигармонического (двухчастотного) нагружения на механическое поведение имитатора твердого топлива // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2015. – № 4. – С. 273–292. DOI: 10.15593/perm.mech/2015.4.16
28. Влияние амплитуды деформации высокочастотной составляющей бигармонического (двухчастотного) закона нагружения на динамические механические свойства низкомодульных вязкоупругих композитов / А.С. Янкин, Р.В. Бульбович, С.В. Словиков, В.Э. Вильдеман // Механика композитных материалов. – 2013. – Т. 49, № 6. – С. 1005–1012.
29. Белкина М.А., Бульбович Р.В. К постановке задачи об исследовании деформационных свойств ТРТ при нестационарном нагружении. Аэрокосмическая техника и высокие технологии – 2000 // Тез. докл. Всерос. науч.-техн. конф. / под ред. Ю.В. Соколкина и А.А. Чекалкина. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2000. – С. 24.
30. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе. – М.: Наука, 1972. – 328 с.

Сформулирована задача динамического поведения гибких армированных пологих оболочек, изготовленных из нелинейно-упругих материалов фаз композиции. Армирование осуществляется перекрестно по поверхностям, эквидистантным срединным поверхностям конструкций. Структура армирования по толщине оболочек является квазиоднородной. Геометрическая нелинейность задачи рассматривается в приближении Кармана, а ослабленное сопротивление композитных конструкций поперечному сдвигу описывается соотношениями неклассической теории Редди, в рамках которой учитывается искривление поперечных нормалей к срединным поверхностям пологих оболочек. Численное интегрирование поставленной начально-краевой задачи осуществляется на основе метода шагов по времени с привлечением явной схемы типа «крест». Проведены конкретные расчеты динамического поведения относительно тонких и толстых пологих сферических оболочек и пластин, имеющих в плане кольцевую форму, при наличии жесткой внутренней шайбы и нагружении избыточным давлением, вызванным взрывной воздушной волной. Тонкостенные конструкции имеют жесткое закрепление по внешней кромке и осесимметричное армирование по логарифмическим спиралям в плане. Изучается влияние углов армирования на податливость и напряженно-деформированное состояние в материалах фаз композиции гибких пластин и пологих оболочек. Выявлено, что на множестве рассматриваемых структур армирования рациональным является армирование по радиальным (меридиональным) направлениям, так как такая структура обеспечивает минимальную податливость и наименьшее напряженное состояние в материале связующей матрицы композиции. Показано, что в силу геометрической и физической нелинейности исследуемой задачи динамический отклик композитных пологих оболочек существенно зависит от того, к какой лицевой поверхности (выпуклой или вогнутой) прикладывается избыточное давление взрывного типа.

Ключевые слова: пологие оболочки, структуры армирования, динамическое деформирование, нелинейная упругость, геометрическая нелинейность, теория Редди, взрывные нагрузки, схема «крест».

Янковский Андрей Петрович – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: lab4nemir@rambler.ru, yankovsky_ap@rambler.ru

1. Review of advanced composite structures for naval ships and submarines / A.P. Mouritz, E. Gellert, P. Burchill, K. Challis // Compos. Struct. – 2001. – Vol. 53. – No. 1. – P. 21–42.
2. Bannister M. Challenger for composites into the next millennium – a reinforcement perspective // Composites. – 2001. – Part A 32. – P. 901–910.
3. Gibson R.F. Principles of composite material mechanics / 3rd ed. – Boca Raton: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2012. – 686 р.
4. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. – М.: Наука, 1974. – 446 с.
5. Андреев А. Упругость и термоупругость слоистых композитных оболочек. Математическая модель и некоторые аспекты численного анализа. – Saarbrucken (Deutschland): Palmarium Academic Publishing, 2013. – 93 c.
6. Cao Z., Cardew-Hall M. Interference-fit riveting technique in fiber composite laminates // Aerospace Sci. and Technol. – 2006. – Vol. 10. – P. 327–330.
7. Muc A., Ulatowska A. Desing of plates with curved fiber format // Compos. Struct. – 2010. – Vol. 92. – No. 7. – P. 1728–1733.
8. Muc A., Muc-Wierzgoń M. An evolution strategy in structural optimization problems for plates and shells // Compos. Struct. – 2012. – Vol. 94. – No. 4. – P. 1461–1470.
9. Абросимов Н.А., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций. – Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2002. – 400 с.
10. Баженов В.А., Кривенко О.П., Соловей Н.А. Нелинейное деформирование и устойчивость упругих оболочек неоднородной структуры: Модели, методы, алгоритмы, малоизученные и новые задачи. – М.: ЛИБРОКОМ, 2012. – 336 с.
11. Белькаид К., Тати А., Бумараф Р. Простой конечный элемент с пятью степенями свободы в узле, основанный на теории сдвигового деформирования третьего порядка // Механика композитных материалов. – 2016. – Т. 52, № 2. – С. 367–384.
12. Maćko W., Kowalewski Z.L. Mechanical properties of A359/SiCp metal matrix composites at wide range of strain rates // Appl. Mech. Mater. – 2011. – Vol. 82. – P. 166–171.
13. Gill S.K., Gupta M., Satsangi P. Prediction of cutting forces in machining of unidirectional glass-fiber-reinforced plastic composites // Frontiers of Mechanical Eng. – 2013. – Vol. 8. – No. 2. – P. 187–200.
14. Композиционные материалы: справ. / под ред. Д.М. Карпиноса. – Киев: Наук. думка, 1985. – 592 с.
15. Справочник по композитным материалам: в 2 кн. Кн. 1 / под ред. Дж. Любина; пер. с англ. А.Б. Геллера, М.М. Гельмонта; под ред. Б.Э. Геллера. – М.: Машиностроение, 1988. – 448 с.
16. Янковский А.П. Упругопластическое деформирование изгибаемых армированных пластин при ослабленном сопротивлении поперечному сдвигу // Прикладная математика и механика. –
    2013. – Т. 77. – Вып. 6. – С. 853–876.
17. Reissner E. The effect of transverse shear deformations on the bending of elastic plate // J. Appl. Mech. – 1945. – Vol. 12. – No. 2. – P. 69–77.
18. Шкутин Л.И. Нелинейные деформации и катастрофы тонких тел. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2014. – 139 с.
19. Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетерс Г. А. Сопротивление жестких полимерных материалов. – Рига: Зинатне, 1972. – 500 с.
20. Reddy J.N. Energy and Variational Methods in Applied Mechanics. – N.Y.: John Wiley, 1984. – 604 р.
21. Янковский А.П. Практическая устойчивость схемы «крест» при численном интегрировании уравнений динамики для гибких тонкостенных элементов конструкций, подчиняющихся гипотезам теории Тимошенко // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2015. – Т. 58, № 1. – С. 65–83.
22. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. – М: Мир, 1972. – 418 с.
23. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1989. – 616 с.
24. Houlston R., DesRochers C.G. Nonlinear structural response of ship panels subjected to air blast loading // Computers & Structures. – 1987. – Vol. 26. – No. 1/2. – P. 1–15.
25. Zeinkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. – Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. – 707 p.
26. Ильюшин А.А. Труды. Т. 3. Теория термовязкоупругости / сост. Е.А. Ильюшина, В.Г. Тунгускова. – М.: Физматлит, 2007. – 288 с.
27. Янковский А.П. Моделирование механического поведения композитов с пространственной структурой армирования из нелинейно-наследственных материалов // Конструкции из композиционных материалов. – 2012. – № 2. – С. 12–25.
28. Трещёв А.А. Изотропные пластины и оболочки, выполненные из материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. – М.; Тула: РААСН; Изд-во ТулГУ, 2013. – 249 с.
29. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. – М.: Машиностроение, 1968. – 400 с.
30. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. – М.: Машиностроение, 1977. – 488 с.
31. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высш. шк., 1990. – 368 с.